九年级三角函数综合复习提高训练 (经典)

九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数运算在九年级数学下册中，我们经常会遇到综合算式的题目，其中也包括了三角函数运算的题目。

三角函数是三角学中的重要概念，涉及到了角的概念和三角比的计算。

通过练习这些综合算式专项练习题，我们可以更好地理解和掌握三角函数的相关知识，提高数学解题的能力。

一、已知三角函数的值求角的大小1. 已知正弦函数sin(x) = 0.5，其中x为锐角，求x的大小。

解析：根据正弦函数的定义可知，sin(x) = 对边/斜边。

已知sin(x) = 0.5，代入得对边/斜边 = 0.5，假设斜边为2，那么对边就是1。

根据勾股定理可计算出邻边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。

2. 已知余弦函数cos(y) = 0.8，其中y为钝角，求y的大小。

解析：与上一题类似，根据余弦函数的定义可知，cos(y) = 邻边/斜边。

已知cos(y) = 0.8，代入得邻边/斜边 = 0.8，假设斜边为5，那么邻边就是4。

根据勾股定理可计算出对边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。

二、已知角的大小求三角函数的值1. 已知角A的大小为30°，求sin(A)的值。

解析：根据三角函数的定义可知，sin(A) = 对边/斜边。

已知角A的大小为30°，可通过构造一个30-60-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与斜边的比值，进而计算出sin(A)的值。

2. 已知角B的大小为45°，求tan(B)的值。

解析：根据三角函数的定义可知，tan(B) = 对边/邻边。

已知角B的大小为45°，可通过构造一个45-45-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与邻边的比值，进而计算出tan(B)的值。

三、综合运算题1. 若sin(x) = 0.6，cos(y) = 0.8，求sin(x+y)的值。

解析：根据三角函数的和差公式，sin(x+y) = sin(x)·cos(y) +cos(x)·sin(y)。

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）A ．53mB ．52mC ．()5352m -D ．()535m - 3．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）A ．12.9B ．22.2C ．24.9D ．63.14．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m ．已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为2m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，则树的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．()63m +D ．()423m - 5．下列说法中，正确的有（ ）个①a 为锐角，则1sina cosa +>；②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤1302==︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ． F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+3，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B 25C 5D ．128．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（ ）A ．m·sin35°B ．cos35m ︒C ．sin 35m ︒D ．m·cos35° 9．已知二次函数y ＝ax 2＋6ax ＋c （a ＜0），设抛物线与x 轴的交点为A （﹣7，0）和B ，与y 轴的交点为C ，若∠ACO ＝∠CBO ，则tan ∠CAB 的值为（ ）A ．142B ．22C ．73D ．7710．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ）A ．52B ．53C ．522D ．53211．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A ．26B 26C ．2613D 13 12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．21+B ．2﹣1C ．2D ．1213．如图，等边ABC 边长为a ，点O 是ABC 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE 形状不变；②ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题15．如图，在扇形OAB 中，2OB =，点C 是OB 的中点，CD OB ⊥于点C ，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为______．16．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为______km．17．已知AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝3，则∠BAC＝_______．18．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．19．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米(结果保留根号)．20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．21．如图，在ABC 中,已知90,4,8C AC BC ∠=︒==，将ABC 绕着点C 逆时针旋转到''A B C 处，此时线段''A B 与BC 的交点D 为BC 的中点，那么'B D 的长度为_________．22．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．23．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．24．如图，已知直线l ：y ＝33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．25．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．26．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是_______．三、解答题27．如图，以ABC ∆的一边BC 为直径的O ，交AB 于点D ，连结CD ，OD ，已知 1902A DOC ∠+∠=︒．（1）判断AC 是否为O 的切线？请说明理由．（2）①若60A ∠=︒，1AD =，求O 的半径．②若DOC α∠=︒，AC m =，OB r =，请用含r 、α的代数式表示m ． 28．小明的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A 处测得汽车前端F 的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF 与地面l 1相交于点B ，点A 到地面l 1的垂线段AC 的长度为1．6米，假设眼睛A 处的水平线l 2与地面l 1平行． （1）求BC 的长度； （2）假如障碍物上的点M 正好位于线段BC 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN 为此长方形前端的边），MN ⊥l 1，若小强的爸爸将汽车沿直线l 1后退0．6米，通过汽车的前端F 1点恰好看见障碍物的顶部N 点（点D 为点A 的对应点，点F 1为点F 的对应点），求障碍物的高度．29．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．（1）求A 的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）30．计算：（1）()2222cos30sin 45cos 601tan 60tan 45-+︒+-︒︒︒︒（2）23260x x --=（3）2(1)5(1)140x x -+--=【参考答案】一、选择题1．C2．D3．C4．C5．B6．A7．D8．D9．D10．B11．B12．B13．A14．C二、填空题15．【分析】连接DO则OD=OB=2先由得出∠OCD=90°然后在Rt△COD中求出cos∠COD=得到∠COD=60°再根据扇形面积公式计算三角形面积公式即可【详解】连接DO则OD=OB=2∵∴∠OC16．【分析】BE⊥AC于点E根据题意计算可得解直角三角形ABE可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB可得AE+CE的值即是AC两港之间的距离【详解】解：设过A点正北方向直线为AD过17．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD∠CAD 的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan18．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数19．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点21．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D重合=AB；②与D不重合过点C作CE于点E利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D重合②如图与D不重合过点C作CE于点E∵旋转∴在22．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB如图所示：23．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的24．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l：y＝x∴l与x轴的夹角为30°∵AB∥x轴∴∠ABO＝30°∵OA＝1∴AB＝∵A1B⊥l∴∠ABA1＝625．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a －x然后利用锐角三角函数求出PM和P26．（3）【分析】如图作B′H⊥y轴于H解直角三角形求出B′HOH即可【详解】如图作B′H⊥y轴于H由题意：OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】 解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．D解析：D【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD ， 则535x +=， 解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．C解析：C【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【详解】解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，在Rt △BCF 中，由斜坡BC 的坡度i=125，得，BF FC =125， 又BC=65，设BF=12x ，FC=5x ，由勾股定理得，（12x ）2+（5x ）2=652，∴x=5，∴BF=60，FC=25，又∵DC=115，∴DF=DC-FC=115-25=90=EG ，在Rt △AEG 中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），故选：C ．【点睛】本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键． 4．C解析：C【分析】延长AC 交BF 延长线于D 点，则BD 即为AB 的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．【详解】延长AC 交BF 延长线于D 点，作CE ⊥BD 于E ，则∠CFE=30°，在Rt △CFE 中，∠CFE=30°，CF=4m ，∴CE=2（m ），EF=4cos30°3m ），在Rt △CED 中，∵同一时刻，一根长为2m 、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，CE=2（m ），则CE ：DE=2：4=1：2，AB ：BD=1：2，∴DE=4（m ），∴3m ），在Rt △ABD 中，AB=12BD=1233m ）， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB 的影长． 5．B解析：B【分析】①根据三角函数的定义判断；②函数值不是简单度数相加；③至少已知一条边能解直角三角形；④根据坡度的性质即可判定④对；⑤只能说∠A=30°；⑥角度数不变，函数值就不变．【详解】①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a b c+>，所以①对；②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；⑤也不对，sinA=1302=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变．综上，①④正确，共2个，故选：B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．6．A解析：A【分析】根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD= BC=DC ，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ，AE=AF ，∵BC=DC ，∴BC-BE=CD-DF ，∴CE=CF ，故①正确；∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于G 点，∵AE=AF ，CE=CF ，∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ，∵∠CAF≠∠DAF ，∴DF≠FG ，∴BE+DF≠EF ，故③错误；∵△AEF 是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC ⊥EF ，∴EG=FG=1，∴AG=AE•sin60°3232=⨯=，CG=112EF =， ∴AC=AG+CG=31+；故④正确．综上，①②④正确故选：A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．7．D解析：D 【分析】连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．【详解】连接AC ，由网格图可得：=90CAB ∠︒，由勾股定理可得：AC 2AB =2∴tan ABC ∠=21222AC AB ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 8．D解析：D【分析】根据Rt △ABC 中cos35AC AB AC m ︒==，即可得到AC 的长. 【详解】在Rt △ABC 中， AB=m ，∠A=35°，cos35AC AB AC m ︒==， ∴AC=cos35m ⋅︒，故选：D.【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 9．D解析：D【分析】根据根和系数的关系，求出点B （1，0），利用tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ，求出OC ＝7±，进而求解．【详解】解：如图所示，∵A （﹣7，0），则OA ＝7，设点B 的横坐标为b ，根据根和系数的关系，则﹣7＋b ＝﹣6a a ＝﹣6， 解得b ＝1，∴ 点B （1，0），则OB ＝1，∵∠ACO ＝∠CBO ，∴tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ，∴AO OC OC OB =，即71OC OC =，解得OC ＝7tan∠CAB＝OCOA＝77，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角函数公式，利用根和系数的关系求出点B的坐标，是解题的关键．10．B解析：B【分析】连接OC，设BC与OA交于点E，根据圆周角定理即可求出∠AOC，然后根据垂径定理可得BC=2CE，利用锐角三角函数求出CE，即可求出结论．【详解】解：连接OC，设BC与OA交于点E∵30ADC∠=︒∴∠AOC=2∠ADC=60°∵OA BC⊥∴BC=2CE，在Rt△OCE中，CE=OC·sin∠53 2∴BC=53故选B．【点睛】此题考查的是圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数，掌握圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数是解题关键．11．B解析：B【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+=，∵1113213222ABC S AC BD BD =⋅=⨯⋅=⨯⨯， ∴22BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===． 故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．12．B解析：B【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值.【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ， ()22.5==211+2AC x C tan ta D x n D =∠=-︒故选：B.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.13．A解析：A【分析】连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE=4OE 2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC2即可判断②和③；求出BDE 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB 、OC∵ABC 是等边三角形，点O 是ABC 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120°∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，∴ODE 形状不变，故①正确；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠∴DE=2EH=3OE∴S △ODE =12DE·OH=34OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE′=12BC=12a 在Rt △OBE′中 OE′=BE′·tan ∠OBE′=12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC ∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 ∵23=1423 ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时BDE 的周长最小 ∵3OE∴OE 最小时，DE 最小而OE 的最小值为3∴DE6a =12a ∴BDE 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，故选A ．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．14．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2∵BC ＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC ＝22AE AC +＝()22234+＝27∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC∴EB ＝EC ＝27即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB 即()()22235R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题15．【分析】连接DO 则OD=OB=2先由得出∠OCD=90°然后在Rt △COD 中求出cos ∠COD=得到∠COD=60°再根据扇形面积公式计算三角形面积公式即可【详解】连接DO 则OD=OB=2∵∴∠OC 解析：2332π- 【分析】连接DO ，则OD=OB=2．先由CD OB ⊥，得出∠OCD =90°，然后在Rt △COD 中求出cos ∠COD=12，得到∠COD=60°，再根据扇形面积公式计算、三角形面积公式即可． 【详解】连接DO ，则OD=OB=2．∵CD OB ⊥，∴∠OCD=90°，∵C 为OB 的中点，∴CO=1OB 2=12DO ， ∴cos ∠COD=CO DO =12， ∴∠COD=60°， 则2222213OD OC -=-∴阴影部分的面积26021231336023ππ⨯=-⨯=． 故答案为：233π-． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解直角三角形，利用三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠COD=60°是解题的关键． 16．【分析】BE ⊥AC 于点E 根据题意计算可得解直角三角形ABE 可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB 可得AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD 过解析：30103+【分析】BE ⊥AC 于点E ，根据题意计算可得45EAB ∠=︒，解直角三角形ABE ，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得60C ∠=°，解直角三角形CEB 可得，103CE =，AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离．【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD ，过B 点正北方向直线为BG ，过B 作BE ⊥AC 于E ，过C 作CF ∥AD ，如图:∵由题意得：∠CAB =65°﹣20°=45°，∠AEB =∠CEB =90°，AB 2km ．∴在Rt ABE △中，∠ABE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形．∵AB 2km ，∴AE =BE 2=30（km ）． ∵CF ∥AD ∥BG ，∴∠ACF =∠CAD =20°，∠BCF =∠CBG =40°，∴∠ACB =20°+40°=60°， ∵在Rt CBE 中，∠ACB =60°，tan ∠ACB =BE CE ， ∴CE =tan 603BE ︒=3km ），∴AC =AE +CE 3km ），∴A 、C 两港之间的距离为（3km ．故答案为：（3【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．17．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD ∠CAD 的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC 的度数【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan解析：75°或15°【分析】分两种情形求高的位置，然后再根据三角函数的定义求出∠BAD、∠CAD的度数，最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数．【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝BDAD＝1，∴∠BAD＝45°，tan∠CAD＝CDAD＝33，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝45°+30°＝75°；②tan∠BAD＝BDAD＝1，∴∠BAD＝45°，tan∠CAD＝CDAD＝33，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°．故∠BAC＝75°或15°．【点睛】本题考查了三角函数的应用，灵活应用三角函数求角和分类讨论思想是解答本题的关键．18．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数解析：1 2【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=12 ACAB．故答案为：12．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．19．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH 表示出AHBH 的长然后计算出AB 的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C 解析：()120031- 【解析】 【分析】在Rt ACH 和Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【详解】由于CD//HB ， CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 12001200HB 12003(tan B tan3033∠∴====米)， ()AB HB HA 120031200120031∴=-=-=-米， 故答案为()120031-. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：2+3．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，OC=222221OA AC -=-=3，∴BC=OB ﹣OC=2﹣3，∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=123AC BC =-=2+3． 故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D 重合=AB ；②与D 不重合过点C 作CE 于点E 利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D 重合②如图与D 不重合过点C 作CE 于点E ∵旋转∴在 解析：12545,5【分析】根据题意，先考虑多种情况，①A '与D 重合，B D '=AB ；②A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，利用CA B ''∠的余弦值求出A E '，由等腰三角形三线合一得2A D A E ''=，求出A D '，再用A B ''减去A D '得到B D '．【详解】①如图，A '与D 重合，45B D AB '==．②如图，A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，∵旋转，∴4AC A C '==，8BC B C '==，在Rt A B C ''△中，由勾股定理，22224845A B A C B C ''''=++=5cos 545A C CA B A B '''∠==='， 在Rt A EC '中，5cos 4A E A E CA E A C '''∠==='，∴455A E '=∵D 是BC 中点∴4CD CA '== 在等腰三角形ACD '中，由“三线合一”得8525A D A E ''==， ∴851254555B D A B A D ''''=-=-=．故答案是：5125． 【点睛】 本题考查图形的旋转，等腰三角形三线合一，锐角三角函数，关键在于要画出对应的图象进行分类讨论，把情况考虑全面．22．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB 设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB 的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB 如图所示： 解析：22【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB ，设小正方形的边长为1，可以求出OA 、OB 、AB 的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.【详解】连接AB 如图所示：设小正方形的边长为1，∴2OA=23+1=10，22BA=3+1=10，222OB=4+2=20，∴ABO是直角三角形，∴BA102sin AOB==OB220∠=，故答案为：2 2.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 23．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的解析：132 +．【分析】过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN32=，据此可得，当AF∥BD时，线段AF的长为132 +.【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF ∥BD ，∴∠EAM =∠ACB =60°．∵EM ⊥AF ，∴∠AME =90°，∴∠AEM =30°，∴AM 12=AE =1． ∵AF ∥BD ，EM ⊥AF ，∴EN ⊥BC ，∴EN =EC •sin60°2=， ∵∠EMF =∠END =∠FED =90°，∴∠MEF +∠MFE =90°，∠MEF +∠DEN =90°，∴∠EFM =∠DEN ．∵ED =EF ，∴△EMF ≌△DNE （AAS ），∴MF =EN 2=，∴AF =AM +MF =1．故答案为：1． 【点评】 本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 24．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝3 ∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．25．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P解析：32a 【分析】连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠BPN=32（2a －x ） 在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2 ∴MN 的最小值为32a 故答案为：32a ． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．26．（3）【分析】如图作B′H ⊥y 轴于H 解直角三角形求出B′HOH 即可【详解】如图作B′H ⊥y 轴于H 由题意：OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴解析：（3-，3）【分析】如图，作B′H ⊥y 轴于H ．解直角三角形求出B′H ，OH 即可．【详解】如图，作B′H ⊥y 轴于H ，由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，∴∠A′B′H=30°，∴AH′=12A′B′=1，B′H=3- ∴OH=3，∴B′（3-3），故答案为：（3-3）．【点睛】。

1. 如图４,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,AB ＝8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 B ．43ﻩ C ．35ﻩ Ｄ．452. 如图５,在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折,使点A 落在1A 已知3OA =，1AB =,则点1A 的坐标是( )3. 如图６,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠= ,则AD 的长为( ）A.2 B ．2 C ．1 Ｄ.224. 如图8,Rt ABC ∆中，90C ∠=︒,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==,15A ∠=︒ ，则BC 边的长为 ． 5. 如图1０,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点，若4tan 3AEH ∠=,四边形EFGH 的周长为40,则矩形ABCD 的面积为 _＿＿___.6. 如图12所示,ABC ∆中,AB AC =，BD AC ⊥于D ，6BC =，12DC AD =，则cos C =____．7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半,则底角的余弦值为____＿_. 8. 等腰三角形的三边的长分别为1、1、3,那么它的底角为Ａ．1５° ﻩ Ｂ.30° Ｃ.45° D.6０°9. ＡBC 中,∠A=60°，A Ｂ＝6 cm,ＡＣ=４ cm ，则△ＡBC 的面积是A.23 ｃm 2 ﻩﻩﻩﻩﻩＢ.43 cm ２C.63 cm ２ﻩﻩﻩ D.１２ cm 210. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒,A Ｃ=4,则BD 的长是 （ ) 83A 、 43B、 23C、 8D、11. 在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东600方向走了500米到达B 点,然后再沿北偏西300方向走了500米到达目的地C 点.（１）求A 、C 两地之间的距离； (2）确定目的地C 在营地A 的什么方向.图6AD ECBF12. 已知,如图,海岛Ａ四周2０海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行,在Ｂ处测得岛Ａ在北偏西︒60,航行24海里后到C 处,测得岛A 在北偏西︒30.请通过计算说明,货轮继续向西航行，有无触礁危险?13. 如图6，在Rt △ABC 中，∠Ｃ=90°，AC=8,∠Ａ的平分线A Ｄ=3316求 ∠B 的度数及边BC 、ＡB 的长．DABC图６14. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上,沿河岸向北前行2０米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度． （参考数值：ta ｎ３1°≈53，ｓｉn31°≈21) ．15. 在一次公路改造的工作中，工程计划由A 点出发沿正西方向进行，在A 点的南偏西60︒方向上有一所学校B ，如图14 ，占地是以 B 为中心方圆100m 的圆形，当工程进行了200m 后到达C 处，此时B 在图13A 306000C南偏西30 的方向上,请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校.28．(７分)如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向,距离港口81海里处，甲船从Ａ出发,沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口Ｐ出发，沿南偏东60°方向，•以18海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发．（1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向?(结果精确到0.1小时)（参考数据:•2≈1.4１，3≈1.７3)29.如图，已知△ＢEC是等边三角形,∠AEB=∠DEＣ＝９0°.AE＝DＥ,ＡC、BＤ的交点为O. （1）求证:△AEＣ≌△DEB；(2)若∠ABC=∠DCB＝９0°，AB＝2cm,求图中阴影部分的面积.。

三角函数专项练习(提高,经典)
本文将对三角函数专项练进行介绍，旨在帮助读者提高数学水平。

前置知识
在进行三角函数的练前，需要掌握以下基本概念：
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的概念及其图像；
- 周期函数的概念；
- 三角函数的基本性质。

练内容
熟悉三角函数图像
通过画图的方式，熟悉三角函数的图像，能够更好地理解三角函数的性质。

练时可以通过以下方式进行：
1. 根据函数的周期，分别画出正弦函数、余弦函数、正切函数的一个周期；
2. 结合实际问题，画出函数的波形，如受到周期性振动的物体运动状态的图像；
3. 将函数进行平移、伸缩、翻转等变换，观察图像的变化。

掌握基本公式
三角函数的基本公式是解题的关键，平时需要多加练。

常用的基本公式包括：
- 三角函数的和差公式；
- 三角函数积化和差公式；
- 万能公式等。

练解题技巧
练时，需要掌握以下解题技巧：
1. 熟悉三角函数的基本概念和基本公式，理解问题中各个部分的含义；
2. 根据问题的要求，选择合适的公式进行变形和求解；
3. 注意符号、单位等细节问题，及时进行检查。

结语
三角函数是数学中的重要部分，对于提高数学水平和解题能力有着重要的作用。

希望通过本文所介绍的三角函数专项练习，能够帮助读者更好地掌握三角函数的知识和技巧，取得更好的成绩。

三角函数培优提高训练一．选择题(共２0小题）１.已知函教f(x)=Asin（ωx＋φ）（A＞0,ω＞0）的图象与直线ｙ＝b(０<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是２,4,8,则f(ｘ)的单调递增区间是(）Ａ．[6kπ,6kπ+３］,ｋ∈ZﻩB.［６k﹣３，6k],k∈ZC．[6k，6ｋ+3]，ｋ∈ZﻩD.[6kπ﹣3，６ｋπ]，k∈Z2．关于函数,有下列命题:①其表达式可写成;②直线图象的一条对称轴;③f(x)的图象可由g(x)=siｎ２ｘ的图象向右平移个单位得到;④存在α∈（0，π）,使f（x+α）=f(ｘ+3α)恒成立则其中真命题为( ）Ａ.②③ﻩB．①②ﻩＣ.②④ﻩD.③④3.给出下列四个命题:①的对称轴为;②函数的最大值为２;③函数f(x）＝sｉｎx•ｃｏsｘ﹣1的周期为2π;④函数上的值域为.其中正确命题的个数是（)A．1个Ｂ．2个ﻩC．3个ﻩＤ．4个4．已知奇函数ｆ(x)在［﹣１,0］上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角，则（) A.f(cｏsα)>f（cｏｓβ)ﻩB.f(siｎα）>f(sinβ）ﻩC.ｆ（sinα)<f(cosβ）ﻩD.f(siｎα)＞f(cosβ)5.函数f（x)=(0≤x≤π)的最大值为( ）Ａ.1 B.ﻩC.D．２6.对于函数f（x),若存在区间M＝［a,b］，(a<b）,使得｛y｜ｙ＝f(x)，x∈M}=Ｍ，则称区间M为函数f(x）的一个“稳定区间”现有四个函数:①f（x)＝e x②f（x）＝ｘ3③④f(ｘ)=lnx，其中存在“稳定区间”的函数有()A.①②ﻩB．②③ﻩC.③④Ｄ.②④7.对于函数f(ｘ),若存在区间Ｍ=[a，b]（其中a<b)，使得{ｙ|ｙ=ｆ(x）,x∈M｝=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列4个函数:①ｆ（ｘ）＝（x﹣1)2；②f(x)＝｜2ｘ﹣1|;③;④f(x)＝e x．其中存在“稳定区间”的函数有（)A．①③ﻩＢ．①②③④ﻩＣ.②④ﻩD．①②③8．设x∈(0，π),关于ｘ的方程=a有2个不同的实数解,则实数ａ的取值范围是()Ａ．(﹣,２)ﻩＢ．(﹣,)ﻩＣ．(,2)ﻩＤ.(﹣2,）９.已知函数f(x)=sinx,对于满足0<ｘ1＜ｘ2<π的任意ｘ1,x２,给出下列结论:①(x２﹣x1）[f(ｘ2）﹣ｆ(x1）]>0；②x2f（ｘ1）>x1ｆ(x２)；③f（x2）﹣ｆ(x1）<x2﹣x1;④.其中正确结论的个数为（）A.1ﻩB.2ﻩC.3D.４１0．定义域在R上的周期函数f (x),周期T=２，直线ｘ＝2是它的图象的一条对称轴,且f （x）在[﹣3,﹣2]上是减函数，如果A，Ｂ是锐角三角形的两个锐角,则( ）A.ｆ(ｓｉnA)＞f(cｏsＢ）ﻩB.f(sｉnA）＜f(cosB) Ｃ.ｆ(sinA）＞f（sinＢ)ﻩＤ．f（coｓA)<f(ｃｏｓB)１1．把函数y=﹣３cｏs的图象向右平移m(ｍ>0)个单位，设所得图象的解析式为y=ｆ(x)，则当ｙ=f(x)是偶函数时，ｍ的值可以是（)Ａ.ﻩB．ﻩＣ.ﻩD.12.定义一种运算ａ⊕b＝,令ｆ(x）=（ｃｏs２x+sinx）⊕,且ｘ∈[0,］,则函数f（x﹣)的最大值是( ）A．ﻩB.１ﻩC.﹣1 D.﹣13．已知函数给出函数f（ｘ)的下列五个结论：①最小值为; ②一个单增区间是(,);③其图象关于直线(ｋ∈Z)对称；④最小正周期为2π；⑤将其图象向左平移后所得的函数是奇函数. 其中正确结论的个数是（)Ａ.1ﻩB.2 Ｃ.３ﻩD．41４．已知ω为正实数,函数ｆ(x）=2ｓinωx在区间上递增,那么( ）Ａ.ﻩＢ.0<ω≤2ﻩＣ．ﻩD.１5.已知函数(ω>０),，且f(x）在区间单调递减,则ω的值为()A．2 Ｂ.C.ﻩＤ.16．如果函数y＝sin2x＋acos2ｘ的图象关于直线x＝对称,那么a=（）Ａ.ﻩB．C．１ﻩD.﹣117．已知函数ｆ(x)＝asiｎx﹣ｂcoｓx（a、ｂ为常数，ａ≠０，ｘ∈R)在ｘ=处取得最小值，则函数ｙ＝f(﹣x)是(）Ａ.偶函数且它的图象关于点(π,０)对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π,0)对称18.函数，则集合{ｘ｜f(f(x）)=0}元素的个数有( )Ａ.、2个ﻩＢ.3个ﻩC.４个ﻩD.５个19.若函数f（x）＝sｉn(ωx＋φ)的图象(部分）如图所示,则ω和φ的取值是( )A．ω=1,φ=ﻩB.ω=1,φ=﹣ C.ω=,φ=ﻩＤ.ω=,φ＝﹣20.对任意θ∈(０,)都有（）Ａ．sｉn(sinθ)＜cosθ＜cｏｓ（cosθ)ﻩB．ｓin（sinθ)＞ｃoｓθ>cos(coｓθ）C．sin（ｃosθ）＜ｃos（sinθ)<cｏｓθﻩＤ.sｉｎ(cosθ）<cosθ<ｃos(ｓinθ)二.填空题（共８小题)21.设函数的图象为Ｃ,有下列四个命题:①图象Ｃ关于直线对称:②图象C的一个对称中心是；③函数f(x)在区间上是增函数；④图象C可由y=﹣3sin2x的图象左平移得到.其中真命题的序号是.22.已知函数f(x)＝Acｏｓ(ωx+α)(A>０,ω＞0,0<α<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示，△EＦG是边长为２的等边三角形，则f（1）的值为．23．函数ｙ=cｏｓ(2x＋φ)(﹣π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数ｙ=siｎ（2x＋)的图象重合，则φ= ．24.已知α,β,γ∈R,则的最大值为．2５．函数f（x）在Ｒ上既是奇函数又是减函数,且当θ∈(０，）时,ｆ（cos2θ+2msiｎθ)＋ｆ(﹣2ｍ﹣2)＞0恒成立，则实数ｍ的取值范围是．２6．设ｆ(x）=asｉn2ｘ＋bｃoｓ2x，其中ａ,b∈R,ab≠0.若f（x)≤|f(）｜对一切ｘ∈Ｒ恒成立,则①ｆ()=0；②|f()|<｜f()|;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④ｆ（x)的单调递增区间是[kπ＋,kπ+]（ｋ∈Z)；⑤经过点(a，b)的所有直线均与函数f(x)的图象相交.以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号）.27．函数f(x）=cosx﹣|ｌｇｘ|零点的个数为.28.函数的一个零点为，且，对于下列结论:①；②;③④f(x)的单调减区间是;⑤f(ｘ)的单调增区间是. 其中正确的结论是 .(填写所有正确的结论编号)。

中考总复习锐角三角函数综合复习--巩固练习巩固练习（提高）1. 已知角A是一个锐角，sinA=0.6，求cosA的值。

解：根据三角函数的定义，sinA=对边/斜边=0.6设对边为a，斜边为c，则对边和斜边的比值为3:5，即a:5a，勾股定理可得：a^2+5a^2=c^26a^2=c^2c=√(6a^2)根据cosA=邻边/斜边，设邻边为b，则邻边和斜边的比值为b:(√(6a^2))根据勾股定理可得：b^2+6a^2=(√(6a^2))^2b^2=0b=0所以cosA=02. 已知tanθ = 0.8，θ是一个锐角，求θ的值。

解：根据tanθ=对边/邻边=0.8设对边为a，邻边为b，则对边和邻边的比值为4:5，即4a:5a，勾股定理可得：4a^2+5a^2=c^29a^2=c^2c=√(9a^2)根据tanθ=sinθ/cosθ，可得sinθ=4a/√(9a^2)=4/√(9)=4/3根据sinθ的定义可知，sinθ是正数，即θ是第一象限或第二象限的角。

又因为题目给出θ是一个锐角，所以θ必定是第一象限的角。

所以sinθ=4/3，根据sinθ=对边/斜边，可得：4/3=a/√(9a^2)4/3=a/3a4/3=1/3所以a=1，那么c=√9=3所以tanθ=4/5=0.8，那么θ=tan^(-1)(0.8)≈38.7°所以θ的值约为38.7°。

3.在直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=20，BC=15，求三角形ABC的角A的正弦值和余弦值。

解：根据正弦定理可得sinA=AC/斜边=20/25=4/5根据余弦定理可得cosA=BC/斜边=15/25=3/5所以三角形ABC的角A的正弦值为4/5，余弦值为3/54. 已知在锐角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sinB的值。

解：根据正弦定理可得sinB=AC/斜边根据余弦定理可得cosB=BC/斜边所以AC=5sinB，BC=5cosB根据勾股定理可得：(5sinB)^2 + (5cosB)^2 = AC^2 + BC^225sin^2B + 25cos^2B = 5^2sin^2B + 5^2cos^2B25sin^2B + 25cos^2B = 25sin^2B + 25cos^2B所以25sin^2B = 0sinB = 0所以sinB的值为0。

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．（1）求该抛物线的解析式．（2）如图1，连接AD，交y轴于点E，点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD交x轴于F，连接EF、AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设△AOQ外接圆圆心为H，当sin ∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标．2．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在直线PB上是否存在点M，使得△BCM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，点D为AB的中点，直线QD与直线BC的夹角为锐角B，且tanβ＝3，求点Q的坐标．3．如图，已知点A（﹣1，0），点B在y轴正半轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，连接BD，二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B，D，顶点为E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接BE，DE，判断△BDE的形状，并求tan∠BDE的值；（3）在第二象限内有一动点P，使得∠APB＝∠EDC，连接DP，线段DP是否存在最大值？如果存在，请求出最大值，如果不存在，请说明理由．4．如图1，直线y＝﹣x﹣3分别交x轴，y轴于点B，C，经过点B，C的抛物线y＝x2+bx+c 交x轴正半轴于点A．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，D是第三象限内的抛物线上动点，DE∥y轴交直线BC于点E，若△CDE 是等腰三角形，求点D坐标；（3）F是抛物线的顶点，直线BC上存在点M，使tan∠FMO＝，请直接写出点M坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，已知tan∠CAB＝．（1）求顶点P和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；（3）在（2）的条件下，如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（﹣2＜a＜0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的顶点纵坐标为，在直线BC上方的抛物线上取一点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AD，CD，AD交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）若mAF＝FD（m＞0），求m的最大值；（3）设∠ABC＝θ，已知tan2θ＝，是否存在点D，使得在△CDE中的某个角恰好等于2θ，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求sin∠DCF的值；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点G是坐标平面内的一点，是否存在点P，使得以点P，B，C，G为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4ax+8a的顶点为P，且不论a为何值，图象都经过定点Q．（1）请直接写出定点Q的坐标；（2）若tan∠OQP＝3，求点P的坐标；（3）若当x≥a时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点，求a的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D，点C为抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）点P在抛物线上，若∠P AC＝∠BAD，求点P的坐标．（4）联结BC，延长DB交x轴于点E，点Q是直线y＝x﹣3上的动点，如果△QBC与△AED是相似三角形，求点Q的坐标．10．已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m（m＞）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点C（4，5）．（1）判断点C（4，5）是否在抛物线上；（2）直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD．①若S△BCD＝6，求抛物线的解析式；②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF＝3AF．P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α（0°＜α≤90°）．试判断α的大小是否发生变化．若不变，请求出tanα的值；若发生变化，请说明理由．11．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），点D （m，0）是x轴上一点，过点D作直线DF⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BF，当tan∠FBC＝时，求出点E的坐标；（3）当△CEF是等腰三角形时，请直接写出点F的坐标．12．我们规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x 的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．（1）按此规定：一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为：，“再生函数”为：；（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，﹣）两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；②若点E在直线x＝1上，且在x轴的下方，当∠CBE＝45°时，求点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与直线y＝x+3交于y轴上的点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接PC、PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线l上一点，连接OE、BE，若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（9，0），与y轴交于点C，已知∠OAC＝∠OCB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在y轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点Q，满足∠AQP＝90°？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点P在y轴上，满足sin∠APB＝的点P是否存在？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC 相似，求k的值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O 是坐标原点．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx的经过（2，0），（﹣1，3），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，过顶点C的直线CP交x轴于点A．（1）求该抛物线的表达式与顶点C；（2）当OC⊥OP时，求tan∠OP A的值；（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求点P坐标．18．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求的最大值及此时点M的坐标；（3）如图2，已知点Q（0，1），是否存在点M，使得tan∠MBQ＝？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．（1）求抛物线的表达式；（2）如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求的值；（3）如果P是x轴上一点，∠PCB＝∠ACO，求∠PCO的正切值．20．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于C，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，且与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线关系式；（2）如图2，点P是抛物线上一动点，且点P在直线BC上方，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值；（3）如图3，D是△BOC内部一点，连接BD，CD，在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE ＝90°，且DE＝BD，以DC和DE为邻边作▱CDEF，若点O恰好落在EF边上，CD ＝，请直接写出tan∠DCF的值．参考答案1．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C 点，D为抛物线顶点．∴令x＝0，得：y＝﹣3，则C（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．设直线AD的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴E（0，﹣2），∴AE＝＝＝，ED＝＝，∴AE＝ED，∴S△F AE＝S△FED，∵S△ADP＝3S△DEF，∴S△APF＝S△ADP﹣S△AFD＝3S△DEF﹣S△AFD＝3S△DEF﹣2S△DEF＝S△DEF＝S△AEF，∵OE⊥AF，∴AF•OE＝AF•y P，∴OE＝y P＝2，依题意，设P（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞3，∴m2﹣2m﹣3＝2，解得：m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），∴P（1+，2）；（3）如图，作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG＝GO＝，∵AH＝HO，∴H在AO的垂直平分线上运动，依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO＝2∠AHG＝2∠OQA，即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大，∵AG＝AO＝，∴sin∠OQA＝sin∠AHG＝＝，则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，∵AH＝HQ，即当HQ⊥直线x＝1时，AH取得最小值，此时HQ＝1﹣（﹣）＝，∴AH＝，在Rt△AHG中，HG＝＝＝，∴H（﹣，），根据对称性，则存在H（﹣，﹣），综上所述，H（﹣，）或H（﹣，﹣）．2．解：（1）∵二次函数图象过A（﹣2，0），B（4，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在点M，使得△BCM为直角三角形，理由如下：如图：∵点A（﹣2，0），C（0，4），点P是AC中点，∴P（﹣1，2），设直线BP解析式为：y＝kx+b，将B（4，0），P（﹣1，2）代入得：，解得：，∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，设点M（c，﹣c+），∵B（4，0），C（0，4），∴BC2＝32，BM2＝（c﹣4）2+（﹣c+）2，CM2＝c2+（﹣c+﹣4）2＝c2+（﹣c﹣）2，①若BC为斜边，则（c﹣4）2+（﹣c+）2+c2+（﹣c﹣）2＝32，化简整理得29c2﹣92c﹣96＝0，解得c＝4（与B重合，舍去）或c＝﹣，∴M（﹣，），②若BM为斜边，则c2+（﹣c﹣）2+32＝（c﹣4）2+（﹣c+）2，解得c＝﹣，∴M（﹣，），综上所述，M坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DQ与BC交于点N，如图：∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DQ与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝2，∴点N（2，2），由N（2，2），D（1，0）得直线DQ解析式为：y＝2x﹣2，联立方程组可得：，解得：或（不合题意，舍去），∴点Q坐标为（﹣1，2﹣4）；②若DQ与射线EB交于N'（m，4﹣m），∵N'E＝BE﹣BN'，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝3，∴点N'（3，1），由D（1，0），N'（3，1）可得直线DQ'解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或（不合题意，舍去），∴点Q坐标为（，），综上所述：点Q的坐标为（﹣1，2﹣4）或（，）．3．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，∴OB＝OD，∴D（3，0），将D（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），∴BE＝，DE＝2，BD＝3，∴DE2＝BE2+BD2，∴△BDE是直角三角形，∠DBE＝90°，∴tan∠BDE＝＝；（3）∵C（0，1），D（3，0），E（1，4），∴CD＝，CE＝，DE＝2，∴CD2+CE2＝DE2，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，以AB为直径作圆，F是圆上一点，且AF＝BF，连接AF、BF，过点F作FM⊥x轴交于M，过点F作FN⊥y轴交于N，∴∠AFB＝90°，∵∠BFN+∠AFN＝90°，∠AFN+∠MF A＝90°，∴∠BFN＝∠MF A，∴△BFN≌△AFM（AAS），∴FN＝FM，BN＝AM，设F（﹣t，t），∴BO＝3＝t+（t﹣1），∴t＝2，∴F（﹣2，2），∴AF＝，DF＝，以F为圆心，F A为半径作圆，P点在⊙F上，此时∠APB＝45°，∴∠APB＝∠EDC，∴DP的最大值为+．4．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝﹣3，∴B（﹣3，0），将C（0，﹣3），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）设D（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），∵D在第三象限内，∴﹣3＜t＜0，∴DE＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，CD＝，CE＝，①当DE＝DC时，﹣t2﹣3t＝，解得t＝0（舍）或t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣3）；②当DE＝CE时，﹣t2﹣3t＝，解得t＝0（舍）或t＝﹣3或t＝﹣﹣3（舍），∴D（﹣3，﹣4+2）；③当DC＝CE时，＝，解得t＝0（舍）或t＝﹣3（舍）或t＝﹣1，∴D（﹣1，﹣4）；综上所述：D点坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣4+2）或（﹣1，﹣4）．（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点F（﹣1，﹣4），设M（m，﹣m﹣3），设直线MF的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，①当M点在F点左侧时，过点O作NO⊥MF交于点N，过点N作GH∥x轴交y轴于点H，过点M作MG⊥GH交于点G，∴∠ONH+∠MNG＝90°，∵∠ONH+∠NOH＝90°，∴∠MNG＝∠NOH，∴△MNG∽△NOH，∴＝＝，∵tan∠FMO＝，∴＝，∴＝＝，设N（x，y），∴x＝m﹣2y，2x＝y+m+3，∴x＝，y＝，∴N（，），将点N代入y＝x﹣，可得×﹣＝，解得m＝（舍）或m＝，∴M（，）；②当M点在F点右侧时，过点O作OK⊥MF交于K点，过点K作PQ⊥x轴交x轴于点P，过点M作MQ⊥PQ交于点Q，∴∠PKO+∠QKM＝90°，∵∠PKO+∠POK＝90°，∴∠QKM＝∠POK，∴△POK∽△QKM，∴＝＝，∵tan∠FMO＝，∴＝，∴＝＝，设K（x，y），∴﹣2x＝y+m+3，﹣2y＝m﹣x，∴x＝，y＝，∴K（，），将点K（，）代入y＝x+，则×+＝，解得m＝，∴M（，﹣）；综上所述，M点坐标为（，）或（，﹣）．5．解：（1）根据题意可画出函数图象，令x＝0可得y＝﹣1，∴C（0，﹣1），即OC＝1．在Rt△AOC中，tan∠CAB＝，∴＝，∴OA＝3，∴A（3，0）．将点A的坐标代入抛物线解析式可得，×32+3b﹣1＝0，解得b＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣．∴顶点P（1，﹣），令y＝0，即（x﹣1）2﹣＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线y＝（x﹣3）2﹣．令x＝0，则y＝．∴M（0，）．连接AP并延长交y轴于点D，∴直线AP的解析式为：y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△APM＝（x A﹣x P）•MD＝×（3﹣1）×（+2）＝．（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB＝，∴AB＝4，AC＝．如图，过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，∴MQ＝1，PQ＝+＝3，∴tan∠MPQ＝＝，PM＝．∴∠MPQ＝∠CAB，若△PMN与△ABC相似，则PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，设N（1，t），则PN＝t+，∴：（t+）＝4：或：（t+）＝：4，解得t＝或t＝．∴N（1，）或（1，）．6．解：（1）∵抛物线y轴交于点C（0，2），∴c＝2，∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），∴a﹣b+2＝0，∵抛物线的顶点纵坐标为，∴＝，∴a＝﹣6或a＝﹣，∵﹣2＜a＜0，∴a＝﹣，∴b＝，∴y＝﹣x2+x+2；令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）过点D作DG∥y轴交直线BC于点G，过点A作AH⊥BC交于点H，连接BD，∵DE⊥BC，∴AH∥DE，∴＝，∵mAF＝FD，∴＝m，∵A（﹣1，0），C（0，2），B（3，0），∴AB＝4，CO＝2，BC＝，∴AH＝，∴DE＝m，设D（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），∴DG＝﹣t2+2t，∴DE＝﹣t2+t，∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜3，∴当t＝时，m的最大值为；（3）存在点D，使得在△CDE中的某个角恰好等于2θ，理由如下：由（2）可知DE＝﹣t2+t，在OB上截取CM＝BM，∵∠ABC＝θ，∴∠CMO＝2θ，∵OC＝2，tan2θ＝，∴OM＝，∴M（，0），∴CM＝，∴sin2θ＝，cos2θ＝，∵点C（0，2），D（t，﹣t2+t+2），∴CD＝t，①当∠CDE＝2θ时，cos2θ＝＝，∴13（﹣t2+t）＝5t，解得t＝或t＝，∵0＜t＜3，∴t＝；②当∠DCE＝2θ时，sin2θ＝＝，∴13（﹣t2+t）＝12t，解得t＝1或t＝﹣，∵0＜t＜3，∴t＝1；综上所述：D点的横坐标为1或．7．解：（1）由OA＝2OB，设B（t，0），则A（﹣2t，0），∵抛物线对称轴为直线x＝，∴﹣t＝﹣2t﹣，解得t＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0），将A（2，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）连接DC，如图：在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，将A（2，0）代入得：2k+2＝0，解得k＝﹣1，∴直线AC解析式为y＝﹣x+2，设D（m，﹣m2+m+2），则F（m，﹣m+2），∴DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴当m＝1时，DF取最大值，最大值是1，此时D（1，2），F（1，1），∵C（0，2），∴∠CDF＝90°，CF＝＝，∴sin∠DCF＝＝＝；（3）存在点P，使得以点P，B，C，G为顶点的四边形是菱形，理由如下：如图：设P（，n），G（r，s），又B（﹣1，0），C（0，2），①以PB、CG为对角线，则PB、CG的中点重合，且BC＝BG，∴，解得或，∴P（，2+）或（，2﹣）；②以PC、BG为对角线，则PC、PG的中点重合，且BC＝BP，∴，解得或，∴P（，）或（，﹣）；③以PG、BC为对角线，则PG、BC的中点重合，且BP＝BG，，解得，∴P（，）；综上所述，P的坐标为（，2+）或（，2﹣）或（，）或（，﹣）或（，）．8．解：（1）∵y＝x2﹣4ax+8a＝x2﹣4a（x﹣2），∴当x＝2时，y＝4，∴定点Q的坐标为（2，4）；（2）∵y＝x2﹣4ax+8a＝（x﹣2a）2﹣4a2+8a，∴顶点P（2a，﹣4a2+8a），过Q点作QA⊥OA交于点A，过点Q作BQ⊥OB于点B，使tan∠OQA＝tan∠OQB＝3，∵Q（2，4），∴OQ＝2，∵tan∠OQA＝3，∴＝3，∴AO＝3，AQ＝，设A（x，y），∴，解得或（舍），∴A（3，3）；同理可求B（，），∵tan∠OQP＝3，∴P点位于直线AQ或直线BQ上，当P点位于直线AQ上时，设直线AQ的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+6，把点P（2a，﹣4a2+8a）代入，﹣4a2+8a＝﹣2a+6，解得a＝1或a＝，∴P点坐标为（2，4）（舍）或（3，3），同理当点P位于直线BQ上时，a＝1或a＝，∴P点的坐标为（2，4）（舍）或（，）；综上所述：P点坐标为（3，3）或（，）；（3）当a＝0时，y＝x2，此时抛物线的图象与坐标轴有一个不同的交点，不符合题意；当a＞0时，抛物线的对称轴为直线x＝2a＞a＞0，∵当x＝0时，y＝8a＞0，且x≥a，∴抛物线与y轴没有交点，∵抛物线与坐标轴有两个交点，∴Δ＞0，即16a2﹣32a＞0，∴a＞2或a＜0，又∵当x＝a时，y≥0，∴a2﹣4a2+8a≥0，∴0≤a≤，∴2＜a≤；当a＜0时，抛物线的对称轴为直线x＝2a＜a＜0，∵x≥2a，∴抛物线与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，符合题意；综上所述：a的取值范围为2＜a≤或a＜0．9．解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝＝2，BD＝＝，AB＝＝3，∴AB2+BD2＝（3）2+（）2＝20，AD2＝（2）2＝20，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴tan∠BAD＝＝＝；（3）过P作PM⊥x轴于M，如图：设P（m，m2﹣2m﹣3），①当P在x轴上方时，PM＝m2﹣2m﹣3，AM＝3﹣m，由（2）知tan∠BAD＝，又∠P AC＝∠BAD，∴tan∠P AC＝，∴＝，即＝，解得m＝3（增根，舍去）或m＝﹣，∴P（﹣，），②当P在x轴下方时，P'M'＝﹣m2+2m+3，AM'＝3﹣m，同理可得＝，解得m＝3（舍去）或m＝﹣，∴P'（﹣，﹣），综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（4）如图：由y＝x2﹣2x﹣3可得C（﹣1，0），又A（3，0），B（0，﹣3），∴tan∠CBO＝＝＝tan∠BAD，∠OBA＝45°＝∠OAB，∴∠CBA＝∠DAE，∵△QBC与△AED是相似三角形，∴Q在B上方，且＝或＝，由B（0，﹣3），D（1，﹣4）得直线BD解析式为y＝﹣x﹣3，令y＝0得x＝﹣3，∴E（﹣3，0），∵A（3，0），D（1，﹣4），∴AE＝6，AD＝2，设Q（m，m﹣3），∵B（0，﹣3），C（﹣1，0），∴BC＝，BQ＝＝m，①当＝时，∴＝，解得m＝，∴Q（，﹣），②当＝时，＝，解得m＝3，∴Q（3，0），综上所述，Q坐标为（，﹣）或（3，0）．10．解：（1）把x＝4代入y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m得：y＝16m+4（1﹣3m）+1﹣4m＝5，∴点C（4，5）在抛物线上；（2）①抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m，令y＝0，则mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝0，∴（mx+1﹣4m）（x+1）＝0，∵m＞，解得x1＝，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+1，∵抛物线的对称轴为x＝＝，∴D（，），∵S△BCD＝S△ABC﹣S△ABD＝6，∴×5（+1）﹣••（+1）＝6，整理得：m2＝1，解得m1＝1，m2＝﹣1（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝x2﹣2x﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3；②如图，过F作FH⊥x轴于H、过E作EK⊥x轴于K．∵P是△ABC的外心，∴PG、TL分别为AB、AC的垂直平分线，PG为抛物线的对称轴，∴PG为x＝，∵直线AC的解析式为y＝x+1，∴∠CAB＝45°，∵TL⊥AC，∴∠OLT＝∠OTL＝45°，设T（0，m1），L（m1，0），TL为y＝ex+f，∴，解得e＝﹣1，∴TL为y＝﹣x+f，∵A（﹣1，0），C（4，5）．V为AC的中点，∴V（，），∴﹣+f＝，解得f＝4，∴直线TL的解析式为y＝﹣x+4，∴P（，），即P（，+）．∵AC与AE关于x轴对称，∴AE的解析式为y＝﹣x﹣1．∴，解得或，∴E（，）．∵EF＝3AF．∴，∵FH∥EK，∴△AHF∽△AKE，∴，∴FH＝||＝||．∴F的纵坐标为．代入y＝﹣x﹣1．∴F的横坐标为．∴F（，），即F（﹣，﹣+），设PF为y＝k1+b1，∴，解得，∴PF的解析式为y＝3x﹣2+，当y＝0时，x＝﹣，∴SG＝﹣+＝+，∵PG＝+．∴tan∠PSG＝tanα＝＝3，∴α的大小不会发生变化．tanα＝3．11．解：（1）抛物线经y＝ax2+2x+c过点A（﹣2，0）和点C（0，6），代入得：，解得：，∴抛物线的解析的析式是y＝﹣x2+2x+6；（2）令y＝0 代入y＝﹣x+2x+6中，解得x＝﹣2或x＝6，∴B（6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）B（6，0）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，∵D（m，0），∴F（m，﹣m2+2m+6），E（m，﹣m+6），∴EF＝|（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m+6）|＝|﹣m2+3m|，DE＝﹣m+6，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠DEB＝45°＝∠GEF，点F1在直线BC上方的抛物线上时，直线D1F1与BC交于点E1，过点F1作F1G1⊥BC，垂足为点G1，在Rt△D1E1B和Rt△G1E1F1中，E1B＝，D1E1＝（﹣m+6），F1G1＝E1G1＝E1F1＝（﹣m2+3m），∴BG1＝BE1+G1F1＝（﹣m+6）+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m+6，当tan∠F1BC＝时，tan∠F1BC＝＝，即，解得m1＝4 或m2＝6（舍去），∴E1（4，2）；F2在直线BC下方的抛物线上时，直线D2F2与BC交于点E2，过点F2作F2G2⊥BC，垂足为点G2，∴在Rt△D2E2B和Rt△G2E2F2中，E2B＝D2E2＝（﹣m+6），F2G2＝E2G2＝E2F2＝（m2﹣3），∴BG2＝BE2﹣G2F2＝（﹣m+6）﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+m+6，当tan∠F2BC＝时，tan∠F2BC＝＝，即＝，解得m1＝﹣或m2＝6（舍去），∴E2（﹣，），综上可知，点E坐标是E1（4，2）或E2（﹣，）；（3）由（2）得，F（m，﹣+2m+6），E（m，﹣m+6），EF＝|（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m+6）|＝|﹣m2+3m|，当CE＝EF时，即（﹣m2+3m|＝，解得：m＝6+2或m＝6﹣2，此时F（6﹣2，8﹣4）或（6+2，﹣8﹣4）；当CE＝CF时，由题意得，＝6，解得：m＝2，此时F（2，8）；当EF＝CF时，|﹣m2+3m|＝，解得：m＝4，此时F（4，6），综上所得，F1（2，8）或F2（6﹣2，8﹣4）或F3（4，6）或F4（6+2，﹣8﹣4）．12．解：（1）一次函数y＝x﹣3中，a＝1，b＝﹣3，∴一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为：y＝＝﹣，“再生函数”为：y＝x2﹣3x﹣（1﹣3）＝x2﹣3x+2，故答案为：y＝﹣，y＝x2﹣3x+2；（2）∵关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”为：y＝x2+bx﹣（1+b），且顶点在x 轴上，∴Δ＝b2﹣4[﹣（1+b）]＝0，∴b1＝b2＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴顶点坐标为（1，0）；（3）①∵一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，﹣）两点，∴，解得：，∴其“再生函数”为：y＝x2﹣x﹣（﹣）＝x2﹣x+2，当y＝0时，x2﹣x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），如图1，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∵D（1，3），∴CD2＝12+（3﹣2）2＝2，BD2＝（4﹣1）2+32＝18，BC2＝42+22＝20，∴CD2+BD2＝BC2，∴∠CDB＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝；②如图2，过点C作CF⊥BC于C，交BE的延长线于F，过点F作FM∥y轴，过点C作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN于N，∵∠CBF＝45°，∴△CBF是等腰直角三角形，∴BC＝CF，∵∠BCN+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠BCN＝∠CFM，∵∠N＝∠M＝90°，∴△BNC≌△CMF（AAS），∴BN＝CM＝2，CN＝FM＝4，∴F（﹣2，﹣2），∵B（4，0），设直线BF的解析式为：y＝kx+n，∴，解得：，∴BF的解析式为：y＝x﹣，∵点E在直线x＝1上，∴点E的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣1，∴E（1，﹣1）．13．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），当x＝0时，y＝3，则C（0，3），即﹣8a＝3，解得：a＝﹣．则函数的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝2，即点D（2，0），连接OP，设点P（x，﹣x2+x+3），S△PCD＝S△PDO+S△PCO﹣S△OCD＝×2（﹣x2+x+3）+×3×x﹣×2×3＝﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴S△PCD有最大值，此时点P（3，）；（3）如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E，此时，sin∠BEO最大，过圆心F作HF⊥x轴于点H，则OH＝OB＝2＝OA，OF＝EF＝4，∴HF＝2，过点E的坐标为（﹣2，2）；同样当点E在x轴的下方时，其坐标为（﹣2，﹣2）；故点E的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．14．解：（1）∵∠OAC＝∠OCB，∠AOC＝∠COB＝90°，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝9×1＝9，∵OC＞0，∴OC＝3，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（9，0），设y＝a（x﹣1）（x﹣9），把C（0，3）代入得a（0﹣1）（0﹣9）＝3，解得a＝，∴抛物线的函数表达式；（2）存在，抛物线的对称轴上是否存在唯一的点Q，满足∠AQP＝90°，就是指以AP为直径的圆与对称轴：直线x＝＝5有唯一的交点，即相切．如图，设AP的中点为M，∵A（1，0），∴点M的横坐标为0.5，∴点M到直线x＝5的距离为4.5，∴直径AP的长为9，∴，∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）存在，如图：当点P在以AB为弦的⊙N上，圆心角∠ANB＝2∠APB．过点N做NH⊥AB于H，则∠ANH＝∠APB．∴sin∠ANH＝sin∠APB＝＝，∵AH＝BH＝4．∴AN＝6，∴NH＝，∴N（5，）或N（5，﹣），设P（0，P），∵PN＝AN＝6，当N（5，）时，，∴或，同理，当N（5，﹣）时，p＝﹣2﹣或综上所述，点P的坐标为或或或（0，﹣2+）．15．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，∵OC＝2OA＝4，∴点C的坐标为（0，4），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4；（2）由题意可知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），∴AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；直线AC的解析式为：y＝2x+4；若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：①当∠HOB＝∠CAB时，△OBH∽△ABC，此时OH∥AC，∴k＝2；②当∠HOB＝∠ACB时，△OBH∽△CBA，∴OB：BC＝BH：AB，即4：4＝BH：6，解得BH＝3，设点H的坐标为（m，﹣m+4），∴（m﹣4）2+（﹣m+4）2＝（3）2，解得m＝1或7（舍去），∴H（1，3），∴k＝3，综上，k的值为2或3．（3）存在，理由：设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），①当点Q在点P的左侧时，如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，由题意得：∠PEQ＝90°，∴∠PEN+∠QEM＝90°，∵∠EQM+∠QEM＝90°，∴∠PEN＝∠EQM，∴∠QME＝∠ENP＝90°，∴△QME∽△ENP，∴＝＝＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝，则PN＝﹣m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，∴＝＝，解得m＝±（舍去负值），当m＝时，﹣m2+m+4＝，∴点P的坐标为（，）．②当点Q在点P的右侧时，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣m2+m+4，PN＝m﹣1，同理可得：△QME∽△ENP，∴＝＝＝2，∴＝＝2，解得m＝±（舍去负值），∴m＝，∴点P的坐标为（，），∴点P的坐标为（，）或（，）．16．解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M的坐标为（1，4）；（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，∴x2﹣x﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），由一元二次方程根与系数的关系：x1•x2＝可得x1•2c＝，∴x1＝，∴点A坐标为（，0），∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，根据题意得：，解得：，∴直线MC的解析式为：y＝x+c，∴点P坐标为（﹣，0），由此可得P A＝+，PB＝2c+，∵∠PCA＝∠PBC，∠CP A＝∠BPC，∴△PCA∽△PBC，∴＝，∴PC2＝P A•PB，∵PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，∴+c2＝（+）（2c+），∴c2＝++，∴c＝++＝①，把点B（2c，0）代入二次函数解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，∴4ac+2b+1＝0，∴4ac+b+1＝﹣b②，将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，得，﹣4+2b+1＝0，解得：b＝，∴P的坐标为（﹣，0），又∵S△PBC＝PB•CO＝（2c+）•c＝，∴＝，解得，c＝（﹣舍去），又∵c＝﹣，a＝﹣，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的经过（2，0），（﹣1，3），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴顶点C（1，﹣1）；（2）过点P作PN⊥y轴于N，过点C作CM⊥y轴于M，设点P的坐标为（m，m2﹣2m），∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，顶点C（1，﹣1），∴PN＝m，ON＝m2﹣2m，OM＝1，CM＝1，∴OM＝CM，OC＝，∴∠COM＝45°，∵OC⊥OP，∴∠COP＝90°，∴∠PON＝45°，∵PN⊥y轴，∴ON＝PN，∴m2﹣2m＝m，解得m＝3或0（不合题意，舍去），∴m＝3，∴ON＝PN＝3，∴OP＝3，∴tan∠OP A＝＝；（3）设P（t，t2﹣2t），∵△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，∴AP＝2AC，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，设BC交x轴于M，∴AM∥PQ，∴，∵顶点C（1，﹣1），∴CM＝1，PQ＝t﹣1，QM＝t2﹣2t，∴，可得t2﹣2t＝2，解得：t＝1+或t＝1﹣（舍去），∴点P的坐标为（1+，2）．18．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，4），∴设y＝a（x﹣1）2+4，把B（3，0）代入得：a（3﹣1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）如图1，过点M作MD∥x轴，交直线BC于点D，∵y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴设M（m，﹣m2+2m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+d，把B（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，令y＝﹣m2+2m+3，得﹣m2+2m+3＝﹣x+3，∴x＝m2﹣2m，∴D（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴DM＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∵DM∥x轴，即DM∥AB，∴△MDE∽△ABE，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∵＜0，∴当m＝时，取得最大值，此时M（，）；（3）存在．取BQ的中点为F，将线段QF绕点Q旋转90°得到线段QG，连接BG交抛物线于点M，则QF＝QG＝BQ，∠BQG＝90°，∴tan∠MBQ＝＝；当线段QF绕点Q顺时针旋转90°得到线段QG，如图2，过点F作FH⊥y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则∠FHQ＝∠QKG＝90°，∵B（3，0），Q（0，1），∴F（，），H（0，），∴FH＝，QH＝，∵∠FQH+∠GQK＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠GQK＝∠QFH，在△FQH和△QGK中，，∴△FQH≌△QGK（AAS），∴QK＝FH＝，GK＝QH＝，∴OK＝QK﹣OQ＝﹣1＝，∴G（﹣，﹣），设直线BG的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线BG的解析式为y＝x﹣，联立方程组得，解得：（舍去），，∴M（﹣，﹣）；当线段QF绕点Q逆时针旋转90°得到线段QG，如图3，过点F作FH⊥y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则∠FHQ＝∠QKG＝90°，FH＝，QH＝，∵∠BQG＝90°∴∠FQH+∠GQK＝90°，∵∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠GQK＝∠QFH，在△FQH和△QGK中，，∴△FQH≌△QGK（AAS），∴QK＝FH＝，GK＝QH＝，∴OK＝OQ+QK＝1+＝，∴G（，），设直线BG的解析式为y＝k2x+d2，则，解得；，∴直线BG的解析式为y＝﹣x+3，。

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练（附答案）1．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行若干千米，到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．（1）若BD＝30km，问E处距离港口A有多远？（2）若DE＝8km，问E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C 的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）3．如图，一次军事演习中，蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．（1）求点C到公路的距离；（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）4．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C 作CH⊥AB于H．（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．5．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）6．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求出A与C间的距离AC；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中触暗礁危险．（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：）7．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．8．如图，港口B在港口A的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C处，同时快艇到达D处，测得D处在C处的北偏东60°的方向上，且C、D两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，，）9．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝70°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝km．（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）10．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．12．如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B 处西北方向的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）13．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）14．一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．15．如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B 到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）16．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）17．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）19．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B 看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A 到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．（1）求港口C与小岛P之间的距离；（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（≈2.646，结果精确到十分位）．20．如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A 的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）灯塔B与小岛C之间的距离．21．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD＝37°，港口A和小岛C的距离是23km．（参考数据：sin38°≈，tan22°≈，tan37°≈）（1）求BC的距离．（2）求CD的距离．参考答案1．解：（1）作CF⊥AD于F，由题意得，∠D＝90°，∴FC∥BD，又AC＝CB，∴FC＝BD＝15，∵∠EFC＝90°，∠FEC＝45°，∴EF＝FC＝15，在Rt△AFC中，AF＝≈＝20，∴AE＝AF+FE＝35（km），答：BD＝30km，E处距离港口A约为35km；（2）设FC＝xkm，则EF＝FC＝x，AF≈＝x，由（1）得，AF＝FD，即x＝x+8，解得，x＝24，则x＝32，∴AE＝AF+FE＝32+24＝56，答：DE＝8km，E处距离港口A约为56km．2．解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．3．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D 作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，（1）点C到公路的距离就是BE的长，在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴BE＝BC•cos60°＝2000×＝1000米．答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．（2）红蓝双方相距AB＝DF+CE．在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝2000×＝1000米．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，CD＝2000米，∠DCF＝45°，∴DF＝CD•sin45°＝2000×＝1000米，∴AB＝DF+CE＝（1000+500）米．答：红蓝双方最初相距（1000+1000）米．4．解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH＝30°，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝x，在Rt△BCH中，tan30°＝＝，∴BH＝x，∵AH+HB＝AB＝40，∴x+x＝40，解得x＝20﹣20，∴CB＝2CH＝40﹣40．答：牧民区C到B地的距离为（40﹣40）千米；（2）∵C、D两地距离是B、C两地距离的倍，CH＝BC，∴sin∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝60°．在Rt△CHD中，DH＝CH•cot∠CDH＝CH，∵BH＝CH，CH＝20﹣20，∴BD＝BH﹣DH＝CH﹣CH＝（20﹣20）＝40﹣．答：BD之间的距离为40﹣千米．5．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝＝x，∵BG﹣BC＝CG，∴x﹣x＝8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．6．解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．则AE+BE＝x+x＝100（+1），解得：x＝100．AC＝2x＝200．答：A与C之间的距离AC为200海里．（2）过点D作DF⊥AC于点F，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得：y＝100（﹣1），∴AD＝2y＝200（﹣1），∴DF＝AF＝×100（﹣1）≈127海里，∵127＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．故答案为：无．7．解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，BD＝100米，∴AB＝＝200米，AD＝BD•tan60°＝100米．∵在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，BD＝100米，∴DC＝BD＝100米，BC＝BD＝100米，∴AC＝AD+DC＝（100+100）米；（2）作EF⊥AB于F，∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，∴EF＝ED．在Rt△AEF与Rt△AED中，，∴△AEF≌△AED（HL），∴AF＝AD＝100米，∴BF＝AB﹣AF＝（200﹣100）米．∵在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2BF＝（400﹣200）米．8．解：分别过点B、D作AC的垂线，交AC的延长线于点E、F，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，则DF＝CD＝40海里，CF＝CD cos∠DCF＝40海里，故可得AF＝AC+CF＝16×2+40＝32+40海里，∵DF⊥AF，BE⊥AF，BE⊥BD，∴四边形BEFD是矩形．∴BE＝DF＝40海里，在Rt△BAE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝BE＝40海里，∴EF＝AF﹣AE＝32+40﹣40＝（40﹣8）海里，∴BD＝EF＝40﹣8（海里），故可求得快艇的速度＝（40﹣8）÷2＝20﹣4≈30.6（海里/小时）．答：快艇的速度约为30.6海里/时．9．解：（1）相等．∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝∠BEQ＝30°，∴EF＝BF，又∵∠AFP＝60°，∴∠BF A＝60°．在△AEF与△ABF中，∵，∴△AEF≌△ABF（SAS），∴AB＝AE；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．设AE＝xkm，则AH＝x sin70°km，HE＝x cos70°km，∴HF＝HE+EF＝x cos70°+4﹣5（km），Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，∴x sin70°＝（x cos70°+4﹣5）•tan60°，即：x＝（x+4﹣5）×，解得：x≈13，即AB＝AE＝13km．答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．10．解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG＝EF＝10米．∵∠FGN＝∠α＝36°．∴∠GFN＝∠β﹣∠FGN＝72°﹣36°＝36°．∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50﹣10＝40（米）．在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝40×sin72°＝40×0.95≈38（米）．答：河宽FR约为38米．11．解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°．∴∠DAB＝∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD＝AB＝2．即BD之间的距离为2km．（4分）（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BO tan30°＝，∴CD＝DO﹣CO＝（km）．即C，D之间的距离km．（8分）12．解：如图，过C作CH⊥AB于H，由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，设BH＝x，则CH＝AH＝x，BC＝2x，∵AB＝60，∴x+x＝60，解得x＝30（﹣1），∴AH＝30（3﹣），∴Rt△ACH中，AC＝AH＝×30（3﹣）＝30（3﹣），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（﹣1），∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3﹣）÷20≈2.7小时，不明船只到达C岛的时间为60（﹣1）÷15≈2.8小时，∴巡逻艇先到达C岛．13．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得：AC＝40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x+x＝40，∴解得：x＝60﹣20（，答：此时“中国海监50”的航行距离为（60﹣20）海里．14．解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，∴∠C＝23°+22°＝45°．过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．∵BC＝10海里，∴CD＝BC•cos45°＝10×≈7.0（海里），∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9（海里）．∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19（海里）．答：小船到码头的距离约为19海里．15．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC＝GB，GD＝BC＝11．∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．在Rt△DGH中，DH＝DG•sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG•cos37°≈11×0.80≈8.80．在Rt△ADH中，AD＝DH≈1.41×6.60≈9.31．AH＝DH≈6.60．∴AD+DG﹣AG＝（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．16．解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β，∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC，∴AB：GC＝BH：HG，∴30：GC＝60：140，解得GC＝70（米），∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．17．解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：从A地跑到D地的路程约为47km．18．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5海里，∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴COS∠DCF＝，∴CD＝＝＝10海里．答：CD两点的距离是10；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t海里，DE＝1.5×2×t＝3t海里，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝ED sin53°＝3t×＝t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝．答：sin∠ECD＝．19．解：（1）由题意得，BC＝30×＝20海里，∠ABP＝60°，∠ACP＝30°，∴∠BPC＝30°，∴BP＝BC＝20海里，∴AP＝BP•sin∠ABP＝20×＝10，∵∠ACP＝30°，∴PC＝2AP＝20海里，答：港口C与小岛P之间的距离为20海里；（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，∴∠PCQ＝90°，又CQ＝30×＝40海里，由勾股定理得，PQ＝＝20≈52.9海里，答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．20．解：（1）∵∠EAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，AC＝60÷Cos30°＝40海里，CD＝AC＝20海里．故港口A与小岛C之间的距离是40海里；（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，∵∠BAD＝60°，∴∠BDA＝30°，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形，∴AB＝30海里；在Rt△ABE中，AE＝15海里，BE＝15海里，∴BF＝60﹣15＝45海里，CF＝20﹣15＝5海里，在Rt△BCF中，BC＝＝10海里．即灯塔B与小岛C之间的距离是10海里．21．解：（1）作CE⊥AB于E，由题意得，∠CAE＝45°，∠CBE＝30°，∴AE＝CE＝AC•sin∠CAE＝23×＝23km，∴BC＝2CE＝46km，答：BC的距离为46km；（2）作DF⊥BC于F，设DF＝xkm，∴CF＝＝x，BF＝＝x，则x+x＝46，解得，x＝12，∴DF＝12，CF＝16，由勾股定理得，CD＝＝20km．答：CD的距离约为20km．。

初三数学三角函数专题训练三1．〔2014•〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，如此tan∠CFB的值等于〔〕A． B． C． D．2．〔2015•模拟〕如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，假如tan∠BCD=，如此tanA=〔〕A． B．1 C． D．3．〔2011•〕如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，如下结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个4．〔2011•〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，如此sin∠CAD=〔〕A． B． C． D．5．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AC，如此tan∠DAC的值为〔〕A． B． C． D．6．〔1998•〕如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，假如cot∠BCD=3，如此tanA=〔〕A． B．1 C． D．7．〔2011•黔东南州〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，假如BC=6，AC=8，如此tan∠ACD的值为〔〕A． B． C． D．8．〔2006秋•微山县期末〕α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的两根，如此△ABC是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．〔2011•〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，如此AC•BC的值为〔〕A．14 B．16 C．4 D．1610．〔2008•〕α为锐角，如此m=sinα+cosα的值〔〕A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥111．〔2007•昌平区二模〕如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．如此tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为〔〕A． B． C．1 D．12．一个直角三角形有两条边长为3和4，如此较小锐角的正切值是〔〕A． B． C． D．或13．〔2005•〕直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．〔1〕将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；〔2〕将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．如此tan∠DEA的值为〔〕A． B． C． D．14．〔2012•德清县自主招生〕如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，如此tan∠AEB的值等于〔〕A．3 B．2 C． D．15．〔2012•桐城市校级二模〕如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，如此sinα=〔〕A． B． C． D．16．〔2014秋•肥西县期末〕如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC 于点D，那么=〔〕A．sin∠BAC B．cos∠BAC C．tan∠BAC D．cot∠BAC17．〔2003•海淀区模拟〕如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，如此sinA的值为〔〕A． B． C． D．18．〔2014•〕如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．假如∠BPC=∠BAC，如此tan∠BPC=．19．〔2009•〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线OC将△COA 折叠，使点A落在点D处，假如CD恰好与MB垂直，如此tanA的值为．20．〔2007•〕如图，正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．21．〔2009•遂昌县模拟〕如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，假如BD=6，CD=3，如此sin∠DBA=．22．〔1998•〕如图，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC于C，DE∥AC交BC于E，假如DE=BD，如此cosA=．23．〔2011•新昌县模拟〕如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°且AB=3AD，如此tanα=．24．〔2001•〕如图，矩形ABCD〔AD＞AB〕中AB=a，∠BDA=θ，作AE交BD于E，且AE=AB，试用a与θ表示：AD=，BE=．25．〔2003•〕正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=．26．〔2009•〕如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，如此tan∠A′BC′的值为．27．〔2012•南岗区校级模拟〕矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．28．〔2012•县校级自主招生〕学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对〔sad〕．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解如下问题：〔1〕sad60°的值为〔〕A．B．1 C．D．2〔2〕对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值围是．〔3〕sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值．29．〔2003•〕〔1〕如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角确实定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；〔2〕根据你探索到的规律，试比拟18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；〔3〕比拟大小：〔在空格处填写“＜〞或“＞〞或“=〞〕假如∠α=45°，如此sinαcosα；假如∠α＜45°，如此sinαcosα；假如∠α＞45°，如此sinαcosα；〔4〕利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比拟如下正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．30．〔2014•〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．〔1〕求sinB的值；〔2〕如果CD=，求BE的值．2016年05月16日的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2014•〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，如此tan∠CFB的值等于〔〕A． B． C． D．【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，如此BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．【解答】解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，如此BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．如此tan∠CFB==．应当选：C．2．〔2015•模拟〕如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，假如tan∠BCD=，如此tanA=〔〕A． B．1 C． D．【分析】假如想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=x，如此AC=2x，∴tanA===，应当选A．3．〔2011•〕如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，如下结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据等腰直角三角形的性质与△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式与不等式的根本性质a2+b2≥2ab〔a=b时取等号〕解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理与等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=〔a+b〕2，∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=〔a2+b2〕≥ab〔a=b时取等号〕，∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，如此MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=〔AB+ED〕=〔BC+CD〕，∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．应当选D．4．〔2011•〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，如此sin∠CAD=〔〕A． B． C． D．【分析】设AD=x，如此CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；【解答】解：设AD=x，如此CD=x﹣3，在直角△ACD中，〔x﹣3〕2+=x2，解得，x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD==；应当选A．5．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AC，如此tan∠DAC的值为〔〕A． B． C． D．【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE 中，求得∠DAC的正切值．【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E．∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°，∴BD=DC，设CD=BD=1，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，如此AD=2．在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1，如此CE=，DE=．∴tan∠DAC===．应当选C．6．〔1998•〕如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，假如cot∠BCD=3，如此tanA=〔〕A． B．1 C． D．【分析】假如想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵cot∠BCD=3，设BE=x，如此BC=3x，AC=2x，∴tanA===，应当选A．7．〔2011•黔东南州〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，假如BC=6，AC=8，如此tan∠ACD的值为〔〕A． B． C． D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，再根据等边对等角的性质可得∠A=∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD 的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴tan∠A===，∴tan∠ACD的值．应当选D．8．〔2006秋•微山县期末〕α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的两根，如此△ABC是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的围是〔0，180°〕，∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，假如tanβ＞0，如此β为锐角；tanβ小于0，如此β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC 的形状．【解答】解：由2x2﹣3x+1=0得：〔2x﹣1〕〔x﹣1〕=0，∴x=或x=1．∴sinα＞0，tanβ＞0假如sinα=，tanβ=1，如此α=30°，β=45°，γ=180°﹣30°﹣45°=105°，∴△ABC为钝角三角形．假如sinα=1，tanβ=，如此α=90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．应当选B．9．〔2011•〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，如此AC•BC的值为〔〕A．14 B．16 C．4 D．16【分析】解法一：利用二倍角公式sin2α=2sinαcosα、锐角三角函数的定义解答．解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，求出AD=CD=BD=2，求出CE、DE、BE，根据勾股定理求出BC、AC，代入求出即可．【解答】解：解法一：∵sin30°=2sin15°cos15°=，∠A=15°，∴2××=；又∵AB=8，∴AC•BC=16．解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，∵∠ACB=90°，∴AD=DC=DB=AB=4，∴∠A=∠ACD=15°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=30°，∴CE=CD=2，∴S△ABC=AC•BC=AB•CE，即AC•BC=×8×2，∴AC•BC=16应当选：D．10．〔2008•〕α为锐角，如此m=sinα+cosα的值〔〕A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进展表示，再进一步根据三角形的三边关系进展分析．【解答】解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，故sinα=，cosα=；如此m=sinα+cosα=＞1．应当选A．11．〔2007•昌平区二模〕如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．如此tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为〔〕A． B． C．1 D．【分析】根据锐角三角函数的定义，分别在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值计算．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，如此tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5=1×+×+×+×+×=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．应当选A．12．一个直角三角形有两条边长为3和4，如此较小锐角的正切值是〔〕A． B． C． D．或【分析】先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．【解答】解：当两条边长为3和4是直角边时，如此较小锐角的正切值=；当3是直角边，4是斜边时，另一条边==，如此较小锐角的正切值=．应当选D．13．〔2005•〕直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．〔1〕将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；〔2〕将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．如此tan∠DEA的值为〔〕A． B． C． D．【分析】直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，就是tan∠ABC=，根据轴对称的性质，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．【解答】解：根据题意：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，即tan∠ABC==；根据轴对称的性质，∠CBD=a，如此由折叠可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，∴tan∠DEA=tan∠ABC=．应当选A．14．〔2012•德清县自主招生〕如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，如此tan∠AEB的值等于〔〕A．3 B．2 C． D．【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．根据全等三角形与直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．如此四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，∴BE=BN．∴∠NBE=90°．∵∠ABE=45°，∴∠ABE=∠ABN，∴△NAB≌△EAB．设EC=MN=x，AD=a，如此AM=a，DE=2a﹣x，AE=AN=a+x，∵AD2+DE2=AE2，∴a2+〔2a﹣x〕2=〔a+x〕2，∴x=a．∴tan∠AEB=tan∠BNM==3．应当选A．15．〔2012•桐城市校级二模〕如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，如此sinα=〔〕A． B． C． D．【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α=∠CDF，DE=CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．【解答】解：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，即EF与l2，l3，l4都垂直，∴DE=1，DF=2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ADE+∠CDF=90°，又∵∠α+∠ADE=90°，∴∠α=∠CDF，∵AD=CD，∠AED=∠DFC=90°，∴△ADE≌△DCF，∴DE=CF=1，∴在Rt△CDF中，CD==，∴sinα=sin∠CDF===．应当选：B．16．〔2014秋•肥西县期末〕如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC 于点D，那么=〔〕A．sin∠BAC B．cos∠BAC C．tan∠BAC D．cot∠BAC【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角的平分线的性质得CD=DE，证明AB﹣AC=BE，如此=tan∠BDE，再证明∠BAC=∠BDE即可．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴CD=DE．∴Rt△ADE≌Rt△ADC〔HL〕∴AE=AC．∴==tan∠BDE．∵∠BAC=∠BDE，〔同角的余角相等〕∴=tan∠BDE=tan∠BAC，应当选C．17．〔2003•海淀区模拟〕如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，如此sinA的值为〔〕A． B． C． D．【分析】此题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC如此易证△ABE∽△ACD，∴=，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴==，设AD=2a，如此AC=5a，根据勾股定理得到CD=a，因而sinA==．故此题选B．二．填空题〔共9小题〕18．〔2014•〕如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．假如∠BPC=∠BAC，如此tan∠BPC=．【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．19．〔2009•〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线OC将△COA 折叠，使点A落在点D处，假如CD恰好与MB垂直，如此tanA的值为．【分析】根据题意有：沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，假如CD 恰好与MB垂直，可得：∠B=2∠A，且∠ACB=90°，故∠A=30°，如此tanA的值为．【解答】解：在直角△ABC中，∴∠ACM+∠MCB=90°，CM垂直于斜边AB，∴∠ABC+∠MCB=90°，∴∠B=∠ACM，OC=OA〔直角三角形的斜边中线等于斜边一半〕．∴∠A=∠1．又∵∠1=∠2，∴∠A=30°．∴tanA=tan30°=．20．〔2007•〕如图，正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．【分析】根据勾股定理求出BD的长，即BD′的长，根据三角函数的定义就可以求解．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案为：．21．〔2009•遂昌县模拟〕如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，假如BD=6，CD=3，如此sin∠DBA=．【分析】根据角平分线的性质与锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=∠DBC．在Rt△BDC中，BD=6，CD=3，如此sin∠DBA=sin∠DBC=．22．〔1998•〕如图，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC于C，DE∥AC交BC于E，假如DE=BD，如此cosA=．【分析】根据相似比与直角三角形的性质求解．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠EDC=90°，DE=AC，即AC=2DE．∵DE=BD，又∵D为AB的中点，即AD=BD，∴DE=AD，∴AD=AC，故cosA=．23．〔2011•新昌县模拟〕如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°且AB=3AD，如此tanα=．【分析】利用三角形相似的判定求出假设AE=4y，DF=y，AF=y，即可得出∠α的值．【解答】解：做AE⊥l5，垂足为E，∵直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°，∴∠BAE+∠EAD=90°，∠α+∠DAF=90°，∴∠α=∠BAE，∠AEB=∠AFD，∴△ABE∽△DAF，∵且AB=3AD，AB÷AD=3，假设AE=4y，∴DF=y，AF=y，∴tanα==，故答案为：．24．〔2001•〕如图，矩形ABCD〔AD＞AB〕中AB=a，∠BDA=θ，作AE交BD于E，且AE=AB，试用a与θ表示：AD=，BE=2a•sinθ．【分析】〔1〕根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．〔2〕过点A作AN⊥BD于N，根据等腰三角形的性质与锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵在直角△ABD中，tan=，∴AD==；过点A作AN⊥BD于N．∵AB=AE，∴BE=2BN．∵∠BAN+∠ABN=90°，∠ABN+∠θ=90°，∴∠BAN=∠θ，∴BE=2BN=2AB•sinθ=2a•sinθ．25．〔2003•〕正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=．【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，如此对角线BD=．∴BD′=BD=．∴tan∠BAD’==．26．〔2009•〕如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，如此tan∠A′BC′的值为．【分析】tan∠A'BC'的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求．因而过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在直角△A′BD中，根据三角函数的定义就可以求解．【解答】解：过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在等腰直角三角形A′B′C′中，如此A′D是底边上的中线，∴A′D=B′D=．∵BC=B′C′，∴tan∠A'BC'===．故答案为：．三．解答题〔共4小题〕27．〔2012•南岗区校级模拟〕矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，根据折叠的性质，∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE+∠BFC=90°，而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC=90°，易得∠AFE=∠BCF，在Rt△BFC，根据折叠的性质，有CF=CD，在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得：BF=6，如此tan∠BCF=；故有tan∠AFE=tan∠BCF=；答：tan∠AFE=．28．〔2012•县校级自主招生〕学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对〔sad〕．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解如下问题：〔1〕sad60°的值为〔〕A．B．1 C．D．2〔2〕对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值围是0＜sadA＜2．〔3〕sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值．【分析】〔1〕根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；〔2〕求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；〔3〕作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．【解答】解：〔1〕根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，如此三角形为等边三角形，如此sad60°==1．应当选B．〔2〕当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．〔3〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，如此AD=AC==4k，又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，AH==k．如此在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．由正对的定义可得：sadA==，即sadα=．29．〔2003•〕〔1〕如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角确实定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；〔2〕根据你探索到的规律，试比拟18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；〔3〕比拟大小：〔在空格处填写“＜〞或“＞〞或“=〞〕假如∠α=45°，如此sinα=cosα；假如∠α＜45°，如此sinα＜cosα；假如∠α＞45°，如此sinα＞cosα；〔4〕利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比拟如下正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．【分析】〔1〕根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．〔2〕根据上述规律，要比拟锐角三角函数值的大小，只需比拟角的大小．〔3〕根据概念以与等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．〔4〕注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进展比拟．【解答】解：〔1〕在图〔1〕中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图〔2〕中，Rt△ACB3中，∠C=90°，cos∠B1AC=，cos∠B2AC=，cos∠B3AC=，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＜＜．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．〔2〕sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．〔3〕假如∠α=45°，如此sinα=cosα；假如∠α＜45°，如此sinα＜cosα；假如∠α＞45°，如此sinα＞cosα．〔4〕cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．30．〔2014•〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．〔1〕求sinB的值；〔2〕如果CD=，求BE的值．【分析】〔1〕根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，如此∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；〔2〕根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，如此CE=1，从而得出BE．【解答】解：〔1〕∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；〔2〕∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x〔x＞0〕，如此AE=x，如此x2+22=〔x〕2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．。

九年级数学三角函数50道练习题（以上为标题，不计入800字）1. 已知一个角的补角是60度，求该角的大小。

2. 求解sin45°的值。

3. 已知tanθ = 1/√3，求θ的度数。

4. 求解cos30°的值。

5. 若sinθ = cos(180° - θ)，求θ的度数。

6. 求解tan60°的值。

7. 若secθ = 2，求cosθ的值。

8. 若tanθ = 2，求cotθ的值。

9. 求解sin60°的值。

10. 若sinθ = cos90° - θ，求θ的度数。

11. 已知sinθ = 1/2，求θ的度数。

12. 求解tan30°的值。

13. 若cscθ = 4/3，求sinθ的值。

14. 已知cosθ = 1/√2，求θ的度数。

15. 求解cos45°的值。

16. 若secθ = -2，求cosθ的值。

17. 如果tanθ = 4/3，求cotθ的值。

18. 求解sin30°的值。

19. 若sinθ = cos(90° - θ)，求θ的度数。

20. 已知cosθ = 1/2，求θ的度数。

21. 求解tan45°的值。

22. 若secθ = -1/2，求cosθ的值。

23. 如果tanθ = 3/4，求cotθ的值。

24. 求解sin120°的值。

25. 若sinθ - cosθ = 0，求θ的度数。

26. 已知tanθ = √3，求θ的度数。

27. 求解cos60°的值。

28. 若secθ = -√2，求cosθ的值。

29. 如果tanθ = -2/3，求cotθ的值。

30. 求解sin150°的值。

31. 若sinθ + cosθ = 1，求θ的度数。

32. 已知cotθ = 4/3，求θ的度数。

33. 求解cos75°的值。

34. 若secθ = -1/√3，求cosθ的值。

浙教数学九下《三角函数》提高测试题（含答案）一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知∠A 为锐角，且sin A ＝23，那么∠A 等于（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3,4），那么αsin 的值是（ ）A .53B .43C .54D .343．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ） A .552 B . 55 C .332 D . 334．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若23sin >A ，则下列各式成立的( ) A ．21cos >A B ．21sin <B C ．3tan >B D ．3tan <A 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值等于cos A的值的有（ ）个①ACAD ②AB AC ③BC BD ④BC CD A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（ ） A ．αsin 1 B ．αcos 1C ．tanαD ．1第2题图 第3题图 第4题图 第5题图7．在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A .不变 B .扩大5倍 C .缩小5倍 D .不能确定 8．在Rt △ABC 中，∠ ，如果31cos =B ，BC=a ，那么AC 的长是（ ） A.a 22 B. a 3C.a 10D.a 42 9．已知：如图，四边形AOBC 是矩形，以O 为坐标原点，OB ．OA 分别在x 轴．y 轴上，点A 的坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，C 点落在D 点处，则D 点的坐标为（ ）A ．)23,223(-B ．)23,323(--C ．)323,23(- D ．)33,3(-10．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，AE =3，ED =3BE ，则AB 的值为（ ）A ．6B ．5C ．32D ．33 二、填空题（每题3分，共24分）11．△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若23sin =A ，21cos =B ，则∠C ＝ ．12．在等腰Rt △ABC 中，AB =AC ，则tan B = .13．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则tan ∠B = ． 14．如图，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，34tan =α，则t 的值为____________．15．小明沿坡比为3:1的山坡向上走了100米．那么他升高了____米． 16．已知等边三角形ABC 边长为2，两顶点A ．B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴．y 轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连结则线段OC 长的最小值是 ．第10题图三、解答题（共46分）17．（6分）计算：31845sin 4)3(0-+-︒+-π．18．（6分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的三个三角函数值．19．（6分）已知，△A BC ，按如下步骤作图：（1）以A 为圆心，AC 长为半径画弧； （2）以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与前一条弧相交于点D ， （3）连接CD .若AC =6，CD =8，求sin ∠CAB 的值．20．（8分）如图，AD 是△ABC 的中线，2,22cos ,51tan ===AC C B .求：（1）BC 的长；（2）∠ADC 的正弦值.21．（8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为100米的点P处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°,∠BPO=45°．(1)求A，B之间的路程；(2)请判断此出租车是否超过了城南大道每小时60千米的限制速度？22.（10分）（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC ＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．参考答案一．选择题1．D 2．C 3．A 4．B5．C 【提示】∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠A +∠ACD =90°，∠ACD +∠BCD =90°， ∴∠A =∠BCD ， ∴cos A =BCCDAC AD AB AC ==， 故（1），（2），（4）正确．6．A 【解答】解：如图所示：过A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD 于F ，垂足为E ，F ， ∴∠AEB =∠AFD =90°，∵AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵纸条宽度都为1，∴AE =AF =1，∵平行四边形的面积=BC •AE =CD •AF ，∴BC =CD ， ∴四边形ABCD 是菱形．∴BC =AB ，∵AB AE sinα，∴BC =AB =ααsin 1sin =AE ， ∴重叠部分（图中阴影部分）的面积=BC ×AE =αsin 1×1=αsin 1． 故选：A ．7． A 8．A 9．A 解：∵点A 的坐标为（0，3），∴OA ＝3．又∵∠OAB ＝60°，∴OB ＝OA •tan ∠OAB ＝33，∠ABO ＝30°．∴BD ＝BC ＝OA ＝3．∵根据折叠的性质知∠ABD ＝∠ABC ＝60°，∴∠DBE ＝30°，∴DE ＝21,BD ＝23，BE ＝233∴OE ＝32332333=-，∴E )23,233(-． 故选：A ．10．C 【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，OA =OC ，AC =BD ，∴OA =OB ，∵BE ：ED =1：3，∴BE ：OB =1：2，∵AE ⊥BD ， ∴AB =OA ，∴OA =AB =OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD =60°，∵AE ⊥BD ，AE =3，∴AB =2，故选：C ．二．填空题11．60° 12．1．解：由等腰Rt △ABC 中，AB =AC ，得∠B =45°． tan B =tan45°=1，13．43．14．3 15．50； 16．13-．解：如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短， ∴△ABC 是等边三角形，∴CE 过点O ，E 为BD 中点，则此时EO ＝1，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝BC sin60°-21×AB ＝13-．故答案为：13-三．简答题17．解：（3－π）0＋4sin45°－8＋|1－3|＝1＋4×22－322+－1＝3 18．53cos ,54sin ,34tan ===A A A19．32 20．（1）6 （2）55 21．.解：（1）由题意知：OP =100,∠APOO ,∠BPO ， 在直角三角形BPO 中，∵∠BPO ，∴BO =PO =100米， 在直角三角形APO 中，∵∠APO ，∴AO =PB 31003=⨯米， ∴AB =AO -BO =1003100-；(2)∵从A 处行驶到B 处所用的时间为4秒，∴速度为)13(25-米/秒，∵60千米/时350米/秒，350)13(25>-∴此车超过了每小时千米的限制速度22．（1）BE ＝2AF ．理由如下： 如图1中，∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC ＝2AF ∵AB ＝AC ∴BE ＝AB ＝2AF ；（2）BE ＝2AF ，理由如下：如图2中，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴sin ∠AB ＝22．在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°，∴sin ∠FEC ＝22，又∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ．即∠FCA ＝∠ECB ．∴△ACF ∽△BCE ，∴AF BE ＝22，∴BE ＝2AF ；（3）当点E 在线段AF 上时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ＝2，在Rt △BCF 中，CF ＝2，BC ＝22，根据勾股定理得，BF ＝6，∴BE ＝BF ﹣EF ＝6﹣2，由（2）知，BE ＝2AF ，∴AF ＝3﹣1，当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴sin ∠ABC ＝22，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°， 在Rt △CEF 中，sin ∠FEC ＝22，∵∠FCE ＝∠ACB ＝45°，∴∠FCB +∠ACB ＝∠FCB +∠FCE ，∴∠FCA ＝∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴CACBAF BE＝2，∴BE ＝2AF ， 由（1）知，CF ＝EF ＝2，在Rt △BCF 中，CF ＝2，BC ＝22，根据勾股定理得，BF ＝6，∴BE ＝BF +EF ＝6+2，由（2）知，BE ＝3AF ，∴AF ＝3+1．即：当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，线段AF 的长为3﹣1或3+1．。

1.2 30°，45°，60°角的三角函数（提升练习）-2022年北师大新版数学九年级下册一．选择题1．若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（）A．①B．②C．③D．④2．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1B．2C．3D．43．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（）A．sin A+sin B＜1B．sin A+sin B＞1C．sin A+sin B＝1D．sin A+sin B≤14．已知cosα＝，且α是锐角，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．下列各式中正确的是（）A．sin46°＞cos44°B．2sin40°＝sin80°C．cos44°＜cos46°D．sin244°+sin246°＝16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．7．在直角△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么tan B＝（）A．B．C．D．8．2sin60°的值等于（）A．B．C．D．9．已知α为锐角，且2sin（α﹣10°）＝，则α等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．已知α为锐角，且满足sin（α+15°）＝，则tanα＝．12．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝．13．已知a为锐角，且tanα﹣，则sinα•cosα＝．14．△ABC中，已知（sin A﹣1）2+|tan B﹣|＝0，∠A、∠B为锐角，则∠C＝°．15．在△ABC中，若，则△ABC是三角形．三．解答题16．计算（1）cos60°+sin45°+tan30°•cos30°；（2）sin60°•cos60°+sin45°•cos45°﹣sin30°•cos30°．17．已知β是锐角，且sin（β+15°）＝，计算﹣4cosβ﹣tan45°+tanβ+tan230°．18．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求cos B．19．．20．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求sin A、cos A、sin B、cos B．。

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，在O 中，E 是直径AB 延长线上一点，CE 切O 于点E ，若2CE BE =，则E ∠的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．432．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）题目 测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图 相关数据 10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒ 3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B ．255C ．55D ．124．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B ．3米C ．2米D ．1米5．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，tan ∠B ＝2，则AC 的长为 （ ） A ．1B ．2C ．5D ．25 6．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ）A ．52B ．53C ．522D ．5327．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）8．在ABC中，(2sinA-1)2+1cos2B-=0，则ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定9．在△ABC中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形10．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34B．43C．35D．4511．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC12．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（）13．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．35B ．59C ．512D ．4514．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（ ）．（精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．44.8mB ．45.4mC ．47.4mD ．114.6m二、填空题15．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．16．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．17．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案 一、锐角三角函数1．如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B 、D 的俯角分别是 30 、60 ,此时无人机的飞行高度 AC 为 60m ，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A ' 处 .（1）求 之间的距离（2）求从无人机A ' 上看目标 的俯角的正切值.【答案】（ 1） 120 米；（ 2）23.5【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可得到结论； （2）过 A ' 作 A ' EBC 交 BC 的延长线于 E ，连接 A' D ，于是得到 A 'E AC 60 ，CE AA' 30 3 ，在 Rt △ ABC 中，求得 DC=3AC=203 ，然后根据三角函数的定义3即可得到结论． 【详解】解：（ 1）由题意得： ∠ ABD=30°， ∠ADC=60°， 在 Rt △ ABC 中， AC=60m ，60AC= 1 =120（ m ） AB=sin302（2）过 A '作 A ' EBC 交 BC 的延长线于 E ，连接 A' D ，则 A' E AC 60 ， CE AA'30 3 ，在 Rt △ ABC 中， AC=60m ， ∠ ADC=60°，DC=3AC=20 33DE=50 3tan ∠ A A ' D= tan ∠ A' DC=A ' E=602 3=DE50 3 5答：从无人机 A ' 上看目标 D 的俯角的正切值是23 ．5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为 25 海里．在某时刻，哨所 A 与哨所 B 同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所 A 北偏东 53°的方向上，位于哨所 B 南偏东 37°的方向上．（ 1）求观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离；（ 2）若观察哨所 A 发现走私船从 C 处以 16 海里 / 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据： sin37 °＝ cos53°≈，cos37 ＝sin53 °≈去， tan37 °≈2，tan76 °≈）【答案】（ 1）观察哨所A 与走私船所在的位置 C 的距离为 15 海里；（ 2）当缉私艇以每小时6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截 .【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出 ∠ ACB ＝90°，再解 Rt △ ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点 C 作 CM ⊥AB 于点 M ，易知， D 、 C 、 M 在一条直线上．解Rt △ AMC ，求出CM 、 AM ．解 Rt △ AMD 中，求出 DM 、 AD ，得出 CD ．设缉私艇的速度为 x 海里 / 小时，根据走私船行驶 CD 所用的时间等于缉私艇行驶 AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（1）在 △ ABC 中， ACB 180 B BAC 180 37 53 90 . 在 RtVABC 中， sin BAC，所以 ACAB sin 37 253 15 （海里） .AB5答：观察哨所 A 与走私船所在的位置C 的距离为 15 海里 .（2）过点 C 作 CM AB ，垂足为 M ，由题意易知， D 、 C 、 M 在一条直线上 . 在 RtVACM 中， CMAC sin CAM15 412 ，5AM AC cos CAM39 .155在 Rt △ ADM 中， tan DAMMD，AM所以 MD AM tan7636.所以 ADAM2MD2923629 17， CD MDMC 24 .设缉私艇的速度为 v 海里 / 小时，则有24 9 17，解得 v6 17 .16v经检验， v6 17 是原方程的解 .答：当缉私艇以每小时 6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截 .【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120 ° 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架 ACO ＇后，电脑转到AO ＇ B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，O ＇ C ⊥ OA 于点 C ， O ＇ C=12cm ．（ 1）求 ∠ CAO ＇的度数．（ 2）显示屏的顶部 B ＇比原来升高了多少？（ 3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏O ＇B ＇与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏O ＇ B ＇应绕点 O ＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（ 1 ） ∠ CAO ′=30° 2 36 ﹣ 12 ） cm ；（ 3）显示屏 O ′B ′ O ′ ；（ ）（ 应绕点 按顺时针 方向旋转 30°．【解析】试题分析：（ 1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠ BOD=24×=12 ，由 C、 O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏 O′B应′绕点 O′按顺时针方向旋转30°，求得∠ EO′B′=∠ FO′A=30，°既是显示屏O′应B′绕点 O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（ 1）∵ O′C⊥ OA 于 C， OA=OB=24cm，∴sin∠ CAO′=，∴∠ CAO′ =30；°（2）过点 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延长线于D，∵sin∠ BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠ AOB=120 ，°∴∠BOD=60 ，°∴ BD=OBsin∠ BOD=24 ×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′ =30，°∴∠ AO′ C=60，∵°∠ AO′ B′ =120，∴∠°AO′ B∠′+AO′ C=180，°∴O′ B′ ﹣+OBD=24+12′C﹣ 12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣ 12）cm；（3）显示屏O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠ EO′ F=120，°∴∠ FO′ ∠A=CAO′ =30，°∵∠ AO′ B′ =120，°∴∠EO′ B∠′=FO′ A=30，°∴显示屏 O′应B′绕点 O′按顺时针方向旋转 30 °．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．4．在正方形ABCD中，对角线AC， BD 交于点 O，点 P 在线段 BC上（不含点B），1∠BPE=∠ ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥ PE，垂足为F，交 AC 于点 G．2（1）当点 P 与点 C 重合时（如图1）．求证：△ BOG≌ △ POE；（2）通过观察、测量、猜想：BF，并结合图 2 证明你的猜想；=PE（3）把正方形 ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ ACB=α，求BF的PE值．（用含α的式子表示）【答案】（ 1）证明见解析（2）BF1 （ 3）BF 1tan PE 2 PE 2【解析】解：（ 1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， P 与 C 重合，∴O B="OP" ，∠ BOC=∠ BOG=90 ．°∵P F⊥ BG ，∠ PFB=90，°∴∠GBO=90 —°∠BGO，∠ EPO=90 —°∠BGO．∴∠ GBO=∠ EPO ．∴ △ BOG≌ △ POE（ AAS）．（2）BF1 ．证明如下：PE 2如图，过P 作 PM//AC 交 BG 于 M ，交 BO 于 N，∴∠ PNE=∠ BOC=900，∠ BPN=∠ OCB．∵∠ OBC=∠ OCB =450，∴ ∠ NBP=∠NPB．∴NB=NP．00∵∠ MBN=90 —∠BMN ，∠ NPE=90 —∠ BMN ，∴ ∠MBN=∠ NPE．1∵∠ BPE=∠ ACB，∠ BPN=∠ ACB，∴ ∠ BPF=∠ MPF．2∵P F⊥ BM，∴ ∠ BFP=∠ MFP=900．又∵ PF=PF，∴ △BPF≌ △ MPF（ ASA）．∴ BF="MF" ，即 BF= 1BM．21 BF 1 ∴BF= PE ， 即PE．22（ 3）如图，过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M ，交 BO 于点 N ，∴∠ BPN=∠ ACB= α， ∠ PNE=∠BOC=900．由（ 2）同理可得 BF=1BM ， ∠ MBN=∠EPN ．2∵∠ BNM=∠ PNE=900， ∴△ BMN ∽ △ PEN ．BM BN∴．PEPNBN BM，即2BF 在 Rt △ BNP 中， tan =， ∴= tan= tan ．PNPEPE∴BF = 1tan ．PE 2（ 1）由正方形的性质可由 AAS 证得 △ BOG ≌ △ POE ．（ 2）过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M ，交 BO 于 N ，通过 ASA 证明 △ BMN ≌ △ PEN 得到BF 1BM=PE ，通过 ASA 证明 △ BPF ≌ △ MPF 得到 BF=MF ，即可得出的结论．PE 2（ 3）过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M ，交 BO 于点 N ，同（ 2）证得 BF= 1BM ，2∠MBN=∠ EPN ，从而可证得 △BMN ∽△ PEN ，由BM BN和 Rt △ BNP 中 tan =BN即PEPNPN可求得BF = 1tan ．PE 25．如图，平台 AB 高为 12m ，在角为 30°，求楼房 CD 的高度（B 处测得楼房 3 ＝ 1． 7）．CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯【答案】 32．4 米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，根据题意，∠ DBE=45°，∠ CBE=30°．∵AB⊥ AC， CD⊥ AC，∴四边形 ABEC为矩形，∴C E=AB=12m，在Rt△ CBE中， cot ∠ CBE=BE，CE∴BE=CE?cot30 ° =12 ×，3 =12 3在Rt△ BDE中，由∠DBE=45°，得 DE=BE=12 3．∴CD=CE+DE=12（ 3 +1）≈32.．4答：楼房CD 的高度约为32.4m ．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．6．如图（ 1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣ 6），点 B（6， 0）． Rt△ CDE中，∠C DE=90 ，°CD=4， DE=4 ，直角边 CD 在 y 轴上，且点 C 与点 A 重合． Rt△CDE沿 y 轴正方向平行移动，当点 C 运动到点 O 时停止运动．解答下列问题：（1）如图（ 2），当 Rt△ CDE运动到点 D 与点 O 重合时，设 CE交 AB 于点 M，求∠ BME的度数．（2）如图（ 3），在 Rt△ CDE的运动过程中，当CE经过点 B 时，求 BC的长．（3）在 Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△ OAB 与△ CDE的重叠部分的面积为S 与 h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．S，请写出【答案】（ 1）∠ BME=15°；（2BC=4；（3） h≤2时， S=﹣h2+4h+8，当h≥2时， S=18﹣ 3h．【解析】试题分析：（ 1）如图 2，由对顶角的定义知，∠ BME=∠ CMA，要求∠ BME 的度数，需先求出∠ CMA 的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图 3，由已知可知∠ OBC=∠ DEC=30°，又 OB=6，通过解直角△ BOC就可求出 BC 的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图 4，作 MN ⊥y 轴交 y 轴于点 N，作 MF⊥ DE 交 DE于点F，S=S△EDC﹣ S△EFM；② 当 h≥2时，如图 3，S=S△OBC．试题解析：解：（ 1）如图 2，∵在平面直角坐标系中，点A（ 0，﹣ 6），点B（ 6， 0）．∴OA=OB，∴∠ OAB=45 ，°∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4 ，∴∠ OCE=60 ，°∴∠ CMA=∠ OCE﹣∠ OAB=60 ﹣°45 °=15 ，°∴∠ BME=∠CMA=15 °；如图 3，∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4 ∴∠ OBC=∠ DEC=30 ，°∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作，MN⊥ y 轴交y 轴于点N，作MF⊥ DE 交DE 于点F，∵C D=4， DE=4 ， AC=h，AN=NM ，∴C N=4﹣ FM， AN=MN=4+h ﹣FM，∵△ CMN∽ △ CED，∴，∴，解得 FM=4﹣，△EDC S△ EFM=× 4×4﹣（4 4 h × 4﹣= h 2∴S=S ﹣﹣）（）﹣+4h+8，②如图 3，当 h≥2时，S=S△OBC=OC× OB= （ 6﹣h ）× 6=18﹣ 3h．考点： 1、三角形的外角定理；2、相似； 3、解直角三角形7．如图，在矩形 ABCD中， AB＝ 6cm ，AD＝ 8cm，连接 BD，将△ABD 绕 B 点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（ B′与 B 重合），且点 D′刚好落在 BC 的延长上， A′D′与 CD相交于点 E．（1）求矩形 ABCD与△ A′B′D′重叠部分（如图 1 中阴影部分 A′B′CE）的面积；（2）将△ A′B′D′以每秒 2cm 的速度沿直线 BC 向右平移，如图 2 ，当 B′移动到 C 点时停止移动．设矩形ABCD与△ A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出 y 关于 x的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（ 2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△ AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（ 1）45；（ 2）详见解析；（ 3）使得 △ AA ′B ′成为等腰三角形的 x 的值有： 02 秒、3秒、66 9 ． 25【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝ BD ＝ 10， CD ′＝ B ′D ′﹣ BC ＝ 2，由 tan ∠ B ′D ′A ′＝A 'B ' CE可求出 CE ，即可计算 △ CED ′的面积， S ABCE ＝ S ABD ′﹣ S CED ′；A ' D ' CD '（2）分类讨论，当0≤x ≤11时和当11＜ x ≤4时，分别列出函数表达式；55（ 3）分类讨论，当 AB ′＝ A ′B ′时；当 AA ′＝ A ′B ′时；当 AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（ 1） ∵ AB ＝ 6cm ， AD ＝ 8cm ， ∴BD ＝10cm ， 根据旋转的性质可知A 'B ' CE∵ t an ∠ B ′D ′A ′＝A ' D ' CD '6 CE∴28∴CE ＝ 3 cm ，2∴S ABCE ＝ S ABD ′﹣ S CED ′＝ 8 6232 45 （ cm 2）；22 2（ 2） ① 当 0≤x ＜11时， CD ′＝ 2x+2， CE ＝ 3（ x+1），52△CD ′E323 ，22∴y ＝1 3 23 3 2 45 × 6×8﹣x ﹣ 3x ﹣＝﹣x ﹣ 3x+；22222② 当11 ≤x ≤4时， B ′C ＝ 8﹣ 2x ， CE ＝ 4（ 8﹣2x ） 53B ′D ′＝BD ＝10cm ， CD ′＝B ′D ′﹣ BC ＝ 2cm ，∴ y14 8 2x 2 ＝ 8 x 2﹣64x+ 128 ．2 33 3 3（3） ① 如图 1，当 AB ′＝ A ′B ′时， x ＝0 秒；② 如图 2，当 AA ′＝ A ′B ′时， A ′N ＝BM ＝ BB ′+B ′M ＝ 2x+18， A ′M ＝ NB ＝24，55∵AN 2+A ′N 2＝ 36，∴（ 6﹣24） 2+（ 2x+18） 2＝36，55解得： x ＝669， x ＝6 6 9（舍去）；55③ 如图 2，当 AB ′＝ AA ′时， A ′N ＝ BM ＝ BB ′+B ′M ＝2x+18， A ′M ＝NB ＝24，5 5∵AB 22＝ AN 2+A ′N 2+BB ′∴ 36+4x 2＝（ 6﹣24） 2+（ 2x+18） 255解得： x ＝3．2综上所述，使得 △ AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有： 0 秒、3秒、66 9 ．25【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线 DE 交 x 轴于点 E （30， 0），交 y 轴于点 D （0，140），直线 AB ： y ＝ x+5 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，交直线DE 于点 P ，过点 E 作3EF ⊥ x 轴交直线 AB 于点 F ，以 EF 为一边向右作正方形 EFGH ．（1）求边 EF 的长；（2）将正方形 EFGH 沿射线 FB 的方向以每秒10 个单位的速度匀速平移，得到正方形E 1F 1G 1H 1，在平移过程中边 F 1G 1 始终与 y 轴垂直，设平移的时间为 t 秒（ t ＞0）．① 当点 F 1 移动到点 B 时，求 t 的值；② 当 G 1，H 1 两点中有一点移动到直线DE 上时，请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1 与 △ APE重叠部分的面积．【答案】（ 1） EF ＝ 15；（ 2） ①10 ； ②120 ； 【解析】 【分析】（1）根据已知点 E （ 30， 0），点 D （0 ，40），求出直线 DE 的直线解析式 y=-4x+40，可3求出 P 点坐标，进而求出 F 点坐标即可；（2） ① 易求 B （ 0 ， 5），当点 F 1 移动到点 B 时， t=10 10 ÷ 10 =10；②F 点移动到 F'的距离是 10 t ， F 垂直 x 轴方向移动的距离是 t ，当点 H 运动到直线 DE 上时，在 Rt △ F'NF 中，NF = 1 ， EM=NG'=15-F'N=15-3t ，在 Rt △ DMH'中，MH4 ，NF 3EM 31 45 1023 ；当点 G 运动到直线 PK = 1t=4 ， S= × (12+) × 11=DE 上时，在 Rt △ F'PK 中，，248F K 3PK=t-3， F'K=3t-9，在 Rt △PKG'中，PK＝t 3 ＝ 4， t=7，S=15×（ 15-7） =120.KG15 3t 9 3【详解】（ 1）设直线 DE 的直线解析式 y ＝ kx+b ，将点 E （ 30， 0），点 D （ 0， 40），30k b 0∴，b 40k4∴3 ，b 404 ∴ y ＝﹣ x+40，3直线 AB 与直线 DE 的交点 P （ 21， 12），由题意知 F （ 30，15），∴ E F ＝ 15；（ 2） ① 易求 B （ 0， 5），∴BF ＝ 10 10 ，∴当点 F 1 移动到点 B 时， t ＝ 10 10 10 ＝ 10；② 当点 H 运动到直线 DE 上时，F 点移动到 F'的距离是 10 t ，在 Rt △ F'NF 中，NF = 1，NF3∴ FN ＝ t ， F'N ＝ 3t ， ∵MH' ＝ FN ＝ t ，在 Rt △ DMH' 中，MH 4，EM3∴t4，15 3t3∴ t ＝4，∴EM ＝3， MH' ＝ 4，∴S ＝ 1 (12 45)11 1023 ；2 48当点 G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10 t，∵P F＝ 3 10∴PF'＝10，t﹣ 310 ，在Rt△ F'PK中，PK 1 ，F K 3∴PK＝ t﹣3， F'K＝ 3t﹣ 9，PK t 3＝4在 Rt△ PKG'中，＝3t ，KG 15 9 3∴t＝7，∴S＝15 ×（ 15﹣ 7）＝ 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．如图 1，以点 M（－ 1， 0）为圆心的圆与y 轴、 x 轴分别交于点A、 B、 C、D，直线 y＝－x－与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F．（1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；（2）如图 2，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP: PH＝3 :2，求 cos∠ QHC 的值；（3）如图 3，点 K 为线段 EC上一动点（不与 E、 C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT交 x 轴于点 N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝ a，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（ 1） OE=5， r=2， CH=2（ 2）；（3）a=4【解析】【分析】5；连接（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得 E 的坐标，即可得到OE的长为MH ，根据△ EMH 与△ EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠ EHM=90°，可知CH 是 RT△ EHM 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH 的长；（2）连接 DQ、 CQ．根据相似三角形的判定得到△ CHP∽ △ QPD，从而求得DQ 的长，在直角三角形CDQ 中，即可求得∠ D 的余弦值，即为cos∠ QHC的值；（3）连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90 ，°∠3=∠ 4，故∠ AKC=∠ MAN ，再由△ AMK∽ △ NMA 即可得出结论．【详解】（1） OE=5， r=2， CH=2（2）如图 1，连接 QC、 QD，则∠ CQD =90°，∠ QHC =∠ QDC，易知△ CHP∽ △ DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图 2，连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，则由于，，故，；而，故在和中，；故△ AMK∽ △NMA;即：故存在常数，始终满足常数 a="4"解法二：连结BM，证明∽得10．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东 36.5 方向上，距离 5 千米处是村庄M，在点A北偏东 53.5 方向上，距离 10 千米处是村庄 N ；要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P (取点 P 在AB上)，使得M，N两村庄到 P 站的距离之和最短，请在图中作出P 的位置（不写作法）并计算：（1）M，N两村庄之间的距离；（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据： sin36.5 ＝°0.6， cos36.5 °＝ 0.8， tan36.5 °＝0.75 计算结果保留根号 .）【答案】 (1) M， N 两村庄之间的距离为29 千米;(2)村庄M、N到P站的最短距离和是5 5 千米．【解析】【分析】（1）作 N 关于 AB 的对称点 N'与 AB 交于 E，连结 MN’与 AB 交于 P，则 P 为土特产收购站的位置．求出 DN， DM ，利用勾股定理即可解决问题．（2）由题意可知，M、 N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是MN′的长．【详解】解：作 N 关于 AB 的对称点 N'与 AB 交于 E，连结 MN ’与 AB 交于 P，则 P 为土特产收购站的位置．（1）在 Rt△ANE 中， AN=10，∠NAB=36.5 °∴NE=AN?sin∠ NAB=10?sin36.5 ，°=6AE=AN?cos∠ NAB=10?cos36.5 °，=8过M 作 MC⊥ AB 于点C，在 Rt △ MAC 中， AM=5， ∠ MAB=53.5 °∴AC=MA ?sin ∠AMB=MA?sin36.5 ，° =3MC=MA ?cos ∠AMC=MA ?cos36.5 °，=4 过点 M 作 MD ⊥ NE 于点 D ，在 Rt △ MND 中， MD=AE-AC=5， ND=NE-MC=2，22 2= 29 ，∴MN = 5即 M ，N 两村庄之间的距离为 29 千米．（2）由题意可知， M 、 N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是 MN ′的长． DN ′ =10， MD=5，在 Rt △ MDN ′中，由勾股定理，得 MN ′=52102 =5 5 （千米）∴村庄 M 、 N 到 P 站的最短距离和是 5 5 千米．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11． 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90°， ∠ A ＝ 30°， AB ＝4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点B 运动．过点 P 作 PD ⊥ AC 于点 D(点 P 不与点 A ，B 重合 )，作∠ DPQ ＝ 60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（ 1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长： _________________ ； （ 2）当 t =__________时，点 Q 与点 C 重合时；（ 3）当线段 PQ 的垂直平分线经过 △ ABC 一边中点时，求出 t 的值．【答案】（ 1）；（ 2） 1；（ 3） t 的值为 或 或 .【解析】【分析】（ 1）先求出 AC ，用三角函数求出 AD ，即可得出结论； （ 2）利用 AQ=AC ，即可得出结论；（ 3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（ 1） ∵ AP= , AB=4,∠ A ＝30°∴ A C=, AD=∴CD=；（ 2） AQ=2AD=当AQ=AC时， Q 与 C 重合即=∴t=1 ；（3）①如图，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点 F 时，∴∠ PGF＝ 90 °， PG＝ PQ＝AP＝ t， AF＝ AB＝ 2.∵∠ A＝∠ AQP＝ 30 °，∴ ∠ FPG＝ 60 °，∴ ∠ PFG＝30 °，∴ PF＝2PG＝ 2t，∴AP＋PF＝2t ＋2t ＝2 ，∴ t ＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点 N 时，∴∠ QMN＝ 90 °， AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△ NMQ 中，∵AN＋NQ＝ AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点 F 时，∴B F＝ BC＝1， PE＝ PQ＝ t，∠ H＝ 30 °.∵∠ ABC＝ 60 °，∴ ∠ BFH＝ 30 °＝∠ H，∴ BH＝ BF＝ 1.在Rt△ PEH中， PH＝ 2PE＝2t.∵AH＝ AP＋ PH＝ AB＋ BH，∴ 2t＋ 2t＝ 5，∴ t＝ .即当线段PQ 的垂直平分线经过△ ABC一边中点时，t 的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在 Rt△ BDC中，根据tan∠ BDC= 求出BC，接着在Rt△ ADC中，根据tan∠ ADC= = 即可求出AB 的长度【详解】解：∵在 Rt△ BDC 中， tan∠ BDC==1，∴ BC=CD= 40m 在Rt△ ADC中， tan∠ADC= =∴tan50 =°=1.19∴AB7.6m答：旗杆AB 的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用13．已知抛物线y＝﹣1x2﹣2x+2 与x 轴交于点A， B 两点，交y 轴于 C 点，抛物线的对6 3称轴与x 轴交于H 点，分别以OC、 OA 为边作矩形AECO．(1)求直线AC 的解析式；(2)如图， P 为直线 AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点面积最大时，求|PM ﹣ OM| 的值．M ，当四边形AOCP(3)如图，将△ AOC 沿直线 AC 翻折得△ ACD，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△ A'C ′．D'使得点 A′、 C'在直线 AC 上，是否存在这样的点D′，使得△ A′ED为′直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1) y＝1x+2； (2) 点 M 坐标为（﹣ 2，5）时，四边形AOCP的面积最大，此时3 3| PM﹣ OM| 有最大值61 ； (3)存在， D′坐标为：（ 0， 4）或（﹣ 6， 2）或（ 3 ，19 ）．6 5 5 【解析】【分析】（1）令 x＝0，则 y＝2 ，令 y＝ 0，则 x＝ 2 或﹣ 6，求出点 A、B、 C 坐标，即可求解；（2）连接 OP交对称轴于点 M，此时， | PM﹣ OM| 有最大值，即可求解；（3）存在；分① A′D′⊥ A′E；② A′D′⊥ ED′；③ ED′⊥ A′E 三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令 x＝0，则 y＝2 ，令 y＝ 0，则 x＝ 2 或﹣ 6，∴ A（﹣ 6，0）、 B（ 2， 0）、 C（ 0，2），函数对称轴为： x＝﹣ 2，顶点坐标为（﹣ 2，8）， C 点坐标为（ 0， 2），则过点 C 3的直线表达式为：y＝kx+2，将点 A 坐标代入上式，解得： k 1，则：直线 AC 的表达式3为： y 1x+2；3（2）如图，过点P 作 x 轴的垂线交 AC 于点 H．四边形 AOCP面积＝△ AOC的面积 +△ ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ ACP的面积最大即可，设点1m22m+2），则点 G 坐标为（ m，1P 坐标为（ m，3m+2），6 3△ACP 1 1 1 m 221 1 m 2﹣ 3m，当 m＝﹣ 3 时，上式S PG?OA ?（m+2 m﹣ 2） ?622633 2取得最大值，则点 P 坐标为（﹣ 3 ， 5）．连接 OP 交对称轴于点 M ，此时， | PM ﹣ OM| 有2 最大值，直线 OP 的表达式为： y5 x ，当 x ＝﹣ 2 时， y5 6 ，即：点 M 坐标为（﹣ 2，35）， | PM ﹣ OM| 的最大值为：( 3 2)2(55)222( 5)2= 61 ． 32 336（3）存在．∵AE ＝ CD ， ∠AEC ＝ ∠ ADC ＝90 °， ∠EMA ＝∠ DMC ，∴ △ EAM ≌ △DCM （ AAS ）， ∴EM ＝ DM ， AM ＝ MC ，设： EM ＝ a ，则： MC ＝ 6﹣ a ．在 Rt △DCM 中，由勾股定理得： MC 2＝DC 2+MD 2，即：（ 6﹣ a ） 2＝ 22+a 2，解得： a810，则： MC，过点 D 作 x 轴的垂线交 x33轴于点 N ，交 EC 于点 H ．在 Rt △ DMC 中，1DH?MC 1 MD?DC ，即： DH 108 2，223 38， HCDC 2DH 26 ，即：点 D 的坐标为（6 18则： DH5 ， ）；55 5设： △ ACD 沿着直线 AC 平移了 m 个单位，则：点 A ′坐标（﹣ 3m m ），点 D ′坐标610，10为（6 3m 18 m ），而点 E 坐标为（﹣ 6，2），则5，1010 5A' D '2= ( 6 6 )2( 18 )2 =36，A 'E 2= (3m)2( m 2) 2 = m 2 4m 4 ，5 5 10 10 10 2243m 2 8 m 22 32 m 128 △ A ′ED ′= () () = m．若ED '10 105为直角三角形，分三种情5105况讨论：① 当 A ' D '2+ A ' E 2 = ED '2时， 36+ m 24m4 = m 2 32m 128 ，解得： m=210 ，1010 55此时 D ′（63m 18m 0， 4）；510 ，）为（510② 当 A ' D '2 + ED '2 = A ' E 2 时， 36+ m 232m 128 =m 24m4 ，解得：10 5 10m= 8 106 3m 18 m ，此时 D′（10，105 5 5）为（－ 6，2）；③当 A' E 2 + ED '2 = A' D '2时，m24m4+m232m 12810 10 5=36，解得： m=8 105或 m= 10 6 3m 18 m6， 2）或（-319 ）．，此时 D′（10，）为（－，5 5 5 10 5 5综上所述： D 坐标为：（ 0， 4）或（﹣ 6，2）或（-3，19 ）．5 5【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（ 3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A′、D′的坐标，本题难度较大．14．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），① 当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；② 求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（ 1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为 3 或；（3）点，，，构成的四边形的面积为： 6 或或.【解析】【分析】（1）把点 A 坐标代入直线表达式y＝，求出 a＝ - 3，把点 A、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点 P（ m，）， N（ m，）求出 PN 值的表达式，即可求解；②分∠ BNP＝ 90°、∠ NBP＝ 90°、∠BPN＝ 90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线 AB 的距离是 h ，则只能出现：在 AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N，在直线 AB 上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（ 1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）① ∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是 3 ，② 当时，点的纵坐标为 -3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或 0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为 -1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或 0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个 .当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：则点作，解得：、的横坐标分别为交直线于点，，，，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：，同理：，故：点，，，构成的四边形的面积为： 6 或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（ 3）中确定点N 的位置是本题的难点，核心是通过△ ＝0，确定图中N 点的坐标．15．如图，正方形ABCD的边长为2 +1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、 BD 于 E、 F，（1）求证：△ ABF∽ △ ACE；（2）求 tan∠BAE 的值；（3）在线段 AC 上找一点 P，使得 PE+PF最小，求出最小值．【答案】（ 1）证明见解析；（2） tan∠ EAB＝2﹣ 1；（ 3） PE+PF的最小值为2 2．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图 1 中，作 EH⊥ AC 于 H．首先证明 BE=EH=HC，设 BE=EH=HC=x，构建方程求出 x 即可解决问题；（3）如图 2 中，作点 F 关于直线AC 的对称点H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ ACE＝∠ ABF＝∠ CAB＝ 45 °，∵AE 平分∠ CAB，∴∠ EAC＝∠ BAF＝ 22.5 ，°∴△ ABF∽ △ ACE．（2）解：如图 1 中，作 EH⊥ AC 于 H．∵EA 平分∠CAB，EH⊥ AC， EB⊥ AB，∴BE＝EB，∵∠ HCE＝ 45 °，∠ CHE＝ 90 °，∴∠ HCE＝∠HEC＝ 45 °，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝ HC，设 BE＝HE＝ HC＝ x，则 EC＝2 x，∵BC＝ 2 +1，∴x+x＝2 +1，∴x＝ 1，在Rt△ ABE中，∵ ∠ABE＝ 90°，∴tan∠ EAB＝BE＝ 1＝2 ﹣1．AB 2 1（3）如图 2 中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时PF+PE的值最小．作 EM⊥ BD 于 M ． BM＝EM＝ 2 ，2∵AC＝AB 2BC2＝2+2，∴OA＝OC＝ OB＝1AC＝22 ，2 2∴OH＝OF＝ OA?tan∠ OAF＝ OA?tan∠ EAB＝2 2（2﹣1）＝ 2 ，2 2∴HM ＝OH+OM＝22 ，22 2在 Rt△ EHM 中， EH＝EM 2 HM 2＝ 2 2 2 ＝ 2 2 ．．2 2∴PE+PF的最小值为2 2 ．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

2024年数学九年级三角函数专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知角A是锐角，sinA = 3/5，则cosA的值为（）A. 4/5B. 3/4C. 4/3D. 2/32. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，若sinA = cosB，则∠A的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 下列函数中，最小正周期为π的是（）A. y = sin2xB. y = cos3xC. y = tanxD. y = cot2x4. 若0°＜α＜90°，则下列各式中正确的是（）A. sinα＜cosαB. tanα＜cotαC. sinα＜tanαD. cosα＜tanα5. 已知0°＜θ＜90°，且sinθ = √3/2，则cosθ的值为（）A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. 1/√36. 在直角坐标系中，点P（2，√3）位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知sinα = 1/2，则cosα的值可能是（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/28. 若0°＜θ＜90°，且tanθ = 1，则sinθ的值为（）A. 1B. 1/√2C. √2/2D. √3/29. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，则这两个角的度数之和为（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°10. 已知sinα = cos(90° α)，则α的取值范围是（）A. 0°＜α＜45°B. 45°＜α＜90°C. 90°＜α＜135°D. 135°＜α＜180°二、判断题：1. 在直角三角形中，锐角的正弦值随着角度的增大而增大。

2021中考数学复习 考点提分训练——专题二十六：锐角三角函数一、选择题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=4，则sinA 的值为（ ）A. B. C. D.2．已知在Rt ABC 中，90︒∠=C ，B β∠=，5AB =，那么AC 的长为（ ） A ．5cos βB ．5sin βC ．5cos βD ．5sin β3．小明沿着与地面成30º的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）A ．1米B ．3米C ．23米D ．233米 4.等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A .513 B.1213 C .1013 D .5125.在△ABC 中，若， 则∠C 的度数为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120° 6．若α是锐角，tan α•tan50°=1，则α的值为（ ） A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°7.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，4），那么sin α的值是（ ）A. B. C. D.8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列式子正确的是（ ）A ．cosB ＝ B ．sin B ＝C ．tan B ＝D ．tan B ＝9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，则cos A 的值是（ ）A ．35 B ．45 C ．34D ．52 10．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠ABD=34，则线段AB 的长为（ ）A ．7B ．27C ．5D ．1011．如图，电线杆的高度为CD ＝m ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（点A 、点D 、点B 在同一条直线上），若∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．m cos α12．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠CAB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．213．如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，AB 与地面夹角为α，当梯顶A 下滑1m 到A ′时，梯脚B 滑到B ′，A 'B '与地面的夹角为β，若tan α＝，BB '＝1m ，则cos β＝（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④15．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC=且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．83二、填空题1.已知α、β是锐角，且cot α＜cot β，则α、β中较小的角是________．2.已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______.3. 已知△ABC 中，∠C ＝90°，tanA •tan50°=1，那么∠A 的度数是_______.4. 在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4，BD ＝7，则sinA ＝ ， tanB ＝ .5.如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE=CE ，连接BE ，则tan ∠EBC=________．6. 如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900- α）＝_____________.7．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．8．如图，点D 是ABC 内一点，且90BDC ∠=︒，2AB =，3AC =，30BAD CBD ∠=∠=︒，AD =________．9.小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A 处测得点D 的俯角α为30°，测得点C 的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC 为30米，则图书大厦CD 的高度为________米.10．如图所示是一条宽为1.5m 的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD 的宽AB 为1m ，若要想顺利推过 （不可竖起来或侧翻） 直角走廊，平板车的长AD 不能超过____m ．（精确到0.1，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73）三、解答题 1.计算：①﹣+|﹣|+2sin45°+π0+（）﹣1．② ︒+︒⋅︒30tan 45cos 45sin③︒⨯︒45cos 2260sin 212．如图，在△ABC 中，tan C ＝，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．3. 雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C 处(C 与塔底B 在同一水平线上)，用高1.4米的测角仪CD 测得塔项A 的仰角α=43°(如图)，求这座“千年塔”的高度AB(结果精确到0.1米).（参考数据：tan43°≈0.9325, cot43°≈1.0724）4.五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）5．如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH=4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50°．求此山的高度AB．（参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2）6．如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）7.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）8．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】。

ADMNO 九年级三角函数练习提高题一、.选择题1.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ⊥BD 于点O ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F , AD ＝4,BC ＝8,则AE ＋EF 等于（）A ．9B ．10C ．11D ．12 2．如图,一个小球由地面沿着坡度i =1∶2的坡面向上前进了10 m,此时小球距离地面的高度为（ ）A ．5 mB ．52mC ．54mD ．310m 3．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝45,则tanB ＝（ ） A ．43 B ．34 C ．35 D ．454. 如图所示,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE ⊥AB,垂足为E,sin A=53,则下列结论正确的个数有①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102= A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个5.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P （2,2）,点Q 在y 轴上,△PQO 是等腰三角形,则满足条件的点Q 共有 A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6.设x 为锐角,若x sin =3K-9,则K 的取值范围是 A. 3<K B. 3103<<K . C. 3103<>或K D. 310<K 7.如图所示,正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,点M 、N 分别为OB 、OC 的中点,则cos ∠OMN 的值为 A ．12B ．22 C ．32D ．1第2题图8.如图,梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,G 是BD 的中点． 若AD = 3,BC = 9,则GO : BG =（ ）．A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．11 : 20二、填空题1、.如图,射线AM,BN 都垂直于线段AB,点E 为AM 上一点,过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE,BN 于点F,C,过点C 作AM 的垂线CD,垂足为D,若CD ＝CF,则ADAE。

九年级数学三角函数综合练习1、用三角函数的定义求出∠A的正弦，余弦，正切。

〔8分〕A2、在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。

〔8分〕1〕求AB的长；2〕求sinA、cosA的值；〔3〕求sin2A cos2A的值；4〕比拟sinA、cosB的大小。

3、填空：〔6分〕〔1〕在Rt△ABC中，∠C＝900，a5，b2，那么sinA＝〔2〕在Rt△ABC中，∠A＝900，如果BC＝10，sinB＝，那么AC＝。

〔3〕在RtABC中，C＝90，c=8,sinA=1，那么b=.44、选择：〔9分〕〔1〕在Rt△ABC中，∠C＝900，tanA13，AC＝6，那么BC的长为〔〕A 、6 B 、5 C 、4 D 、2〔2〕RtABC中，C＝90，AC4，BC3,cosB的值为〔〕A、1B、3C、4D、3 5534〔3〕ABC中，C＝90，tanA1，那么sinB的值是〔〕A、3B、2C、1D、225、填下表：(9分)三角函数30o45o60osincostan6、计算：〔4×4=16分〕〔1)sin30o+cos45o; (2)sin 260o+cos260o-tan45o.〔3〕sin30 2?cos45 sin60?tan604 2sin45 3(sin60 2cos30) tan307、〔6分〕如图,身高的小丽用一个两锐角分别是30o和60o的三角尺测量一棵树的高度.她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?8、在Rt ABC中，C＝90 ，A=30°，AB=4。

求BC，AC的长。

〔6分〕9、用计算器求以下余弦值，并用“<〞连接：〔6分〕°,cos85°,cos63°36’15〞,cos54 °23’,cos38°39’52〞你从这些能找到什么规律。

10、计算sin2270tan420tan480sin2630＝。