2019-2020年高三上学期12月月考数学(理)试题2含解析

三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}22,3,4,230A B x x x ==∈+-<N ，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52.复平面内表示复数622iz i+=-，则z =A. B. C.4 D.3.若非零实数,a b 满足a b >，则A.22ac bc> B.2b a a b+> C.e1a b-> D.ln ln a b>4.函数()cos f x x x =的图像大致是A ．B ．C ．D ．5.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，点M ，N 在线段AB 上，且1AM MN NB ===，则MD 与NC所成角的余弦值为A ．13B ．45C ．23D ．356.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为A.256π B.9π C.92π D.98π7.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =A.361B.374C.385D.3958.在ABC 中，角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，b a λ=，则实数λ的最大值是A.B．32+C．D．2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2019-2020年高三上学期12月月考数学试卷含解析(II)一、填空题：1．已知全集U=R，集合A={x∈Z|﹣x2+5x≤0}，B={x|x﹣4＜0}则（C U A）∩B中最大的元素是．2．已知复数z满足zi+5i=2z（i为虚数单位），则复数z的实部是．3．若函数的最小正周期为π，则=．4．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有2，3，4，6，9这五个数．现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的概率是．5．为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是．6．如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．7．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆+=1的离心率为，则m的值为．8．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＜x+2的解集为．9．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥的侧面积与表面积的比为．10．数列{a n}的各项都是整数，满足a3=﹣1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{a n}前10项的和是．11．已知圆O：x2+y2=10，过点P（﹣3，﹣4）的直线l与圆O相交于A，B两点，若△AOB 的面积为5，则直线l的斜率为．12．在△ABC中，已知AB=4，B=60°，E为AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，则•的值．13．已知函数f（x）=|x﹣lnx|，若关于x的方程f（x）=mx有4个不同的解，则实数m的取值范围为．14．设0＜b＜1+a，若关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则a 的取值范围是．二、解答题：15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+cosBtanC=2sinA．（1）求角C的大小；（2）若8a=5b，求cosB的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA ⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求三棱锥P﹣DEF的体积．17．如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．（2）当θ为何值时，观光道路最长？18．设F（c，0），A（﹣a，0）分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，它的右准线为l：x=4，且椭圆C过点（c，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P，Q是右准线l上的两个动点，且PF⊥QF，直线AP，AQ分别与椭圆交于点M，N两点，求证：直线MN过一定点，并求出此定点的坐标．19．已知函数f（x）=，x∈[0，1]．（1）求f（x）的单调区间和值域；（2）设函数g（x）=x﹣4﹣alnx，x∈（，e3），a∈R，若对于任意x0∈[0，1]，总存在x1，x2∈（，e3），x1≠x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）成立，求a的取值范围．20．已知数列{a n}中，a n=2a n+n（n≥2，n∈N）．﹣1（1）{a n}是否可能为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设b n=（﹣1）n（a n+n+2），S n为数列{b n}的前n项和，且对于任意的n∈N*，n≤10，都有S n＜1，求a1的取值范围．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．B．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知点A（1，0）在矩阵M=（b＞0）对应的变换下得到点P，若△POA的面积为（O为坐标原点），∠POA=60°，求a，b的值，并写出M的逆矩阵．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系下，已知圆C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+7=0，直线l的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ+a=0．若直线l与圆C相切，求实数a的值．D．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b是正实数，求证： +≥﹣．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有4个红球、3个白球、3个黄球的箱子中任取一球，乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球．规定：当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜．（1）求甲胜的概率；（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数X的概率分布及数学期望EX．26．在直角坐标平面内，把横坐标与纵坐标都为整数的点称为整点．已知区域D：，其中n∈N*．记区域D内的整点个数为a n．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求a n的表达式（n≥4，n∈N*）2015-2016学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知全集U=R，集合A={x∈Z|﹣x2+5x≤0}，B={x|x﹣4＜0}则（C U A）∩B中最大的元素是3．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】全集U=R，集合A={x∈Z|﹣x2+5x≤0}={x∈Z|x≥5，或x≤0}，B={x|x﹣4＜0}={x|x＜4}，所以（C U A）∩B={1，2，3，4}∩{x|x＜4}={1，2，3}．由此能求出（C U A）∩B中最大的元素．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x∈Z|﹣x2+5x≤0}={x∈Z|x≥5，或x≤0}，B={x|x﹣4＜0}={x|x＜4}，∴（C U A）∩B={1，2，3，4}∩{x|x＜4}={1，2，3}．∴（C U A）∩B中最大的元素是3．故答案为：3．2．已知复数z满足zi+5i=2z（i为虚数单位），则复数z的实部是﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵zi+5i=2z，∴z===2i﹣1．其实部为﹣1．故答案为：﹣1．3．若函数的最小正周期为π，则=．【考点】三角函数的周期性及其求法；函数的值．【分析】由周期公式及已知的周期求出ω的值，确定出函数解析式，将x=代入，计算即可得到所求式子的值．【解答】解：∵T=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），则f（）=2sin（π+）=﹣2×=﹣．故答案为：﹣4．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有2，3，4，6，9这五个数．现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的对立事件是所选的两个球上的数字都是偶数，由此利用对立事件概率计算公式能求出所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的概率．【解答】解：袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有2，3，4，6，9这五个数．现从中随机选取两个球，基本事件总数n==10，所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的对立事件是所选的两个球上的数字都是偶数，∴所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的概率P=1﹣=．故答案为：．5．为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．【考点】频率分布直方图．【分析】根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．【解答】解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．6．如图是一个算法的流程图，则输出S的值是31．【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：执行程序，有S=1，n=0，不满足条件S≥20，有n=1，S=4；不满足条件S≥20，有n=2，S=10；不满足条件S≥20，有n=3，S=19；不满足条件S≥20，有n=4，S=31；满足条件S≥20，输出S的值为31，故答案为：31．7．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆+=1的离心率为，则m的值为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由m2+4＞m＞0，因此椭圆的焦点在y轴上，利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：由m2+4＞m＞0，因此椭圆的焦点在y轴上，∴=，解得m=2，故答案为：2．8．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＜x+2的解集为（﹣1，2）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据所给的分段函数，当x小于等于0和x大于0两种情况，根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个不等式，分别求出解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x＞0时，f（x）=2x，代入不等式得：2x＜x+2，解得x ＜2，所以原不等式的解集为（0，2）； 当x ≤0时，f （x ）=x 2，代入不等式得：x 2＜x +2解得﹣1＜x ＜2，所以原不等式的解集为（﹣1，0]，综上原不等式的解集为（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）．9．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥的侧面积与表面积的比为 ． 【考点】棱锥的结构特征．【分析】如图所示，正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2，过点S 作SE ⊥CD ，垂足为E ，分别求出S 底面，S 侧面，S 表面，即可得到答案．【解答】解：如图所示，正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2，则其底面积为S 底面=2×2=4，∵过点S 作SE ⊥CD ，垂足为E ，∴CE=CD=1，∵SC=， ∴SE==2，∴S △SEC =×2×2=2，∴S 侧面=4×2=8，∴S 表面=S 侧面+S 底面=8+12，∴四棱锥的侧面积与表面积的比为=，故答案为：10．数列{a n }的各项都是整数，满足a 3=﹣1，a 7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{a n }前10项的和是 57 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意设数列前6项的公差为d ，d 为整数，表示出a 5，a 6，利用a 5，a 6，a 7成等比数列，求出d ，推出n ≤6时等差数列的通项公式，n ≥5时数列{a n }的通项公式，则数列{a n }前10项的和可求．【解答】解：设数列前6项的公差为d ，d 为整数，由a 3=﹣1，得：a 5=a 3+2d=﹣1+2d ，a 6=a 3+3d=﹣1+3d ，又a 5，a 6，a 7成等比数列，且a 7=4，所以（3d﹣1）2=4（2d﹣1），解得或d=1，因为d为整数，所以d=1．所以，当n≤6时，a n=a3+（n﹣3）×1=﹣1+（n﹣3）=n﹣4，由此a5=1，a6=2，又数列从第5项起构成以2为公比的等比数列．则当n≥5时，a n=2n﹣5，所以，数列{a n}前10项的和是：S10=（a1+a2+a3+a4+a5）+（a6+a7+a8+a9+a10）==57．故答案为57．11．已知圆O：x2+y2=10，过点P（﹣3，﹣4）的直线l与圆O相交于A，B两点，若△AOB 的面积为5，则直线l的斜率为或．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用△AOB的面积为5，得出OA⊥OB，设出直线方程，利用圆心到直线的距离d=，求出直线的斜率．【解答】解：圆O：x2+y2=10的圆心坐标为O（0，0），半径为，∵△AOB的面积为5，∴=5，∴sin∠AOB=1，∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB．设过点P（﹣3，﹣4）的直线l的方程为y+4=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣4=0，圆心到直线的距离d=，∴k=或．故答案为：或．12．在△ABC中，已知AB=4，B=60°，E为AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，则•的值﹣6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，设CD=t，求出各点坐标得出的坐标再计算数量积．【解答】解：以BC为x轴，以AD为y轴建立坐标系，则B（﹣2，0），A（0，2），设CD=t，则E（，），∴=（0，﹣），=（，），∴=0•（+2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．13．已知函数f（x）=|x﹣lnx|，若关于x的方程f（x）=mx有4个不同的解，则实数m 的取值范围为（0，﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】结合函数图象求出切点坐标，从而求出m的范围即可．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，假设f（x）=mx与f（x）的切点是（a，lna﹣a），则m=﹣，故lna﹣a=（﹣）a，解得：a=e，则m=﹣，故m∈（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．14．设0＜b＜1+a，若关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则a 的取值范围是（1，3）．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．【解答】解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b ＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故答案为1＜a＜3．二、解答题：15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+cosBtanC=2sinA．（1）求角C的大小；（2）若8a=5b，求cosB的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：（1）∵sinB+cosBtanC=2sinA，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC．即sinA=2sinAcosC．∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（2）在△ABC中，由8a=5b，得8sinA=5sinB，即8sin（﹣B）=5sinB．∴8=5sinB，sinB=4cosB，cosB ≠0，∴tanB=4，B 为锐角，∴cosB=．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点． （1）求证：BE ∥平面PDF ；（2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ； （3）求三棱锥P ﹣DEF 的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定． 【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明； （3）利用等积变形和三棱锥的条件计算公式即可得出． 【解答】（1）证明：取PD 的中点为M ，连接ME ，MF ，∵E 是PC 的中点，∴ME 是△PCD 的中位线．∴ME ∥CD ，ME=．又∵F 是AB 的中点，且由于ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴ME ∥FB ，且ME=FB ． ∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF ． ∵BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ， ∴BE ∥平面PDF ．（2）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，∴DF ⊥PA ．连接BD ，∵底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB 为正三角形． ∵F 是AB 的中点，∴DF ⊥AB ． ∵PA ∩AB=A ，∴DF ⊥平面PAB ．∵DF ⊂平面PDF ，∴平面PDF ⊥平面PAB ． （3）解：∵E 是PC 的中点，∴点P 到平面EFD 的距离与点C 到平面EFD 的距离相等，故V P ﹣DEF =V C ﹣DEF =V E ﹣DFC ， 又S △DFC =×2×=，E 到平面DFC 的距离h==，∴V E ﹣DFC =××=．17．如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．（2）当θ为何值时，观光道路最长？【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）利用θ表示CD的长度的关键是在△COD中正确利用正弦定理；（2）首先将道路长度L（θ）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得θ=时，观光道路最长．．【解答】解：（1）在△COD中，由正弦定理得，又CD ∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以因为OD＜OB，所以，所以，所以，θ的取值范围为（2）设道路长度L（θ），则，由L′（θ）=0得，又，所以易得θ∈（0，），L′（θ）＞0，θ∈（，），L′（θ）＜0，∴时，L（θ）取到最大值，即θ=时，观光道路最长．18．设F（c，0），A（﹣a，0）分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，它的右准线为l：x=4，且椭圆C过点（c，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P，Q是右准线l上的两个动点，且PF⊥QF，直线AP，AQ分别与椭圆交于点M，N两点，求证：直线MN过一定点，并求出此定点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：=4， +=1，b2=a2﹣c2，联立解出可得椭圆C的方程．（2）由（1）可得：A（﹣2，0），F（1，0），设P（4，m），Q（4，n），由PF⊥QF，可得mn=﹣9，直线AP的方程：y=（x+2），直线AQ的方程：y=（x+2）．分别与题意方程联立可得M与N的坐标．对直线MN的斜率分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：=4， +=1，b2=a2﹣c2，联立解得c=1，a=2，b2=3，可得椭圆C的方程为： +=1．（2）由（1）可得：A（﹣2，0），F（1，0），设P（4，m），Q（4，n），∵PF⊥QF，∴mn=﹣9，直线AP的方程：y=（x+2），直线AQ的方程：y=（x+2）．联立，可得M．同理可得：N．若直线MN的斜率不存在，则+=0，与mn=﹣9＜联立解得m=3，n=﹣3．或m=﹣3，n=3．直线MN的方程为：x=1，此时直线经过定点（1，0）．若直线MN的斜率存在，则k MF==，k NF===k NF，∵mn=﹣9，∴m=﹣，∴k MF===k NF，∴直线MN过一定点F（1，0），综上可得：直线MN过一定点F（1，0）．19．已知函数f（x）=，x∈[0，1]．（1）求f（x）的单调区间和值域；（2）设函数g（x）=x﹣4﹣alnx，x∈（，e3），a∈R，若对于任意x0∈[0，1]，总存在x1，x2∈（，e3），x1≠x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得f（x）的值域；（2）对于任意x0∈[0，1]，总存在x1，x2∈（，e3），x1≠x2，使得g（x1）=g（x2）=f （x0）成立，即函数g（x）在区间（，e3）上不是单调函数．…构造函数g（x）=1﹣=，x∈（，e3），再由导数求得g（x）的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）f′（x）=，x∈[0，1]．…解f′（x）＞0，得＜x＜1，解f′（x）＜0，得0＜x＜，所以函数f（x）在（，1）上是增函数，在（0，）上是减函数．…f（）=﹣4，f（0）=﹣，f（1）=﹣3．所以函数f （x ）的单调增区间为（，1），单调减区间为（0，），值域为[﹣4，﹣3]．… （2）因为对于任意x 0∈[0，1]，总存在x 1，x 2∈（，e 3），x 1≠x 2，使得g （x 1）=g （x 2）=f （x 0）成立，所以函数g （x ）在区间（，e 3）上不是单调函数．… g （x ）=1﹣=，x ∈（，e 3）．因为g （x ）在区间（，e 3）上不是单调函数，所以＜x ≤a ，①且易知g （x ）在区间（，a ）上是减函数，在区间（a ，e 3）上是增函数．…当＜x ≤a 时，g （a ）≤g （x ）＜﹣4+a ；当a ≤x ＜e ＜3＜时，g （a ）≤g （x ）＜e 3﹣4﹣3a ．根据题意，得g （a ）＜﹣4，②﹣4+a ＞﹣3，③e 3﹣4﹣3a ＞﹣3．④…解由①②③④组成的不等式组，得e ＜x ＜．所以a 的取值范围为（e ，）…20．已知数列{a n }中，a n =2a n ﹣1+n （n ≥2，n ∈N ）．（1）{a n }是否可能为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设b n =（﹣1）n （a n +n +2），S n 为数列{b n }的前n 项和，且对于任意的n ∈N *，n ≤10，都有S n ＜1，求a 1的取值范围．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合． 【分析】（1）由题意求得a 2，a 3，a 4，假设{a n }为等比数列，可知a 1，a 2，a 3成等比数列，（2a 1+2）2=a 1•（4a 1+7），即可求得a 1=﹣4，a 2=﹣6，a 3=﹣9，a 4=﹣14，可知{a n }不可能为等比数列；（2）由题意可知：求得a n 和a n +1，代入求得b n +1=﹣2b n ，由等比数列通项公式求得S n =，分类当n 为奇数和偶数时，分别求得a 1的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：a n +1=2a n +n +1， 得a 2=2a 1+2，a 3=4a 1+7，a 4=8a 1+18，若{a n }为等比数列．则a 1，a 2，a 3成等比数列， ∴（2a 1+2）2=a 1•（4a 1+7），解得：a 1=﹣4，a 1=﹣4，a 2=﹣6，a 3=﹣9，a 4=﹣14，不成等比数列， ∴{a n }不可能为等比数列； （2）∵b n =（﹣1）n （a n +n +2），∴a n =（﹣1）n b n ﹣n ﹣2，a n +1=（﹣1）n +1b n +1﹣n ﹣3， 将其代入a n +1=2a n +n +1，（﹣1）n +1b n +1﹣n ﹣3=2[（﹣1）n b n ﹣n ﹣2]+n +1， 整理得：b n +1=﹣2b n ，其中b 1=﹣（a 1+3）， 当a 1=﹣3时，b n =0，S n =0符合题意， 当a 1≠﹣3时，数列{b n }是以b 1=﹣（a 1+3）为首项，以﹣2为公比的等比数列， ∴S n =，当n 为偶数时，且n ≤10时， 由S n ＜1，可得＜1， ∴﹣（a 1+3）＞，∴﹣（a 1+3）＞，解得：a 1＜﹣，当n 为奇数时，且n ≤10， 由S n ＜1，＜1，∴﹣（a 1+3）＞， ∴﹣（a 1+3）＜，解得：a 1＞﹣，综上，a 1的取值范围为（﹣，﹣）【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E ．求证：DE 2=DA •DB ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．【解答】证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．B．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知点A（1，0）在矩阵M=（b＞0）对应的变换下得到点P，若△POA的面积为（O为坐标原点），∠POA=60°，求a，b的值，并写出M的逆矩阵．【考点】逆矩阵的意义．【分析】利用矩阵的乘法求出P，利用△POA的面积为（O为坐标原点），∠POA=60°，b＞0，求出a，b，即可写出M的逆矩阵．【解答】解：由题意，得，所以点P的坐标为P（a，b）．因为△POA的面积为（O为坐标原点），∠POA=60°，b＞0，所以b=a，①×1××sin60°=，②解得a=2，b=2．…所以M=．因为|M|=﹣所以M=的逆矩阵为．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系下，已知圆C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+7=0，直线l的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ+a=0．若直线l与圆C相切，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的直线l的直角坐标方程分别为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，3x﹣4y+a=0，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：圆C的直线l的直角坐标方程分别为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，3x﹣4y+a=0．…因为圆C与直线l相切，所以d==1．…解得．a=﹣3或a=7．…D．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b是正实数，求证： +≥﹣．【考点】不等式的证明．【分析】因为a，b是正实数，所以+≥， +≥，两式相加，整理得结论．【解答】证明：因为a，b是正实数，所以+≥， +≥．…两式相加，整理得+≥﹣．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有4个红球、3个白球、3个黄球的箱子中任取一球，乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球．规定：当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜．（1）求甲胜的概率；（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数X的概率分布及数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算出基本事件总数，及甲胜的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；（2）根据甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，得到X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）甲、乙各取一球共有10×10=100种，其中所取两球为同色共有4×5+3×3+3×2=35．所以甲胜的概率为P==，答：甲胜的概率为．…（2）X的值为0，1，2，3．X的分布列为：X 0 1 2 3P故E（X）=0×+1×+2×+3×=…26．在直角坐标平面内，把横坐标与纵坐标都为整数的点称为整点．已知区域D：，其中n∈N*．记区域D内的整点个数为a n．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求a n的表达式（n≥4，n∈N*）【考点】数列递推式．【分析】（1）区域D：，其中n∈N*．记区域D内的整点个数为a n．n=1时，区域D包括（0，0），（0，1）两个点，可得a1=2，同理可得：a2=4，a3=7．（2）a n=，m∈N*．【解答】解：（1）区域D：，其中n∈N*．记区域D内的整点个数为a n．n=1时，区域D包括（0，0），（0，1）两个点，可得a1=2，同理可得：a2=4，a3=7．（2）a n=，m∈N*．2016年11月13日。

宁陵县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α2． 执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．20483． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位5．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）A．B．C． D．6．已知直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的倾斜角为（）A．0 B．C．D．7．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．下列判断正确的是（）A．①不是棱柱B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台9．若不等式1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围是（）A．[5，10] B．（5，10）C．[3，12] D．（3，12）10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（）A．10 13 B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 1511．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]12．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A．B．C． D．0二、填空题13．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ． 14．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 ．15．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．16．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．17．已知函数()f x 23(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系是 ．18．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．三、解答题19．在平面直角坐标系中，已知M （﹣a ，0），N （a ，0），其中a ∈R ，若直线l 上有且只有一点P ，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．20．（本小题满分12分）已知圆M 与圆N ：222)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)35,31(-D 在圆M上.（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)35,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB∠的平分线，且交AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.21．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin （θ＋π4）.（1）求C 1，C 2的普通方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝3π4（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面积．22．已知等差数列的公差，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，记数列前n 项的乘积为，求的最大值．23．（文科）（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．24．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.宁陵县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D 中选项也可能相交． 故选：B ．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2． 【答案】D 【解析】试题分析：由于20160-<，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到2x =，从而可得1y =，由于20151>，则进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．1 考点：程序框图． 3． 【答案】D【解析】解：∵正△ABC 的边长为a ，∴正△ABC 的高为，画到平面直观图△A ′B ′C ′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A ′B ′C ′的高为=，∴△A ′B ′C ′的面积S==．故选D ．【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4． 【答案】B【解析】试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 5． 【答案】A【解析】解：设AB 的中点为C ，则 因为，所以|OC|≥|AC|，因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，所以2（）2≥1，所以a ≤﹣1或a ≥1，因为＜1，所以﹣＜a ＜，所以实数a 的取值范围是，故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．6． 【答案】D【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1， 直线的斜率为﹣1，该直线的倾斜角为：．故选：D ．【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7． 【答案】A【解析】解：∵，只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A ．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．8． 【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台；③是四棱锥；④不是由棱锥截来的，故选：C．9．【答案】A【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）即解得：x=3，y=1即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故选A【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．10．【答案】C【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选：C．【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．11．【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．12．【答案】A【解析】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1∴sin =sin∠AOC==所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故选A．二、填空题13．【答案】{2，3，4}．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}14．【答案】64．【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28∴甲的中位数为28乙的得分共有9个，中位数为36∴乙的中位数为36则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64故答案为：64．【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．15．【答案】 （，+∞） ．【解析】解：由题意，a ＞1．故问题等价于a x＞x （a ＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．构造函数f （x ）=a x ﹣x ，则f ′（x ）=a xlna ﹣1，由f ′（x ）=0，得x=log a （log a e ），x ＞log a （log a e ）时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； 0＜x ＜log a （log a e ），f ′（x ）＜0，f （x ）递减． 则x=log a （log a e ）时，函数f （x ）取到最小值，故有﹣log a （log a e ）＞0，解得a ＞．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．16．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<- 考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 17．【答案】12()()f x f x >] 【解析】考点：不等式，比较大小．【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．18．【答案】 ．【解析】解：∵log 2（2m﹣3）=0，∴2m﹣3=1，解得m=2，∴elnm ﹣1=e ln2÷e=．故答案为：．【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．三、解答题19．【答案】 ①②③【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN 上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；④当a=0时，点M 与N 重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P 在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．故答案为：①②③．【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2.【解析】试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PAPB S S APG PBG =∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)35,35(-N 关于直线x y =的对称点为)35,35(-M ， ∴916)34(||222=-==MD r ， ∴圆M 的方程为916)35()35(22=-++y x .∵3823210)310()310(||22=>=+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离.考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1 21．【答案】【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α（α为参数）得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9. 即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，由C 2：ρ＝2sin （θ＋π4）得ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x ＋y －2＝0，即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得 x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 将θ＝3π4代入上式得ρ2－2ρ－4＝0，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32.C 3：θ＝34π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝22＝2.∴△PMN 的面积为S ＝12|MN |×d ＝12×32×2＝3.即△PMN 的面积为3. 22．【答案】【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得解得 或（舍）． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ），得．所以． 所以只需求出的最大值．由（Ⅰ），得． 因为，所以当，或时，取到最大值．所以的最大值为．23．【答案】（1）0.3a ；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<；月均用水量低于3吨的频率为：()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>；则0.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯吨．1考点：频率分布直方图．24．【答案】（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3）6． 【解析】试题分析：（1）利用2CD =，得圆心到直线的距离2d =2=，再进行化简，即可求解()()44a b --的值；（2）设点P 的坐标为(),x y ，则22a xb y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入①，化简即可求得线段AB 中点P 的轨迹方程；（3）将面积表示为()()()114482446224ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得ADP ∆的面积的最小值.（3）()()()11448244666224ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+≥=,∴当4a b ==+, 面积最小, 最小值为6.考点：直线与圆的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为()()446A D P S a b ∆=-+-+，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题.。

长郡中学2022-2023届高三月考试卷（二）数学2022.10一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,52.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.23.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤5.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.15608.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:111.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+C.992049T =- D.n T 的最大值为2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅的最小值为______.15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.16.已知函数()ln xf x x =，()x xg x e=，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2n n n b n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．19.如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学一、选择题1.已知全集U=R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}UA B ⋂=ð.故选：D2.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】()()()i 1i 11i i ==1i 22a a a a z ++-+++=-，由于z 为纯虚数，因此10a -=且10a +，故1a =，故选：C3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£ B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤【答案】A 【解析】分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a=时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.当102x <≤时，4log xax <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，当1a>时，log a y x =是增函数，102x <≤时，log 0a x <，不合题意；当01a <<时，log a y x =在102x <≤时单调递减，4xy =递增，要使得4log xa x <成立，需满足1214log 2a<，即21log 2log 2a a a >=，则212a>，解得12a <<，故选:B6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由零点个数求出36ω≤<，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.【详解】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定ω的范围，本题中就要根据零点个数，先得到ππ23TT ≤-<，从而求出36ω≤<，再进行求解.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.1560【答案】C 【解析】【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++- 所以11nn b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以()21133222nn n n bn -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n+-=+++-++++= 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++-- 11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.8.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值 B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值【答案】D 【解析】【分析】分析得出0a<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.【详解】当0a≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <.由()0f x '=可得x =，当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<.所以，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则1x =，2x =，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，1x = ，可得213ax =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果.二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 【答案】AB 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式将()f x 化为π()2sin()6f x x ωϕ=+-，根据函数的最小正周期确定ω，根据奇偶性确定π6ϕ=，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数()g x 的解析式，判断A;代入验证可判断B ；根据x 的范围，确定π23x -的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得π())cos()2sin(6f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为()f x 的最小正周期为π，所以2π2πω==，又因为()f x 为奇函数，所以πππ,π,Z 66k k k ϕϕ-=∴=+∈，而0πϕ<<，故π6ϕ=，所以()2sin 2f x x =，则将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，故ππ()2sin[2()]2sin(2)63g x x x =-=-，A 正确；将π3x =-代入π()2sin(2)3g x x =-中，有ππ2sin[2()]033---=，即函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，B 正确；当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2[,]333x -∈-，由于正弦函数sin y x =在2ππ[,]33-上不单调，故()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故C 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2[,333x -∈-，π()2sin(2)[2]3g x x =-∈，函数最大值为2，D 错误，故选：AB 10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1【答案】ABD 【解析】【分析】根据BD ⊥平面PAC 即可判断A,由PO ⊥底面ABCD ，即可判断外接球的球心在PO 上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，根据几何法即可判断C,取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，能证明PC ⊥面BDE ，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D ．【详解】过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，由于BD ⊂底面ABCD ,所以PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BD PC ⊥,故A 正确，由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在PO 上，设半径为R ,则()222OCOP R R +-=,又PO ==,解得R =,故外接球的表面积为24π8πR =,故B 正确，过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，则PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，2AP ∴=，12AO AC ==cos AO PAO AP ∴∠==，45PAO ∴∠=︒，故C 错误，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，PBC ∴ 为正三角形，PC DE ∴⊥，PC BE ⊥，又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BDE所以PC ⊥面BDE ，故当平面α经过侧棱PC 中点时，平面α即为平面BDE ，此时111112232322E BCDBCD VS OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，1122333P ABCD ABCD V S OP -=⋅=⨯⨯⨯，P ABCD E BCD V V V --∴=-=上，∴3E BCDV V -=上，故D 正确．故选：ABD11.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+ C.992049T =- D.n T 的最大值为20【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292nn a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC12.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】由()1g x +为奇函数可得()10g =，由()()212f x g x +--=取导数可得()()30f x g x ''+-=，结合条件()()1f x g x ''=+，判断B ，再由条件判断函数()f x ，()g x 的周期，由此计算()20221k g k =∑，()()20211k f k g k =∑，判断C ，D.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，取0x =可得()10g =，A 对，因为()()212f x g x +--=，所以()()210f x g x ''++-=所以()()30f x g x ''+-=，又()()1f x g x ''=+()()130g x g x ''++-=，故()()220g x g x ''++-=，所以函数()g x '的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为()()1f x g x ''=+，所以()()10f xg x '-+=⎡⎤⎣⎦所以()()1f x g x c -+=，c 为常数，因为()()212f x g x +--=，所以()()32f x g x --=，所以()()132g x g x c +--=-，取1x =可得2c =，所以()()13g x g x +=-，又()()11g x g x +=--+，所以()()31g x g x -=--+，所以()()2g x g x =--，所以()()42()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 为周期为4的函数，因为()()2g x g x +=-，所以()()310g g =-=，()()42g g =-，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，所以()[][]20221(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)k g k g g g g g g g g ==++++++++⋅⋅⋅∑[](2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(2022)g g g g g g ++++++，所以()202215050(2021)(2022)(1)(2)(2)k g k g g g g g ==⨯++=+=∑，由已知无法确定(2)g 的值，故()20221k g k =∑的值不一定为0，C 错；因为()()212f x g x +--=，所以()()221f x g x +=-+，()()625f x g x +=-+，所以()2(6)f x f x +=+，故函数()f x 为周期为4的函数，(4)(4)()()f xg x f x g x ++=所以函数()()f x g x 为周期为4的函数，又(1)2(0)f g =-，(2)2(1)2f g =-=，(3)2(2)2(0)f g g =-=+，(4)2(3)2f g =-=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)02(2)2(4)0f g f g f g f g g g +++=++=，所以()()[]20211505(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(2021)(2021)k f k g k f g f g f g f g f g ==++++∑()()20211(1)(1)0k f k g k f g ===∑，D 对，故选：AD.【点睛】本题解决的关键在于根据条件判断函数的周期性，对称性，并结合函数性质求函数值得和.三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．【答案】16【解析】【分析】由题得62ab =，再利用基本不等式求解.【详解】因为22log log 6a b +=，所以2log 6ab =.所以62ab=所以622216a b ab +≥≥=.当且仅当8ab ==时取等.故答案为：1614.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.【答案】7336-【解析】【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.【答案】212n n +⋅【解析】【分析】根据等差等比数列基本量的计算可得公比和公差，进而得1,2nn na nb =+=，因此可得()22(2)=212n n n a b n n -+-，根据裂项求和即可求解.【详解】设公差和公比分别为(),0d q q >,由117332,2a b a b a ====得()2262222d q d +==+，解得1,2d q ==，因此1,2n nn an b =+=，所以()22(2)=212nnn a b n n -+-()()()()22222221212=2122212212n n n n n nnn n n n n n n +⎡⎤+---=⋅--⋅=⋅--⋅⎣⎦，设{}2(2)nn a b -的前n 项和为n S ，因此()2222123222112022212212n n nS n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅+⋅-⋅++⋅--⋅⎣⎦⎦=⎣⎦⎣ 212=n n +⋅故答案为：212n n +⋅16.已知函数()ln xf x x =，()xx g x e =，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.【答案】1e-【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 可得函数()f x 的单调性情况，且(0,1)x ∈时，()0f x <，(1,)x ∈+∞时，()0f x >，同时注意()()x x xx x lne g x f e e e===，则21xx e =，所以2122x x x x e =，构造函数()x h x xe =，0x <，利用导数求其最小值即可．【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()lnxf x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又(1)f 0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；(,)x e ∈+∞时，()0f x >，同时注意到()()xx xx x lne g x f e e e===，所以若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()0f x g x =<成立，则101x <<且212()()()x f x g x f e ==，所以21x x e =2(0)x <，所以2122xx x x e =，所以构造函数()x h x xe =(0)x <，而()(1)x h x e x '=+，当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以1()(1)h x h e=-=-最小值，即12)1(x x e =-最小值.故答案为：1e-.【点睛】关键点睛：利用同构的方式将12x x ，联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2nn nb n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.【答案】（1）22,13·21,1nn n a n -=⎧=⎨+>⎩.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得13n n a S n +=-+，即有14n n a S n -=-+，两式相减得()1121n n a a +-=-，根据等比数列的定义得数列{}1n a -为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得123·2nn n n nb S n -==-+，运用错位相减法和数列的单调性可得证.【小问1详解】解：当1n =时，2111324a S a =-+=+=，13n n a S n +=-+，得()142n n a S n n -=-+≥，两式相减得，11n n n a a a +-=-，即有()1121n n a a +-=-，即为数列{}1n a -为第二项起为等比数列，则213·2n na--=，1n >，n N ∈，即有22,13·21,1n n n a n -=⎧=⎨+>⎩；【小问2详解】解：13n n a S n +=-+，得13·22n n S n -=-+，则123·2n n n n nb S n -==-+，即有前n 项和为2112333·23·23·2n n nT -=+++⋯+，23112323·23·23·23·2n n n T =+++⋯+，两式相减可得，2111111233·23·23·23·2nn nnT -=+++⋯+-1112·133·212nn n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，化简得4412·3323·2nn nn T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于{}n b 各项大于0，得113nT T =，由不等式的性质可得43nT <.故()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．【答案】(1)(2)tan 3ABD ∠=．【解析】【分析】(1)ABC 中，利用含ABC ∠的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得ABC 面积，再利用面积关系求ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD ∠表示出ABC 与BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ABD ∠的方程，解之即得.【详解】(1)设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而x>0，解得4x =，所以4BC =，则ABC的面积11sin 24222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△，梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =，所以ADC的面积52ABCADCS S ==△△，则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=△△；(2)在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥，则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2cos sin )sin sin 3cos 5sin()sin()6222παααααππααα-⋅+=⇒--，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=解得tan 3α=或tan 5α=-，因为(,62ππα∈，则tan 3α=，即tan 3ABD ∠=．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.19.如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，求得2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =，结合1BB EF⊥，从而有四边形BEFC 为矩形.（2）证得AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF 和平面ABC 的一个法向量，利用向量夹角求得二面角的正弦值.【详解】（1）在三棱柱中，11//BB CC ，则由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，故1BB AE ^，1BB EF ⊥，1CC AF ⊥，从而2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF=又AB AC =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =结合//BE CF ，知四边形BEFC 为平行四边形，又1BB EF ⊥，故四边形BEFC 为矩形.（2）取EF 的中点G ，联结AG ，由（1）知AE AF =，且1BB ⊂平面11BB C C ，则平面AEF ⊥平面11BB C C ，又平面AEF 平面11BB C C EF=，则AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由2AE AF EF ===知，AEF 为正三角形，故AG =故A，(1,0,)3B -，(1,0,3C，(1,3AB →=-，(1,3AC →=-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)a x y z →=则00a AB a AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故0303x z x z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，则0,3x z ==，(0,1,3)a →=因为平面AEF 的一个法向量为(0,0,1)b →=则cos ,10a ba b a b→→→→→→⋅<>===则二面角的余弦值为10，故二面角的正弦值为1020.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【答案】（1）分布列见解析，()725E =ξ（2）（i ）200；（ii ）199或200【解析】【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【小问1详解】0,1,2ξ=,2112434377222505050C C C C 129433(0),(1),(2),C 175C 175C 175P P P ξξξ⋅=========故分布列为：ξ012P129175431753175()129433701217517517525E =⨯+⨯+⨯=ξ.【小问2详解】（i ）设池塘乙中鱼数为m ,则50520m =,解得200m =,故池塘乙中的鱼数为200.（ii ）设池塘乙中鱼数为n ,令事件B =“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C =“池塘乙中鱼数为n ”则515505020C C ()C n n np P B C -⋅==∣,由最大似然估计法,即求n p 最大时n 的值,其中65n ,1(49)(19)(64)(1)n n p n n p n n +--∴=-+当65,......198n =时11n n p p +>，当199n =时11n n pp +=，当200,201,...n =时11n np p +<所以池塘乙中的鱼数为199或200.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为，点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）对当MN 的斜率的情况进行分类讨论，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：ykx t =+，与椭圆方程联立，根据0∆=，求得,k t的关系，利用两平行线之间的距离公式分别求得矩形边长，从而可求得对角线，即可得证.【小问1详解】解：由已知2212221914a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程C ：22143x y +=；【小问2详解】证明：当MN 的斜率为0或不存在时，对角线MP NQ ===，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-=，()()222264163430k t t k ∆=--+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ的距离1dNP ===，以1k -代替k ，两平行线MQ 和NP的距离2d MN ===，所以矩形MNPQ的对角线MP NQ ==综上所述，矩形MNPQ对角线长为定值22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论导函数e ()xf x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【小问1详解】2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()'f x 的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=xg x x,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0>g x ，且()(1)eg x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e=x m x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e=x m x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e =x m x ，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =x m x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.【小问2详解】由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t<令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h'⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x =,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e exx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。

衡阳市2024届高三第五次月考数学试卷总分：150分考试时间：120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是,OA OB，则|z 1＋z 2|＝()A.2B.3C. D.2.函数()()e exxf x x -=-的部分图像大致为（）A. B.C. D.3.已知圆O 为ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，BC =，则OB OC ⋅=（）A.2B.2- C.4D.4-4.直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a α⊂，b β⊂，⋂=c αβ，则下列说法正确的是（）A.c 至少与a 、b 中的一条相交B.c 至多与a 、b 中的一条相交C.c 与a 、b 都相交D.c 与a 、b 都不相交5.已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是（）A.872y x =- B.476y x =-C.872y x =+ D.476y x =+6.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，x ∈R ，且()y f x '=在R 上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“12x x >”是“()()()()121211f x f x f x f x ++>++”的充要条件；②“对任意0x <都有()()0f x f <”是“()y f x =在R 上为严格增函数”的充要条件．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题7.已知()f x 是定义在R 上的单调函数，满足()1x f f x e ⎡⎤⎣⎦-=，且()()f a f b e >>.若10log log 3a b b a +=，则a 与b 的关系为（）A.3a b = B.3b a = C.2b a = D.2a b =8.已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于n +∀∈N ，则下列说法中正确的是（）A.()π1πn n x n <<+B.1πn n x x +-<C.数列()21π2n n x ⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭是递增数列D.()()241π1ln2n n f x -<-+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.单位向量a 与b的夹角为锐角，则2a b - 的取值可能为（）A .1B.1.5C.2D.2.510.ABC 中，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则下列能成为“a b >”的充要条件的有（）A.sin sin A B> B.cos cos A B< C.cos2cos2A B< D.sin 2sin 2A B>11.若将函数()πcos(2)12f x x =+的图象向左平移π8个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.π6x =-是函数()g x 图象的一个对称轴 D.()g x 的图象关于点5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称12.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个22⨯的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从A ，B 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B ，A 为止，下列说法正确的是（）A.甲从A 必须经过1C 到达B 的方法数共有9种B.甲从A 到B 的方法数共有180种C.甲、乙两人在2C 处相遇的概率为425D.甲、乙两人相遇的概率为1150三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式6(1)x +的展开式的中间项系数为_____．14.记函数()()nf x x nx n n *=+-∈N在1x =处的导数为na，则()4216log a a =________．15.设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，M 为C 上一个动点，且21112||MF MF F O +⋅的取值范围为[1,3]，则椭C 的长轴长为______．16.已知e是单位向量，向量(1,2)i b i = 满足i i e b e b -=⋅ ，且12xb yb e += ，其中,x y ∈R ，且1x y +=．则下列结论中，正确结论的序号是___________．①121xe b ye b ⋅+⋅=；②()1212y x x y b b +-= ；③存在x ，y ，使得122b b -=；④当12b b - 取最小值时，120b b ⋅=．四、解答题：本题共6小题，共70分.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A B +的值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，等比数列{}n b 的公比为2，22nn n S b n =．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）令,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前10项和．19.某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M ，N 两个目标投掷，先向目标M 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M 的概率为34，套中目标N 的概率为23，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为X ．（1）求小明恰好套中2次的概率；（2）求X 的分布列及数学期望．20.如图，ABC 与ABD △都是边长为2的正三角形，平面ABD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC且EC =．（1）证明：CD ⊥平面ABE .（2）求平面CED 与平面BDE 的夹角的大小．21.已知抛物线2:2(0)D y px p =>的焦点为F ，点Q 在D 上，且QF 的最小值为1.（1）求D 的方程；（2）过点()3,2M -的直线与D 相交于A ，B 两点，过点(3,6)N -的直线与D 相交于B ，C 两点，且A ，C 不重合，判断直线AC 是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.22.设()()11ln f x ax a x x=-+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()22e xg x x f x =-，若关于x 的不等式()()13ln 1g x ax a x x++++≥恒成立，求实数a 的取值范围.衡阳市八中2024届高三第五次月考数学试卷总分：150分考试时间：120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是,OA OB，则|z 1＋z 2|＝()A.2B.3C. D.【答案】A 【解析】【详解】由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2，故选A.2.函数()()e exxf x x -=-的部分图像大致为（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求解函数的定义域，且()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除BC ；再求出()11e e0f -=->，排除D ，选出正确答案.【详解】()()e exxf x x -=-定义域为R ，且()()()()ee e e xx x x f x x x f x ---=--=-=，故()f x 为偶函数，所以排除选项B 和选项C ；又()11e e 0f -=->，排除D.故选：A ．3.已知圆O 为ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，BC =，则OB OC ⋅=（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.【详解】如图，圆O的直径为24sin 32BC R BAC ===∠，故2OB OC R ===，2120BOC BAC ∠=∠=︒，故1cos1202222OB OC OB OC ⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r .故选：B.4.直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a α⊂，b β⊂，⋂=c αβ，则下列说法正确的是（）A.c 至少与a 、b 中的一条相交B.c 至多与a 、b 中的一条相交C.c 与a 、b 都相交D.c 与a 、b 都不相交【答案】A 【解析】【分析】依题意可知， ,a c 共面于α，,b c 共面于β.利用空间两条直线的位置关系，对选项举出反例进行排除，由此得出正确选项.【详解】解：由直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a α⊂，b β⊂，c αβ⋂=，知：对于B 选项，c 可以与a 、b 都相交，交点为不同点即可，故B 选项不正确；对于C 选项，//a c ，b c A ⋂=，满足题意，故C 选项不正确；对于D 选项，c 与a 、b 都不相交，则c 与a 、b 都平行，所以a ，b 平行，与异面矛盾，故D 选项不正确；对于A 选项，由B ，C 、D 是错误的，可知A 正确.由于,a c 共面，,b c 共面，若c 与,a b 都平行，根据平行公理可知,a b 平行，这与已知,a b 异面矛盾，故A 选项正确.故本小题选A .【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，包括平行、相交、异面和平行公理的考查，属于基础题.5.已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是（）A.872y x =- B.476y x =-C.872y x =+ D.476y x =+【答案】A 【解析】【分析】由曲线过原点求m ，根据导数的几何意义求切线方程.【详解】因为函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，所以()0810f m =+=，所以81m =-，所以()()42381f x x =+-所以()180f -=-．因为()()3823f x x '=+，所以()18f '-=．所以所求切线方程为()8081y x +=+，即872y x =-．故选：A.6.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，x ∈R ，且()y f x '=在R 上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“12x x >”是“()()()()121211f x f x f x f x ++>++”的充要条件；②“对任意0x <都有()()0f x f <”是“()y f x =在R 上为严格增函数”的充要条件．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题【答案】C 【解析】【分析】对于①，构造函数()(1)()g x f x f x =+-，结合题设，判断“12x x >”和“()()()()121211f x f x f x f x ++>++”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.【详解】对于①：设()(1)()g x f x f x =+-，x ∈R ，则()(1)()g x f x f x '''=+-，因为()y f x '=在R 上为严格增函数，故(1)()f x f x ''+>，即()(1)()0g x f x f x '''=+->，则()(1)()g x f x f x =+-在R 上单调递增，由于12x x >，故12()()g x g x >，即()()()()112211f x f x f x f x +->+-。

南靖县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2~100,X N a（0a>），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）（A）400 （B ）500 （C）600 （D）8002．已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A（x1，x12），B（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）A．[0，2] B．[0，3] C．[0，）D．[0，）3．设集合（）A．B． C．D．4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣85．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=sin（3x+）B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（2x+）6． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定7． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OPQ ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．48． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ） A ．60° B ．45° C ．90° D ．120°9． 有以下四个命题：①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．③若x=y ，则=．④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④10．已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A ∩（∁R B ）=（ ） A ．{x|x ≤0} B ．{x|2≤x ≤4} C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}11．函数的定义域为（ ）A ．{x|1＜x ≤4}B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x|x ≥4}12．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或D ．或二、填空题13．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是．14．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且•=5，则△ABC的形状是直角三角形．15．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．16．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．17．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是．18．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）三、解答题19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x af x b+-+=+.（1）当1a b ==时，求满足()3xf x =的x 的取值；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围； ②若函数()g x 满足()()()12333xxf xg x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.21．如图，A 地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

2019届高三上学期第二次月考化学试题1. 下列说法正确的是A. H2、D2、T2互为同素异形体B. 液氨、氨水、王水都是混合物C. H2O、苯酚、Fe(SCN)3都是弱电解质D. 硫酸、纯碱、醋酸钠和生石灰分别属于酸、碱、盐和氧化物【答案】C【解析】试题分析：A．H2、D2、T2的结构相同，不属于同素异形体，错误；B．液氨属于纯净物，错误；C．H2O、苯酚、Fe(SCN)3都是弱电解质，正确；D．纯碱是碳酸钠，属于盐，错误；故选C。

【考点定位】考查物质的分类【名师点晴】本题考查了化学基本概念的理解应用，主要考查混合物、化合物、非电解质、同素异形体，结合物质的组成分析判断。

判断物质是否属纯净物时，不要只看表面字眼“纯”或“混”，而要看实质.例如：“冰和水的混合物”其实不是混合物而是纯净物，因为冰和水都是由水分子组成的。

弱电解质与强电解质最大的区别就是弱电解质存在电离平衡，而强电解质不存在电离平衡。

因此只要证明有电离平衡存在，就证明了弱电解质。

另外为了提高答题效率要记住常见的强电解质，即强酸、强碱以及大部分盐类和金属氧化物等均是强电解质，弱酸、弱碱和少数盐类以及水是弱电解质。

2. 下列关于古籍中的记载说法不正确的是A. 《天工开物》中“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是分解反应B. 《吕氏春秋·别类编》中“金（即铜）柔锡柔，合两柔则刚”体现了合金硬度方面的特性C. 《本草纲目》中“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”，“以烧酒复烧二次……价值数倍也”用到的实验方法是蒸馏D. 《肘后备急方》中“青蒿—握，以水二升渍，绞取汁，尽服之”该提取过程属于化学变化【答案】D【解析】A. 《天工开物》中“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是碳酸钙的分解反应，A正确；B. 《吕氏春秋·别类编》中“金（即铜）柔锡柔，合两柔则刚”体现了合金硬度方面的特性，即合金的硬度比其成分金属高，B正确；C. 《本草纲目》中“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”，“以烧酒复烧二次……价值数倍也”用到的实验方法是蒸馏，即根据混合物的沸点不同将混合物分离的方法，C正确；D. 《肘后备急方》中“青蒿—握，以水二升渍，绞取汁，尽服之”该提取过程没有新物质生成，属于物理变化，D不正确。

2020-2021学年山西省阳泉市第十二中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知,则A．-3 B. C．3 D.参考答案：D2. 根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y为28，则判断框中的条件可以是（）A．x≥0？B．x≥1？C．x≥﹣1？D．x≥﹣3？参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后，x=2013，输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后，x=2011，输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后，x=3，输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后，x=1，输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后，x=﹣1，输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后，x=﹣3，输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1，输出y=28，故选：C．3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）参考答案：B略4. 函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数，求出φ，函数f（x）的图象关于直线对称，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次对各选择判断即可．【解答】解：函数，∵，即2sinφ=，∵φ∴φ=又∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴，k∈Z．可得ω=12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x﹣）．最小正周期T=，∴A不对．当x=时，可得y≠0，∴B不对．令﹣2x﹣，可得，∴C不对．函数y=2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）．∴D项正确．故选D5. 在等差数列中，，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A6. 已知函数的部分图象如图所示，则圆中最长弦的长度为A. B. C.5 D.以上均不正确参考答案：B由题设得，则，故，将代入可得，即，所以.所以=0 ，故半径r=，最长弦即为直径，其长为2r=.7. 设，且为正实数，则（）A．2 B．1 C．0 D．参考答案：D略8. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）2参考答案：A方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（A ）（B ）（C ） （D ）参考答案：B 略10. 方程的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 参考答案： 答案：A解析：方程的两个根分别为2，，故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递增区间为．参考答案：（-∞，-4）12. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_______参考答案：108（石）. 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.【详解】因为256粒内夹谷18粒，故可得米中含谷的频率为，则1536石中米夹谷约为1536（石）.故答案为：（石）.【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题.13. 复数z 满足条件，则的取值范围是_______。

长岭二中2024～2025学年度上学期第二次月考高三数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：请将第Ⅰ卷选择题答案用2B 铅笔填涂在答题纸的相应位置上；第Ⅱ卷试题答案用黑色签字笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸．第Ⅰ卷（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{4}A x x *=∈<N ∣，{0,1,2}B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}1,2B. {}0,1,2,3C. {}0,3D. {}3【答案】C 【解析】【分析】根据集合交、并、补的运算求解.【详解】依题意，{1,2,3}A =，而{}0,1,2B =，所以{}{}0,1,2,3,1,2A B A B ⋃=⋂=,所以阴影部分表示的集合为()A B A B ð={}0,3．故选:C.2. 设x ∈R ，向量(),1a x =，()4,b x = ．下列说法正确的是（ ）A. ab ⊥是0x =的充分不必要条件B. ab ⊥是0x =的必要不充分条件C. //a b是2x =的充分不必要条件 D. //a b是2x =的必要不充分条件【答案】D 【解析】【分析】分别计算不同情况的x 的值，然后判断充分性和必要性即可.【详解】当ab ⊥时，得0500a b x x ⋅=⇒=⇒= ，所以a b⊥ 是0x =的充要条件；若2x =，则()2,1a = ，()4,2b = ，则2b a = ，所以//a b ；若//a b，则214x =⨯，得2x =±.所以//a b是2x =的必要不充分条件.故选:D3. 已知向量,a b满足(1,2)a =，||3b = ，()1a a b ⋅-=- ，则|2|a b -=（ ）A. 17B. 5C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出||a，再利用数量积的运算律计算即得.【详解】由(1,2)a = ，得||a =()1a a b ⋅-=- ，得21a a b -⋅=- ，解得6a b ⋅= ，又||3b = ，所以|2|a b -===.故选：D 4. 已知3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 1αα-=，则（ ）A. 2cos(π)3α-=- B. 2sin(π)3α-=C. πcos 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭D. πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系化简后求出sin ,cos αα，结合诱导公式逐项判断即可得解.【详解】因为3cos 2sin 1αα-=，则23(12sin )sin 1αα--=，即26sin sin 20αα+-=，解得1sin 2α=或2sin 3=-a ，因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 3=-a ，cos α==，A 选项，cos(π)cos αα-=-=A 选项错误；B 选项，2sin(π)sin 3αα-==-，故B 选项错误；C 选项，π2cos sin 23αα⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，故C 选项错误；D 选项，πsin cos 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故D 选项正确．故选：D5. 函数()23cos 22x xf x x x+=-的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先由分母不为零确定函数的定义域，再由三角函数的诱导公式和()()f x f x -=-确定函数为奇函数，最后讨论()0,1x ∈和π1,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 的正负可得结果；【详解】由3220x x -≠可得函数()f x 的定义域为{|R x x ∈，且}0,1x x ≠≠±，因为()()()()23cos 22x f x x x f x x+=----=-+，所以()f x 为奇函数．因为()()()2cos 211x xf x x x x +=+-，所以当()0,1x ∈时，()0f x >，当π1,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除A ，C ，D ，故选：B.6. 已知函数24()(R)1f x x x=∈+，若等比数列{}n a 满足120201a a =，则20201()i i f a ==∑（ ）A. 1010B. 2020C. 4040D. 8080【答案】C 【解析】【分析】先分析当1xy=时，()()f x f y +是否为定值，再根据等比数列的性质求和.【详解】当1xy =时，()()f x f y +224411x y =+++()()()222241111x y x y +++=++()222222421x y x y x y ++=+++⋅()22224242x y x y ++==++.等比数列{}n a 满足120201a a =，则1202022019101010111a a a a a a ==⋯==，所以()()12020f a f a +=()()22019f a f a +== ()()101010114f a f a +=，所以()20201101044040ii f a ==⨯=∑.故选：C7. 设a ，b ，c 均为正数，且212log log a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122log log b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()122log log c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c a b >> B. c b a>> C. b c a>> D. b a c>>【答案】B 【解析】【分析】由对数恒等式可得122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出2,x y =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =， 12log y x =的图象，利用图象即可得解.【详解】由题意，122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象如图，2x y =与 12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为 b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与 2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，由图象可以看出a b c <<．故选：B8. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：i e cos isin x x x =+，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A. πi e 1= B. πi 3e C. 复数πi4e在复平面内对应的点位于第二象限D. ()πi 2ee θθ-∈R 的最大值为2【答案】D 【解析】【分析】由欧拉公式及复数的相关概念逐项计算判断即可.【详解】对于A ，πi e cos πisin π1+=-=，A 错误；对于B ， 由πi 3cosis ππ1e33n i 2==+，B 错误；对于C ，πi 4ππe cos isin 44=+=+，则复数πi 4e 在复平面内对应的点位于第一象限，C 错误；对于D ，πi i2ππe e cosisin cos isin i cos isin (1sin )i cos 22θθθθθθθ-=+--=--=--2==≤，当()π2π2k k θ=-+∈Z 时取等号，D 正确，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数()sin f x x =，()cos g x x =，则下列结论正确的有（ ）A. 函数()()f x yg x =是定义域为R 的奇函数B. 函数()()y f x g x =的最小正周期为2πC. 函数()()y f x g x =-的所有零点构成的集合为ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D. 函数()()y f x g x =+在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数【答案】CD 【解析】【分析】由正切函数的定义域可判断A ；由二倍角的正弦公式和最小正周期公式可判断B ；求出()()y f x g x =-的零点可判断C ；求出()()y f x g x =+的单调增区间可判断D.【详解】对A ，()()tan f x y x g x ==定义域为}ππ,Z 2x x k k ⎧≠+∈⎨⎩，不是R ，故A 错误；对B ，()()y f x g x =1sin cos sin 22x x x ==，所以2ππ2T ==．故B 错误；对C π04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇒ππ4x k -=⇒ππ+,Z 4x k k =∈，所以函数()()y f x g x =-的所有零点构成的集合为ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故C 正确；对D ，()()y f x g x =+πsin cos 4x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈⇒3ππ2π2π,Z 44k x k k -+≤≤+∈，令0k =，则()()y f x g x =+的其中一个单调增区间为3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：CD.10. 已知点P 在ABC V 所在的平面内，R λ∈，则下列命题正确的是（ ）A. 若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，且2AB AC ⋅=，则2AP AC ⋅= B. 若()()0PA PB AB PB PC BC +⋅=+⋅= ，则PA PB PC== C. 若sin sin AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹经过ABC V 的内心D. 若1122cos cos AP AB AC AB B AC C λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则动点P 的轨迹经过ABC V 的外心【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据PA PB PB PC ⋅=⋅ 得到PB CA ⊥，同理得到,PA C A PC B B ⊥⊥，故()2AP AC AB BP AC AB AC ⋅=+⋅=⋅= ；B 选项，取AB 的中点M ，故20PM AB ⋅=，故PM⊥AB ，取BC 的中点N ，同理可得PN ⊥BC ，点P 是ABC V 的外心，故PA PB PC ==；C 选项，由正弦定理得到sin sin AB B AC C =，故()sin AP AB AC AB Bλ=+，点P 在ABC V 的中线上，C 错误；D 选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到AP BC AN BC ⋅=⋅ ，从而得到0NP BC ⋅=，点P 在BC 的中垂线上，故动点P 的轨迹经过ABC V 的外心.【详解】A 选项，因为PA PB PB PC ⋅=⋅，所以()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅= ，所以PB CA ⊥，同理可得,PA C A PC B B ⊥⊥ ，故点P 是ABC V 的垂心，故()2AP AC AB BP AC AB AC ⋅=+⋅=⋅=，故A 正确；B 选项，取AB 的中点M ，则2PA PB PM +=，故20PM AB ⋅=，故PM ⊥AB ，取BC 的中点N ，则2PB PC PN += ，故20BC PN ⋅=，故PN ⊥BC ，故点P 是ABC V 外心，故PA PB PC ==，B 正确；的C 选项，由正弦定理得sin sin AB AC CB=，故sin sin AB B AC C =，故()sin sin sin AB AC AP AB AC AB B AC C AB B λλ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎝⎭，取BC 的中点N ，则2sin AN AP AB Bλ=，故点P 在ABC V 的中线上，重心在其上，故C 错误；D 选项，1122cos cos AP AB AC AB B AC C λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12cos cos AB AC AB AC AB B AC C λλ=+++，设BC 的中点N ，()12AB AC AN +=，所以cos cos AB ACAP AN AB B AC Cλλ=++，cos cos AB BC AC BC AP BC AN BC BC BC AN BC AN BC AB B AC Cλλλλ⋅⋅⋅=++⋅=-++⋅=⋅，所以()0AP BC AN BC AP AN BC NP BC ⋅-⋅=-⋅=⋅=，故点P 在BC 的中垂线上，故动点P 的轨迹经过ABC V 的外心，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：点O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且|OA |=|OB |=|OC |，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为1x 的点处作()f x 的切线，切线与x 轴交点的横坐标为2x ；用2x 代替1x 重复上面的过程得到3x ；一直下去，得到数列{}n x ，这个数列叫做牛顿数列．若函数()26f x x x =--，2ln3n n n x a x +=-且11a =，3n x >，数列{a n }的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ）A. 21621n n n x x x ++=- B. ()()()()()()12341123f x f x f x x x f x f x f x =--'''-C. 数列{a n }是递减数列 D. 2025202521S =-【答案】ABD 【解析】【分析】利用导函数与斜率的关系求出切线方程，进而可求()()221662121n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=='---，即可判断选项A ；根据21621n n n x x x ++=-，可求出()()()()()()12341123f x f x f x x x f x f x f x =--'''-，即可判断选项B ，根据22121622212633321n n n n n n nn x x x x x x x x ++++⎛⎫+-+== ⎪+--⎝⎭--，可确定数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即可判断选项C ，根据等比数列前n 项和公式即可判断选项D.【详解】()21f x x '=-，所以()f x 在点()(),n n x f x 处的切线方程为：()()()n n n y f x f x x x '-=-，令y =0，得()()221662121n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=='---，故A 正确；由于()()1n n n n f x x x f x +=-'，所以()()1211f x x x f x -'=，()()2322f x x x f x -'=，()()3433f x x x f x -'=，∴()()()()()()12341123f x f x f x x x f x f x f x =--'''-，故B 正确．22121622212633321n n n n n n nn x x x x x x x x ++++⎛⎫+-+== ⎪+--⎝⎭--，故1122ln 2ln 33n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，故C 错误．所以()1202520251211na q S q-==--，D 正确．故选：ABD.第Ⅱ卷（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知复数z 满足1i 5z =-，则z =__________．【答案】5i +##i 5+【解析】【分析】利用复数的运算求出复数z ，再结合共轭复数概念即可求解.【详解】因为1i 5z =-，所以21i 5i i iz -===-，可得5i z =-，因此可得5i z =+，故答案为：5i +.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足223n n S +=-，则该数列的通项公式为______．【答案】15,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【解析】【分析】当2n ≥时，有()()211123232n n n n n n a S S +++-=-=---=，当1n =时，15a =不满足上式，故可得该数列的通项公式.【详解】当1n =时，311235a S ==-=，当2n ≥时，有()()211123232n n n n n n a S S +++-=-=---=，当1n =时，15a =不满足上式，所以15,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩.故答案为：15,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩14. 已知向量,a b 的夹角为2π3，且6a = ，4b = ，则a 在b 方向上的投影向量为__________．【答案】34-b【解析】【分析】先根据向量数量积的概念求a b ⋅，再根据投影向量的概念求a 在b方向上的投影向量.【详解】因为6,4,a b a == 与b 的夹角为2π3，所以2π1cos 641232a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故a 在b 方向上的投影向量为234||a b b b b ⋅⋅=-.故答案为：34-b四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知等差数列{a n }的公差1d =，等比数列{b n }的公比为2q =，若1是11,a b 的等比中项，设向量12(,)a a a = ，12(,)b b b = ，且5a b ⋅= .（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设22log n an n c b =，求数列{}n c 前n 项和n T .【答案】(1) n a n = ，12n n b -= ()Nn *∈.(2) 1(2)24n nT n +=-+()*N n ∈【解析】【分析】（1）由5a b ⋅=得11225a b a b +=，又有111a b =，结合公差、公比可解得首项11,a b ，从而可得两数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）由（1）可得(1)2nn c n =-⋅，用错位相减法可求和．【详解】（1）由已知可得，11112215a b a b a b =⎧⎨+=⎩，即()1111111125a b a b a b =⎧⎨++⋅=⎩，解之得1111a b =⎧⎨=⎩，{}n a 的公差为1d =，{}n b 的公比2q =，所以n a n = ，12n n b -= ()*N n ∈，（2）()1222log 2log 212n ann n n n c b n -==⋅=- ()n N ∈，12n n T c c c =++⋅⋅⋅+ ()2342223212n n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-，()345122223212n n T n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-，两式相减得，()2341222212n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--，()()2112221242212n n n n n ++-⨯=--=-+--()1224n n T n +=-+ ()*N n ∈.16. 在锐角ABC V 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin 0c B B a b --=．（1）求角C 的大小；（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围．的.【答案】（1）π3C =（2）32⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理结合sin sin()A B C =+得到cos 10C C --=，由辅助角公式得到π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出π3C =；（2）在（1）的基础上，得到2π3B A =-，1πcos cos cos +sin 26A B C A ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，并得到ππ62A <<，πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，得到cos cos cos A B C ++的取值范围.【小问1详解】因为cos sin 0c B B a b +--=，由正弦定理得，sin cos sin sin sin 0C B C B A B --=，由sin sin()A B C =+得，sin cos sin sin cos cos sin sin 0C B C B B C B C B ---=，sin sin cos sin 0C B B C B --=，又sin 0B ≠cos 10C C --=，所以π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πC <<，所以ππ66C -=，即π3C =；【小问2详解】由（1）知π3C =，故2π3B A =-，所以12πcos cos cos +cos cos 23A B C A A ⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭1111=+cos cos +cos 2222A A A A A -+=+1π=+sin 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为在锐角ABC V 中，所以π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62A <<，所以ππ2π363A <+<，πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，1π3sin 262A ⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，即cos cos cos ABC ++取值范围为32⎤⎥⎦.17. 已知M ，N 分别为函数()()()**cos N ,N ,0πf x A x A ωϕωϕ=+∈∈<<图象上相邻的最高点和最低点，MN =，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，()g x 为奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π214f C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，c =，sin 2sin A B =，求ABC V 的面积．【答案】（1）()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的性质，结合待定系数法求得，再利用三角函数平移的性质与奇偶性求得，从而得解；（2）利用已知可求得C ，由正弦定理可得2a b =，利用余弦定理可求得,a b ，可求三角形的面积.【小问1详解】的由题意得，MN ==，即2222ππ444A ω+=+，又**N ,N A ω∈∈，则2ω=，1A =，所以()()cos 2f x x φ=+，则()ππcos 2cos 263g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 为奇函数，所以()πππZ 32k k ϕ+=+∈，所以()ππZ 6k k ϕ=+∈，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由ππππ2()2cos 22sin 214626f C C C ⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1sin 262πC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为0πC <<，所以132666<+<πππC ，得π5π266C +=，得π3C =，因为sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，因为c =，代入余弦定理公式2222cos c a b ab C =+-，得22212523,b b b =-=4,2a b ∴==，得1sin 2ABC S ab C ==V ．18. 已知函数1()ex x f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（3）若函数5()()202g f a x x x =-+不具有单调性，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值； （2）证明见解析； （3）1ea >-.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数()f x 单调区间，进而求出函数的极值.（2）根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可推理得证.（3）根据给定条件，利用函数()g x 的导数有变号零点，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得解.【小问1详解】函数1()e x x f x +=的定义域为R ，求导得2e (1)e ()e ex x xx x xf x -+-'==，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在0x =处取得极大值(0)1f =，无极小值.【小问2详解】令221111)12e ()()(2x x F x x f x x +-+==-+-，(0,)x ∈+∞，求导得1()(10e ex x x F x x x -'=+=->，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，因此()(0)110F x F >=-=，所以当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+.【小问3详解】显然函数()g x 在定义域R 上的图象连续不断，而该函数不具有单调性，则函数()e x x g x a '=--在R 上有变号零点，由()0g x '=，得exx a =-，令()e x x h x =-，求导得1()ex x h x -'=，当1x <时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min 1()eh x =-，而当x →-∞时，()h x →+∞，即函数()h x 的值域为1[,)e-+∞，因此当1ea >-时，函数()g x '存在变号零点，所以实数a 的取值范围是1ea >-.19. 在一个由n 个数()1,2,,,2n n n ∈≥N 构成的排列12n j j j 中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．排列12n j j j 的逆序数记为()12n T j j j ．例如2431中，21，43，41，31是逆序，因此()24314T =．（1）计算(45321)T ；（2）设数列{a n }满足()()1453213412n n a a T T +=⋅-，132a =，求{a n }通项公式；（3）设排列12(,3)n j j j n n ∈≥N 满足1(2,3,,1)i j n i i n =+-=- ，11j =，n j n =，()12n n b T j j j = ，12(3)20.01n n c n b +=≥+，证明：342n c c c +++< ．【答案】（1）9 （2）()1192n n a n -*=+∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列45321中的逆序个数，从而得解；（2）利用逆序数的定义得到194n n a a +=-，从而利用构造法推得12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）根据1i j+和i j 的关系得到12()n T j j j ，即n b ，将1n b +代入，得到n c ，放缩后裂项相消求和．【小问1详解】由题设定义，知(45321)33219T =+++=；【小问2详解】(3412)4T =，又(45321)9T =，所以194n n a a +=-，设()19n n a a λλ++=+，得198n n a a λ+=+，所以84λ=-，解得12λ=-，则111922n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为11102a -=≠，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为9的等比数列，所以1192n n a --=，则()1192n n a n -*=+∈N ．【小问3详解】由题意得11121i i j i n i n n i n =⎧⎪=-++≤≤-⎨⎪=⎩，，，，所以()()()1111121i i j j n i n i i n +-=+---+-=-≤≤-，的所以()()()()()()()1211212341n T j j j T n n n i n n n =--+-=-+-++ ()()()()()33123322n n n n n --+--==≥，即()()()2332n n n b n --=≥，所以()()()()122211220.01120.011221n n c b n n n n n n +⎛⎫==<=- ⎪+--+----⎝⎭，所以3411111121212223211n c c c n n n ⎛⎫⎛⎫+++<-+-++-=-< ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，即342n c c c +++< 得证．【点睛】本题主要考查数列的新定义，数列的求和，裂项求和法，数列的应用，读懂逆序的概念，利用待定系数法()19n n a a λλ++=+求出λ，巧用放缩法及裂项相消求和来证明不等式成立．。

安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a3．i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）6．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．7．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）A．①B．②C．③D．④8．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．1210．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．30011．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题。

第八中学东校区2021届高三10月单元检测本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

〔月考〕数学〔理〕试题一、选择题。

1.复数z满足，那么复数z在复平面内的对应点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得．∴复数z在复平面内的对应点的坐标为，位于第一象限．应选：A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．2.设向量，满足，那么〔〕A. 2B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得，从而求得的值．【详解】解：∵，∴∵向量，满足∴∴那么应选：B．【点睛】此题主要考察两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于根底题．3.给出以下四个命题：①假设，那么或者；②，都有；③“〞是函数“的最小正周期为〞的充要条件；④的否认是“〞；其中真命题的个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用三角函数的周期判断③的正误；利用命题的否认判断④的正误；【详解】解：对于①假设，那么或者；显然不正确，不满足交集的定义；所以①不正确；对于②，都有；当时，不等式不成立，所以②不正确；对于③“〞是函数“，函数的最小正周期为〞的充要条件；不正确，当时，函数的周期也是，所以③不正确；对于④“〞的否认是“〞；满足命题的否认形式，正确；应选：A．【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，考察函数恒成立、三角函数的周期、交集的定义、命题的否认，是根底题．4.函数是定义在R上的偶函数，且，且对任意，有成立，那么的值是〔〕A. 1B. -1C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】求出函数的周期，利用周期和条件得出答案．【详解】解：∵是偶函数，∴，∴，∴，∴的周期为4，∴．应选：A．【点睛】此题考察了函数的奇偶性与周期，考察函数值的计算，属于中档题．5.函数的零点的个数是〔〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】当时,由函数图像可知有两个交点;当时,有一个零点,所以一共有3个零点,选B.6.在平行四边形ABCD中, AD =" 1,", E为CD的中点. 假设, 那么AB的长为 . 【答案】【解析】设AB的长为，因为，，所以==+1+=1，解得，所以AB的长为.【考点定位】本小题主要考察平面向量的数量积等根底知识，纯熟平面向量的根底知识是解答好本类题目的关键.7.数列的前n项和为，且，那么使不等式成立的n的最大值为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据题意，由数列满足分析可得数列的通项公式，进而可得，分析可得数列是以1为首项，4为公比的等比数列，由等比数列前n项和公式分析可得，变形可得，结合n的范围即可得n的最大值，即可得答案．【详解】解：根据题意，数列满足，当时，，得，当时，，即，所以又∵满足上式，即是以2为公比，1为首项的等比数列那么，那么，那么数列是以1为首项，4为公比的等比数列，那么，假设，那么有，变形可得：，又由，那么，即n的最大值为4；应选：B．【点睛】此题考察数列的递推公式，涉及等比数列的性质以及前n项和的计算，关键是推导数列的通项公式．8.函数，那么的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图像进展排除，由此得出正确选项.【详解】由于，，排除D选项.应选A.【点睛】本小题主要考察详细函数的解析式，判断函数的图像，属于根底题.9.定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，那么不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用导数和即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和可得，即可得出．【详解】解：设那么∵，∴．所以函数是R上的减函数，∵函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，∴，原不等式等价为，∴不等式等价，．∵在R上单调递减，∴．应选：B．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．10.在锐角中，角的对边分别为，假设，,那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,,,,故答案选点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。

山东省聊城市斜店中学2019-2020学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则（）A． B．C．D．参考答案：A2. 已知函数，则下列结论中正确的是(A) 函数的最小正周期为(B) 函数的图象关于点对称(C) 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象(D) 函数在区间上单调递增参考答案：C3. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A．B．C．D．参考答案：D略4. 函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D6. 斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（1，）D．B解：∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴，∴=2．7. 已知向量若与平行，则实数的值是(***). A.1 B. C.2 D.参考答案：C8. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若△的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的面积为，则A. 2B.4 C.6 D. 8参考答案：B9. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（）A. B. C.D.参考答案：A10. 已知函数若，则（）A．2 B．3 C．4 D．15参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，则的值为参考答案：1略12. 执行如图所示的伪代码,输出的结果是▲ .参考答案：答案：2513. 为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为．参考答案：120014. 正方体的外接球与内切球的表面积的比值为_______.参考答案：315. （2012?肇庆二模）（选做题）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=．参考答案：45°【考点】：弦切角；圆周角定理．【专题】：计算题．【分析】：连接BD，BD与EC相交于点F，因为CD为圆O的切线，由弦切角定理，则∠A=∠BDC，又CE平分∠ACD，则∠DCE=∠ACE．两式相加∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE．根据三角形外角定理∠DEF=∠DFE又∠ADB=90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠CED=∠DFE=45°．【解答】：解：连接BD，BD与EC相交于点F，因为CD为圆O的切线，由弦切角定理，则∠A=∠BDC．又CE平分∠ACD，则∠DCE=∠ACE．所以∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE．根据三角形外角定理，∠DEF=∠DFE，因为AB是圆O的直径，则∠ADB=90°，所以△EFD是等腰直角三角形，所以∠CED=∠DFE=45°．故答案为：45°【点评】：本题考查有关圆的角的计算．根据图形寻找角的关系，合理进行联系与转化是此类题目的关键．16. 设双曲线C：作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，其中M位于第二象限，B（0，b），若是锐角，则双曲线C的离心率的取值范围是__________.参考答案：因为是锐角，故与的数量积为正数。

2020年湖南省常德市澧县第六中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数是纯虚数，则实数等于（A）（B）2 （C）（D）－2参考答案：B略2. 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．4 C．5 D．8参考答案：B考点：线性规划导数的综合运用试题解析：由图知：f（x）在单调递减，单调递增，又，所以等价于作的可行域：A（2，0）,B（0，4），所以故答案为：B3. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f （x）的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数g（x）＝x3－x2＋3x－＋，则的值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013参考答案：A4. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为,延长交双曲线右支于点，若,则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：C5. 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，则函数的图象与函数的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称参考答案：D略6. 方程的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C略7. 命题“对任意,都有”的否定为（）对任意,都有不存在，使得存在,使得存在,使得参考答案：D略8. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7参考答案：A9. 已知为实数，则是关于的绝对值不等式有解的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：由得：或，因为关于的绝对值不等式有解集，而，所以，所以是关于的绝对值不等式有解的必要不充分条件，故选B．考点：1、绝对值不等式；2、充分与必要条件．10. 已知集合，集合，若，且的最小值为：A．2 B. C. D. 1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与圆交于两点，是坐标原点，向量满足，则实数的值是。

南康中学2019～2020学年度第一学期高三第二次大考化学试卷一、单项选择题（每题仅有一个符合条件的选项，3分/题，共48分）1.化学与生活密切相关，下列说法正确的是（ ）A. 吃含有食品添加剂的食物对人体健康均有害B. 为消除碘缺乏病，政府规定在食盐中必须添加一定量的KIC. 在食品袋中放入盛有硫酸亚铁的透气小袋,可防止食物受潮、氧化变质D. 纯碱可用于生产普通玻璃，日常生活中也可用纯碱溶液来除去物品表面的油污【答案】D【解析】【详解】A．合理使用食品添加剂，对丰富食品生产和促进人体健康有好处，可以食用，但不能过量，故A 错误；B ．“加碘食盐”是根据国家标准将碘酸钾(KIO 3)与食盐按6：100000的质量比混合配制而成，故C 错误；C ．在食品袋中放入盛有硫酸亚铁的透气小袋，可防止食物氧化变质，但不能防受潮，故C 错误；D ．纯碱是生成普通玻璃的原料之一，其水溶液显碱性，可促进油脂水解，可用于除去物品表面的油污，故D 正确；故答案为D 。

2.下列有关化学用语表示正确的是（ ）A. 乙醇的结构简式：C 2H 6OB. 氨基的电子式：C. 镁离子的结构示意图：D. 中子数为79、质子数为55的铯（Cs ）原子Cs7955【答案】B【解析】【详解】A．乙醇的官能团为羟基，乙醇可以看作羟基取代的乙烷的一个氢原子，乙醇的结构简式为：CH 3CH 2OH ，故A 错误；B ．氨基中氮原子最外层为7个电子，氨基的电子式为：，故B 正确；C ．镁离子的核电荷数为12，核外电子总数为10，镁离子正确的离子结构示意图为：，故C 错误；D ．中子数为79、质子数为55 的铯(Cs)原子的质量数为134，该原子正确的表示方法为：，故D 错误；13455Cs 故答案为B 。

【点睛】解化学用语这类问题过程中需要重点关注的有：①书写电子式时应特别注意如下几个方面：阴离子及多核阳离子均要加“[]”并注明电荷，书写共价化合物电子式时，不得使用“[ ]”，没有成键的价电子也要写出来。

四川省射洪中学2019届高三上学期第三次（12月）月考地理试卷山西运城盐池被称为中国的“死海”，湖水含盐度高，在偏南风盛行的季节，湖边盐田常有“南风一吹，隔宿成盐”的奇特现象。

下图为山西部分区域图，读图完成下列问题。

、1. 由图可知，山西运城盐池的形成原因为A. 地壳挤压凹陷积水而成B. 流水侵蚀后积水而成C. 地壳断裂下陷积水而成D. 火山口积水而成2. 关于“南风一吹，隔宿成盐”现象说法正确的是A. 此现象出现于春季，春季降水少，气温回升快，易于蒸发B. 此现象出现于夏季，夏季气温高，位于山脉背风坡，蒸发旺盛C. 此现象出现于冬季，冬季多大风天气，易于蒸发D. 此现象不会出现于夏季，夏季降水丰富，不利于成盐【答案】1. C 2. B【解析】【1题详解】读图可知，运城盐池地处中条山山前断陷带，是岩层断裂下陷，流水在低洼处汇集成湖，流水带来的盐分长期在湖泊内累积，形成盐池，故C项正确。

【2题详解】由所学知识可知，河东盐池位于东亚季风气候区，南风盛行为夏季，气温高，蒸发量大，盐池位于中条山北侧，处于南风的背风坡，气流下沉，气温高，降水少，蒸发强，利于晒盐，故B项正确。

纳米布沙漠濒临大西洋，沿岸海雾浓重。

在海岸附近的浅滩上，栖息着数以万计披着火红羽毛的火烈鸟，使该地区显得生机盎然。

纳米比亚沙漠腹地的辛巴族仍然保存着较原始的生活方式，终年不洗澡，也从不穿上衣，代之以用混合着黄油和香料的红土涂抹在身上、头发上，被人们称为“红泥人”。

根据材料回答下列问题。

3. 关于沿岸海雾浓重、多而不散，其原因说法正确的是①热带地区，气温高，蒸发旺盛②海洋水汽较多③沿岸暖流增湿明显④副热带高压控制，气流下沉A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④4. 该地适合火烈鸟集聚的根本原因是A. 该地气候温和，适宜火烈鸟越冬B. 丰富的营养物质使鱼类大量繁殖，火烈鸟食物充足C. 地形平坦开阔，为火烈鸟提供广阔的栖息地D. 该地人类活动少，对火烈鸟影响小5. 从适应环境角度，辛巴族人将红土涂抹在身体上的原因不包括A. 该地降水少，晴天多，太阳辐射强，红泥可抵御烈日暴晒B. 该地多晴天，昼夜温差大，红泥可以封闭毛孔能抵御夜晚低温C. 该地植被少，红泥颜色与环境相近，能起到隐蔽作用，抵御野兽袭击D. 该地气温高，多蚊虫滋生，红泥防止蚊虫叮咬【答案】3. B 4. B 5. C【解析】【3题详解】该地位于热带地区，蒸发旺盛，海洋水汽较多；水汽受沿岸寒流影响冷凝成雾；副高下沉气流使得雾不易扩散，①②④对，故B项正确。