人教必修一数学 精品导学案：3.1.2用2分法求方程的近似解

§3.1.2 用二分法求方程的近似解班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P89-P90,用红色笔对重点内容及有疑问的地方进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。

2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC层可以不做。

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。

【学习目标】1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2、能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备；3、体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

【学习重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【学习难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解【知识链接】1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数，我们把使 的实数x 叫做函数的零点。

方程有实数根函数的图象与x 轴 函数。

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点.2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？【预习探究案】【自主探究】1、思考：一条高压电缆上有15个接点 ，现某一接点发生故障 ，如何可以尽快找到故障接点？2、试用计算器完成课本89页求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2,3)上近似解的过程，体会用二分法的思想，并试着对二分法下一个定义。

()y f x =()y f x =()0f x =⇔()y f x =⇔()y f x =()y f x =[,]a b ()y f x =(,)ab3、写出给定精度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤。

【合作交流】1、借助计算器或计算机用二分法求方程 732=+x x 的近似解（精确到1.0）．2、借助计算机或计算器求函数4.19.01.1)(23--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）．【巩固练习】1、下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）（D ）（A ） （B ） （C ）2、)1.0((2,3)3lg 精确到上的近似解在区间利用计算器，求方程=+x x【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题） 今天我学会了什么？【训练案】（时间：10分钟）1. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.()f x [],a b ()f x [],a b x3. 函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D.4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 。

黑龙江省鸡西市高中数学3.1.2 用二分法求方程的近似解教案新人教版必修1
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§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学过程设计意
图
四、例题讲解
例1 求解方程ln x+2x—6=0
解：首先将方程等价转化为求y=ln x+2x-6的零点
y=ln x+2x-6中f(2）〈0，f(3）>0
思考：如何防止上述步骤出现周而复始的计算? 给定精确度ε
从例1引出
二分法的定义
对于在区间［a,b］上连续不断且f(a) f（b）〈0的函数y=f（x)，通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

思考1:求函数f(x）的零点近似值第一步应做什么？通过一个点的画法引出正弦曲线的画法
举例说明这样做可以把正弦函数有代表性的取值都包含在内。

3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例1】证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线.∵f(1)=1-3+1=-1＜0,f(2)=8-6+1=3＞0,∴f(1)·f(2)＜0,∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点，∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-0.125.因为f(1.5)·f(2)＜0,所以x0∈(1.5,2).再取(1.5,2)的中点x2=1.75，用计算器算得f(1.75)=1.109 375.因为f(1.5)·f(1.75)＜0，所以x0∈（1.5,1.75）.又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625.用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625.因为f(1.5)·f(1.625)＜0,所以x0∈(1.5,1.625).取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5,用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.因为f(1.5)·f(1.562 5)＜0,所以x0∈(1.5,1.562 5).取（1.5,1.562 5）的中点x5=1.531 25时，用计算器算得f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.因为f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0,所以x0∈(1.531 25,1.562 5).取（1.531 25,1.562 5）的中点x6=1.546 875时，用计算器算得f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.因为f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0,所以x0∈(1.531 25,1.546 875).同理，可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0，x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·f(1.535 156 25)＜0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25).又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时，f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0， 即x 0∈(1.531 25,1.533 203 125).由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01,此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53. 二、对二分法再理解【例2】有一块边长为30 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少厘米（精确到0.1 cm ）？解析：盒子的体积y 和以x 为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x.如果要做成一个容积是1 200 cm 3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为{x|0＜x ＜15＝.令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1，2）的中点x 1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0. 因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x 0∈(1.5,2). 同理可得x 0∈(1.5,1.75)，x 0∈(1.625,1.75),x 0∈(1.687 5,1.75),x 0∈(1.687 5,1.718 75),x 0∈(1.687 5,1.703 125),x 0∈(1.687 5,1.695 312 5). 由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1，此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.故如果要做成一个容积是1 200cm 3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm 或9.4 cm. 温馨提示用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到. 三、“精确度为ε”与“精确到ε” 【例3】 借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内的零点：（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0, 由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x 0，即x 0∈(2,3). 下面用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内零点的近似值： 取区间（2，3）的中点x 1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x0∈(2,2.5);再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5).同理可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375).(*)（1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）；（2）接（*），同理可得，x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.各个击破类题演练1求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.解析：列表：由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解.取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.变式提升1用二分法求33的近似值（精确到0.01）.解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0.取（1，2）的中点x1=1.5,f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5).再取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-1.046 875＜0,∴x0∈(1.25,1.5).再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375,f(1.375)=-0.400 390 625＜0,∴x0∈(1.375,1.5).这样反复计算下去，直到x0∈(1.441 406 25,1.443 359 375).∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，∴y=x3-3的一个零点为1.44.即33精确到0.01的近似值为1.44.温馨提示1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0.2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解.3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x 0)在［a,b ］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b ］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.类题演练2一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x 3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01) 解析:∵f(0)=-3<0,f(2)=19>0,∴函数f(x)=2x 3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x 3+3x-3=0在(0,2)内有解. 取(0,2)的中点1，f(1)=2>0.又f(0)<0,∴2x 3+3x-3=0在(0,1)内有解.如此继续下去，得到方程2x 3+3x-3=0的解在区间［0.742 187 5,0.746 093 75］，而|0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 25<0.01.∴方程2x 3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74. 变式提升2 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1), (1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数; （2）求证当a=3时，f(x)=a x+12+-x x 在（0，1）内必有零点； (3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01) 解析：（1）可设g(x)=a x,h(x)=12+-x x ， 由指数函数的性质可知：当a ＞1时，y=a x在（-1，+∞）上单调递增. 下面证明h(x)=12+-x x 在（-1，+∞）上单调递增.设x 1、x 2∈(-1,+∞)且x 1＜x 2， 则h(x 1)-h(x 2)=1211+-x x -1222+-x x =131+x -132+x =)1)(1()(32121++-x x x x .∵-1＜x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，x 1+1＞0,x 2+1＞0， ∴h(x 1)＜h(x 2),∴h(x)在（-1，+∞）上单调递增.∴f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+∞）上单调递增.（2）由（1）可知：函数f(x)在（-1，+∞）上是增函数. 又f(0)=30-2=-1＜0,f(1)=31-21=25＞0,即f(0)·f(1)＜0，说明函数f(x)在区间（0，1）内有零点，且只有一个. （3）由二分法可求得，当a=3时，f(x)=0的正根为0.28. 类题演练3函数f(x)=x 2-5的零点的近似值为（精确到0.1）（ ）A.2.0B.2.1C.2.2D.2.3解析：∵f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在（2，3）内必有一零点.可用二分法求得近似解为2.1. 变式提升3用二分法求2x=x+2负的近似解（精确到0.1）. 解析：设f(x)=2x-x-2,由于f(-2)=41, f(-1)=-21,f(-2)·f(-1)＜0. 故f(x)在（-2，-1）上必有一零点. 可用二分法求得近似解为-1.7. 温馨提示1.按“精确度为ε”要求得到的近似值不是唯一的，即若|a-b|＜ε，则［a,b ］上任何一个实数值x 0均可作为所求的近似值.2.按“精确到ε”要求得到的近似值是唯一的，即判断区间（a,b ）两端点精确到ε的近似值是否相同.若相同，则该值x 0即为所求的近似值.如例3（2）中(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1时的近似值都是2.3，故2.3即为所求.。

用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例】证明方程在区间（，）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到）. 证明：令()，则()在区间［，］上的图象是一条连续不断的曲线.∵()＜,()＞,∴()·()＜,∴函数()在区间（，）内必有一零点，∴方程在区间（，）内必有一根.取区间()的中点，用计算器算得().因为()·()＜,所以∈().再取()的中点，用计算器算得() .因为()·()＜，所以∈（）.又取（）的中点.用计算器算得() .因为()·()＜,所以∈().取（）的中点 ,用计算器算得( ) .因为()·( )＜,所以∈( ).取（）的中点时，用计算器算得( ) .因为( )·( )＜,所以∈( ).取（）的中点时，用计算器算得( ) .因为( )·( )＜,所以∈( ).同理，可算得 ( )·( )＜，∈( )( )·( )＜∈( ).又当取（）的中点时，( )·( )＜，即∈( ).由于＜,此时区间（）的两个端点精确到的近似值都是，所以原方程精确到的近似值为.二、对二分法再理解【例】有一块边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少厘米（精确到）？解析：盒子的体积和以为自变量的函数解析式为().如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么有方程() ,其定义域为{＜＜＝.令()() ，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数()分别在区间（，）和（，）内各有一个零点，即方程() 分别在区间（，）和（，）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（，）的中点，用计算器算得()＜.因为()·()＜，所以∈().同理可得∈()，∈()∈( )∈( )∈( )∈( ).由于＜，此时区间（）的两个端点精确至的近似值都是，所以方程在区间（，）内精确到的近似解为.同理可得方程在区间（，）内精确到的解为.故如果要做成一个容积是的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是或 .温馨提示用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：.计算量大；.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到.三、“精确度为ε”与“精确到ε”【例】借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数()在区间（，）内的零点：（）精确度为；（）精确到.解析：可证得函数在区间（，）上为增函数，由题设有()≈＜()≈＞,由于()·()＜，故函数()在区间（，）内有一个零点，即∈().下面用二分法求函数()在区间（，）内零点的近似值：取区间（，）的中点，用计算器算得()≈＞，由于()·()＜,所以∈();再取区间（，）的中点，用计算器算得()≈＜,由于()·()＜，所以∈().同理可得∈()，∈( ).(*)（）由于＜，所以区间［］上任意一个实数′均可作为()在区间（，）内且精确度为的零点的近似值（比如，可取′等）；（）接（*），同理可得，∈( )∈( ),∈( )∈( ).。

3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计一、分析教材与学情本节课是新课标教材中新增的内容，要求学生根据具体的函数及其图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系。

它既是本册书中的重点内容之一，又是对函数知识的拓展，同时既体现了函数在解方程中的重要应用，又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想奠定了基础。

学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，对精确度的理解会有困难；另外数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了难度。

在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解了函数图象与方程的根之间的关系，已经具有一定的数形结合思想，为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想，为学生继续学习算法内容埋下伏笔。

同时本节内容也能令学生形成正确的数学观，激发学生的学习兴趣，倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，培养学生自主学习的学习习惯。

二、教学设计思路用二分法求方程的近似解是函数零点性质的应用，它蕴含了数值逼近的思想、算法思想（必修3）以及数形结合思想。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用。

新教材有目的、有意识地将算法思想渗透在此，是为了让学生体会算法、逼近等思想方法在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。

基于新课程的基本理念和课程目标，结合本节课的教学内容，整理出本节课的教学流程：1运用逼近思想逐步缩小区间，最后找出其近似解让学生体会求近似解的完整过程我认为这样的设计基本上把握了本节课的教学内容和结构体系，能够根据教学要求，从学生的实际出发，创设学生熟悉的教学情境；通过设计富有情趣的教学活动，如设计“八枚金币中仅有一枚较轻，给你一台天平，怎样找出那一枚较合理？为什么？”这样的贴近生活的问题，让每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程。

百度文库-让每个人平等地提升自我用二分法求方程的近似解班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习·预习案【温馨寄语】朝霞般美好的理想，在向你们召唤。

你们是一滴一滴的水，全将活泼在祖国的大海里!【学习目标】1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.2．让学生初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精度与近似的相对统一.3．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.【学习重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【学习难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解【自主学习】(2)1．二分法的定义(3)(4)满足条件：(5)(6)(7)①在区间上的图象 .(8)(9)(10)(11)②在区间端点的函数值 .(12)(13)(14)操作过程：1百度文库-让每个人平等地提升自我把波函数的零点所在的区间不断地，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点的近似值.2．二分法的步骤(1)验证：确定区间，验证，给定精确度.(2)求中点：求区间的中点.(3)计算：①假设，那么就是函数的零点；②假设，那么令(此时零点)；③假设，那么令(此时零点).(4)判断：假设，那么得到零点近似值(或)；否那么重复(2)～(4).【预习评价】1．用二分法求如下图函数的零点时，不可能求出的零点是A. B. C. D.2．，用二分法求方程的近似解时，在以下哪一个区间内至少有一个解2百度文库-让每个人平等地提升自我A.(-3，-2)B.(0，1)C.(2，3)D.(-1，0)3．用二分法求方程在区间[0，1]上的近似解时，经计算，，，，即得到方程的一个近似解为(精确度为.知识拓展·探究案【合作探究】1．二分法的定义图中函数在区间上的零点是否可以用二分法求解？2．二分法的定义用二分法求函数的近似零点，采用什么方法能进一步缩小零点所在的区间？3．二分法的定义用二分法求函数的零点时，决定二分法步骤结束的条件是什么？4．用二分法求方程的近似解如图为函数，的图象，根据图象答复以下问题：3百度文库-让每个人平等地提升自我(1)方程的解与函数与的交点坐标有何关系？(2)用二分法求方程在区间上的近似解的步骤是什么？【教师点拨】1．对二分法定义的两点说明二分法就是通过不断地将零点所在区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示函数的零点.(2)二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近〞的数学思想的应用.2．精确度与计算次数即等分区间次数的关系精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定，假设初始区间是，那么经过次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系，即，其中只取正整数.3．用二分法求方程近似解的四个关注点解的近似性：所得的解一般是近似解.局限性：只能解决一局部函数的零点问题.精确度问题：精确度决定二分法的步骤次数.解的不唯一性：在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解，一般取左右端点值.【交流展示】1．以下函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是4百度文库-让每个人平等地提升自我A.B.C.D.2．的图象是一条连续不断的曲线，且在区间内有唯一零点，用二分法求得一系列含零点的区间，这些区间满足：，假设，那么的符号为A.正B.负C.非负D.正、负、零均有可能3．在用二分法求方程的近似解时，假设初始区间是(1，5)，精确度是，那么对区间(1，5)至多二等分的次数是.4．利用计算器或计算机用二分法求方程的一个正值近似解(精确度.【学习小结】5百度文库-让每个人平等地提升自我1．二分法的局限性(1)二分法一次只能求一个零点.(2)在内有零点时，未必成立，而这样的零点不能用二分法求解.(3)二分法计算量较大，常要借助计算器完成.2．利用二分法求函数零点必须满足的两个条件(1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的.函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反.3．二分法求方程近似解的三个关注点有根区间的判断原那么：每一次取中点后，假设中点函数值为零，那么这个中点就是方程的解；假设中点函数值不等于零，那么下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间.知二求一：精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个.列表法：二分法求解过程中，每次取中点求值可以采用列表的方式，使计算步数明确，当区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步.【当堂检测】用二分法求方程在(1，2)内近似解的过程中得，，，那么方程的根所在的区间为A.，B.(1，C.，2)D.不能确定6百度文库-让每个人平等地提升自我答案课前预习·预习案【自主学习】1．(1)①连续不断②f(a)·f(b)＜0 (2)－分为二零点2．(1)f ()·(b)＜0(3)①c②(，)③(c，)(4)|－|＜εaf ac b ab【预习评价】1．C2．D3．(答案不唯一)知识拓展·探究案【合作探究】1．可以.因为该函数y＝f(x)满足二分法求函数零点的两个条件：①f(x)在[a，b]上连续不断；②f ()·(b)＜0. af2．可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间.3．根据二分法的步骤和题目精确度的要求，假设出现f(c)＝0，那么步骤结束，否那么需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，二分法的步骤结束.4．(1)方程f(x)＝g(x)的解就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标.①构造：令F(x)＝f(x)－g(x)；②定区间：确定区间[a，b]，使F(a)·F(b)＜0；③求解：用二分法求F(x)在区间[a，b]上的零点近似值.【交流展示】1．B7百度文库-让每个人平等地提升自我2．A3．64．近似解可取为 5.过程略【当堂检测】A8。

讲次3.1.2 课题用二分法求方程的近似解教学目标1.了解二分法是求方程的近似解的常用方法；2.能够借助计算器用二分法求形如30,0,xx ax b a bx c++=++=log0ax bx c++=等超越方程的近似解。

教学重点借助计算器用二分法求相应方程的近似解教学难点二分法的实质，逼近思想、算法思想。

【新知探究】一、二分法的定义对于在区间[a,b]上__________、且______________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点________________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．强调：（1）二分法仅适用于变号零点；（2）尽可能找到含有零点的更小区间。

二、用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间[a,b]，验证 <0，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点c ；第三步，计算（1) 若f(c）=0，则c就是函数的；(2）若f(a)·f(c）＜0，则令 =c（此时零点x0∈(a，c））；(3) 若f(c）·f(b) ＜0，则令 =c（此时零点x0∈(c，b)）．第四步,判断是否达到精确度ε：即若＜ε，则得到零点近似值a（或b）,否则重复第二、三、四步.（说明：精确度与精确到不是一回事）口诀：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断。

（体现了逼近思想和算法思想）三、用二分法求函数零点近似值的程序框图【达标检测】A 组1.下列函数图象与x 轴均有交点，其中能用二分法求零点的是（ ）2.设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中 得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定 3.下列是函数f(x)在区间〔1,2〕上一些点的函数值．由此可判断：方程f(x)=0的一个近似解为________（精确到0.1）．4．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么 下一个有根的区间是 。

广东省广州市南武中学高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解导学案新人教版必修1一、三维目标：知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。

过程与方法：了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。

情感态度与价值观: 回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历史，激发学习的热情和学习的兴趣。

二、学习重、难点：用二分法求方程的近似解。

三、学法指导：认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。

四、知识链接：1函数零点的概念：2．等价关系：方程f(x)＝0 ⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x)3．函数零点存在定理：4.30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具体过程）五、学习过程：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x2-2x-1=0；（2）lg x=3-x；（3）x3-3x-1=0。

实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。

认真阅读P89—90页，回答下面问题：1、什么叫做二分法：2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？A 例1、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ()注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。

(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。

3．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：(1)确定 ，验证 ，给定 ； (2)求区间 ；(3)计算 ； ①若 ，则c 就是函数的零点；②若 ，则令 (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若 ，则令 (此时零点x 0∈(c ，b ))。

3.1.2 用二分法求方程的近似解教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让同学体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让同学学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热忱和学习的爱好.重点难点用二分法求方程的近似解.课时支配1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款手机)假如让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，假如高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，假如高了每隔100元降低报价.假如低了，每50元上升；假如再高了，每隔20元降低报价；假如低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，假如高了，再报一个价格；假如低了，就报两个价格和的一半；假如高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；假如低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也经常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是依据生1那样每隔10米或者依据生2那样每隔100米来检测,还是依据生3那样来检测呢？生：(齐答)依据生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来呈现一下(呈现多媒体课件，区间靠近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的方法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端确定有重球.其次次，两端各放三个球，低的那一端确定有重球.第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推动新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0. ④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样推断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.争辩结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=2-,x=2,x=1,x=2.⑤假如能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在确定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了便利，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=2ba称为区间(a,b)的中点〕⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,由于f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧由于函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) -4-1.3061.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.945912.079414.1972由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，由于f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3) 2.5 -0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066(2.5,2.5625) 2.53-1-2-5 -0.009(2.53-1-2-5,2.5625) 2.546875 0.029(2.53-1-2-5,2.546875) 2.5390625 0.010(2.53-1-2-5,2.5390625) 2.53515625 0.001图3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围的确越来越小了.假如重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在确定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特殊地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.4°推断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计确定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.应用示例思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).活动：①师生共同探讨沟通，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并依据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；②引发同学思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导同学探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深同学对上述方法的理解；⑤引发同学思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.同学简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).x 0 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273图3-1-2-2观看图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.由于f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.由于f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取为1.4375.例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．活动：老师挂念同学分析:画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发觉，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.依据图象，我们发觉f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3计算得f(232+)=41>0，发觉x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.由于f(2)=-1<0，f(3)=2>0，所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，由于f(2.5)=0.25>0，所以2<x1<2.5.再取2与2.5的平均数2.25，由于f(2.25)=-0.437 5<0，所以2.25<x1<2.5.如此连续下去，得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3),f(2)<0,f(2.5)>0⇒x1∈(2,2.5),f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.25,2.5),f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.375,2.5),f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x1∈(2.375,2.437 5).由于2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).活动：同学先思考或争辩后再回答，老师点拨、提示并准时评价同学.分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发觉，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.。

第三章 函数的应用3.1 函数与方程§3.1.2 用二分法求方程的近似解【学习目标】根据具体函数图象，能够借助计时器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.【预习提纲】1. 二分法的定义：对于在区间[a ，b]上 且 的函数y=f （x ），通过不断地把函数y=f （x ）的零点所在的区间一分为二， ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2.用二分法球函数零点的一般步骤：（1） 确定区间[a ，b]，验证 ，给定 ；（2） 求区间（a ，b ）的中点c ；（3） 计算f （c ）；① 若 ，则 就是函数的零点；② 若 ，则令 ；③ 若 ，则令 ；（4）判断是否达到 ：即若 ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）到（4）。

【例题精讲】例1. 借助计算器或计算机，用二分法求方程2x －x 2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．例2.求函数62ln )(-+=x x x f 在区间)3,2(内的零点.【归纳点拨】二分法的第一步可以结合函数的图象来初步判断根的分布区间；在解题过程中，只有区间端点的函数值异号才能使用二分法算下去．最终视函数值的绝对值的大小尽快逼近满足精确度要求的零点．【课堂反馈】1 下列函数图像与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（ ）2.根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3.函数f (x )＝2x －log 12x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2)4.判断方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．【总结思考】本节课你都学会了什么？有哪些收获？【巩固延伸】1．若函数)(x f 是奇函数，且有三个零点1x 、2x 、3x ，则321x x x ++的值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．不确定 2．已知],[,)(3b a x x x x f ∈--=，且0)()(<⋅b f a f ，则0)(=x f 在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有惟一实数根 3．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f )则)(x f y = ( ) A ．在区间)1,1(e ，(1，e )内均有零点B ．在区间)1,1(e ， (1，e )内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e )内有零点4．若方程x 2－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m 的取值范围是( )A ．m ≤1B ．0<m ≤1C ．m >1D ．0<m <1 5．函数)(x f ＝(x －1)ln(x －2)x －3的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．函数y ＝3x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0)7．函数)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有【挑战自我】1.方程32x x =精确到0.1的一个近似解是________．2.借助计算器或计算机用二分法求方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)【参考答案】预习提纲 略（教材）例题精讲例1.令f (x )＝2x －x 2，∵f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝1>0， 说明方程f (x )＝0在区间(－1,0)内有一个零点．取区间(－1,0)的中点x 1＝－0.5，用计算器可算得f (－0.5)≈0.46>0.因为f (－1)·f (－0.5)<0，所以x 0∈(－1，－0.5)．再取(－1，－0.5)的中点x 2＝－0.75，用计算器可算得f (－0.75)≈－0.03>0.因为f (－1)·f (－0.75)<0，所以x 0∈(－1，－0.75)．同理，可得x 0∈(－0.875，－0.75)，x 0∈(－0.812 5，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x 0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x －x 2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.例2.略（教材）课堂反馈1.B2. C.3. B4.设函数f (x )＝x 3－x －1，因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数f (x )＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＝－0.30<0.因为f (1.25)·f (1.5)<0，所以x 0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22>0.因为f (1.25)·f (1.375)<0，所以x 0∈(1.25，1.375)．同理，可得x 0∈(1.312 5,1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此时区间(1.312 5，1.343 75)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.巩固延伸1.B.2. D.3.D.4. B.5.A.6.B.7.C.挑战自我1.1.42.方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.。

四川省古蔺县中学高中数学必修一 3.1.2用二分法求方程的近似解导学案一、 教学目标：1. 理解二分法求方程近似解的原理；2. 能根据具体的函数，借助于学习工具用二分法求出方程的近似解；3. 知道二分法是求解方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.二、教学重难点：1.教学重点：通过用二分法求方程的近似解，进一步体会函数的零点与方程根之间的联系。

2.教学难点：初步形成用函数观点处理问题的意识。

三、课时学法指导通过阅读教材及老师的讲解，进一步掌握方程的根与函数的零点的关系，阅读大聚集课堂典例后得到提升及巩固 ,学会用二分法求方程的近似解。

四、预习案: 完成任务情况自评： 学科组长评价： .1.任务布置：（1）. 什么是二分法？如何利用二分法求出方程的近似解？(2). 二分法的步骤是什么？(3). 什么是逼近思想？2.存在问题:五、探究案探究一：二分法的概念（1）准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. （2）只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。

例1. 下列函数图象与x 轴均有公共点，但不宜用二分法求函数零点的是( )A. B.C. D.变式：下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）A. ()23f x x =+B. ()ln 26f x x x =+-C. ()221f x x x =-+D. ()21x f x =-探究二：用二分法求方程的近似解（1）用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使区间长度尽量小.（2）对于求形如()()f x g x =的方程的近似解，可转化成求形如()()()F x f x g x =-的函数的零点近似值，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.例2. 若32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A. 1.4B. 1.3C. 1.2D. 1.5方法小结：用二分法求方程的近似解时，每一次取中点后，下一个有解区间的判断原则是：若中点的函数值为0，则这个中点就是方程的解；若中点函数值不为零，则下一个有解区间是区间端点函数值异号的区间.探究三：是否达到精度要求的判断。

§3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。

3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。

2．教学用具：计算器。

四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三章第一节第二课，主要是研究函数与方程的关系的内容。

教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。

然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。

本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。

它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。

本节课教学目的主要有两点：一是学习一种求方程近似解的简单常用方法，通过计算器操作，体验逐步逼近的思维过程；二是熟练掌握二分法求方程近似解的步骤，体会蕴含逼近思想与算法思想。

教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献。

二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想。

但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。

另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。

所以学生的认知困难主要表现在两个方面：一方面，学习本节课之前，对方程根的求解一直是以代数运算的方式来学习的，用二分法求方程的近似解，是一次思想方法上的突破和学习观念的提升；另一方面，由于学生第一次接触“逼近”这种数值计算中的专业术语，第一次接触隐含算法结构的用符号表示的步骤，这种语言形式的抽象性，造成学生理解上的困难。