安徽省淮南二中2018学年高二上学期期中数学试卷理科 含解析

高二期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共60分）1．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）．A．空间任意三点B．空间两条直线C．空间两条平行直线D．一条直线和一个点2．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．3．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则4．在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．5．以,为端点的线段的垂直平分线方程是( )A．B．C．D．6．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有( )A．k1<k3<k2B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3D．k3<k2<k17．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A ．B ．C ．D ． 8．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ． 4B ．C ．D ．9．四面体中，若，则点在平面内的射影点是的( )A ． 外心B ． 内心C ． 垂心D ． 重心 10．已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．（文）平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为( ) A ． 平行 B ． 相交 C ． 可能重合 D ． 平行或相交（理）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面,，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为A ．B ．C ．D ．12．（文）若直线过第一、三、四象限，则（ ）A ． a<0,b<0B ． a<0,b>0C ． a>0,b>0D ． a>0,b<0（理）已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若三点，，在同一直线上，则实数________________．14．正三角形ABC 的边长为，那么△ABC 的平面直观图△的面积为____.15．（文）已知直线l 1：和l 2：平行，则实数a 的值为_______．（理）直线和三条直线交于一点，则___________．16．（文）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为215cm ，则此圆锥的体积为__________ 3cm ． （理）如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．三、解答题17．（10分）如图，四边形ABCD 为梯形，0//,90AD BC ABC ∠=，求图中阴影部分绕A B 旋转一周形成的几何体的表面积和体积.18．（12分）已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，（1）求这个长方体的对角线长。

淮南二中2018届高二文科创新班期中考试数学试卷一、选择题1.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B. 若l ∥,αα∥β，则l β⊂ C. 若l ∥,ααβ⊥，则l β⊥ D. 若,l αα⊥∥β，则l β⊥2.正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边A B 、B C 上，且1A E =，12B F =，将此正方形沿D E 、D F A 、C 重合于点P ，则三棱锥P D E F-的体积是A. B C 3. ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+1254．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ）A ．1BC ．2 D ．25.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）A. 0B. 1C. 2D. 36.若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞7.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 8.已知函数13()ln 144f x x x x=-+-，g(x)＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)，则实数b 的取值范围是（ ）A ．17(2,]8 B ．[1，＋∞] C ．17[,)8+∞ D ．[2，＋∞] 9.若对可导函数)(x f ，),(x g 当]1,0[∈x 时恒有)()()()(x g x f x g x f '⋅<⋅'，若已知βα,是一锐角三角形的两个内角，且βα≠，记),0)()((/)()(≠=x g x g x f x F 则下列不等式正确的是（ ）A ．)(cos )(cos βαF F >B ．)(sin )(sin βαF F >C ．)(cos )(sin βαF F <D ．)(cos )(cos βαF F <10.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1） 二、填空题11.已知四面体ABC P -的外接球的球心O 在AB 上，且⊥PO 平面ABC , AB AC 32=,若四面体ABC P -的体积为23，则该球的体积为_____________ 12.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .13.函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=x f x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S 。

高二数学试卷第页，共2页1淮南二中2018~2019学年度第一学期期中质量检测高二数学试题（理科）命题：高二数学命题中心组（考试时间：120分钟，试题满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号（智学号）；2.在答题卷上答题时，选择题．．．必须用2B ．．铅笔．．将对应题号的答案涂黑，非选择题．．．．必须用0.5mm 黑色墨水签．．．．．字笔．．在指定区域作答．．．．．．．，超出规定区域作答无效．．．．．．．．．．；3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存。

第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的。

1．已知命题:“若0,0,0≥≥≥xy y x 则”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．42．设命题032:2<-+x x p ，35:<≤-x q ,则命题p 成立是命题q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p :平行四边形的对角线互相垂直且平分，命题q :在ABC ∆中，若30>A ，则21sin >A ，则下列命题为真命题的是（）A ．qp ∧⌝)(B ．)()(q p ⌝∧⌝C ．)(q p ⌝∧D ．qp ∨4．设n m ,是两条不同的直线,βα，为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确．．．的是()A ．n m n m ⊥⊥⊥⊥，则且βαβα,B ．n m n m //,//，则且βαβα⊥⊥C ．nm n m ⊥⊥，则且βαβα////,D ．nm n m ////,，则且βαβα⊥⊥5．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点分别是12F F ，，4=b ，离心率为53，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则三角形2ABF 的周长为（）A．10B．12C．16D．206．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+（常数0a >），则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．椭圆或直线7．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m =()A ．41B ．21C ．2D ．48．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A ．π）（152++B ．π）（1252++C ．π）（21252++D ．π）（2125+9．以椭圆141622=+y x 内的点)11(，M 为中点的弦所在直线的方程为（）A.034=--y x B.034=+-y x C.054=-+y x D.05-4=+y x 10．球面上有三点C B A ,,组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中1086===AC BC AB ，，，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A ．3400πB ．π150C ．3500πD ．7600π11．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，）（82,1 =i P i 是上底面上其余的八个点，则）（82,1 =⋅i AP AB i 的不同值的个数为（）A ．8B ．4C ．2D ．112．如图，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（）高二数学试卷第页，共2页2A ．13B ．24C ．12D ．23第II 卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

第1页，共17页安徽省淮南二中2018~2019学年度第一学期10月质量检测高二数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题）1.已知，2，，且，则 ⃗a =(2,‒1,2)⃗b=(‒4,x)⃗a //⃗b x =()A. 5B. 4C.D. ‒4‒5【答案】C 【解析】解：，2，，且，∵⃗a=(2,‒1,2)⃗b=(‒4,x)⃗a //⃗b ，∴2‒4=‒12=2x解得．x =‒4故选：C ．利用向量平行氕的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知m 、n 是不同的直线，、是不重合的平面，则下列命题正确的是 αβ()A. 若，，，则α//βm ⊂αn ⊂βm//nB. 若，，，，则m ⊂αn ⊂αm//βn//βα//βC. 若，，，则a ⊂αb ⊂βa//b α//βD. m 、n 是两异面直线，若，，且，，则m//αm//βn//αn//βα//β【答案】D【解析】解：由m 、n 是不同的直线，、是不重合的平面，知：αβ在A 中，若，，，则m 与n 平行或异面，故A 错误；α//βm ⊂αn ⊂β在B 中，若，，，，则与平行或相交，故B 错误；m ⊂αn ⊂αm//βn//βαβ在C 中，若，，，则与平行或相交，故C 错误；a ⊂αb ⊂βa//b αβ在D 中，m 、n 是两异面直线，若，，且，，m//αm//βn//αn//β则由面面平行的判定定理得，故D 正确．α//β故选：D ．在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，与平行或相交；在C 中，与平行或相交；αβαβ在D 中，由面面平行的判定定理得．α//β本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EH 、FG 交于一点P ，则 ()A. P一定在直线BD上B. P一定在直线AC上C. P在直线AC或BD上D. P既不在直线BD上，也不在AC上【答案】A∵【解析】解：点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直线，∴E∈H∈EH⊂平面ABD，平面ABD，可得直线平面ABD，∵点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，∴F∈H∈FG⊂平面BCD，平面BCD，可得直线平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，∵ABD∩BCD=BD平面平面，∴P∈点直线BD，故选：A．根据题意，可得直线EH、FG分别是平面ABD、平面BCD内的直线，因此EH、FG.的交点必定在平面ABD和平面BCD的交线上而平面ABD交平面BCD于BD，由此即可得到点P在直线BD上本题给出空间四边形，判断直线EH、FG的交点与已知直线BD的位置关系，着重考查了平面的基本性质和空间直线的位置关系判断等知识，属于基础题．ABCD‒A1B1C1D1B1C1.4.正方体中，P、Q、R分别是AB、AD、的中点那么，正方()体的过P、Q、R的截面图形是 A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形【答案】D【解析】解：通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D．学生复原图形，可以连接各边的中点，则可以确定图形的形状．本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力．()5.某几何体的三视图均为直角三角形及其尺寸如图()所示，则该几何体的体积为 第3页，共17页A. 16B. 13C.12D. 1【答案】B【解析】解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1，该几何体的体积为∴V =13Sℎ=13×12×1×2×1=13故选：B ．先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积．解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．6.如图，三棱柱中，侧棱底面，ABC ‒A 1B 1C 1AA 1⊥A 1B 1C 1底面三角形是正三角形，E 是BC 中点，则下列A 1B 1C 1叙述正确的是 ()A. 与是异面直线CC 1B 1EB. 平面AC ⊥ABB 1A 1C. AE ，为异面直线，且B 1C 1AE ⊥B 1C 1D. 平面A 1C 1//AB 1E【答案】C【解析】解：A 不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；CC 1B 1E B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在平面；AC ⊥ABB 1A 1C 正确，因为AE ，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；B 1C 1D 不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A A 1C 1AB 1E A 1C 1平面不正确； 1C 1//AB 1E故选：C ．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．7.如图，在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足，，点G 是线段MN 的中点，用向⃗OM=2⃗MA ⃗BN =⃗NC 量，，表示向量应为 ⃗OA ⃗OB ⃗OC ⃗OG ()A. ⃗OG =13⃗OA+14⃗OB+14⃗OCB. ⃗OG =13⃗OA‒14⃗OB+14⃗OCC. ⃗OG=13⃗OA‒14⃗OB‒14⃗OCD. ⃗OG=13⃗OA+14⃗OB‒14⃗OC【答案】A【解析】解：在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，∵且满足，，点G 是线段MN 的中点，⃗OM=2⃗MA ⃗BN=⃗NC ∴⃗OG =⃗OM +⃗MG=23⃗OA +12⃗MN =23⃗OA +12(⃗MA +⃗AN )=23⃗OA +12[13⃗OA +12(⃗AB +⃗AC )]．=23⃗OA +16⃗OA +14(⃗OB ‒⃗OA )+14(⃗OC ‒⃗OA )=13⃗OA +14⃗OB +14⃗OC故选：A ．利用空间向量加法法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8.已知两异面直线a ，b 所成的角为，过空间一点P 作直线，使得l 与a ，b 的夹80∘角均为，那么这样的直线有 条50∘()A. 1B. 2C. 4D. 3【答案】D【解析】解：在空间取一点P ，经过点P 分别作，，设直线、确定平面，α第5页，共17页当直线PM 满足它的射影PQ 在、所成角的平分线上时，PM 与所成的角等于PM 与所成的角因为直线a ，b 所成的角为，得、所成锐角等于80∘80∘所以当PM 的射影PQ 在、所成锐角的平分线上时，PM 与、所成角的范围是．[40∘,90∘)这种情况下，过点P 有两条直线与，所成的角都是50∘当PM 的射影PQ 在、所成钝角的平分线上时，PM 与、所成角的范围是．[50∘,90∘)这种情况下，过点P 有且只有一条直线即时与，所成的角都是(PM ⊂α)50∘综上所述，过空间任意一点P 可作与a ，b 所成的角都是的直线有3条50∘故选：D ．在空间取一点P ，经过点P 分别作，，设直线、确定平面由异面直线α.所成角的定义，得、所成锐角等于，经过P 的直线PM 的射影P 在、所80∘成锐角的平分线上时，存在两条直线与，所成的角都是，当PM 的射影PQ 在50∘、所成钝角的平分线上时，存在1条直线与，所成的角都是，由此可得50∘本题答案．本题给出两条直线所成角为，求过空间一点P 可作与a ，b 所成的角都是的直80∘50∘线的条数着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于中档题．.9.平面内有n 个点无三点共线到平面的距离相等，能够推出，三个平面将α()βα//β空间分成m个平面，则的最小值为 nm ()A.B. C.D.37575838【答案】C【解析】解：不在同一条直线三点确定一个平面，∵至少有三个．∴当有三个点时，如果在平面的异侧，则不成立；β当四个点时，如果在平面的异侧，且均平行于平面，也不成立，ββ当有五个点时成立．“这n 个点到平面的距离均相等”是“”的充要条件，则n 的最小值为5，∴βα//β三个平面将空间分成m 个平面，m 的取值为4，6，7，8，即m 的最大值为8，可得的最小值为．n m 58故选：C ．讨论平面内有n 个点，，不成立，进而得到n 的最小值为5，再求m 的最αn =3n =4大值，即可得到所求最小值．本题考查满足条件的n 的最小值的求法以及平面分空间的个数，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.如图，在三棱锥中，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，平面ABC ，P ‒ABC PA ⊥，，，PC 与DE 所成的角为，PD 与平面ABC 所∠BAC =90∘AB ≠AC AC >AD α成的角为，二面角的平面角为，则，，的大小关系是 βP ‒BC ‒A γαβγ()A. B. C. D. α<β<γα<γ<ββ<α<γγ<β<α【答案】A【解析】解：如图所示：、E 分别是BC 、AB 的中点，∵D 与DE 所成的角为，即∴DE//AC ∴PCα∠PCA平面ABC ，∵PA ⊥与平面ABC 所成的角为，即∴PD β∠PDA 过点A 作，垂足为Q ，连接PQ ，AQ ⊥BC 平面ABC ，∵PA ⊥根据三垂线定理可得：二面角的平面角为，即，∴P ‒BC ‒A γ∠PQA 则AC >AD >AQ在，，中：，∴Rt △PAC Rt △PAD Rt △PAQ tan∠PCA <tan∠PDA <tan∠PQA 即tanα<tanβ<tanγ又，，∵αβγ∈(0,π2)故选：A ．∴α<β<γPC 与DE 所成的角为，这是异面直线所成的角，需把这两条直线平移到一起去；PD α与平面ABC 所成的角为，这是直线与平面所成的角，需找到平面的垂线，如：β平面ABC ；二面角的平面角为，关键是找到此二面角的平面角，构造PA ⊥P ‒BC ‒A γ平面角常用的方法就是三垂线定理．本小题考查空间中的线面关系，异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角、解第7页，共17页三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．11.如图，在长方体中，，，ABCD ‒A 1B 1C 1D 1AA 1=6AB =3，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱上，且满足AD =8AA 1，P 是侧面四边形内一动点含边界，AN =2NA 1ADD 1A 1()若平面CMN ，则线段长度的取值范围是 C 1P//C 1P ()A. [17,5]B. [4,5]C. [3,5]D. [3,17]【答案】A【解析】解：取中点E ，在上取点F ，使，A 1D 1DD 1D 1F =2DF 连结EF 、E 、，C 1C 1F 则平面平面，CMN//C 1EF 是侧面四边形内一动点含边界，平面CMN ，∵ADD 1A 1()C 1P//线段EF ，∴P ∈当P 与EF 的中点O 重合时，线段长度取最小值PO ，∴C 1P 当P 与点E 或点F 重合时，线段长度取最大值PE 或PF ，C 1P 在长方体中，，，，∵ABCD ‒A 1B 1C 1D 1AA 1=6AB =3AD =8点M 是棱AD 的中点，点N 在棱上，且满足，AA 1AN =2NA 1，，∴C 1P max =C 1E =C 1F =32+42=5EF =42．C 1P min =PO =C 1E 2‒EO 2=25‒(22)2=17线段长度的取值范围是．∴C 1P [17,5]故选：A ．取中点E ，在上取点F ，使，连结EF 、E 、，则平面A 1D 1DD 1D 1F =2DF C 1C 1F 平面，由此推导出线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段长CMN//C 1EF P ∈C 1P 度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段长度取最大值PE 或PF ，由此C 1P 能求出线段长度的取值范围．C 1P 本题考查线段长取值范围的求法，突出对运算能力、化归转化能力、空间想象的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.三棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，平面BCD ，，A ‒BCD AB ⊥BC=BD =2，则球O 的表面积为 AB =2CD =43()A. B. C. D. 16π32π60π64π【答案】D【解析】解：三棱锥的所有顶点都在球A ‒BCD O 的表面上，平面AB ⊥BCD ，，，BC =BD =2AB =2CD =43，∴cos∠CBD =BC 2+BD 2‒CD 22×BC ×BD=4+4‒122×2×2=‒12，∴∠CBD =120∘取CD 中点E ，连结BE ，过球O 的球心O 作平面BCD ，OF ⊥交BE 延长线于F ，则，，OF =12AB =23OB =OC =R ，∴BF 2+OF 2=CE 2+EF 2+OF 2，∴(1+EF )2=(3)2+EF 2解得，EF =1，∴R =(1+1)2+(23)2=4球O 的表面积为．∴S =4π×42=64π故选：D ．由余弦定理求出，取CD 中点E ，连结BE ，过球O 的球心O 作平∠CBD =120∘OF ⊥面BCD ，交BE 延长线于F ，则，，由此求出，OF =12AB =23OB =OC =R EF =1，由此能求出球O 的表面积．R =4本题考查球的表面积的求法，考查三棱锥及其外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平行六面体中，，，，，ABCD ‒A 1B 1C 1D 1AB =1AD =2AA 1=3∠BAD =90∘，则的长为______．∠BAA 1=∠DAA 1=60∘AC 1【答案】23【解析】解：由题意，如图，作底面A 1O ⊥于O ，作OE 垂直AB 于E ，OF 垂直AD 于F ，连接，，A 1F A 1E 由于，，故有∠BAA 1=∠DAA 1=60∘≌，即△A 1FA △A 1EA A 1F =A 1E 从而有≌，即有，△A 1FO △A 1EO OF =OE 由作图知，O 在角DAB 的角平分线上，又底面是矩形，故角角，DAO =BAO =45∘又，，，AB =1AD =2AA 1=3，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘第9页，共17页，于是有∴A 1F =A 1E =332AE =AF =32AO =322在直角三角形中，解得A 1OA A 1O =322在图中作垂直底面于H ，作HR 垂直DC 延长线与R ，由几何体的性质知，C 1H ，HR =CR =32A 1O =C 1H =322连接AH ，得如图的直角三角形ASH ，直角三角形，由已知及上求解得，AHC 1AS =52SH =72故答∴AC 21=AH 2+C 1H 2=AS 2+SH 2+C 1H 2=254+494+184=924=23∴AC 1=23案为23观察图形及题设条件，可构造出与有关的三角形然后利用三角形求此线段的长度，AC 1由题设条件可以证出在底面上的射影是角BAD 的角平分线，由几何体的几何特征AA 1知，在底面上的射影在BC ，DC 的所组成的角的角平分线上，且此垂足到C 的距CC 1离与点在底面的垂足O 到A 的距离相，故可依据题设条件求出点O 到AB ，AD 的距A 1离，即求得图中HR ，CR 的长度，补出如图的图形，在直角三角形中即可求出的AC 1长本题主要考查了体对角线的求解，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，本题解题的关键是有着较强的空间感知能力以及根据题设条件构造图形的能力，本题是一个创造型题，作出恰当的辅助线对求解本题很重要，本题是立体几何中综合性较强的题，解题中用到了间接法的技巧，通过求点到底面的距离求出点到底面的距离A 1C 114.已知空间三点2，，5，，3，，则以AB ，AC 为邻边的平行A(0,3)B(2,2)C(‒2,6)四边形的面积为______．【答案】65【解析】解：3，，1，．⃗AB =(2,‒1)⃗AC =(‒2,3)，，∴⃗AB ⋅⃗AC=‒4+3‒3=‒4|⃗AB |=22+32+(‒1)2=14．|⃗AC|=(‒2)2+12+32=14．∴cos∠BAC =⃗AB ⋅⃗AC|⃗AB|⋅|⃗AC|=‒414×14=‒27．∴sin∠BAC =1‒cos 2∠ABC =357以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积∴．S =|⃗AB|⋅|⃗AC|⋅sin∠BAC =14×14×357=65故答案为：．653，，1，可得，，可得⃗AB=(2,‒1)⃗AC =(‒2,3).⃗AB ⋅⃗AC =‒4|⃗AB ||⃗AC |.可得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的cos∠BAC =⃗AB ⋅⃗AC|⃗AB|⋅|⃗AC|.sin∠BAC =1‒cos 2∠ABC .面积．S =|⃗AB|⋅|⃗AC|⋅sin∠BAC本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、、，则αβγ______cos 2α+cos 2β+cos 2γ=【答案】2【解析】解：设长方体中三边为ABCD ‒A 1B 1C 1D 1a 、b 、c ，如图对角线与过A 点的三个面ABCD ，B 、AC 1AA 1B 1所成的角分别为，，，AA 1D 1D αβγ，，，∴cosα=ACAC1cosβ=AB 1AC1cosγ=AD 1AC1则a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2a 2+b 2+c2=2∴，cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2故答案为：2．跟据题意知，分别找出对角线与面所成的角为，与面所成的角AC 1AB 1∠C 1AB 1=αAD 1为；与面AC 所成的角为；，并且求出它们的余弦值，可求∠C 1AD 1=β∠C 1AC =γ的值．cos 2α+cos 2β+cos 2γ考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．16.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE 、DE 的中点将.沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所△ABC 成角的度数为______．【答案】解：将沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，△ABC I 、J 分别为BE 、DE 的中点，则侧棱，IJ//故GH与IJ 所成角与侧棱与GH 所成的角相等；AD 为折成三棱锥的侧棱，因为，∠AHG =60∘故GH 与IJ 所成角的度数为，60∘故答案为：．60∘第11页，共17页【解析】将沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，I ，J 分别为BE 、DE 的中点，则△ABC 侧棱，故GH 与IJ 所成角与侧棱与GH 所成的角相等为折成三棱锥的侧棱，则IJ//.AD GH 与IJ 所成角的度数为．60∘此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算解题时要认真审题，仔细解答，注意等价.转化思想的合理运用．三、解答题（本大题共6小题）17.如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB 交CD 于O ，且，，P 为AB ⊥CD SO =OB =2SB 的中点．求证：平面PCD ；(1)SA//求圆锥SO 的表面积；求圆锥SO 的体积．(2)求异面直线SA 与PD 所成角的正切值．(3)【答案】证明：连结PO ，分(1) (1)、O 分别为SB 、AB 的中点，，分∵P ∴PO//SA …(2)平面PCD ，SA 不包含于平面PCD ，PO ⊂平面分表述缺漏扣1分∴SA//PCD.…(4)()解：，母线，分，(2)r =2l =SB =22…(5)，分S 侧=πrl =42π…(6)圆锥SO 的表面积∴，S 表=S 侧+S 底=42π+π⋅22=4(2+1)π圆锥SO 的体积分V =13S 底×SO =13×4π×(22)2‒22=8π3.…(8)解：，为异面直线SA 与PD 所成角分(3)∵PO//SA ∴∠DPO .…(9)，，，平面SOB ，分∵CD ⊥AB CD ⊥SO AB ∩SO =O ∴CD ⊥…(10)在中，，，分∴OD ⊥PO.Rt △DOP OD =2OP =12SB =2…(11)，∴tan∠DPO =ODOP =22=2异面直线SA 与PD 所成角的正切值为分∴ 2 (12)【解析】连结PO ，由三角形中位线定理得，由此能证明平面PCD ．(1)PO//SA SA//由，母线，由圆锥SO 的表面积，圆锥SO 的体积(2)r =2l =SB =22S 表=S 侧+S 底，由此能求出结果．V =13S 底×SO由，得为异面直线SA 与PD 所成角，由此能求出异面直线SA 与PD (3)PO//SA ∠DPO 所成角的正切值．本题考查直线与平面平行的证明，考查圆锥的表面积和体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)BC⊥求证：平面PAC；(2)△AOC QG//设Q为PA的中点，G为的重心，求证：平面PBC．(1)【答案】证明：由AB是圆O的直径，得AC⊥BC (2)分PA⊥BC⊂由平面ABC，平面ABC，得PA⊥BC (4)分PA∩AC=A PA⊂AC⊂又，平面PAC，平面PAC，BC⊥PAC (7)所以平面分(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，△AOC (8)由G为的重心，得M为AC中点，分QM//PC (9)由Q为PA中点，得分OM//BC (11)又O为AB中点，得分QM∩MO=M QM⊂因为，平面QMO．MO⊂BC∩PC=C BC⊂PC⊂平面QMO，，平面PBC，平面PBC，QMO//PBC (13)所以平面平面分QG⊂QG//PBC (14)因为平面QMO，所以平面分(1)AC⊥BC PA⊥BC BC⊥【解析】推导出，，由此能证明平面PAC．(2)QM//PC OM//BC联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，推导出，，从而平QMO//QG//面平面PBC，由此能证明平面PBC．本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．P‒ABC AC⊥BC AC=BC=2PA=PB=PC=319.已知三棱锥中，，，，O是AB中点，E是PB中点．(1)PAB⊥证明：平面平面ABC；(2)求点B到平面OEC的距离．第13页，共17页【答案】证明：连结PO ，在中，(1)△PAB ，O 是AB 中点，PA =PB ，∴PO ⊥AB 又，，∵AC =BC =2AC ⊥BC ．∴AB =22,OB =OC =2，，，∵PA =PB =3∴PO =7PC 2=PO 2+OC 2．∴PO ⊥OC 又，平面ABC ，平面ABC ，AB ∩OC =O AB ⊂OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面PAB ，平面平面ABC ．∵PO ⊂∴PAB ⊥解：是的中位线，．(2)∵OE △PAB ∴OE =32是AB 中点，，．∵O AC =BC ∴OC ⊥AB 又平面平面ABC ，两平面的交线为AB ，平面PAB ，PAB ⊥∴OC ⊥平面PAB ，．∵OE ⊂∴OC ⊥OE 设点B 到平面OEC 的距离为d ，则，V B ‒OEC =V E ‒OBC ，∴13×S △OEC ⋅d =13×S △OBC ×12OP 点B 到平面OEC 的距离：∴．d =S △OBC ⋅12OP S △OEC=12OB ⋅OC ⋅12OP 12OE ⋅OC=143【解析】连结PO ，推导出，，从而平面ABC ，由此(1)PO ⊥AB AC ⊥BC PO ⊥OC.PO ⊥能证明平面平面ABC ．PAB ⊥推导出，，从而平面PAB ，进而设点B 到平面OEC (2)OE =32OC ⊥AB OC ⊥OC ⊥OE.的距离为d ，由，能求出点B 到平面OEC 的距离．V B ‒OEC =V E ‒OBC 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20.如图，已知直二面角，，，α‒PQ ‒βA ∈PQ B ∈α，，，直线CA 和平面所C ∈βCA =CB ∠BAP =45∘α成的角为．30∘证明：；(1)BC ⊥PQ 求二面角的余弦值．(2)B ‒AC ‒P【答案】解：在平面内过点C 作于点O ，连接OB ．(1)βCO ⊥PQ ，，∵α⊥βα∩β=PQ，∴CO ⊥α又，．∵CA =CB ∴OA =OB 而，，，∠BAO =45∘∴∠ABO =45∘∠AOB =90∘从而，又，BO ⊥PQ BO ∩OC =O 平面OBC ．∴PQ ⊥又平面OBC ，BC ⊂故．PQ ⊥BC 由知，，(2)(1)BO ⊥PQ 又，，，．α⊥βα∩β=PQ BO ⊂α∴BO ⊥β过点O 作于点H ，连接BH ，OH ⊥AC 由三垂线定理知，．BH ⊥AC 故是二面角的平面角．∠BHO B ‒AC ‒P 由知，，是CA 和平面所成的角，则，(1)CO ⊥α∴∠CAO α∠CAO =30∘在，则，．Rt △AEM AO =3OH =AO ⋅sin 30∘=32在中，，Rt △OAB ∠ABO =∠BAO =45∘，∴BO =AO =3于是在中，．Rt △BOH cos∠BHO =HO BH=3(3)2+(32)2=55故二面角的余弦值为B ‒AC ‒P 55【解析】在平面内过点C 作于点O ，连接利用面面垂直的性质可得：(1)βCO ⊥PQ OB.，由，可得从而，利用线面垂直的判定可得平CO ⊥αCA =CB OA =OB.BO ⊥PQ PQ ⊥面再利用线面垂直的性质定理即可得出．OBC.由知，，利用面面垂直的性质可得过点O 作于点H ，(2)(1)BO ⊥PQ BO ⊥β.OH ⊥AC 连接BH ，由三垂线定理知，可得是二面角的平面角再利用直角三角∠BHO B ‒AC ‒P .形的边角关系即可得出．本题考查线面与面面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、二面角、直角三角形的边角关系，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.直三棱柱中，底面ABC 为等腰直角三ABC ‒A 1B 1C 1角形，，，，M 是侧棱AB ⊥AC AB =AC =2AA 1=4上一点，设．CC 1MC =ℎ若，求h 的值；(1)BM ⊥A 1C 若，求直线与平面ABM 所成的角的正弦(2)ℎ=2BA 1值．第15页，共17页【答案】解：以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、分别为x 、y 、z 轴建立空间(1)AA 1直角坐标系，如图所示，则0，，2，，0，，2，，B(2,0)M(0,ℎ)A 1(0,4)C(0,0)2，，2，⃗BM=(‒2,ℎ)⃗A 1C=(0,‒4)由得，，即BM ⊥A 1C ⃗BM ⋅⃗A 1C =02×2‒4ℎ=0解得．ℎ=12，，0，，2，，(2)M(0,2)⃗AB =(2,0)⃗AM =(0,2)0，，⃗BA 1=(‒2,4)设平面ABM的一个法向量为y ，，⃗n=(x,z)则，取，得1，，{⃗n ⋅⃗AB=2x =0⃗n ⋅⃗AM=2y +2z =0y =1⃗n =(0,‒1)设直线与平面ABM 所成的角为，BA 1θ则，sinθ=|⃗BA 1⋅⃗n||⃗BA 1|⋅|⃗n|=420⋅2=105直线与平面ABM 所成的角的正弦值为．∴BA 110【解析】以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角(1)AA 1坐标系，利用，能求出h 的值；⃗BM⋅⃗A 1C=0求出平面ABM 的一个法向量，利用夹角公式，求直线与平面ABM 所成的角．(2)BA 1本题考查棱柱的结构特征，直线与平面所成的角，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面平面ABCD ，，PDCE ⊥∠BAD =∠ADC =90∘，．AB =AD =12CD =1PD =2Ⅰ若M 为PA 中点，求证：平面MDE ；()AC//Ⅱ求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值．()Ⅲ在PC 上是否存在一点Q ，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为()．π3【答案】Ⅰ证明：连结PC ，交DE 与N ，连结MN ，()中，M ，N 分别为两腰PA ，PC 的中点，∵△PAC 因为面MDE ，又面MDE ，所以∴MN//ACMN ⊂AC⊄平面MDEAC//Ⅱ解：，，()∵∠ADC =90∘∴AD ⊥DC 又平面ABCD ，平面平面ABCD ，AD ⊂PDCE ∩平面PDCE ，∴AD ⊥又平面PDCE ，．PD ⊂∴AD ⊥PD 以D 为空间坐标系的原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则，，P(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0)⃗PB =(1,1,‒2),⃗BC (‒1,1,0)⃗PE =⃗DC=(0,2,0)设面PBC 的法向量y ，，应有⃗m=(x,1){⃗m ⋅⃗PB=(x,y,1)⋅(1,1,‒2)=0⃗m ⋅⃗BC=(x,y,1)⋅(‒1,1,0)=0即：{x +y ‒2=0‒x +y =0解得：，所以{x =22y =22⃗m=(22,22,1)设PE 与PBC 所成角的大小为，θ∵⃗PE=(0,2,0)，∴sinθ=|cos <⃗PE,m >|=|⃗m ⋅⃗PE||⃗m|⋅|⃗PE|=22×2=12Ⅲ解：设()⃗DQ=⃗DP+λ⃗PC=(0,0,2)+λ(0,2,‒2)=(0,2λ,2‒2λ)设平面QAD 的法向量为，⃗DA=(1,0,0)⃗n=(x',y',1){⃗n ⋅⃗DQ=(x',y',1)⋅(0,2λ,2‒2λ)=0⃗n ⋅⃗DA=(x',y',1)⋅(1,0,0)=0即：{2λy'+2‒2λ=0x'=0解得：，所以{x'=0y'=2(λ‒1)2λ⃗n=(0,2(λ‒1)2λ,1)面PBC 的法向量，平面QAD 与平面PBC所成锐二面角的大小为．∵⃗m=(22,22,1)π3，∴|cos <⃗m ,⃗n>|=|⃗m ⋅⃗n||⃗m|⋅|⃗n|=|λ‒1+1|(2(λ‒1)2λ)2+1×2=12所以，PC 上存在点Q 满足条件，Q 与P 重合，或∴λ=0或23PQ =23PC【解析】Ⅰ若M 为PA 中点，证明，利用线面平行的判定，即可证明()MN//AC 平面MDE ；AC//Ⅱ建立空间直角坐标系，确定面PBC 的法向量，即可求直线PE 与平面PBC 所成角()第17页，共17页的正弦值；Ⅲ确定平面QAD 的法向量，利用平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为，()π3结合向量的夹角公式，即可求得结论．本题考查线面平行，考查线面角，考查面面角，考查空间向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定平面的法向量是关键．。

2017—2018学年度第一学期期中考试高 二 数学（理) 试 题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 互相垂直的充分必要条件是( ） A 。

12121-=B B A A B.12121=B B AA C.02121=+B B A A D 。

02121=-B B A A 2。

数列{}n a 是等差数列，19,472==a a ，则=31a （ ） A.91 B 。

88C 。

94D 。

853.下列命题中，正确的是 （ ） A 。

若,,d c b a >>则bd ac > B.若,22cbc a <则b a < C.若bd ac >,则b a < D.若,,d c b a >>则d b c a ->- 4.在ABC ∆中，若),())((c b b c a c a +=+-则=∠A （ ） A 。

090 B.060C.0120 D 。

01505.已知非零实数b a ,满足b b a a ,,422+成等比数列，则ab 的取值范围是( ） A.B 。

C.D.6。

不等式0)(2>--=c x ax x f 的解集为{}12|<<-x x ，则函数)(x f y -=的图象为图中的（ )7。

已知实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-+≥+-079017701y x y x y x ,则y x z 64-=的最小值为 （ ）A 。

33-B 。

10- C.8- D 。

10 8.设数列{}n b 满足：)1(11,2111≥-+==+n b b b b nnn ，则=2018b （ ) A.3 B 。

7 C 。

2018 D.2017 9。

设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值为（ ）A 。

淮南二中2016-2017年高二第一学期期中考试理科数学试卷一、选择题（本题共10道小题,每题4分共40分）1．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点， 如果EF ，GH 交于一点P ，则( )A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 一定在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 2．如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点， 则直线PQ 与RS 是异面直线的图是( )3．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与 AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)4．用一个半径为2 cm 的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cm C.12 cm D.32cm5.若空间中四条两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥， 则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定 6．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．67.如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,其正视图如图所示, 则此三棱柱侧视图的面积为( )(A)2错误！未找到引用源。

(B)4 (C)错误！未找到引用源。

(D)2错误！未找到引用源。

8.直线a ∥平面β,直线a 到平面β的距离为1，则到直线a 的距离与平面β 的距离都等于54的点的集合是( )A.一条直线B.一个平面C.两条平行直线D.两个平面 9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2， 则该球的表面积为 （ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π10．如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D ­AB ­E 为直二面角，M 为AB 的中点，FM 与BD 所成的角为θ，且cos θ＝93， 则ABBC＝( )A ．1B ． 2C ．22 D ．12二、填空题（本题共4道小题,每题4分共16分）11．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若(1)班有50名学生，将每一学生编号从01到50止．请从随机数表的第3行第6列(下表为 随机数表的前5行)开始，依次向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________． 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 12．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于________13．设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ，若AO ＝8，BO ＝9， CD ＝34，则CO ＝________．14．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．三、解答题（本题共5道小题,共44分） 15．（本小题满分8分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.若BD ＝1，求三棱锥D ­ABC 的表面积．16．（本小题满分8分）在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D B 1，EF ；(2)若D F 1＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值．17. （本小题满分8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(1)求证：OD ∥平面PAB ；(2)求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．18．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB =1BC =，2PA =，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，19．（本小题满分10分）如图，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C(1)求证：AD 1⊥BC ；(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为π3，求平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值．淮南二中2016-2017年高二第一学期期中考试理科数学试卷数学理科参考答案 满分100分二、填空题（4*4=16分，共16分） 11．22，02，10，29，07 12．8713.16或272 14.413三、解答题（共44分） 15.（共8分）解：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴沿AD 把△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥BD . 又∠BDC ＝90°，DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝ 2.从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32. ∴三棱锥D ­ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.16.（共8分）解：(1)如图，D B 1＝D D 1＋DB ＝－AA 1＋AB －AD ＝a －b －c ，EF ＝EA ＋AF ＝12D A 1＋12AC ＝－12(AA 1＋AD )＋12(AB ＋AD )＝12(a －c )．(2) D F 1＝12(D D 1＋D B 1)＝12(－AA 1＋D B 1) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.17.（共8分）(1)证明 如图，∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点， ∴OD ∥PA ．又PA ⊂平面PAB ，OD ⊄平面PAB ， ∴OD ∥平面PAB ．(2)解 ∵AB ⊥BC ，OA ＝OC ， ∴OA ＝OB ＝OC ． 又∵OP ⊥平面ABC ， ∴PA ＝PB ＝PC ．取BC 的中点E ，连接PE ，OE ， 则BC ⊥平面POE ， 作OF ⊥PE 于F ，连接DF ，则OF ⊥平面PBC ，∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 设AB ＝BC ＝a ，则PA ＝PB ＝PC ＝2a ，OA ＝OB ＝OC ＝22a ，PO ＝142a ． 在△PBC 中，∵PE ⊥BC ，PB ＝PC ，∴PE ＝152a ．∴OF ＝21030a ．又∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点，∴OD ＝PA2＝a ．在Rt △ODF 中，sin ∠ODF ＝OF OD ＝21030． ∴OD 与平面PBC 所成角的正弦值为21030． 18.（共10分）解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、B、,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(19.（共10分）【解】(1)证明：连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ，∴D 1C ⊥BC在等腰梯形ABCD 中，连接AC ， ∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AD 1C ， ∴AD 1⊥BC(2)由(1)知AC 、BC 、D 1C 两两垂直， ∵AB ∥CD ，∴∠D 1DC ＝π3，∵CD ＝1，∴D 1C ＝ 3在等腰梯形ABCD 中，∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴AC ＝3，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)， 设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0得⎩⎨⎧y －3x ＝0，z －x ＝0，可得平面ABC 1D 1的一个法向量为n ＝(1，3，1)． 又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n|CD 1→||n |＝55，5∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为5。

2018-2018学年高二（上）数学理科期中考试卷一、选择题（312⨯）1.如果a>b,则①ba 11<②33b a >③lg a >lg b ④b a 22>中,正确的有（ ）A 、②和③B 、①和③C 、②和④D ③和④2.过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是π43，则y 的值为（ ）A 、1B 、-1C 、5D 、-53.若0<a<1,0<b<1,则a+b,ab 2,22b a +,2ab,中最大的一个是( ) A 、a+b B 、ab 2 C 、22b a + D 、2ab4.若直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 互相垂直，则a 的值是（ ） A 、2 B 、-3或1 C 、2或0 D 、1或05.点A 关于直线8x+6y=25的对称点是原点,则A 的坐标为（ ）A 、)23,2(B 、)625,825( C 、(3,4) D 、(4,3)6.不等式x x x -<--81032的解为( ) A 、13745≤<x B 、2-<x C 、13745≤<x 或2-≤x D 、13742<≤-x 7.若直线l 与直线012=-+y x 的夹角为45°，则l 的斜率为（ ）A 、31-或-3B 、31或-3C 、31-或3 D 、31或38.已知圆的方程为3622=+y x ，，则过点)33,3(-的圆的切线方程为（ ） A 、0363=++y x B 、0363=+-y x C 、0123=+-y x D 、0123=+-y x9.若不等式0342>+++x x ax 的解为-3<x<-1或x>2,则a 的值为( ） A 、2 B 、-2 C 、21 D 、21-10．方程x xy x =+2的曲线是（ ）A 、一个点B 、一条直线C 、两条直线D 、一个点和一条直线 11．已知圆的圆心为C （-1，3），直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长568，则圆的方程为（ ）A 、4)3()1(22=-++y xB 、4)3()1(22=++-y x图(a)C 、4)3()1(22=+++y xD 、4)3()1(22=-+-y x12.已知A （2，-3），B （-3，-2），直线l 过P （1，1）且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k,则k 的取值范围为（ ）A 、443-≤≥k k 或B 、434≤≤-kC 、4143-≤≥k k 或D 、443≤≤-k二、填空题13、不等式1312>+-x x 的解集为 。

高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．32．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．312．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；C、当c=0时，则ac2=bc2，；D、由c2+1≥1可判断．【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；故选：D4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．【考点】7F：基本不等式．【分析】A．x＜0时，y＜0．B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．【解答】解：A．x＜0时，y＜0．B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+=2，最小值不可能为2．C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．D. +＞=2，最小值不可能为2．故选：C．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= [2+3+…+（n+1）]==，故选：B．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891【考点】F1：归纳推理．【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，因此第100个括号应在第25组第4个括号，该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用==，即可得出结论．【解答】解：====．故答案为：．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由题意可知，即，解得k＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），由于a1≠0，∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．【解答】解：向量，，且．（I）∵，∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，∴a2﹣c2=（a﹣b）b．由余弦定理：cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（II）△ABC的面积S=absinC，∵C=，R=，∴c=2RsinC=．由余弦定理：得a2+b2=6+ab．∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）∴ab≤6．故得△ABC的面积S=absinC=．∵C=，a=b．此时△ABC为等边三角形．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a ＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）+1=通过讨论n的范围判断两式的大小【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得=4×3n﹣1n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1∵{a n}是等比数列∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得T n=b1+b2+…+b n=两式相减可得，=4（n+1）b n﹣（3﹣16T n）=+1而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1那么同理可得：当时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n；+1当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。

高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．32．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．312．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；C、当c=0时，则ac2=bc2，；D、由c2+1≥1可判断．【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；故选：D4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．【考点】7F：基本不等式．【分析】A．x＜0时，y＜0．B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．【解答】解：A．x＜0时，y＜0．B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+=2，最小值不可能为2．C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．D. +＞=2，最小值不可能为2．故选：C．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= [2+3+…+（n+1）]==，故选：B．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891【考点】F1：归纳推理．【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，因此第100个括号应在第25组第4个括号，该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用==，即可得出结论．【解答】解：====．故答案为：．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由题意可知，即，解得k＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），由于a1≠0，∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．【解答】解：向量，，且．（I）∵，∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，∴a2﹣c2=（a﹣b）b．由余弦定理：cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（II）△ABC的面积S=absinC，∵C=，R=，∴c=2RsinC=．由余弦定理：得a2+b2=6+ab．∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）∴ab≤6．故得△ABC的面积S=absinC=．∵C=，a=b．此时△ABC为等边三角形．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a ＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）+1=通过讨论n的范围判断两式的大小【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得=4×3n﹣1n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1∵{a n}是等比数列∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得T n=b1+b2+…+b n=两式相减可得，=4（n+1）b n﹣（3﹣16T n）=+1而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1那么同理可得：当时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1；当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。

江淮名校高二年级(上）期中联考数学（理科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1。

如果直线1x y+-=垂直，则a等于（）+=与直线320ax yA．3B．13-C．13D．3-2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ）A．B．C．D．3.直线21=-+恒过定点C，则以C为圆心,5为半径的圆的方程为（) y kx kA．22x y-+-=(2)(1)25(2)(1)5x y-+-=B．22C．22x y+++=(2)(1)5(2)(1)25++-=D．22x y4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒,腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A2B．222D25.与两直线3240++=的距离相等的直线是（）x y+-=和3280x yA．3220x y+±=+-=C。

3220x y++=B．3220x yD．以上都不对6.已知m,n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，nα⊂，n m⊥，则αβ⊥；②αβ⊥,mαγ=，nβγ=，则m n ⊥；③αβ⊥,αγ⊥，mβγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③ C.③④ D ．②④ 7.已知两点(23)M -，，(32)N --，，直线l 过点(11)P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ) A ．344k -≤≤B ．4k -≤或34k ≥C 。

344k ≤≤D ．344k -≤≤8。

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，M是PC 上的一个动点，若要使得平面MBD ⊥平面PCD ,则应补充的一个条件可以是( ）A ．M D MB ⊥ B ．MD PC ⊥ C.AB AD ⊥ D ．M 是棱PC 的中点9。

不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有（ ）个A ．3个B ．4个 C.6个 D ．7个10.光线沿着直线3y x b =-+射到直线0x y +=上，经反射后沿着直线3y ax =-+射出，则由（ ） A ．13a =，9b =- B ．13a =-，9b = C 。

2017-2018学年安徽省淮南二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线y＝﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．2．（5分）“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生和恰有2名男生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．至少有1名男生和至少有1名女生3．（5分）下列说法正确的是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线＝x不一定过样本中心点（，）C．将A，B，C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，若抽取的A个体为12个，则样本容量为30D．若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“k＝1”是“直线y＝kx+1与双曲线x2﹣y2＝1有唯一公共点”的充分不必要条件C．若命题p：∃x∈N，2n＞1000，则￢p：∀n∈N，2n≤1000；D．命题“方程（x+y﹣1）＝0表示的曲线是两条直线”是真命题6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为72，27，则输出的a＝（）A．18B．9C．6D．37．（5分）以双曲线＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x8．（5分）已知命题p：平面内与两定点距离之差为定值的点的轨迹为双曲线；命题q：过点（3，3）且与抛物线y2＝9x有且只有一个交点的直线有2条．下列命题是真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）9．（5分）已知△ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，，则球O的体积是（）A．B．16πC．D．32π10．（5分）从（m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点（不与端点重合），BD1∥平面B1CE，则（）A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC1 12．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|FB|．直线l1，l2分别过点A，B，且与x轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N（M，N分别在点A，B的右侧），分别作∠ABN和∠BAM的平分线且相交于P点，则△P AB的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）圆的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ，若以极点O为坐标原点，以极轴为x轴建立平面直角坐标系，则圆心的直角坐标是．14．（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为；估计该校学生在课外读物方面的支出的中位数为（结果保留为整数）．15．（5分）已知实数x，y∈（0，1），三角形ABC三边长为x，y，1，则三角形ABC是钝角三角形的概率是．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l参数方程：（t为参数），曲线C1：．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（2）若点M在曲线C1上运动，求M到直线l距离的最小值．18．（12分）如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD，AB⊥BC，CD＝BC＝为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．19．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0），直线y＝kx+2与E交于A，B两点，且＝2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．20．（12分）淮南二中“心语”校园超市经营者为了对白天平均气温与某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月30日至2月3日的白天平均气温x（°C）与该超市的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：（1）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给数据，求出y关于x的线性回归方程＝x；（3）若2月4号（正常上课）的气温为7°，利用（2）中得到的回归直线方程估计当天销售的饮料杯数．（结果保留为整数）（参考公式：＝，＝）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AD＝CD＝BC ＝，△P AD为等边三角形，P A⊥BD．（1）求证：平面P AD⊥平面ABCD；（2）求AD上是否存在点Q，使得二面角C﹣PB﹣Q大小的余弦值为，若存在，求出Q点位置，若不存在，说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C的右焦点F作两条互相垂直的弦EF与MN，当直线EF斜率为0时，|EF|+|MN|＝7．（1）求椭圆C的方程；（2）求|EF|+|MN|的取值范围．2017-2018学年安徽省淮南二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵在抛物线y＝﹣2x2，即x2＝﹣y，∴p＝，＝，∴焦点坐标是（0，﹣），故选：D．2．【解答】解：“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，在A中，恰有1名男生和恰有2名男生是互斥而不对立的两个事件，故A正确；在B中，至多有1名男生和都是女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少有1名男生和都是女生是对立事件，故C错误；在D中，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：A．3．【解答】解：对于A，运用抽取的号间隔均为50，故为系统抽样，A错误；对于B，线性回归直线＝x一定过样本中心点（，），B错误；对于C，将A，B，C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，若抽取的A个体为12个，则样本容量为6×4＝24，则C错误；对于D，若一组数据1，a，3的平均数为2，可得1+a+3＝6，即a＝2，方差为（1+0+1）＝，故D正确．故选：D．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝50S＝24，不满足条件S＞3，执行循环体，i＝2，S＝10，不满足条件S＞3，执行循环体，i＝3，S＝2，此时满足条件S＞3，退出循环，输出i的值为3．故选：C．5．【解答】解：A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B，k＝1时，直线y＝x+1与渐近线平行，与双曲线有一个交点；若直线y＝kx+1与双曲线相切，只有一个交点，则“k＝1”是“直线y＝kx+1与双曲线x2﹣y2＝1有唯一公共点”的充分不必要条件，则B正确；C，若命题p：∃x∈N，2n＞1000，则￢p：∀n∈N，2n≤1000，由命题的否定形式可得C正确；D．方程（x+y﹣1）＝0表示的曲线是直线x＝1或射线y＝1﹣x（x≥1），则D错误．故选：D．6．【解答】解：由a＝72，b＝27，满足a＞b，则a＝72﹣27＝45，由a＞b，则a＝45﹣27＝18，由a＜b，则b＝27﹣18＝9，由a＞b，则a＝18﹣9＝9，由a＝b＝9，则退出循环，输出a＝9．故选：B．7．【解答】解析由双曲线方程﹣＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0）．设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x．故选：A．8．【解答】解：平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线，否则不正确，故p为假命题；∵点（3，3）在抛物线y2＝9x上，∴过点（3，3）且与抛物线y2＝9x有且只有一个交点的直线有2条，故q正确．则￢p为真命题，￢q为假命题，（￢p）∨q为真命题，p∧q为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨（￢q）为假命题．故选：A．9．【解答】解：由题意可得底面△ABC所在圆的半径为r＝×＝1，球心O到平面ABC的距离为d＝R，且R2＝r2+d2＝1+R2，可得R＝2，则球O的体积是πR3＝π．故选：C．10．【解答】解：∵设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个（注：（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）．其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3，（3，2），（3，3）共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为p＝．故选：B．11．【解答】解：如图，设B1C∩BC1＝O，可得面D1BC1∩面B1CE＝EO，∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1．故选：D．12．【解答】解：作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．设BF＝m，则BD＝m，AF＝AC＝3m，∴cos∠BAE＝＝＝，∴∠BAE＝60°，∴直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，∴直线l的方程为：y＝x﹣，联立方程组可得3x2﹣10x+3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，∴|AB|＝x1+x2+2＝，∵∠ABN和∠BAM的平分线且相交于P点，AM∥BN，∴P A⊥PB，∠PBA＝∠AFx＝30°，∴|AP|＝＝，|BP|＝，∴S△P AB＝＝．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分）13．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ，转换为直角坐标方程为x2+y2＝﹣2y，整理得x2+（y+1）2＝1，所以圆心的直角坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．14．【解答】解：根据频率分布直方图知，[50，60）内的频率为1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，频数为30，则样本容量为n＝＝100；设这组数据的中位数为x，则0.1+0.24+0.036×（x﹣40）＝0.5，解得x≈44，∴估计中位数为44．故答案为：100，44．15．【解答】解：△ABC的三边为x、y、1，且x、y∈（0，1）；若△ABC为钝角三角形，则x2+y2＜1，且x+y＞1；画出图象，如图所示；在曲线x2+y2＝1内的区域与正方形重合的阴影部分，构成三角形的区域为不等式x+y＞1表示的区域和△ABC表示的区域重合部分，∴S阴影＝﹣×1×1＝﹣，构成三角形的x、y满足的条件为△ABC，其面积为×1×1＝；∴所求的概率值为P＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．16．【解答】解：由题意知，该三棱锥的直观图如图中的A﹣BCD所示，则，，，，故其四个面中最大的面积为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）直线l参数方程：（t为参数），转化为直角坐标方程为：x+2y﹣10＝0．曲线C1：．转换为参数方程为：（θ为参数），（2）设M（3cosθ，2sinθ）到直线l的距离d＝＝．当sin（θ+α）＝1时，．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵O，M分别为EA，EC的中点，∴OM∥AC．∵OM⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD…．∴OM∥平面ABCD…（5分）解：（Ⅱ）∵DC＝BC＝1，∠BCD＝90°，∴∵AD＝，AB＝2．∴BD⊥DA．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADEF∴∠BFD的余弦值即为所求．…（9分）在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，DF＝2，BF＝，∴cos∴BF与平面ADEF所成角的余弦值．…（12分）19．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消元得：x2﹣2kpx﹣4p＝0，∴x1+x2＝2kp，x1x2＝﹣4p，∴y1y2＝＝4，∴＝x1x2+y1y2＝﹣4p+4＝2，∴p＝．∴抛物线的方程为：x2＝y．（2）由（1）可知x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，∴k1+k2＝+＝+＝＝2k+（﹣2k）＝0．∴k1+k2为定值．20．【解答】解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15），共有10种．事件A包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种．所以P（A）＝＝，即抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率为．…（6分）（2）由数据，求得＝（9+10+12+11+8）＝10，＝（23+25+30+26+21）＝25．由公式，求得＝2.1，＝﹣＝4，所以y关于x的线性回归方程为＝2.1x+4．…（10分）（3）当x＝7时，＝2.1×7+4＝18.7．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯．…（12分）21．【解答】证明：（1）取AD中点O、AB中点E，连结DE、PO、OE，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AD＝CD＝BC＝AB，△P AD为等边三角形，∴OE∥BD，AD＝AE＝DE，∴EO⊥AD，∵P A⊥BD，∴OE⊥P A，∵P A∩AD＝A，∴OE⊥面P AD，∵OE⊂平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD；解：（2）当Q与A重合时，二面角C﹣PB﹣Q大小的余弦值为．由（1）得OA、OE、OP两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AD＝CD＝BC＝AB＝2，则A（1，0，0），P（0，0，），B（﹣1，2，0），C（﹣2，，0），假设AD上存在点Q，使二面角C﹣PB﹣Q大小的余弦值为，设Q（λ，0，0），＝（λ，0，﹣），＝（﹣1，2，﹣），＝（﹣2，，﹣），设平面PQB的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（，，1），设平面PBC的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（﹣，1，3），设二面角Q﹣PB﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，解得：λ＝1或（舍）．当Q与A重合时，二面角C﹣PB﹣Q大小的余弦值为．22．【解答】解：（1）由题意知，e＝＝，|MN|＝7﹣2a，所以a2＝4c2，b2＝3c2，…2分因为点（c，）在椭圆上，即+＝1，解得：c＝1．所以椭圆的方程为：+＝1；（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|EF|+|MN|＝7，②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线EF的方程为y＝k（x﹣1），则直线MN的方程为：y＝﹣（x﹣1），将直线EF的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，∴x1＝，x2＝，∴|EF|＝|x1﹣x2|＝，同理，|MN|＝，∴|EF|+|MN|＝，令t＝k2+1，则t＞1，3+4k2＝4t﹣1，3k2+4＝3t+1，设f（t）＝＝﹣+，∵t＞1，∴∈（0，1），∴f（t）∈（12，），∴|EF|+|MN|＝∈[，7]．综合①与②可知，|EF|+|MN|的取值范围是[，7]．。