2014届高考数学一轮必备考情分析学案：2.4《指数与指数函数》

2.4指数与指数函数考情分析1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为 基础知识 1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na(a ＞0)．③⎝⎛⎭⎫n a n＝a. ④当n 为奇数时，n a n＝a ； 当n 为偶数时，na n＝ |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－＜.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n＝a·a·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1a(a≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)；⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．[: (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q)②(a r )s＝a rs(a ＞0，r 、s ∈Q) ③(ab)r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质注意事项1.分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2.。

2.4指数与指数函数考情分析1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 基础知识 1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)．③⎝⎛⎭⎫n a n＝a .④当n 为奇数时，na n＝a ； 当n 为偶数时，nan＝ |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)；⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q )②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1.分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2.。

一、教学目标1、知识与技能目标：(1) 掌握指数函数的概念(能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围) ；(2) 会做指数函数的图像；⑶能归纳出指数函数的几个基本性质。

2、过程与方法目标：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

3、情感态度与价值观目标：在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；二、教学重点和难点教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。

教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认识和基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念；在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

课时安排：1课时三、教法分析(一)教学方式直接讲授与启发探究相结合(二)教学手段借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像四、教学过程(一)基础自测1. 函数y= (a2 - 3a+ 3)ax是指数函数，则有()A . a= 1 或a= 2 B. a= 1 C. a= 2 D. a> 0 且a乒112. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 函数y = a (a >0,且a F在"1】上的最大值与最小值之差为2，则a = ------------------------------------------x-13. 函数y=a 2(a〉0,且a^D的图象恒过定点 .4. 如图是指数函数① y= ax,②y = bx,③y= cx,④y = dx的图象，贝U a, b, c, d与1的大小关系是()①邛［'甲$A. a<b<1<c<dB. b<a<1<d<c \\ / 1C. 1<a<b<c<dD. a<b<1<d<c(二)知识梳理.(三)典例探究例1、比较下列各组数的大小：1 一(1) 40.9 , 80.48 , (2) — 1.5; (2) 0.80.5 与0.90.4.1解析：(1) • 40.9= 21.8, 80.48= 21.44, 0— 1.5= 21.5,一、教学目标1、知识与技能目标：（1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；（2）会做指数函数的图像；⑶能归纳出指数函数的几个基本性质。

2.5指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.基础回顾1.指数幂的概念(1)根式如果一个数的ｎ次方等于a （ｎ＞１且ｎ∈*N ）那么这个数叫做a 的ｎ次方根.也就是，若a x n =，则x 叫做 ，其中ｎ＞1且ｎ∈*N .式子；叫做 ，这里ｎ叫做 ，a 叫做 ．(2)根式的性质①当ｎ为奇数时，正数的ｎ次方根是一个正数，负数的ｎ次方根是一个负数，这时，a 的ｎ次方根用符号 表示.②当ｎ为偶数时，正数的ｎ次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的ｎ次方根用符号 表示，负的ｎ次方根用符号 表示.正负两个ｎ次方根可以合写为 （a ＞０）. ③=n n a )( ． ④当ｎ为奇数时，=n n a ； 当ｎ为偶数时，=n n a ｜a ｜＝ ．⑤负数没有偶次方裉.⑥零的任何次方根都是零.(3)分数指数幂的意义 ①)1,,0________(*>∈>=n N n m a an m 且 ②)1,,0________(*>∈>=-n N n m a a n m且(4)有理数指数幂的运算性质 ①),.0( ________Q s Q r a a a s r∈∈>=⋅②),.0( ________Q s Q r a a a s r ∈∈>=÷③),.0( ________Q s Q r a a s r ∈∈>=）（④),0.0( ________)(Q r b a ab s ∈>>=2.指数函数(1)指数函数的定义：一般地，函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量(2)指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象及性质：基础自测1.下列运算正确的是（ ）A.2332)()(a a -=-B.532)(a a -=-C.532)(a a =-D.632)(a a -=-2.若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（ ）A.a ＝1或a ＝2B.a ＝1C.a ＝2D.10≠>a a 且3.设指数函数)(x f )10(≠>=a a a x 且，则下列等式不正确的是( )A.)()()(y f x f y x f ∙=+B. )()())((y f x f xy f n n n ∙=C.)()()(y f x f y x f =- D. )()(x f nx f n = 4.R x x f x ∈=,)21()(||,那么)(x f 是( ) A.奇函数且在(0,+ ∞)上是增函数B.偶函数且在(0,+ ∞)上是增函数C.奇函数且在(0,+ ∞)上是减函数D.偶函数且在(0,+ ∞)上是减函数5.函数{2),2(2,2)(<+≥-=x x f x x x f ，则f (－3)的值为 .例题选讲例1已知a ，b 是方程0462=+-x x 的两根，且a ＞b ＞0，求b a +的值.例2巳知函数R x x f x ∈=+,)21()(|2| (1）作出图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求值域例3指数函数x aby )(=的图象如图所示，求二次函数bx ax y +=2的顶点横坐标的取值范围.例4已知定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，142)(+=x xx f . (1)求)(x f 在[－1,1]上的解析式；(2)求证：)(x f 在(0,1)上是减函数.。

2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论． 『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』 『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』 『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)． 『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。

山东省沂水县第一中学2014届高三数学总复习 第4讲 指数与指数函数学案新人教A 版【2014年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)．③⎝⎛⎭⎫n a n＝a .④当n 为奇数时，na n＝a ； 当n 为偶数时，nan＝ |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0－aa ＜0.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q )②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0,1)x ＜0时，0＜y ＜1x ＜0时，y ＞1.在(－∞，＋∞)上是减函数当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .双基自测1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 3解析 由题意有3a＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2012·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析 设y ＝f (x )，t ＝2x＋1，则y ＝1t，t ＝2x＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y ＝1t在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．答案 A4．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1， 又log 23.4＞log 2103＞log 3 103，∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6又∵y ＝5x是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C5．(2012·天津一中月考)已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 47考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .(2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·4ab－130.1－2a 3b－312. 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.考向二 指数函数的性质【例2】►已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决． 解 (1)由于a x－1≠0，且a x≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对x ＞0，由指数函数的性质知a x＞1， ∴a x－1＞0，1a x －1＋12＞0. 又x ＞0时，x 3＞0，∴x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＞0，即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立． 综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋1x 32a x－1. 当x ＞0时，1＞a x＞0，a x＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意；当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )±f (x )，f xf －x来判断．(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 【训练2】 设f (x )＝e －xa ＋ae－x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性． 解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e－xa ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x)＝0，即a ＋1a＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即exa ＋ae x ＝e －xa ＋ae －x ， 整理得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x)＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－ e x 2－e －x 2 ＝e x 1－e x 2e x 1＋x 2－1e x 1＋x 2，∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，∴e x 1＋x 2＞1，e x 1－e x 2＜0，∴e x 1＋x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )＝e －xa ＋ae－x ，当a ＝1时在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．考向三 指数函数图象的应用【例3】►(2009·山东)函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析 y ＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x－1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1＞1且随着x的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y ＝e x －e－x2，y ＝lg(10x －1)等．【训练3】 已知方程10x＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析 作函数y ＝f (x )＝10x，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10.答案 10难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想． 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】► (2011·福建五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥K ，K ，fx ＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≤f 2x ，f 2x ，f 1x ＞f 2x ，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值范围是________．。

指数与指数函数一、选择题(每小题6分，共36分)1.计算的结果是( ) (A)22 (B)2 (C) 2 (D)2 22.若函数f(x)＝(a ＋1e x －1)cosx 是奇函数，则常数a 的值等于( ) (A)－1 (B)1 (C)－12 (D)123.(2012·沈阳模拟)函数y ＝的值域为( ) (A)[12，＋∞) (B)(－∞，12] (C)(0，12] (D)(0,2]4.(2012·济南模拟)已知函数f(x)＝|2x －1|，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，必成立的是( )(A)a<0，b<0，c<0(B)a<0，b≥0，c>0 (C)2－a <2c (D)2a ＋2c <25.(2012·潍坊模拟)若x∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m)·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )(A)(－2,1)(B)(－4,3) (C)(－1,2) (D)(－3,4)6.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则有( ) (A)f(13)＜f (32)＜f(23) (B)f(23)＜f(32)＜f(13) (C)f(23)＜f(13)＜f(32) (D)f(32)＜f(23)＜f(13) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.设函数f(x)＝a －|x|(a ＞0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是 .8.函数f(x)＝＋m(a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝ .9.设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x ＋2)；③当0≤x≤1时， f(x)＝2x －1，则f(12)＋f(1)＋f(32)＋f(2)＋f(52)＝ . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·福州模拟)已知对任意x∈R，不等式恒成立，求实数m 的取值范围.11.(易错题)设函数f(x)＝ka x －a －x(a ＞0且a≠1)是定义域为R 的奇函数；(1)若f(1)＞0，试求不等式f(x 2＋2x)＋f(x －4)＞0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a 2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在 [1，＋∞)上的最小值. 【探究创新】(16分)定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对于任意x∈D，存在常数M ＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝1＋a·(12)x ＋(14)x ； (1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域.并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.(3)试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明.答案解析1.【解析】选B.原式＝＝2.2.【解析】选D.设g(x)＝a ＋1e x －1，t(x)＝cosx ， ∵t(x)＝cosx 为偶函数，而f(x)＝(a ＋1e x －1)cosx 为奇函数，∴g(x)＝a ＋1e x －1为奇函数， 又∵g(－x)＝a ＋1e －x －1＝a ＋e x1－e x ， ∴a ＋e x 1－e x ＝－(a ＋1e x －1)对定义域内的一切实数都成立，解得：a ＝12. 3.【解析】选A.∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴≥12. 4.【解析】选D.函数f(x)＝|2x －1|的图象如图所示.∵a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b)，∴f(a)＝|2a －1|＝1－2a，f(c)＝|2c －1|＝2c －1，由f(a)>f(c)得2a ＋2c <2.5.【解题指南】可通过移项，变形分离变量，运用恒成立转化为m 的不等式求解.【解析】选C.原不等式变形为m 2－m<(12)x ， ∵函数y ＝(12)x 在(－∞，－1]上是减函数， ∴(12)x ≥(12)－1＝2， ∴x ∈(－∞，－1]时，m 2－m<(12)x 恒成立等价于m 2－m<2，解得－1<m<2. 6.【解析】选B.由已知条件可得f(x)＝f(2－x).∴f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43). 又x ≥1时，f(x)＝3x －1，在(1，＋∞)上递增，∴f(53)＞f(32)＞f(43). 即f(13)＞f(32)＞f(23). 【方法技巧】具有对称性、奇偶性、周期性函数的函数值大小比较的常用方法：(1)单调性法：先利用相关性质，将待比较函数值调节到同一单调区间内，然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法：先利用相关性质作出函数的图象，再结合图象比较大小.7.【解析】由f(2)＝a －2＝4，解得a ＝12， ∴f(x)＝2|x|，∴f(－2)＝4＞2＝f(1).答案：f(－2)＞f(1)8.【解析】f(x)＝＋m ，在x 2＋2x －3＝0时，过定点(1,1＋m)或(－3,1＋m)，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.答案：99.【解题指南】根据条件先探究函数的奇偶性、周期性，再将所求函数值转化为已知函数值求解.【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，∴f(12)＋f(1)＋f(32)＋f(2)＋f(52) ＝f(12)＋f(1)＋f(－12)＋f(0)＋f(12) ＝f(12)＋f(1)－f(12)＋f(0)＋f(12) ＝f(12)＋f(1)＋f(0) ＝－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案： 210.【解析】由题知：不等式对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x ＜2x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立.∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4＞0对x ∈R 恒成立.∴Δ＝(m ＋1)2－4 (m ＋4)＜0.∴m 2－2m －15＜0.∴－3＜m ＜5.11.【解析】∵f(x)是定义域为R 的奇函数，∴f(0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1.(1)∵f(1)＞0，∴a －1a＞0， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f(x)＝a x －a －x ，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函数，∴f(x)在R 上为增函数，原不等式化为：f(x 2＋2x)＞f(4－x)，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x|x ＞1或x ＜－4}.(2)∵f(1)＝32，∴a －1a ＝32， 即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x)＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2， 令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即h(x)≥h(1)＝32. ∴p(t)＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，∴当t ＝2时，g(x)min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)，当x ＝log 2(1＋2)时，g(x)有最小值－2.【误区警示】本题(2)中易由于不会换元转化为二次函数而无法进行下去，根本原因是对于较复杂的函数式化繁为简，化陌生为熟悉训练不到位.【探究创新】【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝1＋(12)x ＋(14)x ＝[(12)x ＋12]2＋34， ∵f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)＞f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M ＞0，使|f(x)|≤M 成立，∴函数f(x)在(－∞， 0)上不是有界函数.(2)由题意，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立.－3≤f(x)≤3，－4－(14)x ≤a ·(12)x ≤2－(14)x ， ∴－4·2x －(12)x ≤a ≤2·2x －(12)x 在[0，＋∞)上恒成立，∴[－4·2x －(12)x ]max ≤a ≤[2·2x －(12)x ]min . 设2x ＝t ，h (t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1t， 由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1＜t 2，h(t 1)－h(t 2)＝＞0，p(t 1)－p(t 2)＝＜0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5,1].(3)定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f(x)|≥M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的下界例如f(x)＝3，有|f(x)|≥3；证明：∵x∈R，|f(x)|＝3≥3，∴命题成立.。

2014年高考一轮复习数学教案：2.7 指数与指数函数 [1000字]2.7 指数与指数函数●知识梳理 1.指数（1）n次方根的定义若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n为奇数时，an=a. ②当n为偶数时，an=|a|=?（3）分数指数幂的意义①a②amn=?mn?a??a(a?0),(a?0).am（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）. =1man=1am（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象）a&gt; 1(0底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（3）指数函数的性质①定义域：R. ②值域：（0，＋≦）.③过点（0，1），即x=0时，y=1.④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数. ●点击双基 1.·等于 A.－B.－C.D.1=－（－a）2解析：·答案：A11=a3·（－a）611?=－（－a）36.2.（2003年郑州市质量检测题）函数y=2的图象与直线y=x 的位置关系是x3解析：y=2=（）x. ≧2＞1，≨不可能选D.又≧当x=1时，2＞x，而当x=3时，2＜x，≨不可能选A、B.答案：C3.（2004年湖北，文5）若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a＜1且b＞0B.a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0 解析：作函数y=ax+b－1的图象.答案：C4.（2004年全国Ⅱ，理6）函数y=－ex的图象 A.与y=ex 的图象关于y轴对称 B.与y=ex的图象关于坐标原点对称－－C.与y=ex的图象关于y轴对称D.与y=ex的图象关于坐标原点对称解析：图象法. 答案：D5.（2004年湖南，文16）若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.解析：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜答案：0＜a ＜6.函数y=（x3x3x31. 21 21x2?2x?2）的递增区间是___________. 2解析：≧y=（1x）在（－≦，+≦）上是减函数，而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1的2递减区间是（－≦，1］，≨原函数的递增区间是（－≦，1］.答案：（－≦，1］●典例剖析【例1】下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，≨b＜a＜1＜d ＜c. 答案：B【例2】已知2x解：≧2x22?x≤（1x－2－），求函数y=2x－2x的值域. 4－x?x≤2－2（x－2），≨x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又≧y=2x－2－－是［－4，1］上的增函数，≨24－24≤y≤2－21.故所求函数y的值域是［－2553，］. 162【例3】要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－≦，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.1?2x解：由题意，得1+2+4a＞0在x∈（－≦，1］上恒成立，即a＞－在x∈（－x4xx1?2x12x1x1x121≦，1］上恒成立.又≧－=－（）－（）=－［（）+］+，当x ∈（－≦，x2222441］时值域为（－≦，－33］，≨a＞－. 44评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.●闯关训练夯实基础1.已知f（x）=ax，g（x）=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，则y=f（x）与y=g（x）的图象A.关于直线x+y=0对称B.关于直线x－y=0对称C.关于y轴对称 D.关于原点对称解析：lga+lgb=0?ab=1.≨g（x）=－logbx=－loga－1x=logax.≨f（x）与g（x）的图象关于y=x对称. 答案：B2.下列函数中值域为正实数的是 A.y=－5xB.y=（11－x） 3C.y=()x?112D.y=?2x解析：≧y=（答案：B 3.化简1x1－）的值域是正实数，而1－x∈R，≨y=（）1x的值域是正实数. 33a3b2ab211(a4b2)4?a（a＞0，b＞0）的结果是___________________.解析：原式=1132a2b?[(ab)3]2bab?()3a21=113a2b?a6b327a3b3=104a6b327a3b3 =a. b答案：a b24.满足条件mm＞（mm）2的正数m的取值范围是___________________.解析：≧m＞0，≨当m＞1时，有m2＞2m，即m＞2；当0＜m＜1时，有m2＜2m，即0＜m＜1. 综上所述，m＞2或0＜m＜1. 答案：m＞2或0＜m＜15.（2004年湖北，理7）函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为A.141. 2B.12C.2D.4解析：（fx）在［0，1］上是单调函数，由已知（f0）+（f1）=a?1+loga1+a+loga2=a?loga2=－1?a=答案：B6.已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（1x－11）－4（）x+2的最大值和最小值. 421）2解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.≨0≤x≤2.令（x=t，则111≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－）2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，422ymax=2.培养能力11·ax－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域. 22111解：由a2x+·ax－≤0（a＞0且a≠1）知0＜ax≤.2221令ax=t，则0＜t≤，y=2t2－3t+4.借助二次函数图象知y ∈［3，4）.27.若a2x+8.（2004年全国Ⅲ，18）解方程4x+|1－2x|=11. 解：当x ≤0时，1－2x≥0. 原方程?4x－2x－10=0?2x=1知x＞0（无解）.当x＞0时，1－2x＜0.原方程?4x+2x－12=0?2x=－41111〒＜0（无解）或2x=+＞?2x=－22222217〒?2x=－4（无解）或2x=3?x=log23（为原方程22的解）.探究创新－－9.若关于x的方程25|x+1|－4·5|x+1|－m=0有实根，求m 的取值范围.－解法一：设y=5|x+1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在（0，1］内有实根.设f（y）=y2－4y－m，其对称轴y=2，≨f（0）＞0且f（1）≤0，得－3≤m＜0.－解法二：≧m=y2－4y，其中y=5|x+1|∈（0，1］，≨m=（y －2）2－4∈［－3，0）. ●思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象和性质受a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.3.指数函数的定义重在“形式”，像y=2·3，y=2，y=3x1x，y=3x+1等函数都不符合形式y=ax（a＞0，a≠1），因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0（≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后”新元”的范围.拓展题例【例1】若60a＝3，60b＝5.求121?a?b2(1?b)的值.解：a=log603，b＝log605， 1－b＝1－log605＝log6012，1－a－b＝1－log603－log605＝log604，log6041?a?b＝＝log124，1?blog6012121?a?b2(1?b)＝121log1242＝12log122＝2.【例2】方程2x=2－x的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.荐小学数学教案[1000字] 荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字] 荐工程数学教案 (500字)。