概率论2-5

[2] 概率的古典定义·概率加法定理一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1. 电话号码由七个数字组成，每个数字可以是9,,2,1,0 中的任一个数（但第一个数不能为0），则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为6048.0106196919=⋅⋅A A A ． 2. 把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为0667.015110108833==⋅A A A ． 3. 将20个球队任意分成两组（每组10个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为5263.01910102012918==⋅C C C ． 4. 一盒中有20张奖票（其中只有2张有奖），现有两人依次从盒中各抽一张奖票．第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为1.0101=． 5. 一批产品共有200件, 其中有6件次品．任取3件产品恰有1件是次品的概率为0856.03200162194=⋅C C C ;任取3件产品没有次品的概率为9122.032003194=C C ; 任取3件产品中次品不少于2件的概率为0022.01320031943200162194=-⋅-C C C C C ． 6. 在区间)1,0(内随机地取两个数，则所取两数之和不超过5.0概率为81．二、一批产品共有20件，其中一等品8件，二等品12件．现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件等级相同的概率．【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】设取出的产品中恰有2件等级相同的概率为),(A P 则7579.0)(3202121811228=⋅+⋅=C C C C C A P 三、在1到100共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被3或7整除的概率．【解】设这个数能被3或7整除的概率为),(A P 则43.0)(11001411001141100133=-+=C C C C C C A P四、 设41)( ,0)()( ,31)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求三事件C B A ,,中至少有一个发生的概率．【解】因为0==P(AC)P(AB),所以ΦAC ΦAB ==,，从而ΦC AB =)(,可推出0)(=ABC P ,所求为)(C B A P ⋃⋃)()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P +---++=75.04341313131==-++=.[3] 条件概率·概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设B A ,是随机事件，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，4.0)|(=A B P ， 则=)(AB P 48.0．2．设B A ,是随机事件，已知()0.6P A =，5.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(A B P 5.0．3．设B A ,是随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(B A P 62.0．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 D 】1．已知事件A 发生必导致事件B 的发生，且1)(0<<B P ，则=)|(B A P)(A 1．)(B 5.0． )(C 25.0． )(D 0． 【 B 】2．已知21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则=)(B A P )(A 21． )(B 31． )(C 41． )(D 51． 【 A 】3．已知事件A 与B 满足条件2.0)(=B A P ，且6.0)(=A P ，则=)|(A B P)(A 5.0． )(B 6.0． )(C 7.0． )(D 8.0．三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】设A =“拨通电话”，,2,1""）（次才拨通电话第==i i B i则 211B B B A +=,，101)(1=B P ，10191109)()()(11221=⋅==B P B B P B B P 故2.0101101)()()(211=+=+=B B P B P A P ；四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为8.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率．（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率．【解】设A:{该考生选出此题正确答案},B:{该生会做此题}，则41)|(,1)|(,8.0)(===B A P B A P B P （1）85.0412.018.0)|()()|()()()(.)(=⋅+⋅=+=+=B A P B P B A P B P B A P AB P A P （2）9412.085.08.0)()()|()|()()(===⇒=A P AB P A B P A B P A P AB P五、盒中放有10个乒乓球，其中有6个是新的．第一次比赛时从盒中任取2个来用，比赛结束后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取2个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率．【解】设A:{ 第二次比赛时取出的都是新球},i B :{第一次比赛时取出i 个新球}，)|()()|()()|()()()()(.)(221100210B A P B P B A P B P B A P B P AB P AB P AB P A P ++=++= 2074.021024210262102521016142102621024=⋅+⋅+⋅=C C C C C C C C C C C C C[4] 随机事件的独立性·独立试验序列一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为9.0和8.0，则目标被击中的概率为98.0．2. 设事件A 与B 独立，7.0)(,4.0)(==B A P A P ，则=)(B P 5.0．3. 一射手对同一目标独立地进行4次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中1次的概率为8180，则该射手的命中率=p 32．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(,0)(>>B P A P ，则下面命题不正确．．．的是 )()()(B P A B P A =． )()()(A P B A P B =． )(1)()(B P A P C -=． )()()()(B P A P AB P D =．【 D 】2．一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为)(A q p --1． )(B pq -1． )(C pq q p -+ )(D pq q p +--1．【 D 】3．某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为)10(<<p p ，则此人4次射击恰好命中2次的概率为)(A 2)1(3p p -．)(B 2)1(6p p -． )(C 22)1(3p p -． )(D 22)1(6p p -．三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于1.0，第二台等于2.0，第三台等于3.0．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．【解】设A:{ 一小时内第一台车床需要工人照管},B :{一小时内第二台车床需要工人照管}C :{一小时内第三台车床需要工人照管}，D :{一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管}，则,3.0)(,2.0)(,1.0)(===C P B P A P)()()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P D P +++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=7.08.09.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 902.0=四、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是2.0,2.0,3.0，求电路发生间断的概率．【解】设1A :{ 电池a 损坏}，2A :{ 电池b 损坏}，3A :{ 电池c 损坏}，B :{ 电路发生间断}，则)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+==)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是7.0．现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．【解】设A :{ 任何一人贡献正确意见}，则,7.0)(=A P 于是所求概率为 )9()8()7()6()5()5(99999P P P P P m P ++++=≥[5] 离散随机变量·三个重要的离散分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设离散随机变量X 的概率分布为,2,1,25)(===k a k X P k ， 则常数=a 51． 2．某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为3=λ的泊松分布，则该段高速公路每周发生4次交通事故的概率为168075.0．（取0498.0e 3≈-）3．自动生产线在调整以后出现废品的概率为)10(<<p p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．则在两次调整之间生产的合格品数X 的概率分布为：二、已知一批产品共20个，其中有4个次品．（１）不放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布． （２）放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布．【解】（1）设随机变量X 维取出的样本中的次品数，则)20,4,6(~H X ，即X 的概率函数为 X 012 n )(x p p pq 2pq npq)4,3,2,1,0()(6206164===-x C C C x X P x x从而X 的概率分布为（2）设随机变量Y 为取出的样本中的次品数,则)2.0,6(~B Y ,Y 的概率函数为)6,5,4,3,2,1,0()2.01()2.0()(66=-==-y C y Y P y y y从而Y 的概率分布为三、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，设X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，求X 的概率分布．【解】设随机变量X 为在取得合格品以前已取出的废品数，则X 可能取值为0,1,2,3，，43129)0(===X P ，449119123)1(=⋅==X P ，2209109112123)2(=⋅⋅==X P ，220199101112123)3(=⋅⋅⋅==X P 即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于01.0，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算）．【解】（1）设随机变量X 为一小时内使用电话的用户数，则)01.0,300(~B X ,168877.0)01.01()01.0()4(29644300≈-==C X P（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168075.0!43)4(34≈≈=-e X P 相对误差为.5168877.0168075.0168877.0000≈-=δ。

浙大概率论第五版习题答案浙大概率论第五版习题答案概率论是数学中的一门重要学科，它研究的是随机现象的规律和性质。

在浙江大学的概率论教材中，第五版是最新的版本，它包含了许多习题供学生练习和巩固知识。

本文将为大家提供浙大概率论第五版习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握概率论的知识。

第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 概率的基本概念1. 掷一颗骰子，出现1的概率是多少？答案：由于骰子有6个面，每个面出现的概率是相等的，所以出现1的概率是1/6。

2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，从中随机取出一个球，取到红球的概率是多少？答案：袋子中一共有8个球，其中5个是红球，所以取到红球的概率是5/8。

1.2 随机事件及其概率1. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，取到红桃的概率是多少？答案：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红桃牌，所以取到红桃的概率是13/52，即1/4。

2. 一箱中有6个红球和4个蓝球，从中不放回地抽取2个球，取到两个红球的概率是多少？答案：第一次抽取红球的概率是6/10，第二次抽取红球的概率是5/9，所以取到两个红球的概率是(6/10)*(5/9)=30/90，即1/3。

第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率及其性质1. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取一个产品，如果抽到的产品是次品，那么它是A型产品的概率是30%，那么这批产品中A型产品的比例是多少？答案：设A为抽到的产品是A型产品的事件，B为抽到的产品是次品的事件。

根据条件概率的定义，P(A|B)=0.3，P(B)=0.1，所以P(A∩B)=P(B)*P(A|B)=0.1*0.3=0.03。

又因为P(A∩B)=P(A)*P(B)，所以P(A)=P(A∩B)/P(B)=0.03/0.1=0.3。

2. 一批产品中有20%的次品，现从中随机抽取两个产品，如果第一个产品是次品，那么第二个产品也是次品的概率是多少？答案：设A为第一个产品是次品的事件，B为第二个产品是次品的事件。

第二章随机变量及其分布习题全解习题2–11.一批产品中含有正品和次品，从中每次任取一件，有放回地连取3次，以X 表示取到的次品数．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)设该批产品的次品率为p ，求X 的取值概率．解有放回地连取3次，每次都可能取到次品，且取到次品的概率均为p .(1)X 的可能取值为0,1,2,3；对应事件的样本点为{0}{(,,)}X ==正正正{1}{(,,),(,,),(,,)}X ==次正正正次正正正次{2}{(,,),(,,),(,,)}X ==次次正次正次正次次{3}{(,,)}X ==次次次(2)每次取到次品的概率为p ，连取3次相当于3重伯努利试验，故33{}(1),0,1,2,3k k k P X k C p p k -==-=2.从自然数1,2,3,4中无放回地连取两个数，以X 表示两数之差的绝对值．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)求X 的取值概率．解从1,2,3,4中无放回地连取两个数，样本空间{(,)|,1,2,3,4}Ωi j i j i j ==≠；含有2412P =个样本点，各样本点等可能出现．(1)两数之差的绝对值X 可能取值1,2,3；对应事件的样本点为{1}{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}X =={2}{(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)}X =={3}{(1,4),(4,1)}X ==(2)根据X 取值所对应事件的样本点数，求得6{1}12P X ==，4{2}12P X ==，2{3}12P X ==可统一表示为4{},1,2,36kP X k k -===3.将一颗骰子连掷两次，以X 表示掷出的最大点数，求X 的可能取值及相应的取值概率．解一颗骰子连掷两次，其样本空间{(,)|,1,2,,6}Ωi j i j == 含有2636=个样本点，各样本点等可能出现．掷出的最大点数X 可能取值1,2,,6 ，对应事件{}{(,1),,(,),(1,),,(1,)}X k k k k k k k ==- 含有21k -个样本点，故X 的取值概率为21{},1,2,,636k P X k k -=== 4.某车站每60分钟发一班车，乘客在任意时刻随机到达车站．以X 表示乘客的候车时间，求(1)X 的可能取值范围；(2)乘客候车超过20分钟的概率．解考虑任一时间段内的前后两班车，发车间隔为60分钟．(1)如果乘客到达车站正好赶上前一班车发车，则候车时间0X =；否则要等后一班车，候车时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．(2)记前一班车发车时刻为0，乘客在发车间隔时间区间[0,60)内随机到达车站，候车超过20分钟意味着乘客在时间区间(0,40)内到达．根据几何概率有(0,40)402{20}603[0,60)P X >===区间的长度区间的长度5.向一个半径为1米的圆形靶子射击，设射击都能中靶，并且命中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比．以X 表示弹着点与圆心的距离，求(1)X 的可能取值范围；(2)命中靶上半径为x 的同心圆的概率．解考虑由弹着点确定的以X 为半径的同心圆．(1)因为射击都能中靶，故X 的可能取值范围为区间[0,1]．(2)对任一[0,1]x ∈，事件{0}X x ≤≤表示命中靶上半径为x 的同心圆，其概率为2{0},0P X x x λπλ≤≤=>由{01}X Ω≤≤=，有{01}1P X λπ≤≤==可得1λπ=，故命中靶上半径为x 的同心圆的概率为2{0},01P X x x x ≤≤=≤≤习题2–21.下列各表是否为离散型随机变量的分布律？(1)1010.10.50.6X P--(2)1230.10.30.5X P(3)2312311112222kX k P解根据分布律的基本性质判别：(1)否，因为{1}0.10P X =-=-<，不满足非负性．(2)否，因为31{}0.10.30.50.91k P X k ===++=≠∑，不满足规范性．(3)是，因为10,1,2,2k k >= ；且1112kk ∞==∑，满足分布律的基本性质．2.求下列随机变量X 的分布律中的常数a ．(1){},1,2,,aP X k k N N=== ；(2){},1,2,3,42k kaP X k k ===；(3){}2,1,2,k P X k a k === ．解根据分布律的规范性计算：(1)由11Nk a a N N N===∑，可得1a =．(2)由()4112341312248168kk ka a a ==+++==∑，可得813a =．(3)由1122lim 11n kn k a a a a ∞→∞=-==-∑，应有211a a =-，可得13a =．3.某射手用5发子弹射击目标，每次射击的命中率为p ．如果命中目标就停止射击，否则一直射击到子弹耗尽，求射击次数X 的分布律．解X 的可能取值为1,2,3,4,5．当5k <时，第k 次射击命中目标，前1k -次射击均未命中，有1{}(1),1,2,3,4k P X k p p k -==-=当5k =时，前4次射击均未命中，第5次射击可能命中也可能不中，有454{5}(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-综上求得X 的分布律为23412345(1)(1)(1)(1)X Ppp pp p p pp ----4.袋内有1个白球和2个黑球，从中每次任取一球，连取两次，以X 表示取到白球的次数．求下列两种情况下X 的分布律．(1)第一次取球后不放回；(2)第一次取球后放回．解袋内仅有一个白球，无放回取球至多取到一次，有放回取球至多取到两次．(1)无放回取球时，X 的可能取值为0,1．根据超几何分布，有21223{},0,1k kC C P X k k C -===计算得到X 的分布律为011233X P(2)有放回取球时，X 的可能取值为0,1,2．根据二项分布，有()()2211{}1,0,1,233kkk P X k Ck -==-=计算得到X 的分布律为012441999X P5.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，以X 表示取得第r 次成功时的试验次数，求X 的分布律．解X 的可能取值为,1,r r + ．事件{}X k =意味着第k 次试验为成功，且前1k -次试验中有1r -次成功，故X 的分布律为11(1)(1)111{}(1)(1),,1,r r k r r r k rk k P X k C p p p C p p k r r ---------==-=-=+ 6.数轴上一质点从原点出发，每次以概率p 向右移动或以概率1p -向左移动一个单位，且各次移动相互独立．以n X 表示第n 次移动后质点的坐标，求n X 的分布律．解事件{}n X k =表示经过n 次移动后质点的坐标为k ．将n 次移动视作n重伯努利试验，设其中有i 次向右移动，j 次向左移动，则有,i j n i j k +=-=，故k 与n 的奇偶性相同，且,22n kn k i j +-==由此求得n X 的分布律为222(1),,2,4,,{}0,n k n k n kn n C p p k n n n nP X k ++-⎧⎪-=--+-+==⎨⎪⎩其他7.某车间共有9台机床，各台机床在工作中开动的概率均为0.2，且工作状态相互独立．如果供给该车间的电力至多允许6台机床同时开动，求出现电力不足状况的概率．解以X 表示同时开动的机床数，则X 服从二项分布(9,0.2)B ，分布律为99{}0.2(10.2),0,1,,9k k k P X k C k -==-= 当6X >时将出现电力不足状况，出现的概率为999977{6}{}0.20.80.0003k k k k k P X P X k C -==>====∑∑8.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为8的泊松分布，求该种商品月初应准备多少库存，才能有99%以上的把握保证当月不脱销．解以X 表示当月销售量，则X 服从泊松分布(8)P ，分布律为88{},0,1,2,!k P X k e k k -===设月初准备库存为n ，要有99%以上的把握保证当月不脱销，应有88{}0.99!k nk P X n e k -=≤=≥∑查泊松分布表可得15n =．9.设某交叉路口在t 分钟内通过的汽车数服从参数与t 成正比的泊松分布，已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率．解以t X 表示t 分钟内通过的汽车数，则t X 服从泊松分布()P t λ，分布律为(){},0,1,2,!k tt t P X k e k k λλ-===根据1分钟内没有汽车通过的概率1{0}0.20!P X e λλ-===可得ln 5λ=，故2分钟内最多有一辆汽车通过的概率为112ln5220(2ln 5)1{1}{}(12ln 5)!25k k k P X P X k e k -==≤====+∑∑10.一批种子的发芽率为0.995，从中任取600粒做发芽试验，用泊松分布近似计算600粒种子中没有发芽的比例不超过1%的概率．解每粒种子不发芽的概率为10.9950.005p =-=，以X 表示600粒种子中没有发芽的种子数，则X 服从二项分布(600,0.005)B ，分布律为600600{}0.005(10.005),1,2,,600kk k P X k C k -==-= 用参数6000.0053np λ==⨯=的泊松分布(3)P 近似计算，有33{},1,2,,600!k P X k e k k -=≈= 故600粒种子中没有发芽的比例不超过1%，即6X ≤的概率为6633{6}{}0.9665!k k k P X P X k e k -==≤==≈=∑∑11.设某厂共有100台设备，各台设备的状态相互独立，且发生故障的概率均为0.01．求下列两种情况下，设备发生故障而不能得到及时修理的概率．(1)配备5名维修工，每人负责20台设备；(2)配备3名维修工，共同负责100台设备．解如果同一时刻发生故障的设备数超过相应负责的维修工数，则故障不能得到及时修理．(1)以,1,2,,5i X i = 分别表示5名维修工各自负责的20台设备中同时发生故障的设备数，则i X 相互独立，均服从二项分布(20,0.01)B ．当任一1i X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为{}{}()555111512020{1}1{1}1{1}10.010.990.0815iiii i i kkkk PX P X P X C ===-=>=-≤=-≤=-=∏∑ (2)以X 表示100台设备中同时发生故障的设备数，则X 服从二项分布(100,0.01)B ．当3X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为331001000{3}1{3}1{}10.010.990.0184k kk kk P X P X P X k C =-=>=-≤=-==-=∑∑12.设一天内进入某商场的顾客数服从参数为λ的泊松分布，每位顾客购物的概率为p ，且各位顾客是否购物相互独立．以X 表示一天内在该商场购物的顾客数，求X 的分布律．解以Y 表示一天内进入商场的顾客数，则Y 服从泊松分布()P λ，有n 位顾客进入商场的概率为{},0,1,2,!nP Y n e n n λλ-===在进入商场的n 位顾客中，购物的顾客数X 服从二项分布(,)B n p ，故在Y n =的条件下，X k =的条件概率为{|}(1),0,1,2,,k k n k n P X k Y n C p p k n-===-= 根据全概率公式，求得X 的分布律为(1){}{}{|}(1)![(1)]!()!!(),0,1,2,!nk kn kn n kn kk kn k k k p n kk pP X k P Y n P X k Y n e C p p n e p p e p ek n k k p e k k λλλλλλλλλλ∞∞--==---∞-=-======⋅--==-==∑∑∑即X 服从参数为p λ的泊松分布．习题2–31.下列函数是否为随机变量的分布函数？(1)0,1(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩；(2)0,01(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩；(3)21(),1F x x x=-∞<<+∞+．解根据分布函数的基本性质判别．(1)是，因为()F x 满足非减性，规范性和右连续性．(2)否，因为1(10)1(1)2F F +=≠=，不满足右连续性．(3)否，因为()F x 在(0,)+∞内递减，且()0F +∞=，不满足非减性和规范性．2.设下列函数为随机变量X 的分布函数，求常数,a b ．(1)01(),1111x F x ax b x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪>⎩，，；(2)()arctan ,F x a b x x =+-∞<<+∞；(3)0()sin ,1x a F x x a x b x b ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，，．解根据分布函数的基本性质分析计算．(1)根据()F x 的右连续性，应有(10)0(1)(10)1(1)F a b F F a b F -+=-+==-+==+=由此可得12a b ==．(2)根据()F x 的规范性，应有()02F a bπ-∞=-=，()12F a bπ+∞=+=由此可得11,2a b π==．(3)根据()F x 的右连续性和非减性，应有(0)sin 0()(0)1sin ()F a a F a F b b F b +===+===且()F x 在(,]a b 上单调非减，由此可得2,2,0,1,2,2a kb k k πππ==+=±± ．3.设离散型随机变量X 的分布律为210112X Paa -求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据分布律的非负性和规范性，应有210,12a a a ≥++=由此可得312a -=，故X 的分布律为10113123222X P---并由分布律求得X 的分布函数为0,11,102()3,0121,1x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩4.某设备在试运行过程中，有3个独立的部件可能需要调准，其概率分别为0.1,0.2和0.3．以X 表示需要调准的部件数，求X 的分布律和分布函数．解记第i 个部件需要调准的事件为,11,2,3i A =．则123123123123123123123123{0}{}0.90.80.70.504{1}{}0.0560.1260.2160.398{2}{}0.0140.0240.0540.092{3}{}0.10.20.30.006P X P A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A ===⨯⨯====++====++====⨯⨯= 综上求得X 的分布律为01230.5040.3980.0920.006X P根据分布律求得X 的分布函数为0,00.504,01()0.902,120.994,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩5.设离散型随机变量X 的分布函数为0,00.2,01()0.5,120.8,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩求：(1)X 的分布律；(2)概率{03}P X <<；(3)条件概率{03}P X X ><解根据分布函数求出分布律，再计算有关概率．(1)由()F x 的间断点及{}()(0)P X x F x F x ==--，求得X 的分布律为01230.20.30.30.2X P(2)根据X 的分布律求得{03}{1}{2}0.30.30.6P X P X P X <<==+==+=(3)按条件概率的定义及X 的分布律，可得{03}0.6{03}0.75{3}0.8P X P X X P X <<><===<习题2–41.设随机变量X 的密度函数为sin 0()20x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其他求概率{}63P X ππ≤≤，并求分布函数()F x ．解根据密度函数()f x ，所求概率为{}336631()sin 632PX f x dx xdx ππππππ-≤≤===⎰⎰注意到密度函数()0f x =的区间上积分为零，求得分布函数为0200,0()()sin ,02sin ,20,01cos ,021,2xxx F x f t dt tdt x tdt x x x x x πππππ-∞⎧<⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎩⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰2.设随机变量X 的密度函数为,01()0,a x x f x <<⎧=⎨⎩其他求：(1)常数a ；(2)常数c ，使{}{}P X c P X c <=>；(3)分布函数()F x .解(1)根据密度函数的规范性，有12()13f x dx a xdx a +∞-∞===⎰⎰由此可得32a =．(2)由{}{}1{}P X c P X c P X c <=>=-<，有2{}1P X c <=，故32031{}()22ccP X c f x dx xdx c -∞<====⎰⎰由此可得314c =．(3)由密度函数3,012()0,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求得分布函数为01030,03()(),0123,120,0,011,1xx x F x f t dt t dt x t dt x x x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰⎰⎰3.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x ae x -=-∞<<+∞求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据密度函数的规范性，有0||0()21x x x f x dx ae dx ae dx ae dx a +∞+∞+∞---∞-∞-∞==+==⎰⎰⎰⎰由此可得12a =．由密度函数||1()2x f x e -=，求得分布函数为001,02()()1,021,0211,02x t xxt t x x e dt x F x f t dt e dt e dt x e x e x -∞-∞--∞-⎧<⎪==⎨⎪+≥⎩⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩⎰⎰⎰⎰4.设随机变量X 的分布函数为2,0()0,0x a be x F x x -⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩求常数,a b ；并求密度函数()f x ．解根据分布函数的右连续性和规范性，有(00)(0)0a b F F +=+==，()1F a +∞==由此可得1,1a b ==-．由分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->⎪=⎨≤⎪⎩求导得到密度函数为22,0()()0,0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩5.设随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，已知()0.8F a =，求()F a -的值，并求概率{0}P X a ≤≤和{}P X a >．解对任意的x ，由()()f x f x -=可得()()()()1()1()xxxxF x f t dt f u du f u du f u du F x -+∞-∞+∞-∞-==--==-=-⎰⎰⎰⎰特别地，当0x =时，有(0)1(0)F F =-，即(0)0.5F =．根据以上结果，分别求得()1()10.80.2{0}()(0)0.80.50.3{||}()[1()]0.2(10.8)0.4F a F a P X a F a F P X a F a F a -=-=-=≤≤=-=-=>=-+-=+-=6.设随机变量X 服从区间(0,5)上的均匀分布，对X 进行3次独立观测，求至多有一次观测值小于2的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,055()0x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其他在每次观测中，观测值小于2的概率为221{2}()0.45P X f x dx dx -∞<===⎰⎰以Y 表示3次观测中观测值小于2的次数，则(3,0.4)Y B ，故所求概率为11330{1}{}(0.4)(0.6)0.648k k k k k P Y P Y k C -==≤====∑∑7.设随机变量X 服从区间(2,6)-上的均匀分布，求一元二次方程20t X t X ++=有实根的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,268()0x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他方程20t X t X ++=有实根的充分必要条件为24X X ≥，即0X ≤或4X ≥，故所求概率为622411{4}{0}{4}0.588P X X P X P X dx dx -≥=≤+≥=+=⎰⎰8.设某元件的使用寿命X (单位:小时)服从参数0.002λ=的指数分布，求：(1)该元件在使用500小时内损坏的概率；(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率；(3)该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.0020.002,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩由此分别求得(1)该元件在使用500小时内损坏的概率为5000.0021{500}0.0021x P X e dx e --<==-⎰(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率为0.00221000{1000}0.002x P X e dx e +∞-->==⎰(3)根据指数分布的无记忆性，该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率为0.0021500{1000|500}{500}0.002x P X X P X e dx e +∞-->>=>==⎰9.设顾客在银行排队等候的时间X (单位:分)服从参数0.1λ=的指数分布．某顾客每周去一次银行办理业务，如果等候时间超过20分钟就离开，求该顾客一个月内至少有一次未办成业务的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.10.1,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩故等候时间超过20分钟的概率为0.1220{20}0.1x P X e dx e +∞-->==⎰该顾客一个月内去银行4次，以Y 表示未办成业务的次数，则2(4,)Y B e - ，至少有一次未办成业务的概率为24{1}1{0}1(1)P Y P Y e -≥=-==--10.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，已知{}0.9P X c μ-≤=，求{}P X c μ->．解由2(,)X N μσ 可知，其密度函数曲线关于x μ=对称，有{}{}P X c P X c μμ-<-=->根据已知条件{}0.9P X c μ-≤=，可以求得(){}{}{}2{}21{}2(10.9)0.2P X c P X c P X c P X c P X c μμμμμ->=->+-<-=->=--≤=⨯-=11.设随机变量X 的密度函数为24481(),8x x X f x e x π++-=-∞<<+∞求：(1)X 服从何种分布；(2)概率{2}P X <-，{2}P X >，{44}P X -≤≤；(3)满足{}0.95P X c ≤>的常数c 的允许值．解X 的密度函数可表为222(2)4482211()822x x x X f x e eππ+++--⋅==⋅(1)对照正态分布2(,)N μσ的密度函数22()21()2x f x eμσπσ--=可知2(2,2)X N - ．(2)将X 标准化，查标准正态分表求得{}{}{}2{2}0(0)0.522{2}1{2}121(2)0.022822{44}13(3)(1)(3)(1)10.842X P X PX P X P X P X P X P ΦΦΦΦΦΦ+<-=<==+>=-≤=-<=-=+-≤≤=-<<=--=+-=(3)根据题意，要满足{}()222{}0.95222X c c P X c P=Φ+++≤=≤>反查标准正态分表可得2 1.652c +≥，故 1.3c ≥．12.设某车床加工的产品的直径服从正态分布2(100,0.2)N ，如果产品直径在1000.3±之间为合格，求该车床加工的产品的合格率．解以X 表示该车床加工的产品的直径，则2(100,0.2)X N ．根据产品标准，当99.7100.3X ≤≤时为合格，故产品的合格率为{}99.7100100100.3100{99.7100.3}0.20.20.2(1.5)( 1.5)2(1.5)10.8664X P X PΦΦΦ---≤≤=≤≤=--=-=13.设某车间每名工人每月完成的产品数服从正态分布2(3000,50)N ，按规定全车间有3%的工人可获超产奖，求获奖者每月至少要完成的产品数．解以X 表示每名工人每月完成的产品数，则2(3000,50)X N ．记获奖者每月至少要完成的产品数为c ，根据获超产奖的比例，有{}()30003000{}1{}15050300010.0350X c P X c P X c Pc Φ--≥=-<=-<-=-=由此可得()30000.9750c Φ-=，反查标准正态分布表得30001.8850c -=故获奖者每月至少要完成的产品数3094c =．14.设某课程的考试成绩服从正态分布2(75,)N σ，并且95分以上所占比例为2.5%．以达到60分为及格，求该课程的考试及格率．解以X 表示该课程考试成绩，则2(75,)X N σ ．根据95分以上比例，有{}()75957520{95}1{95}110.025X P X P X PΦσσσ-->=-≤=-≤=-=由此可得()200.975Φσ=，反查标准正态分布表得201.96σ=即201.96σ=，故该课程的考试及格率为{}()()()756075{60}1{60}115151 1.470.929X P X P X PσσΦΦΦσσ--≥=-<=-<=--===习题2–51.设随机变量X 的分布律为210120.10.150.20.250.3X P--求Y X =和(1)Z X X =-的分布律．解根据X 的分布律，有2101221012(1)620020.10.150.20.250.3X X X X P---将相同的取值合并，分别求得Y X =和(1)Z X X =-的分布律为0120.20.40.4Y P，0260.450.450.1Z P2.设随机变量X 的分布律为1{},1,2,2kP X k k ===求()sin2Y X π=的分布律．解相应于X 的取值，有()1,41sin 0,2,1,2,3,21,43X n Y X X n n X n π-=-⎧⎪====⎨⎪=-⎩根据X 的分布律，分别计算Y 的取值概率，有4111211431112{1}{41}21511{0}{2}2318{1}{43}215n n n n n n n n n P Y P X n P Y P X n P Y P X n ∞∞-==∞∞==∞∞-===-==-==========-==∑∑∑∑∑∑综上求得()sin2Y X π=的分布律为101258151515Y P-3.设随机变量X 的密度函数为21(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+定义X 的函数110,1111X Y X X -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，求Y 的分布律．解根据X 的密度函数，分别计算Y 的取值概率，有121212111{1}{1}(1)411{0}{11}(1)211{1}{1}(1)4P Y P X dx x P Y P X dx x P Y P X dx x πππ--∞-+∞=-=≤-==+==-<<==+==≥==+⎰⎰⎰综上求得Y 的分布律为101211444Y P-4.设随机变量X 的密度函数为||,11()0,X x x f x -<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =服从的分布．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <时，有(){}0Y F y P Y y =≤=；当1y ≥时，有(){}1Y F y P Y y =≤=；当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有2(){}{}{}||yY yF y P Y y P X y P y X y x dx y-=≤=≤=-≤≤==⎰综上求得2Y X =的分布函数为0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩由此可知2(0,1)Y X U = ．5.设随机变量X 服从区间(1,1)-上的均匀分布，求||X Y e -=的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,112()0,X x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(1,1)-可知||X Y e -=的取值区间为1(,1]e -．当1y e -≤或1y >时，有()0Y f y =．当11e y -<≤时，在X 的取值区间(1,1)-上，有||ln 11ln (){}{}{||ln }{1ln }{ln 1}11221ln 1()()X Y y y Y Y F y P Y y P e y P X y P X y P y X dx dxy f y F y y---=≤=≤=≥-=-<≤+-≤<=+=+'==⎰⎰综上求得||X Y e =的密度函数为11,1()0,Y e y yf y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在1y =处不可导，取(1)0Y f =．6.设随机变量X 服从区间(),22ππ-上的均匀分布，求sin Y X =的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,22()0,X x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(),22ππ-可知sin Y X =的取值区间为(1,1)-．在X 的取值区间(),22ππ-上，函数sin y x =严格单调且可导，其反函数为arcsin x y =，按公式求得sin Y X =的密度函数为2(arcsin )|(arcsin )|,11()0,11110X Y f y y y f y y y π'-<<⎧=⎨⎩⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩其他其他7.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求(0)Y a X b a =+>的分布函数和密度函数．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,xX e x f x x λλ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,+)∞及0a >，可知Y a X b =+的取值区间为(,)b +∞．当y b ≤时，有(){}0,()()0Y Y Y F y P Y y f y F y '=≤===；当y b >时，在X 的取值区间(0,+)∞上，有{}0()()(){}{}01()()Y y bx a y b ay b aY Y F y P Y y P a X b y y bP X e dxa ef y F y eaλλλλλ------=≤=+≤-=<≤==-'==⎰综上求得Y a X b =+的分布函数和密度函数为()()1,()0,,()0,y b a Y y b a Y e y bF y y b e y b af y y b λλλ----⎧⎪->=⎨⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩8.设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，求X Y e =的密度函数．解根据标准正态分布的定义，X 的密度函数为221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<+∞由X 的取值区间(,)-∞+∞可知X Y e =的取值区间为(0,)+∞．在X 的取值区间(,)-∞+∞上，函数x y e =严格单调且可导，其反函数为ln x y =，按公式求得X Y e =的密度函数为2(ln )2(ln )|(ln )|,0()001,020,0X Y y f y y y f y y e y y y π-'>⎧=⎨≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，9.设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，证明(0)Y c X d c =+≠仍服从均匀分布．证仅证明0c >的情形．根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,()0X a x b b af x ⎧<<⎪-=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(,)a b 及0c >，可知Y c X d =+的取值区间为(,)ac d bc d ++．在X 的取值区间(,)a b 上，函数y c x d =+严格单调且可导，其反函数为y dx c-=，按公式求得Y c X d =+的密度函数为()(),()01,()0,XY y d y d f ac d y bc d c c f y ac d y bc d b a c '--⎧+<<+⎪=⎨⎪⎩⎧+<<+⎪-=⎨⎪⎩，其他其他由此即知(,)Y c X d U ac d bc d =+++ ．同理可证，对于0c <的情形，有(,)Y c X d U bc d ac d =+++ ．10.设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，证明X Y e -=和1X Z e -=-均服从区间(0,1)上的均匀分布．证根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,0xX e x f x x ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,)+∞可知，X Y e -=和1X Z e -=-的取值区间均为(0,1)．在X 的取值区间(0,)+∞上，函数x y e -=和1x z e -=-均严格单调且可导，其反函数分别为ln x y =-和ln(1)x z =--，按公式分别求得X Y e -=和1X Z e -=-的密度函数为(ln )|(ln )|,01()01,010,[ln(1)]|[ln(1)]|,01()01,010,X Y X Z f y y y f y y f z z z f z z '--<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩'----<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩，其他其他，其他其他由此即知(0,1)X Y e U -= ，1(0,1)X Z e U -=- ．总习题二1.从五个数1,2,3,4,5中任取三个数，以X 表示取到的最大数，求X 的分布律．解从1,2,3,4,5中任取三个数，共有3510C =种不同取法．可能取到的最大数3,4,5X =，相应的概率为2135{},3,4,5k C P X k k C -===计算得到X 的分布律为345136101010X P2.电台每小时报时一次，某人睡觉醒来不知时间而等待电台报时，求等待时间不超过15分钟的概率．解以分钟为单位．如果醒来时恰好电台报时，则等待时间0X =；否则等待时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．等待时间不超过15分钟意味着在时间区间[45,60)内醒来．根据几何概率有[45,60)151{15}604[0,60)P X ≤===区间的长度区间的长度3.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，将试验进行到成功和失败都出现为止．以X 表示试验次数，求X 的分布律．解设事件k A 为“第k 次试验首次成功”，k B 为“第k 次试验首次失败”，2,3,k = ．则事件{}k k X k A B == ，且k k A B =∅，故X 的分布律为11{}()()()(1)(1),2,3,k k k k k k P X k P A B P A P B p p p p k --===+=-+-=4.设随机变量X 的分布律为21010.512X Paa --求常数a ，并求X 的分布函数．解根据分布律的非负性和规范性，有21200.5(12)1a a a -≥⎧⎪⎨+-+=⎪⎩由此可得112a =-．根据X 的分布律1010.51.5221X P---求得X 的分布函数为0,10.5,10()20.5,011,1x x F x x x ⎧<-⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪≥⎩5.设自动生产线经过调整后出现次品的概率为0.01p =，生产过程中出现次品时立即调整生产线，以X 表示两次调整之间所生产的合格品数，求：(1)X 的分布律；(2)两次调整之间能以0.9的概率保证至少生产多少个合格品．解X 的可能取值为0,1,2, ．事件{}X k =表示连续生产k 个合格品后，第1k +个产品出现次品而需调整生产线．(1)X 的分布律为{}(0.99)0.01,0,1,2,k P X k k ==⨯=(2)两次调整之间至少生产k 个合格品的概率为{}{}(0.99)0.01(0.99),0,1,2,i k i ki kP X k P X i k ∞∞==≥===⨯==∑∑要以0.9的概率保证至少生产k 个合格品，应有(0.99)0.9k =，由此解得ln 0.910.48ln 0.99k ==故两次调整之间以0.9的概率保证至少生产10个合格品．6.对目标进行500次射击，设每次射击命中的概率为0.01，且每次射击命中与否相互独立，用泊松分布近似计算至少命中2次的概率．解以X 表示命中次数，则(500,0.01)X B ，至少命中2次的概率为15005000{2}1{1}1(0.01)(10.01)kk kk P X P X C -=≥=-≤=--∑根据500n =，0.01p =，由参数5np ==λ的泊松分布近似求得155{2}110.040.96!k k P X e k -=≥≈-=-=∑7.设在任一长为t 年的时间间隔内的地震发生次数()N t 服从参数为λt 的泊松分布，以T 表示距下次地震发生的间隔年数．求：(1)三年内发生地震的概率；(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率；(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率．解根据题意，t 年内地震发生次数()N t 的分布律为(){()},0,1,2,!k tt P N t k e k k -===λλ记间隔年数T 的分布函数为()F t ，则当0t <时，有(){}0F t P T t =≤=；当0t ≥时，注意到{}T t >等价于{()0}N t =，有(){}1{}1{()0}1tF t P T t P T t P N t e -=≤=->=-==-λ综上可得T 的分布函数为1,0()0,0te t F t t λ-⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(1)三年内发生地震的概率为3{3}(3)1P T F e -≤==-λ(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率为36{36}{6}{3}(6)(3)P T P T P T F F e e --<≤=≤-≤=-=-λλ(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率为3633{6,3}{36}{6|3}1{3}1{3}P T T P T e e P T T e P T P T e----≤><≤-≤>====->-≤λλλλ8.某型号元件的使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，用若干该型号元件组成一个系统，设各元件损坏与否相互独立．以Y 表示系统的寿命，求下列两个系统寿命Y 的密度函数．(1)由n 个该型号元件组成的串联系统；(2)由n 个该型号元件组成的并联系统．解以i X 表示第i 个元件的使用寿命．由题意知i X 独立同分布，记其分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，则1,0,0(),()0,00,0xxe x e x F xf x x x ---≥>⎧⎧==⎨⎨<≤⎩⎩λλλ(1)对于串联系统，其寿命Y 的分布函数为()11(){}1{}1{}11{}1[1()]Y nni i i i nF y P Y y P Y y P X y P X y F y ===≤=->=->=--≤=--∏∏求导得到密度函数为1,0()()[1()]()00nλyn Y Y nλe y f y F y n F y f y y -->⎧'==-=⎨≤⎩，(2)对于并联系统，其寿命Y 的分布函数为1(){}{}[()]nnY i i F y P Y y P X y F y ==≤=≤=∏求导得到密度函数为11(1),0()()[()]()00λy n λyn Y Y nλe e y f y F y n F y f y y ----->⎧'===⎨≤⎩，9.设电源电压X 服从正态分布2(220,25)N ，某电子元件当电压低于200V 时损坏的概率为0.1；当电压在200240V V 时损坏的概率为0.001；当电压高于240V 时损坏的概率为0.2，求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V V 的概率．解设事件A 为“该电子元件损坏”，记电压状态123{220},{220240},{240}B X B X B X =<=≤≤=>由2(220,25)X N ，有{}()220220220{}252525X x x P X x PΦ---≤=≤=查标准正态分布表可得()()()123(){200}0.810.80.212(){200240}120.2120.576(){240}1{240}10.80.212P B P X P B P X P B P X P X ΦΦΦ=<=-=-==≤≤=-⨯==>=-≤=-=(1)根据全概率公式，该电子元件损坏的概率为31(){}(|)0.10.2120.0010.5760.20.2120.064i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑(2)根据贝叶斯公式，该电子元件损坏时，电压在200240V V 的概率为2222(,){}(|)0.0010.576(|)0.009()()0.064P A B P B P A B P B A P A P A ⨯====10.设某门课程的考试成绩服从正态分布2(70,10)N ，如果规定优秀的比例为5%，求获得优秀的最低分数．解设获得优秀的最低分数为c ．由考试成绩2(70,10)X N ，以及优秀比例为5%，应有{}()707070{}1{}110.05101010X c c P X c P X c P---≥=-<=-<=-=Φ由此可得()700.9510c -=Φ，反查标准正态分布表得70 1.6510c -=故获得优秀的最低分数86.5c =．11.设非负随机变量X 的密度函数为()X f x ，求Y X =的密度函数．解由X 的取值区间[0,)+∞可知Y X =的取值区间为[0,)+∞．当0y =时，可取()0Y f y =．当0y >时，在X 的取值区间(0,)+∞上，函数y x =严格单调且可导，其反函数为2x y =，按公式求得Y X =的密度函数为222()(),0()002(),00,0X Y X f y y y f y y y f y y y '>⎧=⎨≤⎩>⎧=⎨≤⎩，12.设随机变量X 的密度函数为1||,11()0,X x x f x --<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =的密度函数．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <或1y ≥时，有()0Y f y =．当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有20(){}{}{}(1||)2(1)21()()1,01Y yyy Y Y F y P Y y P X y P y X y x dx x dx y yf y F y y y-=≤=≤=-≤≤=-=-=-'==-<<⎰⎰综上求得2Y X =的密度函数为11,01()0,Y y yf y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在0y =处不可导，取(0)0Y f =．。

概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： 〔1〕 X 的分 布律；〔2〕 X 的分 布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】〔2〕 当x <0时， F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=0当0≤x <1时 ，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)=2235当1≤x <2时 ，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时， F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=1 故X 的分布函 数 (3)3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设XX =0，1，2，3.故X 的 分布律为分布函数4.〔1〕 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . 〔2〕 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】〔1〕 由分布律的性质知故 e a λ-= (2) 由分布律的性质知即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： 〔1〕 两人投中次数相等的概率; 〔2〕 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b 〔3，0.6〕,Y~b (3,0.7)(1)33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需马上降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能同意一架飞机降落)？【 解】设X 为某一时刻需马上降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.000 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少〔利用泊 松定理〕？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b 〔1000，0.0 001〕 X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以 4451210(4)C ()33243P X ===. A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， 〔1〕 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 〔2〕 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】〔1〕 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6〔5，0.3〕(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b 〕 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为〔1/2〕t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关〔时间以小时计〕.〔1〕 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； 〔 2〕 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】〔1 〕32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-P { X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -= 即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： 〔1〕 保险公司亏本的概率;〔2〕 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年〞为单位来考虑.〔1〕 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为 由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有 (2) P (保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P 〔保险公司获利不少于20000〕(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：〔1〕A 值；〔2〕P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】〔1〕 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：〔1〕 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； 〔2〕 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； 〔3〕 F 〔x 〕. 【解】〔1〕 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ (2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F 〔x 〕=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为故当x <0时F 〔x 〕=0当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F 〔x 〕=1即分布函数XX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即故所求概率为X 〔以分钟计〕服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待效劳，假设超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为该顾客未等到效劳而离开的概率为2~(5,e )Y b -,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N 〔40，102〕；第二条路程较长，但堵塞少，所需时间X 服从N 〔50，42〕. 〔1〕 假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 〔2〕 又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】〔1〕 假设走第一条路，X~N 〔40，102〕，则假设走第二条路，X~N 〔50，42〕，则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.〔2〕 假设X~N 〔40，102〕，则 假设X~N 〔50，42〕，则故走第一条路乘上火车的把握大些. X ~N 〔3，22〕，〔1〕 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; 〔2〕 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】〔1〕 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度〔cm 〕X ~N 2±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ X 〔小时〕服从正态分布N 〔160，σ2〕，假设要求P {120＜X ≤200}≥0.8，同意σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭故 4031.251.29σ≤=X 分布函数为F 〔x 〕=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ 〔1〕 求常数A ，B ；〔2〕 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； 〔3〕 求分布密度f 〔x 〕.【解】〔1〕由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩〔2〕 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F 〔x 〕，并画出f 〔x 〕及F 〔x 〕.【解】当x <0时F 〔x 〕=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩X 的密度函数为〔1〕 f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F 〔x 〕. 【解】〔1〕 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰故其分布函数 (2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为 当x ≤0时F 〔x 〕=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰当x ≥2时F 〔x 〕=1 故其分布函数为 α分位点，〔1〕α=0.01，求z α;〔2〕α=0.003，求z α，/2z α. 【解】〔1〕 ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= 〔2〕 由()0.003P X z α>=得 即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，9P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+X ~N 〔0，1〕.〔1〕 求Y =e X 的概率密度； 〔2〕 求Y =2X 2+1的概率密度； 〔3〕 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】〔1〕 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- X ~U 〔0,1〕，试求：〔1〕 Y =e X 的分布函数及密度函数； 〔2〕 Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】〔1〕 (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数故Y 的密度函数为〔2〕 由P 〔0<X <1〕=1知当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤即分布函数故Z 的密度函数为X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤ 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为X 的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。