【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修二课后练习：直线和圆的位置关系 一

直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系．理解直线与圆的三种位置关系．(重点)．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)教材整理 直线与圆的位置关系的判定阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．直线与圆的位置关系的判定代数法：由(\\(＋＋＝,(－(＋－(＝))消元得到一元二次方程的判别式Δ直线＋－＝与圆＋＝的位置关系是( )．相交 ．相切．相离．无法判断【解析】 圆心()到直线＋－＝的距离＝＝，又圆＋＝的半径＝，∴＝，故直线与圆相切．【答案】已知直线方程－－－＝，圆的方程＋－－＋＝.当为何值时，直线与圆：()有两个公共点；()只有一个公共点；()没有公共点．【精彩点拨】可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较判断．【自主解答】法一：将直线－－－＝代入圆的方程，化简、整理得，(＋)－(＋＋)＋＋＋＝.∵Δ＝(＋)，∴当Δ＞，即＞或＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝，即＝或＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜，即－＜＜时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(－)＋(－)＝，即圆心为()，半径＝.圆心()到直线－－－＝的距离＝＝.当＜，即＞或＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当＝，即＝或＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当＞，即－＜＜时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆的位置关系的判断方法．几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断．．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．。

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学直线和圆的位置关系课后练习一（含解析）新人教A版必修2已知直线y=-2x+m，圆x2+y2+2y=0．（1）m为何值时，直线与圆相交？（2）m为何值时，直线与圆相切？（3）m为何值时，直线与圆相离？题1已知直线l：2x+3y+1=0被圆C：x2+y2=r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C 截得的弦长同样为d的直线是（）．A．2x+4y-1=0 B．4x+3y-1=0 C．2x-3y-1=0 D．3x+2y=0题2过点M（2，1）作圆x2+y2=5的切线，求切线方程．题3已知点P(x，y)是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．题4求与圆x2+（y-2）2= 4相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．题5从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是．题6若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．题7已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程． 题8已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 0x y --=相切． (Ⅰ) 求圆的标准方程；(Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ．题9点M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )．A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交课后练习详解题1答案：（1）1--m <1-+（2）m =1-m =1-（3）m <1-m >1-详解：由y ＝−2x +m 和x 2+y 2+2y ＝0，得5x 2-4(m +1)x +m 2+2m =0．△=16(m +1)2-20(m 2+2m )=-4[(m +1)2-5]，当△＞0时，(m +1)2-5＜0，∴1-m <1-当△=0时，m =1-m =1-+当△＜0时，m <1-或m >1-故5-1-<m <1-m =1--m =1-+m <1--m >1-+题2 答案：C ．详解：∵圆x 2+y 2=r 2的圆心O （0，0）到直线l ：2x +3y +1=0的距离m =1313， 又直线l ：2x +3y +1=0被圆C ：x 2+y 2=r 2所截得的弦长为d ， ∴弦心距1313，弦长之半2d与圆半径r 组成的直角三角形，即222)1313()2(+=dr ，∵圆心O （0，0）到直线2x +4y -1=0的距离 1313105421221≠=+=m ，故A 与题意不符； 同理可得圆心O （0，0）到直线4x +3y -1=0的距离13132≠m ，故B 与题意不符；圆心O （0，0）到直线2x -3y -1=0的距离13133=m 符合题意；而圆心O （0，0）到直线3x +2y =0的距离13134≠m 故D 与题意不符；故选C ． 答案：2x +y -5=0．详解：由圆x 2+y 2=5，得到圆心A 的坐标为（0，0），圆的半径5=r ，而|AM |=r ==+514，所以M 在圆上，则过M 作圆的切线与AM 所在的直线垂直，又M （2，1），得到AM 所在直线的斜率为21，所以切线的斜率为-2， 则切线方程为：y -1=-2（x -2）即2x +y -5=0． 题3答案：最大值为115，最小值为15．详解：圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为 d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65． ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15．题4答案：y =0或x +y -222±=0．详解：设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为0）的直线l 方程为x +y =a ，则由题意得：x 2+(y −2)2＝4和x +y ＝a ，消去y 得：2x 2+（4-2a ）x +a 2-4a =0，∵l 与圆x 2+（y -2）2=4相切，∴△=（4-2a ）2-4×2（a 2-4a ）=0，解得a =222±，∴l 的方程为：x +y -222±=0， 当坐标轴上截距都为0时，y =0与该圆相切； 故答案为：y =0或x +y -222±=0． 题5 答案：214． 详解：如图设从直线x -y +3=0上的点P 向圆C ：（x +2）2+（y +2）2=1引切线PD ，切点为D ，则|CD |=1，在Rt △PDC 中，要使切线长PD 最小，只需圆心C 到直线上点P 的距离最小，∵点C （-2，-2）到直线x -y +3=0的距离CP ′最小为2d =，∴切线长PD 的最小值为214129'22=-=-CD C p 题6 答案：4．详解：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4．答案：4 题7答案：（1）相交；（2）6x +4y +13=0；（3）4y =-和2512y +=x ． 详解：（1）圆C 1：x 2+y 2+2x +6y +9＝0化成标准形式：（x +1）2+（y +3）2=1 ∴圆心C 1（-1，-3），半径r 1=1同理，得到圆C 2：x 2+y 2−4x +2y −4＝0的圆心C 2（2，-1），半径r 2=3 ∵|r 1-r 2|=2，r 1+r 2=4，圆心距12C C ==∴|r 1-r 2|≤C 1C 2≤r 1+r 2，得两圆的位置关系是相交；（2）∵圆C 1：x 2+y 2+2x +6y +9＝0，圆C 2：x 2+y 2−4x +2y −4＝0∴圆C 1和圆C 2的方程两边对应相减，得6x +4y +13=0， 即为两圆公共弦所在直线方程．（3）过C 1作y 轴的平行线，交圆C 1于D 点，过C 2作y 轴的平行线，交圆C 2于C 点，可得D （-1，-4），C （2，-4）∴直线DC 方程为y =-4，且DC 是两圆的一条公切线直线DC 交直线C 1C 2于点A ，则过A 点与圆C 2相切的直线必定与圆C 1也相切 设切点为B ，因此直线AB 是两圆的另一条公切线， 求得C 1C 2方程：3732y -=x ，可得A （-2．5，-4）， 设直线AB 方程为y +4=k （x +2．5），即kx -y +2．5k -4=0 ∴点C 2到直线AB 的距离为3d ==，解之得512（k =0舍去），因此直线AB 的方程为2512y +=x ，综上所述，两圆公切线所在直线的方程为4y =-和2512y +=x ．题8答案：（1）224x y +=；（2）222144x y m+= 详解：(Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d ，则2d ==所以圆1C 的方程为224x y +=(Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，所以000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩即: 001x xy y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m ，代入224x y +=,得222144x y m += 题9 答案：C ．详解：由已知得2200x y +＜a 2，且2200x y +≠0，又∵圆心到直线的距离d 2a ，∴直线与圆相离．。

课后导练基础达标1以点（-3，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（ ）A.(x-3)2+(y+4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=16C.(x-3)2+(y+4)2=9D.(x+3)2+(y-4)2=9解析：设圆半径为r,由于圆心到切线之距等于圆半径，所以r=4.∴圆方程为（x+3）2+(y-4)2=16.答案：B2k 为任意实数，直线（k+1）x-ky-1=0被圆（x-1）2+(y-1)2=4截得的弦长为（ ）A.8B.4C.2D.与k 有关的值解析：圆心（1，1）到直线的距离为 d=22)1(|1)1(|k k k k ++--+=0,∴直线过圆心，弦长为直径4.答案：B3过原点的直线与圆（x+2）+y 2=1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )A.y=3xB.y=3-xC.y=33x D.y=33-x 解析：如图连结圆心A 和切点B ，则AB ⊥OB,∵|OA|=2,|AB|=1, ∴∠AOB=30°,∴直线斜率k=33. 答案：C4已知两直线l 1：mx+y-2=0和l 2:（m+2）x-3y+4=0与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则实数m 的值是（ ）A.1或-3B.-1或3C.2或21- D.21或-2 解析：由于圆内接四边形对角互补，所以l 1⊥l 2，则(-m)·32m +=-1,即m 2+2m-3=0.得m=1或m=-3.答案：A5过点(5，12)且与圆x 2+y 2=169相切的直线的方程是___________-.解析：∵52+122=169,∴点在圆上. ∵该点与圆心连线斜率为512， ∴切线斜率为k=512-， ∴切线方程为y-12=512-(x-5). 答案：5x+12y-169=06以原点为圆心，在直线3x+4y+15=0上截得的弦长为8的圆的方程是___________-. 解析：圆心到直线3x+4y+15=0之距离为d=515=3, ∴圆半径r=2243+=5.∴圆方程为x 2+y 2=25.答案：x 2+y 2=257与直线x+y=4平行且与圆x 2+y 2=8相切的直线方程是____________.解析：设所求直线方程为x+y+d=0,则由222||=d ，得d=4或d=-4（舍）， ∴所求直线方程为x+y+4=0.答案：x+y+4=08若圆x 2+(y-1)2=1上任意点(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m 的取值范围为_________.解析：x+y+m≥0恒成立⇔m≥-(x+y)的最大值，令-x-y=d,即x+y+d=0,由于直线x+y+d=0与圆x 2+(y-1)2=1有公共点， ∴2|10|d ++≤1， ∴-1-2≤d≤2-1.∴d 的最大值为2-1,∴m≥2-1.答案：m≥2-1综合运用9若直线ax+by-3=0与圆x 2+y 2+4x-1=0切于点P （-1，2），则ab 的积为__________. 解析：将圆方程配方得(x+2)2+y 2=5.由条件知点P 在直线上，∴-a+2b-3=0.①又圆心（-2，0）与点P （-1，2）的连线与直线垂直， ∴)()2(102ba -•----=-1，即b=2a.② 由①②联立解得⎩⎨⎧==.2,1b a∴ab=2.答案：210已知四边形ABCD 是平行四边形.求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).证明：设AC 与BD 交点为O,以O 为原点,以与AB 平行的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,b),B(c,b),则C(-a,-b),D(-c,-b),∴|AC|2+|BD|2=(a+a)2+(b+b)2+(c+c)2+(b+b)2=4a 2+4c 2+8b 2=4(a 2+c 2+2b 2).又|AB|2=(a-c)2=a 2+c 2-2ac,|AD|2=(a+c)2+(b+b)2=a 2+c 2+2ac+4b 2,∴|AB|2+|AD|2=2(a 2+c 2+2b 2).故|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).11过点P(6,8)作两条互相垂直的直线PA,PB,分别交x 轴正半轴于A,y 轴正半轴于B.(1)求线段AB 中点轨迹方程.(2)若S △AOB =S △APB ,求PA 与PB 所在直线方程.解析：（1）设线段AB 中点为M （x,y ）（x>0,y>0）,由中点坐标公式得A （2x,0）,B(0,2y), ∵PA ⊥PB,∴k PA ·k PB =-1,即x 268-628y -•=-1. 得3x+4y-25=0.当PA 斜率不存在时，A （6，0），B （0，8）.则AB 中点M （3，4）也在直线3x+4y-25=0上，∴AB 中点轨迹方程为3x+4y-25=0(x>0,y>0).(2)设A （a,0）,B(0,b)(a>0,b>0),则直线AB 方程为b y a x +=1，即bx+ay-ab=0.由S △AOB =S △APB 知点O ，P 到直线AB 距离相等，即2222|86|b a ab a b b a ab +-+=+. ∴ab=4a+3b.①又由PA ⊥PB 得，6868b a -•-=-1得 3a+4b=50.②由①②得a=6,b=8或a=325,b=425, ∴所求直线PA ，PB 方程分别为x=6,y=8或24x-7y-200=0,7x-24y-150=0.。

圆与圆的位置关系
直线与圆的方程的应用
．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)
．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)
教材整理圆与圆位置关系的判定
阅读教材至“练习”以上部分，完成下列问题．．几何法：若两圆的半径分别为、，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：
))一元二次方程(\\(Δ>⇒相交,Δ＝⇒内切或外切,Δ<⇒外离或内含))
两圆＋＝和＋－＋＋＝的位置关系是( )
．外离
．相交
．外切
．内切【解析】两圆＋＝和＋－＋＋＝的圆心分别为()和(，－)，半径分别为和.
所以两圆的圆心距＝＝.
又－<<＋，故两圆相交．
【答案】
教材整理直线与圆的方程的应用
阅读教材“练习”以下至“练习”以上部分，完成下列问题．
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
一辆卡车宽米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面
的高度不得超过( )
．米
．米
．米
．米
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．
如图，设蓬顶距地面高度为，则(，－)．半圆所在圆的方程为：＋(＋)＝，把(，－)代
入得＋＝，∴＝≈(米)．
【答案】
当实数为何值时，两圆：＋＋－＋＝，：＋－－＋＝相交、相切、相离？
【精彩点拨】→→→。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作课后训练1．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( )．A ．1或－1B ．2或－2C ．1D ．－12．直线3y x =被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长等于( )．A ．6B ．3C ．23D ．223．直线l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )． A ．相交或相切 B ．相交或相离C ．相切D ．相交4．过点P (2，2)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为( )．A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝22C ．x ＋y ＝4D ．x ＋y ＝25．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上与直线x ＋y ＋1＝0的距离等于2的点共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．直线x ＋2y －10＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长是__________．7．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为__________．8．若经过点A (3,0)的直线l 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．9．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过点P 的圆C 的弦的中点M 的轨迹方程．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．参考答案1答案：D 解析：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径r ＝1，直线与圆相切，∴圆心到直线的距离22|(1)01|=1(1)1a d a +++=++，∴a ＝－1.2答案：C 解析：圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心为(0,2)，半径r ＝2，圆心到直线3y x =的距离22|302|=1(3)1d ⨯-=+，所以弦长22221=23l =-.3答案：D 解析：由于直线l 恒过定点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，而该定点在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交．4答案：B 解析：∵P (2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，k OP ＝1，∴切线斜率为－1，则有y －2＝－(x －2)，即x ＋y ＝22.5答案：C 解析：圆心到直线的距离|121|22d --+==，22r =， 所以直线与圆相交．又r －d ＝2， 所以劣弧上到直线的距离等于2的点只有1个，在优弧上到直线距离等于2的点有2个．6答案：25 解析：圆心到直线的距离105d =.又圆半径为5，所以弦长221025=255l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 7答案：(x －3)2＋y 2＝4 解析：设圆心为(a,0)(a ＞0)，则圆心到直线x －y －1＝0的距离为|1|2a d -=.因为圆截直线所得的弦长为22， 所以2|1|2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2＝(a －1)2，即(a －1)2＝4， 所以a ＝3或a ＝－1(舍去)．所以圆心为(3,0)，半径r 2＝(a －1)2＝4，故圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.8答案：33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x －3)，依题意有2|3|11k k k -≤+，即22|1k k ≤+，解得3333k -≤≤. 9答案：解：(1)直线l 的斜率不存在时，显然满足题意，此时l 的方程为x ＝0；直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由题意知，圆心到直线l 的距离为2.∴22|265|=2(1)k k --++-，解得34k =.∴l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为M (x ，y )，则CM ⊥PM ，即k CM ·k PM ＝－1.∴65=12y y x x--⋅-+， 化简得所求的轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.10答案：解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆心C 为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为223(1)=3t +-.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：220,(3)(1)9.x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩ 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝2(82)561644a a a -±--，从而x 1＋x 2＝4－a ，212212a a x x -+=.① 由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.。

直线、圆的位置关系测试一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知θ∈R ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是 （ ）A ．[0°，30°]B ．)180,150[︒︒C ．[0°，30°]∪)180,150[︒︒D ．[30°，150°]2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 满足PN PM ⋅=12，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．11622=+y x B ．1622=+y xC ．822=-x yD ．822=+y x3．已知圆x 2+y 2+2x-6y+F=0与x+2y-5=0交于A, B 两点, O 为坐标原点, 若OA ⊥OB, 则F 的值为 ( )A 0B 1C -1D 24．M （),00y x 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交5．已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值（ ）A ．5B ．10C ．25D ．2106．已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．01=+-y x B ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x7．已知a ≠b ，且a 2sin θ+a cos θ－4π=0 ，b 2sin θ+b cos θ－4π=0，则连接（a ，a 2），（b ，b 2）两点的直线与单位圆的位置关系是 （ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定8．直线l 1：x +3y-7=0、l 2：kx- y-2=0与x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k 的值等于（ ） A ．－3B ．3C ．－6D ．69． 若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离等于1，则半径R 的取值范围是 （ ）A R >1B R <3C 1<R <3D R ≠210．设△ABC 的一个顶点是A （3，－1），∠B ，∠C 的平分线方程分别是x =0，y=x ，则直线BC 的方程是 （ ）A ．y =2x +5B ．y =2x +3C ．y =3x +5D ．252+-=xy11．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k的取值范围是 （ ）A ），（2222-B ），（22-C ），（4242-D ），（8181-12．若关于x 320kx k -+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．53,124⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是__________。

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。

（同步复习精讲辅导）北京市-高中数学 直线和圆的综合问题课后练习二（含解析）新人教A 版必修2题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 ．题11如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．课后练习详解题1 答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =， 如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ， 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt△OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°． 详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6，在Rt△AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则22211d k k ==+-+（），又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（， 即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =，所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，．详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2）， 表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3．所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，．题11答案：4．详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．。

学科：数学专题：点线面综合问题主讲教师：纪荣强北京四中数学教师题1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．(1)求证：MN∥平面A1CD；(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．题2已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．题3设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()．A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α题4正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值；(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比．题5若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是．(只须写出一个可能的值) 题6一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．（1）（2）题7如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ．题8如图，在四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．题9如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()．A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台课后练习详解题1答案：见详解．详解: (1)设点P 为AD 的中点，连结MP 、NP ，∵点M 是BC 的中点，∴MP ∥CD ．∵CD ⊂平面A 1CD ，MP ⊄平面A 1CD ，∴MP ∥平面A 1CD ．∵点N 是AA 1的中点，∴NP ∥A 1D ．∵A 1D ⊂平面A 1CD ，NP ⊄平面A 1CD ，∴NP ∥平面A 1CD ．∵MP ∩NP ＝P ，MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，∴平面MNP ∥平面A 1CD ．∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面A 1CD ．(2)取BB 1的中点Q ，连结NQ 、CQ 、ND ，∵点N 是AA 1的中点，∴NQ ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴NQ ∥CD ，∴过N 、C 、D 三点的平面NQCD 把长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱QBC －NAD ，另一部分几何体为直四棱柱B 1QCC 1－A 1NDD 1，∴S △QBC ＝12·QB ·BC ＝12×1×1＝12，∴直三棱柱QBC －NAD 的体积V 1＝S △QBC ·AB ＝12． ∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝1×1×2＝2，∴直四棱柱B 1QCC 1－A 1NDD 1的体积V 2＝V －V 1＝32， ∴V 1V 2＝1232＝13，∴所截成的两部分几何体的体积的比值为13． 题2答案：①②④．详解:①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．题3答案：D ．详解:对于选项A ，要注意直线a ，b 的方向相同时才平行；对于选项B ，可用长方体验证．如图，设A 1B 1为a ，平面AC 为α，BC 为b ，平面A 1C 1为β，显然有a ∥α，b ∥β，α∥β，但得不到a ∥b ；对于选项C ，可设A 1B 1为a ，平面AB 1为α，CD 为b ，平面AC 为β，满足选项C 的条件却得不到α∥β，故C 不正确；对于选项D ，可验证是正确的．题4答案：（1）411a ；（2）64553a 2；（3）169． 详解: (1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图．如图，当周长最小时，EF 在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a ．∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a ,AF ＝23a ．又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a +43a +a ＝411a ,∴截面三角形的周长的最小值为411a ．(2)如图，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF ．∴BG ＝22EG BE -＝22)83(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2． (3)∵V A -BCD ＝V B -ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CAD B AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝22CD EF ＝169 题5 答案：611或1214． 详解：该题的显著特点是结论发散而不惟一．本题表面上是考查锥体求体积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的． 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积．由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体． 对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看下图所示，设AD =1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以V ABCD =31S ΔBCM ·AD ． CM =22DM CD -=22)21(2-=215．设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN =22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =31×211×1=611．对于对棱相等的四面体，可参见图2．其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行．亦可套公式V =122·222222222()()()a b c b c a c a b +-+-+-， 不妨令a =b =2，c =1，则V =122·)441)(414)(144(-+-+-+=122·7=1214． 题6答案：(3)5a 2．详解: (1)(2)如图，连结AC 、BD ，交于O 点．∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点．∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线，∴OE ∥A 1C ．∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C ．word 格式-可编辑-感谢下载支持(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，S 1111A B C D ＝a 22， 1ABA S ＝1B BC S ＝1C DC S ＝1ADD S ＝a 22，11AA D S ＝11B A B S ＝11C B C S ＝11DC D S＝12×2a 2×32a 4＝3a 28，所以该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2． 题7答案：见详解．详解：连接CD 1、AD 1，∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，又CD 1⊄平面BPQ ，PQ ⊂平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ ．又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥DC ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ， 又∵AD 1⊄平面BPQ ，BQ ⊂平面BPQ ，∴AD 1∥平面BPQ ．又AD 1∩CD 1＝D 1，∴平面ACD 1∥平面BPQ ．∵AC ⊂平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ ．题8证明：(1)因为BM ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BM ⊥AE ．因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM ⊂平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC ．因为BC ⊂平面EBC ，所以AE ⊥BC ．(2)法1：取DE 中点H ，连接MH 、AH ．因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC ．因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点．所以MH 为△EDC 的中位线，所以MH 平行且等于 12DC ． 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC 平行且等于AB ．word格式-可编辑-感谢下载支持故MH平行且等于AB．因为N为AB的中点，所以MH平行且等于AN．所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH．因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE．法2：取EB的中点F，连接MF、NF．因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC．因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC．因为N为AB的中点，所以NF∥AE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC．所以MF∥AD．因为NF、MF⊄平面ADE，AD、AE⊂平面ADE，所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE．因为MF∩NF＝F，MF、NF⊂平面MNF，所以平面MNF∥平面ADE．因为MN⊂平面MNF，所以MN∥平面ADE．题9答案：D．详解:∵EH∥A1D1，∴EH∥BC，∴EH∥平面BCC1B1．又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，∴EH∥FG．故A成立．B中，易得四边形EFGH为平行四边形，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥EF，即FG⊥EF，∴四边形EFGH为矩形．故B正确．C中可将Ω看做以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱．故C正确．。

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的综合问题课后练习二（含解析）新人教A 版必修2题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ． 2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 ．题11 如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．课后练习详解题1 答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1， 因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =， 如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ， 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt△OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°．详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6，在Rt△AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（， 即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =， 所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，． 详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2）， 表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3．所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，．题11答案：4．详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．。

人教A 版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系【同步训练2】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A ．P 在圆外 B ．P 在圆上 C ．P 在圆内D ．P 与圆的位置关系不确定2．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -+=或20x y --=3．过点(2,4)M -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线l ,且直线1:320l ax y a ++=与l 平行，则1l 与l 间的距离是（ ） A ．85B ．25C ．285D ．1254．若圆心在x 轴上，半径为√5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是 ( )A ．(x －√5)2＋y 2＝5B ．(x ＋√5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝55． 已知点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2y ＝0，则u ＝1y x+的取值范围是( )A ．[]B ．(C ．[D ．3(,[,)-∞+∞ 6． 若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离为d ，则d 的取值范围为( ) A ．[0,4] B ．[0,3] C ．[0,2] D ．[0,1]二、填空题7．若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________．8．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________9．过点(的直线l 将圆2240x y x +-=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =______.10．已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线:x-y+3=0,当直线被C 截得弦长为时,则a=三、解答题11． 已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝9，求过M (－2,4)的圆C 的切线方程． 12．设圆上的点()2,3A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且直线10x y -+=被圆截得的弦长为13．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1l ：270x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点. （1）求圆A 的方程；（2）当MN =时，求直线l 的方程.参考答案1．A【解析】试题分析：由题意得√a 2+b 2<2∴a 2+b 2>4，所以点(a,b)在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系 2．A 【解析】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，=解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A. 3．D 【解析】由题意知点(2,4)M －在圆C 上，圆心坐标为(2,1)C ，所以413224CM k -==---，故切线的斜率为43l k =，所以切线方程为44(2)3y x -=+，即43200x y －＋＝．因为直线l 与直线1 :320l ax y a ＋＋＝平行， 所以433a -=，解得4a =-， 所以直线1l 的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0. 所以直线1l 与直线l 125=．选D ． 4．D 【解析】试题分析：设圆心为(a,0) (a <0)，因为直线与圆相切∴√5=√5∴a =−5，所以圆的方程为（x ＋5）2＋y 2＝5 考点：圆的方程 5．B 【解析】圆2220x y y ＋－＝可化为22(1)1x y ＋－＝， 1y u x+=表示圆上的点(,)P x y 与(0,1)A －连线的斜率，如图，由12CD AC ＝，＝，可得30CAD ∠︒＝，则AD k =同理AB k =则(,)u ∈-∞⋃+∞．选B.点睛：与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如y bx aμ－＝－形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ax by ＝＋形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如22()()x a y b －＋－形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 6．A 【解析】圆22(3)4x y ＋－＝的圆心坐标为()0,3，半径为2，点(0,1)A －在圆外， 则当直线l 经过圆心时，d 最小，当直线l 垂直于点A 与圆心的连线时，d 最大，即d 的最小值为0，所以[]0,4d ∈．选A 。

直线和圆专题1.圆的方程和常见考点2.直线和圆的位置关系3.与直线和圆有关的最值问题4.高考专题：直线与圆（培优）圆的方程考点1、圆的标准方程例1．迅速而又准确的写出满足下列各条件的圆的标准方程：（1）圆心坐标为(1,2)A-，半径为2的圆的标准方程为（2）圆心坐标为(2,3)R-的圆的标准方程为p-，且经过点(1,1)（3）求以(1,2)A-，(5,6)B-为直径两端点的圆的标准方程为（4）圆心坐标为(1,2)A-，且圆与x轴相切，则圆的标准方程为（5）圆心坐标为(1,2)A-，且圆与y轴相切，则圆的标准方程为（6）求过点(5,2)y x=-上的圆的标准方程为B，且圆心在直线23A，(3,2)考点2、圆的一般方程例1．方程22-++=是圆的方程，圆心坐标是，半径是，(3)(4)10x y化为一般方程是例2．若方程224250x y mx y m++-+=表示的曲线是圆，则m的范围是____________考点3、点与圆的位置关系例1．过点(1,)A a-作圆224+=的切线，恒能作出两条切线，则a的取值范围是__________x y例2．圆22(1)4x y -+=上的点到(2,3)p -的最近距离是__________，最远距离是__________考点4、直线与圆的位置关系例1．直线20x y --=与圆222210x y x y +--+=的位置关系是_______，直线到圆的最近距离是___________，最远距离是___________。

例2．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222230x y x y +---=的位置关系是________例3．圆222430x y x y +++-=到直线10x y ++=________个。

考点5、圆与圆的位置关系例1．两圆222x y x my m++-+-=2230+-++-=，2222450x y mx y m讨论m的取值情况使得两圆分别：（1）相离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含。