浙江省杭州市建人2020届高复高三下学期数学4月模拟测试试卷

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

绝密★启用前2020届浙江省杭州市建人高复高三下学期4月模拟测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A ．{}2,6B ．{2,3，5，6}C ．{1,3，4，5}D ．{1,2，3，4，5，6}答案：A进行并集、补集的运算即可． 解：P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P ∪Q ）={2，6}． 故选A ． 点评：考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题. 2．已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：解：因为2222()a abi b a bi =+-+， 若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件，故选：A ． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．3．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为()A ．16+8πB ．8+8πC ．16+16πD ．8+16π答案：A试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168π+，选A 【考点】三视图，几何体的体积4．如果正数a bc d ，，，满足4a b cd +==，那么（） A ．ab c d +≤，且等号成立时a bc d ，，，的取值唯一 B ．ab c d +≥，且等号成立时a bc d ，，，的取值唯一 C ．ab c d +≤，且等号成立时a bc d ，，，的取值不唯一 D ．ab c d +≥，且等号成立时a bc d ，，，的取值不唯一 答案：A利用基本不等式及等号成立的条件即可得到. 解：42a b ab =+≥∴当且仅当2a b ==等号成立，242c d cd +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭即4c d +≥， ∴当且仅当2c d ==等号成立，∴ab c d +≤且2a b c d ====等号成立故选：A 点评：本题考查了基本不等式及等号成立的条件，属于较易题.5．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d >C ．10a d <D ．10a d>答案：C试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.6．已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（）A．5- B．4 C1- D．答案：A根据已知条件把2246120x y x y +-++=转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而22x y --即可看到圆上的点到直线220x y --=距离的最小值. 解：2246120x y x y +-++=，()()22231x y ∴-++=，即圆心C ()2,3-，半径1r =，22x y --=∴可看到圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为圆心C 到直线220x y --=距离d 减去半径即d r -，43255d +-==，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为51d r -=-， ∴22x y --的最小值为55-故选：A 点评：本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题. 7．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A ．若a b 与共线，则0a b =B ．ab b a =C ．对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D ．2222()()ab a b a b +⋅=答案：B 解：若a 与b 共线，则有=mq-np=0a b ，故A 正确；因为，而=mq-np ab ，所以有a b ba ≠，故选项B 错误；因为(,)(,)a b m n p q mq nqλλλλλ==-（），()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，所以选项C 正确；2222222222222222()()()()()()ab a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p +⋅=--+=+++=++，222222=()()m n a p q b ++，所以选项D 正确.故选B ．8．对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（） A ．k 的最大值为2 B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1答案：B根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立，即max ()k f x ≥，结合二次函数的性质可求函数()f x 的最大值即可. 解：因为对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =， 根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立， 即max ()k f x ≥，()22()252,,0f x ax ax a a a =--++∈-∞，()22()1252f x a x a a ∴=--++， ∴当1,0x a ==时有max ()2f x =，即2k ≥故选：B 点评：本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，属于一般题.9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（）A ．B ．C ．D ．答案：B在平面BCC 1B 1上，P 到直线C 1D 1的距离为|PC 1|，∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等， ∴点P 到点C 1的距离与到直线BC 的距离相等， ∴轨迹为抛物线,且点C 1为焦点，BC 为准线； 故排除C ，D ， 同理可得， 在平面ABB 1A 1上，点P 到点B 的距离与到直线C 1D 1的距离相等， 从而排除A ， 本题选择B 选项.10．设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（）A ．000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B ．,()()2a R M a m a ∀∈+=C ．000,()()1a R M a m a ∃∈+=D ．,()()1a R M a m a ∀∈⋅=答案：D将函数整理为()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案. 解：因为22sin 2cos 2a a x y a a x ++=++，所以有()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，即()()()221x a y ϕ-=+-，ϕ为辅助角，因为()()sin 1x x R ϕ-≤∈，所以()()221a y +-≤，化简得：()()()24222423422340a a y a y a a ++-++++≤，由于42340a a ++>恒成立， 则判别式：()()()422422424243442780a a a a a a ∆=+-++=++>恒成立，即有不等式的解集为{}(),()m a M a ， 由韦达定理可得,()()1a R M a m a ∀∈⋅= 故选：D 点评：本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题. 二、双空题11．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =_______，(1)f a -=______；根据已知条件可得()4log 30,1a =∈，所以直接把4log 3a =代入即可求出()f a ，()11,0a -∈-，即有()10,1a -∈，再代入计算即可.解：()4log 30,1a =∈，4log 3()22a f a ∴===()11,0a -∈-， ()10,1a ∴-∈，444log 1log 313(1)2223af a --∴-====，(1)f a ∴-=点评：本题考查了对数，指数的运算，考查了学生的计算能力，属于一般题.12．已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______. 答案：10263405x由题意令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，二项式系数和2n ，再根据已知条件可得到5n =，即可求出. 解：2()3)n f x x =，∴令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，且二项式系数和2n ，展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，∴42992n n -=解得5n =，则展开式中最大的二项式系数为235510C C ==； 设展开式中第1k +项的系数最大， 由二项式定理可得展开式为()()2104523315533k k kkk kk TC xx C x+-+==，则115511553333k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 所以3161351k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：7922k ≤≤， 因为k Z ∈， 所以4k =，因此当4k =时展开式中第5项系数最大的项为263405x 故答案为：10；263405x 点评：本题考查了二项式的展开式以及系数和，考查了学生的计算能力，属于一般题. 13．将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）答案：155（填0.6也对） 分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，代入概率计算公式即可；计算出对对应的得分数ξ的概率，代入期望公式即可. 解：第一种：当每一列都不一样时有：第一列,,a b c 三个全排有33A ，第二列剩下的,,a b c 三个全排也有33A ， 第二种：在一列中有其中两个是一样的则有：12113323C C C C ，所以总的基本事件个数有：33121133332390N A A C C C C =+=，当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有：3113212N A C ==，记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A ， 则()11229015N p A N ===； 因为所得分数ξ可能取值为：0，1，3， 则有：()()()483660,1,3909090p p p ξξξ======，所以有48366543139090909005E ξ+⨯+⨯===⨯ 故答案为：215；35点评：本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.14．已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-，1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________答案：2根据题意可设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，再代入1b c +-⋅，利用二倍角公式进行化简、求三角函数的值域即可.解：因为,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-， 设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11cos b c +-⋅=-2226θθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭取当取sin0,cos 0226θθπ⎛⎫≥+≥ ⎪⎝⎭时， 即20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=++ ⎪⎝⎭22623θθπθπ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,b c ⎡+-⋅∈⎢⎣，同理当2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有12sin226b cθθπ⎛⎫+-⋅=+⎪⎝⎭22626θθπθπ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,2b c⎡+-⋅∈⎢⎣1bc+-⋅的最小值为2故答案为：2点评：本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简、求值域，考查了学生的计算能力，属于较难题.三、填空题15．已知方程22(1)(9)1k x k y-+-=，若该方程表示椭圆方程，则k的取值范围是_______；答案：15k<<或59k<<先对方程进行化简成椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义可得到k的取值范围.解：因为方程22(1)(9)1k x k y-+-=，所以22111(1)(9)x yk k+=--，所以有1(1)1(9)11(1)(9)kkk k⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k<<或59k<<故答案为：15k<<或59k<<点评：本题考查了椭圆的定义，考查了学生的计算能力，属于较易题.16．已知正四面体ABCD 和平面α，BC α⊂，正四面体ABCD 绕边BC 旋转，当AB 与平面α所成角最大时，CD 与平面α所成角的正弦值为______ 答案：36由已知条件可得当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥，以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入线面角公式即可求出. 解：由题意可得：当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥， 以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系O xyz -（如图），过D 作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，设2BC =，则()2631,0,0,0,33C D ⎛ ⎝⎭，即2631,33CD →⎛=- ⎝⎭, 设CD 与平面α所成角为θ，平面α的法向量为()0,0,1n →=，则3sin cos ,6CD nCD n CD nθ→→→→→→===即CD 与平面α3 3 点评：本题考查了利用向量法求线面角的正弦值，考查了学生的计算能力，属于一般题.17．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________ 答案：173取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，由平面几何的性质可得四边形12F AF C 为矩形，设1122CF BF m ==，运用双曲线的定义和对称性，结合勾股定理，化简可得34m a =，代入方程结合离心率公式即可求出. 解：取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，（如图）由12OA OF OC OF c ====， 可得四边形12F AF C 为矩形， 设1122CF BF m ==，由对称性可得：2DF m =，22144AF c m =-即有22244CF c m =-由双曲线的定义可得：22122244a CF CF m c m =-=-在直角三角形1DCF 中，221144,2,2DC m c m CF m DF a m =-==+，可得()()(222222244a m m m c m+=+-，②由①②可得34m a =，即43am =，代入①可得：8223a a m == 化简可得：22179c a =，即有3c e a ==点评：本题考查了双曲线的定义以及性质，考查了学生的计算能力，属于较难题. 四、解答题18．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围. 答案：（1）3π（2）33(,]42(1)根据题意可利用正弦定理把边转化为角，再用两角和的正弦即可；(2)先利用二倍角公式进行化简，再利用角度范围即可求22sin sin A C +的取值范围. 解： （1）由题意sin sin cos sin 3A B C C B =+sin()sin cos sin B C B C C B +=sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=+cos sin sin B C C B =sinC 0≠()3cos sin ,0,3tan 33B B B B B ππ∴=∈∴=∴=（2）221cos 21cos 21sin sin 1(cos 2cos 2C)222A C A C A --+=+=-+ 12141[cos 2cos 2()]1[cos 2cos(2)]232311311(cos 2sin 2)1cos(2)2223A A A A A A A πππ=-+-=-+-=--=-+2(0,)352(,)333A A ππππ∈∴+∈1cos(2)[1,)32A π∴+∈-22133sin A sin C 1cos(2)(,]2342A π∴+=-+∈点评：本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.19．如图所示，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F 分别为AC ，DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值. 答案：(1)见解析25试题分析：（1）（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO ⊥BC ，又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ，即可证明EF ⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得1331 (0,,),(,,0)2222E F,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC=-=，因此0EF BC⋅=,从而得EF BC⊥；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=12EC=12BC·cos30°=32，由△BGO∽△BFC知，34BOOG FCBC=⋅=,因此tan ∠EGO=2EOOG=,从而sin∠EGO=255，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n=，设平面BEF的法向量2(,,)n x y z=，又,由22{n BFn BE⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos,5n nn nn nθ⋅===⋅，因此sin∠EGO=25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A(0，-1，3),D(3,-1,0)，C(0,2,0),因而1331(0,,),(,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，从而EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF. 因此∠EGO 为二面角E-BF-C 的平面角； 在△EOC 中，EO=12EC=12BC ·cos30°=3，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO=2EO OG=,从而sin ∠EGO=25，即二面角E-BF-C 的正弦值为25.（方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220{0n BF n BE ⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅，因此sin ∠25，即二面角E-BF-C 的正弦25. 【考点】1.线面垂直的判定；2.二面角.20．已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1n S >，且*6(1)(2),n n n S a a n N =++∈（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*231log (3),n n T a n N +>+∈答案：（1）31n a n =-（2）见解析(1)利用已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式； (2)先根据(1)的结论求出23log 31n nb n =-，再求出{}n b 的前n 项和n T ，利用放缩法证明不等式. 解：解：（1）由1112111(1)(1),16a S a a a S ==++=>结合，因此12a = 由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=从而{n a }是首项为2公差为3的等差数列，故{n a }的通项公式为31n a n =- （2）由(21)1n bn a -=可得23log 31n nb n =-，从而 2363log (...)2531n nT n =⋅⋅⋅-323633log (...)2531n n T n =⋅⋅⋅-=3332363log [()()...()]2531n n ⋅⋅⋅-3313231331n n n n n n ++>>-+ 3333132()3131331n n n n n n n n ++∴>⋅⋅--+于是33323633log [()()...()]2531n n T n =⋅⋅⋅-223456783313232log [()()...()]log 234567313312n n n n n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+2231log (32)log (3)n n T n a ∴+>+=+点评：本题考查了已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式以及利用放缩法证明不等式，属于较难题.21．已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点（1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；答案：（1）18或50；（2(1)联解直线方程和抛物线方程，可求出AB 的弦长||AB =，再结合已知条件以ABCD 为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长，从而可求得面积； (2)分别求出切线方程，由切线方程求出交点坐标，代入三角形的面积公式，利用基本不等式求出面积的最小值. 解：（1）设直线:AB y x b =+联立直线AB 与抛物线方程得：20x x b ++=易得：||AB =直线AB 与CD=26b =--或所以该正方形的边长为面积为18或50；（2）设2(,)A a a -，2(,)B b b -（由对称性不妨设0,0a b <>）则A 处的切线方程为：22y ax a =-+，与直线1y =-交点记为M ，则21(,1)2a M a+-则B 处的切线方程为：22y bx b =-+，与直线1y =-交点记为N ，则21(,1)2b N b+-两条切线交点P (,)2a bab +-2222111()(1)222()(1)(1)()4()(1)4)4PMNb aS abb ab a ab abt aabb t btbtbtbt++=--+---+==-++=+≥△令于是2222222()(1)21111333(1)2qqqq qqq==+=+=+++≥+∴≥=当b a=-=时取到等号点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系求弦长，求过点的切线方程，利用基本不等式求最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22．已知函数()xf x e x=+，（a R∈）其图象与x轴交于12(,0),(,0)A xB x两点，且12x x<. （1）求a的取值范围；（2）证明：123'()04x xf+<；（'()f x为()f x的导函数）；（3）设点C在函数()f x的图象上，且ABC∆为等边三角形，记t=，求(1)(t a-的值.答案：（1）见解析;（2）-.【试题分析】（1）依据题设条件运用导数的知识分析探求；（2）运用题设条件中的坐标关系，巧妙借助导数的知识求解：（1）∵()x f x e ax =+，∴()'xf x e a =+，若0a ≥，则()'0f x >，则函数()f x 在R 上单调递增，这与题设矛盾.∴0a <易知()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，∴()()()()min ln ln f x f a a a a =-=-+-，且x →-∞时，()f x →+∞；x →-∞时，()f x →+∞，∴()()ln ln 0f a a a a =-+-<，两式相减得2121x x e e a x x -=--.记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221'222x x x x x x s s x x e e e f e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭，设()()2s s g s s e e -=--，则()()'20s s g s e e -=-+<，∴()g s 是单调减函数，则有()()00g s g <=，而12202x x e s +>， ∴12'02x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭，又∵()'x f x e a =+是单调增函数，且1212342x x x x ++<， ∴12123''042x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由12120{0x x e ax e ax +=+=得1212{x x e ax e ax =-=-，∴122x x e +=-()00,P x y ，在等边三角形ABC 中，易知()12012,2x x x x x +=∈，()000y f x =<，由等边三角形性质知)2102x x y -=-，∴)21002x x y -+=，即())1221221022x x x x a e x x +-+++=，∴())2121022x x a x x --+++=， ∵10x >，∴212111022x x x a x ⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭-++= ⎪⎝⎭， ∴())2211022t a at t --+++=，(220a t at a +-+=，∴(()10a t a t ⎡⎤+-=⎣⎦，又∵1t >，∴(0a t a +=，∴t =1t -=()(1t a -=-. 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数的有关知识在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件运用分析推证的思想方法求解；解答第二问时，则借助题设中的坐标进分析推证；第三问则依据等边三角形的题设条件进行分析探求，综合运用等价转化的数学思想及数形结合的思想和意识，从而使得问题简捷、巧妙地获解．。

杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+；V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么椎体的体积公式()()()P A B P A P B ⋅=⋅；13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率24S R π=()(1)k kn k n n P k C P P -=-（k =0，1，…，n ）.球的体积公式台体的体积公式343V R π=选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A. {}2,6B. {2,3，5，6}C. {1,3，4，5}D. {1,2，3，4，5，6}【答案】A 【解析】 【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P∪Q）={2，6}． 故选A ．【点睛】考查列举法表示集合概念，并集、补集的运算,属于基础题. 2.已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：因为2222()a abi b a bi =+-+， 若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．3.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A. 16+8πB. 8+8πC. 16+16πD. 8+16π【答案】A 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168π+，选A 考点：三视图，几何体的体积4.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 【答案】A 【解析】正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A ．5.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A. 0d < B. 0d >C. 10a d <D. 10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.6.已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（ ）A. 55-B. 45-C. 51-D. 55【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件把2246120x y x y +-++=转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而22x y --可转化为2255x y --⨯即可看到圆上的点到直线220x y --=距离的最小值. 【详解】2246120x y x y +-++=，()()22231x y ∴-++=，即圆心C ()2,3-，半径1r =，222255x y x y ----=⨯，∴225x y --可看到圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为圆心C 到直线220x y --=距离d 减去半径即d r -，43255d +-==∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为51d r -=， ∴22x y --的最小值为55【点睛】本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.7.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A. 若a b 与共线，则0a b =B. ab b a =C. 对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D. 2222()()ab a b a b +⋅=【答案】B 【解析】【详解】若a 与b 共线，则有=mq-np=0ab ，故A 正确；因为，而=mq-np a b ，所以有a b b a ≠，故选项B 错误；因为(,)(,)a b m n p q mq nq λλλλλ==-（），()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，所以选项C 正确；2222222222222222()()()()()()ab a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p +⋅=--+=+++=++，222222=()()m n a p q b ++，所以选项D 正确.故选B ．8.对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A. k 的最大值为2 B. k 的最小值为2 C. k 的最大值为1 D. k 的最小值为1 【答案】B 【解析】根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立，即max ()k f x ≥，结合二次函数的性质可求函数()f x 的最大值即可.【详解】因为对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =， 根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立， 即max ()k f x ≥，()22()252,,0f x ax ax a a a =--++∈-∞，()22()1252f x a x a a ∴=--++， ∴当1,0x a ==时有max ()2f x =，即2k ≥故选：B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，属于一般题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平面BCC1B1上，P到直线C1D1的距离为|PC1|，∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，∴点P到点C1的距离与到直线BC的距离相等，∴轨迹为抛物线,且点C1为焦点，BC为准线；故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，从而排除A ， 本题选择B 选项.10.设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（ ）A. 000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B. ,()()2a R M a m a ∀∈+=C. 000,()()1a R M a m a ∃∈+=D. ,()()1a R M a m a ∀∈⋅=【答案】D 【解析】 【分析】将函数整理为()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案.【详解】因为22sin 2cos 2a a x y a a x ++=++，所以有()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，即()()()221x a y ϕ-=+-，ϕ为辅助角，因为()()sin 1x x R ϕ-≤∈，所以()()221a y +-≤，化简得：()()()24222423422340a a y a y a a ++-++++≤，由于42340a a ++>恒成立， 则判别式：()()()422422424243442780a a a a a a ∆=+-++=++>恒成立，即有不等式的解集为{}(),()m a M a ， 由韦达定理可得,()()1a R M a m a ∀∈⋅= 故选：D【点睛】本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =_______，(1)f a -=______；【答案】3- 【解析】 【分析】根据已知条件可得()4log 30,1a =∈，所以直接把4log 3a =代入即可求出()f a ，()11,0a -∈-，即有()10,1a -∈，再代入计算即可.【详解】()4log 30,1a =∈，4log 3()22a f a ∴===()11,0a -∈-， ()10,1a ∴-∈，444log 1log 313(1)2223af a --∴-====，(1)f a ∴-=3-【点睛】本题考查了对数，指数的运算，考查了学生的计算能力，属于一般题.12.已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______； 【答案】15k <<或59k << 【解析】 【分析】先对方程进行化简成椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义可得到k 的取值范围. 【详解】因为方程22(1)(9)1k x k y -+-=，所以22111(1)(9)x y k k +=--，所以有10(1)10(9)11(1)(9)k k k k ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k <<或59k <<故答案为：15k <<或59k <<【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了学生的计算能力，属于较易题.13.已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______. 【答案】 (1). 10 (2). 263405x 【解析】 【分析】由题意令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，二项式系数和2n ，再根据已知条件可得到5n =，即可求出.【详解】2()3)n f x x =，∴令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，且二项式系数和2n ，展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，∴42992n n -=解得5n =，则展开式中最大的二项式系数为235510C C ==； 设展开式中第1k +项的系数最大， 由二项式定理可得展开式()()2104523315533k k kk k kk T C xx C x+-+==，则115511553333k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，所以3161351k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：7922k ≤≤， 因为k Z ∈， 所以4k =，因此当4k =时展开式中第5项系数最大的项为263405x 故答案为：10；263405x【点睛】本题考查了二项式的展开式以及系数和，考查了学生的计算能力，属于一般题. 14.将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）【答案】 (1). 215 (2). 35（填0.6也对） 【解析】 【分析】分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，代入概率计算公式即可；计算出对对应的得分数ξ的概率，代入期望公式即可. 【详解】第一种：当每一列都不一样时有：第一列,,a b c 三个全排有33A ，第二列剩下的,,a b c 三个全排也有33A ，第二种：在一列中有其中两个是一样的则有：12113323C C C C ，所以总的基本事件个数有：33121133332390N A A C C C C =+=，当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有：3113212N A C ==，记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A ， 则()11229015N p A N ===； 因为所得分数ξ可能取值为：0，1，3，则有：()()()483660,1,3909090p p p ξξξ======， 所以有48366543139090909005E ξ+⨯+⨯===⨯ 故答案为：215；35【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.15.已知正四面体ABCD 和平面α，BC α⊂，正四面体ABCD 绕边BC 旋转，当AB 与平面α所成角最大时，CD 与平面α所成角的正弦值为______【解析】 【分析】由已知条件可得当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥，以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入线面角公式即可求出.【详解】由题意可得：当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥， 以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系O xyz -（如图），过D 作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，设2BC =，则()2631,0,0,0,33C D ⎛ ⎝⎭，即2631,33CD →⎛=- ⎝⎭,设CD 与平面α所成角为θ，平面α的法向量为()0,0,1n →=，则3sin cos ,6CD nCD n CD nθ→→→→→→===即CD 与平面α所成角的正弦值为363【点睛】本题考查了利用向量法求线面角的正弦值，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________ 17【解析】 【分析】取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，由平面几何的性质可得四边形12F AF C 为矩形，设1122CF BF m ==，运用双曲线的定义和对称性，结合勾股定理，化简可得34m a =，代入方程结合离心率公式即可求出.【详解】取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，（如图）由12OA OF OC OF c ====， 可得四边形12F AF C 为矩形， 设1122CF BF m ==，由对称性可得：2DF m =，22144AF c m =-即有22244CF c m =-由双曲线的定义可得：22122244a CF CF m c m =-=-在直角三角形1DCF 中，221144,2,2DC m c m CF m DF a m =-==+，可得()()(222222244a m m m c m+=+-，②由①②可得34m a =，即43am =， 代入①可得：22228642244439a a a m c m c =-=-化简可得：22179c a =， 即有173c e a ==17【点睛】本题考查了双曲线的定义以及性质，考查了学生的计算能力，属于较难题.17.已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，再代入1b c +-⋅，利用二倍角公式进行化简、求三角函数的值域即可.【详解】因为,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-， 设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11cos b c +-⋅=-2226θθθπ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭取当取sin0,cos 0226θθπ⎛⎫≥+≥ ⎪⎝⎭时， 即20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=++ ⎪⎝⎭22623θθπθπ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,b c ⎡+-⋅∈⎢⎣， 同理当2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=+ ⎪⎝⎭22626θθπθπ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,2b c ⎡+-⋅∈⎢⎣1b c +-⋅的最小值为2【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简、求值域，考查了学生的计算能力，属于较难题.三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 3a b C B =+. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）3π（2）33(,]42【解析】 【分析】(1)根据题意可利用正弦定理把边转化为角，再用两角和的正弦即可；(2)先利用二倍角公式进行化简，再利用角度范围即可求22sin sin A C +的取值范围. 【详解】（1）由题意sin sin cos sin 3A B C C B =+sin()sin cos sin 3B C B C C B +=+sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=3cos sin sin sinB C C B=sinC0≠()3cos sin,0,3tan33B B BBBππ∴=∈∴=∴=（2）221cos21cos21sin sin1(cos2cos2C)222A CA C A--+=+=-+12141[cos2cos2()]1[cos2cos(2)]232311311(cos2sin2)1cos(2)2223A A A AA A Aπππ=-+-=-+-=--=-+2(0,)352(,)333AAππππ∈∴+∈1cos(2)[1,)32Aπ∴+∈-22133sin A sin C1cos(2)(,]2342Aπ∴+=-+∈【点睛】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.19.如图所示，ABC∆和BCD∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD===，120ABC DBC∠=∠=，E，F分别为AC，DC的中点.（1）求证：EF BC⊥；（2）求二面角E BF C--的正弦值.【答案】(1)见解析(2)255【解析】试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得1331(0,,),(,,0)2222E F,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC=-=，因此0EF BC⋅=,从而得EF BC⊥；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角；在△EOC中，EO=12EC=12BC·cos30°=3，由△BGO∽△BFC知，34BOOG FCBC=⋅=,因此tan∠EGO=2EOOG=,从而sin∠EGO=25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n=，设平面BEF的法向量2(,,)n x y z=，又,由22{n BFn BE⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos,5n nn nn nθ⋅===⋅，因此25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明：（方法一）过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连OF ，由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC， 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A(0，-133,-1,0)，C(0,2,0),因而1331(0,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图1中，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连EG ，由平面ABC⊥平面BDC ，从而EO⊥平面BDC ，从而EO⊥面BDC ，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG 垂直BF. 因此∠EGO 为二面角E-BF-C 的平面角； 在△EOC 中，EO=12EC=12BC·cos30°=32，由△BGO∽△BFC 知，3BO OG FC BC =⋅=,因此tan∠EGO=2EO OG=,从而25，即二面角E-BF-C 25.（方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)222BF BE ==,由220{0n BF n BE ⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅，因此25，即二面角E-BF-C 的正弦值为25. 考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.20.已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1n S >，且*6(1)(2),n n n S a a n N =++∈（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*231log (3),n n T a n N +>+∈【答案】（1）31n a n =-（2）见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式； (2)先根据(1)的结论求出23log 31n nb n =-，再求出{}n b 的前n 项和n T ，利用放缩法证明不等式.【详解】解：（1）由1112111(1)(1),16a S a a a S ==++=>结合，因此12a = 由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=从而{n a }是首项为2公差为3的等差数列，故{n a }的通项公式为31n a n =- （2）由(21)1n bn a -=可得23log 31n nb n =-，从而 2363log (...)2531n nT n =⋅⋅⋅-323633log (...)2531n n T n =⋅⋅⋅-=3332363log [()()...()]2531n n ⋅⋅⋅- 3313231331n n n n n n ++>>-+ 3333132()3131331n n n n n n n n ++∴>⋅⋅--+ 于是33323633log [()()...()]2531n n T n =⋅⋅⋅- 223456783313232log [()()...()]log 234567313312n n n n n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+ 2231log (32)log (3)n n T n a ∴+>+=+【点睛】本题考查了已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式以及利用放缩法证明不等式，属于较难题.21.已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点 （1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；【答案】（1）18或50；（2）9 【解析】【分析】(1)联解直线方程和抛物线方程，可求出AB 的弦长||AB =，再结合已知条件以ABCD 为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长，从而可求得面积；(2)分别求出切线方程，由切线方程求出交点坐标，代入三角形的面积公式，利用基本不等式求出面积的最小值.【详解】（1）设直线:AB y x b =+ 联立直线AB 与抛物线方程得：20x x b ++=易得：||AB =直线AB与CD=26b=--或所以该正方形的边长为面积为18或50；（2）设2(,)A a a-，2(,)B b b-（由对称性不妨设0,0a b<>）则A处的切线方程为：22y ax a=-+，与直线1y=-交点记为M，则21(,1)2aMa+-则B处的切线方程为：22y bx b=-+，与直线1y=-交点记为N，则21(,1)2bNb+-两条切线交点P(,)2a bab+-2222111()(1)222()(1)(1)()4()(1)4)4PMNb aS abb ab a ab abt aabb t btbtbtbt++=--+---+==-++=+≥△令于是2222222()(1)21111333(1)29qqqq qqq==+=+=+++≥+∴≥=当3b a=-=时取到等号【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系求弦长，求过点的切线方程，利用基本不等式求最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.设函数()()xf x e x a a α=-+∈R ，其图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：f 0（f ′（x ）为函数f （x ）的导函数）；（3）设点C 在函数y ＝f （x ）的图象上，且△ABC =t ，求（a ﹣1）（t ﹣1）的值．【答案】（1）见解析; （2）见解析（3）2【解析】【详解】（1）∵f （x ）＝e x ﹣ax +a ，∴f '（x ）＝e x ﹣a ， 若a ≤0，则f '（x ）＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾． ∴a ＞0，令f '（x ）＝0，则x ＝lna ， 当f '（x ）＜0时，x ＜lna ，f （x ）是单调减函数， 当f '（x ）＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数， 于是当x ＝lna 时，f （x ）取得极小值， ∵函数f （x ）＝e x﹣ax +a （a ∈R ）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2）， ∴f （lna ）＝a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2， 此时，存在1＜lna ，f （1）＝e ＞0， 存在3lna ＞lna ，f （3lna ）＝a 3﹣3alna +a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0，又由f （x ）在（﹣∞，lna ）及（lna ，+∞）上的单调性及曲线在R 上不间断，可知a ＞e 2为所求取值范围． （2）∵121200x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩，∴两式相减得2121x x e e a x x -=-． 记()2102x x s s -=＞，则()121221212221'222x x x x x x s s x x e e e f e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设g （s ）＝2s ﹣（e s ﹣e ﹣s ），则g '（s ）＝2﹣（e s +e ﹣s）＜0，∴g （s ）是单调减函数，则有g （s ）＜g （0）＝0，而12202x x e s+＞， ∴12'02x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭＜． 又f '（x ）＝e x ﹣a是单调增函数，且122x x +∴'0f ＜．（3）依题意有0i x i e ax a -+=，则()10i xi a x e -=＞⇒x i ＞1（i ＝1，2）． 于是122x x e +=，在等腰三角形ABC 中，显然C ＝90°，∴()120122x x x x x +=∈，，即y 0＝f （x 0）＜0， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， ∴21002x x y -+=， 即()1221212022x x x x a ex x a +--+++=，∴()2112022x x ax x a -+++=，即()()()()21121111022x x a x x ---⎡⎤-+-+=⎣⎦． ∵x 1﹣1≠0，则2211111110212x x x a x --⎛⎫--++= ⎪-⎝⎭，t =， ∴()()22111022a at t t -++-=， 即211a t =+-， ∴（a ﹣1）（t ﹣1）＝2．点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数的有关知识在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件运用分析推证的思想方法求解；解答第二问时，则借助题设中的坐标进分析推证；第三问则依据等边三角形的题设条件进行分析探求，综合运用等价转化的数学思想及数形结合的思想和意识，从而使得问题简捷、巧妙地获解．。

浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()sin f x x =的最小正周期是 A ．4π B ．2π C ．πD ．2π2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥3．已知,a b r r 是两个单位向量，若向量a r 在向量b r 上的投影向量为12b r，则向量a r 与向量a b -r r的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．设甲：“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增”，乙：“02ω<≤”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2n n n n n a b a b n a b ++==+=+=．设n S 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（ ）A ．110B ．120C ．288D ．3066．将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（ ） A ．300B ．240C ．150D ．507．设集合{1,1}M =-，{|0N x x =>且1}x ≠，函数()x xf x a a λ-=+（0a >且1a ≠），则（ ）A ．(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为增函数B ．(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为减函数C ．(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为奇函数D ．(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为偶函数8．在ABC V 中，已知sin cos sin ,cos sin cos A A n C n C B B ==．若πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则n =（ ）A ．无解B ．2C ．3D ．4二、多选题9．已知关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<的两根为1z 和2z ，则（ ） A ．12z z = B ．121z z ⋅=C ．12=z zD ．1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．已知函数()f x 对任意实数x 均满足()()2211f x f x +-=，则（ ）A ．()()f x f x -= B．1f=C ．()113f -=D ．函数()f x在区间上不单调11．过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（ ）A ．直线NB 与抛物线C 有2个公共点 B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠ D ．3MN AB的最小值为三、填空题12．写出与圆221x y +=相切且方向向量为(的一条直线的方程． 13．函数()2f x =14．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm ，开口直径为8cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于．四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑． 16．已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若函数()f x 有两个极值点， （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．17．如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．(1)证明：90ABQ ∠=︒； (2)若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值． 18．已知,A B 是椭圆22:14xE y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1. (1)求点M 的坐标.(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G . （ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.19．在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n 次，红球出现m 次．假设每次摸出红球的概率为p ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p 的估计值为µp mn=． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y ，则()3,Y B p ～．注：()p P Y k =表示当每次摸出红球的概率为p 时，摸出红球次数为k 的概率） （ⅰ）完成下表；（ⅱ）在统计理论中，把使得．．)p P Y k =的取值达到最大时的．．．．．．．．p ，作为p 的估计值，记为µp ，请写出µp 的值．(2)把（1）中“使得()p P Y k =的取值达到最大时的p 作为p 的估计值µp ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数()l θ，再对其关于参数θ求导，得到似然方程()0l θ'=，最后求解参数θ的估计值．已知(),Y B n p ～的参数p 的对数似然函数为()11()ln 1ln(1)nni i i i l p X p X p ===+--∑∑，其中0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第次摸出白球第次摸出红球．求参数p 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．。

绝密★启用前杭州2024届高中毕业生适应性测试数学（答案在最后）命题，审校：2024.4本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，找出每小题答案后，用铅笔将对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选､多选､错选均不得分.1.在复平面内表示复数（1﹣i ）（a +i ）的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（）A.（﹣∞，1）B.（﹣∞，﹣1）C.（1，+∞）D.（﹣1，+∞）【答案】B 【解析】【分析】把复数化为代形式，然后得出对应点坐标，由点在第二象限得出结论．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，对应点为(1,1)a a +-，由题意1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-．故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．2.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为12b -，则2a b -= （）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先根据投影向量公式求a b ⋅的值，再代入向量模的公式求解.【详解】1==a b rr ，a 在b 方向上的投影向量为()12a b b a b b b b b⋅⋅=⋅⋅=-，所以12a b ⋅=-r r ，所以2a b -== .故选：D3.设集合{}2414,8120A y x y B xx x x⎧⎫=+≤≤≤=-+≤⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A.{}28x x ≤≤∣B.{}26xx ≤≤∣C.{}46xx ≤≤∣ D.{}68xx ≤≤∣【答案】C 【解析】【分析】由不等式性质可知，当1,4x y ==时，4y x +取得最大值8，利用x y ≤对4y x+进行放缩，然后结合基本不等式可得4y x+的最小值为4，得集合A ；解一元二次不等式求出集合B ，然后由交集运算可得答案.【详解】因为14x ≤≤，所以1114x≤≤，得414x ≤≤，又14y ≤≤，所以428y x≤+≤，当1,4x y ==时，4y x+取得最大值8；又x y ≤，所以444y x x x +≥+≥=，当且仅当2x y ==时等号成立，所以4y x+的最小值为4，所以[]4,8A =.由28120x x -+≤解得[]2,6B =，所以[]4,6A B ⋂=.故选：C4.已知2sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，则()sin A B +=（）A.518-B.49C.13-D.16【答案】A 【解析】【分析】将题干两式两边平方，结合平方关系及两角和的正弦公式计算可得.【详解】因为2sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，所以()24sin cos 9A B +=，()2cos sin 1A B +=，即224sin 2sin cos cos 9A A B B ++=，22cos 2cos sin sin 1A A B B ++=，两式相加可得()422sin cos sin cos 19A B B A ++=+，所以()5sin 18A B +=-.故选：A5.波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)x a x b a b +=≠>的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2x ay =交于点R ，RQ OQ ⊥.已知x OQ =是方程32x a x b +=的一个解，则点P 的坐标为（）A.2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,0b a ⎛⎫⎪⎝⎭C.2,0a b ⎛⎫⎪⎝⎭D.,0a b ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】求得以OP 为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y ，可得x 的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标．【详解】设(,0)P t ，OP 的中点为,02t ⎛⎫⎪⎝⎭，则以OP 为直径的圆的方程为22224t t x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与抛物线2:C x ay =联立，可得2242124t t x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简可得4220x x tx a-+=，由于RQ OQ ⊥，可得R ，Q 的横坐标相等，则方程32x a x b +=和方程320x x t a-+=有相同的解，即有2b a t =，解得2bt a=，则2,0b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A ．6.小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有X 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且()1,0,1,,1617P X i i === .在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（）A.45B.1316C.1417D.56【答案】C 【解析】【分析】记事件i A ：16个饺子中有i 个香菇肉馅饺子，0,1,,16i =⋅⋅⋅，事件B ：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求()P B ，然后再由条件概率公式可得()014|17P A B =.【详解】记事件i A ：16个饺子中有i 个香菇肉馅饺子，0,1,,16i =⋅⋅⋅，事件B ：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.则()0|1P B A =，()13|16P B A =，()232216C 1|C 40P B A ==，()333316C 1|C 560P B A ==，当4,5,,16i =⋅⋅⋅时，()|0i P B A =，由题知，()117i P A =，所以()()()16113111|117164056014i i i P B P A P B A =⎛⎫==+++= ⎪⎝⎭∑，又()()()0001|17P BA P A P B A ==，所以()()()0011417|11714P BA P A B P B ===.故选：C7.若函数()ln f x x x x x a =-+-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()1,00,e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B.()2,00,e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C.()2,00,3e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭ D.()1,00,3e⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数y x a =-与函数ln y x x x =-的图象有两个交点，求导并画出函数ln y x x x =-的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得a 的取值范围.【详解】由()0f x =可得ln x a x x x -=-，则函数y x a =-与函数ln y x x x =-的图象有两个交点；设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-，令()ln 0g x x '=->，解得01x <<；令()ln 0g x x '=-<，解得1x >；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减；令()1g x '=，解得1e x =，可求得()g x 的图象在1e x =处的切线方程为1ey x =+；令()1g x '=-，解得e x =，可求得()g x 的图象在e x =处的切线方程为e y x =-+；函数y x a =-与函数ln y x x x =-的图象如图所示：切线1ey x =+与ey x =-+在x 轴上的截距分别为1,e e -,当0a =时，y x a =-与函数ln y x x x =-的图象有一个交点，故实数a 的取值范围为()1,00,e e⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A8.以半径为1的球的球心O 为原点建立空间直角坐标系，与球O 相切的平面α分别与,,x y z 轴交于,,A B C三点，OC =，则224OA OB +的最小值为（）A. B. C.18D.【答案】C 【解析】【分析】不妨设A 、B 、C 均在正半轴，设球O 与平面α切于点H ，连接CH 并延长交AB 于点Q ，连接OQ ，由勾股定理求出CH ，利用三角形相似求出HQ ，即可求出OQ ，再通过证明AB ⊥平面OCQ 得到AB OQ ⊥，则22224104OA OB QB QA +=++，再由三角形相似得到2QA QB ⋅=，最后利用基本不等式计算可得.【详解】根据对称性，不妨设A 、B 、C 均在正半轴，设球O 与平面α切于点H ，连接CH 并延长交AB 于点Q ，连接OQ ，则OH ⊥平面ABC ，CO ⊥平面AOB ，OQ ⊂平面AOB ，所以CO OQ ⊥，又OH CQ ⊥，所以Rt Rt CHO OHQ ∽，即OH CH HQOH=，又1OH =，OC =，所以1CH ==，则1HQ =，所以OQ ==又OH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以OH AB ⊥，CO ⊥平面AOB ，AB ⊂平面AOB ，所以CO AB ⊥，又OH CO O = ，,OH CO ⊂平面OCQ ，所以AB ⊥平面OCQ ，又OQ ⊂平面OCQ ，所以AB OQ ⊥，所以()22222244OA OB OQ QA OQ QB+=+++22254OQ QB QA =++22104QB QA =++，又Rt Rt OQA BQO ∽，即QA OQ QOBQ=，所以22OQ QA QB =⋅=，所以()22224104102218OA OB QB QA QB QA +=++≥+⋅=，当且仅当22QA QB ==时取等号，即224OA OB +的最小值为18.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是根据题意画出图形，推导出OQ =、2QA QB ⋅=，利用勾股定理转化计算，结合基本不等式求出最小值.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数()cos sin f x x x =+，则（）A.()f x 是偶函数B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 的值域为⎡-⎣D.()f x 在7,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，利用奇偶性的定义进行判断即可；对于B 选项，利用周期性的定义进行判断即可；对于C 选项，首先证明函数()f x 的周期为2π，然后分0x π≤<与[],2x ππ∈两种情况分别讨论函数的值域，进而进行判断选项的正误即可；对于D 选项，当7,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，进而判断函数的单调区间即可.【详解】对于A 选项，已知()cos sin f x x x =+且定义域为R ，由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，得()f x 是偶函数，故A 选项正确；对于B 选项，()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠，得()f x 的最小正周期不是π，故B 选项错误；对于C 选项，由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=+=，得()f x 的周期为2π，当[)0,x Îp 时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于0x π≤<，得5444x πππ≤+<(4x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭当[],2x ππ∈时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，由于2x ππ≤≤，得59444x πππ≤+≤4x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭.综上所述可得()f x 的值域为⎡-⎣，故C 选项正确；对于D 选项，当7,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由于74x ππ<<，得5244x πππ<+<，根据余弦函数性质可知()f x 在7,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增.故D 选项正确.故选：ACD10.在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）A.212y c x c x =+ B.12x c y x c +=+C.()12ln y c x c =++ D.21x c y c e+=【答案】ABC 【解析】【分析】将非线性模型，通过变形转化为线性模型，再利用最小二乘法进行线性回归分析．【详解】对于选项A ：21212y y c x c x c x c x =+⇒=+，令y u x=则12u c x c =+；对于选项B ：112122222212121211111x c c c c c x c c y y x x c x c x c y c c c c c c +--+==+⇒-=⇒==⋅++++----令21212111c u u x y c c c c =⇒=⋅+---；对于选项C ：()()112122ln ln y c y c x c y c x c ex c -=++⇒-=+⇒=+即12()cye e x c =⋅+令y u e =则11122()cccu e x c e x c e =⋅+=⋅+⋅；对于选项D ：2112ln ln x c y c ey c x c +=⇒=++令ln u y =则12ln u x c c =++此时斜率为1，与最小二乘法不符．故选：ABC11.已知()1212,x x x x >是方程()2*210x px p --=∈N的两根，数列{}na 满足12a=，22a p =，()1223n n n a pa a n --=+≥.{}n b 满足()1n n b f x =，其中()πsin 2f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则（）A.2342a p =+B.()12nn nf a x b +-=C.存在实数r ，使得对任意的正整数n ，都有n b r <D.不存在实数r ，使得对任意的正整数n ，都有n b r >【答案】ABC 【解析】【分析】先证明1112n n n a x x --=+，22n b -<<，然后对于A ，可直接使用3212a pa a =+验证；对于B ，使用1112n n n a x x --=+和()1n n b f x =即可验证；对于C 和D ，直接使用22n b -<<即可验证.【详解】由于()1212,x x x x >是方程2210x px --=的两根，故122x x p +=，121x x =-.并可解出1x p =+2x p =-用数学归纳法证明：对任意的正整数n ，有1112n n n a x x --=+.当1n =时，由121x x =-知12,0x x ≠，故00112211a x x ==+=+，结论成立；当2n =时，有11212122a p x x x x ==+=+，结论成立；假设当2n k =-，以及1n k =-时结论都成立，这里3k ≥，则33212k k k a x x ---=+，22112k k k a x x ---=+.此时有122k k k a pa a --=+()()223312122k k k k x x x x p ----=+++()()()2233121221k k k k x x x x p ----=+-+-()()()223312121212k k k k x x x x x x x x ----=++-+1221221121221212k k k k k k x x x x x x x x x x ------+++--=1112k k x x --=+，故结论对n k =也成立.综上，对任意的正整数n ，有1112n n n a x x --=+.由于12a =是偶数，且由*p ∈N 知22a p =是偶数，且()1223n n n a pa a n --=+≥，可知每个n a 都是偶数.所以()()()1111122112πππsin sin sin 222nnn n n n n n n n n b f x x x x x x x x a x +⎛⎫⎡⎤⎡⎤===+-=-⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()1121212ππsin π1sin 222n a nn nn n a x x x x ++⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故21πsin 2n n n b x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⋅.而10x p =+>，故11nnx x =.又因为21x p p ==-=≤<，故211nx -<<，从而)221ππππsin sin sin sin2222nn n n x x p x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.所以11πsin 2n n nb x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⋅.构建()πsin ,02f x x x x =-<<，则()cos 10x x f '=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒成立，则()()00f x f >=，可得πsin ,02x x x ><<成立.由于111x p =+≥>，知11x >，1ππ022n x <<.故1111πππsin 2222nn n n nb x x x x ⎛⎫=≤=<⎪⋅⎭⋅⎝，即22n b -<<.对于A ，有()22223121212242a x x x x x x p =+=+-=+，故A 正确；对于B ，有()()()212112nn n nnn n f a x f x x x f x b +-=-==+，故B 正确；对于C ，由于2nb <，故存在实数2r =，使得对任意的正整数n ，都有n b r <，故C 正确；对于D ，由于2n b >-，故存在实数2r =-，使得对任意的正整数n ，都有n b r >，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，先研究数列的各个性质，得到1112n n n a x x --=+和22n b -<<，相比直接通过题目条件判断选项，这样做四个选项将更加容易判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点的直线斜率为53-，则C 的离心率为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】利用斜率计算公式、离心率计算公式即可得出结论.【详解】椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的右顶点(),0a 与上顶点(0,)b 的直线斜率为53-，则53b a -=-,即53b a =，可知其焦点在y 轴上，则C 的离心率为45c e b ====.故答案为：4513.将()()*21n n +∈N个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面ABCD 的中心为O ，过O 的直线l 与平面ABCD 垂直，以O 为顶点，l 为对称轴的抛物线()20y axa =>在01y n ≤≤+的部分可以被完全放入立体图形中.若1n =，则a的最小值为______；若a 有解，则n 的最大值为______.【答案】①.4②.2【解析】【分析】将命题转化为对任意的0,1,2,...,k n =，在1k y k ≤≤+时恒有1122k k x -+≤≤成立，然后研究不等式，再次转化为4a ≥，且()214a n n -≤，最后根据题目要求讨论即可.【详解】抛物线的一部分()20,01y axa y n =>≤≤+可以被完全放入立体图形中，当且仅当对任意的0,1,2,...,k n =，在1k y k ≤≤+时恒有1122k k x -+≤≤成立.即对任意的0,1,2,...,k n =，有12k -≤12k +≤，此即12k -≤()14a k +≥.这等价于4a ≥，且对任意的0,1,2,...,k n =，有12k -≤.由于当0,1k =时必有12k -≤4a ≥，且当2k n ≤≤时，必有12k -≤这等价于4a ≥，且当2k n ≤≤时，必有()241k a k ≥-，即()241ka k ≤-，令1k t =+即4a ≥，且当11t n ≤≤-时，有()241t a t+≤.当2n ≥时，由于()241411t t t t +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于10t >递增，故条件等价于4a ≥，且()241na n ≤-.回到原题.当1n =时，条件等价于4a ≥，所以a 的最小值为4；若a 有解，则等价于1n =或()2441nn ≤-，即()21n n -≤，解得3322n +≤≤.结合n 是正整数，知n 的最大值为2.故答案为：4；2.14.若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.【答案】114[,)207⋃319288[,)42031212⎫⎫⎪⎪⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎬⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭【解析】【分析】分别分析()2434g x ax x a =-++和()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验.【详解】当0a >，设()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2434g x ax x a =-++，则()g x 为开口向上的二次函数，()()()Δ164344322a a a a =-+=--+，①当23a =，()0g x =有唯一解3x =，此时()23πsin π34h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23π3π31ππ,34412t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且均不为3，符合题意；②当2,03a >∆<，()0g x =无解，故()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭区间[]0,5上恰有4个零点，则3π3π5π4π4a ≤-<，解得319420a ≤<，符合题意；③当20,03a <<∆>，()g x 的对称轴20x a =>，且()()52816,274g a g a =-=-，（i ）当47a =，()()250g g ==，此时()0g x =有两个解：2和5，43π3π59ππ,74428t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解2，5不重合，不合题意，（ii ）当4273a <<，且()()250g g =>，此时()0g x =有两个解，且均属于()2,5，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，若()0h x =有2个解，故3ππ5π2π4a ≤-<，解得7112020a ≤<，则a ∈∅，舍去；（iii ）若()0h x =有3个解，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<，若此时()0g x =有2个解，则必须有1个重根，下面检验重根情况：3πππ4a x k -=，则()43=Z 4k x k a +∈，()0h x =的3个解为3711,,444x a a a=，且[]315(1,2,5411a ∈⊄，[]7735(,]2,54211a ∈⊆，[]1111(,5]2,543a ∈⊆，故重根可能为74a ，114a ，34a.令()24340g x ax x a =-++=，023a <<，解得12x x ==当2x 重合，若2114x a =，则114a =（0a >），解得229842,1273a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，满足题意；若274x a =，则74a =，即14-=，无解；若234x a =，34a =，即54-=，无解；当1x 重合，若134x a =，则34a =84127a =<（舍去）；若174x a =，则74a =25384127a -=>，符合题意；若1141x a =，则114a =34-=，无解，舍去；（iv ）当407a <<，()()250g g =<，此时()0g x =有1个解，设为m ，则()1,2m ∈，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<，又407a <<，综合得114207a ≤<，同理（iii ）的分析，[]32115(,1,241611a ∈⊆，[]7735(,]2,54211a ∈⊆，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解不重合，符合题意，综上所述：114207a ≤<或19232020a ≤<或23a =故答案为：114[,)207⋃319288[,)42031212⎫⎫-⎪⎪⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.平面1234,,,αααα两两平行，且i α与1i α+的距离均为,1,2,3d i =.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且112314,,,A B C D αααα∈∈∈∈.（1）求d ；（2）求1α与平面1A BD 夹角的余弦值.【答案】（1）5d =（2）5【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究点面距离计算即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】如图所示，建立以D 为中心的空间直角坐标系，易知()()()()111,0,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1A B C D ，则()()()1110,1,1,1,0,1,0,1,1AB B C CD ==--=-，设平面1α的一个单位法向量为(),,m a b c =，显然(),,m a b c =也是平面234,,ααα的一个法向量，由点到面的距离公式知：111d m AB m B C m CD =⋅=⋅=⋅，或111d m AB m B C m CD =-⋅=-⋅=-⋅，即0,2b c a c b c b c a +=--=-+⇒=-=，又1m ==，所以可得2555a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时12555,0,,555m d m AB ⎛⎫=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，或55a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时1,0,,555m d m AB ⎛⎫=-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 故55d =；【小问2详解】设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，易知()()10,1,1,1,1,0A B DB =-= ，则100n A B y z n DB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11,1y x z =-⇒==-，即()1,1,1n =-- ，设1α与平面1A BD 夹角为θ，则355cos cos ,5n m n m n m θ⋅====⋅，即1α与平面1A BD夹角的余弦值为5.16.斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图画成平行于y '轴（由y 轴顺时针旋转45 得到）的线段，且长度为原来的12，平行于x 轴的线段不变.如图，在直角坐标系xOy 中，正方形ABCD.定义如下图像变换：1T 表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；()2T i 表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的1i i+倍”.（1）记正方形ABCD 经过两次1T 变换后所得图形为2222A B C D ，求22,A B 的坐标；（2）在第i 次复合变换中，将图形先进行一次1T 变换，再进行一次()2T i 变换，1,2,...,i n =.记正方形ABCD 进行n 次复合变换后所得图形为n n n n A B C D .过n A 作n n C D 的垂线，垂足为n H ，若n nn nD H m H C <恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）21288A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，21288B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（2）862,3⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）将题目中涉及的变换通过2*2数表呈现，然后研究复合变换的表示法，再求得结果；（2）先求得n 次复合变换对应的数表，然后计算出,,n n n C D H 的坐标，最后利用数列作为工具将不等式n nn nD H m H C <转化为关于数列不等式的恒成立问题，再通过讨论求出m 的取值范围.【小问1详解】先进行一些准备工作.我们用2*2数表来作为变换的记号.如果一个变换F 将点(),x y 变为点(),ax by cx dy ++，这里,,,a b c d ∈R ，则我们记a b F c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则根据定义可知114204T ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，()21010T i i i ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭.然后，对1111a b U c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，2222a b V c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记“先经过变换V ，再经过变换U ”的变换为UV ，则(),x y 经过变换V 后变为()2222,a x b y c x d y ++，再经过变换U 后变为()()()()()122122122122,a a x b y b c x d y c a x b y d c x d y ++++++，即()()()()()1212121212121212,a ab c x a b b d y c a d c x c b d d y ++++++.这表明1212121212121212a a b c a b b d UV c a d c c b d d ++⎛⎫=⎪++⎝⎭.回到原题，由于1214204T ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，故112222111011444448122220010084444TT ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以(A，B 分别被11T T变成21,288A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，21,288B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】定义数列{}n p 如下：124p =，)12n n p p n -=≥.然后我们用数学归纳法证明：()()()()2121212111...210n p T n TT n T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝.当1n =时，由()12111110010110444410202001100204442p T T ⎛⎫⎛⎛⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭ ⎪⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭知结论成立；假设当n k =时结论成立，即()()()()2121212111...210k p T k TT k T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝.则()211011001011444412022210100001414414T k T k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⋅+⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪+===+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⋅+⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪ +++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以将两个变换复合，就得到()()()()()212121212111...21T k TT k TT k T T TT T +-11402041k p k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪+ ⋅ ⎪⎝+⎝⎭1101442201004141k k p k k p k k ⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪= ⎪++ ⋅+⋅⋅+ ++⎝1204k p ⎛+ = ⎪⎪ ⎪⎝⎭110k p +⎛⎫⎪= ⎝，故结论对1n k =+也成立.综上，对任意的正整数n ，有()()()()2121212111...210n p T n TT n T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝.这表明，(A，)C，()0,0D 在经过变换()()()()2121212111...210n p T n TT n T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝后将得到1n n A ⎫+⎝，)n C ，()0,0n D .这表明直线n n C D 的方程为0y =，从而n H 的坐标是),0n .由{}np 的递推式及1p=可直接得到...n p =+.记q =01q <<，且22...nn p q q nq =+++.对于11x -<<，我们有1211...1n n x x x x x+-=++++-，两边同时对x 求导可得()()()()1212111123...1n nn x n x x x xnx x +---+-=++++-，再同乘x ，就得到()()()()1123211123...1n n n x x n x x x x x nx x ++--+-=++++-.取x q =，就有()()()()11221112...1n n n n q q n q q q q nq p q ++--+-=+++=-.这表明()()()()1121111n n n q q n q q p q ++--+-=-，再进一步进行变换即可得到()()()()()()()111222211111111n n n n n q q n q q n q qq p qq q q ++++--+-+==------.这直接推出()()()()1222211111n n n n q qq qp qq q q +++=--<----.同时，计算可知()()())222221167491111qq ++=====-⎛- ⎝.从而由22...0nn p q q nq =+++>，()2161821618 1.54314949491n qp q ++⨯<=<=<-，知0n <<.故点),0nn H一定在)nC 和()0,0nD 之间，即在线段n n C D 内部.这就得到了1nnn n n n D p p H H C ==-.最后，我们需要求m 的取值范围，使得不等式n n n n D H m H C <恒成立，即1n npm p -<恒成立.由()211qq <-，知()210q q -->.若()21qm q q≥--，则()()()()2222111111111111111n n n n n q p p qm q p p p q q q q q --+==-<-==---------，满足条件；若1n n p m p -<恒成立，则()1n n p m p <-恒成立，首先有1101m pp >>-.从而由()1n n p m p <-恒成立可知1n mp m <+恒成立.由()()()12221111n n n n q qq p q q q +++=-----，知()()()122211111n n n q qq mqm q q +++--<-+--恒成立.即()()()122211111n n n q q qmqm q q ++++>--+--恒成立.假设()2011qm m q ->+-，记()211q mA m q =-+-.由01q <<，知当()212log2qA q n -+>，且()23811q n A q +>-时，有以下结论：①由()212log2qA q n -+>知()2221n q Aq +<-；②由于对0α>，()11n α++展开后的二次项为()212n n α+，故()()()212211124n n n n ααα+++>≥+.从而由()23811qn A q +>-知()()()()()212221211121111111441n n q n q n n q q q A q ++⎛⎫- ⎪⎛⎫-+⎛⎫⎝⎭=+->+=+>⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()1112n n q A q++<-.故此时有()()()12221122111n n n q q A A q mA qm q q ++++<+==--+--，这与()()()122211111n n n q q qmq m q q ++++>--+--恒成立矛盾.所以()2011qmm q -≤+-，故()()211m q m q +≤-，从而()()21m q q q --≥.而()210q q -->，故()21qm q q≥--.综上，不等式n n n n D H m H C <即1nn p m p -<恒成立的充分必要条件是()21q m q q≥--.最后，直接计算得到()22381333118q q q q q q ++====-+---.所以m的取值范围是8,3∞⎡⎫++⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，使用反证法否定()2011qmm q ->+-时，需要找到使得不成立的n 对应的条件，而这需要细致的讨论.如果仅仅通过n q 的“指数衰减”这种直观层面的理解一笔带过，直接“得到”()()122111n n n q q Aqq ++++<--在n 足够大时成立，则从逻辑上是不能走通的，特别是由于此时()111n n q q++-中含有一个单调递增的因式()1n +，直接使用幂函数的性质并不能得到期望的结果，必须细致讨论.17.已知函数()()1122e ,e e e 1x xx x f x m m g x -=+-=++.（1）当0m =时，证明：()exf x -<；（2）当0x <时，()g x t ≥，求t 的最大值；（3）若()f x 在区间()0,∞+存在零点，求m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）()0,1【解析】【分析】（1）求定义域，作商法结合基本不等式比较出()exf x -<；（2）对()g x 求导，变形后，构造()()ln G x x x =-+，求导，再构造()()1H x G x G x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导得到单调性，结合()10H -=得到()g x 的单调性和极值，最值情况，求出答案；（3）令122e0e 1xxm m -+-=+，当0m =时，由于220e 1x >+恒成立，故无解，当0m ≠时，()122e 11e x x m-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()()12e 11e x xF x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0x >，求导得到函数单调性，又x 趋向于0时，()F x 趋向于2，故()2F x >，从而得到22m>，得到答案.【小问1详解】()122e e 1xxf x m m -=+-+定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m =时，()22e 1xf x =+，0x ≠，由于2020,e e 1x x->+>，令()2222e 2e 11e 1e 1e e x xx x x xh x -=÷==≤+++，当且仅当1e e xx=，即0x =时，等号成立，又0x ≠，故()e xf x -<；【小问2详解】当0x <时，()g x t ≥，()1121e e 1e e xx x x x x g x x x-='=-⋅，设()()ln G x x x =-+，则()11G x x'=+，令()()1H x G x G x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()()22111111H x G x G x x x xx ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭'''()2222211112110x x x x x x x x+++=+++==≥，故()()1H x G x G x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递增，又()10H -=，故当1x <-时，()()10H x G x G x ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，即()1G x G x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()11ln ln x x x x ⎛⎫-+<-+ ⎪⎝⎭，故()11e e x x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以11e e xx x x >，则()11e e 0xxx x g x x'-=<在(),1∞--恒成立，当10x -<<时，同理可得11e e xxx x<，则()11e e 0xx x x g x x'-=>在()1,0-上恒成立，故()g x 在(),1∞--上单调递减，在()1,0-上单调递增，故()g x 在=1x -处取得极小值，也是最小值，()112e g --=，故2e t ≥，所以t 的最大值为2e；【小问3详解】0x >，令122e0e 1xxm m -+-=+，当0m =时，220e 1x =+，由于220e 1x>+恒成立，故无解，舍去；当0m ≠时，()122e 11e xxm-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()()12e 11e xx F x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0x >，()()111122222221112e ·1e e 1··e e e ·2e 2e xx x x x xx xF x x x x ---⎛⎫⎛⎫=--+=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，下面证明23e 126xx x x >+++,0x >，令()23e 126xx x s x x =----，0x >，则()2e 12xx s x x =---'，0x >，其中()00s '=，令()()2e 12xx t x s x x ==---'，0x >，则()e 1xt x x ='--，0x >，其中()00t '=，令()()e 1xw x t x x ==--'，0x >，则()e 1xw x '=-，0x >，当0x >时，()e 10xw x ='->，故()()e 1xw x t x x ==--'在()0,∞+上单调递增，故()>0t x '，故()()2e 12xxt x s x x ==---'在()0,∞+上单调递增，故()0s x '>，故()23e 126xx xs x x =----在()0,∞+上单调递增，故23e 1026xx x x ---->，即23e 126xx x x >+++,0x >，则123111e 126xx x x>+++，0x >，则122222222332211212223311111e e e e2xx x xx x x x x x x x x x >++++---=----，222222111111123e e 3e xx x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-≥-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()210,1e x ∈，而13>，故122202211e e x x x x --->，则()0F x '>，故()F x 在()0,∞+上单调递增，又x 趋向于0时，()F x 趋向于2，故()2F x >，故令22m>，解得01m <<，此时()122e 11e xx m -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有解，故存在零点，故m 的取值范围是()0,1.【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.18.设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.（1）求m 的取值范围；（2）已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.【答案】（1）()(),11,-∞-⋃+∞（2）（i ）2m ；（ii ）1d >【解析】【分析】（1）利用直线与双曲线的位置关系结合韦达定理计算即可；（2）（i ）设,A B 及其中点坐标，根据极化恒等式、弦长公式计算即可；（ii ）设PQ 直线方程，结合（i ）的结论知P Q 、既在圆上也在双曲线上，分别联立直线与圆、双曲线方程消去y 得出两个一元二次方程，由P Q 、横坐标均满足方程得出参数关系式，化简求k ，再分类讨论结合判别式、点到直线的距离公式计算范围即可.【小问1详解】联立直线与双曲线方程得2222142202x y x mx m y x m ⎧-=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，则()222Δ164228801m m m m =-+=->⇒>或1m <-，即m 的取值范围为()(),11,∞∞--⋃+；【小问2详解】（i ）设()()1122,,,A x y B x y ，则12122y y x x m +=++，由（1）可知：212124,22x x m x x m +=-=+，则12122,22x x y y m m ++=-=-，设AB 中点为D ，则()2,D m m --，而()222214224PA PB PA PB PA PB PD BA ⎛⎫⎛⎫+-⋅=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222214224QA QB QA QB QA QB QD BA ⎛⎫⎛⎫+-⋅=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以PD QD ==，又由弦长公式可知：12AB x =-==，所以2PD QD m ===，即,P Q 到点()2,m m --的距离为2m ；（ii ）由（i ）知，当2t =时，PD QD ===则P Q 、在圆()()222242x m y m m +++=-上，由题意知直线PQ 斜率存在，不妨设其方程为：()2y k x m m k ⎛=++≠±⎝⎭，与双曲线联立()()()()22222212412120220y k x m mk x km k x m k x y ⎧=++⇒--+-+-=⎨--=⎩，与圆联立()()()()()()222222221222220242y k x m m k x m k k x m k x m y m m ⎧=++⎪⇒+++++++=⎨+++=-⎪⎩，即P Q 、横坐标均满足上述方程，所以()()()()22222224121212122222km k m k k k m k k m k -+-+--==+++++，化简得()()()()()()222222221211222122122k k k k kk k k k k k k +-=⇒++=-+++++，即()()22210kk -+=，解之得k =12k =-，当22k =时，()()222222212121122m k k k m k -+--=-=+++，则()()()2222222122220mk m k m k ++=++⇒-=，显然恒成立，又()()()()22222221Δ22241228233m k k k m k km m ⎡⎤⎡⎤=++-+++=+-⎣⎦⎣⎦，①k =()2123Δ01m m >⇒>⇒>+而由（1）知：1m >，又1>，所以1m >，此时3d ==>=；②k =时，()2123Δ01m m >⇒>⇒>-，同理知m >，所以1d ==>=；当12k =-时，()()2222222121221522m k k k m k -+--==+++，显然()()2222212022m k m k -+-<<++，上式无解，舍去；易知6313>，所以综上有1d >.【点睛】思路点睛：第二问先由极化恒等式得出P 、Q 的轨迹圆，第一小问根据弦长公式计算即可；第二小问分别联立直线与圆、双曲线的方程，利用同解方程得出参数关系式，从而计算出k 的取值，再分类讨论k 的不同取值结合判别式计算即可.19.在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UnionBound （布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound 不等式为：记随机事件1,,n A A ，则()()121nn ii P A A A P A =⋃⋃⋃≤∑ .其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：（1）有n 个不同的球，其中k 个有数字标号.每次等概率随机抽取n 个球中的一个球.抽完后放回.记抽取t 次球后k 个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为()P t ，现在给定常数p ，则满足()P t p ≥的t 的最小值为多少？请用UnionBound 估计其近似的最小值，结果不用取整.这里n 相当大且远大于k ；（2）然而实际情况中，UnionBound 精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件1,,n A A ，则()()()1212112111.k k nk n a a a k a a a nP A A A P A A A -=≤<<<≤⋃⋃⋃=-∑∑ .试问在（1）的情况下，用容斥原理求出的精确的t 的最小值是多少（结果不用取整）？n 相当大且远大于k .（1）（2）问参考数据：当x 相当大时，取111e xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【答案】（1）ln 1k n p ⎛⎫⎪-⎝⎭（2）1ln 1k n p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设事件i A 为抽取t 次未取到()i i k ≤号球，求得()i P A ，再求()P t ，利用布尔不等式及111e xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解不等式即可；（2）由容斥原理得()()2121C 1C t t tk k k k n n n k P t k n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，采用换元法、二项式定理及适当放缩得()1e kt n P t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同取对数解不等式即可.【小问1详解】设事件i A 为抽取t 次未取到()i i k ≤号球，则()1ti n P A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意可知()()()1211111tkk i i n P t P A A A P A k p n =-⎛⎫=-⋃⋃≈-=-≥ ⎪⎝⎭∑ ，而1111e e t t t n tnnn n n n ⋅--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11111e e ln tt t n n n p p t k k p n k k n -----⎛⎫-=-≥⇒≥⇒≥- ⎪⎝⎭，解之得ln 1k t n p ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，即满足()P t p ≥的t 的最小值为ln 1k n p ⎛⎫⎪-⎝⎭；【小问2详解】结合（1）及容斥原理可知：()()()()121211211111kk nk k a a a k a a a nP t P A A A P A A A -=≤<<<≤=-⋃⋃=--∑∑ ()2121C 1C tttk k k k n n n k k n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，①令11tx n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由上可知：et n x -=，易知1t tn k k n n -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于012011220111111C 1C 1C 1C 1kkk k k k k k k k n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由于n 相当大且远大于k ，所以222011C 1C 10kk k k k n n -⎛⎫⎛⎫-+-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故010111111C 1C 11kk k k k k n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11tktkn k x n n -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共10小题）1．设集合A＝{x∈N||x|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣4＜x≤2}C．{0，1，2}D．{1，2}2．设复数z满足i•z＝2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1＜0，则“0＜q＜1”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设x，y满足，则|x+4y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．55．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．6．随机变量X满足P（X＝p）＝p，P（X＝1﹣p）＝1﹣p，随机变量Y＝1﹣X，则（）A．E（X）≥E（Y），D（X）≥D（Y）B．E（X）≥E（Y），D（X）＝D（Y C．E（X）≤E（Y），D（X）≥D（Y）D．E（X）≤E（Y），D（X）＝D（Y）7．已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点（含端点）．P A与平面BCD所成的角为θ1，二面角A﹣EF﹣D的平面角为θ2，二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3≤θ2B．θ3≤θ1≤θ2C．θ1≤θ2，θ1≤θ3D．θ1≤θ3，θ2≤θ38．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|＝|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．39．已知a∈R，函数f（x）＝，则函数y＝f（x）的零点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．310．已知数列{a n}满足：a1＝1，．（1）数列{a n}是单调递减数列；（2）对任意的n∈N*，都有；（3）数列是单调递减数列；（4）对任意的n∈N*，都有．则上述结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题）11．若log3m＝2，则m＝9；＝6．12．《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思，“袤”是南北走向的意思．若有几何体的三视图如图，则该几何体的体积为60，表面积为54+8（不需填单位）．13．已知多项式（2x+a）5＝a0+a1x+…+a5x5+（1+x）2，若a0＝0，则a＝1；若a2＝﹣41，则a1+a2+…+a5＝﹣1．14．在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，AB＝AD＝1，AC＝2，则BC＝；若O是△ABD的外接圆圆心，则BO＝．15．设点P（1，y0），若圆O：x2+y2＝1上存在点Q，使得，则y0的取值范围是[﹣，]．16．地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库，当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有336种．17．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，圆O是△BCD的内切圆，P是圆O上的动点，M为AB的中点，N为边AD上的动点（包含端点），则的最大值为+4．三．解答题（共5小题）18．已知函数．（Ⅰ）若f（x+φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；（Ⅱ）在△ABC中，角A满足f（A）＝1，sin B＝2sin C，a＝2，求△ABC的面积．19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4．（Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和T n＝1﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，试比较R n与T n的大小．21.如图，椭圆：的上顶点A恰为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，B，C是抛物线上的两个动点．（Ⅰ）若点P（2，1），且满足PC⊥CB，求点B横坐标的取值范围；（Ⅱ）若A，B，C三点共线，过坐标原点O的直线l平分BC，且与椭圆交于M，N两点，求△BMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝f（x）（x﹣lnx）﹣x2，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a∈Z，且函数g（x）只有一个零点，求a的最小值．。

浙江省建人高复2021届高三下学期第四次月考第|一卷 (选择题 共40分 )一、选择题：本大题共10小题 ,每题4分 ,共40分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 设i 是虚数单位 ,复数i 21-的虚部是( ▲ )A. -2B. 2C.i 2-D.i 22. 设U R = ,{|1}P x x => ,{|02}Q x x =<< ,那么()U C P Q =( ▲ )A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤C.{|2}x x ≥D.{|12}x x x ≤≥或3.在等比数列{}n a 中 ,n S 表示前n 项和 ,假设3223a S =+ ,4323a S =+ ,那么公比q =( ▲ )4. 如图1 ,函数)2sin()(φ+=x A x f 2||,0(πφ<>A )的图象过点)3,0( ,那么)(x f 的图象的一个对称中|心是( ▲ )A.(,0)3π- B.(,0)6π-C.(,0)6πD.(,0)4π5.设z x y =+ ,其中,x y 满足20200x y x y y m +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩,假设z 的最||大值为12 ,那么z 的最||小值为( ▲ ) A.8-B.6-6.直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于,E F 两点 ,那么ECF ∆的面积为( ▲ )A.23 B.52C.553 D.43 7.在(1 +x )5 +(1 +x )6 +(1 +x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的( ▲ )A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项8.以下说法正确的选项是( ▲ )A. "假设1a > ,那么21a >〞的否命题是 "假设1a > ,那么21a ≤〞B.{}n a 为等比数列 ,那么 "123a a a <<〞是 "45a a <〞的既不充分也不必要条件C.假设,a b R ∈ ,那么1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；D. "tan 3α≠〞必要不充分条件是 "3πα≠〞9. 过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线 ,切点为M ,延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点 ,假设21()2OM OF OP =+ ,那么双曲线的离心率为( ▲ )A.7224-B.7224+C.231+D.251+10．()||x f x xe = ,又)()()(2x tf x f x g -=()t R ∈ ,假设满足()1g x =-的x 有四个 ,那么t 的取值范围是( ▲ )A. 21(,)e e +-∞-B. 21(,)e e ++∞C. 21(,2)e e +-- D. 21(2,)e e +第二卷 (非选择题 共110分 )二、 填空题: 本大题共7小题 ,多空题每题6分 ,单空题每题4分 ,共36分．11.1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ,那么cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ =____▲ __； cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ =____▲ . 12.假设函数()()1log 1n f x x =-++经过的定点F (与n 无关 )恰为抛物线2y ax =的焦点 ,那么点F 的坐标是____ ▲ _____； a =___ ▲ _____.13.设正实数a ,b 满足1a b += ,那么22a b +最||小值是 ▲a b +最||大值是▲ .14.某几何体的三视图如下列图 ,那么它的外表积为 ▲ , 体积为 ▲ .15.一个袋中装有10个大小相同的黑球 ,白球和红球．从袋中任意摸出2个球 ,至||少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球 ,记得到白球的个数为ξ ,那么随机变量ξ的数学期望ξ=E ▲ .16.(cos ,3sin ),(2cos ,3sin ),(1,0)A B C ααββ-是平面上三个不同的点 ,且满足关系,CA BC λ=那么实数λ的取值范围是 ▲17.设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ,且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数 ,那么实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：本大题共5小题 ,共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.(本大题共14分)函数()cos(2)sin26f x x x π=-+.(Ⅰ )求函数()f x 的最||小正周期；(Ⅱ )在ABC ∆中 ,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足(2)cos cos a c B b C -= ,求()2Af 的取值范围.19. (本小题总分值15分 )如图 ,PDCE 为矩形 ,ABCD 为梯形 ,平面PDCE平面ABCD ,90BAD ADC ,12AB ADCD a ,2PD a .(Ⅰ)假设M 为PA 中点 ,求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.20. (本小题总分值15分 )函数ax x x ax x f --++=23)1ln()(．(Ⅰ) 假设32=x 为)(x f y =的极值点 ,求实数a 的值； (Ⅱ) 假设1-=a 时 ,方程xbx x f =---3)1()1(有实根 ,求实数b 的取值范围．21. (本小题总分值15分 )设,x y R ∈ ,向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量 ,假设向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．(Ⅰ )求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(Ⅱ )设椭圆22:1164x y E += ,P 为曲线C 上一点 ,过点P 作曲线C 的切线=+y kx m交椭圆E 于A 、B 两点 ,试证：∆OAB 的面积为定值.22. (本小题总分值15分 )数列}{n a 中 ,41,121==a a ,且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a nn n ．(Ⅰ )求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ )求证：对一切*N n ∈ ,有2221276n a a a +++<．参考答案一、选择题 (共10小题 ,每题4分 ,总分值40分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 )二、填空题 (共7小题 ,多空题每题6分 ,单空题每题4分 ,总分值36分 )11．13 ; 79- 12． (0, -1) ； 14-13．214． 2+ ； 3π15．3216． []1,2-17． 3119,106⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 (共5小题 ,总分值74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )18． (本小题总分值14分 )(Ⅰ )解：化简得())6f x x π+ ,故函数()f x 的最||小正周期为π.(Ⅱ )解：∵ (2a -c )cosB =bcosC 由正弦定理得(2sinA -sinC)cosB =sinBcosC∴2sinAcosB -sinCcosB =sinBcosC ∴2sinAcosB =sin(B +C)∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠ ,∴1cos ,23B B π== ∴203A π<<,())26A f A π=+∈.19． (本小题总分值15分解：(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ,PAC ∆中 ,,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ,所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ ,以D 为空间坐标系的原点 ,分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 ,那么2),(,,0),(0,2,0)P a B a a C a(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-设平面PAD 的单位法向量为1n , 那么可设1(0,1,0)n =设面PBC 的法向量2(,,1)n x y = ,应有22(,,1)(,,2)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即：200ax ay a ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ ,解得：2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,所以222(,22n = ∴1212212cos 2||||12n n n n θ⋅===⨯ 所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为1220． (本小题总分值15分 )解： (Ⅰ )a x x ax a x f --++='231)(21)]2()23(3[22++--+=ax a x a ax x∵32=x 为()f x 的极值点 ,∴2'()03f∴22223()(32)(2)033a a a 且0132≠+a ∴0=a .又当0=a 时 ,'()(32)f x x x ,从而23x为()f x 的极值点成立 . (Ⅱ )假设1-=a 时 ,方程xbx x f =---3)1()1( 可得x b x x x =-+--)1()1(ln 2即322ln )1()1(ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在0>x 上有解 即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域．法一：)(ln 2x x x x b -+= 令2ln )(x x x x h -+=由xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ∵0>x ∴当10<<x 时 ,0)(>'x h ,从而)(x h 在(0,1)上为增函数； 当1>x 时 ,0)(<'x h ,从而)(x h 在(1 , +∞)上为减函数 .∴0)1()(=≤h x h ,而)(x h 可以无穷小 . ∴b 的取值范围为]0,(-∞. 法二：2321ln )(x x x x g -++='xx x x x x g 126621)(2---=-+='' 当6710+<<x 时 ,0)(>''x g ,所以)(x g '在6710+<<x 上递增； 当671+>x 时 ,0)(<''x g ,所以)(x g '在671+>x 上递减； 又0)1(='g ,∴令0)(0='x g ,67100+<<x . ∴当00x x <<时 ,0)(<'x g ,所以)(x g 在00x x <<上递减； 当10<<x x 时 ,0)(>'x g ,所以)(x g 在10<<x x 上递增； 当1>x 时 ,0)(<'x g ,所以)(x g 在1>x 上递减；又当+∞→x 时 ,-∞→)(x g ,)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g当0→x 时, 041ln <+x ,那么0)(<x g ,且(1)0g = 所以b 的取值范围为]0,(-∞.21． (本小题总分值15分 )(Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =++ , (3)b x i y j =-+ ,且||||4a b +=4=∴ 点M (x ,y )到两个定点F 1 (,0 ) ,F 2,0 )的距离之和为4 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆 ,设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-=其方程为2214x y += (Ⅱ )证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,将=+y kx m 代入椭圆E 的方程 ,消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内 ,由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k ,212241614-=+m x x k . 所以12||-=x x 因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ,所以∆OAB 的面积121||||2=-=S m x x== 设2214=+m t k 将=+y kx m 代入椭圆C 的方程 ,可得222(14)8440+++-=k x kmx m由0∆= ,可得2214=+m k 即1=t , 又因为=S ,故=S .22． (本小题总分值15分 ) (Ⅰ )由 ,对2≥n 有11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ,两边同除以n ,得)1(1)1(111---=+n n a n na n n , 即)111()1(111nn a n na n n ---=--+ , 于是 ,)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k , 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ,所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ,2,231≥-=n n a n ． 又1=n 时也成立 ,故*,231N n n a n ∈-=． (Ⅱ )当2≥k ,有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k , 所以2≥n 时 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k .6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时 ,.67121<=a 故对一切*N n ∈ ,有6712<∑=nk k a ．。

姓名，年级：时间：杭州建人高复2020届第二学期模拟测试技术试卷本试题卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。

满分100分,考试时间90分钟第一部分信息技术(共 50 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1、下列有关信息说法错误．．的是（ )A、信息技术从古到今一直都存在并不断发展，如电影、电视技术属于现代信息技术。

B、信息的表示、传播存储必须依附于某种载体,但信息也可以脱离它所反映的事物被存储和传播。

C、信息是看不见摸不着的，我们日常交流用到的语言文字都是信息的载体D、很多人喜欢做自己的个人网站发布信息,网站是由若干个网页组成，网页的基本要素是文字,图形图像和超链接2、使用OCR软件将一篇报纸中的文字识别为文字，后在Word软件中进行排版与编辑，部分编辑界面如图所示：下列说法正确的是( ）A、使用OCR软件识别前的文件格式可能为".txt"B、文档中图片的环绕方式可能为四周型C、文档中共有3处修订D、文中添加批注对象为”h1`”3、下列不属于．．．人工智能技术应用的是( ）A、学校使用人脸识别技术.保障学生安全B、机器人代替人工送外卖C、实验大楼使用声控电梯，无接触选择到达楼层D、在校门口使用红外体温测量仪测量入校者的体温4、使用ACCESS软件创建“图书馆藏书登记”数据表，其设计视图部分界面如图所示。

下列说法正确的是（ )A、“收藏日期”字段可以输入”2020/02/29”B、“编号"字段是自动编号，只有自动编号可以设置为主键C、该数据表添加纪录后，就不能对数据表字段名进行修改D、在该数据表中，"35。

20元"可以是”价格”字段的有效值5、使用UltraEdit软件查看字符内码，界面如图所示,下列分析正确的是（ )A、图中共有10个ASCII码字符B、将字符“V”改成”Z”对应内码的十六进制表示为60HC、字符”10—9”的内码为”3A 2D 39”D、字符“No”的二进制码为"01001110 01101111”6、使用PhotoShop软件为《哪吒之魔童降世》电影中的哪吒与敖丙制作了一张图片，部分界面如图所示：下列说法正确的是（ )A、图中36％表示显示比例，若将36％调整50%，则图片的存储容量变大B、当前状态下，“敖丙”图层与“魔童降世"图层添加了相同的图层样式C、当前状态下,“哪吒”图层一定没有添加滤镜效果D、当前状态下，无法删除“背景"图层7、在Photoshop软件中新建一个图像文件，相关参数如图所示，保存为未经压缩的BMP文件，则其存储容量为( ）A．6。