2012年压轴题函数问题9

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋32＝32解得t＝－3 2∴二次函数的解析式为y＝－12x2＋x＋32（2）∵A（－3，m）在二次函数y＝－12x2＋x＋32的图象上∴m＝－12×(－3)2＋(－3)＋32＝－6∴点A的坐标为（－3，－6）∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上∴－6＝－3k＋6，∴k＝4（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）平移后，点B，C的对应点分别为B′（－1－n，0），C′（3－n，0）将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n如图1，当直线y＝4x＋6＋n经过点B′（－1－n，0）时，图象G（点B′除外）在该直线右侧由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝2 3如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′（3－n，0）时，图象G（点C′除外）在该直线左侧由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6∴由图象可知，符合题意的n的取值范围是23≤n≤6图1 图22．（北京模拟）已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△P AO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．（1）证明：∵△＝(m－2)2－4×(－1)×3(m＋1)＝(m＋4)2≥0∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点（2）解：由题意，m＋1＜0当m＝－4，图象与x轴只有一个交点∴m＜－1且m≠-4（3）解：令y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)解得x1＝m＋1，x2＝－3可求得顶点P（m－22，(m＋4)24）①当A（m＋1，0）、B（－3，0）时∵S△P AO＝S△ABC，∴12(m＋1)×(m＋4)24＝12(－m－4)×3(m＋1)解得m＝－16∴y＝－x2－18x－45②当A（－3，0）、B（m＋1，0）时同理得12×3×(m＋4)24＝12(m＋4)×[－3(m＋1)]解得m＝－8 5∴y＝－x2－85x－953．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xO y中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO＝∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P（1）解：由题意，得 ⎩⎨⎧1＝－13＋b ＋c 2＝－ 4 3＋2b ＋c解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2 3c ＝2∴二次函数的解析式为y ＝－13x2＋23x ＋2 对称轴为直线x ＝1（2）证明：易得直线OA 的解析式为y ＝－x ，从而C 的坐标为（1，－1） ∵由A （－1，1），B （2，2），C （1，－1） 得AB ＝BC ＝10，OA ＝OC ＝ 2 ∴∠ABO =∠CBO（3）解：由直线OB 的表达式y ＝x ，得点D 的坐标为（1，1） 由A （－1，1），B （2，2），得直线AB 的解析式为y ＝13x ＋4 3从而直线AB 与x 轴的交点E 的坐标为（－4，0） ∵△POB ∽△BCD 相似，∠ABO ＝∠CBO ∴∠BOP ＝∠BDC 或∠BOP ＝∠BCD ①当∠BOP ＝∠BDC 时 由∠BDC ＝135°，得∠BOP ＝135° 此时点P 与点E 重合∴点P 的坐标为（－4，0） ②当∠BOP ＝∠BCD 时 由△POB ∽△BCD ，得BPBO＝BDBC而BO ＝22，BD ＝2，BC ＝10，∴BP ＝2510又∵BE ＝210，∴PE ＝8510作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F 则PH ∥BF ，∴PHBF＝PEBE＝EHEF． 而BF ＝2，EF ＝6，∴PH ＝85，EH ＝24 5，∴OH ＝45∴点P 的坐标为（45，85）综上所述，点P 的坐标为（－4，0）或（45，85）4．（安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a (x －6)2＋h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：（1）当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60∴y＝－160(x－6)2＋2.6（2）当h＝2.6时，由（1）知y＝－160(x－6)2＋2.6由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网由－160(x－6)2＋2.6＝0，x＞0，得x＝6＋156＞18或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界（3）根据题设知y＝a(x－6)2＋h由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2 ①由球能越过球网，得9a＋h＞2.43 ②由球不出边界，得144a＋h≤0 ③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥835．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有y a＋y b≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：设f(x)在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，即M≥1 2二次函数y＝x2－2mx＋1的图象是一条开口向上的抛物线①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，此时1≥12成立②当对称轴x＝m在0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1－m2此时有1－m2≥12，即m2≤12，故有0＜m≤22③当对称轴x＝m在m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2－2m此时有2－2m≥12，即m≤34，与m≥1矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤2 26．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于14的抛物线有几条？请证明你的结论．解：（1）∵判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 ∴抛物线与x轴总有两个交点又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方（或由二次函数解析式得：y＝(x＋a2)2－14a2＋a－2∵抛物线顶点的纵坐标为－14a2＋a－2＝－[14(a－2)2＋1]＜0，当a取任何实数时总成立∴不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q(－a2，－14a2＋a－2)，点C(0，a－2)当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD＝|－a|，点Q到CD的距离为|(a－2)－(－14a2＋a－2)＝14a2过Q作QP⊥CD于P要使△QCD为等边三角形，则需OP＝32CD，即14a2＝32|－a|由a≠0，解得a＝±23（或由CD＝CQ，或由CP＝12CO等求得a的值）∴△QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋23x＋23－2或y＝x2－23x－23－2 （3）∵CD＝|－a|，点A到CD的距离为＝|a－2|由S△ACD＝12|a(a－2)|＝14，解得a＝1±22或a＝1±62∴满足条件的抛物线有四条7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．解：[尝试]（1）（1，－2）（2）将x ＝2代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋(1－t )( －2x ＋4)，得y ＝0，所以点A （2，0）在抛物线E 上（3）将x ＝－1代入n ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)＝6 [发现]A （2，0），B （－1，6）[应用1]∵x ＝－1代入y ＝－3x2＋5x ＋2，计算得y ＝－6≠6∴抛物线y ＝－3x2＋5x ＋2不经过点B∴二次函数y ＝－3x2＋5x ＋2不是二次函数y ＝x2－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4的一个“再生二次函数” [应用2]]如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过点B 作RM ⊥x 轴于点M 易得AM ＝3，BM ＝6，BK ＝1，△KBC 1∽△MBA则AMBM＝C 1KBK，即36＝C 1K1，求得C 1K ＝1 2，∴点C 1（0，13 2） 易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG ＝1，D 1G ＝1 2，∴点D 1（3，1 2）易知△OAD 2∽△GAD 1，得D 1GOD 2＝AGOA由AG ＝1，OA ＝2，D 1G ＝12，求得OD 2＝1，∴点D 2（0，－1）易知△TBC 2≌△OD 2A ，得TC 2＝AO ＝2，BT ＝OD 2＝1，∴点C 2（－3，5∵抛物线E 总过定点A （2，0），B （－1，6） ∴符合条件的三点只可能是A 、B 、C 或A 、B 、D当抛物线E 经过A 、B 、C 1时，将C 1（0，13 2 ）代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4 )，求得t 1＝－5 4当抛物线E 经过A 、B 、D 1，A 、B 、C 2，A 、B 、D 2时，可分别求得t 2＝58，t 3＝－1 2 ，t 4＝52∴满足条件的所有t 的值为：－5 4，5 8，－1 2，528．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xO y ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y （千米）与飞行的水平距离x （千米）满足关系式y ＝kx －120(1＋k2)x2（k ＞0），其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（1）令y ＝0，得kx －120(1＋k2)x2＝0 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0 ∴x ＝20k1＋k2＝ 20 1 k＋k≤ 202＝10，当且仅当k ＝1时取等号 ∴炮的最大射程为10千米（2）∵a ＞0，炮弹可以击中目标 ∴存在k ＞0，使ka －120(1＋k2)a2＝3.2成立 ∴关于k 的二次方程a2k2－20ak ＋a2＋64＝0有正根∴△＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a ≤6∴当它的横坐标a 不超过6千米时，炮弹可以击中它9．（江苏模拟）已知一次函数y 1＝kx ＋m 与二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c （b 为整数）的图象交于A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）两点，二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c 和二次函数y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值的差为l ．（1）求y 1、y 2、y 3的解析式；（2）若y 1与y 3的图象交于C 、D 两点，求CD 的长；（3）P 是y 轴上一点，过点P 任意作一射线分别交y 2、y 3的图象于M 、N ，过点M 作直线y ＝－1的垂线，垂足为G ，过点N 作直线y ＝－3的垂线，垂足为H ．是否存在这样的点P ，使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立，若存在，求出P 点的坐标，并探究PMPN是否为定值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）代入y 1＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧(2－2 2)k ＋m ＝3－22( 2＋2 2)k ＋m ＝3＋22解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝1 ∴y 1＝x ＋1将A 、B 两点的坐标代入y 2＝2ax2＋2bx ＋c ，整理得：8a ＋2b ＝1易得y 2＝2ax2＋2bx ＋c 的最小值为c －b 22a，y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值为c －1－b 24a由题意，|c －b 22a－(c －1－b 24a)|＝1，即|1－b24a|＝1又8a ＋2b ＝1，得|1－2b21－2b|＝1∴1－2b21－2b＝1，解得b ＝0或1－2b 21－2b＝－1，整理得b2＋2b －1＝0，此方程无整数解∴b ＝0，代入8a ＋2b ＝1，得a ＝18∴y 2＝14x 2＋c令x ＋1＝14x2＋c ，得x2－4x ＋4c －4＝0 ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4c －4∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2 )2－4x 1x 2＝[2＋2 2－( 2－22)]2＝32∴4 2－4( 4c －4)＝32，∴c ＝0∴y 2＝14x2，y 3＝1 8x2－1 （2）令x ＋1＝18x2－1，得x2－8x －16＝0 ∴x 3＋x 4＝8，x 3x 4＝－16∴(x 3－x 4)2＝(x 3＋x 4 )2－4x 3x 4＝82－4×(－16)＝128 ∴| x 3－x 4|＝82∴| CD |＝2×82＝16 （3）设P （0，t ），M （x ，y ）则PM 2＝x2＋(t －y)2＝x 2＋t 2－2t y ＋y2MG 2＝(y ＋1)2＝y2＋2y ＋1∵y ＝14x2，∴x2＝4y ∴PM 2＝4y ＋t 2－2t y ＋y2＝y2＋2y ＋1∴2y －2t y ＋t2－1＝0，即2y (1－t)＋(t2－1)＝0要使2y (1－t )＋(t2－1)＝0对任意y 恒成立则1－t ＝0且t2－1＝0，∴t ＝1∴当点P 的坐标为（0，1）时，PM ＝MG 恒成立此时PN 2＝x2＋(1－y)2＝x 2＋1－2y ＋y2NH 2＝(y ＋3)2＝y2＋6y ＋9∵y ＝18x2－1，∴x2＝8y ＋8 ∴PN 2＝8y ＋8＋1－2y ＋y2＝y2＋6y ＋9∴PN 2＝NH 2，即PN ＝NH 故存在点P （0，1），使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立设直线y ＝－1、y ＝－3分别与y 轴交于E 、F ，连接PG 、PH ∵MG 、NH 分别是直线y ＝－1、y ＝－3的垂线 ∴MG ∥NH ，∴∠PMG ＝∠PNH∵PM ＝MG ，PN ＝NH ，∴∠MPG ＝∠MGP ，∠NPH ＝∠NHP ∴∠MPG ＝∠NPH ，∴P 、G 、H 三点在同一直线上∴PMPN＝PGPH＝PEPF，又PE ＝1＋1＝2，PF ＝1＋3＝4 ∴PMPN＝24＝1 2 ，即PMPN 为定值1210．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x 轴交于A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点Q 在直线y ＝kx ＋1上移动，O 为原点，当m ＝4时，直线y ＝kx ＋1上只存在一个点Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线y ＝kx ＋1的解析式． 解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m)2－4a1 318x 2－1∵AC ⊥BC ，由抛物线对称性知△ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB ＝(m ＋2)－(m －2)＝4∴C （m ，－2），∴－4a ＝－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2(x －m)2－2（2）当m ＝4时，B （6，0），设直线y ＝kx ＋1与x 轴交于H （t ，0），与y 轴交于E （0，1） 并设OB 中点为G ，以OB 为直径作⊙G当直线与⊙G 切于点Q 时，只存在一个点Q 使得∠OQB ＝设HO ＝t ，∵HQ 是⊙G 的切线，∴∠GQH ＝90°＝∠EOH 又∠QHG ＝∠OHE ，∴△QHG ∽△OHE∴QGQH＝OEOH而QG ＝3，OE ＝1，∴QH ＝3OH ＝－3t 在Rt △中，QH 2＋QG 2＝HG 2∴(－3t)2＋32＝(3－t)2，解得t ＝0（舍去）或t ＝－3 4∴H （－34，0），把H （－3 4，0）代入y ＝kx ＋1，得－3 4k ＋1＝0，∴k ＝4 3∴所求直线为y ＝43x ＋111．（湖南娄底）已知二次函数y ＝x2－(m2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1 x 2＝12． （1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）由已知得：x 1＋x 2＝m2－2，x 1x 2＝－2m∵1 x 1 ＋ 1 x2 ＝ 12 ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝ 1 2 ，∴ m2－2 －2m ＝1 2解得m ＝1，或m ＝－2当m ＝1时，y ＝x2＋x －2，得A （－2，0），B （1，0）当m ＝－2时，y ＝x2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去∴这个二次函数的解析式为y ＝x2＋x －2 （2）由（1）得A （－2，0），B （1，0），C （0，－2）假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC 根据平移知识可得P （－1，2）经验证P （－1，2）在直线y ＝x ＋3上 故在直线y ＝x ＋3上存在一点P （－1，2），使四边形P ACB 为平行四边形12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．O xy（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值．解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点令y＝0，得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1综上所述：k的取值范围为k≤2（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1（*）将（*）代入(k－1)x12＋2kx2＋(k＋2)＝4x1x2中得：2k(x1＋x2)＝4x1x2又∵x1＋x2＝2kk－1，x1x2＝k＋2k－1∴2k·2kk－1＝4·k＋2k－1，解得：k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）∴所求k值为－1②∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－12)2＋32且－1≤x≤1由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝12时，y最大＝32∴y的最大值为3，最小值为－313．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：（1）解方程x2－2x－3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2＋(m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y＝mx2＋(m－3)x－3（m为常数）．①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．解：（1）由x2－2x －3＝0，得(x ＋1)(x －3)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3（2）方法一：由mx 2＋(m －3)x －3＝0得( x ＋1)(mx －3)＝0∵m ≠0，∴x 1＝－1，x 2＝3m方法2：由公式法：x 1,2＝3－m ±(m －3)2＋12m2m ＝ 3－m ±(m ＋3)22m ＝3－m ±|m ＋3|2m∴x 1＝－1，x 2＝3m（3）①1° 当m ＝0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝－3x －3令y ＝0，得x ＝－1，令x ＝0，得y ＝－3 ∴直线y ＝－3x －3过定点A （－1，0），C （0，－3）2° 当m ≠0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝(x ＋1)(mx －3)∴抛物线y ＝(x ＋1)(mx －3)恒过两定点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0）②当m ＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0） 观察图象可知，当△ABC 为直角三角形时，有△AOC ∽△COB ∴AOCO＝COBO，∴|OC |2＝|OA |·|OB | ∴32＝1×|OB |，∴OB ＝9，即B （9，0）∴当0＜3m＜9，即m ＞13时，△ABC 为锐角三角形 观察图象可知，当0＜m ＜13时，B 点在（9，0）的右侧，∠ACB ＞当m ＜0且m ≠－3时，点B 在x 轴的负半轴上，B 与A 不重合 ∴△ABC 中∠ABC ＞90º或∠BAC ＞90º，∴△ABC 为钝角三角形 ∴当0＜m ＜13或m ＜0且m ≠－3时，△ABC 为钝角三角形14．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx2＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1． （1）求证：n ＋4m ＝0； （2）求m 、n 的值；（3）当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．解：（1）将2代入顶点横坐标得：－n2m＝2，∴n ＋4m ＝0 （2）∵已知二次函数图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），且由（1）知n ＝－4m ∴x 1＋x 2＝－nm＝－－4mm＝4，x 1x 2＝pm∵x 1＜0＜x 2，∴在Rt △ACO 中，tan ∠CAO ＝OCOA＝OC－x 1在Rt △CBO 中，tan ∠CBO ＝OCOB＝OCx 2∵tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1，∴OC－x 1－OCx 2＝1 ∵x 1＜0＜x 2，∴OC ＝|p |≠0∴1x 1＋1 x 2＝－1 OC ＝－ 1 |p | ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝－1|p |∴4pm＝－1 |p |，∴p ＝－4m |p | ①当p ＞0时，m ＝－14，此时n ＝1 ②当p ＜0时，m ＝14，此时n ＝－1 （3）当p ＞0时，二次函数的表达式为：y ＝－14x 2＋x ＋p ∵二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x2＋x ＋py ＝x ＋3仅有一个解∴一元二次方程x ＋3＝－14x2＋x ＋p 即－1 4x2＋p －3＝0有两个相等根 ∴△＝02－4×(－14)×(p －3)＝0，解得：p ＝3 此时二次函数的表达式为：y ＝－14x2＋x ＋3＝－1 4(x －2)2＋4 ∵a ＝－14＜0，∴y 有最大值415．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝2x 和函数y 2＝－x ＋6，不论x 取何值，y 0都取y 1与y 2二者之中的较小值．（1）求y 0关于x 的函数关系式；（2）现有二次函数y ＝x2－8x ＋c ，若函数y 0和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围； （3）在（2）的结论下，若函数y 0和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．解：（1）y 0＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x＜2）－x ＋6（x≥2）（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）（2）∵对于函数y 0，y 0随x 的增大而减小，∴y 0＝－x ＋6（x≥2）又∵函数y ＝x2－8x ＋c 的对称轴为直线x ＝4，且a ＝1＞0 ∴当x ＜4时，y 随x 的增大而减小 ∴2＜x＜4（3）①若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内则x2－8x ＋c ＝－x ＋6，即x2－7x ＋(c －6)＝0∴△＝(－7)2－4(c －6)＝73－4c ＝0，得c ＝734此时x 1＝x 2＝72，符合2＜x＜4∴c ＝734②若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个在2＜x＜4范围外则△＝73－4c ＞0，得c＜734方法一：∵对于函数y 0，当x ＝2时，y 0＝4；当x ＝4时y 0＝2 又∵当2＜x＜4时，y 随x 的增大而减小若y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6在2＜x＜4内有一个交点 则当x ＝2时y ＞y 0；当x ＝4时y ＜y 0 即当x ＝2时y ≥4；当x ＝4时y ≤2也即⎩⎪⎨⎪⎧4－16＋c ＞416－32＋c ＜2 解得16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜18 综上所述，c 的取值范围是：c ＝734或16＜c＜18 方法二：由函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6的一个交点在2＜x＜4范围内，另一个交点在2＜x＜4范围外 可得：⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7＋73－4c 2 ＜47－ 73－4c 2 ＜2 或⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7－73－4c 2＜47＋73－4c2＞4解第一个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＜16c ＞18 即无解解第二个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＞16c ＜18即16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜1816．（甘肃兰州）若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理． 如果设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x 1，0），B （x 2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为： AB ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－b a )2－4c a＝b2－4aca2＝b2－4ac|a |． 参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求b2－4ac 的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac 的值； （3）当a ＝c ＝1，且∠ACB ＝90°时，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？解：（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB 于D ，则AB ＝2CD∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac∵a＞0，∴AB ＝b2－4ac|a |＝b2－4aca又∵CD ＝|4ac －b2|＝b2－4ac，∴b2－4ac＝2×b2－4ac－即(±22)2－4(1＋m)＝12，∴m ＝－2∴抛物线y ＝x2＋bx ＋1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB 的度数由90°变为60°。

2012中考数学压轴题及答案1.（2011年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22） 2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. （11浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．4.（11山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=xk (k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk (k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 7.(2011浙江义乌)如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值． 8. (2011浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积；②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．9.(2011山东烟台)如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.10.(2011山东烟台)如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11.2011淅江宁波)2011年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.(2011淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2的短开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ； 第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ．则:AD AB 的值是 ，AD AB ，的长分别是 ， ．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E F G H ，，，分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ，，，上，求DG 的长．（4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．13.（2011山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．14．（2011山东威海）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xk y的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1，则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为 ． 15．（2011湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.16.(2011年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（4） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．17.(2011年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(2011年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19.(2011年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？20.(2011年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB =35，sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.21.(2011年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式(3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CM CN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由 22.(2011年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22） 23.(天津市2011年)已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(2011年大庆市)如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．25. （2011年上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．26. （2011年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学．点B 在点M 的北偏西30的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60的23km 处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道建设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （2011年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．28. （2011年江苏省南通市）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x =上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x =于点E ，交BD 于点C.（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值.（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29.（2011年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）压轴题答案1.解：（1）由已知得：310cb c=⎧⎨--+=⎩解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x=-++(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形 =111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，BD=2222112BG DG +=+= BE=22223332BO OE +=+= DE=22222425DF EF +=+=所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆.2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，∴381032OAB tan =-=∠， ∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´，∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥，∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='， ○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----= 当t=2时，S 的值最大是34；○3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅= 综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<.3. 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况： ①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===． tan QR BA C CR CA==，366528x -+∴=，152x ∴=． 综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．4.解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴ AM AN AB AC =，即43x AN =． ∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC ＝22AB AC +=5．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ． ∴ AM MN AB BC =，即45x MN =． ∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =． …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=． ∴ 55258324x BM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==． ∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形．∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分 当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分 5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-k m） (2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ 一定是平行四边形②可能是矩形，mn=k 即可不可能是正方形，因为Op 不能与OA 垂直.解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-,的以直线AB 的解析式为 （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532, ∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+= ∴D(532,72) (3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为：133(2)224x x += 解得：23213x -±=所以P(23213-±,0)(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）………………………………………………………1分∴BG DE = C B G C D E∠=∠ 又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴ BC CG b DC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆………………………………………………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………………………1分 ∴22654BE DG +=………………………………………………………………………1分 （1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC =12……………………………………………2分 ②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分 （2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4），E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22b y b x -=-+，令4y =得3(8,4)2bP -．由已知可得2PE DE =即222232(8)(42)42b b b b ⨯-+-=+化简得2332640b b -+=解得121883b b P P ==∴=3b，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -； 第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即2222(48)(42)4b b b b -+-=+化简得22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =即2222844b b +=+解得12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）．综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=，则P 点的情形如下 11. 解：（1）设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x 千米， 由题意得1201023x x+=， ··········································································································· 2分 解得180x =．A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ·················································· 4分 （2）1.8180282380⨯+⨯=（元），∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ························ 6分（3）设这批货物有y 车，由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=， ·································································· 8分 整理得2604160y y -+=，解得18y =，252y =（不合题意，舍去）， ······································································ 9分∴这批货物有8车． ···············································································································10分12. 解：（1）21244a a ，，． ······························································································ 3分 （2）相等，比值为2． ··········· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG x =，在矩形ABCD 中，90B C D ∠=∠=∠=，90HGF ∠=，90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠，HDG GCF ∴△∽△，12DG HG CF GF ∴==， 22CF DG x ∴==． ················································································································ 6分同理BEF CFG ∠=∠．EF FG =， FBE GCF ∴△≌△，14BF CG a x ∴==-． ··········································································································· 7分CF BF BC +=，12244x a x a ∴+-=， ················································································· 8分解得214x a -=． 即214DG a -=． ··················································································································· 9分 （4）2316a ， ···························································································································10分 2271828a -． 12分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能． ……………………………………………………………………10分 由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34． 若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即=34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形． ∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能． ……………………………………………………………………10分 由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34． 若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即=34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．14.解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ．解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1∴y =x 2-2x -3 ··············································································································· 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ······························································································ 4分解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ······················································································ 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ··································································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ，在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ····················································· 6分∴切线CE 的解析式为3x 33y +=································································· 8分 (3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0) ··················· 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2 ··············································· 11分∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ···················································· 12分（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==，43QC =， 1CD ∴=，(13)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行．若PQ AC ∥，如图2，则OP OAOQ OC=， 即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤， 149t ∴=． ②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，。

数学压轴题集1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立， 求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分 因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。

所以，12a≥，所以min 12a =.……10分 （3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分 因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111,化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a--=, 解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a ,若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2)(1,2)x ϕ∈。

2012年中考数学压轴题专题：函数问题91. （2012山东菏泽10分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？【答案】解：（1）画图如下：由图可猜想y 与x 是一次函数关系，设这个一次函数为(0)y kx b k =+≠，∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）两点，∴5002040030k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10700k b =-⎧⎨=⎩。

∴函数关系式是10700y x =-+。

经验证，其它各点也在10700y x =-+上。

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得：22W (10)(10700)10800700010(40)+9000x x x x x =--+=-+-=--，∴当40x =时，W 有最大值9000。

（3）对于函数2W 10(40)+9000x =--，当35x ≤时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。

【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值和增减性。

【分析】（1）利用表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再取任意两点用待定系数法得出y 与x 的函数关系式，求出即可。

（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W (10)(10700)x x =--+，从而利用二次函数最值求法得出即可。

二次函数压轴题1. (2010彬州市）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.2. (常德）如图9，已知抛物线212y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式；(2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当CEF 的面积是BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标.y xCBAOE y xCBAOE第26题图（1）图（2）ABO C图9yx3.（长沙）已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．4．(长春）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2＋2x 与直线y ＝ 12x 交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ． (1)求OA 所在直线的解析式． (2)求a 的值．(3)当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．(4)如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝ 32．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．OOA ABB CCP DEQ P DN MR Eyyxx 图①图②5．（滨州市）（本题满分l0分）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线cbxaxy++=2恰好经过x轴上A、B两点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?6.(毕节地区）（16分）如图在平面平面直角系中，抛物线2(0) y ax bx c a=++≠的图象与轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点。

2012中考数学压轴题精选精析（81-90例）一、解答题1、(2011年湖北随州十校联考数学试题)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. 连结AP，△APB为等腰直角三角形。

(1)求a的值和点P、C、D的坐标；(2)连结BC、AC、AD。

将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S。

①当点E在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E在线段CD(端点C、D除外)上运动时，设E(0，b)，用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P（2，-1） C（0，3） D（0，-3），（各1分，共4分）（2）画出图形（1分）可用相似三角形的面积求S=23（2分）（3）当b≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b=-（2分）当b=0时，S=32（1分）当b＜0时 BD旋转后经过A时，b=-1①-1＜b≤0时，（2分）②b＜-1时（2分）2、(2011年重庆一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC中，AC=BC=4,90oACB∠=直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与AEF∆重叠的面积为S．(1)求折痕EF的长；(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线342++=xxy的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.解：（1）折痕2EF=（2）2t=（s）（3）212,(02).2s t t t=-+≤≤1,(222).s t=≤≤2121,(2232).4s t t t=-+-≤≤21228,(3242).4s t t t=-+≤≤3、（2011泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；(2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α度(0<α<90)后与抛物线的另一个 交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 为顶点的四边形能否是平行 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-= ……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2011年山东三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ··· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··························································································· 4分）∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ······································ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ··············································· 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m -①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MG CA∵A G=1m --，MG=21m -即211322m m ---= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---= A BC 'MA 'O xyO ' CD第28题图CPByAoxEyPAoGMC ByPAox解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ··········································································· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴ 211322m m +-= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m +-= 解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ·································· （12分）5、(2011年深圳市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3，所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分(2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0）∴ CD ＝23，AN ＝23，AD =2，CN =2∴CD ＝AN ，AD =CN∴ 四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。

1．如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．得，解得﹣，所以，抛物线解析式为﹣﹣﹣﹣或（﹣﹣x=（（）或（2、.已知抛物线 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且OA OC 3=． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD =2，以OD 为边作正方形ODEF .将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）. 求：①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.c ax ax y +-=222.解答:（1）∵ A （-1,0）, OA OC 3= ∴C （0,-3） ………1′∵抛物线经过A （-1,0）, C （0,-3） ∴)()⎩⎨⎧=+-⨯-⨯--=012132c a a c∴⎨⎧-==31c a ∴y=x 2－2x －3 (3)（2）直线BC 的函数表达式为y=x －3（3）当正方形ODEF 的顶点D 运动到直线BC 上时，设D 点的坐标为（m ，-2）， 根据题意得： -2=m-3，∴m=1 …………………6′①当0＜t ≤1时S 1=2t …………………7′ 当1＜t ≤2时S 2=OO DDS 11矩形－HGDS 1∆ =2t －()2121-⨯t=－213212-+t t …………………9′②当t =2秒时，S 有最大值，最大值为 ……………10′（4）M 1（－12-，0） M 2（12-，0） M 3（63-，0） M 4（63+，0 ）………………14′3如图，抛物线32-+=bx ax y 交y 轴于点C ，直线 l 为抛物线的对称轴，点P 在第图1 图227三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为310，到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A ，连接AC 交直线 l 于B. （1）求抛物线的表达式；（2）直线m x y +=43与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F,连接BD 交y 轴于点E ，且DE:BE=4:1.求直线m x y +=43的表达式；（3）若N 为平面直角坐标系内的点，在直线m x y +=43上是否存在点M ，使得以点O 、F 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.3.解答：（1）∵抛物线32-+=bx axy 交y 轴于点C∴ C （0，-3）则 OC=3 ……………1分 ∵P 到x 轴的距离为310，P 到y 轴的距离是1且在第三象限 ∴P （-1，-310） ……………2分∵C 关于直线l 的对称点为A∴A （-2，-3） ……………3分 将点A （-2，-3），P （-1，-310）代入32-+=bx axy有⎪⎩⎪⎨⎧-=---=--31033324b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231b a ………………………5分 第26题图∴抛物线的表达式为 332312-+=x x y ………………………6分（2）过点D 做DG ⊥y 轴于G ，则∠DGE=∠BCE=90°∵∠DEG=∠BEC ∴△DEG ∽△BEC∵DE:BE=4:1 ∴14==BEDE BCDG 则DG=4 ………………………7分将x=4代入332312-+=x x y ，得y=5则 D （4,5） ………………………8分 ∵m x y +=43过点D （4,5）∴m +⨯=4435 则 m =2 ………………………9分∴所求直线的表达式为 243+=x y (10)分（3）存在 M 1516,58( M 254,58(-M 3)1,34(- M 42514,2548(-………………………14分4．在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 3(-，0)、B(0，3)、C （1，0）三点．(1) 求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转 60,与直线x y -=交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使得∠MON= 75．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点P 、Q 分别是抛物线c bx ax y ++=2和直线x y -=上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．4解答．(1)解：由题意把A(-3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入c bx ax y ++=2列方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-03039c b a c c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ．……1分 ∴抛物线的解析式是322+--=x x y ． ……2分 ∵4)1(3222++-=+--=x x x y ，∴抛物线的顶点D 的坐标为（－1，4）．…… 3分（2）存在．理由：方法（一）：由旋转得∠EDF=60°， 在Rt △DEF ∴EF=DE×tan60°=43．∴OF=OE+EF=1+4 ∴F 点的坐标为（341--，0）．……1 设过点D 、F 的直线解析式是b x y +=κ 把D （－1，4），F （341--，0）代入求得 33433++=x y ．……2分分两种情况:①当点M 在射线ND 上时， ∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON ﹣∠BON=30°．∴∠MOC=60°．∴直线OM 的解析式为y =3x ．……3分 ∴点M 的坐标为方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=x y x y 333433的解，解方程组得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2362132y x ． ∴点M 的坐标为（2132+，236+）．……4分②当点M 在射线NF 上时，不存在点M 使得∠MON=75°理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°， ∴∠FOM=∠MON －∠FON=30°. ∵∠DFE=30°,∴∠FOM=∠DFE ．∴OM ∥FN ．∴不存在……5分 综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（2132+，236+）．方法（二）①M 在射线ND 上，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ， 由旋转得∠EDF=60°， 在Rt △DEF 中，∵∠EDF=60°，DE=4 ∴EF=DE×tan60°=43．∴OF=OE ﹢EF=1+43．……2分 ∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠∴∠MOC=60°．在Rt △MOP 中，∴ 在Rt △MPF 中，∵tan ∠MFP=PFMP ，∴=++3413OP OP 33．……3分∴OP=23﹢21．∴MP=6﹢23．∴M 点坐标为（23﹢21、6﹢23）．……4分②M 在射线NF 上，，不存在点M 使得∠MON=75°理由:∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON ﹣∠FON=30°． ∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE ．∴OM ∥DN ． ∴不存在．……5分 综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（2132+，36（3）有两种情况①直角梯形OBPQ 中，PQ ∥OB ，∠如图3，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB ∥OA ． 所以点P 、B 的纵坐标相同都是3．……1分 因为点P 在抛物线322+--=x x y 上，把=y 3代入抛物线的解析式中得x １＝0（舍去） ， x 2＝﹣2．由PQ ∥OB 得到点P 、Q 的横坐标相同， 都等于-2．把x ＝﹣2代入=y ﹣x 得y ＝2．所以Q 点的坐标为（-2，2）．……3分②在直角梯形OBPQ 中，PB ∥OQ ，∠BPQ=90°． 如图4，∵D(-1，4)，B(0，3) ，∴DB ∥OQ ．∵PB ∥OQ ， 点P 在抛物线上，∴点P 、D 重合．……1分 ∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4． ∴OF=OE+EF=5．……2分作QH ⊥x 轴于H ，∵∠QOF=∠QFO=45°， ∴OQ=FQ ．∴OH=21OF=25．∴Q 点的横坐标﹣25．∵Q 点在=y ﹣x 上，∴把x ＝﹣25代入=y ﹣x 得=y 25．∴Q 点的坐标为（﹣25，25）．…… 3分综上，符合条件的点Q 有两个,坐标分别为：（-2，2），（-25，25）．※ 试题其他方法参照给分5.如图，已知抛物线经过原点O 和 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与 轴交于点D.直线 经过抛物线上一点B （-2，m ）且与轴交于点C ， 与抛物线的对称轴交于点F.（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P 是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ,求出所有符合条件的点P 的坐标； （3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由.第26题图 备用图5.解答：（1）∵点B(-2,m)在直线12--=x y 上∴m=3 即B （-2，3）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分 又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2∵点B （-2，3），A （4，0）在抛物线上∴⎩⎨⎧=+=-0416324b a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==141b a∴设抛物线的解析式为x x y -=241 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分x 12--=x y y ),(yx（2）∵),(y x P 是抛物线上的一点 ∴)41,(2x x x P -若ADC ADP S S ∆∆= ∵OC AD S ADC ⋅=∆21 y AD S ADP ⋅=∆21 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分又∵点C 是直线12--=x y 与y 轴交点 ∴C(0,1) ∴OC=1 ∴1412=-x x ， 即1412=-x x 或1412-=-x x解得：2,222,2224321==-=+=x x x x∴点P 的坐标为 )1,2(),1,222(),1,222(321--+P P P ┅┅┅ 10分 （3）存在： ,541-=t ,62=t,543+=t ,2134=t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅。

辽宁省各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题一、选择题1. （2012辽宁鞍山3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】分别求出点P在DE、AD、AB上运动时，S与t的函数关系式，结合选项即可得出答案：根据题意得：当点P在ED上运动时，S=12BC•PE=2t；当点P在DA上运动时，此时S=8；当点P在线段AB上运动时，S=12BC（AB+AD+DE－t）=5－12t。

结合选项所给的函数图象，可得B选项符合。

故选B。

2. （2012辽宁本溪3分）如图，已知点A在反比例函数4y=x图象上，点B在反比例函数ky=x(k≠0)的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC=13OD，则k的值为【】A 、10B 、12C 、14D 、16 【答案】B 。

【考点】反比例函数的图象和性质。

【分析】由已知，设点A （x ，4x），∵OC=13OD ，∴B （3x ，k 3x）。

∴4k =x 3x，解得k=12。

故选B 。

3. （2012辽宁朝阳3分）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数2k +4k+1y=x的图象上，若点A 的坐标为（－2，－3），则k的值为【 】A.1B. －5C. 4D. 1或－5 【答案】D 。

【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】如图：∵四边形ABCD 、HBEO 、OECF 、GOFD 为矩形，又∵BO 为四边形HBEO 的对角线，OD 为四边形OGDF 的对角线， ∴BEO BHO OFD OGD CBD ADB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，，。