【名师一号】2016届高三数学一轮总复习课件：选修4选4-5-2 不等式证明的基本方法

第2讲 不等式的证明[最新考纲]了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．知 识 梳 理1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )(∑i ＝1nb 2i )≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．诊 断 自 测1．已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，M ＝a b ，N ＝a ＋mb ＋m，则M 、N 的大小关系是________．解析 M －N ＝a b －a ＋m b ＋m ＝m a －bb b ＋m＜0，即M ＜N .答案 M ＜N2．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析 分子有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6， ∴a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c3．若0＜a ＜b ＜1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的一个是________．解析 ∵a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab . 又(a 2＋b 2)－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)， ∵0＜a ＜1,0＜b ＜1. ∴a (a －1)＋b (b －1)＜0. ∴a 2＋b 2＜a ＋b . 答案 a ＋b4．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1xy 2＝4. 答案 45．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________．解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 答案3考点一 分析法证明不等式【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋cab≥ 3(a ＋b ＋c )． 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3，由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． ∴原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥ a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＝b ＝c ＝33时等号成立. ∴原不等式成立．规律方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【训练1】 已知a 、b 、c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c )． 证明 ∵a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ]≥ 8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )．①∵(c ＋a )＋(a ＋b )≥2 c ＋a a ＋b ＞0， (a ＋b )＋(b ＋c )≥2 a ＋b b ＋c ＞0. (b ＋c )＋(c ＋a )≥2 b ＋c c ＋a ＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证．考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×ab＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.规律方法 利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式．【训练2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.证明 法一 ∵a ，b ，c ∈R ＋，且互不相等，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ca＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b＋1c.∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.法二 ∵1a ＋1b≥21ab＝2c ；1b ＋1c ≥21bc＝2a ； 1c ＋1a≥21ac＝2b .∴以上三式相加，得 1a ＋1b ＋1c≥ a ＋b ＋c .又∵a ，b ，c 互不相等， ∴1a ＋1b ＋1c＞a ＋b ＋c .法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.考点三 利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(2013·湖北卷)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.(2)已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则：1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析 (1)由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤14，则x ＋2y ＋3z ≤14， 又x ＋2y ＋3z ＝14，∴x ＝y 2＝z 3，因此x ＝1414，y ＝147，z ＝31414， 于是x ＋y ＋z ＝3147.(2)法一 利用柯西不等式．由于(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ·1x＋y ·2y＋z ·3z 2＝36. 所以1x ＋4y ＋9z≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．法二1x＋4y ＋9z ＝1x (x ＋y ＋z )＋4y (x ＋y ＋z )＋9z(x ＋y ＋z )＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36.当且仅当y ＝2x ，z ＝3x ，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．答案 (1)3147(2)36规律方法 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．【训练3】 (2013·湖南卷)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析 法一 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.法二 由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36， 故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案 12利用算术—几何平均不等式求最值【典例】 已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．[审题视点] (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件． 解 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．[反思感悟] (1)利用算术—几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a ，b ，c 的值时计算出错． 【自主体验】设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.证明 因为a ，b ，c 是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a 3＋1b3＋1c3≥331a3·1b 3·1c3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc.所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23，当且仅当a ＝b ＝c 且abc ＝3时，取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.一、填空题1．(2013·江苏卷改编)已知a ≥b ＞0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M 、N 的大小关系为________．解析 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .答案 M ≥N2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是________．解析 由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 132 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1， ∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．答案 653．若直线3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________，最小值点为________．解析 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.答案 425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫625，8254．若a ，b 均为正实数，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________．解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b ＞2a ，ba＋a ＞2b ，∴a b ＋b ＋ba ＋a ＞2a ＋2b ， ∴a b ＋ba＞a ＋b .即M ＞N . 答案 M ＞N5．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为________．解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ·2a ＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.答案 26．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 解析3a ＋2b ＋c ＝ 3 a ＋2b ＋133c ≤⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13 a ＋2b ＋3c ＝39，故最大值为39.答案397．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.答案 28．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为________．解析 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＋ 2 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 132 ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3. 当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－2 3. 答案 －2 39．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为________． 解析 法一 利用基本不等式(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)]＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 法二 利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]． 又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立． ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 答案 3 2 二、解答题10．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 法一 ∵a ，b ，c 均为正数，∴1＝a ＋b ＋c ≥ 33abc .又1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝33abc，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·1≥313abc·33abc ＝9.即1a ＋1b ＋1c≥9.法二 构造两组数：a ， b ， c ；1a，1b，1c.因此根据柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ×1a＋b ×1b＋c ×1c 2.即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32＝9.(当且仅当a1a ＝b1b ＝c1c ，即a ＝b ＝c 时取等号)又a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c≥9. 11．设不等式|2x －1|＜1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解 (1)由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1， 解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .12．(2012·福建卷)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解 ∵f (x ＋2)＝m －|x |， ∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，且a ，b ，c 大于0，a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c≥3＋22ab 2ab ＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b3c＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.。