湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级数学上学期第五次限时训练试题(含解析)新人教版

麓山国际实验学校初三入学限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（ ） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（ ）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）ABOP（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（ ）A ．23≥x B ．23≤xC ．3≥xD ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。

湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）限时训练数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为133．（3分）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤54．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.57．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED8．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣39．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠010．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣111．（3分）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．14．（3分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．15．（3分）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是．16．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为．17．（3分）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为cm2．18．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．20．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．21．（8分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图1中∠α的度数是，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．22．（8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？23．（8分）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？24．（8分）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D 点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．25．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2016秋•岳麓区校级月考）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：xy=1，符合反比例函数的定义；y=，属于正比例函数；y=，需要k≠0，y=，该函数不属于反比例函数，y=2x2该函数属于二次函数，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式y=（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k ≠0）．2．（3分）（2006•永春县）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为13【解答】解：A、6点+6点=12点，为随机事件，不符合题意；B、例如：1点+1点=2点，为随机事件，不符合题意；C、例如：1点+5点=6点，为随机事件，不符合题意；D、两枚骰子点数最大之和为12点，不可能是13点，为不可能事件，符合题意．故选：D．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．3．（3分）（2015秋•长沙校级月考）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤5【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴5﹣m＞0，∴m＜5．故选B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解决问题的关键，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．4．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=图象上的有（3，4），（4，3）；∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．故选D．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2008•江西）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．（3分）（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故选：B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．（3分）（2007•海南）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．8．（3分）（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．（3分）（2013春•新泰市期中）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，∴，即，解得k＜3且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．10．（3分）（2010•凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣1【解答】解：x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．11．（3分）（2016•井研县一模）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵反比例函数图象在第二四象限，∴k＜0，∴二次函数图象开口向下，抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∵k2＞0，∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据k的取值范围求出二次函数开口方向、对称轴和与y轴的正半轴相交是解题的关键．12．（3分）（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4．∵△ABC∽△EFB，∴=，即=EF=8．故选B．【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（2008•益阳）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．【解答】解：因为从装有十个除数字外其它完全相同的小球任意摸出一个小球共5种情况，其中有3种情况是球面数字的平方根是无理数，故其概率是=．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为0.8（精确到0.1）．【解答】解：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．故本题答案为：0.8．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（3分）（2013春•红塔区校级期中）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【解答】解：∵在函数y=（a为常数）中k=﹣a2﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣＜﹣＜0，∴0＜y1＜y2．∵＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．16．（3分）（2016春•宝应县校级月考）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为﹣6．【解答】解：如图所示，点P的坐标是（﹣3，2），则k=xy=﹣3×2=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．17．（3分）（2012•重庆模拟）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为32cm2．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，∴它们的面积比是9：16，∵△ABC的面积为18cm2，∴△DEF的面积为：18×=32（cm2）．故答案为：32．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．18．（3分）（2012•西安模拟）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为3或．【解答】解：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP=AC=2，①若△APQ∽△ACB，则，即，解得：AQ=3；②若△APQ∽△ABC，则，即，解得：AQ=；∴AQ的长为3或．故答案为：3或．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，∴两次取出相同颜色球的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2．∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=8∴反比例函数的解析式为y=．（2）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．21．（8分）（2014•孝感）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是40；（2）图1中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为700．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：=40（人），故答案为：40；（2）根据题意得：360°×=54°，答：图1中∠α的度数是54°；C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），如图：故答案为：54°；（3）根据题意得：3500×=700（人），答：不及格的人数为700人．故答案为：700；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（8分）（2016•呼伦贝尔）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，∵8﹣2=6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．23．（8分）（2015秋•长沙校级月考）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【解答】解：（1）设边长为xmm，∵矩形为正方形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=72．答：若这个矩形是正方形，那么边长是72mm．（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，①PQ为长，PN为宽：由题意知PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=45，2x=90．即长为90mm，宽为45mm．②PQ为宽，PN为长：由题意知PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=，2x=．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长为90mm，宽是45mm或者长为mm，宽为mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．24．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．【解答】解：（1）连接OB，∵∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵AD∥OC，∴∠D=∠OCB=45°；（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，∴∠AEC=60°，∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°，∴∠AEC=∠ACD=60°，∵∠D=45°，∠ACD=60°，∴∠CAD=75°，又∵∠OCA=75°，∴∠CAD=∠OCA=75°，∴△ACE∽△DAC，∴=，即AC2=AD•CE=4×3=12，∴AC=2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理．注意证得△OBC是等腰直角三角形，△ACE∽△DAC是关键．25．（8分）（2005•岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴；∵BD=x，∴CD=BC﹣BD=﹣x．∴，∴CE=x﹣x2．∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．即y=x2﹣x+1．（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=﹣1．∵BD=CE，∴AE=AC﹣CE=2﹣．当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．∵∠ADE=45°，∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE=AC=．当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此AE的长为2﹣或．【点评】此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．26．（10分）（2015•徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k=2×2=4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，=，∴∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即=，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义、平行线分线段成比例定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识，值得关注．参与本试卷答题和审题的老师有：wdzyzlhx；zhjh；CJX；sjzx；zcx；智波；ln_86；张其铎；HJJ；星期八；zcl5287；ZJX；自由人；Linaliu；守拙；dbz1018；lantin；gbl210；MMCH；heihudie（排名不分先后）菁优网2016年12月22日。

湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）限时训练数学试卷一、选择题、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）1．（3分）计算3×（﹣2）的结果是（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣62．（3分）纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米．已知某种花粉的直径为35000纳米，则用科学记数法表示该花粉的直径为（）A．3.5×10﹣6m B．3.5×10﹣5m C．35×10﹣4m D．3.5×104m3．（3分）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a=1 B．（a2）3=a5 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a54．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥﹣35．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命B．调查长江流域的水污染情况C．调查重庆市初中学生的视力情况D．为保证“神舟7号”的成功发射，对其零部件进行普查检查6．（3分）分式方程的解是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣27．（3分）由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的左视图是（）A．B．C．D．8．（3分）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n9．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对10．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B．80°C．120°D．150°11．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2﹣ B．﹣1﹣C．﹣2+D．1+12．（3分）如图所示是二次函数y=﹣x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A．4 B．C．2πD．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）13．（3分）因式分解：a3﹣4a=．14．（3分）若m+n=10，mn=24，则m2+n2=．15．（3分）当m满足时，关于x的方程x2﹣4x+m﹣=0有两个不相等的实数根．16．（3分）从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是．17．（3分）如果x2+2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，那么k=．18．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=．（用含m、n、θ的式子表示）三、解答题（本大题共8小题，满分66分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）19．（6分）计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．20．（6分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB 间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．22．（8分）已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：（1）线段AE与CG是否相等，请说明理由；（2）求证：△ABE∽△DEH；（3）当点E在何处时，DH的长度最大，最大长度是多少？23．（9分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．25．（10分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；（3）已知点Q为二次函数图象上的一动点，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求Q点坐标．26．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）若F在抛物线第四象限上，求使四边形OBFC的面积最大时的点F的坐标；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P 的位置，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）第五次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）1．（3分）（2011•绵阳校级自主招生）计算3×（﹣2）的结果是（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【解答】解：3×（﹣2），=﹣（3×2），=﹣6．故选D．【点评】此题主要考查了有理数的乘法，牢记法则即可．2．（3分）（2015秋•长沙校级月考）纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米．已知某种花粉的直径为35000纳米，则用科学记数法表示该花粉的直径为（）A．3.5×10﹣6m B．3.5×10﹣5m C．35×10﹣4m D．3.5×104m【解答】解：35000纳米=35000×10﹣9米=3.5×10﹣5米．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2015•嵊州市一模）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a=1 B．（a2）3=a5 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5【解答】解：A、应为6a﹣5a=a，故本选项错误；B、应为（a2）3=a6，故本选项错误；C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；D、a2•a3=a5，正确．故选D．【点评】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．4．（3分）（2009•重庆）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥﹣3【解答】解：根据题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3．故选C．【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．5．（3分）（2009•重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命B．调查长江流域的水污染情况C．调查重庆市初中学生的视力情况D．为保证“神舟7号”的成功发射，对其零部件进行普查检查【解答】解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，有破坏性，故得用抽查方式，故错误；B、调查长江流域的水污染情况，工作量大，得用抽查方式，故错误；C、调查重庆市初中学生的视力情况，工作量大，得用抽查方式，故错误；D、为保证“神舟7号”的成功发射，对零件全面检查十分重要，故进行普查检查，故正确．故选D．【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．6．（3分）（2009•芜湖）分式方程的解是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2【解答】解：方程两边都乘x（x﹣2），得5x=3（x﹣2），解得：x=﹣3，检验：当x=﹣3时，（x﹣2）x≠0．∴x=﹣3是原方程的解．故选A．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．7．（3分）（2009•重庆）由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看可得到第一层为2个正方形，第二层左面有一个正方形．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．8．（3分）（2009•重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n【解答】解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．【点评】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．解此题时要注意寻找各部分间的联系，找到一般规律．9．（3分）（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．10．（3分）（2009•成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B．80°C．120°D．150°【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm，弧长为4πcm，代入扇形弧长公式l=，即4π=，解得n=120，即扇形圆心角为120度．故选C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．11．（3分）（2010•枣庄）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2﹣ B．﹣1﹣C．﹣2+D．1+【解答】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，|﹣1|+||=1+，∴OC=2+，而C点在原点左侧，∴C表示的数为：﹣2﹣．故选A．【点评】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．12．（3分）（2016秋•沂源县校级月考）如图所示是二次函数y=﹣x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A．4 B．C．2πD．8【解答】解：解：函数y=﹣x2+2与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（﹣2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积s1=×2×4=4，则以半径为2的半圆的面积为s2=π×22=2π，则阴影部分的面积s有：4＜s＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选：B．【点评】此题主要考二次函数的性质，关键是掌握函数图象与x轴相交时，y的值为0．函数图象与y轴相交时，x的值为0．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）13．（3分）（2014•本溪）因式分解：a3﹣4a=a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．14．（3分）（2016•广东模拟）若m+n=10，mn=24，则m2+n2=52．【解答】解：∵m+n=10，mn=24，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=100﹣48=52．故本题答案为：52．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题可用完全平方公式把m+n，mn的值整体代入求解．15．（3分）（2009•芜湖）当m满足m＜时，关于x的方程x2﹣4x+m﹣=0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵于x的方程x2﹣4x+m﹣=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4（m﹣）＞0，解之得m＜．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（3分）（2009•荆门）从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是．【解答】解：由树状图可知共有4×3=12种可能，和为奇数的有8种，所以概率是．【点评】考查概率的概念和求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（2015秋•招远市期末）如果x2+2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，那么k=7或﹣1．【解答】解：∵x2+2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，∴2（k﹣3）=±8，解得：k=7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（3分）（2008•泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=mnsinθ．（用含m、n、θ的式子表示）【解答】解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=m•OC+m•OA=mn；在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF）=mnsinθ．故填空答案：mnsinθ．【点评】此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．三、解答题（本大题共8小题，满分66分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）19．（6分）（2009•安徽）计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．【解答】解：原式=2+1﹣3+1=1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6分）（2016•惠东县模拟）先化简，再求值：，其中．【解答】解：，=+，=+1，=，当时，原式===﹣6．【点评】此题主要考查了分式的运算，注意分式运算中分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．21．（8分）（2013•泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（8分）（2015秋•长沙校级月考）已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：（1）线段AE与CG是否相等，请说明理由；（2）求证：△ABE∽△DEH；（3）当点E在何处时，DH的长度最大，最大长度是多少？【解答】（1）解：AE=CG，理由如下：∵四边形ABCD，BEFG都为正方形，∴AB=BC，BE=BG，∠ABE=∠CBG，在△ABE和△CBG中∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG（2）证明：∵四边形ABCD，EFGB都为正方形，∴∠AEB+DEF=90°∵∠DEF+DHE=90°，∴∠AEB=DHE，∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEH（3）设DH=y，AE=x，则DE=1﹣x，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，y max=，∴当点E在AD的中点时，DH的最大值为．【点评】此题是相似的综合题，主要考查正方形的性质和三角形全等和相似，解本题的关键是有全等和相似得到线段的关系．23．（9分）（2010•荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，解得：∴函数关系式y2=30x+500；（2）依题意得：，解得：25≤x≤40；（3）∵W=x•y1﹣y2=x（170﹣2x）﹣（500+30x）=﹣2x2+140x﹣500∴W=﹣2（x﹣35）2+1950∵25＜35＜40，∴当x=35时，W最大=1950答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．【点评】本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．24．（9分）（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．【解答】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC=AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴，∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM=2．∴MN•MC=BM2=8．【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．25．（10分）（2015秋•长沙校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣2，﹣4）；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；（3）已知点Q为二次函数图象上的一动点，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求Q点坐标．【解答】解：（1）P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”是（﹣1+，﹣2×1﹣2）即（﹣2，﹣4），故答案是：（﹣2，﹣4）；（2）P的“k属派生点”为P'点的坐标是（﹣1﹣，﹣k﹣2），当P'在第四象限，且OP=OP'时，P'的坐标是（2，﹣1），﹣1﹣=2，解得：k=﹣，此时﹣k﹣2=﹣时，不符合条件；当P'在第二象限时，P'的坐标是（﹣2，1），若﹣1﹣=﹣2，解得：k=2，此时﹣k﹣2=﹣4≠1，故不符合条件；当P是直角顶点时，若OP=PP'，此时P'即把（2，﹣1）左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则P'的坐标是（1，﹣3）．则当﹣1﹣=1时，k=﹣1，此时﹣k﹣2=﹣3，满足条件；同理，当P的坐标是（﹣3，﹣1），若﹣1﹣=﹣3时，k=1，此时﹣k﹣2=﹣1，此时满足条件．总之，k=±1；（3）设B（a，b），∵B的“属派生点”是A，∴A（，）∵点A还在反比例函数的图象上，∴．∴．∵，∴．∴．∴B在直线l：上．设直线l的平行线为①∵点Q在直线②图象上联立①②得，由题意△=0 时BQ最短，此时点Q的坐标为．【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的综合应用，正确理解题目中的新的定义，以及PQ最短的条件是关键．26．（10分）（2015秋•长沙校级月考）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）若F在抛物线第四象限上，求使四边形OBFC的面积最大时的点F的坐标；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P 的位置，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，，由题意可知C（0，﹣3），∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，∴CN=2，于是m=﹣1．同理可求得B（3，0），∴a×32﹣2﹣2a×3﹣3=0，得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图2，，由B（3，0），C（0，﹣3）得BC的解析式为y=x﹣3，E点在BC上，F在抛物线上，设F（m，m2﹣2m﹣3），E（m，m﹣3），EF=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m，S△BCF最大时，S OBCF最大．S△BCF=EF•x B=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+，当m=时，S△BCF最大=，m=，m2﹣2m﹣3=﹣3﹣3=﹣，即F（，﹣）；（3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1，x=3，即A（﹣1，0），B（3，0），y=（x﹣1）2﹣4，即E（1，﹣4）．由勾股定理得AC=，BC=3，CE=，①显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），②过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，如图3，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得，=，即=，AP2=，OP2==，P2（0，）③过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，如图4，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得=，即=，CP3=．OP3==9，P3（9，0），故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出B点坐标是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数得出二次函数的性质是解题关键；利用相似三角形的性质得出P点坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；gbl210；110397；天马行空；zhjh；lhz6918；shuiyu；zhangCF；lanchong；137-hui；hbxglhl；心若在；xiu；733599；郝老师；蓝月梦；lanyan；sks；Liuzhx；lf2-9；caicl；星月相随；Linaliu；张超。

9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷数 学总分：120分 时量：120分钟一.选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1.在下列四个数中，其中无理数的是( ) A .722 B .﹣2018C .4D .π2.下列计算正确的是( ) A .33=-x xB .a a a 143=÷C .12)1(22--=-x x xD .6326)2(a a -=-3. 近几年，长沙市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2018年GDP 突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( ) A .12104⨯ B .11104⨯C .12104.0⨯D .111040⨯4. 不等式组⎩⎨⎧-<+->14212x x xx 的解集为( )A .1>xB .31>xC .131<<x D .无解5.下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A .任意画一个四边形，其内角和为180° B .经过任意两点画一条直线 C .任意画一个菱形，是中心对称图形 D .过平面内任意三点画一个圆6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A .B .C .D .7.如图，两条直线21//l l ，ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BC AC =，顶点B A ,分别在1l 和2l 上，∠1＝20°，则∠2的度数是( ) A .45° B .55° C .65° D .75°8.某同学记录了自己一周每天的零花钱(单位：元)，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，这组数据的众数和平均数分别是( ) A .5和5.5B .5和5C .5和17D .17和5.5 9.已知二次函数1412-+-=m x x y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( ) A .5≤m B .2≥m C .5<m D .2>m10.如图，把直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知30=∠OAB ，B 点的坐标为(0，2)，将ABO ∆沿着斜边AB 翻折后得到ABC ∆，则点C 的坐标是( ) A .)4,32( B .)32,2( C .)3,3( D .)3,3(11.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y (单位：件)与时间t (单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z (单位：元)与时间t (单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( ) A .第24天的销售量为300件 B .第10天销售一件产品的利润是15元 C .第27天的日销售利润是1250元 D .第15天与第30天的日销售量相等第7题图 第10题图 第11题图12. 已知抛物线c bx ax y ++=2(0<<b a )与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴右侧；②关于x 的方程022=-++c bx ax 有两个不相等的实数根；③024≤+-c b a ；④03<+c a .其中，正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个二.填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13.分解因式：23828a a a -+＝ .14.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且34=EA OE ，则BCFG＝ . 15.若反比例函数xky -=2的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 . 16.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则O P A ∠ta n 的值是 .17.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为 海里. 18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足ABCD PAB S S 矩形31=∆，则点P 到B A 、两点的距离之和PB PA +的最小值为 .第14题图 第16题图 第17题图 第18题图三、解答题(本大题共8个小题，共66分) 19.(6分)计算：45tan )21(4|2|1++---20.(6分)先化简，后求值121)11(22++-÷+-a a a a a ，其中12+=a .21.(8分)某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选)，个数的中位数是 ；(2)根据以上信息，补全扇形图(图1)和条形图(图2)；(3)该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；(4)若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.22.(8分)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ＝CF . (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若BD ＝EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由.23.(9分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A 型和30辆B 型自行车，其中B 型车单价是A 型车单价的6倍少60元.(1)求A 、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B 型车多少辆？24.(9分)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE +∠AFO ＝180°. (1)求证：EM 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝∠E ，BC ＝3，求阴影部分的面积.(结果保留π和根号).25.(10分)定义：若存在实数对坐标(,)x y 同时满足一次函数y ax b =+和反比例函数cy x=-，则二次函数2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“派生”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数3y x =-+和反比例函数4y x=是否存在“派生”函数，若存在，写出它们的“派生”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件9t n m <<，并且一次函数(6)22y n x m =+++与反比例函数xy 2019=存在“派生”函数2019)10()3(2--++=x t m x t m y ，求m 的值；(3)若同时存在两组实数对坐标1(x ，1)y 和2(x ，2)y 使一次函数2(0)y ax b a =+≠和反比例函数3(0)cy c x=-≠有“派生”函数，其中，实数23a b c >>，0a b c ++=，设12||S x x =-，S 的取值范围.26.(10分)如图1，在平面直角坐标系中，直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，其中(,0)A m 、(4,)B n ，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D . (1)求这条抛物线的解析式；(2)如图2，若点P 为线段AD 上的一动点(不与A 、D 重合)，分别以AP 、DP 为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角APM ∆和等腰直角DPN ∆，连接MN ，试确定MPN ∆面积最大时P 点的坐标；(3)如图3，连接BD 、CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A 、D 、Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷参考答案。

2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是（）A．75，80B．80，80C．80，85D．85，902．（3分）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（）A．（2x+3）（2x+2）＝2×3×2B．2（x+3）（x+2）＝3×2C．（x+3）（x+2）＝2×3×2D．2（2x+3）2x+2）＝3×23．（3分）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（3分）关于x的一元二次方程x2+6x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤B．k≥C．k＜D．k＞5．（3分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四边都相等的四边形是矩形6．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）A．B．C．2D．7．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞08．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），则原点到直线AB的距离是（）A．2B．2.4C．2.5D．39．（3分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（）A．B．C．D．10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（）A．2018B．2019C．2020D．202111．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a）B．该图象在x轴上截得的线段的长为4C．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5）D．当x＞1时，y随x的增大而增大12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b﹣2c＞0；③关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；④若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知m、n是关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝．14．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．15．（3分）一次函数y＝2x+3的图象与x轴的交点坐标是．16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于．17．（3分）给出一组数据10，12，10，x，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为．18．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（﹣1）0．20．（6分）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是；中位数是．（2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．22．（8分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．23．（9分）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a%，a的值至少是多少？24．（9分）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？25．（10分）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为个，此时，获得日销售利润是．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．26．（10分）细图．抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，直线AB的解忻式是y＝﹣x+3，点C是第一象限内抛物线上的一点，过点C作x轴的眶线交直线AB于点D．过点C作x 轴的平行线交抛物线于点F，以CD，CF邻边作矩形CDEF．设矩形CDEF的周长为L，点C的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）写出矩形CDEF的周长L与m的函数关系式；（3）当m为何值时，CE⊥DF？2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是（）A．75，80B．80，80C．80，85D．85，90【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；【解答】解：数据75，80，80，85，90中，众数是80，中位数是80，故选：B．2．（3分）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（）A．（2x+3）（2x+2）＝2×3×2B．2（x+3）（x+2）＝3×2C．（x+3）（x+2）＝2×3×2D．2（2x+3）2x+2）＝3×2【分析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则用含x的代数式表示桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）＝2×3×2．【解答】解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）＝2×3×2，故选：A．3．（3分）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．【解答】解：∵S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B．4．（3分）关于x的一元二次方程x2+6x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤B．k≥C．k＜D．k＞【分析】根据判别式的意义得到△＝62﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+2k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，即62﹣4×2k＞0，解得k＜，故选：C．5．（3分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四边都相等的四边形是矩形【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的性质，正方形的判定方法进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；C、对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故不符合题意；D、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；故选：A．6．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）A．B．C．2D．【分析】由矩形的性质和角平分线的性质可得AB＝BE＝3，可得EC＝1，由勾股定理可求DE＝，由三角形中位线定理可求GF的长．【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，AD∥BC∴∠DAE＝∠AEB∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝∠BAE∴∠BAE＝∠AEB∴AB＝BE＝3∴EC＝BC﹣BE＝1∴DE＝＝∵点F、G分别为AD、AE的中点，∴FG＝故选：B．7．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣3≠0，解得：x≥0且x≠3．故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），则原点到直线AB的距离是（）A．2B．2.4C．2.5D．3【分析】由△AOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB 斜边上的高求解；【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，△AOB是直角三角形，∴O到AB的距离为＝；故选：B．9．（3分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（）A．B．C．D．【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了45分钟，则当x＝45时，y＝0；【解答】解：由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了20+10+15＝45分钟，则当x＝45时，y＝0；结合选项可知答案B．故选：B．10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值．【解答】解：把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，所以m2﹣m＝1，所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020．故选：C．11．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a）B．该图象在x轴上截得的线段的长为4C．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5）D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：y＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）令y＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（﹣1，0），∴图象在x轴上截得的线段的长为4，故B成立；∴抛物线的对称轴为：x＝1，令x＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴顶点坐标为（1，﹣4a），故A成立；由于点（﹣2，5）与（4，5）关于直线x＝1对称，∴若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b﹣2c＞0；③关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；④若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由图象和已知可得a＞0，c＜0，b＝2a，c＝﹣3a；①abc＜0；②a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0；③ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，则△＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0；④与P点y值相等的点为（3，y1），y1＞y2时有﹣5＜m＜3；【解答】解：有图可知a＞0，c＜0，对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0；①abc＜0，正确；②y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，∴y＝ax2+2ax﹣3a，a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，②正确；③ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a＝m，∴ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，△＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0，∴关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；③正确；④P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，∴x＝﹣1是对称轴，∴与P点y值相等的点为（3，y1），∵y1＞y2，∴﹣5＜m＜3；④正确；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知m、n是关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝﹣2．【分析】由根与系数的关系求解即可．【解答】解：∵m、n是关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝﹣2．故答案为﹣2．14．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k＜0，k﹣3＜0，即可求解；【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，∴k＞1，k＜3，∴1＜k＜3；故答案为1＜k＜3；15．（3分）一次函数y＝2x+3的图象与x轴的交点坐标是（﹣，0）．【分析】令一次函数解析式中y＝0，则可得出关于x的一元一次方程，解方程得出x值，从而得出一次函数图象与x轴的交点坐标．【解答】解：令y＝2x+3中y＝0，则2x+3＝0，解得：x＝﹣．∴一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴的交点坐标为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于5．【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△AOB的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ADCB为菱形，∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，∵∠FOC＝∠AOE，△CFO≌△AEO（ASA），∴S△CFO＝S△AOE，∴S△CFO+S△EBO＝S△AOB，∴S△AOB＝S ABCD＝×AC•BD＝×10×4＝5，故答案为：5．17．（3分）给出一组数据10，12，10，x，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为10．【分析】根据题意先确定x的值，再根据定义求解．【解答】解：当x＝8时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．当众数为10，根据题意得＝10，解得x＝10，将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，10，12，处于中间位置的是10，所以这组数据的中位数是10．故答案为：10．18．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是﹣0.5≤t≤4．【分析】一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，即直线y＝2t与二次函数y＝x2+bx，在这个范围内由交点，则：y＝2t在顶点和x＝4时之间时，两个函数有交点，即可求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点坐标为（1，﹣1），当x＝﹣1时，y＝3，当x＝4时，y＝8，∵一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，∴直线y＝2t与二次函数y＝x2+bx在﹣1＜x≤4范围内有交点，∴﹣1≤2t≤8，∴﹣0.5≤t≤4．故答案为：﹣0.5≤t≤4．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（﹣1）0．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝2+2﹣﹣4+1＝﹣1．20．（6分）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是20元；中位数是20元．（2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（2）根据统计图中的数据可以求得这50名同学零花钱的平均数；（3）根据题意可以求得这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【解答】解：（1）由统计图可得，这50名同学零花钱数据的众数是20元，中位数是20元，故答案为：20元，20元；（2）＝18（元），答：这50名同学零花钱的平均数是18元；（3）3100×＝620（人），答：这个中学学生每天的零花钱不小于30元的有620人．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；（3）将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）计算自变量为﹣2、1对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．设平移后抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，然后把（﹣2，0）代入求出k即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3；当x＝1时，y＝0；所以当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．则抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，把（﹣2，0）代入得（﹣2+1）2﹣4+k＝0，解得k＝3，即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．故答案为﹣4≤y≤0；3．22．（8分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．【分析】（1）由题意可得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，可得AB＝BE，则结论可得（2）：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O．由题意可得AB＝4，∠AOB＝90°，∠BAE＝30°，可得AO的长即可求AE的长．【解答】（1）证明：∵▱ABCD∴BC∥AD，即BE∥AF∵EF∥AB∴四边形ABEF为平行四边形∵AE平分∠BAF∴∠EAB＝∠EAF∵BC∥AD∴∠BEA＝∠EAF∴∠BEA＝∠BAE∴AB＝BE∴四边形ABEF是菱形（2）解：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O∵BA＝BE，∠EBA＝120°∴∠BEA＝∠BAE＝30°∵菱形ABEF的周长为16∴AB＝4在Rt△ABO中∠BAO＝30°∴由勾股定理可得：AO＝∴AE＝23．（9分）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a%，a的值至少是多少？【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，根据该社区2017年及2019年的图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年的借阅总量＝2019年的人均借阅量×（1+增长率）×2020年借阅图书人数结合2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，依题意，得：7500（1+x）2＝10800，解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为20%．（2）依题意，得：×（1+a%）×1440≥10800×（1+20%），解得：a≥12.5．答：a的值至少是12.5．24．（9分）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？【分析】（1）甲种手机利润＝销售甲种手机的数量×每件甲种手机的利润，根据这个关系即可列出方程；（2）表示出第二期进的甲种手机售完后获得的总利润，根据二次函数，即可求出最大利润．【解答】解：（1）根据题意，（50+x）（160﹣2x）＝8400，解得x1＝10，x2＝20，因为增加10件和增加20件品牌手机的利润是相同的，为了减少成本故第二期甲种手机售完后的利润为8400元，甲种手机应该增加10部；（2）W＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+8450，当x取15时，第二期进的甲手机售完后获得的总利润W最大，最大总利润是8450元．25．（10分）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为75个，此时，获得日销售利润是862.5．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，代入x＝16求得m的值即可；（2）把x＝17.5代入y＝﹣30x+600，可求日销售量，日销售利润＝每个商品的利润×日销售量，依此计算即可；（3）根据进货成本可得自变量的取值，根据销售利润＝每个商品的利润×销售量，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b，图象过点（10，300），（12，240），，解得：，∴y＝﹣30x+600，当x＝16时，m＝120；∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600，m的值为120；（2）﹣30×17.5+600＝75（个）；（17.5﹣6）×75＝862.5（元）．故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；故答案为：75，862.5；（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600，即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600，w＝﹣30x2+780x﹣3600的对称轴为：x＝﹣＝13，∵a＝﹣30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，∴当x＝15时，w最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．26．（10分）细图．抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，直线AB的解忻式是y＝﹣x+3，点C是第一象限内抛物线上的一点，过点C作x轴的眶线交直线AB于点D．过点C作x 轴的平行线交抛物线于点F，以CD，CF邻边作矩形CDEF．设矩形CDEF的周长为L，点C的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）写出矩形CDEF的周长L与m的函数关系式；（3）当m为何值时，CE⊥DF？【分析】（1）易得A（0，3），解方程﹣x+3＝0得B（6，0），再把A、B点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c 得b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）设C（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜6），则D（m，﹣m+3），则CD＝﹣m2+m，利用抛物线的对称性得点C、点F为抛物线上的对称点，接着求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，当0＜m＜2，CF＝2（2﹣m）＝4﹣2m，从而得到L＝2（CD+CF）＝﹣m2﹣m+8（0＜m＜2）；当2＜m＜6，则CF ＝2（m﹣2）＝2m﹣4，从而得到L＝2（CD+CF＝﹣m2+7m﹣8（2＜m＜6）；（3）根据正方形的判定，当CD＝CF时，矩形CDEF为正方形，则利用正方形的性质得CE⊥DF，即﹣m2+m＝4﹣2m或﹣m2+m＝2m﹣4，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则A（0，3），当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝6，则B（6，0），把A（0，3），B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，设C（m，﹣m2+m+3），则D（m，﹣m+3），∴CD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∵CF∥x轴，∴点C、点F为抛物线上的对称点，当0＜m＜2，CF＝2（2﹣m）＝4﹣2m；∴L＝2（CD+CF）＝2（﹣m2+m+4﹣2m）＝﹣m2﹣m+8（0＜m＜2）；当2＜m＜6，CF＝2（m﹣2）＝2m﹣4；∴L＝2（CD+CF）＝2（﹣m2+m+2m﹣4）＝﹣m2+7m﹣8（2＜m＜6）；（3）当0＜m＜2，当CD＝CF时，矩形CDEF为正方形，则CE⊥DF，即﹣m2+m＝4﹣2m，整理得m2﹣14m+16＝0，解得m1＝7+（舍去），m2＝7﹣∴m的值为7﹣．当2＜m＜6时，﹣m2+m＝2m﹣4，解得m1＝﹣1﹣（舍去），m2＝1+．综上所述，m的值为﹣1+或7﹣．。

2021-2022学年长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）入学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1B．2x2﹣y+1＝0C．x2+2x＝0D．x2﹣＝0 2．（3分）7位评委给一个演讲者打分（满分10分）如下：9，8，9，10，10，7，9，若去掉一个最高分和一个最低分，这名演讲者的最后平均得分是（）A．7分B．8分C．9分D．10分3．（3分）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y ＝kx+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据3，3，4，2，8的中位数和众数分别是（）A．3，3B．3，4C．4，3D．4，45．（3分）将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝5（x﹣2）2+3B．y＝5（x+2）2+3C．y＝5（x﹣2）2﹣3D．y＝5（x+2）2﹣36．（3分）某校七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（）A．平均年龄为13岁，方差改变B．平均年龄为15岁，方差不变C．平均年龄为15岁，方差改变D．平均年龄为13岁，方差不变7．（3分）关于正比例函数y＝﹣2x的下列结论中，正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．y随x的增大而增大C．它的图象经过原点（0，0）D．不论x取何值，总有y＜08．（3分）一元二次方程x2+kx﹣4＝0的一个根是x＝﹣1，则另一个根是（）A．4B．﹣1C．﹣3D．﹣29．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（）A．（x﹣1）2＝B．（2x﹣1）2＝0C．2（x﹣1）2＝1D．（x+2）2＝10．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝3611．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2 12．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．（3分）1，2，3，4，5的方差为．15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是．16．（3分）若函数y＝，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于．17．（3分）一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为．18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣1013y﹣1353给出了结论：①二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，最大值为5；②ac＜0；③x＞1时，y的值随x值的增大而减小；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；⑤当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，则其中正确结论是．三、解答题（共66分）19．（8分）选择适当方法解一元二次方程：（1）（x﹣5）2﹣36＝0；（2）2x2+4x﹣5＝0．20．（6分）已知：y与x+2成正比例，且x＝﹣4时，y＝﹣2．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）点P1（m，y1），P2（m﹣2，y2）在（1）中所得函数图象上，比较y1与y2的大小．21．（8分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9众数8b优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（1，4），且经过点C（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当y≤﹣x+3时，直接写出x的取值范围．23．（8分）中秋节前夕，某代理商从厂家购进某品牌月饼的A、B两种礼盒，已知购进A 种月饼3盒、B种月饼2盒共650元，购进4盒A种月饼比购进3盒B种多用300元．（1）求A、B两种月饼礼盒的进价；（2）若该代理商购进该品牌的这两种礼盒月饼资金不超过8600元，购进盒数共70盒，销售时，销售一盒A种礼盒月饼可获利100元，销售一盒B种礼盒月饼可获利80元，并全部售完，请求出获利最多的进货方案以及最大利润．24．（8分）某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品．成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．25．（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x﹣1，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，请写出其不变长度；（2）函数y＝x2﹣bx﹣1且﹣2≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤5，求m的取值范围．26．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）试求抛物线的解析式；（2）作直线AC，点E为线段AC上一动点，过点E作DE⊥AC，交抛物线于点D，交y 轴于点F，请问在点E的移动过程中DE是否存在最大值，如果有，求出此时点D的坐标，如果没有，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点N是x轴上的一个动点，点M是坐标平面内的一点，是否存在这样的点N，使得以D、F、M、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．2021-2022学年长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．【分析】去掉一个最高分和一个最低分，该选手的有效分数为5个评委给出，计算5个人的平均分即可．【解答】解：去掉一个最高分10分，去掉一个最低分7分，＝×（9+8+9+10+9）＝9分．故选：C．【点评】本题考查了算术平均数，熟记公式是解决本题的关键．3．【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，∴k＜0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；∵kb＜0，∴b＞0，∴图象与y轴的交点在x轴上方，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．4．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：2、3、3、4、8，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3；3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3；故选：A．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝5x2先向左平移2个单位得到解析式：y＝5（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y＝5（x+2）2+3．故选：B．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．6．【分析】根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变知平均年龄为15岁，方差不变．【解答】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，所以平均年龄为15岁，方差不变，故选：B．【点评】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方程的意义．7．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误，此题得解．【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）＝2，∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过点（﹣1，2），选项A不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；C、当x＝0时，y＝﹣2×0＝0，∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过原点（0，0），选项C符合题意；D、∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过原点（0，0），且y随x的增大而减小，∴当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．8．【分析】设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，则有m×（﹣1）＝﹣4，解得：m＝4．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于是解题的关键．9．【分析】将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵2x2﹣4x＝1，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．11．【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作直线y＝m与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出x1与x2的取值范围，进而做出判断．【解答】解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m ＞0）与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A．【点评】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2的问题转化为二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．12．【分析】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0，所以y的最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．最大值为5n分两种情况，（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n＝1，结合图象最小值只能由x＝m时求出．（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．当x＝n时y取最大值，即5n＝﹣（n﹣1）2+5，解得：n＝﹣4或n＝1（均不合题意，舍去）；②当m＜0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．当x＝1时y取最大值，即5n＝﹣（1﹣1）2+5，解得：n＝1，或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，5m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝1，∴m＝1，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣4+1＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0解答．【解答】解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，解得x≥﹣1且x≠﹣2，所以，x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．【分析】先计算出数据的平均数，然后根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]计算即可．【解答】解：因为平均数＝×（1+2+3+4+5）＝3，所以S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．15．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．16．【分析】因为不知道x的取值范围，所以需要讨论，①x≤2，②x＞2，从而在两种情况下分别求出符合条件的x的值．【解答】解：①当x≤2时，x2+1＝8，解得：x＝﹣；②当x＞2时，2x＝8，解得：x＝4．故答案为：4或﹣．【点评】本题考查函数值的知识，属于基础题，解答此类题目的关键是讨论x的取值范围，避免漏解．17．【分析】当x≥﹣1时，y＝kx的函数图象在y＝ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．【解答】解：从图象可看出当x≥﹣1，直线l2的图象在直线l1的上方，不等式ax+b＞kx．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象求解，当图象在上方时大于，在下方时小于．18．【分析】先利用待定系数法求出二次函数y＝ax2+bx+c的解析式，再化为顶点式，则可对①②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义对④进行判断；先解方程﹣x2+2x+3＝0得抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），然后利用抛物线在x轴上方对应的自变量的范围可对⑤进行判断．【解答】解：把（0，3），（1，5），（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得，解得∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，∵y＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值，所以①错误；∵a＝﹣1，b＝3，∴ac＝﹣3＜0，所以②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，所以③错误；当x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝﹣1×9+（3﹣1）×3+3＝0，即3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，所以④正确；二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，﹣x2+2x+3＞0，所以⑤正确．故答案为②④⑤．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围，或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，也可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．三、解答题（共66分）19．【分析】（1）因式分解法求解．（2）用公式法解方程．【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．∴x﹣5＝±＝±6．∴x1＝﹣1或x2＝11．（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．由求根公式x＝得：x＝．∴x1＝或x2＝．【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键．20．【分析】（1）设y＝k（x+2）（k≠0），把x＝﹣4，y＝﹣2代入求出k即可；（2）根据一次函数的性质比较大小即可．【解答】解：（1）设y＝k（x+2）（k为常数，k≠0），把x＝﹣4，y＝﹣2代入得：﹣2＝k（﹣4+2），解得：k＝1，即y＝x+2，所以y与x之间的函数表达式是y＝x+2；（2）∵y＝x+2中k＝1＞0，∴y随x增大而增大，∵m＞m﹣2，∴y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．21．【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．（3）根据优秀率进行评价即可．【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．∴中位数a＝8．根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．故答案为：8；9．（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为＝102（人）．（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．【点评】本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．22．【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把（3，0）代入求出a的值即可；（2）根据二次函数的性质，当开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即x＞1；然后利用抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标，再找出函数图象在x 轴上方所对应的自变量的取值范围即可；（3）易证得抛物线与直线y＝﹣x+3的交点为（0，3）和（3，0），根据解得坐标，结合二次函数的性质即可求得．【解答】解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入得4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵a＝﹣1＜0，∴在对称轴的右边y随x的增大而减小∴当x≥1时y随x的增大而减小（3）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0，则y＝3，∴抛物线经过点（0，3），由直线y＝﹣x+3可知，直线经过（3，0），（0，3）点，∴抛物线与直线y＝﹣x+3的交点为（3，0），（0，3），∵a＝﹣1＜0，∴开口向下，∴当y≤﹣x+3时，x的取值范围是x≤0或x≥3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．23．【分析】（1）设A种月饼礼盒的进价是x元，B种月饼礼盒的进价是y元，根据“购进A种月饼3盒、B种月饼2盒共650元，购进4盒A种月饼比购进3盒B种多用300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种月饼礼盒m盒，则购进B种月饼礼盒（70﹣m）盒，根据“购进该品牌的这两种礼盒月饼资金不超过8600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，且m为正整数，设销售利润为w元，根据销售利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A种月饼礼盒的进价是x元，B种月饼礼盒的进价是y元，依题意，得：，解得：．答：A种月饼礼盒的进价是150元，B种月饼礼盒的进价是100元．（2）设购进A种月饼礼盒m盒，则购进B种月饼礼盒（70﹣m）盒，依题意，得：150m+100（70﹣m）≤8600，解得：m≤32，且m为正整数，设销售利润为w元，则w＝100m+80（70﹣m）＝20m+5600，∵20＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝32时，w取得最大值，最大值＝20×32+5600＝6240，此时70﹣m＝38．即购进A种月饼礼盒32盒，B种月饼礼盒38盒时，获得的利润最大，最大利润为6240元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出利润关于购进A种月饼盒数的函数关系式以及一元一次不等式．24．【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w﹣150与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，由题意得：，解得：．∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46．设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，∴x＝46时，w大答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，解得：x1＝55，x2＝45，∵a＝﹣10＜0，∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．25．【分析】（1）由题意得：y＝x﹣1＝x，无解，故不存在不变值；y＝x2﹣2＝x，解得：x ＝2或﹣1，即可求解；（2）由题意得：y＝x2﹣bx﹣1＝x，解得：x＝，即可求解；（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，此时m＜5，如图2中，当图象G经过原点时，m ＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，由此即可判断，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2m+2）2﹣4，构建方程组，利用Δ＝0求出翻折后的抛物线与直线y＝x相切时，m的值即可判断．【解答】解：（1）由题意得：y＝x﹣1＝x，无解，故不存在不变值；y＝x2﹣2＝x，解得：x＝2或﹣1，故存在不变值，q＝2﹣（﹣1）＝3；（2）由题意得：y＝x2﹣bx﹣1＝x，解得：x＝，q＝，﹣2≤b≤3，解得：2≤q≤2．（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，∴m≤5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2m+2）2﹣4，由，消去y得到x2+（﹣4m+3）x+4m2﹣8m＝0，当Δ＝0时，（﹣4m+3）2﹣4（4m2﹣8m）＝0，解得m＝﹣，观察图象可知，m＜﹣时，满足条件，综上所述，满足条件的m的值为2≤m≤5或m＜﹣．【点评】本题属于二次函数综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到方程和不等式的求解等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，求出直线AC的解析式，可得△PED是等腰直角三角形，设出点D的坐标，从而得到点P的坐标，表示出PD的长，根据二次函数的最值即可求解；（3）分DF为矩形的边，DF为矩形的对角线两种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）、B（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，所以抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）存在，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，如图1，将x＝0代人y＝x2+x﹣2中，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．设直线AC的解析式为y＝mx+n，将点A（﹣2，0），C（0，﹣2）代人y＝mx+n中，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2．∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°．∵PD∥CF，DE⊥AC，∴∠DPE＝∠ACO＝45°，∠PED＝90°，∴△PED为等腰直角三角形．∴DE＝PE＝PD．设点D的坐标为（k，k2+k﹣2），则点P的坐标为（k，﹣k﹣2），∴PD＝﹣k﹣2﹣（k2+k﹣2）＝﹣k2﹣2k＝﹣（k+1）2+1．∵﹣1＜0，∴当k＝﹣1时，PD有最大值，此时DE的值也最大，∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）存在这样的点N，使得以D，F，M，N四点组成的四边形是矩形．①当DF是矩形的边时，有以下两种情况：（i）当四边形M1N1FD为矩形时，连接DC，如解图2．由（2）可知D（﹣1，﹣2），C（0，﹣2），∠ACO＝45°，DF⊥AC，∴∠DFC＝45°．又∵点D与点C的纵坐标相同，∴△DFC是等腰直角三角形．∴FC＝DC＝1．∴OF＝OC﹣FC＝1．∴点F的坐标为（0，﹣1）．∠N1FO＝90°﹣∠DFC＝45°，∴N1O＝OF＝1．∴点N的坐标为（﹣1，0）．（ii）当四边形M2N2DF为矩形时，过点D作DG⊥x轴交于点G，连接DC，如解图3．由（i）可知∠DFC＝45°，∴∠N2DG＝45°，∴△N2DG是等腰直角三角形．∴GN2＝GD＝2．又∵OG＝DG＝1，∴ON2＝GN2+OG＝3．∴N2的坐标为（﹣3，0）；②当DF是矩形的对角线时，设点N3的坐标为（x，0），则有N3F2＝x2+1，N3D2＝（x+1）2+22，DF2＝2．∴点N3为直角顶点，∴N3F2+N3D2＝DF2．∴x2+1+（x+1）2+22＝2，整理得x2+（x+1）2＝﹣3，此方程无解．∴此种情况不存在．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．在同一时刻，身高1.5米的小红在阳光下的影长2米，则影长为6米的大树的高是（）A．4.5米B．8米C．5米D．5.5米2．去年某校有1 500人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数约有( )A．400名B．450名C．475名D．500名3．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C． D．4．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（）A．B．C．D．5．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．若反比例函数y=kx图象经过点（5，-1），该函数图象在（）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限7．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ABD 的度数为( )A ．60°B ．72°C ．78°D ．144°8．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在O 上，CD 垂直平分AB 于点D ，现测得8dm AB =，2dm DC =，则圆形标志牌的半径为（ ）A ．6dmB ．5dmC ．4dmD ．3dm10．如图，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线，交⊙O 直径AB 的延长线于点D ．若∠D ＝40°，则∠A 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°二、填空题(每小题3分,共24分)11．m 、n 分别为的一元二次方程2410x x --=的两个不同实数根，则代数式24m m mn -+的值为________12．如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，点M 是边CD 的中点，连结AM ，若圆O 的半径为2，则AM =____________.13．关于x 的方程2x 2－ax ＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．14．设,m n 分别为一元二次方程2220190+-=x x 的两个实数根，则33m n mn +-=____．15．河堤横截面如图所示，堤高BC 为4米，迎水坡AB 的坡比为1:3（坡比=:BC AC ），那么AB 的长度为____________米．16．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为____．17．计算：118()4sin 302--+=__________．18．如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB ＝5，CD ＝6，则四边形ABCD 的周长为_______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，一次函数y=kx+b （k≠0）与反比例函数y=m x（m≠0）的图象有公共点A （1，a ）、D （﹣2，﹣1）．直线l 与x 轴垂直于点N （3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B 、C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象回答，x 在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）求△ABC 的面积．20．（6分）如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝mx（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？（3）点P是y＝mx（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ＝12S△CAO时，求点P的坐标．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒32个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝10时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线ykx（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．22．（8分）某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：数量/条平均每条鱼的质量/kg第1次捕捞20 1.6第2次捕捞 15 2.0 第3次捕捞 15 1.8（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y （元）与出售该种鱼的质量x （kg ）之间的函数关系，并估计自变量x 的取值范围．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =+的图象与函数k y x=（0x >）的图象相交于点(1,6)A ，并与x 轴交于点B ．点C 是线段AB 上一点，OBC ∆与OBA ∆的面积比为2：1．（1）k = ，b = ；（2）求点C 的坐标；（1）若将OBC ∆绕点O 顺时针旋转，得到''OB C ∆，其中B 的对应点是'B ，C 的对应点是'C ，当点'C 落在x 轴正半轴上，判断点'B 是否落在函数k y x=（0x >）的图象上，并说明理由．24．（8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠1至∠6是六个不同位置的圆周角．（1）分别写出与∠1、∠2相等的圆周角，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值；（2）若∠1－∠2=∠3－∠4，求证: AC ⊥BD ．25．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．（1）求证：AD DE AB BF ⋅=⋅；（2）联结AC ，如果CF AC DE CD =，求证：22AC AF BC BF=． 26．（10分）已知：在△ABC 中，点D 、点E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，BE 平分∠ABC ．（1）求证：BD=DE ；（2）若AB=10，AD=4，求BC 的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】根据同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得. 【详解】如图，由题意可得：11111111.5,2,6,AC B C AC A B C ABC ===∆~∆由相似三角形的性质得：1111AC AC B C BC =，即1.526AC = 解得： 4.5AC =（米）故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，理解题意，将问题转化为利用相似三角形的性质求解是解题关键.2、B【分析】根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案．【详解】∵抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀， ∴该校考生的优秀率是：60200×100%=30%， ∴该校达到优秀的考生约有：1500×30%=450（名）；故选B ．【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想．3、C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a =-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．4、A【解析】从上面看得到的图形是A 表示的图形，故选A ．5、C【解析】根据中心对称图形的概念即可求解．【详解】A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．6、D【解析】∵反比例函数y=k x 的图象经过点（5，-1）， ∴k=5×（-1）=-5＜0，∴该函数图象在第二、四象限．故选D ．7、B【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质得圆心角AOD ∠的度数，再根据圆周角定理即可得.【详解】如图，连接OA 、OE 、OD由正五边形的性质得：1360725AOE DOE ∠=∠=⨯︒=︒ 144AOD AOE DOE ∴∠=∠+∠=︒由圆周角定理得：1722ABD AOD ∠=∠=︒（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半） 故选：B.【点睛】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理，熟记性质和定理是解题关键.8、B【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．9、B【分析】连结OD ，OA ，设半径为r ，根据垂径定理得4,2AD OD r ==- ，在Rt ADO ∆中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.【详解】连结OD ，OA ，如图，设半径为r ，∵8AB =，CD AB ⊥，∴4=AD ，点O 、D 、C 三点共线，∵2CD =，∴2OD r =-，在Rt ADO ∆中，∵222AO AD OD =+，，即2224(2)r r =+-，解得=5r ，故选B.【点睛】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．10、B【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案．【详解】解：连接OC ，∵DC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴∠OCD=90°，∵∠D=40°，∴∠DOC=50°，∵AO=CO ，∴∠A=∠ACO ，∴∠A=12∠DOC=25°．故选：B ．【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】由一元二次方程的解的定义可得m 2-4m-1=1，则m 2-4m=1，再由根于系数的关系可得mn=-1,最后整体代入即可解答．【详解】解：∵m 、n 分别为的一元二次方程2410x x --=∴m+n=4,mn=-1，m 2-4m-1=1，∴m 2-4m=1∴24m m mn -+＝1-1=1故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键．1213【分析】连接AD,过M 作MG ⊥AD 于G ,根据正六边形的相关性质，求得AD,MD 的值，再根据∠CDG=60°，求出DG ,MG 的值，最后利用勾股定理求出AM 的值.【详解】解：连接AD,过M 作MG ⊥AD 于G ,则由正六边形可得， AD=2AB=4，∠CDA=60°，又MD=12CD=1， ∴DG=123∴AG=AD-DG=72,∴AM=2234913.44MG AG +=+= 故答案为13．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.13、12． 【详解】试题分析：设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系得到1•m=12，解得m=12． 考点：根与系数的关系．14、-2025【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出2m n +=-，2019=-mn ，将其代入33++m n mn 中即可求出结论．【详解】解：m ，n 分别为一元二次方程2220190+-=x x 的两个实数根，2m n ∴+=-，2019=-mn ，则()()3333220192025++=++=⨯--=-m n mn m n mn ．故答案为：2025-．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出2m n +=-，2019=-mn 是解题的关键． 15、8【分析】在Rt △ABC 中，根据坡面AB 的坡比以及BC 的值，求出AC 的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB 的长．【详解】∵Rt △ABC 中，BC=6米，迎水坡AB 的坡比为13∴BC ：AC=13∴33，∴2222(43)48AB AC BC=+=+=（米）【点睛】本题考查了解直角三角形的应用----坡度坡角问题，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．16、1 7【分析】连接BE，由菱形和折叠的性质，得到AF=EF，∠C=∠A=60°，由cos∠C=12，12CEBC=，得到△BCE是直角三角形，则32BE BC=，则△BEF也是直角三角形，设菱形的边长为m，则EF=m FB-，32BE m=，由勾股定理，求出FB=18m，则78EF m=，即可得到cos∠EFB的值.【详解】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，AB∥DC，由折叠的性质，得AF=EF，则EF=AB-FB，∵cos∠C=1 cos602︒=，∵点E是CD的中线，∴12 CEBC=，∴1 cos2CCEBC∠==，∴△BCE是直角三角形，即BE⊥CD，∴BE⊥AB，即△BEF是直角三角形.设BC=m，则BE=sin603BC︒=，在Rt△BEF中，EF=m FB-，由勾股定理，得：222FB BE EF+=,∴2223()()2FB m FB +=-， 解得：18FB m =， 则78EF m =， ∴118cos 778m FB EFB EF m ∠===； 故答案为：17. 【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，菱形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，从而利用解直角三角形进行解题.17、22【分析】先计算根号、负指数和sin30°，再运用实数的加减法运算法则计算即可得出答案.【详解】原式=12224222-+⨯=，故答案为22. 【点睛】本题考查的是实数的运算，中考必考题型，需要熟练掌握实数的运算法则.18、1【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC ，根据四边形的周长公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，∴AE=AH ，DH=DG ，CG=CF ，BE=BF ，∵AB=AE+EB=5，CD=DG+CG=6，AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG ，即AD+BC=AB+CD=11，∴四边形ABCD 的周长=AD+BC+AB+CD=1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）反比例函数的解析式为：y=2x ，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）当﹣2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）S △ABC =103． 【解析】试题分析：（1）由反比例函数经过点D （﹣2，﹣1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）结合图象求解即可求得x 在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）首先过点A 作AE⊥x 轴交x 轴于点E ，由直线l 与x 轴垂直于点N （3，0），可求得点E ，B ，C 的坐标，继而求得答案．试题解析：（1）∵反比例函数经过点D （﹣2，﹣1），∴把点D 代入y=m x （m≠0）， ∴﹣1=2m -，∴m=2，∴反比例函数的解析式为：y=2x， ∵点A （1，a ）在反比例函数上，∴把A 代入y=2x ，得到a=21=2，∴A（1，2）， ∵一次函数经过A （1，2）、D （﹣2，﹣1），∴把A 、D 代入y=kx+b （k≠0），得到：212k b k b =+⎧⎨-=-+⎩ ，解得：11k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）如图：当﹣2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）过点A 作AE⊥x 轴交x 轴于点E ，∵直线l⊥x 轴，N （3，0），∴设B （3，p ），C （3，q ），∵点B 在一次函数上，∴p=3+1=4，∵点C 在反比例函数上，∴q=23， ∴S △ABC =12BC•EN=12×（4﹣23）×（3﹣1）=103．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．20、（1）y＝﹣x+1；（2）当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值；（3）1014,75 P⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）由两个函数图象即可得出答案；（3）设P（m，4m），先求得△AOC的面积，即可求得△CPQ的面积，根据面积公式即可得到12|1﹣m|•4m＝1，解得即可．【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝mx（x＞0），得m＝1×4＝4，∴反比例函数为y＝4x；把A（1，4）和B（4，1）代入y＝kx+b得4 41 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k1 b5=-⎧⎨=⎩，∴一次函数为y＝﹣x+1．（2）根据图象得：当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值；（3）设P（m，4m），由一次函数y＝﹣x+1可知C（1，0），∴S△CAO＝1542⨯⨯＝10，∵S△CPQ＝12S△CAO，∴S△CPQ＝1，∴12|1﹣m|•4m＝1，解得m＝107或m＝﹣103（舍去），∴P （107，145）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．21、（1）22520254y t t =-+（0≤t ≤4）；（2）t 1＝2，t 2＝65；（2）经过点D 的双曲线k y x=（k ≠0）的k 值不变，为10825． 【分析】（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，由点P ，Q 的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t 秒时点P ，Q 的坐标，进而可得出PE ，EQ 的长，再利用勾股定理即可求出y 关于t 的函数解析式（由时间=路程÷速度可得出t 的取值范围）；（2）将PQ=10代入（1）的结论中可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）连接OB ，交PQ 于点D ，过点D 作DF ⊥OA 于点F ，求得点D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值，此题得解．【详解】解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，如图1所示．当运动时间为t 秒时（0≤t≤4）时，点P 的坐标为（32t ，0），点Q 的坐标为（4-t ，2）， ∴PE=2，EQ=|4-t-32t|=|4-52t|， ∴PQ 2=PE 2+EQ 2=22+|4-52t|2=254t 2-20t+21， ∴y 关于t 的函数解析式及t 的取值范围：y ＝254t 2−20t+21(0≤t≤4)； 故答案为：y ＝254t 2−20t+21(0≤t≤4)． （2）当PQ 10时，254t 2−20t+21＝10)2 整理，得1t 2-16t+12=0，解得：t 1=2，t 2＝65．（2）经过点D的双曲线y ＝kx(k≠0)的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC=2，BC=4，∴OB22OC BC1．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴2332BD BQ ttOD OP＝＝＝，∴OD=2．∵CB∥OA，∴∠DOF=∠OBC．在Rt△OBC中，sin∠OBC＝35OCOB＝，cos∠OBC＝BCOB＝45，∴OF＝OD•cos∠OBC＝2×45＝125，DF＝OD•sin∠OBC＝2×35＝95，∴点D的坐标为(125，95)，∴经过点D的双曲线y＝kx(k≠0)的k值为125×95＝10825．．【点睛】此题考查勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当10时t的值；（2）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．22、（1）1.78kg；（2）1kg；（3）y＝14x，0≤x≤1．【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.8 1.78201515⨯+⨯+⨯=++（kg ）． （2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg ，∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝1（kg ）．（3）∵每千克的售价为14元，∴所求函数表达式为y ＝14x ，∵该种鱼的总质量约为1kg ，∴估计自变量x 的取值范围为0≤x≤1．【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．23、（1）6，5；（2）(1,4)D -；（1）B ，点'B 不在函数6y x =的图象上． 【分析】（1）将点(1,6)A 分别代入反比例函数与一次函数的表达式中即可求出k,b 的值；（2）先求出B 的坐标，然后求出AOB S，进而求出OBC S ,得出C 的纵坐标，然后代入到一次函数的表达式中即可求出横坐标；（1）先根据题意画出图形，利用旋转的性质和''10OBC OB C S S ==，求出'B 的纵坐标，根据勾股定理求出横坐标，然后判断横纵坐标之积是否为6，若是，说明在反比例函数图象上，反之则不在．【详解】（1）将点(1,6)A 代入反比例函数k y x =中得61k = ， ∴6k = ∴反比例函数的表达式为6y x= 将点(1,6)A 代入一次函数y x b =+中得16b += ，∴5b =∴一次函数的表达式为5y x =+（2）当0y =时，50x += ，解得5x =-(5,0)B ∴-5OB ∴=156152AOB S ∴=⨯⨯= ∵OBC ∆与OBA ∆的面积比为2：1．10OBC S ∴= 设点C 的坐标为(,)c c x y1102OBC c S OB y == 4c y ∴=当4c y =时，45c x =+，解得1c x =-∴(1,4)C - （1）如图，过点'B 作''B D OC ⊥ 于点D∵OBC ∆绕点O 顺时针旋转，得到''OB C ∆''10OBC OB C S S ∴==22'(1)4=17OC OC ==-+''1''102OB C S OC B D ∴== 17'17B D ∴=5OB ='5OB ∴=22517''OD OB B D ∴=-= ∴5172017'(B517617⨯≠ ∴点'B 不在函数6y x=的图象上． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法是解题的关键．24、（1）∠6=∠1，∠5=∠2，1°；（2）详见解析【分析】（1）根据圆的性质可得出与∠1、∠2相等的圆周角，然后计算∠1+∠2+∠3+∠4可得；（2）先得出∠1+∠4=90°，从而得出∠6+∠4=90°，从而证垂直．【详解】（1）∵∠1和∠6所对应的圆弧相同，∴∠1=∠6同理，∠2=∠∠5∵∠1=∠6，∠2=∠5∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠6+∠5+∠3+∠4=1°；（2）∵∠1－∠2=∠3－∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∵∠1+∠2+∠3+∠4=1°∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°∵∠1=∠6∴∠6+∠4=90°∴AC ⊥BD ．【点睛】本题考查圆周角的特点，同弧或等弧所对应的圆周角相等，解题关键是得出∠1+∠2+∠3+∠4=1．25、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题． （2）由ACF CDE ∆∆∽，CDE CBF ∆∆∽，推出ACF CBF ∆∆∽，可得22ACF CBF S AC S BC ∆∆=，又ACF ∆与CBF ∆等高，推出ACF CBF S AF S BF ∆∆=，可得结论22AC AF BC BF=． 【详解】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，//AD BC ，CDE DAB ∴∠=∠，CBF DAB ∠=∠，CDE CBF ∴∠=∠，CE AE ⊥，CF AF ⊥，90CED CFB ∴∠=∠=︒，CDE CBF ∴∆∆∽， ∴BC CD BF DE=， 四边形ABCD 是平行四边形，BC AD ∴=，CD AB =，∴AD AB BF DE=， ··AD DE AB BF ∴=．（2）如图：CF AC DE CD=，90CED CFB ∠=∠=︒， ACF CDE ∴∆∆∽，又CDE CBF ∆∆∽， ACF CBF ∴∆∆∽，∴22ACF CBF S AC S BC∆∆=， 又∵1212ACFCBF AF CF S AF S BF BF CF ∆∆==， ∴22AC AF BC BF=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．26、（1）见解析；（2）15【分析】（1）利用平行线性质及角平分线线定理得到∠DEB=∠DBE，再利用等腰三角形判定得到BD=DE ，即得到答案.（2）利用相似的判定得到△ADE∽△ABC，再利用相似的性质得到AD DEAB BC=，代入值即可得到答案.【详解】（1）证明：∵DE // BC，∴∠DEB=∠EBC∵ BE平分∠ABC∴∠DBE=∠EBC∴∠DEB=∠DBE∴BD=DE(2) 解：∵AB=10，AD=4∴BD=DE=6∵DE // BC∴△ADE∽△ABC∴AD DE AB BC=∴46 10BC=∴BC=15【点睛】本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

麓山国际实验学校2016-2017-2初三整理试卷数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1. 下列函数：1=xy ，3x y =，x k y =，21-=x y ，22x y =中，是y 关于x 的反比例函数的有（ ）个A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 同时抛掷质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是不可能事件的是（ ）A. 点数之和为12B. 点数之和小于3C. 点数之和大于4且小于8D. 点数之和为133. 下列各图中，不是．．中心对称图形的是（ ） A. B.C. D. 4. 下面的计算正确的是（ ）A. 636±=B. 2211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- C. 156=-a a D. 426a a a =÷ 5. 关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是（ ）A. 图形必经过点）（1,2- B. 图形经过第一、二、三象限 C. 当21>x 时，0<y D. y 随x 的增大而增大 6. 在半径等于5㎝的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A. 120°B. 30°或120°C. 60°D. 60°或120°7. 将抛物线23x y =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A. 3)2(32++=x yB. 3)2(32+-=x yC. 3)2(32-+=x yD. 3)2(32--=x y8. 下列关于分式的判断，正确的是（ ）A. 当2=x 时，21-+x x 的值为零B. 当3≠x 时，xx 3-有意义C. 无论x 为何值，13+x 不可能取得整数值D. 无论x 为何值，132+x 的值总为正数 9. 若关于x 的方程0cos 22=+-αx x 有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°10. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（ ）A. π40B. π24C. π20D. π12第10题图 第11题图11. 如图，C Θ过原点，与x 轴、y 轴分别交于D A 、两点，已知︒=∠30OBA ，点D 的坐标为），（20，则C Θ的半径是（ ） A. 334 B. 332 C. 34 D. 2 12. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们的左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）A.B. C. D.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13. 函数21-=x y 的自变量x 的取值范围是； 14. 分解因式：=+-x x x 24223；15. 如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥-≥-0035m x x 有实数解，则实数m 的取值范围为； 16. 如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是3:1：，堤高m BC 10=，则坡面AB 的长度是m ；17. 如图，等边三角形ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且1=BP ，D 为AC 上一点，若︒=∠60APD ，则CD 的长为；18. 如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，3=AD ，点P 在边BC 上，过点P 作BD PQ //，交CD 边于Q 点，再把PQC ∆沿PQ 对折，点C 的对应点R 恰好落在AB 边上，则=CP .第16题图 第17题图 第18题图三、解答题（本大题共8小题，满分66分）19. （6分）计算：︒----+--30tan 3)31()2502017(3110.20. （6分）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a a a 22111541，其中1-=a .21. （8分）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）初三（1）班接受调查的同学共有名；（2）补全条形统计图，扇形统计图中的“体育活动C ”所对应的圆心角度数为度；（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，老师想从5名同学正任选两名同学进行交谈，求选取的两名同学都是女生的概率.22. （8分）如图，已知AB 为O Θ的直径，点E 在O Θ上，EAB ∠的平分线交O Θ于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P .（1）判断直线PC 与O Θ的位置关系，并说明理由；（2）若43tan =∠P ，6=AD ，求线段AE 的长.23. （9分）为迎接“五一”劳动节，某中学组织了甲、乙两个义务劳动小组，甲组x 人，乙组y 人，到“初中部”和“高中部”打扫卫生，根据打扫卫生的进度，学校随时调整两组人数，如果从甲组调50人去乙组，则乙组人数为甲组人数的2倍，；如果从乙组调m 人去甲组，则甲组人数为乙组人数的3倍.（1）求出x 与m 之间的关系式；（2）问当m 为何值时，甲组人数最少，最少是多少人？24. （9分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，8=AB ，︒=∠60BAD ，点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，当点E 不与点A 重合时，过点E 作AD EF ⊥于点F ，作AD EG //交AC 于点G ，过点G 作AD GH ⊥交AD （或AD 的延长线）于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动时间为t 秒.（1）求线段EF 的长（用含t 的代数式表示）；（2）求点H 与点D 重合时t 的值；（3）设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式.25. （10分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点）（1,y x 、）（2,y x 关于点）（x x ,对称，则称这两个函数为关于x y =的对称函数，例如，x y 211=和x y 232=为关于x y =的对称函数. （1）判断：①x y 31=和x y -=2；②11+=x y 和12-=x y ；③121+=x y 和122-=x y ，其中为关于x y =的对称函数的是（填序号）；（2）若231+=x y 和b kx y +=2)0(≠k 为关于x y =的对称函数：①求b k 、的值；②对于任意的实数x ，满足m x >时，21y y >恒成立，则m 满足的条件为.（3）若)0(21≠++=a c bx ax y 和n x y +=22为关于x y =的对称函数，且对于任意的实数x ，都有21y y <，请结合函数的图象，求n 的取值范围.26. 已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以)11(，P 为圆心的P Θ与x 轴、y 轴分别相切于点M 和点N ，点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF ，过点P 作PF PE ⊥交y 轴于点E ，设点F 运动的时间是t 秒（t >0）.（1）若点E 在y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PF PE =；（2）在点F 运动过程中，设a OE =，b OF =，试用含a 的代数式表示b ；（3）作点F 关于点M 的对称点F '，经过E M 、和F '三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连接QE .在F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点E O Q 、、为顶点的三角形与以F M P 、、为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.。

麓山国际实验学校2014—2015—1初三入学限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（ ） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（ ）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（ ）A ．23≥x B ．23≤x C ．3≥x D ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。

2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际洋湖实验中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，242.下列是一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. x−2=x2C. x2−2=x(x−2)D. 1x+x=13.关于一次函数y=−2x+1的图象和性质，下列说法正确的是( )A. y随x的增大而增大B. 图象经过第三象限C. 图象经过点(−1,2)D. 图象与y轴的交点是(0,1)4.将抛物线y=−4x2+3向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为( )A. y=−4(x+2)2−1B. y=−4(x−2)2+2C. y=−4(x−2)2−1D. y=−4(x+2)2+25.二次函数y=x2+3x−4的对称轴是直线( )A. x=3B. x=−3C. x=−32D. x=326.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2016的值为( )A. 2016B. 2017C. 2018D. 20197.如图，直线y=kx+b和直线y=mx+n相交于点(3,−2)，则方程组{y=kx+by=mx+n的解是( )A. {x=3y=−2B. {x=3y=2C. {x =−3y =−2D. {x =−3y =28.若点A(−2,y 1)，B(2,y 2)，C(3,y 3)在抛物线y =2(x−1)2+m 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 1<y 3C. y 2<y 3<y 1D. y 3<y 2<y 19.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O 喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A 到点O 的距离为4，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y =ax 2+245x ，则水流喷出的最大高度为( )A. 245mB. 5mC. 112mD. 6m10.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(−3,0)，且对称轴为直线x =−1.有以下结论：①a +b +c =0；②2c +3b =0；③当−2<x 1<−1，0<x 2<1时，有y 1<y 2；④对于任何实数k >0，关于x 的方程ax 2+bx +c =k(x +1)必有两个不相等的实数根.其中结论正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。