《离散型随机变量的期望和方差练习》(1课时)练习1

2.3.1 离散型随机变量的数学期望基础巩固一、选择题1．若随机变量X ～B (5,0.8)，则E (X )的值为( ) A ．0.8 B ．4 C ．5D ．32．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m 的大小关系为( ) A ．n <m B ．n >m C ．n ＝mD ．不能确定3．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44D ．3×0.644．设随机变量ξ的分布列如下表所示且E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( )A ．0.2 C ．－0.2D ．－0.45．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)等于( ) A ．35 B ．40 C ．30D ．15 6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的期值为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( ) A ．148B ．124C ．112D ．167．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E (ξ)＝( ) A ．4 B ．5 C ．92D ．154二、填空题8．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. 9．已知某离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝76，ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2 3 Pa1316b则a ＝________. 三、解答题10．某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (p >0.5)，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为13. (1)求p 的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望．能力提升一、选择题1．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A ．126125B ．65C ．168125D ．752．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.223．已知随机变量p 的分布列为其中m ，n ∈[0,1)，且E (P )＝16，则m ，n 的值分别为( )A ．112，12B ．16，16C ．14，13D ．13，14二、填空题4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5．设离散型随机变量ξ可能取的值为1、2、3、4.P (ξ＝k )＝ak ＋b (k ＝1、2、3、4)．又ξ的数学期望E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________. 三、解答题6．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与均值(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．8．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．参考答案基础巩固一、选择题1．【答案】B【解析】 ∵X ～B (5,0.8)，∴E (X )＝5×0.8＝4. 2．【答案】 A【解析】 由题意，x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ， z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m m ＋n ＝n m ＋n x ＋mm ＋ny .∴n m ＋n ＝α，∴0<n m ＋n <12，∴m >n . 3．【答案】 C【解析】 ∵E (ξ)＝n ×0.6＝3，∴n ＝5.∴P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.故选C ．4．【答案】 C【解析】 由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3② 由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5，∴a －b ＝－0.2.故选C ． 5．【答案】 A【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 6．【答案】 B【解析】 3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1， ∴ab ＝16×(3a ×2b )≤16×(3a ＋2b 2)2＝124.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝16，b ＝14成立．7．【答案】 C【解析】 ξ的可能取值为3,4,5，P (ξ＝3)＝1C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610，故E (ξ)＝3×110＋4×310＋5×610＝92.二、填空题 8．【答案】503【解析】 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16， ∴E (X )＝100×16＝503.9．【答案】 13【解析】 E (ξ)＝76＝0×a ＋1×13＋2×16＋3b ⇒b ＝16，又P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1⇒a ＋13＋16＋16＝1⇒a ＝13.三、解答题10．解：(1)由已知P (X ＝3)＝p 3＋(1－p )3＝13，解得p ＝13或p ＝23.∵p >0.5，∴p ＝23.(2)X 的所有可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝13，P (X ＝4)＝[C 23×(23)2×13]×23＋[C 23×(13)2×23]×13＝1027， P (X ＝5)＝C 24×(23)2×(13)2＝827(或P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827)． X 的分布列为∴X 的数学期望为E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.能力提升一、选择题 1．【答案】 B【解析】 题意知X ＝0、1、2、3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.2．【答案】 B【解析】 设A 、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件，ξ的可能取值为0、1、2. P (ξ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B ) ＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P (ξ＝1)＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22. P (ξ＝2)＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.9×0.85＝0.765. ∴E (ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.故选B. 3．【答案】 D 【解析】 由题意得⎩⎨⎧112＋m ＋n ＋112＋16＋112＝1，－2·112＋(－1)m ＋0·n ＋1·112＋2·16＋3·112＝16，即⎩⎨⎧m ＋n ＝712，12－m ＝16. ∴⎩⎨⎧m ＝13，n ＝14.二、填空题 4．【答案】 2【解析】 设？处为x ，！处为y ，则由分布列的性质得2x ＋y ＝1，∴期望E (ξ)＝1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝4x ＋2y ＝2. 5．【答案】110【解析】 由已知得，(a ×1＋b )＋(a ×2＋b )＋(a ×3＋b )＋(a ×4＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1① 又E (ξ)＝3，故(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，即30a ＋10b ＝3② 联立①、②，解得b ＝0，a ＝110，∴a ＋b ＝110.三、解答题6．解：(1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34，ξ的分布列是7．解：(1)由统计结果可得T以频率估计概率得T从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3(2)设T 1、T 2分别表示往、返所需时间，T 1、T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P (A )＝1－P (A )＝0.91. 8．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542；P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021；P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514；P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.。

第2课时 离散型随机变量的方差1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )答案 D解析 随机变量ξ服从两点分布， 所以D (ξ)＝m (1－m )． 2．(多选)已知X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则( ) A ．E (X )＝2912B ．D (X )＝121144C ．D (X )＝179144D ．E (X )＝1712答案 AC解析 ∵E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－29122×14＋⎝⎛⎭⎫2－29122×13＋⎝⎛⎭⎫3－29122×16＋⎝⎛⎭⎫4－29122×14＝179144. 3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为X 1(甲得分)0 1 2 P0.20.50.3X 2(乙得分)0 1 2 P0.30.30.4现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲、乙均可 D ．无法确定答案 A解析 ∵E (X 1)＝E (X 2)＝1.1，D (X 1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D (X 2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D (X 1)<D (X 2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好．4．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k (1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )，D (X )的值分别是( ) A ．0和1 B ．p 和p 2 C ．p 和1－p D ．p 和(1－p )p答案 D解析 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ， 故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，所以D (X )＝p (1－p )．5．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.6．已知随机变量X 的分布列如表所示：则a ＝________，D (X )＝________. 答案 0.5 3.56解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a ＝1，所以a ＝0.5， E (X )＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D (X )＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.7．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________________________． 答案 0.4,0.1,0.5 解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－p 1＋p 3＝0.1，1.21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89，p 1＋p 2＋p 3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.8．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________，此时p ＝________. 答案 14 12解析 随机变量X 的所有可能的取值是0,1，并且 P (X ＝1)＝p ，P (X ＝0)＝1－p . 从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2 ＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14. ∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (X )取最大值，最大值是14.9．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. 同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)>E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣． 10．已知X 的分布列为X －1 0 1 P1214a(1)求X 2的分布列； (2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎫1＋142×14＝1116. (3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2， D (Y )＝42D (X )＝11.11．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.158 B.154 C.52 D ．5 答案 A解析 同时抛掷两枚均匀的硬币一次，两枚硬币同时出现反面的概率为P ＝1×12×2＝14，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14， ∴D (ξ)＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158. 12．(多选)已知随机变量X 的分布列是若E (X )＝116，则( )A ．a ＝12B ．b ＝16C ．D (X )＝1736D ．D (X )＝2318答案 ABC解析 由题意得a ＋b ＝23.①由E (X )＝13＋2a ＋3b ＝116，②得2a ＋3b ＝32，联立①②，得a ＝12，b ＝16.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1162×13＋⎝⎛⎭⎫2－1162×12＋⎝⎛⎭⎫3－1162×16＝1736.故选ABC. 13．已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无法计算 答案 D解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝2(n －2)2，当n ＝2时，D (ξ)取得最小值，此时m ＝2，不符合题意，故D (ξ)无法取得最小值．14．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________． 答案 3解析 由已知得 ⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4，2⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫x 2－432＝23， 解得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2， 又x 1<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝3.15．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E (ξ)＝________，D (ξ)＝________. 答案 1 1解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为ξ 0 1 3 P131216E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.16．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别如下表：(1)在A ，B 两个投资项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资项目A,100－x 万元投资项目B ，f (x )表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B 所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取得最小值．解 (1)根据题意，知Y 1和Y 2的分布列分别如下表：从而E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2)＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝12 500(4x 2－600x ＋30 000) ＝1625(x －75)2＋3， 当x ＝75时，f (x )取得最小值3.。

离散型随机变量的方差一、选择题1．已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C.15D.142．(2012·长春高二检测)若ξ的分布列如下表所示，且E (ξ)＝1.1，则( )A.D (ξ)＝2 C ．D (ξ)＝0.5D ．D (ξ)＝0.493．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k，k ＝0,1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A ．8B ．12 C.29D ．164．(2013·石家庄高二检测)已知X 的分布列为则①E (X )＝－13，②D (X )＝3327，③P (X ＝0)＝13，其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3D.1136．甲，乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．据此判定( )表一表二A.甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同 D ．无法判定7．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)，则自动包装机________的质量较好．8．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝________. 9．变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是________．三、解答题10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 11．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：12．如图2－3－1是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6． B 7．乙 8．8 9．5910．【解析】(1)X 的分布列为：∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求． 11．【解析】根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)＜D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．12．【解析】设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513.所以X的分布列为：故X的数学期望EX＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.。

13.2.1 离散型随机变量的期望与方差—期望一．教学目标：1．了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．2．理解公式“b aE b a E +=+ξξ)(”，以及“若),(~p n B ς，则np E =ξ”．能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望．二．教学重点：离散型随机变量的期望的概念及其求法． 教学难点：离散型随机变量的期望的概念的理解． 三．教学用具：投影仪 四．教学过程： 1．复旧引新（1）离散型随机变量的分布列的概念、性质． （2）离散型随机变量服从二项分布的概念、例子．（3）提出教科书中“某射手射击所得环数ξ的分布列”的例子，可问：我们能否通过计算，预计该射手n 次射击的平均环数？2．提出离散型随机变量ξ的数学期望E ξ的概念及公式E(a ξ+b )=a E ξ+b在复习、思考、计算与讨论的基础上，教师可问：从多名射手中选拔一名参加射击比赛，我们能否根据他们各自射击的平均成绩（数学期望）作为选拔的一项标准？同时概括出：计n 次射击的平均环数。

根据这个射手射击所得的环数ξ的分布列，在n 次射击中，预计大约有P(ξ=4)×n=0.02n 次得4环, P(ξ=5)×n=0.04n 次得5环, P(ξ=6)×n=0.06n 次得6环, ……P(ξ=10)×n=0.22n 次得10环,n 次射击的总环数约等于：4×0.02n+5×0.04n+6×0.06n+……+10×0.22n =（4×0.02+5×0.04+6×0.06+……+10×0.22）n 从而，n 次射击的平均环数约等于4×0.02+5×0.04+6×0.06+……+10×0.22=8.32 类似地，对任一射手，若已知其射击所得的环数ξ的分布列，即已知各个P(ξ=i)（i=1，2，3，…，10），则可预计他任意n 次射击的平均环数是E ξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+……+10×P(ξ=10)2我们称E ξ为此射手射击所得的环数ξ的期望，它刻化了随机变量ξ所取的平均值，从另一方面反映了射手的射击水平。

习题课 离散型随机变量的期望与方差一、放回与不放回问题例1 箱子中有4个形状、大小完全相同的小球，其中红色小球2个、黑色和白色小球各1个，现从中有放回的连续摸4次，每次摸出1个球. (1)求4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率； (2)求4次摸出球的颜色种数ξ的分布列与期望.解 (1)记事件A 为“摸出1个球是红色小球”，事件B 为“摸出1个球是黑色小球”，事件C 为“摸出1个球是白色小球”，则A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝14，P (C )＝14.记事件D 为“有放回的连续摸4次，恰好有1次红球和1次黑球”，则P (D )＝A 24×12×14×⎝⎛⎭⎫142＝332. 故4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率是332.(2)随机变量ξ的可能值为1,2,3.记事件A i 为“摸出i 个红色小球”，事件B i 为“摸出i 个黑色小球”，事件C i 为“摸出i 个白色小球”. P (ξ＝1)＝P (A 4＋B 4＋C 4) ＝P (A 4)＋P (B 4)＋P (C 4) ＝⎝⎛⎭⎫124＋⎝⎛⎭⎫144＋⎝⎛⎭⎫144＝9128； P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫14 ＝132＋332＋18＝14， P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫14 ＝132＋332＋18＝14， P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫14＝164＋3128＋164＝7128， P (ξ＝2)＝P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＋P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＋P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1) ＝14＋14＋7128＝71128； P (ξ＝3)＝P (A 2·B 1·C 1＋A 1·B 2·C 1＋A 1·B 1·C 2) ＝A 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋A 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫12＋A 24⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫12 ＝316＋332＋332＝38. 故随机变量ξ的分布列为所以期望E (ξ)＝1×9128＋2×71128＋3×38＝295128.反思感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求期望可利用公式代入计算. 跟踪训练1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的期望； (2)放回抽样时，抽取次品数η的期望. 解 (1)P (ξ＝0)＝C 38C 310＝715；P (ξ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (ξ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.∴随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(2)由题意知1次取到次品的概率为210＝15，随机变量η服从二项分布η～B ⎝⎛⎭⎫3，15， ∴E (η)＝3×15＝35.二、与排列、组合有关的分布列例2 将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)设随机变量X 表示放在2号抽屉中书的本数，求X 的分布列和期望E (X ).解 (1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中，共有44＝256(种)不同放法. 记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A ， 则事件A 共包含A 44＝24(个)基本事件， 所以P (A )＝24256＝332，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)方法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝3444＝81256，P (X ＝1)＝C 14×3344＝2764，P (X ＝2)＝C 24×3244＝27128，P (X ＝3)＝C 34×344＝364，P (X ＝4)＝C 4444＝1256.所以X 的分布列为所以X 的期望为E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1. 方法二 每本书放入2号抽屉的概率为P (B )＝14，P (B )＝1－14＝34.根据题意X ～B ⎝⎛⎭⎫4，14， 所以P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫344－k ，k ＝0,1,2,3,4， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P812562764271283641256所以X 的期望为E (X )＝4×14＝1.反思感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X 取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值时的概率，利用期望的公式便可得到.跟踪训练2 如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2，0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0，2,0)，C 1 (0，0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0).(1)求V ＝0的概率； (2)求期望E (V ). 考点 常见的几种期望题点 与排列、组合有关的随机变量的期望解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12(种)，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.(2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，43，则P (V ＝0)＝35，P ⎝⎛⎭⎫V ＝16＝C 33C 36＝120，P ⎝⎛⎭⎫V ＝13＝C 23C 36＝320， P ⎝⎛⎭⎫V ＝23＝C 23C 36＝320， P ⎝⎛⎭⎫V ＝43＝C 33C 36＝120. 因此V 的分布列为V 0 16 13 23 43 P35120320320120所以E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.三、与互斥、独立事件相关的分布列例3 某公司有A ，B ，C ，D 四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，B ，C 两辆车的车牌尾号为6，D 车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A ，D 两辆汽车每天出车的概率为34，B ，C 两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2)设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和期望. 解 (1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车.P (A )＝⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫122＋C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫122＋ C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫142＝964. 所以P (A )＝1－P (A )＝5564.答 该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为5564.(2)由题意，ξ的可能值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＝164；P (ξ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫142＋C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫122 ＝18； P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫342⎝⎛⎭⎫122＋C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12·C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14＝1132；P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫122C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14＋⎝⎛⎭⎫342C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12 ＝38； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫342⎝⎛⎭⎫122＝964. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝18＋2×1132＋3×38＋4×964＝52.答 ξ的期望为52.反思感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率. 跟踪训练3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核.每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是12，外语考核合格的概率是23，假设每一次考核是否合格互不影响.假设该生不放弃每一次考核的机会.用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的期望. 考点 常见的几种期望 题点 相互独立事件的期望 解 ξ的可能取值为0,1,2.设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件A 1，A 2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件B 1，B 2， 则P (ξ＝0)＝P (A 1B 1)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 1 B 2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－23×23＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112. 根据分布列的性质，可知P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝712.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×712＋2×112＝34.四、期望问题的实际应用例4 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 考点 期望与方差的应用 题点 期望与方差的综合应用 解 (1)设顾客所获的奖励额为X ， ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11·C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意得X 的所有可能取值为20,60， P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以这位顾客所获奖励额的期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元.如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60.X 1的方差D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003，对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.反思感悟 把实际问题转化为数学问题，利用期望、方差可以来解决问题，最后通过下结论把数学问题回到解决的实际问题上去.跟踪训练4 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式变得多样，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X 的分布列及期望.解 (1)设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，他们都选择网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.(2)X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310，k ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120，故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P72421407401120期望为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.1.甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X 表示他的得分，计算X 的期望为( )A.0.5B.－0.5C.1D.5 答案 B解析 E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－0.5.2.某一供电网络有n 个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p ，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( ) A.np (1－p ) B.np C.n D.p (1－p )答案 B解析 用电单位个数X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np .3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的期望与方差分别为( )A.E (X )＝0，D (X )＝1B.E (X )＝12，D (X )＝12C.E (X )＝0，D (X )＝12D.E (X )＝12，D (X )＝1答案 A解析 由题意知，随机变量X 的分布列为X－11∴E (X )＝(－1)×12＋1×12＝0，D (X )＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.4.2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生其中2次成绩达到全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达到全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达到全区前20名与否互相独立.(1)求该学生进入省队的概率；(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的期望.解 (1)记“该生进入省队”为事件A ，其对立事件为A ， 则P (A )＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343×34＋⎝⎛⎭⎫344＝81128. ∴P (A )＝1－P (A )＝1－81128＝47128.(2)该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2,3,4,5. P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫142＝116， P (ξ＝3)＝C 12×14×34×14＝332， P (ξ＝4)＝C 13×14×⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫344 ＝27256＋81256＝2764， P (ξ＝5)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764. 故ξ的分布列为E (ξ)＝2×116＋3×332＋4×2764＋5×2764＝26964.。

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

属于基础题或中档题的层面。

高考中一定要尽量拿满分。

● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。

● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。

2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。

4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。

● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。

① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。

② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。

③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。

④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。

（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。

离散型随机变量的数学期望和方差同步训练(选修2—3）姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．已知随机变量ηηξηξ，D E B 则,32),2.0,10(+=≈的值A ．4,1。

6B ．7，0.8C ．7，6。

4D ．4，0.82 ．设ξ是离散型随机变量,21(),()33P a P b ξξ====，且a 〈b ．又42,,39E D ξξ==则a+b 的值为（ ）A ．35B ．73C ．3D ．1133 ．设ξ～B （n ，P )，若有12E ξ=,4D ξ=，则n ，P 之值分别为A ．15和14B ．16和12C ．20和13D ．18和234 ．抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ）.A ．103B ．559C ．809D ．5095 ．已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2。

4，D ξ＝1。

44,则二项分布的参数n ,p 的值为A ．n =4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0。

3D ．n ＝24，p =0.1 6 ．设随机变量~(0,1)N ξ，若()(01)P x m m ξ>=<<，则(||)P x ξ≤的值等于（ ）A ．2m B ．12m -C ．12m -D ．12m -7 ．已知随机变量ξ~B （n ， p),且E （ξ）=1.6， D （ξ）=1。

28，则n, p 分别是（ ）A ．n=10, p=0.2B ．n=8, p=0.2C ．n=10， p=0.4D ．n=8， p=0.48 ．若()~,B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则P （1ξ=｜）的值为A ．42-B ．82-C ．232-⨯D ．1032-⨯9 ．已知随机变量ξ的分布列为且设12+=ξη，则η的期望值是A ．1B ．3629 C ．32 D ．61- 10．如图，旋转一次圆盘，指针落在圆盘3分处的概率为a ，落在圆盘2分处的概率为b ，落在圆盘0分处的概率为c ，已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分，则ab 的最大值A ．481 B ．241C ．121 D ．6111．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）A ．32 B ．31C ．1D ．012．已知随机变量ξ的分布列为ξ2- 1- 0 1 2 3p121mn121 61 121 其中)1,0[,∈n m ,且6=ξE ,则n m ,的值分别为( ) A ．121,21 B ．61,61 C ．41，31 D ．31，41二、填空题13．随机变量ξ的分布列如下:ξ-1 0 1Pa13 12则(31E ξ+）的值是_____________． 14．三封信随机投入A ，B ，C ，D 四个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ=15．一射手对靶射击,直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹,则尚余子弹数目ξ的期望为16．从1，2，3，4,5这五个数中有放回地取两个数字，则这两个数之积的数学期望为 ． 三、解答题17．某君向一目标射击，击中目标的概率为31 （Ⅰ）若他连续射击5次，求他至少2次击中目标的概率；（Ⅱ）若他只有5颗子弹，每次射击一发,一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去，求他转移前射击次数的分布列和期望。

离散型随机变量的期望和方差(参考答案)想一想①：1.解：ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.对应的概率均为61.易得Eξ=3.5.2.解：E(2ξ+3)=2Eξ+3=37.想一想②：证: D(X +Y)=E[(X +Y)2]−[E(X +Y)]2=E[X 2+Y 2+2XY]−[E(x)+E(Y)]2 =E(X 2)+E(Y 2)+2E(X)E(Y)−[E(X)]2 −[E(Y)]2−2E(X)E(Y)={E(X 2)−[E (X )]2}+{E(Y 2)−[E (Y )]2}=D(X)+D(Y).想一想③：1.解：Eξ=np=7，Dξ=np(1－p)=6，所以p=17.2.解：Dξ=npq≤n(p+q 2)2=n4，等号在p=q=12时成立，此时，Dξ=25，σξ=5.答案：12； 5.想一想④：解：要使保险公司能盈利，需盈利数ξ的期望值大于0，故需求Eξ. 设ξ为盈利数，其概率分布为且Eξ=a(1－p 121212要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a ＞30000p 1+10000p 2.想一想⑤：1.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P(ξ=5)=C 41C 33C 74=435，P(ξ=6)=C 42C 32C 74=1835，P(ξ=70)=C 43C 31C 74，P(ξ=8)=C 44C 30C 74，Eξ=5435.2.解：分析，可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．设来领奖的人数ξ=k,(k =0,1,2,⋯,3000)，所以P(ξ=k)=C 3000k(0.04)k ⋅(1−0.04)30000−k ，可见ξ~B (30000,0.04)，所以， Eξ=3000×0.04=120(人)100>(人)． 答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．想一想⑥：解：设X~B(n,p), 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数.若设X i ={1 如第i 次试验成功0 如第i 次试验失败i =1,2，…，n则X =∑X i n i=1是n 次试验中“成功”的次数，E(X i )=0×q +1×p =p ， 故D(X i )=E(X i 2)−[E(X i )]2=p −p 2=p(1−p)，1,2,,i n =由于X 1，X 2，X 3⋯，X n 相互独立，于是D(X)=∑D(X i )n i=1pq.习题2.3 1．解：由已知q 应满足：解得q =1−√12故ξ的分布列为∴Eξ=(−1)×1+0×(√2−1)+1×(−√2)=−+3−√2=1−√2.Dξ=[−1−(1−√2)]2×12+(1−√2)2×(√2−1)+[1−(1−√2)]2×(32−√2)=(√2−2)2×12+(√2−1)3+2(32−√2).12-=2.解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B(50，0.8)，η=2ξ，故成绩的期望为Eη=E(2ξ)=2Eξ=2×50×0.8=80(分). 成绩的标准差为ση=√Dη=√D(2ξ)=√4Dξ=2√50×0.8×0.2=4√2≈5.7(分). 3.该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ＝1，表示一发即中，故概率为P(ξ=1)=0.8;ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P(ξ=2)=(1−0.8)×0.8=0.16; ξ＝3，表示前二发未中，第三发命中，故P(ξ=3)=(1−0.8)2×0.8=0.032; ξ＝4，表示前三发未中，第四发命中，故P(ξ=4)=(1−0.8)3×0.8=0.0064； ξ＝5，表示第五发命中，故P(ξ=5)=(1−0.8)4⋅1=0.24=0.0016. 因此，ξ 的分布列为Eξ==1.25=0.05+0.09+0.098+0.0484+0.0225=0.31.说明：此题的随机变量ξ并不服从几何分布.故不能用公式来求期望和方差.要特别注意. 4.解：(1)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6， 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0， 所以ξ的可能取值为1，3. P(ξ=3)=P(A 1·A 2·A 3)+ P(A 1⋅A 2⋅A 3) = P(A 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P(ξ=1)=1－0.24=0.76，所以ξ的分布列如右. E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48.(2)方法1. 因为f(x)=(x −32ξ)2+1−94ξ2, 所以函数f (x )=x2−3ξx +1在区间[32ξ,+∞)上单调递增，要使f(x)在[2,+∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤43. 从而；⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q qP(A)=P(ξ≤43)=P(ξ=1)=0.76. 方法2.ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2−3x +1在区间[2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2−9x +1在区间[2,+∞)上不单调递增.所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.5.解：(1)由E ξ=np=3，D ξ=np(1-p)=32，得n=6，p=12. ξ的分布列为：P(A)=1+6+15+2064=2132或P(A)=1-P(ξ>3)=1-1+6+1564=2132.6.解：(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.ξ1、ξ2的分布列分别为：(2)令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， P(A)=0.15+0.15=0.3， P(B)=0.24+0.08=0.32. 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. (3)令ηi 表示方案i 所带来的效益，则所以Eη1=14.75,Eη2=14.1，可见，方案一所带来的平均效益更大.7.(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别都只含有1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.其中第一排可有11,12两种，第二排可有21，22两种，第三排可有1，2两种. ∴ P(ξ=2)=234=18. (2)由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.当ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2， 3或1，2，4.若为1,2,3时，由于第一排总有1，第二排总有2，第一排取11有5种不同的情形，第一排取12也有5种不同的情形，第一排取13有9种不同的情形，共有19种不同的情形；同理若为1，2，4时也有19种情形. ∴ P(ξ=3)=2×1943=1932.若ξ=4, 则 P(ξ=4)=A 31A 22+A 32A 2243=932(或用1−P(ξ=2)−P(ξ=3)求得).∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=2×18+3×1932+4×932=10132.。

离散型随机变量均值与方差专题练习一、单选题（共16题；共32分）1.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B），P （B|A）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.977，则P（﹣1＜ξ＜3）=（）A. 0.683B. 0.853C. 0.954D. 0.9773.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ，E（X）=1，则D（X）=（）A. B. C. D.4.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X＜4）=（）A. 0.6826B. 0.3413C. 0.4603D. 0.92075.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）A. B. C. D.6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.7.下面说法中正确的是（）A. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值B. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平C. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平D. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值8.每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为（）A. B. C. D.9.已知随机变量，则（）A. B. C. D.10.设随机变量的分布列为，，则等于（）A. B. C. D.11.现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）A. B. C. D.12.已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A. 100，0.8B. 20，0.4C. 10，0.2D. 10，0.813.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A. 5B. 9C. 10D. 2514.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A. 0.401B. 0.104C. 0.410D. 0.01415.已知随机变量的概率分布列如下表所示：50.4且的数学期望，则（）A. B. C. D.16.用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（）A. B. C. D.二、解答题（共7题；共65分）17.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P （A）和P （B|A）．18.某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.20.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．21.某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．22.甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X，求X的分布列和数学期望．23.由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，∵“至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6﹣5×5×5=91，“三个点数都不相同”则只有一个6点，共C31×5×4=60种，∴P（A|B）= ；P（B|A）其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，∴P（B|A）= ．故选A．【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P（A|B），P（B|A）的意义，即可得出结论．2.【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，1），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜3）=0.977，∴P（ξ＞3）=0.023，∴P（﹣1≤ξ≤3）=1﹣2P（ξ＞3）=1﹣0.046=0.954．故选：C．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.023，依据正态分布对称性，即可求得答案．3.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，∵E（X）=0× +p+2q=1①，又+p+q=1，②由①②得，p= ，q= ，∴D（X）= （0﹣1）2+ = ，故选：B．【分析】设P（X=1）=p，P（X=2）=q，则由P（X=0）= ，E（X）=1，列出方程组，求出p= ，q= ，由此能求出D（X）．4.【答案】A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（X≥4）=0.1587，∴P（2＜X＜4）=1﹣2P（X≥4）=1﹣0.3174=0.6826．故选：A．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴x=μ=3，利用对称性，即可求得P（2＜X ＜4）．5.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式，条件概率与独立事件【解析】【解答】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故答案为：D.【分析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有18 个,甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有14个,由古典概型的概率公式求得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率.6.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故答案为：D【分析】X的可能取值为2，3，4，5，6，7，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，由此能求出摸取次数X的分布列，最后利用数学期望求解即可．7.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故答案为：C.【分析】由离散型随机变量的均值与方差的意义判断。

《离散型随机变量的方差》同步练习一、选择题1.下列说法正确的是( )A.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的概率的平均值B.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平C.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的波动水平D.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平2.已知随机变量X的分布列如下表( )则X的方差DX=( )A.1B.2C.3D.93.设0<p<1,随机变量ξ的分布列如下表:则当p在(0,1)内逐渐增大时( )A.Dξ增大B.Dξ减小C.Dξ先增大后减小D.Dξ先减小后增大二、填空题4.已知随机变量X的分布列如下表:则X 的方差为______,标准差为______.5.已知随机变量的分布列如下表所示,则E ξ=______,D ξ=______.6.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105,随机变量X 1取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2,随机变量X 2取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2,若记DX 1,DX 2分别为X 1,X 2的方差,则DX 1______DX 2. (填“>”“=”或“<”) 三、解答题7.已知随机变量X 的分布列如下表:求DX 和8.甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X 1,X 2的分布列如下表:用击中环数的均值与方差分析比较两名射手的射击水平.9.甲、乙两名选手在一次比赛中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列如下表:(1)求a,b的值;(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙选手的水平状况.参考答案1. 答案:D解析:因为离散型随机变量X 的均值EX 反映了X 取值的平均水平,离散型随机变量X 的方差DX 反映了随机变量偏离于均值的平均程度,即反映了X 取值的波动水平,所以A,B,C 均错误,D 正确. 2. 答案:A解析:由题意可知,1111,326a =--=则2221111110131,(01)(11)(31) 1.326326EX DX =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=3. 答案:A解析:111(1)01,22222p p p E ξ-=-⨯+⨯+⨯=-22111()()22222p pD ξ=--⨯+-⨯22135()(1),222224p p p p -+-⨯=--+ 因为0<p <1, 所以当p 在(0,1)内增大时,D ξ递增. 4.答案:3.56解析:10.430.150.5 3.2,EX =⨯+⨯+⨯=所以22(1 3.2)0.4(3 3.2)0.1DX =-⨯+-⨯+2(5 3.2)0.5 3.56.-⨯=所以X ==5. 答案:1839-解析:由随机变量ξ的分布列可得121,.33m m +==所以21111,333E ξ=-⨯+⨯=-2212118(1)(1).33339D ξ=-+⨯++⨯=6. 答案:>解析:由题意可知EX 1=EX 2,又由题意可知X 1的波动性较大,从而有DX 1>DX 2. 7.答案:见解析解析:00.110.220.430.240.12,EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2,DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=1.095.=≈8.答案:见解析解析:180.290.6100.29,EX =⨯+⨯+⨯=280.490.2100.49,EX =⨯+⨯+⨯=2221(89)0.2(99)0.6(109)0.20.4,DX =-⨯+-⨯+-⨯= 2222(89)0.4(99)0.2(109)0.40.8,DX =-⨯+-⨯+-⨯=表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8~10环. 9.答案:见解析解析:(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a +0.1+0.6=1,所以a =0.3. 同理0.3+b +0.3=1,b =0.4.(2)10.320.130.6 2.3,E ξ=⨯+⨯+⨯=10.320.430.32,E η=⨯+⨯+⨯=222(1 2.3)0.3(2 2.3)0.1(3 2.3)0.60.81.D ξ=-⨯+-⨯+-⨯= 222(12)0.3(22)0.4(32)0.30.6.D η=-⨯+-⨯+-⨯=由于,E E ξη>说明在一次比赛中,甲的平均得分比乙高,但,D D ξη>说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人的水平都不够全面,各有优势与劣势.。

离散型随机变量的期望与方差一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则A. B. C. D.2. 甲、乙、丙名射箭运动员在某次测试中各射箭次，人的测试成绩如下表：，，分别表示甲、乙、丙名运动员这次测试成绩的标准差，则有A. B. C. D.3. 随机变量服从二项分布，那么的值为A. B. C. D.4. 设随机变量的概率分布列为，则和的值分别是A. 和B. 和C. 和D. 和5. 如果随机变量表示抛掷一个各面分别标有，，，，，的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量的均值为A. B. C. D.6. 一篮球运动员投篮一次得分的概率为，得的概率为，不得分的概率为，其中，，，已知他投篮一次得分的数学期望为（不计其他得分情况），则的最大值为A. B. C. D.7. 设件产品中有件次品，从中抽取件进行检查，则查得次品数的数学期望A. B. C. D.8. 有张卡片，其中张标有数字，张标有数字，从中抽出张卡片，设张卡片上数字之和为，则的期望是A. B. C. D.9. 某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则的值为A. B. C. D.10. 已知随机变量的分布列为，，，，则等于A. B. C. D.11. 设，随机变量的分布列是则当在内增大时，A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小12. 口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为，，，，，从中任取个球，以表示取出球的最小号码，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 已知的分布列且，，则．14. 一个均匀小正方体的个面中，个面上标以数，个面上标以数，一个面上标以数．将这个小正方体抛掷次，则向上的数之积的数学期望是．15. 若随机变量的分布列是，，则．16. 袋中有个红球，个白球，从中任取一个球，记住颜色后放回，连续摸取次，设为取得红球的次数，则的期望．17. 已知离散型随机变量的分布列为则变量的数学期望，方差．三、解答题（共5小题；共65分）18. 某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海遇好天气可收益元．出海后遇坏天气将损失元，若不出海无论天气好坏将损失元，据气象部门预测，下个月好天气的概率为，坏天气的为，该公司如何决策?19. 一篮球运动员投篮的命中率为，以表示他首次投中时已投篮的次数，求的数学期望．20. 一次数学测验由道选择题构成，每道选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得分，不作出选择或选错不得分，满分分．某学生选对任一题的概率为，求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差．21. 盒子中装有标号为，，，的四张卡片，盒子中装有标号为，，，的四张卡片．从中各取一张卡片，试求：（1）所取出的两张卡片上的数字之和的数学期望；（2）所取出的两张卡片上的数字之积的数学期望．22. 一只袋中装有编号为，，，，的个小球，，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出个小球，记取得的个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为，如，或，或或，记的数学期望为．（1）求，；（2）求．答案第一部分1. C2. B3. B4. D5. C6. B7. B8. A9. C10. A11. D12. B 【解析】能取的值有，，，而，，，所以，．第二部分13.14.15.16.17. ，第三部分18. 设渔业公司的收益为元，由题意得．所以该公司的决策为出海．19. 由条件可知，随机变量服从几何分布，则，所以．20. 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数为，则＝．由题意知，则，，，，所以该学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别是和．21. 从，盒子中各取一张卡片，其数字，的分布列分别为则，．（1）所取出的两张卡片上的数字之和的数学期望．（2）所取出的两张卡片上的数字之积的数学期望．22. （1）或，，，所以的分布列为：则．或或，，，，的分布列为：则．（2），，，所以。

1.2 离散型随机变量的期望与方差 典型例题例1、一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为ξ ，显然ξ 可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（5,4,3,2,1,0=k ）次品，则其概率为510059010)(C C C k P kk-⋅==ξ按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有.0)5( ,0)4( ,07.0)3( ,070.0)2( ,340.0)1( ,583.0)0(============ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P P P故ξ 的分布列为.501.00504007.03070.02340.01583.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E由分布列可知，.007.0)3( ,00007.0)3( =≥∴++=≥ξ ξ P P这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．例2、 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ． 分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式np E =ξ可得解．解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=⨯=ξE ．说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题kkkC k P --⋅==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察到这是()05.0,10~B ξ．例3、设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E 、．分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E 、只须按定义代公式即可． 解： 离散型随机变量的分布满足 （1）,,3,2,1,0 =≥i P i（2）.1321=+++ P P P 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q 解得 .211-=q故ξ 的分布列为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⨯+⨯-=∴2231)12(021)1(ξ E .2122321 -=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--+-⨯-+⨯---=223)]21(1[)12()21(21)]21(1[ 222ξ D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⨯-=2232)12(21)22( 32.12223123622223 -=-+-+-+-=小结：解题时不能忽视条件i i p k P ==)(ξ时，10≤≤i p ，⋅⋅⋅=,2,1i 否则取了1>q 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．例4、有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P nn n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n nk P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为：211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n nn nnnE ξ；nn n nn k nn nn nn D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数1ξ的数学期望和方差为：;3.12.032.023.013.001=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD乙保护区的违规次数2ξ的数学期望和方差为：;3.14.025.011.002=⨯+⨯+⨯=ξE41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ；因为2121,ξξξξD D E E >=，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差64.0,1.12211≈===ξσξξσξD D 这两个值在科学计算器上容易获得，显然，σξσξ>1）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．例6、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ ＝1，表示一发即中，故概率为;8.0)1(==ξ Pξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝5，表示第五发命中，故.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P因此，ξ 的分布列为0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D.31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．例7、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：设来领奖的人数)3000,,2,1,0(, ==k k ξ，所以kk k C k P --⋅==300003000)04.01()04.0()(ξ，可见()04.0,30000~B ξ，所以，12004.03000=⨯=ξE （人）100>（人）．答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品． 说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．教你如何用WORD 文档 (2012-06-27 192246)转载▼ 标签： 杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）离散型随机变量的期望和方差练习一.选择题 (每小题5分,12个小题共60分)1．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n ，P)，且 E ξ=7，D ξ=6，则P 等于（ ） A ．71 B ．61 C ．51 D ．41 2．设离散型随机变量ξ满足E ξ=－l ，D ξ=3，则E[3(ξ－2)]等于（ ）A ．9B ．6C ．30D ．363．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A ．15B ．10C ．20D ．5 4．已知随机变量的的分布列为则DE 等于（ ）A ．0B ．0.8C ．2D ．15．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ） A ．103 B ．559 C ．809 D ．5096．已知随机变量ξ满足ξD =2,则()=+32ξD （ ）A.2B.4C.5D.87. 某服务部门有n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p , 则该部门一天中平均需要服务的对象个数是 ( ) A . n p (1－p) B. n p C. n D. p (1－p)8.设随机变量ξ的概率分布为P （ξ=k ）=p k ·(1－p)1－k(k=0，1),则E ξ、D ξ的值分别是（ ）A.0和1B.p 和p 2C.p 和1－pD.p 和(1－p)p 9. 事件在一次试验中发生次数ξ的方差ξD 的最大值为（ ）ξ 1 2 3P 0.4 0.2 0.4A. 1B.21C.41D. 210. 口袋中有5只球，编号为5,4,3,2,1，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则=ξE （ ） A. 4B. 5C. 4.5D.4.7511． 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金（ ）A.a p )1(- B . a p )1(+ C. a p )21.0(+ D. a p )1.0(+ 12.A 、B 两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A 、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为21，ξ为比赛需要的场数，则=ξE ( ) A. 1673 B. 1693 C.1893 D. 1873二.填空题 (每小题4分,12个小题共16分)13．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ． 14．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为 .15. 对三架机床进行检验，各机床产生故障是相互独立的，且概率分别为1P 、2P 、3P ，ξ为产生故障的仪器的个数，则=ξE .16.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）三.解答题（第17、18、19、20、21小题每小题12分, 第22小题14分,6个小题共74分） 17．A 、B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A 、B 两个方案至少一个成功的概率为0.36，（1）求两个方案均获成功的概率；（2）设试验成功的方案的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．18.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

离散型随机变量的期望与方差一、选择题（共12小题；共60分）1. 一批产品中，次品率为现连续抽取次，其次品数记为，则的值为A. B. C. D.2. 设一随机实验的结果只有和，且，今令随机变量发生不发生，则的方差A. B. C. D.3. 若的分布列为其中，则A. ，B. ，C. ，D. ，4. 设件产品中含有件次品，从中抽取件进行检查，则查得次品数的数学期望为A. B. C. D.5. 设抛掷颗骰子的点数为，则A. ，B. ，C. ，D. ，6. 一牧场有头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为．设发病的牛的头数为，则等于A. B. C. D.7. 如果袋中有六个红球，四个白球，从中任取一球，确认颜色后放回，重复摸取四次，设为取得红球的次数，那么的均值为A. B. C. D.8. 已知随机变量的概率分布列如表所示，且的数学期望，则A. ，B. ，C. ，D. ，9. 已知随机变量满足，，．若，则A. ，B. ，C. ，D. ，10. 为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有次射门机会，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得分，踢进一个得分，一个未进得分，记为个同学的得分总和，则的数学期望为A. B. C. D.11. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差A. B. C. D.12. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是，同学乙猜对成语的概率是，且规定猜对得分，猜不对得分，则这两个同学各猜次，得分之和（单位：分）的均值为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 设离散型随机变量可能取的值为，，，，，又的数学期望，则．14. 一个不透明的袋子中装有大小相同的个黑球，个白球，每次有放回的任意摸取一个球，共摸取次，若用表示取到白球的次数，则的数学期望与方差分别为．15. 已知随机变量的分布列为：若，则，．16. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记分，没有击中记分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为，．17. 某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得等级的概率分别为，，，且三门课程的成绩是否取得等级相互独立．记为该生取得等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望的值为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 袋中装着标有数字的小球个，标有数字的小球个．从袋中任取一个小球，用表示“取到标有数字的个数”，即当取到标有数字的小球时当取到标有数字的小球时．求随机变量的均值和方差．19.将一枚殷子连续投掷两次，以随机变量表示两次所掷点数的和，求随机变量的数学期望．20. 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．（1）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；（2）在（）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．21. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为元（不足小时的部分按小时计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；22. 为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射击运动员进行一次选拔赛．已知甲、乙在每次射击中击中的环数均大于，且甲射中，，，环的概率分别为，，，，乙射中，，环的概率分别为，，．（1）求，的分布列；（2）求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．。

第七节离散型随机变量的期望与方差一、选择题1．下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述①Eξ与Dξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，它们不具有随机性a，b内，则a≤Eξ≤b②若离散型随机变量一切可能取值位于区间[]③离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度④离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数以上4个描述正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：D2．设Eξ＝10，Eη＝3，则E(3ξ＋5η)＝()A．45 B．40 C．35 D．15解析：E(3ξ＋5η)＝3Eξ＋5Eη＝3×10＋5×3＝45.答案：A3．已知随机变量X的分布列是：且EX＝7.5，则aA．5 B．6 C．7 D．8解析：b＝1－0.3－0.1－0.2＝0.4EX＝4×0.3＋a×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5.∴a＝7.答案：C4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为()A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4解析：ξ＝0,1,2,3，此时P(ξ＝0)＝0.43，P(ξ＝1)＝0.6×0.42，P(ξ＝2)＝0.6×0.4，P(ξ＝3)＝0.6，Eξ＝2.376.答案：C5．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ＝()A ．4B ．4.75C ．4.5D ．5 解析：P (ξ＝3)＝1C 35＝110， P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝35Eξ＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5. 答案：C 二、填空题6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______．解析：EA 1＝50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7， EA 2＝70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5， EA 3＝－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7， EA 4＝98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6. 在四个均值中，EA 3最大，所以应选择的方案是A 3. 答案：A 37．(2009年上海卷)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先ξ∈{0,1,2}．∴P (ξ＝0)＝C25C27＝1021，P (ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P (ξ＝2)＝C22C27＝121.∴Eξ＝0·1021＋1·1021＋2·121＝1221＝47.答案：478．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的方差是________．解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ＝0,1,2,4，则P (ξ＝0)＝C 13C 13＋C 13C 12＋C 12C 13＋C 13C 11＋C 11C 13C 16C 16＝34， P (ξ＝1)＝C 12C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝2)＝C 12C 11＋C 11C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝4)＝C 11C 11C 16C 16＝136， ∴ Eξ＝19＋29＋436＝49.∴Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－492×34＋⎝⎛⎭⎫1－492×19＋⎝⎛⎭⎫2－492×136＝182729. 答案：182729三、解答题9．(2009年浙江卷)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列数学期望Eξ及方差Dξ. 解析：(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A ， 则P (A )＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是所以ξ的数学期望Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝23.Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－232×512＋⎝⎛⎭⎫1－232×12＋⎝⎛⎭⎫2－232×112＝2154. 10．(2009年山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命率为q 2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解析：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8.(2)根据题意P1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.P2＝P(ξ＝3)．＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.P3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48.P4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。