2015届高考数学第二轮高效精练44.doc

第15讲 点、直线、平面之间的位置关系1. 设l 、m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分2. 过三棱柱 ABCA 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案：43. 若l 1、l 2、l 3是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的有________．(填序号) ① l 1⊥l 2，l 2⊥l 3Þl 1∥l 3； ② l 1⊥l 2，l 2∥l 3Þl 1⊥l 3； ③ l 1∥l 2∥l 3 Þl 1，l 2，l 3共面； ④ l 1，l 2，l 3共点Þl 1，l 2，l 3共面． 答案：②解析：由l 1⊥l 2，l 2∥l 3，根据异面直线所成角知l 1与l 3所成角为90°.4. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥BACC 1D 的体积为__________．答案：2 35. 用a 、b 、c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；② 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③ 若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④ 若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b.其中正确的有________．(填序号) 答案：①④6. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．答案：263π7. 已知点P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，且PA 、PB 、PC 两两成60°角，PA ＝PB ＝PC ＝1 cm ，则球的表面积为________cm 2.答案：3π2解析：如图所示，P 、A 、B 、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥PABC的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a ＝22，球的半径R ＝12a 2＋a 2＋a 2＝64，∴ S 球＝4πR 2＝3π2. 8. 已知平面α、β、γ，直线l 、m 满足：α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，那么① m ⊥β；② l ⊥α；③ β⊥γ；④ α⊥β.由上述条件可推出的结论有________．(填序号)答案：②④解析：②：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥m ，α∩γ＝m ，α⊥γ，l γÞl ⊥α；④：⎭⎬⎫l ⊥αl βÞα⊥β.9. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为____________ cm.答案：2 210. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α、β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．答案：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析：设长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则cos 2α＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c2，cos 2β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝a 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.11. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点．(1) 若PF ＝FC ，求证：PA ∥平面BDF ；(2) 若BF ⊥PC，求证：平面BDF ⊥平面PBC.证明：(1) 设AC 、BD 的交点为O ，连结OF. ∵ 底面ABCD 为菱形，∴ O 为AC 中点． 又PF ＝FC ，∴ PA ∥OF. 又PA Ë平面BDF ，OF Ì平面BDF ，∴ PA ∥平面BDF.(2) ∵ 底面ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC. ∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ BD ⊥PA ， ∴ BD ⊥平面PAC ，∴ BD ⊥PC. ∵ BF ⊥PC ，∴ PC ⊥平面BDF. 又PC Ì平面PBC ，∴平面BDF ⊥平面PBC.12. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点．(1) 求证：BD ⊥EF ；(2) 若EF ∥平面PBD ，求AFFC的值．(1) 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以PA ⊥BD.又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD. 又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC. 又EF Ì平面PAC ，所以BD ⊥EF. (2) 解：设AC 与BD 交于O ，连结PO.因为EF ∥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ，且EF Ì平面PAC ，则EF ∥PO.又E 是PC 中点，所以OF ＝FC ，所以AF ＝3FC ，即AFFC＝3.13. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝4，CB ＝2，AA 1＝2，∠ACB ＝60°，E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点．(1) 证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ； (2) 证明：C 1F ∥平面ABE ；(3) 设P 是BE 的中点，求三棱锥PB 1C 1F 的体积．(1) 证明：在△ABC 中，∵ AC ＝2BC ＝4，∠ACB ＝60°， ∴ AB ＝23，∴ AB 2＋BC 2＝AC 2，∴ AB ⊥BC. 又已知AB ⊥BB 1，∴ AB ⊥平面BB 1C 1C. 又AB Ì平面AEB ，故平面AEB ⊥平面BB 1C 1C. (2) 证明：取AC 的中点M ，连结C 1M ，FM. 在△ABC 中，FM ∥AB. 而FM平面ABE ，∴ 直线FM ∥平面ABE.在矩形ACC 1A 1中，E 、M 都是中点，∴ C 1M ∥AE. 而C 1M Ë平面ABE ，∴ 直线C 1M ∥平面ABE. 又C 1M ∩FM ＝M ，∴ 平面ABE ∥平面FMC 1， 故C 1F ∥平面AEB.(也可取AB 的中点G ，连结FG 、EG ，证明C 1F ∥EG ，从而得证)(3) 解：取B 1C 1的中点H ，连结EH ，则EH ∥AB 且EH ＝12AB ＝ 3.由(1)知AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ EH ⊥平面BB 1C 1C. ∵ P 是BE 的中点，∴ VPB 1C 1F ＝12VEB 1C 1F ＝12×13S △B 1C 1F ·EH ＝33.滚动练习(五)1. 若集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{y|y ＝cos(πx)，x ∈A}，则A ∩B ＝______________． 答案：{－1，1}2. 函数y ＝log a (x －3)(a>0，a ≠1)在(a ，＋∞)上单调增，则a 的取值范围是________. 答案：[3，＋∞)解析：函数定义域为(3，＋∞)，y ＝x －3在(3，＋∞)上单调增，∴ a ＞1且(a ，＋∞)(3，＋∞)，∴ a ≥3.3. 方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0，2π)内有相异两解α、β，则α＋β＝__________. 答案：π3，7π34. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大小为________．答案：π解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则πrl ＝2πr 2，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角θ＝2πrl＝π.5. 已知a ＞0，x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3）.若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________．答案：126. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝__________．答案：237. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是________. (填序号)①⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，β∥γα∥γ；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ∥βα⊥β；③⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n ，n αm ∥α；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，n αn ∥β. 答案：①②④8. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝____________．答案：09. 设m ∈R ，已知函数f(x)＝－x 3－2mx 2＋(1－2m)x ＋3m －2，若曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为______________．答案：⎝⎛⎭⎫32，－12 解析：本题考查利用导数求切线方程以及直线恒过定点问题．f′(x)＝－3x 2－4mx ＋1－2m ，f ′(0)＝1－2m ，f(0)＝3m －2，则切线方程为m(2x －3)－x ＋y ＋2＝0.10. 平面内两个非零向量α、β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围是__________.答案：(0，2] 11. 若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为____________． 答案：23＋12解析：12a ＋b ＋1b ＋1＝1得12a ＋b ＝b b ＋1，a ＝b ＋1－b 22b ，a ＋2b ＝b ＋1－b 22b ＋2b ＝12＋12b ＋3b 2≥12＋212b ×3b 2＝12＋3，当且仅当12b ＝3b 2，即b ＝33时取等号． 12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1.若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是______________．答案：⎣⎡⎭⎫54，3解析：画出函数f(x)的图象，12≤b<1，1≤a<log 272，f(a)＝f(b)，2a ＋12＝b ＋2，2a ＝b ＋32，bf(a)＝b ⎝⎛⎭⎫2a ＋12＝b(b ＋2)，在⎣⎡⎭⎫12，1上单调增，bf(a)∈⎣⎡⎭⎫54，3. 13. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长．解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0，∴ sinB －3cosB ＝0. ∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0，∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169，故a ＋c ＝13，∴ 三角形周长是20.14. 如图，在三棱锥ABCD 中，BC ＝3，BD ＝4，CD ＝5，AD ⊥BC ，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，连结CE ，G 为CE 上一点．(1) 求证：平面CBD ⊥平面ABD ；(2) 若GF ∥平面ABD ，求CGGE的值．(1) 证明：在△BCD 中，BC ＝3，BD ＝4，CD ＝5， ∴ BC ⊥BD.∵ BC ⊥AD ，BD ∩AD ＝D ， ∴ BC ⊥平面ABD. ∵ BC Ì平面BCD ， ∴ 平面CBD ⊥平面ABD. (2) 解：∵ GF ∥平面ABD ， FG平面CED ，平面CED ∩平面ABD ＝DE ，∴ GF ∥ED ，∴ G 为线段CE 的中点，∴CG GE＝1. 15. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，点P ⎝⎛⎭⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1) 求椭圆的方程；(2) 若点B 、C(C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值．解：(1) 由条件，知a ＝2，e ＝c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫2e ，12代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1.∵ b 2＋c 2＝4，∴ b 2＝1，c 2＝3.∴ 椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2＝4，∴ x C ＝21＋4k2.故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k(x －2)，代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ x A ＝2，∴ x B ＝2（4k 2－1）1＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（4k 2－1）1＋4k 2，－4k 1＋4k 2. ∵ OC →·OB →＝0，∴ 2（4k 2－1）1＋4k 2·21＋4k2＋－4k 1＋4k2·2k 1＋4k2＝0.∴ k 2＝12.∵ C 在第一象限，∴ k>0，k ＝22. ∵ OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋4k2，2k1＋4k 2， BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2（4k 2－1）1＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC →＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵ k ＝22，∴ λ＝32. 16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足：b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，且b 3＝11，前9项和为153.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝3（2a n －11）（2b n －1），数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＜k57对一切(n ∈N *)都成立的最小正整数k 的值；(3) 设n ∈N *，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，问是否存在m ∈N *，使得f(m ＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) ∵ 点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上， ∴ S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，∴ a n ＝n ＋5. ∵ b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)， ∴ b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ＝…＝b 2－b 1. ∴ 数列{b n }是等差数列．∵ b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3.∴ b n ＝3n ＋2.(2) 由(1)得c n ＝3（2a n －11）（2b n －1）＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴ T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…c n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∵ T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1在n ∈N *上是单调递增的，∴ T n ＜12，∵ 不等式T n ＜k57对一切n ∈N *都成立， ∴ k 57≥12，则k ≥572， 又k ∈N *，∴ k ≥29.∴ 最小的正整数k 的值为29.(3) n ∈N *，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数.当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f(m ＋15)＝5f(m)成立，则有3(m ＋15)＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5(3m ＋2)(m 为偶数)，解得m ＝11或m ＝57(舍)．∴ 当m ＝11时，f(m ＋15)＝5f(m)成立．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 已知在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________．答案：13解析：∵ a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．答案：13解析：∵ 6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15.若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和为________． 答案：90解析：a n ＝3n ，b n ＝6n.4. 已知等比数列{a n }的公比q>0，且a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________．答案：152解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________． 答案：15解析：S 4a 4＝a 1（1－q 4）1－q a 1q 3＝1－q 4（1－q ）q 3＝15. 6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________． 答案：4解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4. 7. 在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为前________项的和．答案：198. 设S n 、T n 分别是等差数列{a n }、{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝____________. 答案：4178解析：a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10b 1＋b 20＋a 11b 1＋b 20＝a 10＋a 11b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 9. 已知通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{a n }，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案：－19＜a ＜－117解析：a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，得a ＋1<4a ＋2<9a ＋3<16a ＋4<25a ＋5，a>－19； a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，得a<－12n ＋1，得a<－117. 10. 设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和，记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N ＋，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝____________．答案：4解析：不妨设a 1＝1，则a n ＝(2)n －1，a n ＋1＝(2)n ，S n ＝（2）n －12－1＝a n ＋1－12－1，S 2n ＝（2）2n －12－1＝a 2n ＋1－12－1， T n ＝17S n －S 2na n ＋1＝17·a n ＋1－12－1－a 2n ＋1－12－1a n ＋1＝－12－1⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋16a n ＋1－17， 因为函数g(x)＝x ＋16x(x ＞0)在x ＝4时，取得最小值， 所以T n ＝－12－1⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋16a n ＋1－17在a n ＋1＝4时取得最大值，此时a n ＋1＝(2)n ＝4，解得n ＝4，即T 4为数列{T n }的最大项，则n 0＝4.11. 已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋5d ）＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2； n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)， ∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1），2n ＋1（n ≥2，n ∈N *），S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 12. 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q)a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0，q ≠1)．(1) 求证：数列{a n ＋1－a n }为等比数列；(2) 若a 6，a 3，a 9成等差数列，问对任意的n ∈N *，a n ＋3，a n ，a n ＋6是否成等差数列？说明理由．(1) 证明：由a n ＋1＝(1＋q)a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q(a n －a n －1)．又a 2－a 1＝1，q ≠0，所以数列{a n ＋1－a n }为等比数列．(2) 解：由(1)得a n ＋1－a n ＝q n －1(q ≠1)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1＋1＝1＋1－q n －11－q .因为2a 3＝a 6＋a 9，所以a 3－a 6＝a 9－a 3，即q 5－q 2＝q 2－q 8.因为q ≠0，所以q 3－1＝1－q 6.因为a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)， a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)． 所以a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，即2a n ＝a n ＋3＋a n ＋6.所以，对任意的n ∈N *，a n ＋3，a n ，a n ＋6成等差数列．13. 已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，公差d ≠0，由{a n }的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝2，b 3＝6.(1) 求数列{b n }的通项公式b n ；(2) 若数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的值；(3) 求A n ＝S n －2 012n 9的最小值． 解：(1) 由a 22＝a 1a 6，得(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋5d)，d 2－3a 1d ＝0.又d ≠0，所以d ＝3a 1，所以q ＝4，所以ab n ＝a 1·4n －1.又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝a 1＋(b n －1)3a 1，所以a 1·4n －1＝a 1＋(b n －1)3a 1.因为a 1≠0，所以3(b n －1)＋1＝4n －1，故b n ＝4n －13＋23. (2) S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫403＋23＋⎝⎛⎭⎫413＋23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －13＋23 ＝13(1＋4＋…＋4n －1)＋2n 3＝13·1－4n 1－4＋2n 3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －13＋2n . (3) 由S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －13＋2n ，得A n ＝S n －2 012n 9＝19(4n －2 006n －1)，若存在n ∈N *，使得A n ≤A n ＋1，且A n ≤A n －1，则A n 的值最小．于是由⎩⎨⎧19（4n －2 006n －1）≤19[4n ＋1－2 006（n ＋1）－1]，19（4n －2 006n －1）≤19[4n －1－2 006（n －1）－1]， 解得2 0063≤4n ≤4×2 0063(n ∈N *)，取n＝5，(A n)min＝－9 0079.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

课堂讲义专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语(对应学生用书(文)、(理)1～3页)1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点，…集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据．2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式．6. 学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用．1. 已知A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且xÏA∩B}．若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．∴ A×B＝(－∞，3)．2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________．答案：12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题．如图，设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的人数有15－x，只喜爱乒乓球的人数有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.3. 已知条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}．则p是q的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：M＝(0，1)ËN＝(－2，2)．4. 已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(3－x)>0，若Øp是Øq的充分条件，则实数a的取值范围是____________．答案：[－1，6]解析：p ：a －4<x<a ＋4，q ：2<x<3，若Øp 是Øq 的充分条件，则q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a ≤6.题型一 集合的关系与运算例1 已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ÍA ，求实数p 的取值范围．解：由x 2－3x －10≤0，得－2≤x ≤5.∴ A ＝[－2，5]．① 当B ≠Æ时，即p ＋1≤2p －1Þp ≥2.由B ÍA 得－2≤p ＋1且2p －1≤5，得－3≤p ≤3.∴ 2≤p ≤3.② 当B ＝Æ时，即p ＋1>2p －1Þp ＜2.B ÍA 成立．综上得p ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝Æ，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或A ÍB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}．(1) 当a ＝－4时，分别求A ∩B 和A ∪B ；(2) 若(∁R A)∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1) 由2x 2－7x ＋3≤0，得12≤x ≤3， ∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤3. 当a ＝－4时，解x 2－4<0，得－2<x<2，∴ B ＝{x|－2<x<2}．∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x ≤3}． (2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<12或x>3， 当(∁R A)∩B ＝B 时，B Í∁R A.① 当B ＝Æ时，即a ≥0时，满足B Í∁R A ；② 当B ≠Æ时，即a<0时， B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B Í∁R A ，须－a ≤12，解得－14≤a<0.综上，可得实数a 的取值范围是a ≥－14. 题型二 数形结合与分类讨论思想在集合问题中的应用例2 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}．若A ∩B ＝Æ，求实数k 的取值范围．解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1，1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝Æ，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1，1)，所以k ＝2或k ＝－3.已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫a n ，S n n |n ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪14x 2－y 2＝1，x 、y ∈R . 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1) 若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2) A ∩B 至多有一个元素；(3) 当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠Æ．解：(1) 正确；在等差数列{a n }中，S n ＝n （a 1＋a n ）2，则S n n ＝12(a 1＋a n )，这表明点⎝⎛⎭⎫a n ，S n n 的坐标适合方程y ＝12(x ＋a 1)，于是点⎝⎛⎭⎫a n ，S n n 均在直线y ＝12x ＋12a 1上． (2) 正确；设(x ，y)∈A ∩B ，则(x ，y)中的坐标x 、y 应是方程组⎩⎨⎧y ＝12x ＋12a 1，14x 2－y 2＝1的解，由方程组消去y 得：2a 1x ＋a 21＝－4(*)，当a 1＝0时，方程(*)无解，此时A ∩B ＝Æ；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x ＝－4－a 212a 1，此时，方程组也只有一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－a 212a 1，y ＝a 21－44a 1，故上述方程组至多有一解．∴ A ∩B 至多有一个元素．(3) 不正确；取a 1＝1，d ＝1，对一切的x ∈N *，有a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n>0，S n n>0，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1＝1≠0 如果A ∩B ≠Æ，那么据(2)的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0，y 0)，而x 0＝－4－a 212a 1＝－52＜0，y 0＝a 1＋x 02＝－34＜0，这样的(x 0，y 0)A ，产生矛盾，故a 1＝1，d ＝1时A ∩B ＝Æ，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠Æ是不正确的．题型三 集合与逻辑知识应用的拓展例3 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x || x －1|＜a}，则“a ＝1”是“A ∩B ≠Æ”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由题意得A ：－1<x<1，B ：1－a<x<a ＋1，① 由a ＝1.A ：－1<x<1.B ：0<x<2.则A ∩B ＝{x|0<x<1}≠Æ成立，即充分性成立．② 反之：A ∩B ≠Æ，不一定推得a ＝1，如a 可能为12. 综合得“a ＝1”是“A ∩B ≠Æ”的充分不必要条件．设U 为全集，A 、B 是集合，则“存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ”是“A∩B ＝Æ”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充要解析：若存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ，则可以推出A ∩B ＝Æ；若A ∩B ＝Æ，由韦恩图可知，一定存在C ＝A ，满足A ÍC ，B Í∁U C ，故“存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ”是“A ∩B ＝Æ”的充要条件．题型四 充要条件的探求与证明例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q(p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }为等比数列的充要条件．解：数列{a n }为等比数列，则a 1＝p ＋q ，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴ n ≥2时，数列{a n }是公比为p ，首项为p －1的等比数列，∴ p ＋q ＝p －1，∴ q ＝－1.由上面探求的过程可知，数列{a n }为等比数列的充要条件即为q ＝－1.已知p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若Øp 是Øq 的必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3，∵ Øp 是Øq 的必要条件，∴ p 是q 的充分条件，∴ 不等式x 2－mx ＋4≥0对x ∈(0，3)恒成立，∴ m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对x ∈(0，3)恒成立． ∵ x ＋4x ≥2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立， ∴ m ≤4.1. (2013·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：充分不必要2. (2014·福建卷)命题“"x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是________________． 答案：$ x ∈[0，＋∞)，x 3＋x<03. (2014·四川卷)已知集合A ＝{x|x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝________． 答案：{－1，0，1，2}4. 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m)(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________．答案：－1 1解析：∵ A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x|－5<x<1}，又A ∩B ＝(－1，n)，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.5. (2013·上海卷)设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为__________．答案：(－∞，2]解析：若a ＞1，则A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，A ∪B ＝R ，a －1≤1，则1＜a ≤2；若a ＝1，A ∪B ＝R 成立，a ＜1，则A ＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，A ∪B ＝R 成立．综上a ≤2.6. (2013·福建卷)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足；(ⅰ) T ＝{f(x)|x ∈S}；(ⅱ) 对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：① A ＝N ，B ＝N *；② A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|－8≤x ≤10}；③ A ＝{x|0<x<1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 答案：①②③解析：对①取f(x)＝x ＋1，x ∈N *，所以B ＝N *，A ＝N 是“保序同构”；同理对②取f(x)＝92x －72(－1≤x ≤3)；对③取f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2，所以应填①②③.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知命题：“$x ∈{x|－1<x<1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1) 求实数m 的取值集合M;(2) 设不等式(x －a)(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．解：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围为函数y ＝x 2－x 在(－1，1)上的值域，易得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－14≤m<2.(3分) (2) 因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以m ÍN ，当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；(5分)当a>1时，a>2－a ，此时集合N ＝{x|2－a<x<a}，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a<－14，a ≥2，解得a>94；(9分) 当a<1时，a<2－a ，此时集合N ＝{x|a<x<2－a}，则⎩⎪⎨⎪⎧a<－14，2－a ≥2，解得a<－14.(13分) 综上，a>94或a<－14.(14分)1. 设集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{4，5，6，7}，则满足S ÍA 且S ∩B ≠Æ的集合S 的个数为____．答案： 56解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4，5，6，7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．2. 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M Í [1，4]，求实数a 的取值范围． 解： M Í [1，4]有三种情况：其一是M ＝Æ，此时Δ＜0；其二是M ≠Æ，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)．① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝ÆÍ [1，4]成立；② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－1}Ë[1，4]，当a ＝2时，M ＝{2}Í[1，4]；③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M Í[1，4]Û 1≤x 1＜x 2≤4Û⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0且f （4）≥0，1≤a ≤4且Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a ≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2， 解得2＜a ≤187. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 3. 已知a>0，函数f(x)＝ax －bx 2.(1) 当b>0时，若x ∈R ，都有f(x)≤1，证明：0<a ≤2b ；(2) 当b>1时，证明："x ∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2 b.证明：(1) ax －bx 2≤1对x ∈R 恒成立，又b ＞0，∴ a 2－4b ≤0，∴ 0＜a ≤2 b.(2) 必要性：∵"x ∈[0，1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax ≤1且bx 2－ax ≥－1，显然x ＝0时成立，对x ∈(0，1]时，a ≥bx －1x且a ≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0，1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1b 上单调减，在⎣⎡⎦⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1b ＝2b ， ∴ b －1≤a ≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b ≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b ≥－1，∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立．综上，命题得证．4. 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解：使命题甲成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m<0m ＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3.∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：① m ∈A ∩∁R B ；② m ∈∁R A ∩B.若为①，则有A ∩∁R B ＝{m|m>2}∩{m|m ≤1或m ≥3}＝{m|m ≥3}；若为②，则有B ∩∁R A ＝{m|1<m<3}∩{m|m ≤2}＝{m|1<m ≤2}．综合①、②可知所求m 的取值范围是{m|1<m ≤2或m ≥3}．请使用“课后训练·第1讲”活页练习，及时查漏补缺！薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

第30讲 概率统计、计数原理1. (1) 已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：① a 1＋a 2＋…＋a 7；② a 0＋a 2＋a 4＋a 6；③ a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(2) 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b)2n 的展开式的系数之和小240，求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中系数最大的项．解：(1) ① ∵ (1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.令x ＝0得a 0＝1.∴ a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2.② 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187.由(1)和上式得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.③ 由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1和a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094.(2) 由题意，得2n ＝22n －240，∴ 22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.∵ 2n ＋15＞0，∴ 2n －16＝0.∴ n ＝4. ∴ ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4. ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，∴ 所求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3＝C 24(x)2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x.2. 求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．证明：1＋2＋…＋25n －1＝25n －12－1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n－1 ＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n·31 ＝31·(31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，∵ 31n －1，C 1n ·31n －2，…，C n －1n 都是整数， ∴ 原式可被31整除．3. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1) 求当天商品不进货的概率； (2) 记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解：(1) P(“当天商品不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310. (2) 由题意知，X 的可能取值为2、3.P(X ＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝520＝14， P(X ＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34. 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝114. 4. 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1) 恰有2人申请A 片区房源的概率；(2) 申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解：这是等可能性事件的概率计算问题．(1) 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827. (2) ξ的所有可能值为1、2、3.P(ξ＝1)＝334＝127， P(ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 22）34＝1427⎝ ⎛⎭⎪⎫或P （ξ＝2）＝C 23（24－2）34＝1427， P(ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P （ξ＝3）＝C 24A 3334＝49. 综上知ξ的分布列为从而有E(ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527. 5. 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1) 求X 的分布列；(2) 求此员工月工资的期望．解：(1) X 的所有可能取值为0、1、2、3、4，P(X ＝i)＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0、1、2、3、4)．即(2) 令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100、2800、3500.则P(Y ＝3500)＝P(X ＝4)＝170， P(Y ＝2800)＝P(X ＝3)＝1670， P(Y ＝2100)＝P(X ≤2)＝5370. E(Y)＝3500×170＋2800×1670＋2100×5370＝2280. 故新录用员工月工资的期望为2280元．6. 下图是某游戏中使用的材料均匀的圆形转盘，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分的面积各占转盘面积的112、16、14、12.游戏规则如下： ① 当指针指到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分时，分别获得积分100分、40分、10分、0分； ② (ⅰ) 若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；(ⅱ) 若参加该游戏转一次转盘获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．硬币正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ.(1) 求ξ＝0的概率；(2) 求ξ的概率分布及数学期望．解：(1) 事件“ξ＝0”包含“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥， 所以P(ξ＝0)＝12＋16×12×⎝⎛⎭⎫1－112＝83144. (2) ξ的所有可能取值为0，10，40，100，由(1)知P(ξ＝0)＝83144， 又P(ξ＝10)＝14， P(ξ＝40)＝16×12＝112， P(ξ＝100)＝112＋16×12×112＝13144， 所以ξ的概率分布为故E(ξ)＝0×83144＋10×14＋40×112＋100×13144＝53536(分)．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

目录选择题的解法 (1)概率与统计 (12)函数与导数 (26)活用“审题路线图”，破解高考不再难 (40)集合与常用逻辑用语 (59)解答题的八个答题模板 (65)解析几何 (95)立体几何 (107)三角函数、解三角形、平面向量 (121)数列、不等式 (131)填空题的解法 (140)推理与证明、复数、算法 (149)选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2解析 对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.答案 A思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 C解析 函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位可得y ＝sin 2(x ＋m )＝sin(2x ＋2m )的图象，向右平移n (n >0)个单位可得y ＝sin 2(x －n )＝sin(2x －2n )的图象．若两图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则⎩⎨⎧2m ＝π3＋2k 1π，2n ＝－π3＋2k 2π，(k 1，k 2∈Z )即⎩⎨⎧m ＝π6＋k 1π，n ＝－π6＋k 2π.(k 1，k 2∈Z )所以|m －n |＝|π3＋(k 1－k 2)π|(k 1，k 2∈Z )，当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝π3.故选C.方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1D.3∶1解析 (1)取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选C.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有1C AA B V -＝1A ABC V -＝1113ABC A B C V -，故选B.答案 (1)C (2)B思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B. 2 C ．1 D.12答案 A解析 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 方法三 排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析容易判断函数y＝x sin x为偶函数，可排除D；时，y＝x sin x>0，排除B；当0<x<π2当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.答案 A思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图形可以是()答案 B解析 研究函数y ＝2|x |，发现它是偶函数，x ≥0时，它是增函数，因此x ＝0时函数取得最小值1，而当x ＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a ，b ]，而4∈[a ，b ]或者－4∈[a ，b ]，从而有结论a ＝－4时，0≤b ≤4，b ＝4时，－4≤a ≤0，因此方程b ＝g (a )的图形只能是B. 方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0， 得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|关于x＝1对称，2|又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，2|且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.答案 C思维升华本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3答案 B解析由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项．当其斜率为－3时，直线l的方程为3x＋y－6＝0，点O到其距离为|－6|3＋1＝62>1，不符合题意，故排除D选项．选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B ．1 C.74D ．2 解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形． 阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．答案 C思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －39－mB.m －3|9－m |C.13 D ．5答案 D解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan θ2，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tanθ2也为一确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tanθ2>1.1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________． 答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示) 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2>k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案 99.5%6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________． 答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n－1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！. (3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种． 答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n nb n (n ∈N *)． 通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n. ②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错． [问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1解析 T r ＋1＝C r 6x6－r (－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1. 4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.ξ 0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xx答案209解析 根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是： ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解 由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解 由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)． 答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解 记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形， 所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ， 因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点 据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解 在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解 对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点 没有分清是排列还是组合． 正解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误!未找到引用源。

第20讲 数形结合思想(对应学生用书(文)、(理)69～72页)数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因此在高考中占有非常重要的地位．数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，如点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，如复数、三角、空间点的坐标等．数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．1. 设集合A ＝{x|x 2－3x －4≤0}，B ＝{x|0≤x ≤4}，则∁B A ＝________．答案：[－1，0)解析：画数轴易得．2. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：从图象上可知周期为T ＝π－π3＝2π3，则ω＝2π2π3＝3.3. 直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x|＋a 有四个交点，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫1，54 解析：方程1＝x 2－|x|＋a 转化为x 2－|x|＝1－a ，令f(x)＝x 2－|x|，g(x)＝1－a ，在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，可知－14＜1－a ＜0，即1＜a ＜54.4. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P 、Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．答案：4解析：直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ 长为最小，最小值为4；或设直线为y ＝kx(k ＞0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，解得P 、Q 两点的坐标，再求线段PQ 长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用函数图象和性质快捷．合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法．要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题．题型一 利用三角函数的图象解题例1 如图，在△ABC 中，|AB →－AC →|＝3，|BC →－BA →|＝5，|CA →－CB →|＝7. (1) 求C 的大小；(2) 设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1) 依题意BC ＝3，CA ＝5，AB ＝7. 由余弦定理，得cosC ＝CB 2＋CA 2－AB 22·CB ·CA ＝－12.因为0<C<π，故C ＝2π3.(2) 由余弦定理，得cosA ＝1314.在△ADC 中，AD ＝72，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ×AD ×cosA＝194，于是CD ＝192.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A(x 1 ，y 1 )，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x 2，y 2)．(1) 若x 1＝35，求x 2；(2) 过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1、S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解：(1) 因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45.所以sin α＝45，cos α＝35.所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2) S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43.所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.题型二 根据图形选择适当的方法解题例2 如图所示，有两条道路OM 与ON ，∠MON ＝60°，现要铺设三条下水管道OA 、OB 、AB(其中A 、B 分别在OM 、ON 上)，若下水管道的总长度为3 km.设OA ＝a(km)，OB ＝b(km)．(1) 求b 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围；(2) 已知点P 处有一个污水总管的接口，点P 到OM 的距离PH 为34km ，到点O 的距离PO 为74km ，问下水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．解：(1) ∵ OA ＋OB ＋AB ＝3，∴ AB ＝3－a －b. ∵ ∠MON ＝60°，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2abcos60°. ∴ (3－a －b)2＝a 2＋b 2－ab. 整理，得b ＝2a －3a －2.由a ＞0，b ＞0，3－a －b ＞0，及a ＋b ＞3－a －b ，a ＋3－a －b ＞b ，b ＋3－a －b ＞a ，得0＜a ＜32.综上，b ＝2a －3a －2，0＜a ＜32.(2) 以O 为原点，OM 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．∵ PH ＝34，PO ＝74，∴ 点P ⎝⎛⎭⎫12，34. 假设AB 过点P.∵ A(a ，0)，B ⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，即B(12·2a －3a －2，32·2a －3a －2)，∴ 直线AP 的方程为y ＝3412－a (x －a)，即y ＝32－4a(x －a)． 将点B 代入，得32·2a －3a －2＝32－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2a －3a －2－a . 化简，得6a 2－10a ＋3＝0.∴ a ＝5±76∈⎝⎛⎭⎫0，32.答：下水管道AB 能经过污水总管的接口点P ，a ＝5±76(km)．如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB 、AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin （120°－θ）.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) .在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM·MP·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－1633sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin (2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°). 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 答：设计∠AMN 为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 题型三 利用图象处理解析几何问题例3 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M(0，1)．(1) 求椭圆T 与圆O 的方程；(2) 过点M 引两条互相垂直的两直线l 1、l 2与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D(均不重合)．① 若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1、d 2，求d 21＋d 22的最大值；② 若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程．解：(1) 由题意知c a ＝32，b ＝1，c 2＋b 2＝a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，可知椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.(2) ① 设P(x 0，y 0)，因为l 1⊥l 2，则d 21＋d 22＝PM 2＝x 20＋(y 0－1)2.因为x 204＋y 20＝1， 所以d 21＋d 22＝4－4y 20＋(y 0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163.因为－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－13时d 21＋d 22取得最大值为163，此时点P ⎝⎛⎭⎫±423，－13. ② 设l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 21＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 21＋4k 2. 把A 、C 中的k 置换成－1k可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2＋1，k 2－1k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k k 2＋4，k 2－4k 2＋4，所以MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，－2k 2k 2＋1，MC →＝(－8k 4k 2＋1，－8k 21＋4k 2)，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2kk 2＋1，－21＋k 2，MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k k 2＋4，－8k 2＋4. 由3MA →·MC →＝4MB →·MD →，得3k 21＋4k 2＝4k 2＋4，解得k ＝±2，所以l 1的方程为y ＝2x ＋1，l 2的方程为y ＝－22x ＋1， 或l 1的方程为y ＝－2x ＋1，l 2的方程为y ＝22x ＋1.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋b(x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程；(3) 问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．(1) 解：令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b)；令f(x)＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0，则实数b 的取值范围是b ∈(－∞，0)∪(0，1)．(2) 解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ； 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1， 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3) 证明：假设圆C 过定点(x 0，y 0)，(x 0，y 0)不依赖于b ，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b(1－y 0)＝0，(*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1，经检验知点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点．题型四 利用图象解函数综合问题例4 已知二次函数h(x)＝ax 2＋bx ＋c(其中c<3)，其导函数y ＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6lnx ＋h(x)．(1) 求函数f(x)在x ＝3处的切线斜率；(2) 若函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围； (3) 若函数y ＝－x ，x ∈(0，6]的图象总在函数y ＝f(x)图象的上方，求c 的取值范围．解：(1) 由已知，h ′(x)＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)、(4，0)两点，∴ h ′(x)＝2x －8，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，b ＝－8⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8h(x)＝x 2－8x ＋c ，∴ f(x)＝6lnx ＋x 2－8x ＋c ，∴ f ′(x)＝6x＋2x －8，∴ f ′(3)＝0，∴ 函数f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率为0. (2) f′(x)＝6x ＋2x －8＝2（x －1）（x －3）x ，∵ x>0，Z ]Z要使函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，则⎩⎨⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52. (3) 由题意，－x>f(x)在x ∈(0，6]上恒成立，得－x>6lnx ＋x 2－8x ＋c 在x ∈(0，6]上恒成立，即c<－x 2＋7x －6lnx 在x ∈(0，6]上恒成立，设g(x)＝－x 2－6lnx ＋7x ，x ∈(0，6]，则c<g(x)min ，g′(x)＝－2x －6x ＋7＝－2x 2＋7x －6x ＝－（2x －3）（x －2）x.∵ x>0，∴ 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，2时，g ′(x)>0，g(x)为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32和(2，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)为减函数，∴ g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫32和g(6)的较小者．g ⎝⎛⎭⎫32＝－94－6ln 32＋7×32＝334－6ln 32， g(6)＝－36－6ln6＋42＝6－6ln6， g ⎝⎛⎭⎫32－g(6)＝94－6ln 32＋6ln6＝94＋12ln2>0， ∴ g(x)min ＝g(6)＝6－6ln6. 又已知c<3，∴ c ＜6－6ln6.设函数f(x)＝ax 2＋e x(a ∈R )有且仅有两个极值点x 1、x 2(x 1<x 2)． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 是否存在实数a 满足f(x 1)＝e 23x 1？如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1) f′(x)＝2ax ＋e x .显然a ≠0，x 1、x 2是直线y ＝－12a 与曲线y ＝g(x)＝xe x 两交点的横坐标．由g′(x)＝1－xex ＝0，得x ＝1.列表：Z ]当x<0时，g(x)<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，＋∞)时，g(x)的取值范围分别为⎣⎡⎦⎤0，1e 和⎝⎛⎭⎫0，1e . 于是题设等价于0<－12a <1ea<－e 2，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－e2. (2) 存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，f ′(x 1)＝2ax 1＋ex 1＝0，故f(x 1)＝ax 21＋ex 1＝ex 1－x 12ex 1＝e 23x 1，故ex 1x 1－12ex 1－e 23＝0. 记R(x)＝e x x －12e x －e 23(0<x<1)，则R ′(x)＝e x （x －1）x 2－12e x<0，于是，R(x)在(0，1)上单调递减．又R ⎝⎛⎭⎫23＝0，故R(x)有唯一的零点x ＝23. 从而，满足f(x 1)＝e 23x 1的x 1＝23.所以a ＝－ex 12x 1＝－34e 23.此时f(x)＝－34e 23x 2＋e x ，f ′(x)＝－32e 23x ＋e x ，又f′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，而x 1＝23∈(0，1)，故当a ＝－34e 23时，f(x)极大＝f(x 1)＝23e 23.1. (2014·江苏卷)已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案：π6解析：由题意cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k·π6(k ∈Z )，因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.本题主要考查三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．2. (2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2＝________．答案：32解析：设甲、乙两个圆柱的底面圆半径和高分别为r 1、h 1，r 2、h 2，则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，h 1h 2＝r 2r 1.又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32，则V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝r 1r 2＝32.本题主要考查圆柱的侧面积与体积．3. (2013·全国卷)若函数f(x)＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b)的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值是________．答案：16解析：由条件知f(1)＝f(－1)＝0，∴ f(－5)＝f(－3)＝0即方程x 2＋ax ＋b ＝0两根为－5，－3，∴ a ＝8，b ＝15.∴ f(x)＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)＝[(x ＋2)2－1][9－(x ＋2)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）2－1＋9－（x ＋2）222＝16，且当(x ＋2)2＝5，即x ＝±5－2时等号成立，故所求函数的最大值为16.4. 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案：0＜k ＜1或1＜k ＜2解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞1，x ≤－1，－x －1，－1＜x ＜1，在直角坐标系中作出函数的图象，可知0＜k ＜1或1＜k ＜2.5. (2013·上海卷)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)、F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1、B 2.(1) 若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2) 若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．解：(1) 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)．根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a 2－b 2＝1，解得a 2＝43，b 2＝13， 故椭圆C 的方程为x 243＋y 213＝1.(2) 容易求得椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2（k 2－1）2k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)．因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77.故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.6. (2014·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ，经测量，点A位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0，60)，C(170，0)， 直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b)，则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150，因此新桥BC 的长为150 m.(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，则OM ＝d m(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0，d)到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a ＞0，a ≠1)．(1) 求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2) 求函数f(x)的单调增区间；(3) 若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．解：(1) 因为函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a ＞0，a ≠1)，所以f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ，f ′(0)＝0.(2分)因为f(0)＝1，所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝1.(4分)(2) 由(1)，f ′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)lna.因为当a ＞0，a ≠1时，总有f′(x)在R 上是增函数，(8分)又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)＞0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(10分)(3) 因为存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1成立，而当x ∈[－1，1]时，|f(x 1)－f(x 2)|≤f(x)max －f(x)min ，所以只要f(x)max －f(x)min ≥e －1即可．(12分)因为x ，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：] Z所以f(x)在1]时，f(x)的最小值f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max 为f(－1)和f(1)中的最大值．f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋lna ＝a －1a－2lna ， 令g(a)＝a －1a－2lna(a ＞0)， 因为g′(a)＝1＋1a 2－2a＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2＞0， 所以g(a)＝a －1a－2lna 在a ∈(0，＋∞)上是增函数． 而g(1)＝0，故当a ＞1时，g(a)＞0，即f(1)＞f(－1)；当0＜a ＜1时，g(a)＜0，即f(1)＜f(－1)．(14分)所以，当a ＞1时，f(1)－f(0)≥e －1，即a －lna ≥e －1，函数y ＝a －lna 在a ∈(1，＋∞)上是增函数，解得a ≥e ；当0＜a ＜1时，f(－1)－f(0)≥e －1，即1a ＋lna ≥e －1，函数y ＝1a＋lna 在a ∈(0，1)上是减函数，解得0＜a ≤1e. 综上可知，所求a 的取值范围为a ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(16分)1. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝|x ＋1x |－|x －1x|有四个公共点，则实数k 的取值范围是____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18解析：y ＝|x ＋1x |－|x －1x |为偶函数，即考查函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0＜x ＜1，2x ，x ≥1，在直角坐标系中作出函数的图象，直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，直线与曲线y ＝2x(x ≥1)在第一象限内相切时，直线的斜率为－18，根据图形可知实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18. 2. 设f(x)＝－13x 3＋12x 2＋2ax. (1) 若f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； (2) 当0＜a ＜2时，f(x)在[1，4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值． 解：(1) f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m ，n)⎝⎛⎭⎫23，＋∞使得f′(x)＞0.又f′(x)＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，而f′(x)在区间⎣⎡⎭⎫23，＋∞上单调递减，则只需f′⎝⎛⎭⎫23＞0即可．由f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以，当a ＞－19时，f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．(2) 令f′(x)＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a 2.所以f(x)在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x 2)．又f(4)－f(1)＝－272＋6a ＜0，即f(4)＜f(1)，所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝103. 3. 已知函数y ＝asinx ＋bcosx ＋c 的图象上有一个最低点⎝⎛⎭⎫116π，1.如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3π倍，然后向左平移1个单位，可得y ＝f(x)的图象．又知f(x)＝3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列．试求f(x)的解析式和单调递减区间．解：由题意知－12a ＋32b ＋c ＝1，－a 2＋b 2＋c ＝1，则c ＝1＋2a ，b ＝－3a ，∴ y ＝2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1＋2a ， ∴ f(x)＝2asin π3x ＋1＋2a.设f(x)＝3的非负实根为x 0，x 0＋3，x 0＋6，…，则f(x 0)＝3，f(x 0＋3)＝3，即2asin π3x 0＋1＋2a ＝3，2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x 0＋π＋1＋2a ＝3.两式相加得a ＝1，因此c ＝3，a ＝1，b ＝－ 3.∴ f(x)＝2sin π3x ＋3，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤32＋6k ，92＋6k (k ∈Z )．请使用“课后训练·第20讲”活页练习，及时查漏补缺！薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

第19讲 函数与方程思想1. 已知函数f(x)＝log a [x 2－(2a)2]对任意x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞都有意义，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫0，14 解析：x 2－(2a)2＞0对x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞恒成立，又由题知，a ＞0，a ≠1，∴ ⎝⎛⎭⎫122－(2a)2＞0，∴ 0＜a ＜14. 2. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8.设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和．若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为________．答案：73. 已知f(x)＝log 2(x －2)，若实数m 、n 满足f(m)＋f(2n)＝3，则m ＋n 的最小值是________．答案：7解析：由f(m)＋f(2n)＝3，得log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，解得m ＝2（n ＋1）n －1.m ＋n ＝n ＋2（n ＋1）n －1＝3＋(n －1)＋4n －1≥7，当且仅当n ＝3时取等号． 4. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案：6解析：设P(x ，y)，F(－1，0)，OP →＝(x ，y)，FP →＝(x ＋1，y)，OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2.又x 24＋y 23＝1，∴ y 2＝3－34x 2，x ∈[－2，2]，则OP →·FP →＝⎝⎛⎭⎫12x ＋12＋2∈[2，6]． 5. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由圆外一点P(a ，b)作两圆的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足PA ＝PB ，则实数a 、b 满足的等量关系是________．答案：a ＋2b －5＝0解析：PA ＝PB ，则PA 2＝PB 2，PA 2＝PO 2－1，PB 2＝PC 2－1，∴ a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2，整理得a ＋2b －5＝0.6. 已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2－2x ＋|a ＋1|＋|a|＝0有实根，则a 的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：方程x 2－2x ＋|a ＋1|＋|a|＝0可化为|a ＋1|＋|a|＝－x 2＋2x ，函数f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴ |a ＋1|＋|a|≤1，解得－1≤a ≤0.(本题也可用判别式来解决)7. 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lgx n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________．答案：－2解析：y′＝(n ＋1)x n ，切线斜率为n ＋1，切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，x n ＝n n ＋1，a n ＝lg n n ＋1，a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2x 3…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2. 8. 已知正实数x 、y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．答案：26－39. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54＝2 014，且存在正整数k ，使a 1、a 54、a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为____________．答案：126解析：因为a 54＝2 014，所以a 1＋53d ＝2 104，所以a 153＋d ＝38，d ＞0且为正整数，所以a 1是53的倍数， 因为a 1、a 54、a k 成等比数列，所以a 254＝a 1a k ＝2×2×19×19×53×53.若a 1＝53，则53＋53d ＝2 014，d ＝37；若a 1＝2×53，则106＋53d ＝2 014，d ＝36；若a 1＝4×53，则212＋53d ＝2 014，d ＝34；若a 1＝1 007，则1 007＋53d ＝2 014，d ＝19；所以公差d 的所有可能取值之和为37＋36＋34＋19＝126.10. 设函数f(x)＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案：(－∞，－1)解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －m x＜0恒成立，显然m ≠0.当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解．综上所述，实数m 的取值范围是m ＜－1.11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，即sinBcosA ＝2sinAcosA ，当cosA ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233， 当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233. 12. 设数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝a n 3＋13n ；数列{b n }，b n ＝3n －1a n ；正数数列{d n }，d 2n ＝1＋1b 2n＋1b 2n ＋1. (1) 求证：数列{b n }为等差数列；(2) 设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n 、D n ，求数列{b n D n ＋d n B n －b n d n }的前n 项和S n .(1) 证明：由a n ＋1＝a n 3＋13n ，得3n a n ＋1＝3n －1a n ＋1. 又b n ＝3n －1a n ，所以b n ＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．(2) 解：由(1)得b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，B n ＝n （n ＋1）2. 因d 2n ＝1＋1b 2n ＋1b 2n ＋1， 故d 2n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋2n （n ＋1）＋1n 2（n ＋1）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n （n ＋1）2. 由d n >0，得d n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1. 于是，D n ＝n ＋1－1n ＋1. 又当n ≥2时，b n D n ＋d n B n －b n d n ＝(B n －B n －1)D n ＋(D n －D n －1)B n －(B n －B n －1)(D n －D n －1)＝B n D n －B n －1D n －1，所以S n ＝(B n D n －B n －1D n －1)＋(B n －1D n －1－B n －2D n －2)＋…＋(B 2D 2－B 1D 1)＋B 1D 1＝B n D n .因S 1＝b 1D 1＋d 1B 1－b 1d 1＝B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n ＝B n D n .所以S n ＝B n D n ＝n （n ＋1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－1n ＋1 ＝12(n 3＋2n 2)． 13. 设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过点P(1，0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1) 求a 、b 的值；(2) 证明：f(x)≤2x －2.(1) 解：f′(x)＝1＋2ax ＋b x. 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝3.(2) 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则g ′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x. 当0＜x ＜1时，g ′(x)＞0；当x ＞1时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，1)单调增加，在(1，＋∞)上单调减小．所以x＝1时，g(x)取极大值即为最大值．而g(1)＝0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

专题四 平面解析几何第12讲 直线与圆的方程及应用1. 过点(1，－2)且倾斜角是120°的直线方程是________________． 答案：3x ＋y －3＋2＝0解析：由点斜式得直线方程为y ＋2＝tan120°(x －1)，∴ y ＋2＝－3(x －1)，∴ 3x ＋y ＋2－3＝0.2. 与直线x －y －2＝0垂直的直线的倾斜角是________．答案：135°解析：与直线x －y －2＝0垂直的直线的斜率是－1，因而对应倾斜角是135°.3. 若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是______________．答案：(x ＋5)2＋y 2＝5解析：设圆心为(a ，0)，且a ＜0，则5＝|a|12＋22，∴ a ＝－5，∴ 圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.4. 圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C 的方程为________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：由题易知圆心纵坐标y ＝－3，代入直线2x －y －7＝0得圆心D(2，－3)，r 2＝22＋12＝5.因而圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.5. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点．若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为________．答案：1或723解析：设直线方程y ＝k(x －5)＋3，由OA ⊥OB 知圆心到直线的距离d ＝rsin π4＝2×22＝2，从而|3－5k|1＋k 2＝2，解得k ＝1或723. 6. 已知圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0上恰有2个点到直线x ＋y ＋a ＝0的距离等于22，则实数a 的取值范围为________________．答案：－5＜a ＜－3或－1＜a ＜1 解析：本题考查数形结合思想．圆的半径为2，要满足题意，只需圆心到直线的距离2－22＜d ＜2＋22，∴ 22＜|1＋1＋a|2＜2＋22，∴ －5＜a ＜－3或－1＜a ＜1. 7. 过点P ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________________．答案：2x －4y ＋3＝0解析：本题考查直线与圆相交的问题，解题时应注意数形结合．本题中结合图象可知当CP ⊥AB 时满足题意．8. 当且仅当m ≤r ≤n 时，两圆x 2＋y 2＝49与x 2＋y 2－6x －8y ＋25－r 2＝0(r>0)有公共点，则n －m 的值为__________．答案：109. 在直角坐标系xOy 中，已知A(－1，0)、B(0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为____________．答案：2解析：设P(x ，y)，由PA 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理，得x ＋y－2＝0.又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个．本题考查直线与圆位置关系，求点的轨迹方程等综合运用．本题属于中等题．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(3，0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A 、B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为______________． 答案：[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]解析：圆C 的方程为(x －m)2＋(y －2)2＝32.圆心C(m ，2)，半径r ＝32＝4 2.S △ABC ＝12r 2sin ∠ACB ＝16sin ∠ACB ≤16， 故当sin ∠ACB ＝1即∠ACB ＝90°时，S △ABC 取得最大值．即当△ACB 为等腰直角三角形时，面积取到最大值．故此时圆心到动直线的距离d ＝r ×22＝4，从而d ≤PC ＜r ，即16≤(m －3)2＋4＜32，解得m ∈[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]．11. 已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆经过原点O ，且分别交x 轴、y 轴于点A 、B.点A 、B 与点O 不重合．(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，且OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1) 证明：设(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 所以x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0. 因为A(2t ，0)，B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △OAB ＝4. (2) 解：因为OM ＝ON ，所以OC ⊥MN ，所以2t －0t －0×(－2)＝－1，所以t 2＝4. 因为圆与直线相交，所以t ＝2，即x 2－4x ＋y 2－2y ＝0.12. 已知过点A(0，1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 求证：AM →·AN →是定值；(3) 若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．(1) 解：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，∴ d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＜1，∴ 3k 2－8k ＋3＜0，∴ 4－73＜k ＜4＋73. (2) 证明：设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，（x －2）2＋（y －3）2＝1，得 (k 2＋1)x 2－4(k ＋1)x ＋7＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4（k ＋1）k 2＋1，x 1x 2＝7k 2＋1. ∵ AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，∴ AM →·AN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)71＋k2＝7.∴ AM →·AN →为定值7. (3) 解：由(2)可知OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝7＋k·4k ＋4k 2＋1＋1＝12，解得k ＝1，符合(1)中所得范围，因此k ＝1. 13. 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1，0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1) 证明：∵ l 与m 垂直，且k m ＝－13，则k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.显然圆心(0，3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2) 解：① 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．② 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵ PQ ＝23，∴ CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43，∴ 直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN ，∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →.① 当l 与x 轴垂直时有N ⎝⎛⎭⎫－1，－53，∴ AN →＝⎝⎛⎭⎫0，－53.又AC →＝(1，3)，∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.② 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k ，∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5. 综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5.薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

第19讲 函数与方程思想(对应学生用书(文)、(理)65～68页)考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查．”函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解，使问题得以解决．函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________． 答案：1解析：a ＋2＝3，a ＝1，而a 2＋4＞3不用讨论．2. 已知实数m 、n 满足m 3－3m 2＋5m ＝1，n 3－3n 2＋5n ＝5，则m ＋n ＝________． 答案：2解析：∵ m 3－3m 2＋5m ＝1， ∴ (m －1)3＋2(m －1)＋2＝0.①∵ n 3－3n 2＋5n ＝5，∴ (1－n)3＋2(1－n)＋2＝0.②设f(x)＝x 3＋2x ＋2，则①等价于f(m －1)＝0，②等价于f(1－n)＝0，于是f(m －1)＝f(1－n)．又显然f(x)为(0，＋∞)是的增函数，∴ m －1＝1－n ， ∴ m ＋n ＝2.3. 若不等式(mx －1)[3m 2－( x ＋ 1)m －1]≥0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的值为________．答案：1解析：显然x>0，若x ≤0，则mx －1＜0，而当m 充分大时，3m 2－( x ＋ 1)m －1＞0，与题设矛盾．而当x ＞0时，要使(mx －1)[3m 2－( x ＋ 1)m －1]≥0，对m ∈R ＋恒成立，则关于m 的方程mx －1＝0与3m 2－( x ＋ 1)m －1＝0在(0，＋∞)内有相同的根．所以3×⎝⎛⎭⎫1x 2－( x ＋ 1)×1x －1＝0，解得x ＝1, x ＝－32(舍去)．4. 已知关于x 的方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－54，1解析：a ＝－sin 2x －cosx ＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，最小值为－54，最大值为1.题型一 利用函数与方程思想求范围问题例1 若a 、b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．解：(解法1)将ab ＝a ＋b ＋3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到a ＋b 中，转化为一元函数．∵ b ＝a ＋3a －1，∴ a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝2＋(a －1)＋4a －1.由b ∈R ＋得a ＞1，∴ a ＋b ＝2＋(a－1)＋4a －1≥2＋2（a －1）×4a －1＝6，当且仅当a －1＝4a －1即a ＝3时取等号，故a ＋b的取值范围是[6，＋∞)．(解法2)直接利用基本不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，构造不等式，然后解不等式即可．∵ ab ＝a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ (a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0，∴ (a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0，从而得a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号)．点评：本题解法很多，关键要学会转化．若a 、b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．解：a>0，b>0，a ＋b ≥2ab ，∴ ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，ab －2ab －3≥0，ab ≥3，ab ≥9，当且仅当a ＝b 时取等号，故ab ∈[9，＋∞)． 题型二 利用函数与方程思想解数列问题例2 设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r 、t ∈N *，都有S r S t ＝⎝⎛⎭⎫r t 2.(1) 求数列{a n }的通项公式(用a 1表示)；(2) 设a 1＝1，b 1＝3，b n ＝Sb n －1(n ≥2，n ∈N *)，求证：数列{log 3b n }为等比数列；(3) 在(2)的条件下，求T n ＝∑n k ＝2 b k －1b k －1.(1) 解：因为a 1＝S 1≠0，令t ＝1，r ＝n ，则S r S t ＝⎝⎛⎭⎫r t 2，得S n S 1＝n 2，即S n ＝a 1n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 1(2n －1)，且当n ＝1时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1(2n －1)．(2) 证明：当a 1＝1时，由(1)知a n ＝a 1(2n －1)＝2n －1，S n ＝n 2.依题意，n ≥2时，b n ＝Sb n －1＝b 2n －1，于是log 3b n ＝log 3b 2n －1＝2log 3b n －1(n ≥2，n ∈N )，且log 3b 1＝1， 故数列{log 3b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(3) 解：由(2)得log 3b n ＝1×2n －1＝2n －1，所以b n ＝32n －1(n ∈N *).于是b k －1b k －1＝32k －232k －1－1＝()32k －2＋1－1()32k －2＋1()32k －2－1＝132k －2－1－132k －1－1. 所以T n ＝∑k ＝2nb k －1b k －1＝∑k ＝2n ⎝⎛⎭⎫132k －2－1－132k －1－1＝12－132n －1－1. 设a 1、d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1) 若S 5＝5，求S 6及a 1； (2) 求d 的取值范围．解：(1) 由题意知S 6＝－15S 5＝－3，∴ ⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，S 6＝6a 1＋6×52d ＝－3，解得a 1＝7，d ＝－3，∴ S 6＝－3，a 1＝7. (2) ∵ S 5S 6＋15＝0，∴ (5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，则(4a 1＋9d)2＝d 2－8，∴ d 2－8≥0， 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.题型三 利用函数与方程思想处理解析几何问题例3 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的大小成等差数列，且tanA ·tanC ＝2＋3，又知顶点C 的对边c 上的高等于43，试求△ABC 的三边a 、b 、c 及三内角．解：由A 、B 、C 成等差数列，可得B ＝60°.在△ABC 中，由tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ，得 tanA ＋tanC ＝tanB(tanA ·tanC －1)＝3(1＋3)．所以tanA ·tanC 是方程x 2－3(1＋3)x ＋2＋3＝0的两根，解得x 1＝1，x 2＝2＋ 3.不妨设A<C ，则tanA ＝1，tanC ＝2＋3，∴ A ＝π4，C ＝5π12.由此容易得到a ＝8，b ＝46，c ＝43＋4.△ABC 中，求证：cosA ·cosB ·cosC ≤18.证明：设k ＝cosA ·cosB ·cosC ＝12[cos(A ＋B)＋cos(A －B)]·cosC ＝12[－cosC ＋cos(A －B)]cosC.整理得cos 2C －cos(A －B)·cosC ＋2k ＝0，它可看作是关于cosC 的一元二次方程．所以Δ＝cos 2(A －B)－8k ≥0，即8k ≤cos 2(A －B)≤1.所以k ≤18，即cosA ·cosB ·cosC ≤18.题型四 利用函数与方程思想解函数问题例4 已知函数f(x)＝xlnx－ax(x ＞0且x ≠1)．(1) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2) 若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)max ≤0.又f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx 2＋1lnx －a＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a ，故当1lnx ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x)max ＝14－a.所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(2) 命题“若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤f ′(x)max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x)max ＝14－a ，∴ f ′(x)max ＋a ＝14.问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤14”．① 当a ≥14时，由(1)f(x)在[e ，e 2]上为减函数，则f(x)min ＝f(e 2)＝e 22－ae 2≤14，故a ≥12－14e2.②当a ＜14时，由于f′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e)，f ′(e 2)]，即⎣⎡⎦⎤－a ，14－a . 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x)≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f(x)在[e ，e 2]上为增函数，于是，f(x)min ＝f(e)＝e －ae ≥e ＞14，不合题意；若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f′(x 0)＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数．所以f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以a ≥1lnx 0－14x 0＞1lne 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意． 综上，得a ≥12－14e 2.设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)，且f(1)＝－a2.(1) 求证：函数f(x)有两个零点；(2) 设x 1、x 2是函数f(x)的两个零点，求|x 1－x 2|的取值范围； (3) 求证：函数f(x)的零点x 1、x 2至少有一个在区间(0，2)内．(1) 证明：∵ f(1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴ 3a ＋2b ＋2c ＝0，∴ c ＝－32a －b ，∴ f(x)＝ax 2＋bx －32a －b.又Δ＝b 2－4a ⎝⎛⎭⎫－32a －b ＝b 2＋6a 2＋4ab ＝(2a ＋b)2＋2a 2，∵ a ＞0，∴ Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点．(2) 解：若x 1、x 2是函数f(x)的两个零点，则x 1、x 2是方程f(x)＝0的两根，∴ x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－b a －32，∴ |x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4⎝⎛⎭⎫－b a －32 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋22＋2≥2，∴ |x 1－x 2|的取值范围是[2，＋∞)．(3) 证明：f(0)＝c ，f(2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴ f(2)＝a －c.① 当c ＞0时，有f(0)＞0，又a ＞0，∴ f(1)＝－a2＜0，∴ 函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点；② 当c ≤0时，f(2)＝a －c ＞0，f(1)＜0，f(0)＝c ≤0， ∴ 函数f(x)在区间(1，2)内有一个零点．综合①②可知函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．点评：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决．1. (2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是____________．答案：⎝⎛⎭⎫－22，0解析：⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0 ⎩⎨⎧－22<m<22，－32<m<0 m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0.2. (2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP→＝2，则AB →·AD →的值是________．答案：22解析：(解法1)基底法，考虑将条件中涉及的AP →、BP →向量用基底AB →、AD →表示，而后实施计算．AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，则AP →·BP →＝2＝⎝⎛⎭⎫AD→＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2.因为AB ＝8，AD ＝5，则2＝25－316·64－12AB →·AD →，故AB →·AD →＝22.(解法2)坐标法，不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设A(0，0)，B(8，0)，D(a ，t)，P(a ＋2，t)，C(a ＋8，t)，则AP →＝(a ＋2，t)，BP →＝(a －6，t)．由AP →·BP →＝2，得a 2＋t 2－4a ＝14，由AD ＝5，得a 2＋t 2＝25，则4a ＝11，所以AB →·AD →＝8a ＝22.3. (2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是____________．答案：⎝⎛⎭⎫0，12 解析：作出函数的简图，由图象分析可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.4. (2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．答案：±3解析：由题意，得a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)．因为(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(3＋λ)(3－λ)＋(3＋λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.5. (2014·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1) 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2) 设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d<0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．(1) 证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n ，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．(2) 解：由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d.因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d<0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为－1.(3) 证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”． 所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列” {b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．6. (2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b)，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.(1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1) 因为B(0，b)，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a. 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2) 因为B(0，b)，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b ，所以点A 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为 b ()a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55.(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a n b n ＝2，b n ＋1＝a n ⎝⎛⎭⎫b n －21＋a n，n ∈N *.(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝2a n －5，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q 、r(p<q<r)，使得1c p ，1c q ，1c r成等差数列？若存在，试用p 表示q 、r ；若不存在，说明理由．(1) 证明：因为a n b n ＝2，所以a n ＝2b n，则b n ＋1＝a n b n －2a n 1＋a n ＝2－4b n1＋2b n＝2－4b n ＋2＝2b nb n ＋2，(2分)所以1b n ＋1＝1b n ＋12.又a 1＝3，所以b 1＝23，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为32，公差为12的等差数列，(4分)即1b n ＝32＋(n －1)×12＝n ＋22，所以b n ＝2n ＋2.(6分) (2) 解：由(1)知a n ＝n ＋2，所以c n ＝2a n －5＝2n －1， ① 当p ＝1时，c p ＝c 1＝1，c q ＝2q －1，c r ＝2r －1， 若1c p ，1c q ，1c r 成等差数列，则22q －1＝1＋12r －1(*)， 因为p<q<r ，所以q ≥2，r ≥3，22q －1<1，1＋12r －1>1，所以(*)不成立. (9分)② 当p ≥2时，若1c p ，1c q ，1c r成等差数列，则22q －1＝12p －1＋12r －1，所以12r －1＝22q －1－12p －1＝4p －2q －1（2p －1）（2q －1）， 即2r －1＝（2p －1）（2q －1）4p －2q －1，所以r ＝2pq ＋p －2q4p －2q －1，(12分)欲满足题设条件，只需q ＝2p －1，此时r ＝4p 2－5p ＋2，(14分)因为p ≥2，所以q ＝2p －1>p ，r －q ＝4p 2－7p ＋3＝4(p －1)2＋p －1>0，即r>q.(15分) 综上所述，当p ＝1时，不存在q 、r 满足题设条件；当p ≥2时，存在q ＝2p －1，r ＝4p 2－5p ＋2，满足题设条件．(16分)1. 在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则通项a n ＝__________． 答案：3n －5解析：显然公差不为零，故通项为n 的一次函数，设a n ＝an ＋b ，a 、b 为常数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝10，12a ＋b ＝31 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－5，∴ a n ＝3n －5. 2. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫xm －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是____________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x2.设g(x)＝2x ＋3x2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤23.函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝⎛⎦⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值． h ⎝⎛⎭⎫23＝3×49＋2×23＝83， 所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32，因此实数m 的取值范围是m ∈(－∞，－32]∪[32，＋∞)．(解法2)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 令F(x)＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝⎛⎭⎫32为最小值， 即实数m 应满足⎩⎨⎧1－1m 2＋4m 2＞0，F ⎝⎛⎭⎫32≥0，解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈(－∞，－32]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.3. 已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2，则F′(x)＝g′(x)－2g′⎝⎛⎭⎫a ＋x 2＝lnx －ln a ＋x 2.当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，因此F(x)在(0，a)上为减函数； 当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0，即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，则G′(x)＝lnx －ln a ＋x2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．当x ＞0时，G ′(x)＜0，因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0，即g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.综上，得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 点评：确定变量，构造函数证明不等式．请使用“课后训练·第19讲”活页练习，及时查漏补缺！。

专题八 高考数学题型训练第22讲 高考题中的填空题解法(对应学生用书(文)、(理)77～78页)江苏数学高考试题中填空题共14题，每小题5分，共计70分．填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大，而且对学生整个高考都起非常重要的作用．填空题是一种客观性试题，它只要求写出结果(简练、概括、准确)，不要求写出解答过程．高考数学填空题涉及考点少，目标比较集中，以基础题和中档题为主，只有一两道题综合性较强，难度较大；填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法．目前高考填空题，基本上都是计算型和概念判断型的试题，求解填空题的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫，合情推理、优化思路、少算多思，充分利用各种数学思想方法是准确解答填空题的基本要求．解填空题的常用方法：(1) 直接法：指直接从题目的条件或已知的公理、定理出发，通过严密推理或准确计算(注意运算技巧)而得出正确的结果．(2) 特例法：题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的，这样可以把题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值代替，而得出正确的结果．(3) 数形结合法：借助于图形进行直观的分析，辅之简单的计算而得出正确的结果． 此外在解填空题的过程中，定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解题方法．1. 设复数z 满足(3＋4i)z ＋5＝0(i 是虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案：1解析：由(3＋4i)z ＋5＝0，得(3＋4i)z ＝－5，|3＋4i|·|z|＝5，5|z|＝5，|z|＝1.2. 在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10＝________． 答案：403. 已知正实数x 、y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________. 答案：26－34. 设a 、b 为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题： ① 若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； ② 若a ⊥α且b ⊥α，则a ∥b ； ③ 若a ∥α且α∥β，则a ∥β； ④ 若a ⊥α且a ⊥β，则α∥β.上面命题中，真命题是________．(填序号) 答案：②④解析：取一个正方体，将其中的棱、面分别看成是直线a 、b ，平面α、β.题型一 通过直接计算得到结果 例 1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1， 若{a n }前n 项和为24, 则n ＝________．答案：624解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，{a n }前n 项和为S n ＝n ＋1－1，∴n＋1－1＝24，n ＝624.本题通过直接对通项变形、求和，从而求出结果．已知函数y ＝sin ωx(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23或k ＝1. 题型二 利用图象分析得到结果例 2 已知不等式log a x ≥x 2(a>0，a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：116≤a ＜1解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log a x ，y ＝x 2的图象，则log a 12≥⎝⎛⎭⎫122，故116≤a＜1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝klog 2x(k 为常数，0＜k ＜1)．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C.若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是________．答案：12解析：设A(t ，2log 2t)(t ＞1)，则B(t 2，2log 2t)，D(t ，log 2t)，C(t 2，2klog 2t)，则有log 2t＝2klog 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k ＝12.题型三 通过转化将问题解决例3 已知n ∈N *且n ≥2，则3n ＋4n 与5n 的大小关系是________．答案：3n ＋4n ≤5n解析：构造函数f(n)＝3n ＋4n 5n ＝⎝⎛⎭⎫35n ＋⎝⎛⎭⎫45n，f(n ＋1)－f(n)＜0，故函数f(n)在n ≥2时单调减，又f(2)＝1，所以3n ＋4n ≤5n (当且仅当n ＝2时取等号)．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值是________．答案：16解析：设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫n －815d ，从而可知1≤n ≤16时，a n ＞0, n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0， 故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16.因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故S n 中S 16最大． 题型四 通过特殊化法将问题解决例4 三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为22、32、62，则此三棱锥的外接球的体积为________．答案：6π解析：将此三棱锥看成是边长分别为1、2、3的长方体的部分，故其外接球的直径即为长方体的体对角线，则外接球的体积为6π.过圆x 2＋y 2＝9内一点P(1，2)作两条相互垂直的弦AC 、BD ，当AC ＝BD时，四边形ABCD 的面积为________．答案：13解析：四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ·BD ＝29－d 21·9－d 22，其中d 1、d 2分别为圆心到AC 、BD 的距离．又AC ＝BD ，所以d 1＝d 2.又d 21＋d 22＝OP 2＝5，则S ＝13.1. (2014·湖北卷)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝________．答案：－1解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝（1－i ）2（1＋i ）2＝－2i2i ＝－1， 2. (2013·辽宁卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且asinBcosC＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝________．答案：π6解析：由正弦定理得sinAsinBcosC ＋sinCsinBcosA ＝12sinB ，sinB>0，∴ sinAcosC ＋cosAsinC ＝12，sin(A ＋C)＝12，sinB ＝12.又a>b ，∴ B 为锐角，B ＝π6.3. (2013·江西卷)等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项为________．答案：－24解析：(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)，x ＝－3或x ＝－1(舍)，故等比数列首项为－3，公比为2，第四项为－24.4. 若函数f(x)＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处有最小值，则实数a ＝________． 答案：3解析：本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运算求解能力．∵x ＞2，∴ f(x)＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号，∴ a ＝3，f min (x)＝4. 5. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴正半轴于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN →的最大值为________．答案：4＋42解析：M(2，0)，N(0，2)，设P(x ，y)，PM →·PN →2＝x 2＋y 2－2x －2y ＝4－2(x ＋y)，又x 2＋y 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以|x ＋y|≤22，故最大值为4＋4 2. 6. 设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x<g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是____．答案：⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：由题意知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ），＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ∈[－1，2]，＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ∈[－1，2].所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x ∈[－1，2]时，f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上，f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． 7. (2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．答案：2解析：由题意，得直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 平行，又要使直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则由图形可知，直线l 1与l 2截圆C 的劣弧所对的圆心角为90°，则圆心距为22，则|a|12＋（－1）2＝22，|b|12＋（－1）2＝22，解得a ＝±1，b ＝±1，当a ＝b 时，l 1与l 2重合，因此a ≠b ，则a ＝1，b ＝－1，或a ＝－1，b ＝1，所以a 2＋b 2＝2.8. 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案：[1，4]解析：以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)．设M(2，b)，N(x ，1)(0≤x ≤2)，根据题意，b ＝2－x 2，所以AN →＝(x ，1)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2－x 2，则AM →·AN →＝2x ＋2－x 2＝32x ＋1.又0≤x ≤2，∴ AM →·AN →∈[1，4]．9. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案：54解析：本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|是解题的关键．利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标．由抛物线的定义知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，则|CD|＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.10. 设m 、n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．答案：3解析：直线与两坐标轴的交点坐标为B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d 满足d 2＝r 2－12＝4－1＝3，所以d ＝3，即圆心到直线的距离d ＝|－1|m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13.△AOB 的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪1m ·⎪⎪⎪⎪1n ＝12|mn|，又S ＝12|mn|≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m|＝|n|＝66时取等号，所以S 的最小值为3.(本题模拟高考评分标准，满分5分)如图：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－12，则AD →·BC →＝________．答案：0解析：以AB →、AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →，则AC →·BD →＝AD →2－23AB →·AD→－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60°，则AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →)＝AD →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB →＝AD →2－23AB →·AD →＝4－4＝0.1. 设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，…，a 20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有__________个．答案：180解析：本题要进行分类讨论．设原数列公差为d ，则抽出的三个数公差为±d 的有36个；公差为±2d 的有32个；公差为±3d 的有28个，…，公差为±9d 的有4个，所以共计180个． 2. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点A(x ，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f(x)，则f(x)在区间[－2，1]上的解析式是____________．答案：y ＝⎩⎨⎧1－（x ＋1）2，x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，1－x 2，x ∈⎝⎛⎦⎤－12，13. 关于函数y ＝f(x)，有下列命题：① 若a ∈[－2，2]，则函数f(x)＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ；② 若f(x)＝log 12(x 2－3x ＋2)，则f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，32； ③ 函数f(x)＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －4(a ＞0且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是0＜a ≤4且a ≠1；④ 定义在R 上的函数f(x)，且对任意的x ∈R 都有f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则4是y ＝f(x)的一个周期．其中真命题是__________．(填序号) 答案：①③④请使用“课后训练·第22讲”活页练习，及时查漏补缺！薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

专题二 三角函数与平面向量第7讲 三角函数的图象与性质1. 将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于________．答案：116π 解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π，∴ 将函数y ＝sinx 的图象向左平移116π个单位可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象． 2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________． 答案：103. 已知函数f(x)＝f′⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案：1解析：f(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosx ＋sinx ， f ′(x)＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－22f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋22， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最大值为________． 答案：2解析：(解法1)由题意可知y ＝sin2xcos π6＋cos2xsin π6＋cos2xcos π3＋sin2xsin π3＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以最大值为2. (解法2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos[(2x ＋π6)－π2] ＝2sin(2x ＋π6)，所以最大值为2. 5. 方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0一定有解，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 要使sin α－3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的范围为______．答案：[－1，73] 解析：4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)∈[－2，2]，所以－2≤4m －64－m≤2，解得－1≤m ≤73. 7. 设函数f(x)＝2sin x 2，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意的实数x 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案：2π解析：T ＝2π12＝4π，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max ＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T 2＝2π. 8. 已知过原点的直线与函数y ＝|sinx|(x ≥0)的图象有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则（1＋α2）sin2α2α＝________． 答案：1解析：y ＝|sinx|(x ≥0)的图象如图，若过原点的直线与函数y ＝|sinx|(x ≥0)的图象有且只有三个交点，则第三个交点的横坐标为α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， 又在区间(π，2π)上，y ＝|sinx|＝－sinx ，则切点坐标为(α，－sin α)，又切线斜率为－cos α，则切线方程为y ＋sin α＝－cos α(x －α)，y ＝－xcos α＋αcos α－sin α.又直线过原点，把(0，0)代入上式，得α＝tan α，∴ （1＋α2）sin2α2α＝（1＋tan 2α）2sin αcos α2tan α＝(1＋tan 2α)cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 9. 将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R )的图象向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是______________．答案：π6解析：y ＝3cosx ＋sinx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，图象向左平移m(m>0)个单位长度后得函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，由函数为偶函数得π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，m ＝k π＋π6，又m>0，故m 的最小值是π6. 10. 已知六个点A 1(x 1，1)，B 1(x 2，－1)，A 2(x 3，1)，B 2(x 4，－1)，A 3(x 5，1)，B 3(x 6，－1)(x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6，x 6－x 1＝5π)都在函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象C 上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为______________．(两点不计顺序)答案：11解析：画出函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的草图，由题知，A 1(x 1，1)，B 1(x 2，－1)，A 2(x 3，1)，B 2(x 4，－1)，A 3(x 5，1)，B 3(x 6，－1)恰好为连续的三个最高点和三个最低点，符合题意的11组好点组是A 1B 1，A 2B 1，A 3B 1，A 1B 2，A 2B 2，A 3B 2，A 1B 3，A 2B 3，A 3B 3，A 1A 3，B 1B 3.11. 已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1. (1) 求常数a 、b 的值；(2) 设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间． 解：(1) ∵ x ∈[0，π2]，∴ 2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－12，1]．∵ a >0， ∴ －2asin(2x ＋π6)∈[－2a ，a]．∴ f(x)∈[b ，3a ＋b]． ∵ －5≤f(x)≤1，∴ b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2) 由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴ f(x)＝－4sin(2x ＋π6)－1， g(x)＝f(x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1 ＝4sin(2x ＋π6)－1. 又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴ 4sin(2x ＋π6)－1＞1，∴ sin(2x ＋π6)＞12， ∴ 2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴ g(x)的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z . ∵ 当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴ g(x)的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z . 综上，g(x)的递增区间为(k π，k π＋π6](k ∈Z )；递减区间为(kπ＋π6，k π＋π3)(k ∈Z )．12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值． 解：(1) 由2πω＝π，得ω＝2. 由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，得A ＝3. 且2×2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜π2，∴ φ＝π6. ∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2) y ＝f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12， ∴ y max ＝3 2.此时，2x ＋5π12＝2k π＋π2，x ＝k π＋π24，k ∈Z . 13. 函数f(x)＝6cos 2ωx 2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1) 求ω的值及函数f(x)的值域；(2) 若f(x 0)＝835，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值． 解：(1) 由已知可得f(x)＝6cos 2ωx 2＋3sin ωx －3＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以函数f(x)的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，即ω＝π4，所以函数f(x)的值域为[－23，23]． (2) 因为f(x 0)＝835，由(1)有f(x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23得πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35. 又f(x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3 ＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23⎝⎛⎭⎫45×22＋35×22＝765.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

专题五 空间立体几何第14讲 空间几何体的表面积与体积1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________．答案：π∶6解析：正方体的棱长与球的直径相等．2. 在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_________．答案：12π解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.3. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是____________．(填序号)① 矩形；② 不是矩形的平行四边形；③ 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④ 每个面都是等边三角形的四面体；⑤ 每个面都是直角三角形的四面体．答案：①③④⑤4. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥ABB 1D 1D的体积为________ cm 3.答案：6 解析：连结AC 交BD 于点O ，则AO ⊥平面BB 1D 1D ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为13SBB 1D 1D ·AO ＝6.5. 在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|＋|PC 1|＝2的点P 的个数为__________．答案：6解析：点P 在以A 、C 1为焦点的椭圆上，若P 在AB 上，设AP ＝x ，有PA ＋PC 1＝x ＋（1－x ）2＋（2）2＝2，解得x ＝12.故AB 上有一点P(AB 的中点)满足条件． 同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件．又若点P 在BB 1上，则PA ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2>2.故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P.6. 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____________．答案：2πR 2解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S ＝2π·Rsin α·2Rcosα＝2πR 2sin2α，当α＝π4时，S 取最大值2πR 2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2πR 2.7. 如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均等于1，且∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则该三棱柱的体积是________．答案：24 解析：∵ A 1A ＝A 1B ＝A 1C ＝AB ＝AC ＝BC.∴ A 1ABC 为正四棱锥，∴ A 1在△ABC 上的射影O 为△ABC 的中心．∴32A 1O ＝1×22A 1O ＝63，∴ V ＝S △ABC ·A 1O ＝24. 8. 已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为______________． 答案：132 解析：由题意将直三棱柱ABCA 1B 1C 1还原为长方体ABDCA 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体ABDCA 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为132. 9. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为____________ cm.答案：3解析：圆锥的母线长即为展开半圆的半径，圆锥底面圆的半径设为r ，则2πr ＝π×2，r ＝1，圆锥高为22－1＝ 3.10. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm ，满盘时直径为120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．答案：100解析：纸的厚度为0.1 mm ，可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再算总和．由内向外各圈的半径分别为20.05, 20.15，…，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.因此各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则59.95＝20.05＋0.1(n －1)，解得n ＝400，显然各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列．根据等差数列的求和公式，得S ＝400×40.1π＋400×（400－1）2×0.2π＝32 000π mm ≈100 m. 11. 如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1) 证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2) 若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥PABCD 的体积．(1) 证明：因为PH 是四棱锥PABCD 的高，则PH ⊥BD ，又AC ⊥BD ，PH Ì平面PBD ，BD 平面PBD ，PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD.因为AC Ì平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBD.(2) 解：因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3.因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1，可得PH ＝ 3.S 梯形ABCD ＝12AC ·BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13(2＋3)·3＝3＋233. 12. 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为V cm 3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h.由题意得36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x. 则h ＝h 20－x 212＝⎝⎛⎭⎫10－36x 2－x 212＝100－1033，x ∈(0，103)． 所以正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x ＝3x 212100－1033x. 设y ＝V 2＝x 448⎝⎛⎭⎫100－1033x ＝100x 448－10x 5483， 求导得y′＝100x 312－50x 4483，令y′＝0，得x ＝83， 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大，当x ∈(83，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小，所以当x ＝8 3 cm 时，y 取得极大值也是最大值．此时y ＝15 360，所以V max ＝3215 cm 3.答：当底面边长为8 3 cm 时，正三棱锥的最大体积为3215 cm 3.13. 已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．(1) 求证：CM∥平面SAE；(2) 求证：SE⊥平面SAB；(3) 求三棱锥SAED的体积．(1) 证明：取SA的中点N，连结MN、EM，∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN＝12AB.又E为CD的中点，∴CE∥AB，且CE＝12AB.∴MN∥CE且MN＝CE，∴CENM为平行四边形，∴CM∥EN.又ENÌ平面SAE，CM平面SAE，∴CM∥平面SAE.(2) 证明：∵侧面SCD是直角三角形，∠CSD为直角，E为CD的中点，∴SE＝1.又SA＝AB＝2，AE＝5，∴SA2＋SE2＝AE2.则ES⊥SA.同理可证ES⊥SB.∵SA∩SB＝S，∴SE⊥平面SAB.(3) 解：V SAED＝12V SAEB＝12V ESAB＝12×13×34×4×1＝36.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

第6讲 导数及其应用1. 设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x ＋2，则y ＝f(x)的表达式是________________．答案：f(x)＝x 2＋2x ＋12. 函数f(x)＝2x 2－lnx 的单调递增区间为____________．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝4x －1x ，令f′(x)＞0，得x ＞12.3. 曲线y ＝x(3lnx ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 答案：y ＝4x －3解析：y′＝3lnx ＋1＋3，k ＝y′|x ＝1＝4，则切线方程y －1＝4·(x －1)，∴ y ＝4x －3.4. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____________.答案：(－2，15)解析：由C ：y ＝x 3－10x ＋3，得y′＝3x 2－10＝2，即x 2＝4，又切点在第二象限，∴ x ＝－2，y ＝15.5. 设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，在P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π解析：y′＝3x 2－3≥－3，∴ tan α≥－3，由0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.6. 已知函数f(x)＝lnx ＋2x 2＋ax ＋1是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x＋4x ＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.7. 设函数f(x)＝－x 3＋3x ＋2，若不等式f(3＋2sin θ)<m 对任意θ恒成立，则实数m 的取值范围为__________．答案：(4，＋∞)解析：由三角函数有界性，3＋2sin θ∈[1，5]，从而只需m>f(x)max ，x ∈[1，5]，f ′(x)＝－3x 2＋3，令f ′(x)＝0，x ＝±1，当x ∈[1，5]时，f ′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1，5]上为减函数，f(x)max ＝f(1)＝4，故所求实数m 的取值范围为(4，＋∞)．8. 若方程x 3－3x ＋a ＝0有3个不同的实根，则实数a 的取值范围是______________．答案：(－2，2)解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2. 9. 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为____________．答案：9解析：f′(x)＝12x 2－2ax －2b ，f ′(1)＝0，a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以6＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤9，当且仅当a ＝b 时取等号．10. 已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为____________．答案：－32解析：由a 、b 为正实数，可得函数y ＝ax 3＋bx 的导函数y′＝3ax 2＋b ≥0恒成立，所以y ＝ax 3＋bx 是R 上的增函数，从而f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 是R 上的增函数．所以当x ∈[0，1]时，f(x)max ＝f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.当x ∈[－1，0]时，f(x)min ＝f(－1)＝－a －b ＋12＝－2＋12＝－32.11. 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1) 求a 、b 、c 、d 的值；(2) 若x ≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k 的取值范围．解：(1) 由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4，而f′(x)＝2x ＋a ，g ′(x)＝e x (cx ＋d ＋c)，∴ a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2. (2) 由(1)知，f(x)＝x 2＋4x ＋2，g(x)＝2e x (x ＋1)，设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke x (x ＋1)－x 2－4x －2(x ≥－2)， F ′(x)＝2ke x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(ke x －1)， 由题设可得F(0)≥0，即k ≥1， 令F′(x)＝0得，x 1＝－lnk ，x 2＝－2，① 若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0，∴ 当x ∈(－2，x 1)时，F(x)＜0，当x ∈(x 1，＋∞)时，F(x)＞0，即F(x)在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，故F(x)在x ＝x 1取最小值F(x 1)，而F(x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0，∴ 当x ≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ② 若k ＝e 2，则F′(x)＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)，∴ 当x ≥－2时，F ′(x)≥0，∴ F(x)在(－2，＋∞)上单调递增，而F(－2)＝0， ∴ 当x ≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ③ 若k ＞e 2，则F(－2)＝－2ke －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0， ∴ 当x ≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k 的取值范围为[1，e 2]．12. 已知函数f(x)＝(a ＋1)lnx ＋ax 2＋1. (1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设a<－1.如果对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)都有|f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围．解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .当a ≥0时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a ≤－1时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减；当－1＜a ＜0时，令f′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)＞0；x ∈(－a ＋12a ，＋∞)时，f ′(x)＜0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调减．(2) 不妨假设x 1≥x 2，而a ＜－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调减，从而 |f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f(x 2)＋4x 2≥f(x 1)＋4x 1，① 令g(x)＝f(x)＋4x ，则g′(x)＝a ＋1x＋2ax ＋4， ① 等价于g(x)在(0，＋∞)上单调减，即a ＋1x ＋2ax ＋4≤0，从而a ≤－4x －12x 2＋1＝（2x －1）2－4x 2－22x 2＋1＝（2x －1）22x 2＋1－2，故a 的取值范围为(－∞，－2]. 13. 已知函数f(x)＝(m －3)x 3＋9x.(1) 若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调函数，求m 的取值范围； (2) 若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为4，求m 的值．解：(1) 因为f′(0)＝9＞0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上只能是单调增函数． 由f′(x)＝3(m －3)x 2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，所以m ≥3. 故m 的取值范围是[3，＋∞)．(2) 当m ≥3时，f(x)在[1，2]上是增函数，所以f(x)max ＝f(2)＝8(m －3)＋18＝4，解得m ＝54＜3，不合题意，舍去． 当m ＜3时，f ′(x)＝3(m －3)x 2＋9＝0，得x ＝±33－m. 所以f(x)的单调区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33－m 单调减，⎝⎛⎭⎪⎫－33－m，33－m 单调增，⎝ ⎛⎭⎪⎫33－m ，＋∞单调减． ① 当33－m ≥2，即94≤m ＜3时，[1，2]⎝⎛⎦⎥⎤－33－m，33－m ，所以f(x)在区间[1，2]上单调增，f(x)max ＝f(2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求．② 当1＜33－m ＜2，即0＜m ＜94时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－m ＝0≠4舍去． ③ 当33－m ≤1，即m ≤0时，则[1，2]⎝ ⎛⎭⎪⎫33－m ，＋∞，所以f(x)在区间[1，2]上单调减，f(x)max ＝f(1)＝m ＋6＝4，m ＝－2.综上所述，m ＝－2.滚动练习(一)1. 幂函数f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f(8)＝________． 答案：24解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24.2. 命题“x ∈R ，使得xsinx －1<0”的否定是________________________． 答案：x ∈R ，使得xsinx －1≥03. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是________．答案：(－∞，0]解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0.综上x ≤0.4. 若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．答案：[2，＋∞)解析：由f(1)＝19得a 2＝19，∴ a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－13舍去，即f(x)＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， ∴ f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．5. 若函数f(x)＝4－k·2x 在(－∞，2]上有意义，则实数k 的取值范围是________． 答案：(－∞，1]解析：函数f(x)＝4－k·2x 在(－∞，2]上有意义，即4－k·2x ≥0在(－∞，2]上恒成立，即k·2x ≤4在(－∞，2]上恒成立，∵ 2x ＞0，∴ k ≤42x 在(－∞，2]上恒成立．∵ 在(－∞，2]上0＜2x ≤4，∴ k ≤1.6. 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________． 答案：2解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 和y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. 对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax>4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0，4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （4）＞0，解得x ＜－1或x ＞3.8. 若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则实数a ＝________．答案：－1或－2564解析： 设过(1，0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________． 答案：2 008解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. 设a 为实常数，y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f(x)＝9x ＋a 2x＋7.若f(x)≥a＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为____________．答案：(－∞，－87]解析：f(0)＝0，故0≥a ＋1a ≤－1；当x ＞0时，f(x)＝9x ＋a 2x－7≥a ＋1，即6|a|≥a＋8.又a ≤－1，故a ≤－87.11. 分别在曲线y ＝e x 与直线y ＝ex －1上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为____________．答案：1＋e 21＋e 2解析：在曲线y ＝e x 图象上任取一点M(a ，b)，过点M 的切线的斜率为k ＝e a ，令e a ＝e ，a ＝1，M(1，e)，过点M 的切线方程为y ＝ex ，则MN 的最小值为直线y ＝ex 与y ＝ex －1的距离为1＋e 21＋e 2.12. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b.设f(x)＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是____________．答案：(1－316，0)解析：f(x)＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）2－（2x －1）（x －1），x ≤0，（x －1）2－（2x －1）（x －1），x ＞0，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0.如图所示，关于x 的方程f(x)＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f(x)的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0＜m ＜14.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，即x 1＜x 2＜x 3.当x ＞0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，∴ x 2＋x 3＝1，∴ 0＜x 2x 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14；当x ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x ＜0，得x ＝1－34，∴ 1－34＜x 1＜0，∴ 0＜－x 1＜3－14.∴ 0＜－x 1x 2x 3＜3－116，∴ 1－316＜x 1x 2x 3＜0.13. 已知p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若綈p 是綈q 的必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3，∵ 綈p 是綈q 的必要条件， ∴ p 是q 的充分条件， ∴ 不等式x 2－mx ＋4≥0对x ∈(0，3)恒成立，∴ m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对x ∈(0，3)恒成立．∵ x ＋4x ≥2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，∴ m ≤4.14. 设二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋a ，方程f(x)－x ＝0的两实根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1. (1) 求实数a 的取值范围；(2) 试比较f(0)·f(1)－f(0)与116的大小 ，并说明理由．解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，0＜1－a2＜1，g （1）＞0，g （0）＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0，3－22)． (2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时，h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116. 15. 已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，OC ＝12r ，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB ︵上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．解：如图甲，设∠DBC ＝α，则BD ＝3r 2cos α，DC ＝3r2sin α，所以S △BDC ＝916r 2sin2α≤916r 2，当且仅当α＝π4时取等号，此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为916r 2.如图乙，设∠EOD ＝θ，则OE ＝rcos θ，DE ＝rsin θ， 所以S △BDE ＝12r 2(1＋cos θ)sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.设f(θ)＝12r 2(1＋cos θ)sin θ，则f ′(θ)＝12r 2(1＋cos θ)(2cos θ－1)，当θ∈⎣⎢⎡⎥⎤π3，π2时，f ′(θ)≤0，所以θ＝π3时，即点E 与点C 重合时，△BDE 的面积最大值为338r 2.因为338r 2＞916r 2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为338r 2.16. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x，x ∈[－2，－1），－2，x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12，x －1x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2.(1) 求f(x)的值域；(2) 设函数g(x)＝ax －2，x ∈[－2，2]，若对于任意x 1∈[－2，2]，总存在x 0∈[－2，2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2；当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2；当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32.∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2，2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2，2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若a ＞0，g(x)＝ax －2在[－2，2]上是增函数，g(x)∈[－2a －2，2a －2]，对于任意x 1∈[－2，2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2，2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2，2a －2]，∴ 有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2，2]上是减函数，g(x)∈[2a －2，－2a －2]，任给x 1∈[－2，2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32， 若存在x 0∈[－2，2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立， 则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞. 薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

第26讲 矩阵与变换1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A(1，0)在矩阵M 对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1.解：∵ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，∴ a ＝1，b ＝2， ∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0，∴ -1102M =11-2éùêúêúêúêúêúúêûë 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 566不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值． 解：由题意，矩阵M 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 566＝0，解得x ＝5， 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5566的特征多项式 f(λ)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－5－5－6λ－6＝(λ－5)(λ－6)－(－5)×(－6)． 令f(λ)＝0并化简得λ2－11λ＝0，解得λ＝0或λ＝11，所以矩阵M 的特征值为0和11.3. 已知，点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B 的坐标为(－3，4)，求点A 的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3，即A(－2，3)． 4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值． 解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P(x ，y)在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1.又点P 1(x 1，y 1)在曲线C′：x 24＋y 2＝1上， 所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程． 又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝3.5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201，直线l ：x ＋y ＋2＝0先经过矩阵B 变换，再经过矩阵A 变换得到直线l′，试求l′的方程．解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3－1 4，设直线l 上任意一点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 经两次变换后得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝x′，－x ＋4y ＝y′，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x′＋3y′5，y ＝x′＋2y′5.∵ x ＋y ＋2＝0， ∴ 4x′＋3y′5＋x′＋2y′5＋2＝0， ∴ x ′＋y′＋2＝0，即l′的方程是 x ＋y ＋2＝0.6. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1对应的变换将点A(1，1)变为A ′(0，2)，将曲线C ：xy ＝1变为曲线C′.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 求曲线C′的方程．解：(1) 由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2) 设P′(x ，y)是曲线C′上任意一点，P ′由曲线C 上的点P(x 0，y 0)经矩阵M 所对应的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2. 因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1. 即曲线C′的方程为y 24－x 24＝1.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。