研究性学习设计 函数的基本性质

1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）第一篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 教学重点/难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：1、说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2、指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（3）（4）二、新课教学（一）函数最大（小）值定义2）（1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2）利用图象求函数的最大（小）值3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为625px的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为为旅馆一天的客房总收入，元时，住房率为为与房价160相比降低的房价，因此当房价，于是得=150··．由于≤1，可知0≤≤90．的最大值的问题．因此问题转化为：当0≤将≤90时，求的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50x＋17600．由于二次函数1在x=25时取得最大值，可知y也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P37例4）求函数解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？在区间[2，6]上的最大值和最小值．课堂小结归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？板书略第二篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2. 教学重点/难点教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1 随x的增大，y的值有什么变化？2 能否看出函数的最大、最小值？3 函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x1 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+11 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x21 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．2 在区间____________ 上， f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1 任取x1，x2∈D，且x12 作差 f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．一、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1任取x1，x2∈D，且x12作差f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：1课本P38练习第3题； 2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．一、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论二、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，1求f(0)、f(1)的值；2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．课堂小结1、归纳小结，强化思想2、函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，（1）求f(0)、f(1)的值；（2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．板书略第三篇：1.3函数的基本性质教学设计1.3 函数的基本性质一、教材分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。

高中数学教案：函数的基本性质一、函数的定义和表达形式函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。

具体地说，如果存在一个规则将一个数集中的每个元素和另一个数集中的唯一一个元素对应起来，那么这个规则就称为函数。

函数可以用多种形式来表示。

常见的函数表达形式有两种：算式表示和图像表示。

在算式表示中，函数可以用一个显式的算式来表示，例如 f(x) = 2x + 1。

这个算式表示了一个线性函数，在给定x的值时，可以求出f(x)的值。

在图像表示中，函数可以用图像的方式来表达，例如将函数的所有点绘制在坐标系中形成的曲线。

图像表示可以直观地展示函数的性质和规律。

二、函数的定义域和值域函数的定义域是指函数中自变量（通常用x表示）的取值范围。

在定义域内，函数是有意义的，而在定义域外，函数没有定义。

例如，对于函数 f(x) = 1/x，由于0不在其定义域内，所以当x等于0时，函数没有定义。

函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。

值域可以通过分析函数的定义域和图像来确定。

对于函数 f(x) = 2x + 1，可以发现随着x的取值增加，f(x)也会增加，因此函数的值域是所有实数。

三、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，它与函数的定义域和图像有关。

如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。

如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。

如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，那么它就是一个既非偶函数也非奇函数的普通函数。

通过观察函数的图像或利用性质判定，可以确定一个函数是否为偶函数或奇函数。

例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数，而函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。

四、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。

如果函数在定义域内的任意两个数x1和x2满足x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是递增函数。

§函数的基本性质教材分析函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。

基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。

学情分析学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。

另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。

总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。

教学建议以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。

教学目标知识与技能（1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征（2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性（3）单调性与奇偶性的综合题（4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力过程与方法（1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念（2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学情感、态度与价值观（1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳（2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达课时安排（1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时（2）习题课：5课时第一课时 单调性教学重点借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题教学难点（1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述（2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取21,x x ，且21x x <”的理解）教学过程一、由特殊到一般，引入课题学生画图x y =与x y -=，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受. 提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征函数值有什么样的变化特点能否借助函数定义中x 和y 的对应来表达这种变化的规律二、新课教学老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律（统一从左往右看意即我们规定自变量x 越来越大的情况下，上升意味着函数值y 越来越大，下降意味着函数值y 越来越小.）一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势.三、重点强调1——单调区间老师板书函数图象2x y =，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调性是不一致的，即单调性是一个区间概念.例1 图是定义在区间]5,5[-上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数注记：①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理.②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号Y 、“或”字，加一个逗号就行了.（因为]5,3[)1,2[Y -代表的是一个集合，任取21,x x 的时候有可能是]5,3[1∈x 而)1,2[2-∈x ，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）.③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域}7,5,3,1{是不谈单调性的.练习 xy 1=的单调区间是什么四、重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小例2 物理学中的玻意尔定律Vk p =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明之由于k 为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自变量21,x x ，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想——逻辑证明.五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比较函数值的大小关系.重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值，必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大），在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作.第一，在指定区间任意取21,x x ，并且21x x <.第二，做差Λ=-21y y ，为了便于判断符号必须变形至①出现21x x -，②出现多项式乘除的形式.第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意逻辑！六、课堂回顾本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数.单调区间的写法七、作业P 39 T 1-3八、板书设计九、教后记第二课时 最大（小）值教学重点（1）进一步复习巩固单调性的概念（2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题教学难点最值定义的数学语言表述的抽象过程教学过程一、复习旧知学生画图x y =与12+=x y ，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否在两个图中找出最低点和最高点如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最低点对任意的R x ∈，都有1)(≥x f ，那么函数值1就是函数12+=x y 的所有函数值中最小值.对于函数12+-=x y 容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值. 二、定义一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；②存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值，最小值的概念请一个学生口述.最大值的图形特征是图像中的最高点，是函数值当中的最大的；最小值的图形特征是图像中的最低点，是函数值当中的最小的.三、强调在定义中，最值首先必须是定义域内的自变量对应的函数值，并且是唯一的.反例：如图，对于任意的I x ∈，是否有1)(M x f ≤1M 能否作为函数的最大值提问：函数x y 5=，}5,4,3,2,1{∈x 值域是 定义域是 单调区间 最大值是 最小值是四、例题例 3 “菊花“烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm 与时间ts 之间的关系为187.149.42++-=t t h ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度是多少（精确到1m ）审题：何时爆裂最佳即问何时高度最高直接画出图象求顶点坐标，写出结果.例4 已知函数])6,2[(12)(∈-=x x x f ，求函数的最大值与最小值 强调：观察——猜想——证明——求解这一逻辑过程.五、课堂练习与作业练习P 32T 5 作业P 39T 4-5六、课堂小结1、函数最值的定义2、求最值的一般方法①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数，可画出草图，由函数图象的性质直接写出最值.②不熟悉的函数先画草图，观察单调性，用定义证明单调性，利用单调性求最值.七、教后记第三课时 奇偶性教学重点规范地用定义去判断函数的奇偶性以及奇偶性的图形特征教学难点分段函数奇偶性问题的处理教学过程一、导入及新课1、观察图，找出两个函数有什么共同特征如何定量的表示这种关系2.一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 就叫做偶函数.偶函数的图形特征是关于y 轴对称！3、再观察图，类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义.①奇函数的图形特征是关于原点对称！②学生思考计算：在奇函数中，若0在定义域内的话，利用定义如何计算)0(f 的值（提示：“任意”二字的特殊化处理，从一般走向特殊）4、利用奇偶函数的图形特征，考察函数0=y 的奇偶性5、再看图两个图像是否关于y 轴对称是不是偶函数为什么二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法例1 判断下列函数的奇偶性①]3,2(,)(2-∈=x x x f ②)2,2(,1)(2-∈-=x x x f③R x x x f ∈-=,)1()(2 ④x x f =)( ⑤x x x f +=2)( 判别奇偶性的一般步骤：（学生总结）第一，判别函数定义域是否关于原点对称；第二，判别)(x f 与)(x f -三、奇偶性函数图象的画法例2 P 35 P 36T 21、奇函数关于原点对称，如何体现在画图中2、通过P 36T 2要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化四、分段函数的奇偶性解析式把P 35思考问题变换成如下问题：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f +=3)(，求)(x f 的解析式解略条件变为)(x f 是奇函数，学生独立完成，强调分段函数的各段能合并则合并. 五、回顾小结1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征3、分段函数的奇偶性问题六、作业P39T6七、板书设计八、教后记。

《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。

以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。

函数的定义域和值域可以用图像来表示。

2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。

可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。

4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。

5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。

极大值和极小值统称为极值。

6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。

7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。

8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。

10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。

复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。

函数的基本性质函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）定理1： 那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间） 若 ，那么上是增函数； 上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数 和 ，如果函数 在区间 上具有单调性，当 时 ，且函数 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：(1)当 和 具有相同的增减性时，① 的增减性与 相同，② 、 、 的增减性不能确定；(2)当 和 具有相异的增减性时，我们假设 为增函数， 为减函数，那么：① 的增减性不能确定；② 、 、 为增函数， 为减函数。

4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数 的图象的对称性（自身）:定理1: 函数 的图象关于直 对称特殊的有：①函数 的图象关于直线 对称 。

②函数 的图象关于 轴对称（奇函数） 。

③函数 是偶函数 关于 对称。

定理2：函数 的图象关于点 对称特殊的有：① 函数 的图象关于点 对称 。

② 函数 的图象关于原点对称（奇函数） 。

③ 函数 是奇函数 关于点 对称。

定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组张驰1. 单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I A .如果对于区间I内的_______ 两个值X i , X2 ,当X i<X2时，都有f(x i) ________ f(X2), 那么y =f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y = f X的单调____________ 区间•如果对于区间I内的_________ 两个值X i , X2，当X i<X2时，都有f (X i) ______ f(X2),那么y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y f (x)的单调_______ 区间.如果函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么函数y = f (x)在区间I上具有___________ .点评单调性的等价定义：① f (x)在区间M上是增函数二_x i,x^ M ,当％：：：x2时，有f(X i) - f(X2)：：0二(％_x2) [ f (Xj) _ f (x2)] 0 f (Xi)——f (X2)• 0 二― 0 ；% - x2A x②f (x)在区间M上是减函数=■ X i,x^ M ,当X i ：：：X2时，有f(X i) - f(X2)0 二(% _x2) [ f (xj 一 f (x2)] ：：0= f (Xi)__f (X2)::: 0：= —y：：：0 ;X r —X2A x⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法 (用于小题)，⑥结论法等.注意：①定义法(取值一一作差一一变形一一定号一一结论) ：设X i, X2 • [a, b]且X i -X2，那么化-x2) [f (xj - f (x2)] • 0：= f (Xi)一f(X2)0= f (x)在区间[a，b]上是增X r _ X2函数；(％ -x2) [ f (xj - f (x2)] ：：0 = f (Xi)—：：0 f (x)在区间[a，b]X i —X2上是减函数。

初一数学函数基本性质总结与应用函数是数学中常见且重要的概念，它是数学模型中描述变量之间关系的工具。

在初一数学中，我们学习了函数的基本性质及其应用。

本文将对初一数学函数的基本性质进行总结，并探讨其应用。

一、函数的基本定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。

在数学中，函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

在初一数学中，我们主要学习了以下函数的基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域反映了函数的取值范围。

定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。

2. 解析式和图像：函数可以通过解析式表示，也可以通过图像表示。

解析式可以清晰地描述函数的性质，而图像能直观地展示函数的图形。

3. 奇偶性：函数的奇偶性表明了函数的对称性。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。

4. 单调性：函数的单调性表示了函数的增减趋势。

严格递增函数在定义域内任意两点都有f(x₁) < f(x₂)，严格递减函数在定义域内任意两点都有f(x₁) > f(x₂)。

5. 零点：函数的零点是使得函数等于零的自变量值。

求解函数的零点可以帮助我们找到方程的解。

6. 最大值和最小值：函数的最大值和最小值分别是函数在定义域内的最大值和最小值。

通过求解函数的最值，我们可以在数学建模和优化问题中找到最优解。

二、函数的应用函数是数学中应用广泛的工具，下面列举一些常见的函数应用：1. 几何应用：函数在几何学中经常用于描述图形的性质。

例如，二次函数可以用来描述抛物线的形状；正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性图形。

2. 经济应用：函数在经济学中有着重要的应用。

例如，利润函数可以用来描述企业的利润与产量之间的关系；需求函数可以用来描述商品需求与价格之间的关系。

函数的定义与性质函数在数学中是一种非常重要的概念，它描述了一种特定的关系，将一个集合的元素映射至另一个集合。

在本文中，我们将讨论函数的定义及其性质，并探究函数在数学领域中的应用。

一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。

具体而言，设有两个集合X和Y，如果对于X中的每个元素x，都存在唯一的元素y属于Y与之对应，那么我们说y是x的函数。

通常用符号f(x)来表示函数y与x之间的关系。

例如，考虑一个函数f(x)，它将实数集R中的每个元素x映射到实数集R中的一个唯一元素y。

这样的函数可以用一个数学表达式y = f(x)来表示。

函数的定义域为所有可能的x值，而值域则是函数在定义域上所能取得的所有y值。

二、函数的性质函数具有一些特定的性质，这些性质使得函数在数学中具有广泛的应用。

1. 定义域和值域：一个函数的定义域是其自变量可以取值的范围，值域则是其因变量可以取得的所有值。

2. 单调性：一个函数被称为单调递增，如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)。

类似地，当f(x1) ≥ f(x2)时，函数被称为单调递减。

3. 奇偶性：如果对于定义域中的每个x，有f(-x) = -f(x)，则函数被称为奇函数。

相反，如果对于定义域中的每个x，有f(-x) = f(x)，则函数被称为偶函数。

4. 反函数：对于一个函数f，如果对于定义域内的任意x1和x2，当f(x1) = f(x2)时，有x1 = x2，那么函数f具有反函数。

反函数通常被表示为f^(-1)。

5. 复合函数：给定两个函数f和g，我们可以构建一个复合函数f(g(x))，它将x的值通过g映射到一个中间结果，然后再通过f映射到最终结果。

三、函数的应用函数的应用广泛而多样，涵盖了各个学科领域。

1. 数学分析：函数是数学分析中的核心概念，它被用于描述曲线的性质、求解方程、进行数值计算等。

2. 物理学：函数在物理学中被用于描述物理量之间的关系，如速度与时间的函数关系、力与位移的函数关系等。

函数的基本性质(三)主讲老师：翁家根一.基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.二.例题：1.若()2f x ax bx c =++是偶函数,则()32g x ax bx cx =++是………………………( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数2.函数()(1f x x =-( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数 3．函数11y x x=++的值域是………………………………………………………………( ) A.（-∞，-1] B.[3，+∞）C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1]∪[3，+∞）4.若(]0,2x ∈时,不等式()221log a x x -->恒成立,则实数a 的取值范围是…………( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,+∞) D.[)2,+∞ 5.函数()212log 23y x x =--的单调递减区间是__________;6.若函数()f x 的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上是增函数, ()30,f -=则不等式()0xf x <的解集为_______________________7.要选择一块面积为2800m 的矩形地皮挖成一鱼塘，并在边上分别留出2m 和1m 的小路，如图1-2-1，则鱼塘面积( )A.最小值为2648m B.最大值为2648mC.最小值为2968mD.最大值为2968m8.判断下列函数的奇偶性,并说明理由:(1)()f x =;(2)()f x =;(3)()02322(2)22x f x x x x x x +=+-∙+--; (4)()()()()2223,00023,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪==⎨⎪-+-<⎪⎩9.已知函数23()(1)1x f x x x +=≠-+（1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 的反函数)(1x f-；（3）证明：)(1x f -在(2，+∞)上为减函数。

引言概述：在计算机编程中，函数是一种非常重要且常用的概念。

函数的基本性质是我们理解和应用函数的关键，它们帮助我们确保函数的正确性、可读性、可维护性以及可扩展性。

在本文中，我们将探讨函数的基本性质的知识点，并详细阐述每个知识点的含义和应用。

正文内容：1.返回类型（ReturnType）1.1定义和作用1.2不同返回类型的使用场景1.3如何选择返回类型1.4返回类型的限制1.5返回类型的注意事项2.参数（Parameters）2.1什么是参数2.2参数的分类2.3参数的使用方法2.4参数的传递方式2.5参数的默认值和可变参数3.函数重载（FunctionOverloading）3.1重载的定义和作用3.2如何进行函数重载3.3重载的使用场景3.4重载的注意事项3.5重载和函数签名4.作用域（Scope）4.1什么是作用域4.2作用域的分类4.3作用域的生命周期4.4作用域的变量4.5作用域的作用范围和影响5.递归（Recursion）5.1递归的定义和原理5.2递归的使用场景5.3递归的优缺点5.4递归的边界条件5.5递归的注意事项和性能优化总结：函数的基本性质是程序设计中不可或缺的一部分。

通过理解和掌握函数的返回类型、参数、函数重载、作用域以及递归等知识点，我们能够更好地编写可靠、高效和易于维护的代码。

在实际的编程过程中，我们需要在正确性和可读性之间进行权衡，并根据具体的要求选择合适的函数设计方案。

同时，我们还需要注意函数的使用注意事项，以及优化递归算法的方法，以提高程序的性能。

通过不断的学习和实践，我们可以不断提升自己在函数设计和使用方面的能力，从而写出更加高质量的代码。

学会研究函数的基本性质函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。

函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。

包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。

定义域相等且对应法则一致的两个函数称为相同的函数。

一个函数建立好（确定了定义域和解析式）后，我们就需要对这个函数的基本性质进行研究，以便应用这些性质去解决方程、不等式等问题。

本周我们就是主要学习了函数的基本性质。

掌握了这些性质的定义，我们就知道对于一个给定的函数应当从哪些方面进行研究，如何研究，应用这些性质又可以得到什么样的结论。

函数的基本性质包括函数的奇偶性、单调性、最大值与最小值和函数零点（下周学习）以及函数的周期性（下学期学习）。

下面我们重点讲一讲函数的奇偶性、单调性和最大值与最小值概念的理解与研究方法。

一、概念的理解函数的奇偶性：如果对于函数的定义域D内的任意实数x，都有，那么就把函数叫做偶函数如果对于函数的定义域D内的任意实数x，都是，那么就把函数叫做奇函数函数的单调性：如果对于属于某个给定区间的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增函数。

如果对于属于某个给定区间的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是减函数。

函数的最大值与最小值：设函数在x0处的函数值是，如果对于定义域内任意x，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意x，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作从上面给出的定义可以看到，这些概念的定义都是类似的，都是规定了函数的某种关系的成立，而这种关系的成立是针对自变量在某个集合而言的。

奇偶性可以理解为等式对定义域内任何实数x恒成立，那么这个函数叫做偶函数 [奇函数]。

单调性可以理解为不等式对给定区间上的任何实数恒成立，那么叫做这个函数在这个区间上是增函数 [减函数]。

最值可以理解为不等式对定义域内任何实数x恒成立，那么叫做函数的最小值 [叫做函数的最大值]。

函数的基本性质xx年xx月xx日•函数的定义和表示•函数的性质•初等函数目录•函数的扩展和深化•应用领域01函数的定义和表示函数是一种从集合A到集合B的映射关系，即f:A->B。

集合A中的每一个元素都有唯一对应集合B中的一个元素。

函数的定义图象法用图象表示函数关系，形象直观，易于观察，但处理复杂数据时不够直观。

函数的表示常用的函数表示方法有解析法、表格法和图象法。

解析法用数学式子表示函数关系，简单清晰，易于理解。

表格法用表格列出函数自变量和因变量的对应关系，直观易懂，但精度较低。

自变量定义在函数定义域内的输入变量，也称自变量。

值域因变量的取值范围。

因变量定义在函数值域内的输出变量，也称因变量或函数值。

对应关系自变量与因变量之间的映射关系。

定义域自变量的取值范围。

函数的三要素定义域、对应关系和值域，缺一不可。

函数的基本要素02函数的性质定义域函数输入值的集合，表示为$D f$或$dom f$。

值域函数输出值的集合，表示为$R f$或$ran f$。

函数的定义域和值域函数值在定义域内随自变量增大而增大，记为$f(x)$在$dom f$上递增。

减函数函数值在定义域内随自变量增大而减小，记为$f(x)$在$dom f$上递减。

增函数VS奇函数对于函数$f(x)$，如果对于任意的$x \in dom f$，都有$f( - x) = - f(x)$，那么函数$f(x)$是奇函数。

偶函数对于函数$f(x)$，如果对于任意的$x \in dom f$，都有$f( - x) = f(x)$，那么函数$f(x)$是偶函数。

•周期函数：对于函数$f(x)$，如果存在一个非零常数$T$，使得对于任意的$x \in dom f$，都有$f(x+ T) = f(x)$，那么函数$f(x)$是周期函数，且$T$是它的一个周期。

函数的周期性03初等函数定义形如 $f(x) = x^n$ 的函数称为幂函数。

特性幂函数的图像是单调递增或递减的，取决于指数 $n$ 的正负。

函 数 的 基 本 性 质 和 特 征一． 函数的基本性质1. 函数的单调性：1212),,f x D x x D x x ∈<函数（的定义域为，任给，且1212)(0f x f x x x ->-（）若1212()(()())0x x f x f x ⇔-->，则函数)f x （是单调递增函数；12121212)(0()(()())0f x f x x x f x f x x x -<⇔--<-（）若，则函数)f x （是单调递减函数； 2. 函数的奇偶性：函数)f x （的定义域为D ，D 关于原点为对称， ()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=---∈---若（则为奇函数。

或）则为奇函数。

()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=--∈--若（则为奇偶函数。

或）则为偶函数。

3. 函数的周期性：(=()()f x T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。

(=()()f kx T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。

(=()()f x T f x f x T +-若），则函数是以2为周期的周期函数。

1(=()()f x T f x T f x +若），则函数是以2为周期的周期函数。

1(=()()f x T f x T f x +-若），则函数是以2为周期的周期函数。

(=()()mf x T m f x T f x +-≠若），(0),则函数是以2为周期的周期函数。

()()Tf x T f x ϖϖ若的周期是，则的周期为。

1(()()21(f x f x T f x T f x -+=+），则是以为周期的周期函数。

） 1(()()1(f x f x T f x T f x -+=-+），则是以4为周期的周期函数。

大足二中红杏杯赛课活动教学预设第1页共2页运用新知解决新情布置作业能力迁移数学建模法解决生活中的实际问题案例分析教学预设研究性学习组王贵教学目标:通过具体建模案例的教学，使学生掌握数学建模的基本思想、基本方法；掌握用数学建模法进行研究性学习的一般过程，并能进入一个实际操作的状态；通过数学模型有关的概念与特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生双向翻译能力、数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机处理函数图像的能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力、协作能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力，从而达到学以致用的目的。

教材分析：研究性学习课本身没有体系化的内容，具有开放性和可探究性的特点。

研究性学习的内容是从生活中发现问题，提出问题，它涉及学生的学校生活、家庭生活和社会生活等学生的整个“生活世界”。

因此研究性学习的内容可以由学生自己选择确定，也可以由教师提供选题建议；可以来源于课本知识和课堂教学，也可以产生于家庭或社会生活；可以是对自然现象的研究，也可以是对社会问题的探讨。

与一般学科课程相比，研究性学习在内容上更广泛、更灵活、更富有弹性。

在新课程计划中，研究性学习是综合实践活动课程的最重要的部分，它旨在引导学生关注社会、经济、科技和生活中的问题，通过自主探究、亲历实践综合地运用已有的知识和经验解决问题，学会学习，培养学生的人文精神和科学素养。

本节课就是讨论运用研究性学习方法之一的数学建模法处理生活中的实际问题的案例教学，通过讨论网络约车与传统约车的两种模式消费对比，解决如何合理选择交通方式这一案例，达到抛砖引玉的作用，学生达到学以致用的目的。

教法设计：基于上面的教材分析，我根据自己对研究性学习“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合本校学生实际，主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。

二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。

函数的基本性质基础知识：1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系；的关系；○3 作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。

是奇函数。

（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

我的函数的基本性质教案1. .函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.注：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.2. 奇偶函数的图象特征函数奇偶性的判定奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.注：对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 注：若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.3. 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.4. 两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.5. 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 7. 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x +-=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.8. 分数指数幂(1)1m nnm a a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. 根式的性质（1）()nn a a =.（2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.10. 有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2)()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).11. 对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2)log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.注：设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<.四．典例解析题型一：判断函数的奇偶性例1．讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R，，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。