2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第196—200题(含答案解析)

感知高考刺金196向量模块6．在ABC ∆中，5BC =，,G O 分别为三角形的重心和外心，且5OG BC =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上述三种情况都有可能解：()155552OG BC OC CG BC OC BC CG BC CG BC =⇔+=⇒+=⇒=- 又()13CG CA CB =+，所以()11532CA CB BC +=- 故502CA CB =-<，故C ∠为钝角，所以ABC ∆是钝角三角形．感知高考刺金197向量模块7．已知向量0a b =，()()0a c b c --=，3a c -=，1b c -=，则a c +的最大值是 ．解：数形结合，如图所示可知60ABD ACD ∠=∠= 故222cos603a c a c +-= 即223a c a c +-=，得223a c a c a c +-=≥ 又由恒等式222222a c a c a c ++-=+知 22222343a c a c a c +=+-≥- 注意这里出现不等式打架，故调整思路为：222223329a c a c a c +=+-=+≤ 故3a c +≤感知高考刺金198解析几何模块1．已知椭圆2222:1x y E a b+=的右焦点为2F ，直线l 与曲线()222:0C x y b x +=>相切于点M ，且交椭圆E 于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为 ． 解：设()()()1222,,,,,0P x y Q x y F c ，因为PQ 与圆()222:0C x y b x +=>相切于点M所以1cx PM a 同理2cx QM a =所以2221c PF a x a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以2122,c c PF a x QF a x a a =-=-2222212122F PQ C PF QF PQ PF QF PM QMc c c c a x a x x x a a a a a ∆=++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金199解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()0,2A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是 ． 解法一：设(),M x y ，则M 的轨迹为()()22220210x y x y -+-++=，化简得()2214x y +-= 若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=只需圆C 与()2214x y +-=有公共点 所以13CN ≤≤，即13≤，解得[]0,3a ∈ 解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得()222222420MA MO MN +=+= 故2MN =（其中N 为AO 中点），故()2214x y +-=，下同解法一．感知高考刺金200解析几何模块3．若对任意α∈R ，直线:cos sin 2sin 46l x y πααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与圆()()22:1C x m m -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是 ．解：1d => 故对任意α∈R ，()22sin 416m πα⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立 等价于对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭或()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立 显然对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭不恒成立 故只有对任意α∈R ，()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立 即223m -<，得15,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。

感知高考刺金196向量模块6．在ABC ∆中，5BC =，,G O 分别为三角形的重心和外心，且5OG BC =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上述三种情况都有可能解：()155552OG BC OC CG BC OC BC CG BC CG BC =⇔+=⇒+=⇒=-又()13CG CA CB =+，所以()11532CA CB BC +=- 故502CA CB =-<，故C ∠为钝角，所以ABC ∆是钝角三角形．感知高考刺金197向量模块7．已知向量0a b =，()()0a c b c --=，3a c -=，1b c -=，则a c +的最大值是 ． 解：数形结合，如图所示可知60ABD ACD ∠=∠= 故222cos603a c a c +-= 即223a c a c +-=，得223a c a c a c +-=≥又由恒等式222222a c a c a c ++-=+知22222343a c a c a c +=+-≥-注意这里出现不等式打架，故调整思路为：222223329a c a c a c +=+-=+≤ 故3a c +≤感知高考刺金198解析几何模块1．已知椭圆2222:1x y E a b+=的右焦点为2F ，直线l 与曲线()222:0C x y b x +=>相切于点M ，且交椭圆E 于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为 ．解：设()()()1222,,,,,0P x y Q x y F c ，因为PQ 与圆()222:0C x y b x +=>相切于点M 所以1cx PM a ==== 同理2cx QM a= 所以221c PF a x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以2122,cc PF a x QF a x aa=-=-2222212122F PQ C PF QF PQ PF QF PM QM c c c c a x a x x x aa a a a ∆=++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金199解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()0,2A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是 ．解法一：设(),M x y ，则M 的轨迹为()()22220210x y x y -+-++=，化简得()2214x y +-= 若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=只需圆C 与()2214x y +-=有公共点 所以13CN ≤≤，即13≤，解得[]0,3a ∈解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得()222222420MA MO MN +=+= 故2MN =（其中N 为AO 中点），故()2214x y +-=，下同解法一．感知高考刺金200解析几何模块3．若对任意α∈R ，直线:cos sin 2sin 46l x y πααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与圆()()22:1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是 ．解：1d => 故对任意α∈R ，()22sin 416m πα⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立 等价于对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭或()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立显然对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭不恒成立故只有对任意α∈R ，()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立即223m -<，得15,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

感知高考刺金191向量模块1．在平面直角坐标系x O y 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA λλ=-∈R ，且72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的投．影长度．．．的最大值为 ．解：()()1AP OP OA OA λλ=-=-∈R ，即OP OA λ=，则,,O P A 三点共线， 故72OA OP OA OP ==设OP 在x 轴的夹角为θ，设点(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为22227272cos 7215925OB OB x xOP OP x y OAOAx θ=⋅==⋅=≤++当且仅当154x =时取得等号。

感知高考刺金192向量模块2． 已知O 是ABC ∆的外心，1cos 3A =，若AO mAB nAC =+，则m n +的最大值为 ．解：由AO mAB nAC =+，得22AO AB mAB nAC AB AO AC mAC AB nAC⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 即222211231123c mc nbc b mbc nb ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得93169316c b m c b c n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以22939393396316168168164c b b c b c bc m n c b bc bc --++=+=-≤-= 点评：这是用向量法处理三角形外心问题的一般套路，在向量等式的两边同时点积两边，可以将向量点积问题转变为边的长度问题。

感知高考刺金193向量模块3．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上有一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．解：22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理得3cos 5AOB ∠=- 过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则由23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-得21cos 5AOD ∠=又圆心到直线的距离为OD =222212cos 5OD AOD r r∠===，所以210,r r ==感知高考刺金194向量模块4．已知圆O 的半径为1，AD 为圆O 的一条动弦，以弦AD为一条边向圆O 外作正方形ABCD ，连结,,,O A O C O D B D ，设ODA θ∠=，若t a n 2θ=，OC OA OD λμ=+，则λμ+的值为 ． 解：过点O 作OH AH ⊥于H ，tan 122OH OH DC DH θ=== ()113222OC OD DC OD OH OD OA OD OA OD =+=+=++=+ 故13,,222λμλμ==+=感知高考刺金195向量模块5．已知两个不共线的向量,αβ满足3α=，2αβαβ+=－，设,αβ的夹角为θ，则cos θ的最小值是 ．解法一：代数法：由2αβαβ+=－两边平方整理得2273183cos 53030ββθββ+=≥=解法二：几何法，以,,OA OC OB ααβ=-==，由()2βααβ--=－得2BC BA =，画出图象可知β的终点B 在阿氏圆()22516x y -+=上．故θ最大为OB与阿氏圆相切时，此时3θ=cos5。

感知高考刺金186数列模块2．已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n =∈N ．若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是 ．解：{}n a 是递减数列，从4a 开始，必须满足130t -< 又对1,2,3n =，根据二次函数的性质，需要满足对称轴3522t > 注意还要满足34a a >，即991813t t -+>-， 综上得543t <<感知高考刺金187数列模块3．已知集合21|,*2n n A n n λ-⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，若A 中有且仅有3个元素，则实数λ的取值范围是 ．解：令212n n n b n a -=，考查n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，111212352222n n n n n n n b b n n na a -------=-= 当2n =时，110n n n n b b a a --->，即2121b ba a > 当3n ≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减 1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a = 由题意知，A 中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以71162λ<≤ 点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量n 取正整数，函数图象是不连续的点。

因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。

这个题目最经典的题根就是“递增数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，则λ的取值范围是 。

”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用10n n a a -->的角度来求解。

感知高考刺金188数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列{}n a 中，121,2a a ==且132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则9a = ． 解：当1k =时，由132112k k k k a a a a +++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭及121,2a a ==得4312112a a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，所以3312112a a ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以233320a a --<3a <<，又3*a N ∈，所以33a =，所以45a = 当2k =时，由5231125a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以58a = 当3k =时，由6251128a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以613a = 当4k =时，由72811213a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以721a = 继续下去，可得955a =本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得 ()()12321k k k k k k a a a a a a ++++++=-可以发现12321,k k k k k k a a a a a a ++++++==+，即斐波那契数列．感知高考刺金189数列模块5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值是 ． 解：设n a pn q =+，则()232222n n p q pn q np p q a S pn q n n q +++++=++=++ 故2322p A p q B q C ⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得3B CA -=故13B C B C A B C+-=+-≥-感知高考刺金190数列模块6．已知函数()()[)()[)()11sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足()*2m m a f m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -= ．解：()[)()[)()11sin 2,4,422,,*21sin 22,42,442n m n m n m n n m a f n m x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪⎛⎫==∈∈⎨ ⎪⎝⎭⎪-++∈++⎪⎩N N所以42n a n =，412n a n +=+，4221n a n +=+，4322n a n +=++ 故201420062007200820148042S S a a a -=+++=。

感知高考刺金296题若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是 ．解：1236n n n a a a n ++++=-，12333n n n a a a n +++++=-两式相减得33n n a a +-=故数列单调递增，只需1234a a a a <<<即可31213332a a a a =---=-- 得不等式1111133322a a a a <<--<+ 解得1123,52a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭感知高考刺金297题已知,αβ均为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是 ．解：由sin cos cos sin sin sin ααβαββ-=化简得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 12tan βββββαββββ===≤=+++当且仅当tan β时取得等号感知高考刺金298题已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(n af n f n =++，则123a a a a +++⋯+=. 解：当n 为奇数时，1+n 为偶数，22(1)21=-+=--n a n n n当n 为偶数时，1+n 为奇数， 22(1)21=-++=+n a n n n∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ， 713=a ，……∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220162016a a a ++=感知高考刺金299题在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,AC A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为 ．解：依题意，只需过点M 作直线BN 的垂面即可垂面与正方体表面的交线即为动点P 的轨迹分别取11,CC DD 中点,G H ，易知BN ⊥平面AGHD过M 作平面AGHD 的平行平面''EFG H ，点P 所构成的轨迹即为四边形''EFG H ，其周长与四边形AGHD 的周长相等，所以点P 所构成的轨迹的周长为2点评：本题中面面的交线（截痕）即为动点P 的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转换。

感知高考刺金176不等式模块2．设实数,x y 满足1x y +=,则4x x y+的取值范围是 ． 解：()4444x y x x y x x y x y x y ++=+=++ 当,x y 同号时,444448x y x x y x y +=++≥+= 当,x y 异号时,444440x y x x y x y+=++≤-= 评注：齐次化的应用,因为齐次的启发,才有()44x y =+这一步。

感知高考刺金177不等式模块3．已知,x y 为正实数,且2x y +=,则2221x y x y +++的最小值为 ． 解法一：()()()()221112221211111112112111112123131y y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x y +-+++=++=++-+=+++++++⎡⎤⎛⎫=++++=++++≥+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦解法二：令x m =,1y n +=,则题目变为若3m n +=,则()()2212212112121123n m m n m n m n m n m n m n -+⎛⎫+=+++-=++=+⋅++≥+ ⎪⎝⎭ 评注：换元法有助于简化问题,看穿本质。

感知高考刺金178不等式模块4． 设正实数,x y 满足x y xy x y +=-,则实数x 的最小值为 ． 解法一：()2210x y xy xy x y x x y +=⇒+-+=- 将其视为关于y 的一元二次方程有正根,所以()2222214031102x x x x x x ⎧∆=--≥⎪⎪⇒≥+≥⎨-⎪->⎪⎩ 解法二：112x y xy x y x y x y+=⇒-=+≥-,解得1x ≥ 感知高考刺金179不等式模块5． 已知实数,x y 满足6212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩,则z xy =的最大值为 ．解：画出可行域,(),E x y 为可行域内任意一点,目标函数z xy =理解为长方形O EPF 的面积,当z 取最大值时,点P 必在线段AB 上,即6x y +=又因为6x y +=≥即9z xy =≤点评：本题和今年四川高考第9题异曲同工,要形成不等式就是可行域的观点,解题的思路会更开阔。

感知高考刺金1211．在ABC ∆中,若()4AB AC CB -⊥,则sin A 的最大值为 。

解：()()()2204445AB AC CB AB ACCA AB ABAC AB AC =-=-+=+-()2245cos 45cos 45cos AB AC AB AC A AB AC AB AC A AB AC A =+-≥-=-即4cos 5A ≥,则3sin 5A ≤ 2．现有4人去旅游,旅游地点有A 、B 两个地方可以选择。

但4人都不知道去哪里玩,于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩,掷出能被3整除的数时去A 地,掷出其他的则去B 地；（1）求这4个人中恰好有1个人去B 地的概率；（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率。

解：依题意,这4个人中,每个人去A 地旅游的概率为13,去B 地的人数的概率为23设“这4个人中恰有k 人去A 地旅游”为事件()0,1,2,3,4i A i =∴()441233i ii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为()1311412323381P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B,则34B A A =,314034441212133339P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金1221．已知{}1234,,,A x x x x =,()212sin14x B x R x π+⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭,且1234x x x x +++的最小值为 。

解：sin4xy π=的周期为8,图象关于点()12,0中心对称,()1212y x =-图象也关于点()12,0中心对称,故要123x x x x +++最小,在y 轴右侧最靠近y 轴的四个点123441248x x x x +++=⨯=2．将3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排,如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数,数到最末一个球,黑球的个数大于或等于白球的个数,就称这种排列为“有效排列”,则出现有效排列的概率为 。

感知高考刺金961．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC,则c b b c+的最大值为 ,此时内角A 的值为 。

解法一：由21sin 2ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时,max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴,BC 中点为原点建系,则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c ==当0x =时,1b c= 当0x >时,b c =,当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦,1y t=+单调递减,所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =,AC =,则2221cos 22b c a A bc +-==,所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。

2．某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{}n a ,使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时）,记()12*n n S a a a n =+++∈ N ,则42S =时的概率为 。

解：42S =,需四次中有3次正面,1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴,y 轴的平行线,分别交直线b y x a=-于,Q R 两点,交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,当2ab =时,2212S S +的最小值为 。

解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα,()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。

感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是 ． 解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-= 函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ∆的面积取得最大值时，最长的边长等于 ．解法一：设CH h =，AH x =，由题知2210a b +=，2c =，12ABC S ch h ∆== 因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤故()max 2ABC S ∆=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC +-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==感知高考刺金238题如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围是 ．解法一：极化恒等式角度()AC BD AD DC BD DC DB =+=- 显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ，则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=- 故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度AC BD AC CE =要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。

感知高考刺金961．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC，则c b b c+的最大值为 ，此时内角A 的值为 。

解法一:由21sin 2ABCS bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时，max4c b b c⎛⎫+= ⎪⎝⎭解法二：以BC 为x 轴，BC 中点为原点建系，则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c=当0x =时,1b c=当0x >时,bc=，当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦，1y t=+单调递减，所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =，AC =，则2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。

2．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12,构造数列{}na ，使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()12*n n S a a a n =+++∈N ，则42S =时的概率为 。

解：42S=，需四次中有3次正面，1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线by x a =-于,Q R 两点，交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ∆与ONR∆的面积为12,S S ，当2ab =时，2212S S +的最小值为 。

解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα，()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22Sa b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥当且仅当4πα=时取得最小值。

感知高考刺金196向量模块6．在ABC ∆中，5BC =，,G O 分别为三角形的重心和外心，且5OG BC =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上述三种情况都有可能解：()155552OG BC OC CG BC OC BC CG BC CG BC =⇔+=⇒+=⇒=-又()13CG CA CB =+，所以()11532CA CB BC +=-故502CA CB =-<，故C ∠为钝角，所以ABC ∆是钝角三角形．感知高考刺金197向量模块7．已知向量0a b =，()()0a c b c --=，3a c -=，1b c -=，则a c +的最大值是 ． 解：数形结合，如图所示可知60ABD ACD ∠=∠=故222cos603a c a c +-= 即223a c a c +-=，得223a c a c a c +-=≥又由恒等式222222a c a c a c ++-=+知 22222343a c a c a c +=+-≥-注意这里出现不等式打架，故调整思路为：222223329a c a c a c +=+-=+≤ 故3a c +≤感知高考刺金198解析几何模块1．已知椭圆2222:1x y E a b+=的右焦点为2F ，直线l 与曲线()222:0C x y b x +=>相切于点M ，且交椭圆E 于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为 ．解：设()()()1222,,,,,0P x y Q x y F c ，因为PQ 与圆()222:0C x y b x +=>相切于点M 所以2222222221111121x cx PM OP OM x y b x b b a a ⎛⎫=-=+-=+--= ⎪⎝⎭同理2cx QM a= 所以()222222222212111111122212x c c PF x c y x cx c b x cx a a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2122,c cPF a x QF a x a a=-=-2222212122F PQ C PF QF PQ PF QF PM QM c c c c a x a x x x aa a a a ∆=++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金199解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()0,2A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是 ．解法一：设(),M x y ，则M 的轨迹为()()22220210x y x y -+-++=，化简得()2214x y +-=若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=只需圆C 与()2214x y +-=有公共点 所以13CN ≤≤，即()22133a a ≤+-≤，解得[]0,3a ∈解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得()222222420MA MO MN +=+= 故2MN =（其中N 为AO 中点），故()2214x y +-=，下同解法一．感知高考刺金200解析几何模块3．若对任意α∈R ，直线:cos sin 2sin 46l x y πααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与圆()()22:1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是 ．解：1d => 故对任意α∈R ，()22sin 416m πα⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立 等价于对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭或()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立显然对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭不恒成立故只有对任意α∈R ，()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立即223m -<，得15,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。

感知高考刺金216题已知实数a b c <<,设函数()111f x x a x b x c=++---的两个零点分别为()1212,x x x x <,则下列关系中恒成立的是（ ）（A ）12a x x b c <<<< （B ）12x a b x c <<<<（C ）12a x b x c <<<< （D ）12a x b c x <<<<解：()111f x x a x b x c=++---的两个零点, 即()()()()()()()g x x a x b x a x c x c x b =--+--+--的两个零点因为()g x 开口向上,()()()g b b a b c =--,又a b c <<,所以()0g b <即函数()g x 的零点一个大于b ,一个小于b ,且()0g a >,()0g c >所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知12a x b x c <<<<,选C感知高考刺金217题已知点()1,2A 在抛物线2:2y px Γ=上,若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上,记三边,,AB BC CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ,则123111k k k -+= ． 解：2:4y x Γ=,设211,4y B y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,222,4y C y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以222212121122123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=--- 点评：抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是基于抛物线上的点的设法2,2y y p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,在化简过程中利用好平方差公式,可以使得计算简便。

感知高考刺金561．已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 是对角线1AC 上的两点，动点P 在正方体表面上运动，满足PM PN =，则动点P 的轨迹长度的最大值为． 解：动点P 的轨迹为线段MN 的中垂面与正方体表面的截痕．2． 若5250125(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则0a = ． 答案：32感知高考刺金571．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是 ．A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以1D D 为轴线，以1D A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．2．从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有 种． 答案：180感知高考刺金581．已知函数()11f x x =-，()2113f x x =+，()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=+，若[],1,5a b ∈-，且当[]12,,x x a b ∈时，()()12120g x g x x x ->-恒成立，则b a -的最大值为 ．解：()()()()()()()()()111212212(),22(),f x f x f x f x f x f x f x g x f x f x f x ≥⎧-+⎪=+=⎨<⎪⎩即()g x 即为取()11f x x =-，()2113f x x =+中较大者．画出函数图象，且()g x 单调递增，所以单调递增区间[][],0,5a b ⊆，所以b a -的最大值为5． 2．若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是 ． 答案：14感知高考刺金591．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为 ． 解：2234z x xy y =-+，所以xyz22134xy xy x xy y xy =≤=-+ 当且仅当2x y =时，等号成立 所以222122121222x y z y y y y y +-=+-=-+ 令10t y=>，则原式()2111t =--+≤ 所以212x y z+-的最大值为1. 2．有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有 种． 答案：60感知高考刺金601．定义{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数 ,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}m a x 4,3z x y x y=+-的取值范围是 ．解：14,213,2x y y x zx y y x⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩作出22xy⎧≤⎪⎨≤⎪⎩所对应的区域如图所示：由图可知：{}[]max4,37,10z x y x y=+-∈-2．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种．答案：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460C C A C A+=+=种．。

感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。

证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}max max 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-=综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a b a =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。

感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R,设a b <,()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩,若函数()y f x x a b =++-有四个零点,则b a -的取值范围是 ． 解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定,顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线,于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示,是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-=函数()y f x x a b =++-有四个零点,可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点,故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭,解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中,若2AB =,2210AC BC +=,则ABC ∆的面积取得最大值时,最长的边长等于 ． 解法一：设CH h =,AH x =,由题知2210a b +=,2c =,12ABC S ch h ∆==因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤ 故()max 2ABC S ∆=,当且仅当1x =时,取得最大值,此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC+-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABCS AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==,等号成立,感知高考刺金238题如图,,C D 在半径为1的O 上,线段AB 是O 的直径,则AC BD 的取值范围是 ．解法一：极化恒等式角度 ()AC BD AD DC BD DC DB =+=-显然当,DC DB 均为O 的直径时,DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ,则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=-故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度 AC BD AC CE =要求max AC BD ,显然在AC 确定的情况下,CE 最大。

感知高考刺金396题 已知椭圆22221x y a b +=，12,F F 是椭圆的左、右焦点，,A C 是椭圆上关于x 轴对称的两点，B 为短轴的端点，线段AB 恰好过右焦点，若1AB CF ⊥，则椭圆的离心率e = ． 解：设()0,B b ，()2,0F c ，()2,BF c b =- ，()22,F A BF c b λλλ==- ，()(),,A A x c y c b λλ-=-即,A A x c c y b λλ=+=-，则(),C c c b λλ+ 所以12F C bk c c λλ=+，2F B bk c =-1212F C F B bb k kc c c λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪+⎝⎭2222cb c λ⇒=- 点A 在椭圆上，所以2222222222222211c c c b b c b c a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=化简得2245a c a e =⇒=感知高考刺金397题【2017新课标卷II,理14】若x,y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，,则z x y =+的最大值为____________。

解：第一步：由约束条件，画出可行域 ，如图 先确定满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，的可行域，作出3条直线，围成一个三角形区域；第二步：把目标函数()0z ax by b =+≠化为a z y xb b =-+，作直线a y x b =-将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，作直线y x =-； 第三步：平移直线a y x b =-，确定目标函数最值把直线y x =-进行平行,确定平移到什么位置截距最大,然后把该点坐标代入z x y =+求最大值.当z 取最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D （1，12），则z x y =+的最大值为23感知高考刺金398题【2017新课标卷II,理14】函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________． 解：()22311cos cos 44f x x x x x =--=-+=2(cos 1x -+,由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1． 点评：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．感知高考刺金399题【2017全国Ⅱ，文8】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是____________。

感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则c o s y x = 。

解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。

2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。

解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。

解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。

解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。

感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1APx y AQ +=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形,所以不妨设为等腰直角三角形,则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点,将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故 (1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 种．答案：192种感知高考刺金31．已知直线l ⊥平面α,垂足为O ．在矩形ABCD 中,1AD =,2AB =,若点A 在l 上移动,点B 在平面α上移动,则O ,D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ,则E 点的轨迹是球面的一部分,1OE =,DE所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 种．答案：30种感知高考刺金41． 在平面直角坐标系xOy 中,设定点(),A a a ,P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为0x >,则12x x+≥,分两种情况： （1）当2a ≥时,min AP =,则a（2）当2a <时,min AP =则1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ,则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =,22y x=-,则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上,故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方, 令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩,所以y x =+1y x =平行的22y x =-的切线,故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4 2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有 种．答案：140种。

感知高考刺金961．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且BC，则c b b c+的最大值为 ，此时内角A 的值为 。

解法一：由21sin 212ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时，max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴，BC 中点为原点建系，则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6A x a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AB =AC所以b c == 当0x =时，1b c= 当0x >时，b c =，当且仅当x =时取等号所以令2b t c ⎡⎤=∈⎣⎦，1y t t=+单调递减，所以当2t =-时，即3x =时，max 4y =此时AB =，AC =，则2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π= 由对称性可知，0x <时也一样。

2．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{}n a ，使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()12*n n S a a a n =+++∈L N ，则42S =时的概率为 。

解：42S =，需四次中有3次正面，1次反面，故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线b y x a=-于,Q R 两点，交y 轴，x 轴于,M N 两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，当2ab =时，2212S S +的最小值为 。

解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα，()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。

感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a +=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d =≥，解得34k ≥-。