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选修4－5 ⎪⎪⎪不等式选讲第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解法： 不等式 a >0a ＝0 a <0 |x |<a {}x |－a <x <a ∅∅ |x |>a {}x |x >a 或x <－a{}x |x ∈R 且x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |＜||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 解析：选B ∵ab <0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3，则实数k ＝________.解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{}x|1≤x≤3，∴k＝2.答案：23．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，所以所求函数的最小值为8.答案：84．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x≤－1，2x－1，－1<x<2，3，x≥2.当－1<x<2时，由2x－1≥1，解得1≤x<2.又当x≥2时，f(x)＝3>1恒成立．所以不等式的解集为{}x|x≥1.答案：{}x|x≥1考点一绝对值不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]绝对值不等式的解法是每年高考的重点，既单独考查，也与函数的图象、含参问题等的综合考查，难度较小，属于低档题.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 2．解下列不等式． (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0； (2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解：(1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|， 两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)， 解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x ≤12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x >12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.[怎样快解·准解]绝对值不等式的常见3解法 (1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |<c (c >0)或|x －a |－|x －b |>c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[易错提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．考点二绝对值三角不等式的应用(重点保分型考点——师生共研)应用绝对值三角不等式证明不等式或求最值是高考的常考内容，难度适中.[典题领悟]1．若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．解：因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.2．若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.证明：因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又a≥2，故|2a－1|≥3，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．[解题师说]证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．[冲关演练]已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1成立．考点三 绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [解题师说]设函数f (x )中含有绝对值，则 (1)f (x )>a 有解⇔f (x )max >a . (2)f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .(3)f (x )>a 恰在(c ，b )上成立⇔c ，b 是方程f (x )＝a 的解．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]． 2．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．1．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立， 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112.2．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－(x －3)－(x ＋1)≥6或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，－(x －3)＋(x ＋1)≥6 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，(x －3)＋(x ＋1)≥6，解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}． (2)∵|x －3|＋|x ＋m |≥|(x －3)－(x ＋m )|＝|m ＋3|，∴f (x )min ＝|3＋m |，∴|m ＋3|≤5， 解得－8≤m ≤2，∴实数m 的取值范围为[－8,2]．3．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x |， 两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0， 解得x ≤－1或x ≥－13，故原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫－13，＋∞. (2)由f (x )≤g (x )，得a ≥|2x ＋1|－|x |， 令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12＜x ＜0，x ＋1，x ≥0，故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－12， 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|4x －a |＋a 2－4a (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式－2≤f (x )≤4的解集；(2)设函数g (x )＝|x －1|，若对任意的x ∈R ，f (x )－4g (x )≤6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|4x －a |＋a 2－4a ， 当a ＝1时，f (x )＝|4x －1|－3.因为－2≤f (x )≤4，所以1≤|4x －1|≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧－7≤4x －1≤7，4x －1≥1或4x －1≤－1，解得－32≤x ≤0或12≤x ≤2，因此－2≤f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤－32，0∪⎣⎡⎦⎤12，2. (2)因为f (x )－4g (x )＝|4x －a |＋a 2－4a －4|x －1|≤|4x －a ＋4－4x |＋a 2－4a ＝a 2－4a ＋|4－a |，所以a 2－4a ＋|4－a |≤6，当a ≥4时，a 2－4a ＋a －4≤6，得4≤a ≤5， 当a <4时，a 2－4a ＋4－a ≤6，得5－332≤a <4， 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－332，5.5．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．6．(2018·东北四市模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1. (1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．解：(1)证明：因为－a <b 2，所以f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |＝⎩⎨⎧－3x －a ＋b ，x <－a ，－x ＋a ＋b ，－a ≤x ≤b 2，3x ＋a －b ，x >b2，显然f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b2，所以a ＋b2＝1，即2a ＋b ＝2.(2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2bab ≥t 恒成立，a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2 2a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，所以t ≤92，即实数t 的最大值为92.7．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，所以△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|， 即|3x ＋2|＋|x －1|<4.当x <－23时，不等式化为－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，不等式化为3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，不等式化为3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54<x <12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，解得0<a ≤103，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103. 第二节不等式的证明1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s ＞t C ．s ≤tD ．s ＜t解析：选A ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B ∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab ＝4，∴1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)． 3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 中 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．故1a ＋1b ＋1c 的最小值为9. 答案：9考点一 比较法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)比较法证明不等式是高考考查的重点，主要涉及作差比较法和作商比较法，难度适中，有时难度也较大.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x＜12时，f(x)＜2恒成立；当x≥12时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.[解题师说]1．作差比较法(1)作差比较法证明不等式的4步骤(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．2．作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．[冲关演练]1．求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b.证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b .考点二 综合法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)综合法证明不等式是每年高考的重点，主要涉及基本不等式的应用，难度适中.[典题领悟](2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题师说]1．综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋ba≤－2(ab <0)． (5)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[冲关演练]1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4 ≥4b a ·a b ＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. (2)∵⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 2．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.解：(1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)； 当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：因为a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3， 所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c ) ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎫b 2a ·a ＋c 2b ·b ＋a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”， 所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.考点三 分析法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)分析法证明不等式是高考考查的重点，常与充要条件等综合考查，难度中等及以上.[典题领悟]已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解；③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[解题师说]1．分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝⎛⎭⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真．[冲关演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ，即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ，即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.(1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2. 证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a， 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2. 2．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab， 得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，求证：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性：若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．4．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3. 解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧ －3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103； 当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解； 当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ， 即|ab －1|＞|a －b |.因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．6．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2. 当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.7．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝a 2b ＋a 2＋b 2a ＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋ab (a ＋b )－ab －(a ＋b )－1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋2ab －ab －3(a ＋1)(b ＋1)＝(a ＋b )2－3－ab (a ＋1)(b ＋1)＝1－ab (a ＋1)(b ＋1). ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1.∴1－ab (a ＋1)(b ＋1)≥0. ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 8．设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m－4≥f (x )恒成立． (1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)．解：(1)∵∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立，∴m ＋1m ≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立．令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3，x <－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x >3.∴函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g (x )max ＝g (3)＝2，∴m ＋1m ≥g (x )max ＝2，即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m＝(m －1)2m ≥0， ∴m >0，综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞)．(2)证明：由m >0，知m ＋3>m ＋2>m ＋1>1，即lg(m ＋3)>lg(m ＋2)>lg(m ＋1)>lg 1＝0.∴要证log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)．只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)>lg (m ＋3)lg (m ＋2)， 即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<lg 2(m ＋2)，又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)< ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)2 2 ＝[lg (m ＋1)(m ＋3)]24<[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)成立．。
第六章不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4－5)第一节不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.2．不等式的基本性质1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[试一试]1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且a>b，则()A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D. a 3>b 3解析：选D 由性质知选D. 2.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c的大小1.已知a 121212，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <NB ．M >NC．M＝N D．不确定解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.2．若实数a≠1，比较a＋2与31－a的大小．解：a＋2－31－a＝－a2－a－11－a＝a2＋a＋1a－1∴当a>1时，a＋2>31－a；当a<1时，a＋2<31－a.[类题通法]比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．不等式的性质[典例]>b且c>d”的A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.(2)法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案] (1)D (2)C [类题通法]判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练](2014·北京东城区综合练习)若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，选C. 不等式性质的应用[典例] ，2≤f (1)≤4.求 [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．解：由本例知f (－2)＝f (1)＋3f (－1)． 又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10， 故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. [试一试]1．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.故选D.3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1， 由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)一元二次不等式的解法[典例] (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a . [类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围.角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 角度二 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围． 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0， 解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅； ③当4－a 2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的应用[典例] 件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5.(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.[类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.第三节绝对值不等式(选修4－5)1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法有以下几种：①利用绝对值不等式的几何意义求解的思想；②利用“零点分段法”求解；③通过构造函数，利用函数的图象求解．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立，对|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，如果a<－b<0当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左边等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0则不等式解集为R.[试一试]1．(2013·广东高考)不等式|x2－2|<2的解集是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)解析：选D由|x2－2|<2得－2<x2－2<2，即0<x2<4，所以－2<x<0或0<x<2.2．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析：选A 原不等式等价于|x －2|>|x －1|， 则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[练一练]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B |2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]绝对值不等式的解法1．在实数范围内，不等式|x －12|＋|x ＋12|≤3的解集为____________．解析：法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为2x ≤3⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为1≤3，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－2x ≤3⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：利用几何意义求解．不等式⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．(2013·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 解析：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 答案：23．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：令y 1＝|x －3|－|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >4，2x －7， 3≤x ≤4，－1，x <3.y 2＝a . 如图要使|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则a 的取集范围是a >－1.法二：注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x－3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞) [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．绝对值不等式的证明[典例] ，不等式f (x )<4M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. [解] (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.解：由f (x )≥0知a ≤|x ＋1|＋|x －1|， 又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练](2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.绝对值不等式的综合应用[|2x ＋a |，g (x )＝(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. [类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2013·辽宁模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围． 解：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2(x ≤1)，－4(1<x <2)，2x －8(x ≥2).令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．(2013·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7 B ．－6 C ．－5D ．－3解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B. 2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．答案：x ＋y －1>01．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥1)，1－x (x <1)，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A (－1,2)时，2x －y 取最小值－4.答案：－41.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53D.52(2)如果函数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－3解析：(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋12z ，可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 有最大值为13＋43＝53.(2)选B 如图作出可行域，当z 经过直线y ＋1＝0与x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时，z max＝1.角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.(2)(2014·长春调研)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤1，y ≥－x ＋1，y ≤x ＋1，则y ＋1x的取值范围是________．解析：由题可知y ＋1x ＝y －(－1)x －0，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k 的取值范围，由图可知k ∈[1,5]．答案：[1,5]角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2.答案：2(2)(2014·江西七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．线性规划的实际应用[典例] (2013·两种型号的客车安排名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元[解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36800(元)．[答案] C [类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析：选C 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．第五节基本不等式与柯西不等式(选修4－5)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)4．平均值不等式(1)定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．(2)一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．5．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 3．使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． [试一试]1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23解析：选B 由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．3．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．510 B ．410 C ．310D ．210解析：选A ∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2， ∴(3x ＋4y )max ＝510.1．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[练一练] 若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.[答案] 36(2)(2014·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y ＝4时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2.[答案] (－4,2)(3)(2013·山东高考改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则zxy 的最小值为________．[解析] z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y ＝4时“＝”成立．[答案] 1解：由(3)知当zxy取最小值时x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. [类题通法]两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．[针对训练](1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10基本不等式的实际应用[典例] 经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，。
选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。
选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式考点点击1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|。
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c。
理清基础1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当__________时，等号成立。
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当____________时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。
总结归纳3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集。
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的点的集合。
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解。
考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5。
►归纳提升解绝对值不等式的注意点解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。
若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。
强化训练1解不等式|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1。
考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a。
