浙江省台州市2016-2017学年高三上学期联考数学试题 Word版含解析

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

浙江省台州市2016-2017学年高三下学期3月月考数学（理科）试题时间：150分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量()2,1a m = ，向量()1,8b =- ，若a b ⊥ ，则实数m 的值是（ ）A ．4-B ．4C ．43 D ．14 2．25()x x y ++展开式中52x y 系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．603．直线1-=x y 与抛物线x y 22=相交于P 、Q 两点，抛物线上一点M 与P 、Q 构成∆MPQ 的面积为233，这样的点M 有且只有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4 4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ）A ． 21 B ． 22 C ． 2 D ．2 5．若O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且04 =++OC OB OA ，那么（ ）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =6．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）A 3RB 3RC 3RD ．316R π 7．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞8．已知函数)2sin()(φ+=x x f 满足)()(a f x f ≤对R x ∈恒成立，则函数（ ）A ．)(a x f -一定为奇函数B ．)(a x f -一定为偶函数C ．)(a x f +一定为奇函数D ．)(a x f +一定为偶函数9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为-4时，则输入的0S 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知函数()()21,43x f x e g x x x =-=-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[]1,3 B ．()1,3C ．2⎡⎣D ．(2+11．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是（A ）y 2＝4x （B ） y 2＝2x （C ） y 2＝8x （D ）y 2＝6x12．若定义在R 上的函数f(x)满足f(π3＋x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)可以是（ ） A ．f(x)＝2sin 13x B ．f(x)＝2sin3x C ．f(x)＝2cos 13x D ．f(x)＝2cos3x 第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．函数2cos y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ▲ . 14．以下四个命题中： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正太态布()()21,,50.81N P σξ≤=，则()30.19P ξ≤-=； ④对于两个分类变量X 和Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为 ．15．已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60=，则〉〈,cos 等于 .16．某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃。

台州市2017学年第一学期高三年级期末评估一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}124xN x =<<，则M N = （）A.{}10x x -≤<B.{}01x x <≤C.{}12x x ≤<D.{}12x x -≤< 2.若复数2()1i z i=-（i 为虚数单位），则z =（） A.2B.1C.123.已知α为锐角，且3tan 4α=，则sin 2α=（） A.35B.45C.1225D.24254.已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.已知数列{}n a 满足*111,2()n n a a a n N +=-≥∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（） A.21n a n ≥+ B.12n n a -≥ C.2n S n ≥ D.12n n S -≥6.有3位男生，3位女生和1位老师站成一排照相，要求老师必须站在中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（） A.144 B.216 C.288 D.4327.已知实数,x y 满足不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22(1)(2)x y -++的取值范围是（）A.[]1,5B.⎤⎦C.[]5,25D.[]5,268.已知函数21,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若函数()()(1)g x f x k x =-+在(],1-∞上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（） A.[)1,3B.(]1,3C.[)2,3 D.()3,+∞9.已知1m = ，23m n += ，则m n n ++的最大值为（）4D.510.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是（） A.[]4,8- B.[]2,8- C.[]0,6D.[]4,12二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.双曲线22143x y -=的离心率是，渐近线方程为. 12.已知随机变量X 的分布列为：则m =13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为，表面积为.14.若2(23)nx x --的展开式中所有项的系数和为256，则n =，含2x 项的系数是. 15.当0x >时，(0)1ax a x +>+的最小值为3，则实数a 的为. 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点P 是其外接圆O 上的任意一点，若a b c ===222PA PB PC ++ 的最大值为.17.如图，在棱长为2的正四面体S ABC -中，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若4PS PQ =，则PC 长度的最小值为.三、解答题：本大题共5小题，共74分18.（本小题满分14分）已知函数22()sin cos (cos sin )(,,)f x a x x b x x x R a b =--∈为常数，且1()().2124f f ππ==- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域.19. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点,E F 分别为,AB BC 的中点，将,ADE DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点'A ，连接'.A B（1）求证：EF ⊥平面'A BD ；（2）求直线'A D 与平面BEDF 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）设函数2()(1).x f x x x e -=-+⋅ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,2]x ∈时，2()2f x x x m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆的面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,.M N 求证：以MN 为直径的圆恒过焦点12,F F ，并求出1F MN ∆面积的取值范围.22．（本小题满分15分）数列{}n a ，{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：111,3(2)n n a b S n a ===+，*1(,2).n n na b n N n a -=∈≥ （1）求数列{}n a ，{}n b 中的通项公式； （2）求证：2482111112n a a a a ++++< ； （3）令123ln ,n n n n c b T c c c c ==++++，求证：2*).n T n N ≥∈台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学参考答案及评分标准2018.01一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

浙江省台州中学2016届高三(上)第三次统练数学试卷(文科)(解析版)2015-2016学年浙江省台州中学高三第三次统练数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2}，N={2a ﹣1|a∈M}，则M∪N等于A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．? 2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于A．B．C．D．3．已知0＜a＜1，logam＜logan＜0，则A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1 4．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m ∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有A．1个B．2个C．3个D．4个5．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点，设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则A．B．C．D．的最小值为6．定义行列式运算=a1a4﹣a2a3．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是A．B．C．D．7．已知点P是直线kx+y+4=0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k 的值为A．3 B．C．D．2 满足，且，则x＜0，y＜0 ，则x＞0，y＞0 ，．8．已知平面向量A．若C．若B．若，则x＞0，y＞0 ，则x＜0，y＜0 D．若第1页二、填空题：本大题7小题，9-12题每空3分，13-15每空4分，共36分，把答案填在题中的横线上．9．已知直线l1：y=ax+2a与直线l2：ay=x﹣a，若l1∥l2，则a=______；若l1⊥l2则a=______．10．设函数最小值为______．11．规定记号“△”表示一种运算，即a函数f=k△x的定义域是______，值域是______．12．设，，为平面向量，若，，，，则的．若1△k=3，则，则该函数的最小正周期为______，f在的最小值为______，的最小值为______．13．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C 于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为______．14．已知双曲线C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作，则双曲线C的双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且离心率为______．15．对一切实数x，所有的二次函数f=ax2+bx+c的值均为非负实数，则的最大值是______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．B，C的对边分别是a，b，c，b，c成等比数列，△ABC 中，内角A，已知a，且cosB=．求的值；设?=，求a+c的值．17．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a1=1．求数列{an}的通项公式；证明：对一切正整数n，有18．在Rt△AOB 中，．Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到Rt△AOC，，斜边AB=4．且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上．求证：平面COD⊥平面AOB；当时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；求CD与平面AOB所成最大角的正切值．第2页19．已知抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l 与抛物线交于A，B两点．当S△OFA=2S△OFB时，求直线l的方程；过点A作抛物线C的切线l1与圆x2+2=1交于不同的两点M，N，设F到l1的距离为d，求的取值范围．20．设函数f=x2﹣ax+b，a，b∈R．当a=2时，记函数|f|在[0，4]上的最大值为g，求g的最小值；存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．第3页2015-2016学年浙江省台州中学高三第三次统练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2}，N={2a ﹣1|a∈M}，则M∪N等于A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．? 【考点】并集及其运算．【分析】通过集合M求出集合N，然后求解它们的并集．【解答】解：因为集合M={1，2}，所以N={2a﹣1|a∈M}={1，3}，所以M∪N={1，2，3}．故选C．2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，a3=3，S9﹣S6=27，可得得a1=．故选：D．3．已知0＜a＜1，logam＜logan＜0，则A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1 【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】本题考查对数函数的性质，基础题．【解答】解：logam＜logan＜0=loga1 得m＞n＞1，故选A．4．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有A．1个B．2个C．3个D．4个第4页，解【考点】平面与平面平行的判定．【分析】存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，不一定成立，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，可以得到两个平面平行，存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m，则得到两个平面可以平行，可以相交，存在异面直线l、m，使得l ∥α，l∥β，m∥α，m∥β，可以得到两个平面平行．【解答】解：存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，不一定成立，故①不正确，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，可以得到两个平面平行，故②正确存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m，则得到两个平面可以平行，可以相交，故③不正确，存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m ∥β，可以得到两个平面平行，故④正确，综上可知可以判断两个平面平行的方法有2种，故选B．5．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB 上的动点，设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则A．B．C．D．的最小值为【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】运用三角形的面积公式可得S△ABC=S△BCD+S△ACP，即为4=d1+4d2，求得=展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值．【解答】解：如右图，可得S△ABC=S△BCD+S△ACP，AC?BC=d1?BC+d2?AC，即为4=d1+4d2，则= ）==×=．当且仅当故选：C．=，即d1=2d2=，取得最小值．第5页6．定义行列式运算=a1a4﹣a2a3．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是A．B．C．D．【考点】二阶矩阵；正弦函数的对称性；函数y=Asin的图象变换．【分析】利用行列式定义将函数f 化成y=2sin2x．从而写出函数y=2sin2x图象的对称中心即可．【解答】解析：，向左平移后得到，向左平移后得到y=2sin2x．所以函数y=2sin2x图象的对称中心为，令k=1时，得到．故选B 7．已知点P是直线kx+y+4=0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为A．3 B．C．D．2 【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心，半径是r=1，圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd∴d 最小值=2 圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2 故选D．8．已知平面向量A．若C．若满足，且，．B．若，则x＞0，y＞0 ，则x＜0，y＜0 D．若，则x＜0，y＜0 ，则x＞0，y＞0 第6页【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用排除法解决，?＞0，?＞0，若?＜0，可举=，=，=，加以验证；若?＞0，可举=，=，=，加以验证，即可得到答案．【解答】解：作为选择题，可运用排除法．?＞0，?＞0，若?＜0，可举=，=，=，则?=1＞0，?=1＞0，?=﹣1＜0，=x+y，即有0=x﹣2y，1=x+y，解得x=，y=，则可排除B；若?＞0，可举=，=，=，则?=1＞0，?=3＞0，?=2＞0，=x+y，即有1=x+2y，1=y，解得x=﹣1，y=1，则可排除C，D．故选：A．二、填空题：本大题7小题，9-12题每空3分，13-15每空4分，共36分，把答案填在题中的横线上．9．已知直线l1：y=ax+2a与直线l2：ay=x﹣a，若l1∥l2，则a= 1 ；若l1⊥l2则a= 0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当a=0时，两条直线分别化为：y=0，﹣x=0，不满足l1∥l2，舍去；当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，y=x﹣1，∵l1∥l2，∴，2a≠﹣1．解得a=1．综上可得：l1∥l2，则a=1．当a=0时，两条直线分别化为：y=0，﹣x=0，此时满足l1⊥l2，∴a=0；当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，y=得a=0，舍去．综上可得：l1⊥l2，则a=0．故答案分别为：a=1；a=0．10．设函数最小值为﹣．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】条件利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的最小值．第7页x﹣1，∵l1⊥l2，∴a=﹣1，解，则该函数的最小正周期为π ，f在的【解答】解：根据函数当x∈[0，为﹣，故答案为：π，11．规定记号“△”表示一种运算，即a．]时，2x﹣∈[﹣，，可得则该函数的最小正周期为]，故当2x﹣=﹣=π，时，f取得最小值．若1△k=3，则函数f=k△x的定义域是，值域是．【考点】函数的值域．【分析】根据“△”运算的定义，1△k=3便可求出k=1，从而得出f=，从而便可得出f 的定义域为，这样便可x＞0得出f的范围，即得出f的值域．【解答】解：根据条件，；∴；∴k=k2﹣4k+4；解得k=1，或4；∴；∴f的定义域为；∵x＞0；∴；∴；即f＞1；∴f 的值域为．故答案为：，．12．设，，为平面向量，若最小值为 3 ，的最小值为，．，，，则的【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．，不妨设=，，，不妨设=，=，利用向量的模的计算即可求出的最小值，再利用数量积运算即可得出的最小值．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵，不妨设=，∵，，不妨设=，=．∴+=，∴|+|2=9+2，∴的最小值为3，第8页∴﹣=，∵，∴1+2=4，∴2=3+4mn≥0，∴mn≥﹣，当且仅当m=﹣n=±∴=2+mn≥2﹣=．时取等号，故答案为：3，13．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为=1，，根据题目条件得出a2﹣b2=1，①，=1 ．=1，②①②联合求解即可．【解答】解：设椭圆的方程为=1，∵可得c==1，∴a2﹣b2=1，①AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3，A，，第9页代入方程得出：=1，②联合①②得出a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1，故答案为：=1 14．已知双曲线C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作，则双曲线C的双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知F2H的斜率，设出H的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则H的坐标可知，进而求得M的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c 的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F2相应的渐近线：y=x，则根据直线F2H的斜率为﹣，设H，将y=﹣代入双曲线渐近线方程求出x=则M，，，可得M，即有M，把M点坐标代入双曲线方程=1，即﹣=1，整理可得c=a，即离心率e==故答案为：．．第10页15．对一切实数x，所有的二次函数f=ax2+bx+c的值均为非负实数，则的最大值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质．2b2≤4ac，【分析】设b﹣a=k，则b=a+k，依题意有b＞a＞0，即≤4ac，即．根据，再利用基本不等式求出它的最大值．【解答】解：设b﹣a=k，则b=a+k，依题意有b ＞a＞0，b2≤4ac，即2≤4ac，即．故=．当且仅当，即b=c=4a时取等号．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．B，C的对边分别是a，b，c，b，c成等比数列，△ABC中，内角A，已知a，且cosB=．求的值；设?=，求a+c 的值．【考点】等比数列的性质．【分析】等比数列性质得b2=ac，余弦定理能求出的值．已知得，再或=，能求出c+a．【解答】解：因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，余弦定理可知：，第11页又因为，故，所以或=，，解得，或=．所以ca=2，又故c+a=3．17．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a1=1．求数列{an}的通项公式；证明：对一切正整数n，有．【考点】数列与不等式的综合．【分析】已知数列递推式可得an+1=an+2，求得a2，验证a2﹣a1=2，说明数列{an}是等差数列，则通项公式可求；把数列的通项公式代入不等式左边，然后利用裂项相消法证得答案．【解答】解：4Sn=an+12﹣4n﹣1，得则，两式作差得，∵an＞0，，∴an+1=an+2，a1=1，4Sn=an+12﹣4n﹣1，得a2=3，满足a2﹣a1=2，∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+2=2n﹣1；证明：==．且二面角B﹣AO﹣C 是直二面角．动点D在斜边AB上．求证：平面COD⊥平面AOB；当时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；求CD与平面AOB所成最大角的正切值．第12页【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】利用二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质即可得出；作DE ⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO，∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，在Rt△CDE中，可求异面直线AO与CD 所成角的正切值；知，CO⊥平面AOB，可得∠CDO是CD与平面AOB 所成的角，当OD最小时，∠CDO最大，结合含30°角的直角三角形的边角关系即可得出．【解答】证明：题意，CO ⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是直二面角B﹣AO﹣C的平面角，… ∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．… 解：作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO 与CD所成的角．… 在Rt△COB 中，易得CO=BO=2，∴又．．．…．，∴在Rt△CDE中，∴异面直线AO与CD所成角的正切值为解：知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且．当OD最小时，∠CDO 最大，… 这时，OD⊥AB，垂足为D，∴CD与平面AOB所成最大角的正切值为，．… ，第13页19．已知抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．当S△OFA=2S△OFB时，求直线l的方程；过点A作抛物线C的切线l1与圆x2+2=1交于不同的两点M，N，设F到l1的距离为d，求的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】S△OFA=2S△OFB，可得|AF|=2|FB|．设A，B，利用，解出即可；于，因此y′=，可得切线l1的方程为y﹣t2=t，圆心到=2|t|，点l1的距离为d1=，且d1＜1，故0＜t2＜3．则|MN|=2第14页F到l1的距离d=，=，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵S△OFA=2S△OFB，∴|AF|=2|FB|．设A，B，则，故∴A=2，．．，因此直线l的方程为于，因此y′=故切线l1的方程为y﹣t2=t，化简得tx ﹣y﹣t2=0，则圆心到l1的距离为d1=，且d1＜1，故0＜t2＜3．则|MN|=2=，则点F到l1的距离d=则=，，令z==﹣1+=﹣1+，．则z=﹣1+，故∈．第15页。

浙江省台州市2016-2017学年高三高考模拟考试数学（理）试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合{|31}x A x =<，{|01}B x x =≤≤，则()A B = R ð A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]2. 已知函数()([0f x ax b x =+∈，1])，则“30a b +>”是“()0f x >恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的 体积是A ．()24+2πcm 3B ．424+π3⎛⎫ ⎪⎝⎭cm 3C ．()8+6πcm 3D．(16+2π3⎛⎫⎪⎝⎭cm 3 4. 点F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 是准线，A 是抛物线在第一象限内的点，直线AF 的倾斜角为60，AB l ⊥于B ，ABF ∆p 的值为A．2B ．1 C．3 5．设集合{()1}P x y x y x y =+≤∈∈,,R,R ，22{()1}Q x y x y x y =+≤∈∈,,R,R ，42{()1}R x y x y x y =+≤∈∈,,R,R ，则下列判断正确的是俯视图侧视图正视图4（第3题图）A ．P ⊂≠Q ⊂≠RB ．P ⊂≠R ⊂≠QC ．Q ⊂≠P ⊂≠RD ．R ⊂≠P ⊂≠Q6. 已知数列{}n a 为等差数列，22121a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，则5S 的取值范围是A．[-B．[-， C ．[10-，10] D．[-7. 已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 A ．33 B ．26 C ．25 D ．218. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，1BC =，60BAD ∠=，E 为线段CD （端点C 、D 除外）上一动点. 将ADE ∆沿直线AE 翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD 与BC 垂直，则a 的取值范围是A．)+∞ B．)+∞ C．1)+∞， D．1)+∞，非选择题部分（共110分）二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。

2016-2017学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∩Q=（）A．{1}B．{2，4}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．23．（4分）已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3 B．2 C．D．4．（4分）已知cosα=1，则sin（α﹣）=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（4分）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5]B．[2，]C．[，5]D．[5，+∞）6．（4分）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A．B．C．D．8．（4分）袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）﹣g（x）=2的实根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在抓痕l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13 B．﹣2 C．D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．（6分）已知函数f（x）=，则f（0）=，f（f（0））=．12．（6分）以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是．13．（6分）已知公差不为0的等差数列{a n}，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1=，a n=．14．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是，表面积是．15．（4分）已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a，cosB=cosA，c=+1，则△ABC的面积为．16．（4分）已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ=．17．（4分）已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f （x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f（x）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x﹣），求g（x）的单调递减区间．19．（15分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=x3+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值（用a表示）．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．22．（15分）已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．＞a n；（1）求证：a n+1（2）求证：a2017＜1；（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．2016-2017学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∩Q=（）A．{1}B．{2，4}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则∁U P={2，4，6}，所以（∁U P）∩Q={2，4}．故选：B．2．（4分）已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【解答】解：复数z===+i（a∈R）的虚部为1，∴=1，解得a=1．故选：A．3．（4分）已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=3×=．故选：C．4．（4分）已知cosα=1，则sin（α﹣）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵cosα=1，可得：sinα=0，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣1×=﹣．故选：C．5．（4分）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5]B．[2，]C．[，5]D．[5，+∞）【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为：2．当直线z=x+y过点B（1，4）时，z最大值为：5．则x+y的取值范围为：[2，5]．故选：A．6．（4分）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上⇔＞0，即mn＜0，∴“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的充要条件．故选：C．7．（4分）已知函数f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），f′（x）=ax2+ax+1，△=a2﹣4a，当0＜a＜4时，f′（x）无实数根，f′（x）＞0，f（x）递增，故A可能，当a＞4或a＜0时，f′（x）有2个实数根，f（x）先递减再递增或f（x）先递增再递减，故B、C可能，故选：D．8．（4分）袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋子里装有编号分别为“1、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，每个球被取到的机会均等，基本事件总数n==20，取出的3个球编号之和不大于7的基本事件有：122，123，123，124，124，223，共有6个，∴取出的3个球编号之和大于7的概率为：p=1﹣=．故选：B．9．（4分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）﹣g（x）=2的实根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设F（x）=f（x）﹣2，F（x）与g（x）在同一个坐标系在的图象如图：观察得到两个函数图象交点个数是1个，所以f（x）﹣g（x）=2的实根个数为1；故选：A．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在抓痕l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13 B．﹣2 C．D．【解答】解：由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：y=kx﹣2k+2，CC2=．直线CC2的方程为y=﹣x++6，∴C1（4+6k，0），∴CC1=6，∴C1C2=CC2﹣CC1=6﹣．∴=﹣1．令|k﹣2|=t，∴k=t+2或2﹣t．①k=t+2，=3（t++4）﹣1≥6+11，t=时，取等号；②k=2﹣t，=3（t+﹣4）﹣1≥6﹣13，t=时，取等号；综上所述，的最小值为6﹣13，故选A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．（6分）已知函数f（x）=，则f（0）=1，f（f（0））=0．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20=1，f（f（0））=f（1）=log 31=0．故答案为：1，0．12．（6分）以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是x2+y2=2，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是相交．【解答】解：∵原点为所求圆的圆心，且所求圆与直线x+y+2=0相切，∴所求圆的半径r=d==，则所求圆的方程为x2+y2=2．x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心为（0，1），半径为2，两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，两圆相交．故答案为：x2+y2=2；相交．13．（6分）已知公差不为0的等差数列{a n}，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1=1，a n=2n﹣1．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则2a1+4d=10，a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：1，a n=2n﹣1．14．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是6，表面积是15+4．【解答】解：由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，∴该几何体的体积是=6，表面积是2×+（1+2+2×）×4=15+4，故答案为6，15+4．15．（4分）已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a，cosB=cosA，c=+1，则△ABC的面积为．【解答】解：∵由b=a，可得：sinB=sinA，由cosB=cosA，可得：cosB=cosA，∴（sinA）2+（cosA）2=1，解得：sin2A+cos2A=，∴结合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=，cosB=，∴A=，B=，可得：C=π﹣A﹣B=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：（）2=a2+（）2﹣2α×a×cos，∴解得：a=，∴S=acsinB=（）×=．△ABC故答案为：．16．（4分）已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ=．【解答】解：向量，满足||=3，||=2，∵λ+μ=1，∴=λ+μ=λ+（1﹣λ），又=，∴=，即=，∴=，即•+2﹣2λ=3λ+•，∴，解得λ=．故答案为：．17．（4分）已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【解答】解：由题意可得a≤0，b≤0，f（x）可取得最大值，即有f（x）=x+﹣ax﹣b，x∈[，2]，f′（x）=1﹣﹣a=，由f′（x）=0可得x=（负的舍去），且为极小值点，则f（）=﹣a﹣b，f（2）=﹣2a﹣b，由f（）﹣f（2）=a＜0，即有f（2）取得最大值，即有M（a，b）=﹣2a﹣b，可得a=0，b=时，取得最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f（x）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x﹣），求g（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，∴T==π，∴ω=2；又x=为f（x）图象的一条对称轴，∴2x+φ=kπ+，k∈Z，∴f（x）图象的对称轴是x=+﹣，k∈Z；由=+﹣，解得φ=kπ+，又|φ|≤，∴φ=；（2）∵f（x）=sin（2x+），∴g（x）=f（x）+f（x﹣）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+sin2x=sin（2x+），令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．19．（15分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=，又∵PO=1，PA=2，∴PO2+AO2=PA2，∴AO⊥PO，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，1），=（1，0，﹣1），=（﹣1，，0），=（0，，1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ===．∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．20．（15分）已知函数f（x）=x3+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值（用a表示）．【解答】解：（1）a=1，x＜1时，f（x）=x3+1﹣x，f′（x）=3x2﹣1，故f（0）=1，f′（0）=﹣1，故切线方程是y=﹣x+1；（2）a∈（0，1）时，由已知得f（x）=，a＜x＜1时，由f′（x）＞0，得f（x）在（a，1）递增，﹣1＜x＜a时，由f′（x）=3x2﹣1，①a∈（，1）时，f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1）递增，∴f（x）min=min{f（﹣1），f（）}=min{a，a﹣}=a﹣，②a∈（0，]时，f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，a）递减，在（a，1）递增，∴f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}=min{a，a3}=a3；综上，f（x）min=．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的标准方程为=1．（2）设直线l的方程为：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，⇒b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1时恒成立，∴椭圆C率心率e的取值范围为（0，1）22．（15分）已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．（1）求证：a n＞a n；+1（2）求证：a2017＜1；（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．【解答】（1）证明：a n﹣a n=≥0，可得a n+1≥a n．+1∵a1=，∴a n．﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n．∴a n+1（II）证明：由已知==，∴=﹣，由=，=，…，=，累加求和可得：=++…+，当k=2017时，由（I）可得：=a1＜a2＜…＜a2016．∴﹣=++…+＜＜1，∴a2017＜1．（III）解：由（II）可得：可得：=a1＜a2＜…＜a2016＜a2017＜1．∴﹣=++…+＞2017×=1，∴a2017＜1＜a2018，＞a n．∴k的最小值为2018．又∵a n+1赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

台州市2016学年第一学期高三数学期末质量评估试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

2. 已知复数的虚部1，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。

3. 已知随机变量∽，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

4. 已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 已知实数满足，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以，应选答案A。

6. 已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“”，则中的，所以“抛物线的焦点在轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线的焦点在轴正半轴上”，则中的，即，则“”成立，故是充分必要条件，应选答案C。

...7. 已知函数，下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，故当时，判别式，其图像是答案C中的那种情形；当时，判别式，其图像是答案B中的那种情形；判别式，其图像是答案A中的那种情形；当，即也是答案A中的那种情形，应选答案D。

8. 袋子里装有编号分别为“”的个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的个球编号之和大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设取三个球的所有可能有，其中编号之和小于或等于7的所有可能有共6种，其概率，所以个球编号之和大于的概率为，应选答案B。

9. 已知函数，则方程的实根个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，则，在同一直角坐标系中画出函数的图像如上图，则两图像有3个交点，即方程有3个实数根；当时，则，在同一直角坐标系中画出函数的图像如下图，则两图像有1个交点，即方程有1个实数根.。

2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，则（∁R M）∩N等于（）A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}2．“a＞4”是“a2＞16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．4．函数f（x）=x2﹣ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等8．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，•的最大值为（）A．B．+C．D．+2二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9．[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=.3=．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是．11．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．12．已知等比数列{a n}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则a n=，S10=．13．已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．15．若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值．17．已知数列{a n}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求{b n}的前n项和S n．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，．（1）求a，p的值；（Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，则（∁R M）∩N等于（）A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，∴∁R M={x|x≠1且x≠2}，则（∁R M）∩N={3，4}．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．“a＞4”是“a2＞16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞16得a＞4或a＜﹣4，则“a＞4”是“a2＞16”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，结合α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角差的正切函数公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=﹣，∴可得：sin，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，tan==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．函数f（x）=x2﹣ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由函数的表达式确定函数的性质，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．【解答】解：∵f（x）=x2﹣ln|x|=f（﹣x），∴函数f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，又∵f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴排除C，又∵f（x）→+∞，故排除B，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法的应用．5．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣）的图象，若得到的函数为偶函数，则φ﹣=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由2x﹣=+kπ，即x=+，k∈Z时，即函数的对称轴为x=+，k∈Z2x﹣=kπ，即x=+，k∈Z时，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z则当k=1时，x=，即函数关于点（，0）对称，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键．考查学生的运算和推理能力．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线AB所成角相等，∴与直线BC 和直线A1B1所成角相等，正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，•的最大值为（）A．B．+C．D．+2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，把•转化为含有θ的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案．【解答】解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，则•=（）•（）===﹣cosθ﹣cosθcos+sinθsin=﹣=．∴当时，•的最大值为．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9．[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=3.3=2．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用有理指数幂的运算法则以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=4﹣1=3．3==2．故答案为：3；2．【点评】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是 72 ，表面积是 120 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果．【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为：=12．∴V=S •h=6×12=72S 表面=2S 底+S 侧面=2×12+6×（6+5+5）=120【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错．11．设直线l 1：x+my+6=0和l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0，当m= ﹣1 时，l 1∥l 2，当m=时，l 1⊥l 2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l 1：x+my+6=0和l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0， l 1∥l 2，∴=≠，解得m=﹣1；∵直线l 1：x+my+6=0和l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0， l 1⊥l 2，∴1×（m ﹣2）+3m=0，解得m=；故答案为：﹣1，．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．12．已知等比数列{a n}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则a n=2n﹣1，S10=1023．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a4﹣2a2=4，a3=4．可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4﹣2a2=4，a3=4．∴，解得，则a n=2n﹣1，S10==1023．故答案分别为：2n﹣1；1023．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为≤u≤．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；构造法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，u====3﹣，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，AO的斜率最小，BO的斜率最大，由得，即B（2，4），由得，即A（3，2），则AO的斜率k=，BO的斜率k=2，即≤k≤2，则u=3﹣=3﹣在≤k≤2上为增函数，则当k=时，函数取得最小值，u=，当k=2时，函数取得最大值，u=，即≤u≤，故答案为：≤u≤【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键．注意数形结合．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为（﹣∞，﹣）．【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2时，x2﹣3≥1，此时函数f（x）在[1，+∞）为减函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此时x无解．若x＜1，即x＜2时，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，时，函数f（x）在（﹣∞，1]上是增函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此时﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，则x≤﹣1，此时f（x）＜0，而x2﹣3≥1，则f（x2﹣3）＞0，此时不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2k≤2x+≤2k，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+）=1，结合范围0＜B＜π，可得＜2B+＜，从而解得B=，利用余弦定理可得a2﹣4a+3=0，解得a=1或3．由△ABC为钝角三角形，C为钝角，可得a=1满足题意，即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），…4分∴由2k≤2x+≤2k，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z…7分（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+）=1，∵0＜B＜π，∴＜2B+＜，∴2B+=，解得B=，…9分∵b2=a2+c2﹣2accosB，即13=a2+16﹣4a，整理可得：a2﹣4a+3=0，∴解得：a=1或3…12分∵△ABC为钝角三角形，∴C为钝角，经检验：a=1满足题意…14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要注意一定要验根，属于中档题．17．已知数列{a n}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当n≥2时利用+++…+=n2+3n与+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差、整理可知a n=4（n+1）2（n≥2），进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b n=，n∈N*，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，+++…+=n2+3n，+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，∴a n=4（n+1）2（n≥2），又∵=4即a1=16满足上式，∴a n=4（n+1）2；（Ⅱ）由（I）可知b n==，n∈N*，∴S n=4[2•+3•+…+（n+1）•]，S n =4[2•+3•+…+n •+（n+1）•]，两式相减得： S n =4[1+++…+﹣（n+1）•]=4[1+﹣（n+1）•]=6﹣（n+3）•，于是S n =12﹣（n+3）•．【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．18．四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，BC=AB=1，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求证：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求PA 与平面ACE 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）要证CE ∥平面PAB ，只要证明CE 平行于平面PAB 内的一条直线即可，由E 为PD 的中点，可联想找PA 的中点F ，连结EF 、BF 后，证明BCEF 是平行四边形即可证得答案；（Ⅱ）取AD 的中点G ，连接EG ，则EG ∥AP ，问题转化为求EG 与平面ACE 所成的角的正弦．连接BG 交AC 于O ，连接OE ，证得平面ACE ⊥平面OEG ，交于直线OE ，过G 作GH ⊥OE ，交OE 于H ，可得∠GEH 为EG 与平面ACE 所成的角，即∠GEO ，运用解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取PA 的中点F ，连结FE 、FB ， 则FE ∥BC ，且FE=AD=BC ，∴BCEF 是平行四边形，∴CE ∥BF ，而BF ⊂平面PAB ，∴CE ∥平面PAB ； （Ⅱ）取AD 的中点G ，连接EG ，则EG ∥AP ， 问题转化为求EG 与平面ACE 所成的角的正弦． 连接BG 交AC 于O ，连接OE ，由AC ⊥EG ，AC ⊥BG ，可得AC ⊥平面OEG ，即有：平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，由EG=1，GO=，可得EO=，可得sin∠GEO==，则PA与平面ACE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题．19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，．（1）求a，p的值；（Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义即可得到，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到，从而可求出a的值；（Ⅱ）可设过点P的直线l方程为：y﹣y0=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky2﹣8y+8y0+8k=0，可设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可以得到．可以求圆心C2到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k1+k2=﹣y0，这样即可求得y1y2y3y4=64，即得出A，B，C，D四点纵坐标之积为定值．【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x=的距离为3；∴；∴p=4；∴抛物线的焦点坐标为（2，0）；∴；∴；（Ⅱ）设P（﹣1，y0），过点P的直线方程设为l：y﹣y0=k（x+1）；由得，ky2﹣8y+8y0+8k=0；若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4；∴；∵C2到l的距离d=；∴；∴；∴=；∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64．【点评】考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜＜1，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]内有两个不同的零点，即有，解得1≤b＜2或2＜b≤3；（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．+M＞0即可，设f（x）的最小值是m，只需证明f（x）最小值问题转化为证明M+m＞0，证明如下：f（x）的对称轴为x=，当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b﹣a，m=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，可得m=f（）=，若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，M+m=≥=a＞0；若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，M+m==，由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．综上可得：f（x）max+f（x）min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．【点评】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用二次函数的图象，考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．2016年3月13日。

2021-2021学年浙江省台州市高一〔上〕期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，4}，那么?U〔A∪B〕=〔〕A．5 B．{5} C．? D．{1，2，3，4}2．平面向量=〔1，2〕，=〔x，﹣2〕，假设与共线，那么x的值为〔〕A．﹣4B．4C．﹣1D．13．的值为〔〕A．B．C．D．4．函数f〔x〕=|x﹣1|﹣1〔x∈{0，1，2，3}〕，那么其值域为〔〕A．{0，1，2，3}B．{﹣1，0，1}C．{y|﹣1≤y≤1}D．{y|0≤y≤2}5．假设，，，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c6．假设x0是函数f〔x〕=﹣x3﹣3x+5的零点，那么x0所在的一个区间是〔〕A．〔0，1〕B．〔1，2〕C．〔2，3〕D．〔3，4〕7．函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，|φ|＜〕的局部图象如下列图，那么〔〕A．ω=2，B．，C．ω=2，D．，8．函数 f〔x〕=loga〔x﹣+1〕+2 〔a＞0，a≠1〕的图象经过定点P，且点P在幂函数g〔x〕的图象上，那么g〔x〕的表达式为〔〕A．g〔x〕=x2B． C．g〔x〕=x3D．9．函数f〔x〕=x2﹣2x在区间[﹣1，t]上的最大值为3，那么实数t的取值范围是〔〕第1页〔共17页〕A．〔1，3] B．[1，3] C．[﹣1，3] D．〔﹣1，3]10．假设存在实数α∈R，，使得实数t同时满足，α≤t≤α﹣2cosβ，那么t的取值范围是〔〕A． B． C． D．[2，4]二、填空题：本大题共6小题，单空题每题3分，多空题每题3分，共20分．11．集合{1，2}的子集个数为．12．函数f〔x〕= 的值为．13．函数f〔x〕=2cos〔2x+ 〕，函数g〔x〕的图象由函数f〔x〕的图象向右平移个单位而得到，那么当x∈[﹣，]时，g〔x〕的单调递增区间是．14．定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，+∞〕上是减函数，且f〔2〕=0，假设f〔lnx〕＞0，那么x的取值范围是．15．函数y=sinx〔x∈[m，n]〕，值域为，那么n﹣m的最大值为，最小值为．16．在等腰△ABC中，AD是底边BC上的中线，假设? =m ，AD=λBC，那么当m=2时，实数λ的值是，当λ∈〔，〕时，实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．函数．〔Ⅰ〕判断f〔x〕的奇偶性，并加以证明；〔Ⅱ〕求方程的实数解．18．=〔cosα，sinα〕， =〔cosβ，sinβ〕，＜α＜β＜．〔Ⅰ〕假设，求；第2页〔共17页〕〔Ⅱ〕设=〔1，0〕，假设，求α，β的值．19．集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|2a﹣1＜x＜a+1}，a∈R．〔Ⅰ〕假设B?A，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕设函数，假设实数x满足〔〕∈，求实数取值0A的集合．20．A为锐角△ABC的内角，且 sinA﹣2cosA=a〔a∈R〕．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，求tanA的值；〔Ⅱ〕假设a＜0，且函数f〔x〕=〔sinA〕?x2﹣〔2cosA〕?x+1在区间[1，2]上是增函数，求sin2A﹣sinA?cosA的取值范围．21．函数f〔x〕=|x2﹣2x﹣3|，g〔x〕=x+a．〔Ⅰ〕求函数y=f〔x〕的单调递增区间；〔只需写出结论即可〕〔Ⅱ〕设函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕，假设h〔x〕在区间〔﹣1，3〕上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕假设存在实数m∈[2，5]，使得对于任意的x1∈[0，2]，x2∈[﹣2，﹣1]，都有f〔x1〕﹣m≥g〔2 〕﹣5成立，求实数a的最大值．第3页〔共17页〕2021-2021学年浙江省台州市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，4}，那么?U〔A∪B〕=〔〕A．5B．5C．?D．1，2，3，4{}{}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，4}，A∪B={1，2，3，4}；?U〔A∪B〕={5}．应选：B．2．平面向量 =〔1，2〕， =〔x，﹣2〕，假设与共线，那么x的值为〔〕A．﹣4B．4 C．﹣1D．1【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程求x的值．【解答】解：平面向量=〔1，2〕，=〔x，﹣2〕，假设与共线，那么2x﹣1×〔﹣2〕=0，解得x=﹣1．应选：C．3．的值为〔〕A． B． C． D．【考点】三角函数的化简求值．第4页〔共17页〕【分析】利用诱导公式化简即可计算出答案．【解答】解：sin =sin〔4 〕=sin〔﹣〕=﹣sin = ．应选A4．函数f〔x〕=|x﹣1|﹣1〔x∈{0，1，2，3}〕，那么其值域为〔〕A．{0，1，2，3}B．{﹣1，0，1}C．{y|﹣1≤y≤1}D．{y|0≤y≤2}【考点】函数的值域．【分析】根据题意依次求出函数值，可得函数的值域．【解答】解：∵函数f〔x〕=|x﹣1|﹣1〔x∈{0，1，2，3}〕，f〔x〕分别是0、﹣1、0、1，那么函数f〔x〕的值域是{﹣1，0，1}，应选：B．5．假设，，，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜＜，＜0，b＞a＞c．应选：D．6．假设x0是函数f〔x〕=﹣x3﹣3x+5的零点，那么x0所在的一个区间是〔〕A．〔0，1〕B．〔1，2〕C．〔2，3〕D．〔3，4〕【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的连续性，利用零点判定定理求解即可．【解答】解：函数f〔x〕=﹣x3﹣3x+5是连续函数，因为f〔1〕=1＞0，f〔2〕=﹣8﹣6+5＜0，可知f〔1〕f〔2〕＜0，第5页〔共17页〕由零点判定定理可知，函数的零点x0所在的一个区间是〔1，2〕．应选：B．7．函数〔fx〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，|φ|＜〕的局部图象如下列图，那么〔〕A．ω=2，B．，C．ω=2，D．，【考点】由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．【分析】根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可．【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即=π，那么ω=2，当x=时，f〔〕=sin〔2×+φ〕=，即sin〔+φ〕=∵|φ|＜，∴﹣＜φ＜，那么﹣＜+φ＜，可得：+φ=，解得：φ=，应选：A．8．函数 f〔x〕=loga〔x﹣+1〕+2 〔a＞0，a≠1〕的图象经过定点P，且点P在幂函数g〔x〕的图象上，那么g〔x〕的表达式为〔〕A．g〔x〕=x2B．C．g〔x〕=x3D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由题意求得定点P的坐标，根据点P在幂函数f〔x〕的图象上，设g〔x〕第6页〔共17页〕=x n，求得n的值，可得g〔x〕的解析式即可．【解答】解：函数y=loga〔x﹣+1〕+2 〔a＞0，a≠1〕的图象过定点P〔，〕，∵点P在幂函数f〔x〕的图象上，设g〔x〕=x n，那么2 = n，n=3，g〔x〕=x3，应选：C．9．函数f〔x〕=x2﹣2x在区间[﹣1，t]上的最大值为3，那么实数t的取值范围是〔〕A．〔1，3]B．[1，3]C．[﹣1，3]D．〔﹣1，3]【考点】二次函数的性质．【分析】求出函数的对称轴，判断开口方向，然后通过函数值求解即可．【解答】解：函数f〔x〕=x2﹣2x的对称轴为：x=1，开口向上，而且f〔﹣1〕=3，函数f〔x〕=x2﹣2x 在区间[﹣1，t]上的最大值为3，又f〔3〕=9﹣6=3，那么实数t的取值范围是：〔﹣1，3]．应选：D．10．假设存在实数α∈R，，使得实数t同时满足，α≤t≤α﹣2cosβ，那么t的取值范围是〔〕A． B． C． D．[2，4]【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意求出t≥，设f〔t〕= ，求出f〔t〕的最小值；再根据题意求出t≤，设g〔t〕= =2f〔t〕，求出g〔t〕的最大值，从而求出实数t的取值范围．【解答】解：∵β∈[，π]，∴﹣1≤cosβ≤0；∵α≤t，∴≥cos2βcos β，+即t≥；第7页〔共17页〕令f〔t〕= ，那么f〔′t〕= = ；令f′〔t〕=0，解得sinβ=0或cosβ=0；当sinβ=0时，cosβ=﹣1，此时f〔t〕= = ，当cosβ=0时，f〔t〕=0为最小值；又t≤α﹣2cosβ，∴α≥t+2cosβ，∴t≤cos2β?cosβ，+即t≤；令g〔t〕==2f〔t〕，那么g′〔t〕=2f′〔t〕=2?；令g′〔t〕=0，解得sinβ=0或cosβ=0；当sinβ=0时，cosβ=﹣1，此时g〔t〕=2×=为最大值，当cosβ=0时，g〔t〕=0；综上，实数t的取值范围是[0，]．应选：B．二、填空题：本大题共6小题，单空题每题3分，多空题每题3分，共20 分．11．集合{1，2}的子集个数为 4 ．【考点】子集与真子集．【分析】写出集合{1，2}的所有子集，从而得出该集合的子集个数．【解答】解：{1，2}的子集为：?，{1}，{2}，{1，2}，共四个．故答案为：4．第8页〔共17页〕12．函数f〔x〕= 的值为．【考点】对数的运算性质．【分析】首先求出f〔〕=﹣2，再求出f〔﹣2〕的值即可．【解答】解：∵＞0f〔〕=log3=﹣2∵﹣2＜0f〔﹣2〕=2﹣2=故答案为．13．函数f〔x〕=2cos〔2x+ 〕，函数g〔x〕的图象由函数f〔x〕的图象向右平移个单位而得到，那么当x∈[﹣，]时，g〔x〕的单调递增区间是 [﹣]．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：把函数f〔x〕=2cos 〔2x+〕的图象向右平移个单位，得到g〔x〕=2cos[2〔x﹣〕+]=2cos〔2x﹣〕的图象，令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，可得函数g〔x〕的增区+间为kπ﹣，kπ，k∈Z．[+结合x∈[﹣，]时，可得g〔x〕的增区间为[﹣，]，故答案为：[﹣，]．14．定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，+∞〕上是减函数，且f〔2〕=0，假设f〔lnx〕＞0，那么x的取值范围是．第9页〔共17页〕【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意、偶函数的单调性等价转化不等式，由对数函数的单调性求出解集．【解答】解：∵f〔2〕=0，f〔lnx〕＞0，f〔lnx〕＞f〔2〕，∵定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，+∞〕上是减函数，f〔lnx〕＞f〔2〕等价于|lnx|＜2，那么﹣2＜lnx＜2，即lne﹣2＜lnx＜lne2，解得，∴不等式的解集是，故答案为：．15．函数y=sinx〔x∈[m，n]〕，值域为，那么n﹣m的最大值为，最小值为．【考点】三角函数的最值．【分析】根据题意，利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：∵函数y=sinx的定义域为[m，n]，值域为，结合正弦函数y=sinx的图象与性质，不妨取m=﹣，n= ，此时n﹣m取得最大值为．取m=﹣，n= ，n﹣m取得最小值为，故答案为，．第10页〔共17页〕16．在等腰△ABC中，AD是底边BC上的中线，假设? =m ，AD=λBC，那么当m=2时，实数λ的值是±，当λ∈〔，〕时，实数m的取值范围为〔，2〕．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以D为原点，以BC边所在的直线为 x轴，以中线AD所在的直线为y轴，根据向量的数量积公式得到2m=〔4m﹣4〕λ，代值计算即可求出λ的值，再得到得m==1+，根据函数的单调性即可求出m的范围．【解答】解：以D为原点，以BC边所在的直线为x轴，以中线AD所在的直线为y轴建立直角坐标系，不妨设B〔a，0〕，C〔﹣a，0〕，a＞0AD=λBC=2λa∴A〔0，2λa〕，∴=〔a，﹣2λa〕，=〔0，﹣2λa〕，=〔﹣a，﹣2λa〕，∴?2，22，=4λ=﹣a+4λ∵?=m，4λ2a2=﹣ma2+4mλ2a2，即m=〔4m﹣4〕λ2，当m=2时，λ2=，解得λ=±，2=1+由m=〔4m﹣4〕λ，得m=第11页〔共17页〕∵m=1+在〔，〕上减，m∈〔，2〕故答案：±．，〔，2〕三、解答：本大共5小，共50分．解答写出文字明，明程或演算步．17．函数．〔Ⅰ〕判断f〔x〕的奇偶性，并加以明；〔Ⅱ〕求方程的数解．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的判断．【分析】〔Ⅰ〕利用奇函数的定，即可得出；〔Ⅱ〕由，得2x，2，即可得出．=3x=log3【解答】解：〔Ⅰ〕因函数f〔x〕的定域R，且，所以f〔x〕是定在R上的奇函数；⋯〔Ⅱ〕∵，∴2x=3，x=log23．所以方程的数解x=log23．⋯第12页〔共17页〕18．=〔cosα，sinα〕，=〔cosβ，sinβ〕，＜α＜β＜．〔Ⅰ〕假设，求；〔Ⅱ〕设=〔1，0〕，假设，求α，β的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】〔Ⅰ〕根据便可得到，从而可求得，这样即可得出的值；〔Ⅱ〕根据即可得出，平方后即可求出cosα，cosβ的值，从而求出α，β的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵；∴；∴；∴，；〔Ⅱ〕∵；∴，即；解得，；∵；∴，．19．集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|2a﹣1＜x＜a+1}，a∈R．〔Ⅰ〕假设B?A，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕设函数，假设实数x0满足取值f〔x0〕∈A，求实数x的集合．【考点】三角函数的最值；集合的包含关系判断及应用．【分析】〔Ⅰ〕假设B?A，分类讨论，即可求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕由题意，，即可求实数x0取值的集合．第13页〔共17页〕【解答】解：〔Ⅰ〕A={x| 1＜x＜3}，假设B=?，2a1≥a+1，解得a≥2，足B?A，假设B≠，a＜2，要使BA，只要解得0≤a＜2，??上，数a的取范是[0，+∞〕；⋯〔Ⅱ〕由意，，即，∴，或，k∈Z，∴，或，k∈Z．数x0取的集合是，或，k∈Z}．⋯20．A角△ABC的内角，且 sinA 2cosA=a〔a∈R〕．〔Ⅰ〕假设a= 1，求tanA的；〔Ⅱ〕假设a＜0，且函数f〔x〕=〔sinA〕?x2〔2cosA〕?x+1在区[1，2]上是增函数，求sin2AsinA?cosA的取范．【考点】正弦函数的性；三角形中的几何算．【分析】〔Ⅰ〕利用同角三角函数的根本关系，求得sinA和cosA的，可得tanA的．〔2〕由意可得1≤tanA＜2，化要求式子，再利用函数的性求得它的范．【解答】解：〔Ⅰ〕角△ABC中，a= 1，由意可得，求得，或〔舍去〕，∴．第14页〔共17页〕〔Ⅱ〕假设a＜0，由意可得sinA 2cosA＜0，得tanA＜2，又，tanA≥1，∴1≤tanA＜2，∴= ，令t=tanA1，2≤t＜3，∴+∵y=在[2，3〕上增，∴，∴．即sin2AsinA?cosA的取范．21．函数f〔x〕=|x22x 3|，g〔x〕=x+a．〔Ⅰ〕求函数y=f〔x〕的增区；〔只需写出即可〕〔Ⅱ〕函数h〔x〕=f〔x〕g〔x〕，假设h〔x〕在区〔1，3〕上有两个不同的零点，求数a的取范；〔Ⅲ〕假设存在数m∈[2，5]，使得于任意的x1∈[ 02]，2∈，1]，[2都有f〔x1〕m≥g〔2〕5成立，求数a的最大．【考点】利用数研究函数的性；数在最大、最小中的用．【分析】〔Ⅰ〕根据二次函数的性求出函数的增区即可；〔Ⅱ〕求出h〔x〕的解析式，根据函数的零点得到关于a的不等式，解出即可；〔Ⅲ〕函数F〔x〕=f〔x〕m，G〔x〕=g〔2x〕5，分求出F〔x〕的最小和G〔x〕的最大，求出a的范即可．【解答】解：〔Ⅰ〕函数y=f〔x〕的增区[1，1]，[3，+∞〕；〔不要求写出具体程〕⋯〔Ⅱ〕∵1＜x＜3，∴h〔x〕=f〔x〕g〔x〕=x22x3xa=x2x3a，||++第15页〔共17页〕由意知，即得；⋯〔Ⅲ〕函数F〔x〕=f〔x〕m，G〔x〕=g〔2x〕5，由意，F〔x〕在[0，2]上的最小不小于G〔x〕在[2，1]上的最大，F〔x〕=|x22x3|m=x2+2x+3m=〔x1〕2+4m〔0≤x≤2〕，当x=0，或x=2，F〔x〕min=3m，G〔x〕=g〔2x〕5=2x+a5在区[2，1]增，当x= 1，，∴存在m∈[2，5]，使得成立，即，∴．∴a的最大．⋯第16页〔共17页〕2021年3月17日第17页〔共17页〕。

浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A∩B=（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D ．（﹣1，3）2．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m B ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α C ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m D ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α3．已知实数x ，y 满足，则x ﹣y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣34．已知直线l ：y=kx+b ，曲线C ：x 2+y 2=1，则“b=1”是“直线l 与曲线C 有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ．6．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCA 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E ﹣BC ﹣F 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足（+）=0，||=a ，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若=5，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x8．已知集合M={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x ，y ）∈M ，都有（λx ，μy ）∈M ，则称（λ，μ）是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ） A ．{（λ，μ）|λ+μ=4} B ．{（λ，μ）|λ2+μ2=4} C ．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4} D ．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l 1：ax ﹣y+1=0，l 2：x+y+1=0，l 1∥l 2，则a 的值为 ，直线l 1与l 2间的距离为 ．10．已知钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，则角B= ，AC= ．11．已知f （x ）=，则f （f （﹣2））= ，函数f （x ）的零点的个数为 ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．13．若数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，则数列{a n }的前8项和为 ．14．已知f （x ）=ln （x+），若对任意的m ∈R ，方程f （x ）=m 均为正实数解，则实数a 的取值范围是 ．15．已知椭圆C ： =1（a ＞）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a ，P 为点F 1关于直线l 对称的点，若△PF 1F 2为等腰三角形，则a 的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知2sin αtan α=3，且0＜α＜π． （I ）求α的值；（Ⅱ）求函数f （x ）=4cosxcos （x ﹣α）在[0，]上的值域．17．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，且4S 1，3S 2，2S 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =|2n ﹣5|a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA=DB=DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F （Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF， =2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k 1，k2，求k1+k2的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（0，3），故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B 错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选C．【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用．3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【分析】令z=x﹣y，从而化简为y=x﹣z，作平面区域，结合图象求解即可．【解答】解：令z=x﹣y，则y=x﹣z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点A（3，0）时，x﹣y取得最大值3，故选B．【点评】本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．4．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据直线l与曲线C有公共点，根据直线和圆的位置关系得到b2≤1+k2，再根据充分，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由题意可得直线直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1有公共点，∴≤1，∴b2≤1+k2，当b=1时，满足，b2≤1+k2，即“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”充分条件，当直线l与曲线C有公共点，不一定可以得到b=1，b=0时也满足，故“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及充分必要条件的判定，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值为（）A．B．C．2 D．【分析】建立平面直角坐标系，设P（x，0），使用坐标法将表示成x的函数，根据x的范围求出函数的最大值．【解答】解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，∵正方形ABCD的面积为2，∴B（，0），C（），D（0，）．设P（x，0）（0），则=（，），=（﹣x，）．∴=﹣x（）+2=x2﹣+2=（x﹣）2+．∴当x=时，取得最大值．故选B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法求值是常用方法之一．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据折叠前和折叠后的边长关系，结合二面角的平面角定义得到∠FOE是二面角E﹣BC﹣F的平面角进行求解即可．【解答】解：取BC的中点O，连接OE，OF，∵BA=CD，∴BF=FC，即三角形BFC是等腰三角形，则FO⊥BC，∵BE=CF，∴△BEC是等腰三角形，∴EO⊥BC，则∠FOE是二面角E﹣BC﹣F的平面角，∵EF⊥CF，BF⊥EF，∴EF⊥平面BCF，EF⊥FO，则直角三角形EFO中，OE=AB=2，EF=DE=，则sin∠FOE===，则cos∠FOE===，故选：B【点评】本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．注意叠前和折叠后的线段边长的变化关系．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足（+）=0，||=a ，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若=5，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x【分析】连接F 1Q ，由向量共线定理可得|F 2Q|=，|PQ|=，由双曲线的定义可得|F 1Q|=，运用向量的数量积的性质可得|F 1F 2|=|F 1P|=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，运用余弦定理，化简整理可得b=a ，运用双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：连接F 1Q ，由||=a ，=5，可得|F 2Q|=，|PQ|=，由双曲线的定义可得|F 1Q|﹣|F 2Q|=2a ，即有|F 1Q|=，由（+）=0，即为（+）（﹣）=0，即有2﹣2=0，|F 1F 2|=|F 1P|=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，由余弦定理可得， +=0，化简可得c 2=a 2，由c 2=a 2+b 2，可得b=a ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x ． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用三角形中的余弦定理，同时考查向量数量积的性质和向量共线定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．已知集合M={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x ，y ）∈M ，都有（λx ，μy ）∈M ，则称（λ，μ）是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ） A ．{（λ，μ）|λ+μ=4} B ．{（λ，μ）|λ2+μ2=4} C ．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4} D ．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}【分析】由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得结论． 【解答】解：由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点是关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l 1：ax ﹣y+1=0，l 2：x+y+1=0，l 1∥l 2，则a 的值为 ﹣1 ，直线l 1与l 2间的距离为 ．【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：直线l 1：ax ﹣y+1=0，l 2：x+y+1=0，分别化为：y=ax+1，y=﹣x ﹣1， ∵l 1∥l 2，∴a=﹣1，1≠﹣1．两条直线方程可得：x+y ﹣1=0，x+y+1=0．直线l 1与l 2间的距离d==．故答案分别为：﹣1；．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．【分析】利用已知及三角形面积公式可求sinB ，可求B=或，分类讨论：当B=时，由余弦定理可得AC=1，可得AB 2+AC 2=BC 2，为直角三角形，舍去，从而利用余弦定理可得AC 的值．【解答】解：∵钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，∴=1××sinB ，解得：sinB=，∴B=或，∵当B=时，由余弦定理可得AC===1，此时，AB 2+AC 2=BC 2，可得A=，为直角三角形，矛盾，舍去．∴B=，由余弦定理可得AC===，故答案为：；． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．11．已知f （x ）=，则f （f （﹣2））= 14 ，函数f （x ）的零点的个数为 1 ．【分析】根据x ＜0与x ≥0时f （x ）的解析式，确定出f （f （﹣2））的值即可；令f （x ）=0，确定出x 的值，即可对函数f （x ）的零点的个数作出判断．【解答】解：根据题意得：f （﹣2）=（﹣2）2=4，则f （f （﹣2））=f （4）=24﹣2=16﹣2=14；令f （x ）=0，得到2x ﹣2=0，解得：x=1，则函数f （x ）的零点个数为1，故答案为：14；1．【点评】此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12 ，表面积为 36 ．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为3正方形，EA ⊥底面ABCD ，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于基础题．13．若数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，则数列{a n }的前8项和为 28 ．【分析】数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，对n 分别取1，3，5，7，求和即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，∴数列{a n }的前8项和=（2×1﹣1）+（2×3﹣1）+（2×5﹣1）+（2×7﹣1）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f （x ）=ln （x+），若对任意的m ∈R ，方程f （x ）=m 均为正实数解，则实数a 的取值范围是 （4，+∞） ． 【分析】根据对数函数的性质结合不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：f （x ）=ln （x+）=m ，则a=x+﹣e m ＞4故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考察了对数函数的性质，不等式的性质，是一道基础题．15．已知椭圆C ： =1（a ＞）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a ，P 为点F 1关于直线l 对称的点，若△PF 1F 2为等腰三角形，则a 的值为 ． 【分析】运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，结合点到直线的距离公式，由题意可得|PF 1|=|F 1F 2|，解方程即可求得a 的值．【解答】解：由题意可得c=，e=，F 1（﹣c ，0）到直线l 的距离为d=，由题意可得|PF 1|=|F 1F 2|，即为2d=2c ，即有=a 2﹣2，化简可得a 4﹣3a 2=0，解得a=．故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率公式的运用和点到直线的距离公式，以及运算化简能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．（I）求α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【分析】（Ⅰ）由已知推导出2cos2α+3cosα﹣2=0，由此能求出α．（Ⅱ）f（x）=4cosxcos（x﹣α）=2sin（2x+）+1，由，得2x+∈[]，由此能求出函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵2sinαtanα=3，且0＜α＜π．∴2sin2α=3cosα，∴2﹣2cos2α=3cosα，∴2cos2α+3cosα﹣2=0，解得或cosα=﹣2（舍），∵0＜α＜π，∴α=．（Ⅱ）∵α=，∴f（x）=4cosxcos（x﹣α）=4cosx（cosxcos+sinxsin）=2cos2x+2sinxcosx=+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵，∴2x+∈[]，∴2≤2sin（2x+）+1≤3，∴函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域为[2，3]．【点评】本题考查角的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理运用．17．设等比数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设b n =|2n ﹣5|a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）根据4S 1，3S 2，2S 3成等差数列．根据等差中项6S 2=4S 1+2S 3，化简整理求得q=2，写出通项公式；（Ⅱ）讨论当n=1、2时，求得T 1=6，T 2=10，写出前n 项和，采用错位相减法求得T n ．【解答】解：（Ⅰ）∵4S 1，3S 2，2S 3成等差数列，∴6S 2=4S 1+2S 3，即6（a 1+a 2）=4a 1+2（a 1+a 2+a 3），则：a 3=2a 2，q=2，∴；（Ⅱ）当n=1，2时，T 1=6，T 2=10，当n ≥3，T n =10+1×23+3×24+…+（2n ﹣5）2n ，2T n =20+1×24+3×25+…+（2n ﹣7）×2n +（2n ﹣5）×2n+1，两式相减得：﹣T n =﹣10+8+2（24+25+…+2n ）﹣（2n ﹣5）×2n+1，=﹣2+2×﹣（2n ﹣5）×2n+1，=﹣34+（7﹣2n ）2n+1，∴T n =34﹣（7﹣2n ）2n+1．∴．【点评】本题求等比数列的通项公式和采用错位相减法求前n 项和，属于中档题．18．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA=DB=DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF， =2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l 与轨迹C 交于不同两点P ，Q （位于x 轴上方），记直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1+k 2的取值范围．【分析】（I ）根据=2得B 为AD 的中点，利用AB ⊥BF ，可得=0，从而可得轨迹C 的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l 的方程为y=x+b ，代入y 2=4x ，整理，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求k 1+k 2的取值范围．【解答】解：（I ）设D （x ，y ），则由=2得B 为AD 的中点，所以A （﹣x ，0），B （0，）∵AB ⊥BF ，∴ =0，∴（x ，）（1，﹣）=0∴y 2=4x （x ≠0）；（Ⅱ）斜率为的直线l 的方程为y=x+b ，代入y 2=4x ，整理可得x 2+（4b ﹣16）x+4b 2=0，△=（4b ﹣16）2﹣16b 2＞0，∴b ＜2设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴x 1+x 2=16﹣4b ，x 1x 2=4b 2．k 1+k 2=+==，∵b ＜2，∴＜0或＞2，∵k 1+k 2的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．20．已知函数f （x ）=（x ﹣t ）|x|（t ∈R ）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论x的取值范围，将函数表示为分段函数形式，然后判断函数的单调性即可．（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），…（1分）当t＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为…（4分）当t=0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（5分）当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），，单调减区间为…（8分）（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，当x∈[0，2]时，∵∈（0，2），∴…（9分）当x∈[﹣1，0]时，（x）=﹣t…（10分）∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴gmin故只须∃t∈（0，2），使得：成立，即…（13分）∴a≤…（14分）另解：设h（t）=f（x）﹣x=﹣|x|t+x|x|﹣x，t∈（0，2）…（9分）≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（10分）只须h（t）max则只须h（0）=x|x|﹣x≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（12分）再设m（x）=x|x|﹣x，x∈[﹣1，2]，只须m（x）≥a，易求得a≤…（14分）min【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数转化法是解决本题的关键．。

浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）一、填空题（共15小题，1～14题5分，15题6分，计76分）． 1．已知x 2+y 2≤1，则|x 2+2xy ﹣y 2|的最大值为 ．2．已知集合A={（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣2）2≤}，B={（x ，y ）||x ﹣1|+2|y ﹣2|≤a}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知x ＞0，y ＞0，a=x+y ，，，若存在正数m 使得对于任意正数x ，y ，可使a ，b ，c 为三角形的三边构成三角形，则m 的取值范围是 ．4．若不等式在x ＞0且x ≠1时恒成立，则k 的取值范围是 ．5．已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是 ．6．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线，分别交l 1，l 2于M ，N 两点．若|MN|为定值，则的值是 ．7．A 是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值是 ．8．模长为1的复数x ，y ，z 满足x+y+z ≠0，则的值是 ．9．若sin4xsin2x ﹣sinxsin3x=a 在[0，π）有唯一解，则a 的值是 ．10．已知点A （m ，0）（m ∈R ）和双曲线x 2﹣y 2=1右支上的两个动点B ，C ，在动点B ，C 运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC ，则点A 横坐标的取值范围是 ．11．若λ为实数，若关于x 的方程有实数解，则λ的取值范围是 ．12．在正三角形ABC 的底边BC 上取中点M ，在与底边BC 相邻的两条边BA 和CA 上分别取点P 、Q ，若线段PQ 对M 的张角∠PMQ 为锐角，则称点P 、Q 亲密．若点P 、Q 在BA 、CA 上的位置随机均匀分布，则P 、Q 亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为 ．13．正六边形ABCDEF 的对角线AC 和CE 分别被内点M 和N 分割，且有．如果B 、M 、N 共线，则r 的值为 ．14．（理）若P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点，则过P ，Q 点的切线与x 轴围成的三角形的面积的最小值为 ．15．O ﹣xyz 坐标系内xoy 平面内0≤y ≤2﹣x 2绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体，在（1，0，1）设置一光源，在xoy 平面内有一以原点为圆心C 被光照到的长度为2π，则曲线C 上未被照到的长度为 ．二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上运动，且．记点P 的轨迹的长度为f （r ）．求关于r 的方程f （r ）=k 的解的个数的所有可能的值．17．过抛物线y 2=2px （p 为不等于2的素数）的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于点P ，交x 轴于点Q ． （1）求PQ 的中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：轨迹L 上有无穷多个整点，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数．18．（1）已知数列{a n }中，，，S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：．（2）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，其中实数c ≠0．（Ⅰ） 求{a n }的通项公式；（Ⅱ） 若对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，求c 的取值范围．19．（1）已知函数f （x ）=mlnx 与函数h （x ）=（x ＞0）的图象有且只有一条公切线，求实数m 的值．（2）已知函数y=lnx ﹣（ax+b ）有两个不同的零点x 1，x 2，求证：＜x 1x 2＜．浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、填空题（共15小题，1～14题5分，15题6分，计76分）．1．已知x2+y2≤1，则|x2+2xy﹣y2|的最大值为．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由实数x、y满足x2+y2≤1，利用三角函数代换x=cosθ，y=sinθ，结合三角函数知识即可得出．【解答】解：∵实数x、y满足x2+y2≤1，∴可设x=cosθ，y=sinθ（θ∈[0，2π）），|x2+2xy﹣y2|=|cos2θ+sin2θ|=|sin（2θ+）|≤，当且仅当|sin（2θ+）|=1，取得最大值．故答案为：．2．已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是a≥．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】首先，令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），然后，将集合A，B用m，n表示，再结合条件A⊆B，进行求解．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），根据集合A得，m2+n2≤，根据集合B得，m+2n≤a，∵A⊆B，，∴a≥（a+2b）max构造辅助函数f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，得到 m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，∴λ=1，∴m=，n=1时，m+2n有最大值，=+2=，∴a≥（m+2n）max∴a≥，故答案为：a≥．3．已知x＞0，y＞0，a=x+y，，，若存在正数m使得对于任意正数x，y，可使a，b，c为三角形的三边构成三角形，则m的取值范围是（2﹣，2+）．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】首先判断a＞b，由构成三角形的条件可得b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性，可得最值，进而得到m的范围．【解答】解：x＞0，y＞0，a=x+y，，，由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，可得a＞b，由题意可得要构成三角形，必须b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．由m＜，≥=2+，当且仅当x=y取得等号．可得m＜2+①由m＞，=+﹣，令u=，则上式为u+﹣．可令t=u+（t≥2），可得上式为t﹣=，可得在[2，+∞）递减，可得t﹣≤2﹣，即有m＞2﹣②由①②可得m的取值范围是（2﹣，2+）．故答案为：（2﹣，2+）．4．若不等式在x＞0且x≠1时恒成立，则k的取值范围是（﹣∞，0] ．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】把不等式移向变形，可得+﹣（+）=（2lnx+），令h（x）=2lnx+），x＞0，则h′（x）=，对k分类讨论可得h（x）的符号，结合的符号求得k的取值范围．【解答】解：不等式在x＞0且x≠1时恒成立，则+﹣（+）=（2lnx+），设h（x）=2lnx+），x＞0，则h′（x）=，（1）设k≤0，由h′（x）=知，当x≠1时，h′（x）＜0，而h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，可得h（x）＞0，从而当x＞0且x≠1时，；（2）设0＜k＜1，由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，∴h′（x）＞0，而h（1）=0，∴当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，这与题设矛盾，（3）设k≥1时，此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，这与题设矛盾，综上所述k的取值范围为（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．5．已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是2+2．【考点】LR：球内接多面体．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高，再根据正四面体的棱长与高的关系求得棱长．．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离=，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，设正四面体的棱长为m ，，解得m=，故答案为：2+2．6．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线，分别交l 1，l 2于M ，N 两点．若|MN|为定值，则的值是 2 ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】取点P 为上下定点，分别求出MN 的长度，两次求出MN 相等，即可得到a 、b 的数量关系．【解答】解：当点P 为（0，b ）时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为+b ，+b ，联立可得M （b ，），同理可得N （﹣b ，），|MN|=2b ．当点P 为（a ，0）时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为﹣，+，联立可得M （，），同理可得N （，﹣），），|MN|=．若|MN|为定值，则2b=，⇒，∴则的值是2．故答案为：2．7．A 是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值是 8 ．【考点】FA：分析法的思考过程、特点及应用；84：等差数列的通项公式．【分析】根据A是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，列举出满足条件的集合A中元素，可得答案．【解答】解：若1∈A，2∈A，根据从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列可得：3∉A，令4∈A，5∈A，则6∉A，7∉A，令8∈A，则9∉A，令10∈A，11∈A，则12∉A，令13∈A，则14∉A，此时A中元素个数取最大值，故答案为：88．模长为1的复数x，y，z满足x+y+z≠0，则的值是 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．利用复数的三角形式的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．则xy+yz+zx=cos（α+β）+isin（α+β）+cos（γ+β）+isin（γ+β）+cos（α+γ）+isin （α+γ）∴|xy+yz+zx|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．同理可得|x+y+z|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．∴=1．故答案为：1．9．若sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解，则a的值是1或0 ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】化简函数解析式为f（x）=（cos4x﹣cos6x），利用导数可得f（0）=0是函数的极小值，f（）=1是函数的极大值，f（π）=0是函数的极小值，当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x 和函数y=a在[0，π）上只有一个交点，从而得到结论．【解答】解：令 f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x=﹣（cos6x﹣cos2x）+（cos4x﹣cos2x）=（cos4x﹣cos6x），则有f′（x）=3sin6x﹣2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=，即f′（0）=0，f′（）=0，而且还有f′（π）=0．由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，由于f′（x）在x=的左侧大于0，右侧小于0，故f（）=1是函数的极大值，同理可得f（π）=0是函数的极小值．故函数 f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（）=1，故当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x 和函数y=a只有一个交点．即sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．故答案为1或0．10．已知点A（m，0）（m∈R）和双曲线x2﹣y2=1右支上的两个动点B，C，在动点B，C运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC，则点A横坐标的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】讨论当直线BC与x轴垂直时，对任一个m，均有ABC为等边三角形；设直线BC的方程为y=kx+t （k ≠0），代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合等边三角形的高与边长的关系，由不等式的性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：当直线BC 与x 轴垂直时，对任一个m ，均有ABC 为等边三角形；若BC 与x 轴不垂直时，设直线BC 的方程为y=kx+t （k ≠0），设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），，整理得：（1﹣k 2）x 2﹣2ktx ﹣t 2﹣1=0，△=4k 2t 2+4（1﹣k 2）（t 2+1）＞0，即t 2+1﹣k 2＞0，x 1+x 2=＞0，x 1x 2=﹣＞0，可得k 2＞1．则BC 的中点M 为（，），|BC|=•=•，由AM ⊥BC ，可得k AM =﹣，均有=﹣，均有2kt=m （1﹣k 2），即t=，①由A 到直线BC 的距离为d==••，两边平方，将①代入，化简可得，m 2==6+＞6，即有m ＞或m ＜﹣．由双曲线的对称性可得，存在一个m ，即有两个k 的值，以及k 不存在的情况．故答案为：（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．11．若λ为实数，若关于x 的方程有实数解，则λ的取值范围是 [0，] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】移项得=x ﹣2，求出右侧函数的单调性和值域，根据方程有解可判断出解的范围，利用函数图象得出不等式从而得出λ的范围．【解答】解：∵，∴=x﹣2，令f（x）=x﹣2（x≥1或x≤﹣1），显然当x≤﹣1时，f（x）＜0，∴方程=x﹣2无解，当x≥1时，f′（x）=1﹣=，∵x2﹣1﹣4x2=﹣3x2﹣1＜0，∴x2﹣1＜4x2，即＜2x，∴f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，令f（x）=0得x=2，解得x=，∴当1≤x≤时，f（x）≥0，当x时，f（x）＜0，∴方程=x﹣2的解必在区间[1，]上．令g（x）=（1≤x≤），（1）当λ=0时，g（x）=x，∴g（1）=1，又f（1）=1，∴x=1为方程=x﹣2的解，符合题意；（2）当λ＜0时，g（x）=＞g（1）=＞1，而f（x）≤f（1）=1，∴方程=x﹣2无解，不符合题意；（3）当λ＞0，令y=g（x）=，则，∴g（x）的图象为等轴双曲线右支在第一象限内的部分（含右顶点），双曲线的右顶点为（，0），做出f（x）和g（x）的函数图象如图所示：∵方程g（x）=f（x）在[1，]上有解，∴0＜，即0＜λ≤．综上，0≤λ≤．故答案为：．12．在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得y=，由此利用定积分能求出正三角形的亲密度．【解答】解：设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得：（x2﹣x+1）+[（2﹣y）2+（2﹣y）+1]=（2﹣x）2﹣（2﹣x）y+y2，整理，得：y=，∴正三角形的亲密度为：== []= [x﹣ln（x+1）] =．故答案为：．13．正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有．如果B、M、N共线，则r的值为．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】根据正六边形的特点建立坐标系，不妨设边AB=1，求出A、B、C、E的坐标，设M的坐标，由条件和向量相等列出方程，求出M的坐标，同理求出点N的坐标，求向量的坐标运算求出、的坐标，将B，M，N三点共线转化为∥，由共线向量的坐标条件列出方程，求出r的值．【解答】解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1，则A（0，0），B（1，0），C（，），E（0，），设M的坐标为（x，y），∵，∴（x，y）=r（，），则x=r，y=r，即M（r， r），同理可求，N的坐标是（（1﹣r），（1+r）），∴=（r﹣1， r），=（﹣r，（1+r）），∵B，M，N三点共线，∴∥，则（r﹣1）×（1+r）﹣r×（﹣r）=0，化简得，3r2=1，解得r=，故答案为：．14．（理）若P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点，则过P ，Q 点的切线与x 轴围成的三角形的面积的最小值为．【考点】IE ：直线的截距式方程．【分析】由P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点，设P （a ，1﹣a 2），Q （b ，1﹣b 2），（a ＞0＞b ），曲线y=1﹣x 2在P （a ，1﹣a 2）处的切线为l 1：y=﹣2ax+a 2+1，曲线y=1﹣x 2在Q （b ，1﹣b 2）处的切线为l 2：y=﹣2bx+b 2+1，所求图形为△EFG ，其面积S △EFG =（a ﹣b ）（2﹣ab ﹣），由此能求出所求面积最小值．【解答】解：∵P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点， ∴设P （a ，1﹣a 2），Q （b ，1﹣b 2），（a ＞0＞b ）， 又曲线y=1﹣x 2在点（x ，y ）的切线斜率为y′=﹣2x ，∴曲线y=1﹣x 2在P （a ，1﹣a 2）处的切线为l 1：y=﹣2a （x ﹣a ）+1﹣a 2，即y=﹣2ax+a 2+1， 曲线y=1﹣x 2在Q （b ，1﹣b 2）处的切线为l 2：y=﹣2b （x ﹣b ）+1﹣b 2，即y=﹣2bx+b 2+1，直线l 1与x 轴的交点为点E （，0），直线l 2与x 轴的交点为点F （，0），直线l 1与l 2的交点为点G （，1﹣ab ），∴所求图形为△EFG ，其面积S △EFG =（﹣）•，化简得：S △EFG =（a ﹣b ）（2﹣ab ﹣），令f （a ，b ）=S △EFG =（a ﹣b ）（2﹣ab ﹣），假设b=b 0＜0时，f （a ，b ）才能取得最小值，则令f （a ）=（a ﹣b 0）（2﹣ab 0﹣），则f′（a ）=﹣2+2ab 0﹣+，令f′（a 0）=0，得：﹣2+2a 0b 0﹣+，得f （a ）min =f （a 0）=（a 0﹣b 0）（2﹣a 0b 0﹣），即a=a 0，b=b 0时，f （a ，b ）取得最小值f （a ，b ）min =f （a 0，b 0）=（a 0﹣b 0）（2﹣a 0b 0﹣），即a=a 0＞0时，f （a ，b ）才能取得最小值，则令f （b ）=（a 0﹣b ）（2﹣a 0b ﹣），则f′（b ）=﹣2+2a 0b ﹣a 02+，令f′（b 0）=0，得：﹣2+2a 0b 0﹣a 02+，得f （a ）min =f （a 0）=（a 0﹣b 0）（2﹣a 0b 0﹣），∴﹣2+2a 0b 0﹣b 02+，﹣2+2a 0b 0﹣a 02+=0，（a 0＞0＞b 0），解得a 0=，b 0=﹣，f （a ，b ）min =f （a 0，b 0）=，∴所求面积最小值为（S △EFG ）min =．15．O ﹣xyz 坐标系内xoy 平面内0≤y ≤2﹣x 2绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体，在（1，0，1）设置一光源，在xoy 平面内有一以原点为圆心C 被光照到的长度为2π，则曲线C 上未被照到的长度为 2π（r ﹣1） ．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据题意所研究的是过光源点的抛物面的切面在xoy 平面中与圆的交线所构成平面几何图形的问题．【解答】解：如图所示； 由x 2+z 2=2﹣y 知，抛物面y=2﹣x 2﹣z 2，y 对x 求偏导数得=﹣2x ，得l 1：；y 对z 求偏导数得=﹣2z ，得l 2：；取（0，2，1），（1，2，0），（1，0，1）， 设切面ax+by+cz+d=0，则，得切面2x+y+2z ﹣4=0， 故交线为2x+y ﹣4=0；由d=，得，可解得r 的值；所以l=2π（r ﹣1）． 故答案为：l=2π（r ﹣1）．二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上运动，且．记点P 的轨迹的长度为f （r ）．求关于r 的方程f （r ）=k 的解的个数的所有可能的值．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；HN ：在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】考虑由于正方体绕其体对角线旋转120°后仍与自身重合，于是f （r ）在正方体的侧面ABB 1A 1与BCC 1B 1上的轨迹长度之和的3倍，对r 讨论，（1）当0＜r ≤1时，（2）当1＜r ＜时，（3）当≤r ＜时，运用弧长公式，求导数，判断单调性，画出f （r ）的大致图象，即可得到方程的所有可能解的个数．【解答】解：由于正方体绕其体对角线旋转120°后仍与自身重合，于是f（r）在正方体的侧面ABB1A1与BCC1B1上的轨迹长度之和的3倍．将右侧面BCC1B1翻折至于侧面ABB1A1重合（如图），稍加探索发现r=1，r=是两个分界点．（1）当0＜r≤1时，f（r）=，于是f（）=；（2）当1＜r＜时，设圆心角θ=arccos，其中θ∈（0，），弧长之和为h（θ）=（﹣2θ）•+•tanθ=•，于是h′（θ）=•，设φ（θ）=1+sinθ﹣（cosθ+θ•sinθ），则φ（0）=1﹣＜0，φ（）=1﹣•＞0，而φ′（θ）=cosθ（1﹣•θ）＞0，则φ（θ）在（0，）上先负后正，对应的h（θ）在（0，）先递减后递增；（3）当≤r＜时，图中弧长的半径为，所对的圆心角为﹣2arccos，记θ=arccos，其中θ∈[0，），则对应的弧长l（θ）=（﹣2θ）•，则l′（θ）=＜0，于是随r递增，θ递增，对应的弧长递减，即f（r）递减．这样我们勾勒出函数f（r）的图象，于是f（r）=k的解的个数所有可能的值为0，2，3，4．17．过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ的中点R 的轨迹L的方程；（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．再反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，然后结合p是奇素数、点在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数m，逐渐推出矛盾，说明l上任意整点到原点的距离均不是整数．【解答】（1）解：y2=2px的焦点F（），设直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），由，得，设M ，N 的横坐标为x 1，x 2，则，得，，由PQ ⊥l ，得PQ 的斜率为﹣，故PQ 的方程为，代入y Q =0，得，设R 的坐标为（x ，y ），则，整理得：p （x ﹣p ）=，∴PQ 的中点R 的轨迹L 的方程为4y 2=p （x ﹣p ）（y ≠0）；（2）证明：显然对任意非零整数t ，点（p （4t 2+1），pt ）都是l 上的整点， 故l 上有无穷多个整点．反设l 上由一个整点（x ，y ）到原点的距离为正数m ，不妨设x ＞0，y ＞0，m ＞0，则，∵p 是奇素数，于是y 整除p ，由②可推出x 整除p ，再由①可推出m 整除p ， 令x=px 1，y=py 1，m=pm 1，则有，由③，④得：，于是，即（8x 1+1+8m 1）（8x 1+1﹣8m 1）=17， 则8x 1+1+8m 1=17，8x 1+1﹣8m 1=1， 得x 1=m 1=1，故y 1=0，有y=py 1=0，与l 上的点满足y ≠0矛盾．∴轨迹l 上有无穷多个整点，但l 上任意整点到原点的距离均不是整数．18．（1）已知数列{a n }中，，，S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：．（2）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，其中实数c ≠0．（Ⅰ） 求{a n }的通项公式；（Ⅱ） 若对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，求c 的取值范围． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）由题意可得1﹣a n+1=1﹣sin （a n ），令b n =1﹣a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，运用分析法证明，结合x ＞0时，sinx ＜x ，运用等比数列的求和公式，即可得证；（2）（Ⅰ）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，可得=+2n+1，运用数列恒等式，结合等差数列的求和公式，化简即可得到所求；（Ⅱ）由对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，可得一切k ∈N *有4（c 2﹣c ）k 2+4ck ﹣c 2+c ﹣1＞0．设f （x ）=4（c 2﹣c ）x 2+4cx ﹣c 2+c ﹣1，求出对称轴和f （1）＞0，及c 2﹣c ≥0，可得c 的范围，证c 在这个范围内不等式恒成立．即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：数列{a n }中，，，可得1﹣a n+1=1﹣sin （a n ），令b n =1﹣a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，由S n 为数列{a n }的前n 项和，要证，只需证n ﹣S n ＜，即证T n ＜，由b n+1=1﹣sin （（1﹣b n ））=1﹣sin （﹣b n ）=1﹣cosb n =2sin 2b n ，＜2（b n ）2≤b n ，即T n ＜=＜1.305＜，则成立；（2）（Ⅰ）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，可得=+2n+1，即有=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+3+5+…+2n ﹣1=+n 2﹣1，可得a n =（n 2﹣1）c n +c n ﹣1，（Ⅱ）由对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，可得 一切k ∈N *有4（c 2﹣c ）k 2+4ck ﹣c 2+c ﹣1＞0．设f （x ）=4（c 2﹣c ）x 2+4cx ﹣c 2+c ﹣1，对称轴为x=﹣，由f （1）=3c 2+c ﹣1＞0，可得c ＞或c ＜，由c 2﹣c ≥0，即c ≥1或c ≤0，即有c ≥1或c ＜，下面证c 在这个范围内不等式恒成立．当c ≥1时，f （x ）的对称轴为x=﹣＜0，f （1）＞0，得证x ≥1时，f （x ）＞0成立；当c ＜时，f （x ）的对称轴为x=﹣＜，可得f （x ）在（1，+∞）递增，f （1）＞0，可得x ≥1时，f （x ）＞0成立．综上可得，c 的范围是（﹣∞，）∪[1，+∞）．19．（1）已知函数f （x ）=mlnx 与函数h （x ）=（x ＞0）的图象有且只有一条公切线，求实数m 的值．（2）已知函数y=lnx ﹣（ax+b ）有两个不同的零点x 1，x 2，求证：＜x 1x 2＜．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）f（x）在点（a，mlna）处的切线为y=（x﹣a）+mlna，h（x）在点（b，）处的切线为y=（x﹣b）+，由这两条切线重合知，问题即当m在什么范围内时，关于（a，b）的方程有唯一一组解，由此入手能求出m．（2）问题等价于有两个不同的零点x1，x2，求证1+b﹣lna＜x1+x2＜﹣2lna，尝试使用构造函数的方法证明极值点偏移不等式．由此能证明＜x1x2＜．【解答】解：（1）f（x）在点（a，mlna）处的切线为y=（x﹣a）+mlna，h（x）在点（b，）处的切线为y=（x﹣b）+，由这两条切线重合知，问题即当m在什么范围内时，关于（a，b）的方程有唯一一组解，∵a，b的值一一对应，如果在方程组中消去b，得到mlna+﹣m﹣=0，此方程组对a＞0有唯一解，不好计算；如果在方程组中消去a，得到mln（2m）﹣m+2mlnb+=0，对b＞0有唯一解，记左边为g（b），则有g′（b）=，方程组有解时，有m＞0，∴g（b）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴g（b）min=g（）=m﹣﹣mln（2m），而当b→0与b→+∞时，均有g（b）→+∞，∴当且仅当这个最小值等于0时，方程g（b）=0有唯一解．最后解方程m﹣﹣mln（2m）=0，由题意知m=是它的解，考虑h（m）=m﹣﹣mln（2m），有h′（m）=﹣ln（2m），∴h（m）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴是h （m ）=0的唯一解，∴m=．（2）问题等价于有两个不同的零点x 1，x 2，求证1+b ﹣lna ＜x 1+x 2＜﹣2lna ，尝试使用构造函数的方法证明极值点偏移不等式．右边不等式：∵，∴a ＞0，其极值点为x=﹣lna ，又∵函数f 1（x ）的二阶导函数，∴构造函数，则h 1（x ）=f 1（x ）﹣g 1（x ）的二阶导数：，∴在（﹣∞，﹣lna ）上，，在（﹣lna ，+∞）上，，结合，在R 上，， 结合h 1（﹣lna ）=0，在（﹣∞，﹣lna ）上，h 1（x ）＞0，在（﹣lna ，+∞）上，h 1（x ）＜0，如图，∴二次函数的零点x 3，x 4（x 3＜x 4）满足：x 1＜x 3＜x 2＜x 4， ∴x 1+x 2＜x 3+x 4=﹣2lna ，左边不等式：此时无法通过构造二次函数证明， 设f 2（x ）=lnx ﹣（ax+b ），则其导函数，∴其极大值点为x=，欲证明的不等式为：lnx 1+lnx 2＞1+b ﹣lna ，即，构造函数，其中g 2（x ）与f 2（x ） 在x=处的函数值、导数值和二阶导函数值均相等，则可以求得，此时h 2（x ）=f 2（x ）﹣g 2（x ）的导函数：≥0，结合，得h 2（x ）在x=的两侧异号，如图，∵函数g 2（x ）的零点x 5，x 6（x 5＜x 6）即方程=0的两根，有，∴x 5＜x 1＜x 6＜x 2，∴．综上：＜x 1x 2＜．。

浙江省2016-2017学年高三上学期联考数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{||41|9,}A x x x R =-<∈，{|0,}3xB x x R x =≥∈+，则()RC A B （ ） A. 5(,3)[,)2-∞-+∞ B.5(32][0,)2-- ，C. 5(,3][,)2-∞-+∞ D. (32]--， 【答案】A.考点：集合的运算. 2.i 是虚数单位，则复数52ii-的虚部为（ ） A. 2i B.2- C. 2 D. 2i - 【答案】C. 【解析】 试题分析：55(2+i)122(2)(2)i i i i i i ==-+--+，故虚部为2，故选C. 考点：复数的运算及其概念.3.已知直线 01)2(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“21//l l ”是“1-=a ”的 （（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：若12//l l ，则222a a a =+⇒=或1a =-，经检验，此时1l ，2l 均不重合，故是必要不充分条件，故选B.考点：1.直线的位置关系；2.充分必要条件.4.已知02πα-<<，1sin cos 5αα+=，则αα22sin cos 1-的值为（ ）A.57B.725C.257D.2524【答案】B.考点：三角恒等变形.5.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤-+0130423022y x y x y x ，则yx 93+的最小值为（ ）A ．82B ．4C ．92D ．32【答案】C. 【解析】试题分析：39x y +≥=，令2z x y =+，如下图所示，作出不等式组所表示的可行域， 作直线l ：20x y +=，平移l ，从而可知，当2x =-，1y =-时，min 4z =-，此时39xy=，等号可取， 故39xy+的最小值是29，故选C.考点：1.基本不等式；2.线性规划.6. 设点P 为有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的一个交点，且53cos 21=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若122e e =，则1e =（ ）A ．410 B ．57 C ．47 D ．510【答案】C.考点：椭圆与双曲线的标准方程及其性质.【思路点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系， 构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征12||||2PF PF c +≥的运用.7.已知向量a ，b ，c 满足||2a = ，||3b a b =⋅=，若2(2)()03c a c b -⋅-= ，则b c - 的最小值是（ ）A ．2B ． 2C ．1D ．2 【答案】A.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 8.已知函数⎩⎨⎧≥+--<-=1,2)2(1,)1(log )(25x x x x x f ，则方程a xx f =-+)21(的实根个数不可能为（ ） A ．8个 B ．7个 C ．6个D ．5个【答案】D. 【解析】考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9.若nxx )1(2+的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则=n ；该展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】6，15. 【解析】试题分析：由题意得，2646nn =⇒=，由二项展开通项公式可知2(6)123166r r r r rr T C x C x ---+==， 令4r =，故常数项为4615C =，故填：6，15.考点：二项式定理.10.已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ，若32a ，5a ，43a 成等差数列，24664a a a =，则n a = ，n S = ．【答案】22n -，1122n --.考点：二项式定理.11.函数1log +=x y a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点A ，若点A 在直线04=-+nym x （0m >，0n >）上，则nm 11+ = ；n m +的最小值为 ． 【答案】4，1. 【解析】试题分析：由题意得，(1,1)A ，∴1111404m n m n+-=⇒+=， ∴11()()2144m nm n m n n m m n +++++==≥，当且仅当12m n ==等号成立， 即最小值是1，故填：4，1. 考点：1.对数函数；2.基本不等式.12.已知曲线221:(1)1C x y -+=与曲线2C ：0)(=--m mx y y ，则曲线2C 恒过定点 ；若曲线1C 与曲线2C 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(1,0)-，( . 【解析】试题分析：由题意得，直线y mx m =+恒过定点(1,0)-，故2C 过定点(1,0)-，显然直线0y =与圆有公共点(2,0)，(0,0)，∴问题等价于直线0y mx m --=与圆相交，且不过点(2,0)，(0,0)∴1330m m ⎧<⇒-<<≠⎩，∴实数m的取值范围是( ，故填：(1,0)-，((0,33-. 考点：1.直线方程；2.直线与圆的位置关系.13.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分， 设得分为随机变量ξ，则(7)P ξ≤= .（用分数表示结果） 【答案】1335.考点：离散型随机变量的概率. 14.函数x x x f +-=24)(的值域为 .【答案】. 【解析】试题分析：由题意得，02x ≤≤，∴设22cos x θ=(0)2πθ≤≤，∴()2sin )f x θθθϕ===+，其中sin ϕ=cos ϕ=， 而2πϕθϕϕ≤+≤+sin()1θϕ≤+≤，故值域是，故填：. 考点：1.函数的值域；2.三角换元.【思路点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)；⑥判别式法；⑦不等式法；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域. 15.记{}⎩⎨⎧<≥=ba b ba ab a ,,,max ，设22max{|4|,|28|}M x y y x =-+-+，若对一切实数x ，y ，m m M 22-≥恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】[1.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A A cos 2232cos =+． （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围． 【答案】（1）3π；（2）(2,3]. 【解析】试题分析：（1）将条件中的式子利用二倍角公式进行变形，可求得cos A ；（2）利用正弦定理将边长用三角函数表示出来，再利用三角恒等变形即可求解.试题解析：（1）根据倍角公式2cos 22cos 1x x =-，得212c o s 2c o s2A A +=，即24c o s 4c o s 10A A -+=，∴2(2cos 1)0A -=，∴1co s 2A =，又∵0A π<<，∴3A π=；（2）根据正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，得b B =，c C =，∴11sin )l b c B C =++=+， ∵3A π=，∴23B C π+=，∴21sin()]12sin()36l B B B ππ=+-=++， ∵203B π<<，∴(2,3]l ∈. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理．17.（本题满分14分）如图，已知O 为ABC ∆的外心，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若543=++，求BOC ∠cos 的值；（2）若⋅=⋅，求222ac b +的值．【答案】（1）45-；（2）2.∴2222sin sin sin A B C =+，利用正弦定理变形得：2222a b c =+，∴2222b c a +=.考点：平面向量数量积． 18.（本题满分15分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．,1,2,i k k ≤=（3,,1)n - （1）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=- （； （2）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n ． 【答案】（1）详见解析；（2）12n n a -=；（3）详见解析．考点：数列综合题．19．（本题满分15分）已知椭圆()22211x y a a+=>过直线:2l x =上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P点在x 轴上时，切线PA 的斜率为2±（1）求椭圆的方程；（2）设O 为坐标原点，求 POA ∆面积的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2则()0112211122222221212POA km m S PO d y x y k m k k ∆-=⋅=-=+-++ 221212k km m k m k k++==+=++，∴()222212210S k k k Sk S -=+⇒+-+=，2840S S ∆=-≥⇒≥2k =±.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.（本题满分15分）已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为非零实数. （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）若)(x f y =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：21)(12<x x f 【答案】（1）详见解析；（2）16.∵1'()ln(1)02g x x =++>，∴()g x 在(0,1)单调递增，∴()(0)0g x g >=，故命题得证. 考点：1.导数的综合运用；2.构造函数的思想．【名师点睛】①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作商构造函数，分析其单调性、最值，得出函数值恒小于等于1，通过求导判断单调性与极值点，使问题解决．。