2008届江苏省南京高三数学综合训练题(考前

2008年普通高等学校统一考试（江苏卷）数学（文理通用）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．若函数)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2．若将一颗质地均匀的骰子（一种六个面分别注有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为3．若将复数),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += 4．已知集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则集合A Z 中有 个元素5．已知向量b a ,的夹角为120，1,3a b ==，则5a b -=6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 内随机投一点，则落入E 中的概率是 7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输 出的S 的值为8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b9．如图，在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A （0，B （b ，0），C （c ，0），点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点）a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 一同学已正确地求出直线OE 的方程：1111()()0x y b c p a -+-=。

请你完成直线OF 的方程： ( )_11()0x y p a+-=。

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左 向右的第3个数为11．已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，2y xz的最小值为12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的 焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，过点P 2(,0)a c1 2 3 4 5 67 8 9 10。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编10概率与统计一、选择题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为（ ）A. 13B. 23C. 14D. 25答案：B2、(江苏省启东中学高三综合测试三)从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率 A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等且为100225D ．都相等且为140答案：C3、(江苏省启东中学高三综合测试四)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}n a 满足：⎩⎨⎧-=次摸到白球，，第次摸到红球，第n n a n 1,1如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为( )A ．52573231⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C B ．52273132⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛CC ．52573131⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛CD ．52573232⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C答案：B4、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)从1008名学生中抽取20人参加义务劳动。

规定采用下列方法选取：先用简单随机抽样的抽取方法从1008人剔除8人，剩下1000人再按系统抽样的方法抽取，那么在1008人中每个人入选的概率是 (A) 都相等且等于501 (B) 都相等且等于2525 (C) 不全相等 (D) 均不相等答案：B5、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设ξ是离散型随机变量，32)(1==x p ξ，31)(2==x p ξ，且21x x <，现已知：34=ξE ，92=ξD ，则21x x +的值为(A)35 (B)37 (C) ３ (D) 311答案：C５、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设随机变量ξ～B(2,p),η ～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp的值为 (A)8132 (B)2711 (C)8165 (D)8116答案：B6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设ξ的概率密度函数为2)1(221)(-=x ex f π，则下列结论错误的是(A) )1()1(>=<ξξp p (B) )11()11(<<-=≤≤-ξξp p (C) )(x f 的渐近线是0=x (D) 1-=ξη～)1,0(N 答案：C7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)随机变量ξ～21,3(N ），则)11(≤<-ξp 等于 (A) 21)2(-Φ (B) )2()4(Φ-Φ (C) )2()4(2-Φ-Φ (D) 4()2(Φ-Φ答案：B8、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆 答案：B9、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为A ．51 B ．52 C ．54D ．103答案：A10、(四川省成都市一诊)福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为 A ．110B ．15C ．35D ．45答案：C 111223115435C C C C C =.选C11、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)某一随机变量ξ的概率分布如下表，且 1.5E ξ=，则2nm -的值为（ ）A.－0.2；B.0.2；C.0.1；D.－0.1 答案：B12、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知函数1,4,3,2,1,y x x =-=----令，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点1122(,),(,)P x y P x y ，则12,P P 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）A.19；B.118；C.536；D.112；答案：D13、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A 、B 满足A ≠⊂B ，给出以下四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件 ④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件其中正确的个数是( ) A 、1 B 、2C 、3D 、4本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用. 解析：①③④正确，②错误. 答案：C14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ▲ ）A.51 B. 41 C. 31 D. 21答案：C15、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（ ）A. 82万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒答案：D16、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）A ．12536 B ．12554 C ．12581 D ．12527答案：C17、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，[)b a ,是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则=-b aA ．hmB ．mh C ．hm D ．m h +答案：C18、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩480=μ，标准差100=σ，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在（已知φ（0.25）＝0.6）A ．525分B ．515分C ．505分D ．495分答案：C19、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（ ） A ．50 B ．100 C ．150 D ．20 答案：B20、(福建省南靖一中2008年第四次月考)在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A ．17B ．27C ．37D ．47答案：C21、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为54，乙及格概率为52，丙及格概率为32，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）A ．251 B ．2524 C ． 7516 D ．7559答案：B22、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)从集合{1, 2, 3, , 10} 中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的概率是 A.12B.13C.16D.160答案：B23、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ） A 10 B 9C 8D 7答案：A24、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68答案：B25、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)从集合{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}----中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为A5126B55126C5563D863答案：D26、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为 A ．148B ．124C ．112D ．16答案：由已知得3202,a b c ++⨯=即322,a b +=211321326626a b ab a b +⎛⎫∴=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，故选D. 27、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有13的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是310,加工B 时,停机的概率是25, 则这台机床停机的概率为( )A.1130B.307 C. 107 D.101答案：A28、(广东省四校联合体第一次联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案：D29、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)集合{(,)||1|}A x y y x =≥-，集合{(,)|5}B x y y x =≤-+。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。

序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

2008年江苏省普通高等学校招生全国统一考试1 数学模拟试题 2008.4说 明：本试卷分第Ⅰ卷(文理必答题)和第Ⅱ卷(理科选答题)两部分，第Ⅰ卷满分160分，考试时间120分钟。

第Ⅱ卷满分40分，考试时间30分钟． 注意事项：答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内，答案写在答卷纸上对应题目的 答案空格内，填空题答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸收回． 参考公式：1、用最小二乘法求线性回归方程系数公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．2、两个分类变量X 与Y 的独立性假设检验中22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++210.828K >时，有0099.9的把握认为“X 与Y 有关系”27.879K >时，有0099.5的把握认为“X 与Y 有关系” 2 6.635K >时，有0099的把握认为“X 与Y 有关系” 2 2.706K ≤时，没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”第Ⅰ卷：文理必答题一、填空题：本大题共14题，每小题5分共70分，请将正确答案填写在题后横线上． 1．复数z=12i+,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 3则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 4．若点（1,1）到直线x cos α+y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ． 5．函数f (x )=2x 3－6x 2＋7的单调减区间是 ． 6．若函数())4(log -+=xax x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________. 7．在约束条件：x +2y ≤5,2x +y ≤4,x ≥0,y ≥0下，z =3x +4y 的最大值是 ． 8．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为 ． 9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ． 10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y =0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ．11．已知函数22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上 ． 12．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，A B i j =+，2AC i m j =+，则实数m = ．13．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m⊥n； ③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β； ④若n∥α，n∥β，α∩β＝m ，那么m∥n； 其中所有正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）某学校拟建一块周长为400m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？16．（本小题满分13分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ．17．（本小题满分15分）某单位在抗雪救灾中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m 的C 、D 两地（A 、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠ACD =45°，∠ADC =75°，∠BCD =30°，∠BDC =15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍，问2.6≈≈≈）18．（本小题满分16个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．A 1 A BC P M N Q B 1 C 130 7515D CB45 A19．（本小题满分16分）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008 1，3，5， …， 4011， 4013， 4015 4，8， …， 8024， 8028……（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。

2008届高三数学综合训练题1．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是___________cm 3．2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是________个．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．4．已知P 为抛物线x 2＝14y 上的点，点P 到x 轴的距离比它到y 轴的距离大3，则点P 的坐标是____________．5．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为（0，1），则椭圆方程是__________ ． 6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }． （1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．7．在锐角△ABC 中，sin A ＝35，tan(A －B )＝－ 12．求tan B 及cos C 的值．8．A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点，已知AB ＝BC ＝a ，∠APB ＝90︒，∠BPC＝45︒ ，∠PBA ＝θ．求：（1）tan θ 的值 ；（2）PA →·PC →．P ABC主视图 左视图 （第1题图） 寿命（h ） （第2题图）9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos B cos C ＝－ b2a ＋c ．（1）求角B 的度数；（2）若b ＝19，a ＋c ＝5，求a 和c 的值．10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．11．如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA ．求证：（1）平面AMD ∥平面BPC ；（2）平面PMD ⊥平面PBD ．12．已知点A (－3，1)在椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左准线上．过A 点、斜率为－ 52的光线，经直线y ＝－2反射后经过椭圆的左焦点F ． （1）求椭圆的方程；（2）点P 是直线y ＝－2上的一个动点，求以AP 为直径且经过点F 的圆的方程．13．已知B 2，B 1分别是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F 是C 的右焦点，FB 1＝2，F 到C 的左准线的距离是733．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ，B 2P 与x 轴分别交于点M ，N ．求证：→OM ·→ON 是定值．14．如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为Ｍ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．15．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700 x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000（单位：万元）．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )． （1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？EAB CD A 1B 1C 1D 1 （第10题图）ABC DPM（第11题图）（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 16．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t （百万元），可增加销售额约为－t 2＋5t （百万元）（0≤t ≤5）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x （百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益＝销售额－投放）．17．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？18．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )． （1）如果a ＝l ，求f (x )的极小值；（2）如果a ≥l ，g (x )＝|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．19．设函数f (x )＝2ln x －x 2．（1）求函数f (x )的单调递增区间；（2）设a ∈R ，讨论关于x 的方程f (x )＋2x 2－5x －a ＝0的解的个数．20．已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x ． （1）求函数f (x )的值域；（2）设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，记F (x )的最大值为g (m )，求g (m )的表达式．21．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝2a n 2＋2 a n ，其中n 为正整数． （1）设b n ＝2a n ＋1，证明：数列{b n }是“平方递推数列”，且数列{lg b n }为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”{b n }的前n 项之积为T n ，即T n ＝（2a 1＋1）（2a 2＋1）…（2a n ＋1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式； （3）记c n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{c n }的前n 项之和S n ，并求使S n ＞2008的n 的最小值．22．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．23．已知数列{a n }满足：a 1＝a ，a n +1＝⎩⎨⎧a n ―3，(a n ＞3，n ∈N *)，4－a n ，(a n ≤3，n ∈N *)．（1）若a ＝202，求数列{a n }的前30项和S 30的值；（2）求证：对任意的实数a ，总存在正整数m ，使得当n ＞m （n ∈N *）时，a n +4＝a n 成立．2008届高三数学综合训练题参考答案1．4．2．650．3．x ＝－1或5x ＋12y －31＝0．4．(1，4)或(－1，4)．5．x 212＋ y 24＝1．6．由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．（1）∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．（2）∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．∵A ⊂∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．7．在锐角△ABC 中，∵sin A ＝35，∴cos A ＝45，tan A ＝34．∴tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan(A －B )1＋tan A tan(A －B )＝34－(－12)1＋34×(－12)＝2．∵sin Bcos B ＝tan B ＝2，∴sin B ＝2cos B ．又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴cos 2B ＝15．∵B 为锐角，∴cos B ＝55，sin B ＝255．∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(45×55－35×255)＝2525．8．（1）设BP ＝x ，∵∠APB ＝90︒ ，AB ＝a ，∠PBA ＝θ，∴x ＝a cos θ ．又△BPC 中，BC ＝a ，∠BPC ＝45°，∠BCP ＝θ－45︒ ， a sin45︒ ＝x sin(θ－45︒ )，∴a sin45︒＝a cos θsin(θ－45︒ )．∴sin45︒cos θ＝sin(θ－45︒)， sin45︒ cos θ＝sin θcos45︒ －cos θsin45︒．sin θ＝2cos θ．∴tan θ＝2．（2）∵tan θ＝2＞0，∴θ为锐角，sin θ＝25．又在Rt △ABP 中，AP ＝AB sin θ＝2 a5．因为PA ⊥PB ，所以PA →·PC →＝PA →·(PB →＋BC →)＝PA →·PB →＋PA →·BC →＝PA →·BC →＝－AP →·BC →＝－|AP →|·|BC →|cos(90︒－θ)＝－ 2 a 5⋅ a ⋅(25)＝－45a 2．(2)另解：∵tan θ＝2＞0，∴sin θ＝25，cos θ＝15．△BPC 中，BC ＝a ，PB ＝AB cos θ＝a 5，∴PC 2＝a 2＋(a 5)2－2a ×a 5×cos (π－θ)＝85a 2，所以PC ＝225a ．则PA →·PC →＝|PA →|·|PC →|·cos(90︒＋45︒)＝2 a 5×225a ×(－ 22)＝－45a 2．9．（1）由题设，可得cos B cos C ＝－ sin B2sin A ＋sin C，则－sin B cos C ＝2cos B sin A ＋cos B sin C ．sin B cos C ＋cos B sin C ＋2cos B sin A ＝0，sin(B ＋C)＋2cos B sin A ＝0，sin A ＋2cos B sin A ＝0．因为sin A ≠0 ，所以cos B ＝－ 12，所以B ＝120o ．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴19＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos120o ，∴ac ＝6．又a ＋c ＝5，可解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2．10．（1）证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ．由条件得ABCD 为正方形，故O 为AC 中点．因为E 为CC 1中点，所以OE ∥AC 1．因为OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/平面BDE ．所以AC 1∥平面BDE ．（2）连接B 1E ．设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ＝2a ，BB 1＝2a ．所以BE 2＋B 1E 2＝BB 12．所以B 1E ⊥BE ．由正四棱柱得，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE ．所以BE ⊥平面A 1B 1E ．所以A 1E ⊥BE ．同理A 1E ⊥DE ．所以A 1E ⊥平面BDE ．11．（1）证明：因为PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，所以PB ∥MA ．因PB ⊂平面BPC ，MA ⊂/平面BPC ，所以MA ∥平面BPC ．同理DA ∥平面BPC ，因为MA ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，MA ∩AD ＝A ，所以平面AMD ∥平面BPC ．（2）连接AC ，设AC ∩BD ＝E ，取PD 中点F ，连接EF ，MF ．因ABCD 为正方形，所以E为BD 中点．因为F 为PD 中点，所以EF ∥=12PB ．因为AM ∥=12PB ，所以AM ∥=EF ．所以AEFM 为平行四边形．所以MF ∥AE ．因为PB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥AE ．所以MF ⊥PB ．因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ．所以MF ⊥BD ．所以MF ⊥平面PBD ．又MF ⊂平面PMD ．所以平面PMD ⊥平面PBD ． 12．（1）由题意，得A 关于直线y ＝－2的对称点为A '(－3，－5)．由k AF ＝－ 52，得k A ’F ＝52．∴A 'F 的方程为y ＋5＝52(x ＋3)，即y ＝52x ＋52．∵A 'F 过点F (－c ，0)，∴c ＝1．∵a 2c ＝3，∴a 2＝3，b 2＝2．∴椭圆的方程是x 23＋y 22＝1．（2）设P (m ，－2)．由题意，得→FA ·→FP ＝0，即－2m －2－2＝0．∴m ＝－2．∴P (－2，－2)．∴以AP 为直径的圆的方程是( x ＋ 52 )2＋( y ＋ 12)2＝52．13．（1）设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得，FB 1＝a ＝2，c ＋a 2c ＝733，所以a＝2，c ＝3，b ＝1．所以所求的椭圆方程为x 24＋ y 2＝1．（2）设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，直线B 1P ：y ＋1y 0＋1＝x x 0．令y ＝0得x ＝x 0y 0＋1，即M (x 0y 0＋1，0)．直线B 2P ：y －1y 0－1＝x x 0，令y ＝0得x ＝－ x 0y 0－1，即N (－ x 0y 0－1，0)∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1．∵x 024＋y 02＝1，∴1－y 02＝x 024，∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1＝4．EA B CD A 1 B 1C 1D 1O A BC DP M FE即−→OM ⋅−→ON 为定值．14．（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧a 2c ＝4，a 2c－c ＝3．∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．∴b ＝3．所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y 23＝1．（2）由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝12PM ．∴PF ≠PM ．①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．②若FM ＝PM ，设P (x ，y )(x ≠±2)，则M (4，y )．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16－8x＋x 2，又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2．∴9＋3－34x 2＝16－8x ＋x 2，∴74x 2－8x ＋4＝0．∴7x 2－32x ＋16＝0．∴x ＝47或x ＝4．∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47．∴P (47，±3157)．综上，存在点P (47，±3157)，使得△PFM 为等腰三角形．15．（1）P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000 (x ∈N *，且1≤x ≤20)，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275 (x ∈N *，且1≤x ≤19)． (2) P ’(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)；∴当0＜x ＜12时，P (x )＞0，当x ＞12时，P (x )＜0，∴当x ＝12时，P (x )有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． （3）∵MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.∴1≤x ≤19时，MP (x )是减函数，其实际意义是随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘相比，在减少．16．（1）设投入t （t 百万元）的广告费后增加的收益为f (t )（百万元），则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)，所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（2）设用技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的资金为(3－x )（百万元），则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－ 13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g '(x )＝－x 2＋4．令g '(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去）．又当0≤x ＜2时，g '(x )＞0，当2＜x ≤3时，g '(x )＜0．故g (x )在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．17．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ．因为h ＞0，所以0＜R ＜33V 2π．设总造价为y ，则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa (32R 2＋Rh )＝a (32πR 2＋V R －23πR 2)＝a (56πR 2＋V R )．y '＝a (53πR －VR 2)＝5π aR 3－3a V 3R 2，令y '＝0得R＝33V5π，当R ∈(0，33V5π）时，y '＜0，y 为减函数；当R ∈(33V 5π，33V2π)时，y '＞0，y 为增函数．所以当R ＝33V5π时，y 有最小值． 答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R ＝33V5π时，造价最低． 18．（1）∵当a ＝1时，f ′ (x )＝3x 2－3，令f ′ (x )＝0，得x ＝－1或x ＝1．当x ∈(－1，1)时，f ′ (x )＜0，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′ (x )＞0． ∴f (x )在(－∞，－1)单调递增，在(－1，1)上单调递减，在 (1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝－2．（2）因为g (x )＝|f (x )|＝| x 3－3ax |在[－1，1]上为偶函数，所以只求在[0，1]上最大值．当a ≥1时，f ′ (x )＝3(x ＋a )(x －a )．列表如下：∵a ≥1，∴a ≥1．当x ∈(0，1)时，f ′ (x )＜0．∴f (x )在(0，1)上单调递减，f (x )＜f (0)＝0． ∴当x ∈(0，1)时，g (x )＝－f (x )＝－x 3＋3ax ．∴g ′ (x )＝－f ′ (x )＞0．∴g (x )在(0，1)上单调递增．∴当x ∈[0，1]时，F (a )＝g (1)＝3a －1．19．（1）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′ (x )＝2(1x －x )＝2(1＋x )(1－x )x．∵x ＞0，则使f ′ (x )＞0的x 的取值范围为(0，1)，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)． （2）∵f (x )＝2ln x －x 2．∴f (x )＋2x 2－5x －a ＝0⇔a ＝2ln x ＋x 2－5x ．令g (x )＝2ln x ＋x 2－5x ，∴g ′ (x )＝2x ＋2x －5＝(2x －1)(x －2)x．∵x ＞0∴g (x )在(0，12)，(2，＋∞)上单调递增，在(12，2)上单调递减．∵g (12)＝－2ln2－94，g (2)＝2ln2－6，∴x ∈(0，12)时，g (x )∈(－∞，－2ln2－94)；x ∈(12，2)时，g (x )∈(2ln2－6，－2ln2－94)；x ∈(2，＋∞)时，g (x )∈(2ln2－6，＋∞)．∴当a ∈(－2ln2－94，＋∞)∪(－∞，2ln2－6)时，方程有一解；当a ＝－2ln2－94或a ＝2ln2－6时，方程有两解；当a ∈(2ln2－6，－2ln2－94)时，方程有三解．20．（1）要使f (x )有意义，必须1＋x ≥0且1－x ≥0，即－1≤x ≤1．∵[f (x )]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f (x )≥0，∴f (x )的值域是[2，2]．（2）设f (x )＝t ，则1－x 2＝12t 2－1，∴F (x )＝m (12t 2－1)＋t ＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]．由题意知g (m )即为函数h (t )＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]的最大值，∵直线t ＝－ 1m 是抛物线h (t )＝12mt 2＋t －m 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当m ＞0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t ＝－ 1m＜0知h (t )在[2，2]上单调递增，故g (m )＝h (2)＝m ＋2；②当m ＝0时，h (t )＝t 在[2，2]上单调递增，有g (m )＝h (2)＝m ＋2＝2； ③当m ＜0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，若t ＝－ 1m ∈(0，2]，即m ≤－ 22时，g (m )＝h (2)＝2；若t ＝－ 1m ∈(2，2]，即m ∈(－ 2 2，－12]时，g (m )＝h (－ 1m )＝－m －12m ；若t ＝－ 1m ∈(2，＋∞)，即m ∈(－12，0)时，g (m )＝h (2)＝m ＋2．综上所述，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2，m ＞－12，－m －12m ，－22＜m ≤－12，2，m ≤－ 22．21．（1）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．（2）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg5，∴2a n ＋1＝52n－1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5⋅(1－2n )1－2＝(2n －1)lg5．∴T n ＝52n －1．（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg52n －1lg5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴S n ＝2n －[1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1]＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2[1－⎝⎛⎭⎫12n]＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n． 由S n ＞2008得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞2008，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，当n ≤1004时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＜1005，当n ≥1005时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，∴n 的最小值为1005．22．(1)∵点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)．∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13． ∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)．解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )．23．(1) ∵a ＝202＝3×9＋(202－27)，当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3，∴a 1，a 2，a 3，…，a 10，是首项为202、公差为―3的等差数列． ∵a 10＝202－27∈(1，3)，当a n ≤3时，a n +1＝4－a n ， ∴当n ≥10时，a n ∈(1，3)，且a n +1＋a n ＝4．∴S 30＝( a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12)＋…＋(a 29＋a 30) ＝10·202－135＋4×10＝2002－95． (2) ∵当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3．(Ⅰ)当a ＞3时，不妨设a ＝3k ＋p (k ∈N *，0≤p ＜3)，由a n +1＝a n ―3，得a 1，a 2，a 3，…，a k +1成等差数列，a k +1＝p ∈[0，3)． ①当p ＝0时，则有a k +2＝4，a k +3＝1，a k +4＝3，a k +5＝1，…∴存在正整数m ＝k ＋2，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，则a n +4＝ a n 成立．②当0＜p ＜1时，则有a k +2＝4－p ∈(3，4)，a k +3＝1－p ∈(0，1)，a k +4＝3＋p ∈(3，4)， a k +5＝p ∈(0，1)，…，∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +4＝ a n 成立． ③当p ＝1时，则有a k +2＝3，a k +3＝1，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，则a n +4＝ a n 成立． ④当1＜p ＜3时，则有a k +2＝4－p ∈(1，3)，a k +3＝p ∈(1，3)，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，则a n +4＝a n 成立． (Ⅱ)当a ＝3时，a 2＝1，由(2) (Ⅰ) ③知命题成立． (Ⅲ)当0＜a ＜3时，由(2) (Ⅰ) ②③④知命题成立．(Ⅳ)当a＝0时，由(2) (Ⅰ) ①知命题成立．(Ⅴ)当a＜0时，则a2＝4－a＞3，由(2) 知命题成立．综上得：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n＞m(n∈N*)时，a n+4＝a n成立．。

2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = ▲ 。

【解析】本小题考查三角函数的周期公式。

2105T w w ππ==⇒=。

答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。

答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += ▲ 。

【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+，因此a b +=1。

答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则AZ 的元素个数为 ▲ 。

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。

由2(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。

答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ▲ 。

【解析】本小题考查向量的线形运算。

因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=- ，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅=49。

因此5a b -=7。

答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。

答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ 。

2008年江苏省南京市高考数学二模试卷一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. cos300∘的值是________．2. 函数f(x)=log 2(2−x)+√x −1的定义域是________．3. 已知复数z 1=a +i ，z 2=1−i ，若z 1⋅z 2是纯虚数，则实数a 的值为________．4. 已知集合A ={(0, 1), (1, 1), (−1, 2)}，B ={(x, y)|x +y −1=0, x, y ∈Z}，则A ∩B =________．5. 在等差数列{a n }中，已知a 1=1，前5项和S 5=35，则a 8的值是________．6. 如图，将一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是________． 7. 如图所示的流程图，输出的结果S 是________．8. 若关于x 的不等式−12x 2+2x >mx 的解集为{x|0<x <2}，则实数m 的值为________． 9. 某奶茶店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：∘C ）之间的关系如下：甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程： ①y =−x +2.8；②y =−x +3；③y =−1.2x +2.6，其中正确的是________．（填序号） 10. 已知方程x 3＝4−x 的解在区间(k, k +12)内，k 是12的整数倍，则实数k 的值是________． 11. 已知点P 在直线2x −y +4=0上，且到x 轴的距离是到y 轴的距离的23倍，则点P 的坐标是________．12. 已知函数f(x)=ax 2+2ax +4(0<a <3)，若m <n 且m +n =a −1，则f(m)________ f(n)（用<或=或>）连接．13. 已知正六棱柱的底面边长为3cm ，侧棱长为√3cm ，如果用一个平面把六棱柱分成两个棱柱，则所得两个棱柱的表面积之和的最大值为________cm 2．14. 如图，半圆的直径AB =2，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →+PB →)⋅PC →的最小值是________．二.解答题 15. 已知：0<α<π2<β<π，cos(β−π4)=13，sin(α+β)=45．（1）求sin2β的值； （2）求cos(α+π4)的值．16.如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =√2AA 1，点D 为A 1C 1的中点． 求证：（1）BC 1 // 平面AB 1D ； （2）A 1C ⊥平面AB 1D ．17. 如图，港口B 在港口O 正东120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60∘方向，港口B 的北偏西30∘方向上，一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30∘即OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O ，一艘快艇从港口B 出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇离港口B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？18.如图，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1：x +√3y +3=0相切 （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 2与圆M 交于P ，Q 两点，且MP →⋅MQ →=−2，求直线l 2的方程． 19. 已知函数f(x)=4x3x 2+3，x ∈[0,2]． （1）求f(x)的值域；（2）设a ≠0，函数g(x)=13ax 3−a 2x ，x ∈[0, 2]．若对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 2∈[0, 2]，使f(x 1)−g(x 2)=0．求实数a 的取值范围．20. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }满足：b n =na n ，且数列{b n }的前n 项和为(n −1)S n +2n(n ∈N ∗)． （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：数列{S n +2}是等比数列；（3）抽去数列{a n }中的第1项，第4项，第7项，…，第3n −2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{c n }，若{c n }的前n 项和为T n ，求证：125<T n+1T n≤113．2008年江苏省南京市高考数学二模试卷答案1. 122. [1, 2)3. −14. {(0, 1), (−1, 2)}5. 226. 497. 5 8. 1 9. ① 10. 111. (−3, −2)或(−32, 1)12. < 13. 72√3 14. −1215. 解：（1）法一：∵ cos(β−π4)=cos π4cosβ+sin π4sinβ =√22cosβ+√22sinβ=13．∴ cosβ+sinβ=√23．∴ 1+sin2β=29，∴ sin2β=−79．法二：sin2β=cos(π2−2β) =2cos 2(β−π4)−1=−79． （2）∵ 0<α<π2<β<π，∴ π4<β−π4<3π4，π2<α+β<3π2．∴ sin(β−π4)>0，cos(α+β)<0． ∵ cos(β−π4)=13，sin(α+β)=45， ∴ sin(β−π4)=2√23，cos(α+β)=−35．∴ cos(α+π4)=cos[(α+β)−(β−π4)] =cos(α+β)cos(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4)=−35×13+45×2√23=8√2−315． 16. 解：（1）连结A 1B ，设A 1B ∩AB 1=O ，连结OD∵ △A 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ∴ OD // BC 1∵ OD ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ， ∴ BC 1 // 平面AB 1D ；（2）在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， ∵ B 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴ B 1D ⊥AA 1，∵ B 1D 是正三角形A 1B 1C 1的中线，可得B 1D ⊥A 1C 1 ∴ 结合AA 1∩A 1C 1=A 1，得B 1D ⊥平面AA 1C 1C ∵ A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴ B 1D ⊥A 1C ，∵ AB =√2AA 1，∴ A 1DAA 1=AA 1AC=√22∵ ∠DA 1A =∠A 1AC =Rt∠∴ △DA 1A ∽△A 1AC ，可得∠ADA 1=∠CA 1A =90∘−∠DA 1C 因此，∠ADA 1+∠DA 1C =90∘，从而A 1C ⊥AD ∵ B 1D 、AD 是平面AB 1D 内的相交直线， ∴ A 1C ⊥平面AB 1D ．17. 解：设快艇驶离港口B 后，最少要经过x 小时，在OA 上的点D 处与考察船相遇：如图，连接CD ，则快艇沿线段BC ，CD 航行，在△OBC 中，∠BOC =30∘，∠CBO =60∘∴ ∠BCO =90∘， 又BO =120，∴ BC =60，OC =60√3， 故快艇从港口B 到小岛C 需要1小时，在△OCD 中，∠COD =30∘，OD =20x ，CD =60(x −2)， 由余弦定理知CD 2=OD 2+OC 2−2OD ⋅OCcos∠COD ， ∴ 602(x −2)2=(20x)2+(60√3)2−2⋅20x ⋅60√3cos30∘， 解得x =3或x =38，∵ x >1，∴ x =3．故快艇驶离港口B 后，最少要经过3小时才能和考察船相遇． 18. 解：（1）因为椭圆的离心率为12，所以ca =12，即a =2c,b =√3c 所以A(−2c, 0)，B(0,√3c)，F(−c,0)．k BF =√3，故k BC =−√33， 所以BC 得方程为y =−√33x +√3c令y =0，得x =3c ，即C(3c, 0)，所以圆M 的半径为12FC =2c ，圆心M(c, 0) 因为圆M 恰好与直线l 1：x +√3y +3=0相切， 所以|c+3|2=2c ，∴ c =1，∴ a =2，b =√3故所求的椭圆方程为x 24+y 23=1（2）因为MP →⋅MQ →=|MP →||MQ →|cos∠PMQ =2×2cos∠PMQ =−2， 所以∠PMQ =120∘．所以M 到直线l 2的距离等于1依题意，直线l 2的斜率存在，设直线l 2:y =k(x +2)，即kx −y +2k =0 所以√k 2+1=1，解得k =±√24， 故所求的直线l 2的方程为y =±√24(x +2)19. 解：（1）对函数f(x)求导，f′(x)=43⋅1−x 2(x 2+1)2． 令f ′(x)=0得x =1或x =−1．当x ∈(0, 1)时，f ′(x)>0，f(x)在(0, 1)上单调递增； 当x ∈(1, 2)时，f ′(x)<0，f(x)在(1, 2)上单调递减．又f(0)=0,f(1)=23，f(2)=815，所以当x ∈[0, 2]，f(x)的值域是[0,23]；（2）设函数g(x)在[0, 2]上的值域是A ．∵ 对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 0∈[0, 2]，使f(x 1)−g(x 0)=0， ∴ [0,23]⊆A ．对函数g(x)求导，g ′(x)=ax 2−a 2．①当a <0时，若x ∈(0, 2)，g ′(x)<0，所以函数g(x)在(0, 2)上单调递减． ∵ g(0)=0,g(2)=83a −2a 2<0，∴ 当x ∈[0, 2]时，不满足[0,23]⊆A ； ②当a >0时，g′(x)=a(x −√a)(x +√a)． 令g ′(x)=0，得x =√a 或x =−√a （舍去）． (I)当x ∈[0, 2]，0<√a <2时，列表：又∵ [0,23]⊆A ，∴ g(2)=83a −2a 2≥23，解得13≤a ≤1．(II)当x ∈(0, 2)，√a ≥2时，g ′(x)<0，∴ 函数在(0, 2)上单调递减， ∵ g(0)=0，∴ g(2)=83a −2a 2<0∴ 当x ∈[0, 2]时，不满足[0,23]⊆A ． 综上，实数a 的取值范围是[13，1]．20. 解：（1）由题意得：a 1+2a 2+3a 3+...+na n =(n −1)S n +2n ； 当n =1时，则有：a 1=(1−1)S 1+2，解得：a 1=2；当n =2时，则有：a 1+2a 2=(2−1)S 2+4，即2+2a 2=(2+a 2)+4，解得：a 2=4； ∴ a 1=2，a 2=4（2）由a 1+2a 2+3a 3+...+na n =(n −1)S n +2n①得：a 1+2a 2+3a 3+...+na n +(n +1)a n+1=nS n+1+2(n +1)②②-①得：(n +1)a n+1=nS n+1−(n −1)S n +2，即：(n +1)(S n+1−S n )=nS n+1−(n −1)S n +2即：S n+1=2S n +2； ∴ S n+1+2=2(S n +2)，由S 1+2=a 1+2=4≠0知： 数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）知：S n +2=4⋅2n−1，即S n =4⋅2n−1−2=2n+1−2当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n 对n =1也成立， 即a n =2n (n ∈N ∗)．∴ 数列{c n }为22，23，25，26，28，29，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；∴ 当n=2k−1(k∈N∗)时，T n=(c1+c3+...+c2k−1)+(c2+c4+...+c2k−2)=(22+ 25+...+23k−1)+(23+26+...+23k−3)=4(1−8k)1−8+8(1−8k−1)1−8=57⋅8k−127，T n+1=T n+c n+1=57⋅8k−127+23k=127⋅8k−127，∴T n+1T n=12⋅8k−125⋅8k−12=125+845(5⋅8k−12)，∵ 5⋅8k−12≥28&∴125<T n+1T n≤3∴ 当n=2k(k∈N∗)时，T n=(c1+c3+...+c2k−1)+(c2+c4+...+c2k)=(22+ 25+...+23k−1)+(23+26+...+23k)=4(1−8k)1−8+8(1−8k)1−8=127⋅8k−127，T n+1=T n+c n+1=127⋅8k−127+23k+2=407⋅8k−127，∴T n+1T n =40⋅8k−1212⋅8k−12=103+73(8k−1)，∵8k−1≥7∴103<T n+1T n≤113∴ 125<T n+1T n≤113．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ . 解：2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．解：基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ． 解：∵()21112i i i i ++==- ，∴0,1a b ==，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则AZ 中有 ▲ 个元素解：由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5AZ =，共有6个元素．5．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= ▲ ． 解：()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，57a b -=6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲解：如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位 圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 解： '1y x = ，令112x =得2x =，故切点坐标为（2，ln2），代入直线方程得ln 21ln 21b b =+⇒=-7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的 频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲解：由算法流程图可知S 为5组数据中的组中值（i G ）与对应频率（i F ）之积的和，1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线 CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方 程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

px 南京市2008届高三年级考前保温数学试题一、填空题1. 集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊆A ，则a=__________2. 已知复数z 满足2z z i +=+，则z =3. 已知)(1562*∈+=N n n n a n ，则数列{}n a 的最大项是 4. 已知x 、y ∈R ，则不等式组|1|||20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积是5. 已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o，且 |1k a b c ++> ｜，则实数k 的取值范围是6. 如图所示,棱长为1cm表面积是7. 已知圆C 1：0276:07622222=--+=--+y y x C x y x 与圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 。

8.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的"基本量".设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和。

下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列"基本量"的是第_____组 (写出所有符合要求的组号).①1S 与2S ；②2a 与3S ;③1a 与n a ;④q 与n a .其中n 为大于1的整数。

9. 若函数213ln()1x y x x+=+-的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m=10. 如图所示,已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+b y a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 则该椭圆的离心率为11. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入12. 数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=32132321，则数列}{n b 也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = 则数列{n d }也为等比数列。

江苏省南京市2008届高三基础调研测试数学试题一、.填空题（共14小题，每题5分，计70分）1．已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R ▲ ．2．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 ▲ ．3．若复数2(1)1i z i+=-（其中，i 为虚数单位），则=|z | ▲ ．4．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则m 的值为 ▲ ．5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩,,,则2z x y =-的取值范围是 ▲ ．6．如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2 ，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的方差为 ▲ ． 7．如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ▲8．椭圆22221x y a b+=上任意一点到两焦点的距离分别为1d 、2d ，焦距为2c ，若1d 、2c 、2d 成等差数列，则椭圆的离心率为 ▲ ．9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l ⊂α，则l ∥β； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若m 、n 是异面直线，m ∥α，n ∥α，且l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α. 其中真命题的序号是 ▲ ． 10．函数22(0,1)x y aa a +=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >，则俯视图12m n+的最小值为 ▲ ． 11．已知1sin()64πα-=，则sin(2)6πα+= ▲ ．12．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数)]6(6cos[-+=x A a y π（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ▲ ℃． 13．已知函数y ＝f(x)的图象如图，则不等式f(2x ＋1x －1)＞0的解集为 ▲_ ．14．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律 拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色 地砖 ▲_ 块；现将一粒豆子随机撒在第100个图 中，则豆子落在白色地砖上的概率是 ▲_ ．第1个 第2个 第3个二、解答题（6大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）15．（本题满分14分）已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为α， （Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求ααααα22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最小值。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L 13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z I 的元素的个数 5.b a ρϖ,的夹角为ο120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。

序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3[6,7)6.5200.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08的值是 。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

4. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0734sin παα其中，，则=+)3cos(πα ．5. 一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是2.1，方差是4.4，则原来一组数的方差为 .丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ．二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本大题14分,第一小题7分,第二小题7分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 为菱形，160A AB ∠=︒，四边形11BCC B 为矩形，若AB BC ⊥且4AB =，3BC = C 1C18.(本大题15分,第一小题7分,第二小题8分)≤的概率；⑴在长度为a的线段AB上任意作一点C，求CB CA（2）若数列}{n b 是等差数列，且cn b n +=，求非零常数c ； （3）若(2)中的}{n b 的前n 项和为n T ，求证：11)9(6432+-+>-n nn n b n b b T选做第_______题：参考答案44（2）(sin ,cos 3)(sin 3,cos )1AC BC αααα⋅=-⋅-=-，得sin (sin 3)cos (cos 3)1αααα-+-=-，13(sin cos )1αα-+=-，2(sin cos )3αα+=.两边平方得412sin cos 9αα+=，52sin cos 9αα=-.2sin (sin cos )5ααα+20.解：（1）}{n a 为等差数列，∵225243=+=+a a a a ，又11743=⋅a a ，∴ 3a ，4a 是方程0117222=+-x n 的两个根又公差0>d ，∴43a a <，∴93=a ，134=a …………………………………… 2分⎧=+92d a ⎧=1a（2）∵∠F AB =∠FCB =∠FBC ，∠AFB =∠BFD ， ∴ΔFBA ∽ΔFDB ．∴FB FAFD FB=，∴FB 2=F A ·FD ． （3）∵AB 是圆的直径，∴∠ACB =90︒． ∵∠EAC =120︒， ∴∠DAC =21∠EAC =60︒，∠BAC =60︒．∴∠D =30︒． ∵BC = 6， ∴AC =32． ∴AD =2AC =43cm ．。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】112锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．【答案】05.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ． 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c =，解得c e a ==【答案】213．若，则ABC S ∆的最大值 ▲ ． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B的横坐标分别为105． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．CBPOAD（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。