点到直线的距离公式-高中数学知识点讲解(含答案)

高中数学概念总结一、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。

2、 幂函数nmx y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m<n 时，其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。

二、 三角函数1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=xy，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；相除关系是：αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg 。

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。

如：=-)23sin(απαcos -，)215(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

4、 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 4.两条直线的夹角.设直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1到l 2的角为α，l 1与l 2的夹角为β，则tan 12121k k k k +-=α，tan 12121k k k k +-=β.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．三种对称(1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.特别说明:P (x 0，y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---22002222002222)(,22)(B A BC ABx y B A B A AC ABy x A B . (3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例2】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________.(2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例3直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=例4 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．考向二 两直线的交点【例5】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．考向三 距离公式的应用例6、求点)2,3(P -到下列直线的距离：（1）01y 4x 3=+-；（2）y=6；（3）y 轴。

点到直线的距离公式解析几何在解析几何中，点到直线的距离可以使用以下公式进行计算：假设直线方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)。

1. 首先，计算直线上任意一点P(x1, y1)到点的距离d，公式为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)2. 然后，将直线上任意一点P(x1, y1)替换为点(x0, y0)：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)即为点到直线的距离。

该公式的推导过程如下：点P到直线的距离可以看作点P到直线的垂足H的距离。

将垂足H的坐标设为(xh, yh)。

由于直线上的任意一点P(x1, y1)满足Ax1 + By1 + C = 0，所以垂足H的坐标应满足Axh + Byh + C = 0。

由于垂足H在直线上，所以垂足H到点P的向量与直线的方向向量垂直，即向量HP与直线的法向量垂直。

向量HP为(Px - xh, Py - yh)，直线的法向量为(A, B)。

根据向量的垂直关系，有：(A, B) · (Px - xh, Py - yh) = 0化简得：A(Px - xh) + B(Py - yh) = 0展开得：APx - Axh + BPy - Byh = 0移项得：APx + BPy = Axh + Byh对比直线方程Ax + By + C = 0，可知：Axh + Byh = -C代入上式，得：APx + BPy = -C由于点P的坐标为(x0, y0)，所以有：APx0 + BPy0 = -C展开得：Ax0 + By0 + C = 0移项得：Ax0 + By0 + C = 0取绝对值，得：|Ax0 + By0 + C| = 0所以，点到直线的距离为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)即为所求公式。

2.3.3 点到直线的距离公式（一）一、选择题1、原点到直线250x y +-=的距离为（ ）A. 1B.C. 2D.2、已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （2，6），B （-4，3），C （2，-3），则点A 到BC 边的距离为（ ）A.92B.2C.D. 3、动点P 在直线x +y -4=0上，O 为原点，则|OP |的最小值为（ ）A.B. C.D. 24、过点（1，3）且与原点相距为1的直线共有（ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条5、（多选）已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l 的倾斜角是6πB. 若直线:10,m x +=则l m ⊥C. 点到直线l 的距离是2D. 过2)与直线l 40y --=6、（多选）已知直线l 过点(3,4)P 且与点()22A -，，(4,2)B -等距离，则直线l 的方程可以是（ ） A. 23180x y +-= B. 220x y --=C. 32180x y -+=D. 220x y -+=二、填空题7、直线:1l x =的倾斜角为______；点()2,5P 到直线l 的距离为______． 8、若点（2，k ）到直线5x -12y +6=0的距离是4，则k 的值为______．9、已知ABC △中，点()1,1A ，()4,2B ，()4,6C -，则ABC △的面积为______． 10、过点()1,5A -且与点()2,6M ，()4,2N --距离相等的直线方程是______． 三、解答题11、已知点()1,4B 、()6,2C ，点A 在直线330x y -+=上，并且使ABC △的面积等于21，求点A 的坐标．12、已知直线l 经过直线2x ＋y -5＝0与x -2y ＝0的交点． （1）点A （5，0）到l 的距离为3，求l 的方程； （2）求点A （5，0）到l 的距离的最大值．参考答案1、【答案】D【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】由点到直线的距离公式可知所求距离d==选D．2、【答案】B【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】BC边所在直线的方程为343324y x-+=--+，即x＋y＋1＝0；则d＝2=．3、【答案】B【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】由题|OP|的最小值即为，O点到直线的距离．d===4、【答案】C【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】当斜率不存在时，过点（1，3）的直线为1x=，原点到直线的距离为1，满足题意；当斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为()31y k x-=-，即30kx y k-+-=，则原点到直线的距离1d==，解得43k=，即直线方程为4350x y-+=，即满足题意的直线有2条．选C.5、【答案】CD【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，点到直线的距离公式.【解答】对于A．直线10l y-+=的斜率k＝tanθ=故直线l的倾斜角是π3，故A错误；对于B．∵直线10m x+=：的斜率k′=kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；答案第1页，共4页对于C．点)到直线l的距离d==2，故C正确；对于D．过()2与直线l平行的直线方程是y﹣2=（x﹣，整理得：40y--=，故D正确．综上所述，正确的选项为CD．选CD．6、【答案】AB【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】设所求直线的方程为4(3)y k x-=-，即340kx y k--+=，=，解得2k=或23k=-，即所求直线方程为23180x y+-=或220x y--=.选AB．7、【答案】π2；1【分析】本题考查直线的倾斜角以及点到直线的距离公式.【解答】直线l y∥轴，∴直线l倾斜角为π2，点()2,5P到直线l的距离211d=-=．8、【答案】-3或173【分析】本题考查点到直线的距离公式.4=，解方程即得k=-3或173．9、【答案】10【分析】本题考查直线的两点式方程，点到直线的距离公式，两点间的距离公式.【解答】由两点式的直线BC的方程为262y--＝444x---，即为x+2y﹣8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高dBC∴∴ABC的面积为1210．10、【答案】43190x y-+=或1x=-【分析】本题考查点到直线的距离公式.答案第3页，共4页【解答】分以下两种情况讨论： ∴所求直线与直线MN 平行， 由于直线MN 的斜率为624243MN k +==+，且所求直线过点()1,5A -， 此时，所求直线的方程为()4513y x -=+，即43190x y -+=； ∴所求直线过线段MN 的中点()1,2B -，由于所求直线过点()1,5A -，此时，所求直线的方程为1x =-. 综上所述，所求直线方程为43190x y -+=或1x =-． 故答案为43190x y -+=或1x =-．11、【答案】177701111⎛⎫⎪⎝⎭，或75141111⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 【分析】本题考查直线的两点式方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式. 【解答】点A 在直线330x y -+=上，则可设点(33)A y y -，． 直线BC 由两点式可得146124x y --=--，得25220x y +-=，线段BC =则点A 到BC的距离为d ==∴三角形面积112122S BC d ===， ∴7011y =或1411-， ∴点A 的坐标为177701111⎛⎫⎪⎝⎭，或75141111⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 12、【答案】（1）x ＝2或4x -3y -5＝0；（2）10. 【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y -5）＋λ（x -2y ）＝0， 即（2＋λ）x ＋（1-2λ）y -5＝0．＝3，即2λ2-5λ＋2＝0，∴λ＝2或12．∴l的方程为x＝2或4x-3y-5＝0．（2）由250,20,x yx y+-=-=⎧⎨⎩解得交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|P A|（当l∴P A时等号成立）．∴d max＝|P A|＝．。

点到直线距离公式的十种推导方法一、点到直线距离公式的介绍与基础证法点到直线距离公式是高中解析几何中的基础公式，通过点到直线距离这一几何关系的代数化，我们可以使用代数方法描述或者证明更多的几何问题。

而在这一公式的证明层面，实际上价值十分深厚，其推导方法所涉及范围之广，是令人惊叹的，同时也处处生动地表现着数学的连贯性与灵活度，是值得中学生研究的问题。

点到直线距离公式表述：设直线 L 的方程为 Ax+By+C=0 ，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：同理可知，当 P(x0，y0），直线 L 的解析式为 y=kx+b 时，则点 P 到直线 L 的距离为：在人教新版教材中，课本对于该公式的介绍依旧占有很大的篇幅，提到了两种证法，分别是十分直截的垂线段法和结合前面所学的向量方法。

这两种方法具有很强的象征，体现了不同流派的不同处理思路。

我们首先介绍简洁明了的垂线段方法，虽然计算量交大，但思维难度可以说是极小的。

法一：垂线段法①首先解出直线 AB 的方程;②联立 L 与直线 AB，解出垂足 B 的坐标；③利用两点间距离公式得到 AB 距离，即点到直线距离下面我们来探索一下向量的方法，实际上在空间向量章节我们已经学习过如何求一个点到一条直线的距离，主要方法和点到平面距离思路一致，法向量都是十分关键的一点，这也是中学阶段空间向量部分的核心。

法二：向量法①首先求出直线 L 的方向向量，再求出其法向量；②在直线上任取一点 M，求出向量 MP 与法向量的夹角；③利用模长公式即可求解。

二、其余方法展示接下来采用的额外七种方法，分别从面积、设而不求、函数、几何等视角加以展开，每一种方法都可以提炼出不同的核心思路。

等面积的方法和法一十足相似，主要是计算量都偏大，但都比较容易想到；当我们看到高的时候，最能直接想到的或许就是面积了。

法三：等面积法①由点 P 向两坐标轴分别作平行线交直线 L 于点 R、S；②分别利用两点间距离公式得到 PR、PS 的距离；③利用等面积方法求出三角形 PRS 的高，即点到直线的距离下面的方法应该说是解析几何味道十分浓重的，考虑到圆锥曲线中常用的设而不求想法，我们巧妙地构造对称点来解决这个问题。

点到直线的距离公式
1．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距
离．设直线方程为，直线外某点的坐标为那么这点到这直线的距离就为：= Ax By C＝0 （X ，Y）d
0 0
|퐴푋0+퐵푌0+퐶|
．
퐴2+퐵2
【例题解析】
例：过点引直线使到直线的距离相等，求这条直线方程．
P（1，1）A（2，3），B（4，5）
解：当直线平行于直线时，或过的中点时满足题意，
AB AB
当直线平行于直线AB 时，所求直线的斜率为k =5―3
4―2= 1，
故直线方程为，即；
y﹣1＝（x﹣1）x﹣y＝0
当直线过AB 的中点（3，4）时，斜率为k =4―1
3―1=
3
2
，
3
故直线方程为y﹣1 =（x﹣1）3x﹣2y﹣1＝0
，即；
2
故答案为：或．
x﹣y＝0 3x﹣2y﹣1＝0
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
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第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在， 设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一 两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三 对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。

课时跟踪检测（二十一) 点到直线的距离、两条平行线间的距离一、题组对点训练对点练一点到直线的距离1．点（5，－3）到直线x＋2＝0的距离等于( ）A．7 B．5C．3 D．2解析:选A 直线x＋2＝0,即x＝－2为平行于y轴的直线,所以点(5，－3）到x＝－2的距离d＝｜5－（－2）|＝7。

2．已知A(－2，－4),B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )A．－3 B．3C．－3或3 D．1或3解析：选C 由题意得错误!＝错误!，解得a＝－3或3。

3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y＝错误!x ＋b，化为一般式得错误!x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5,得错误!＝5⇒|b|＝10。

所以b＝±10，所以所求直线方程为3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0.答案:错误!x－y＋10＝0或错误!x－y－10＝04．若动点A（x1，y1)，B(x2，y2）分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________．解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x＋y＋c＝0，则错误!＝错误!，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离,即错误!＝3错误!.答案:3错误!对点练二两条平行线间的距离5．已知直线l1:x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1,l2之间的距离为（)A．1 B。

错误!C.错误!D．2解析：选B 在l1上取一点(1，－2），则点到直线l2的距离为错误!＝错误!.6．两平行线分别经过点A（5,0），B（0,12)，它们之间的距离d满足的条件是（）A．0＜d≤5 B．0＜d≤13C．0＜d＜12 D．5≤d≤12解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大,｜AB｜＝13,所以0＜d≤13。

2.3.3 点到直线的距离公式（二）一、选择题1、点P （a ，0）到直线3x +4y -6=0的距离大于3，则实数a 的取值范围为（ ） A. a ＞7 B. a ＜-3C. a ＞7或a ＜-3D. a ＞7或-3＜a ＜72、“C ＝5”是“点（2，1）到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3、点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为（ ）A. 3，-3B. 5，2C. 5，1D. 7，14、在平面内，与x 轴、y 轴和直线2x y +=的距离都相等的点共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、（多选）下列说法中，正确的有（ ） A. 直线y ＝ax ﹣3a +2（a ∈R ）必过定点（3，2） B. 直线y ＝3x ﹣2在y 轴上的截距为2C. 直线x +1＝0的倾斜角为30°D. 点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为76、（多选）已知点A （-3，-4），B （6，3）到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（ ）A.79B. 13-C. 79-D.13二、填空题7、已知直线l ：23y x =+，则点()1,0M 到直线l 的距离等于______；直线l 关于点M 对称的直线方程为______． 8、点(),P m n m --到直线1x ym n+=的距离等于______．9、若点P 在直线350x y +-=上，且P 到直线10x y --=，则点P 的坐标为______．10、若动点()11,A x y ，()22,B x y 分别在直线1:270+-=l x y 和2:250+-=l x y 上移动，则AB 的中点到原点的距离的最小值为______． 三、解答题11、已知点(2,1)P-，求：（1）过点P与原点距离为2的直线l的方程；（2）过点P与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过点P与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．12、直线1:1l y mx=+，2:1l x my=-+相交于点P，其中1m≤．（1）求证：1l、2l分别过定点A、B，并求点A、B的坐标；（2）求ABP△的面积S；（3）问m为何值时，S最大？答案第1页，共5页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查点到直线的距离公式.3，解得a ＞7或a ＜-3．2、【答案】B【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3等价于3=，解得5C =或25C =-，∴“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，选B ．3、【答案】C【分析】本题考查点到直线的距离公式. 【解答】直线()130ax a y +-+=，即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时PQ x ∥轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =.选C ． 4、【答案】D【分析】本题考查点到直线的距离公式. 【解答】设满足题意得点的坐标为（a ，b ）， ∈点到x 轴、y 轴的距离相等，∈a 2＝b 2， ∈a ＝b 或者a ＝﹣b ；由点到直线的距离公式可得点到直线x +y ﹣2＝0的距离的平方d 22(2)2a b +-=，由题可得a 2＝b 2()222a b +-=，当a ＝b 时，可解得a ＝b ＝； 当a ＝﹣b 时，可解得a ＝﹣b ＝； ∈符合题意得点总共4个，选D ． 5、【答案】ACD【分析】本题考查恒过定点的直线，直线的倾斜角以及点到直线的距离公式. 【解答】对A ，化简得直线()32y a x =-+，故定点为()3,2.故A 正确． 对B ，32y x =-在y 轴上的截距为2-.故B 错误． 对C，直线10x +=θ满足[)tan ,01803θθ=∈︒，，即30θ=︒.故C 正确．对D ，∵直线2x =-垂直于x 轴，故()5,3-到2x =-的距离为()527--=.故D 正确．选ACD ． 6、【答案】BC【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】∵A 和B 到直线l 的距离相等，由点A 和点B 到直线的距离公式，=，化简得3364a a +=+，()3364a a +=±+，解得实数79a =-或13-，选BC ．7、270x y --=【分析】本题考查点到直线的距离公式，直线关于点对称的直线方程. 【解答】点()1,0M 到直线l==， 设00(,)x y 为对称直线上任一点，则其关于点M 的对称点为00(2,)x y --， ∵该点在直线l 上，∴00=2(2)3y x --+，化简得00270x y --=， ∴所求的直线方程为270x y --=， 8、答案第3页，共5页【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】化直线方程为一般方程得0nx my mn +-=，∴点P 到直线0nx my mn +-=的距离为22d ===．9、【答案】（1，2）或（2，-1） 【分析】本题考查点到直线的距离公式.【解答】点P 在直线350x y +-=上，设(),53P a a -，P 到直线10xy --=的距离462a =-=，解得a =1或a =2，点P 的坐标为（1，2）或（2，-1）． 10、 【分析】本题考查中点坐标公式，点到直线的距离公式. 【解答】设AB 的中点坐标为(),x y ，∵()11,A x y ，()22,B x y ，∴121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，又()11,A x y ，()22,B x y 分别在直线1:270+-=l x y 和2:250+-=l x y 上移动，∴1122270250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，两式相加得()()12122120+++-=x x y y ，∴42120+-=x y ，即260x y +-=即为AB 中点所在直线方程，因此原点到直线260x y +-=的距离，即为AB的中点到原点的距离的最小值；5=11、【答案】（1）2x =或34100x y --=；（2；（3）不存在，理由见解答． 【分析】本题考查直线的点斜式方程以及点到直线的距离公式. 【解答】（1）设直线:(2)(1)0l a x b y -++=，2=．化简，得0b=或43b a=-，故直线l的方程为2x=或34100x y--=.（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-⋅，∴12lOPkk=-=，由直线方程的点斜式得()122y x+=-，即250x y--=，即直线250x y--=是过P点与原点O（3）由（2）知，过点P∴不存在过点P且到原点距离为6的直线．12、【答案】（1）见解答；（2）212121Sm⎛⎫=-⎪+⎝⎭；（3）0m=.【分析】本题考查恒过定点的直线，两条直线的交点坐标，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式.【解答】（1）在直线1l的方程中，令0x=可得1y=，则直线1l过定点()0,1A，在直线2l的方程中，令0y=可得1x=，则直线2l过定点()10B,；（2）联立直线1l、2l的方程11y mxx my=+⎧⎨=-+⎩，解得221111mxmmym-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即点2211,11m mPm m-+⎛⎫⎪++⎝⎭．AP==BP==，11m-≤≤，∴()()222211111212212121m m mS AP BPmm m-⋅+-⎛⎫=⋅===-⎪+++⎝⎭；答案第5页，共5页（3）212121S m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭且11m -≤≤，∈当0m =时，S 取得最大值，即max 12S =．。