对数的运算教学设计

《对数与对数运算》（第一课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节)一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.二、教学目标设置1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；3.感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。

根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析1.认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.2.问题诊断对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是：“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.四、教学策略分析本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例.五、教学过程设计1.对数概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数x与碳14的含量P间的关系为：1()2x P.但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按11024来计算），一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？问题1：（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？【预设的答案】12，18；10；不能【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.【数学情境】解方程：（1）2x=2；（2）2x=3；（3）2x=4.【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题.问题2：以上几个问题的共同特征是什么？【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幂，求指数x .1.2探究典例，形成概念活动：解方程：（1）2x =2； （2）2x =3； （3）2x =4.【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3：以引例中的2x =3为例，分析x 的值存在吗？如果存在，符合条件的x 的值有几个？能估计出x 的大致范围吗？【活动预设】（1）根据函数图象，思考等式2x =3中指数x 的存在性，唯一性和大致范围；（2）类比：在学习求方程x 3=2的根时，为了表示底数x ，引入了数学符号：√，表示3次方为2的数；这里，我们引入对数符号来表示指数x ,将x 记作log 23.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x 的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4：结合方程2x =3来思考，x =log 23中log 23表示什么？【活动预设】（1）分析log 23表示的含义；（2）感受：以2x =4为例，分析指数x 可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么. 教师讲授：若a x =N （a >0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.问题5：指数式与对数式是等价的，但a ，x ，N 在两个式子中的名称一样吗？【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。

《对数的运算》教学设计 1．理解对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用； 2．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；
3．能够利用对数的运算性质、换底公式解决问题，提升数学运算核心素养．
教学重点：对数的运算性质，换底公式．
教学难点：对数运算性质的得出，对数换底公式的推导．
PPT 课件，计算器．
（一）新知探究
1．对数的运算性质 问题1：因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？
师生活动：学生分组讨论交流，教师引导学生从对数与指数间的关系思考．
预设的答案：通过上节课的学习，我们知道了对数是通过指数幂的形式定义出来的，因此对数运算是由指数幂运算衍生出来的．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算．对于对数运算，我们也可以通过指数幂运算推导对数运算的性质． 设计意图：明确研究的内容，新旧知识产生联系，激发学生的探究欲望． 追问1：请回忆指数幂的运算性质．
师生活动：个别提问回答．
预设的答案：对于任意实数r ，s ，均有下面的指数幂运算性质．
（1）()0,,r s r s a a a a r s +=>∈R ；
（2）()()0,,s r rs a a a r s =>∈R ；
◆教学目标 ◆教学重难点
◆ ◆课前准备
◆教学过程。

对数教学设计【优秀5篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质。

2. 掌握对数的定义及其运算法则。

3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 幂函数：定义、性质及应用。

2. 指数函数：定义、性质及应用。

3. 对数函数：定义、性质及应用。

4. 对数的运算法则：乘法法则、除法法则、幂法则、对数换底公式。

三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质，对数的运算法则。

2. 难点：对数函数的应用，对数的运算法则的推导和应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质和对数运算法则。

2. 利用例题和练习题，让学生通过自主学习和合作交流，巩固所学知识。

3. 运用信息技术辅助教学，展示函数图像，增强学生对函数性质的理解。

五、教学过程：1. 导入：通过复习幂函数、指数函数的概念和性质，引出对数函数的概念。

2. 新课讲解：讲解对数函数的定义、性质和对数运算法则，结合实例进行解释。

3. 例题讲解：分析并解决有关对数函数的例题，让学生掌握对数函数的解题方法。

4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，合作交流解题心得，教师进行点评和指导。

6. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对幂函数、指数函数、对数函数概念及其性质的掌握情况。

2. 练习题完成情况：检查学生对对数函数及其运算法则的应用能力。

3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思：2. 针对学生的薄弱环节，调整教学策略，提高教学效果。

3. 探索更多有效的教学方法，激发学生的学习兴趣。

八、拓展与延伸：1. 引导学生思考实际生活中的幂函数、指数函数和对数函数现象，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。

2. 介绍对数函数在其他学科领域的应用，如物理学、生物学等，拓宽学生的知识视野。

高中数学对数计算教案大全一、教学内容：对数的概念和基本计算二、教学目标：1. 了解对数的概念和性质；2. 能够熟练地进行对数的基本运算；3. 能够应用对数计算解决实际问题。

三、教学重点和难点：1. 对数的概念和性质；2. 对数的基本运算；3. 对数计算在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：通过教师讲解和示范，让学生掌握对数的概念和基本运算；2. 案例演练法：通过实例演练，让学生熟练掌握对数的应用方法；3. 课堂互动法：通过提问、讨论和小组合作等形式，激发学生学习的兴趣和动力。

五、教学内容和方法：1. 对数的定义和性质（10分钟）- 讲解对数的定义，解释对数的含义和特点；- 讲解对数的性质，包括对数的唯一性、对数的运算规则等。

2. 对数的基本运算（20分钟）- 讲解对数的加法、减法、乘法和除法的运算规则；- 给出相关示例，让学生进行练习。

3. 对数计算的应用（30分钟）- 讲解对数在实际问题中的应用，如物理、化学、生物等领域；- 给出一些实际问题，让学生应用对数进行计算和解答。

4. 讲解课后作业（10分钟）- 布置相关的课后作业，加强学生对对数计算的练习和巩固。

六、教学评估：1. 学生课堂表现：包括学生在课堂上的参与度、思维活跃度等方面；2. 学生作业完成情况：评价学生对对数计算的掌握和运用能力；3. 学生学习成绩：通过考试和测验等形式，检查学生的学习效果和掌握程度。

七、教学反思：教师应及时总结教学效果，分析学生的学习情况，及时调整教学方法和内容，不断提高教学质量和效果。

同时，鼓励学生主动思考和探索，培养其对数计算能力，提高其数学素养和实际运用能力。

《对数运算》教学设计教学设计一、情境导学，提出问题一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？分析：（1）这是同学们熟悉的指数函数的模型，易得511232⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）可设取x 次，则有10.1252x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 抽象出：10.1252xx ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭？ 设计意图：借用古代的实例，在课堂中渗透数学文化，同时通过列式，让学生自然感受到指数运算和对数运算的内在联系，使得概念的生成自然、流畅，一气呵成.生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的.二、新知探究1.提出问题：猜猜看，括号里分别是什么数？（1）22=（ ），62=（ ）.（2）2（ ）=8，2（ ）=64，2（ ）=1024. （3）3（ ）=9，3（ ）=81，3（ ）=20.2.引出对数的概念.（1）对数的概念：在表达式(01,(0,))b a N a a N =>≠∈+∞且中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N b =，而且，a 称为对数的底数，N 称为对数的真数.（2）注意：①对数的书写格式：log a N .②底数的限制：0a >且1a ≠.真数的限制：0N >.③指数式与对数式的互化：例如上面的猜一猜题目，就可以引导学生来转化，如328=，则23log 8=.设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备.同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误.（3）对数式和指数式的对应：对数底数 ← a → 幂底数对数 ← b → 指数真数 ← N → 幂(01,0)a a N >≠>且思考：①为什么对数的定义中要求底数0a >且1a ≠？②是否所有的实数都有对数呢？学生观察和分析，并得出结论：对数的基本性质：负数和零没有对数.设计意图：让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a ，b 和N 位置的不同，及它们的含义，体会等价转化这个重要的数学思想.（4）两种特殊对数.①常用对数：以10为底的对数10log N ，简记为：lg N .②自然对数：以无理数e=2.718 28…为底的对数log e N ，简记为：ln N （在科学技术中，常常使用以e 为底的对数）.注意两个重要对数的书写.设计意图：掌握两个重要的对数，为以后的解题以及换底公式做准备.3.对数的基本性质及对数恒等式.探究活动1 求下列各式的值：（1）3log 1=_______；（2）lg1=______；（3）0.5log 1=_______；（4）lg1=______.思考：你发现了什么？结论：1的对数为零，即log 10(01)a a a =>≠且，类比：01(01)a a a =>≠且. 设计意图：通过练习与讨论的方式，让学生理解并掌握“1的对数为0”这一结论.探究活动2 求下列各式的值：（1）3log 3=______；（2）lg10=_______；（3）0.5log 0.5=_______；（4）ln e =_______.思考：你发现了什么？结论：底数的对数为1，即log 1(01)a a a a =>≠且，类比：1(01)a a a a =>≠且. 探究活动3 求下列各式的值：（1）2log 32=_______；（2）7log 0.67=______；（3）0.4log 890.4=_______.思考：你发现了什么？结论：对数恒等式：log (01,0)a N a N a a N =>≠>且.探究活动4 求下列各式的值：（1）43log 3=_______；（2）50.9log 0.9=______；（3）8ln e =_______.思考：你发现了什么？结论：对数恒等式：log (01)b a a b a a =>≠且.三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）45625=；（2）61264-=；（3）1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭； （4）12log 164=-；（5）lg 0.012=-；（6）ln10 2.303=.教师进行方法总结：（1）指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用log (01,0)x a a N N x a a N =⇔=>≠>且互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置.（2）在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.例2 求下列各式中的x 的值：（1）642log 3x =-； （2）log 86x =； （3）lg100x =； （4）2ln e x -=.教师进行方法总结：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数.例3 若()235log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，求x 的值.解 ()235log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，()35log log 1x ∴=，5log 3x ∴=，35x ∴=.教师进行方法总结：此类题型应利用对数的基本性质或对数恒等式从整体入手，结合指对互化由外到内逐层深入来解决问题.1log 0a N N =⇒=； log 1(01,0)a N N a a a N =⇒=>≠>且使用频繁，应在理解的基础上牢记.课堂练习1.将下列指数式写成对数式：（1）4216=； （2）31327-=； （3）520a =； （4）10.452b⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.将下列对数式写成指数式：（1）5log 1253=；（2）log 32=-；（3）10log 1.069a =-.3.求下列各式的值：（1）2log 64；（2）9log 27.设计意图：本练习让学生独立思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解.要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质.四、小结与作业1.小结.（1）什么是对数？研究对数的基本方法是什么？（2）指数式和对数式的区别和联系是什么？（3）认识新知的过程总结.⎧⎨⎩指数与对数之间的关系对数的概念常用对数，自然对数基本性质和对数恒等式log log 10,log 1(01),log (01,0)a a a N b a a a a a N a b a a N ⎧⎪==>≠⎨⎪==>≠>⎩负数和零没有对数且且设计意图：使学生能从对数概念的学习中，再次体验研究新问题、新事物的一般方法，帮助学生梳理所学知识，同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用，为下节课的学习打下扎实的基础.2.布置作业.（1）必做题：教材第19～20页练习A 第1～5题，练习B 第1～6题.（2）思考题：当0a >且1a ≠，0N >时，证明：（1）log a N a N =；（2）log b a a b =.3.提高训练.（1）已知x 满足等式()532log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，求8log x 的值.（2）求值： 2.51log 6.25lg 100++. 板书设计教学研讨本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生学习对数的兴趣.在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，让学生通过自主探究，归纳得出对数的基本性质，并能够从本质上理解一些常见的题型，使思维得到适当的发散，由这节课学习的知识类比、联想，更深刻地挖掘一些东西.借助多媒体的动态演示，生动形象地刻画指数式和对数式的互相转化过程，突出本节课的重点.。

对数教案：引导学生全面认识数学，激发学习兴趣）对数是我们生活中普遍存在的数学现象，我们可以在人类的历史中看到对数的普及与应用。

对数在科学技术中有广泛的应用，如在电力、通信、计算机等领域中扮演着重要的科技角色。

秉持这样的信仰，所以对数教学是我们了解数学、激发学习兴趣的重要途径。

对数是数学教学中的重要部分，其学习过程牵涉到人类思维能力的训练和发展。

在教学中，引导学生全面认识对数，能更准确的应用对数，是非常重要的。

同时，激发学生兴趣，提升学生的学习态度，使他们更有自主学习精神，更具有自我学习能力，也是教学的重要目标。

教学中要从学生的个性、年龄和知识背景等因素出发，有针对性的安排教改措施。

对于初学者，需要先从实际问题入手，理解对数的概念，然后逐步学习对数公式、运算、特征及其应用。

在学习对数过程中，采用实际问题辅助，可以使学生更好的理解与应用对数。

例如，引导学生理解对数的定义：log_a b ，a为底数，b为真数，且a >0 ，且a≠1 。

教师可以通过实际例子来说明对数的概念，如检测露天矿山放炸药的声音分贝，或者体积量分数的计算等，可以使学生容易理解、快速吸收。

同时，在教学过程中，多采用一些丰富多样的教学手段，如幻灯片、教学视频、知识问答、翻转课堂等等。

这些教学手段能够极大的激发学生的学习兴趣，使他们更有兴趣学习数学知识，便于更加全面深入的了解对数的知识。

值得注意的是，形成优秀的数学思维需要有大量的练习，这种实践训练是学生自主学习的重要内容。

在教学过程中，通过长时间的训练，能够逐渐形成良好的解题思路，加深数学基本概念的印象和理解，同时可以弥补学生在数学技能方面存在的短板。

对数教学是我们了解数学和培养学生主动学习的重要途径。

良好的对数教学应充分考虑学生的学习需求和特点，采用多种教学手段，培养学生自信心和自主学习态度，发展学生的学习兴趣。

教师应在教学实践中不断探索新的教学经验，充分发挥对数在日常生活中的实际应用，提高学生的实践动手能力和解决实际问题的能力。

对数运算法则【教学过程】一、新知初探探究1：具体数的化简求值例1：计算：（1）log 345－log 35；（2）log 2（23×45）；（3）lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2； （4）log 29·log 38．解：（1）log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2．（2）log 2（23×45）＝log 2（23×210）＝log 2（213）＝13log 22＝13． （3）原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×41032lg 1210＝32lg 1210lg 1210＝32． （4）log 29·log 38＝log 2（32）·log 3（23）＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6． 规律方法：具体数的化简求值主要遵循两个原则：（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式．（2）不同底化为同底．探究点2：代数式的化简命题角度一：代数式恒等变换例2：化简log a x 2y 3z． 解：因为x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，所以y >0，z >0． log a x 2y 3z＝log a （x 2y ）－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a |x |＋12log a y －13log a z ． 规律方法：使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2lg x ，反例：log 10（－10）2＝2log 10（－10）是不成立的．要特别注意log a （MN ）≠log a M ·log a N ，log a （M ±N ）≠log a M ±log a N ．命题角度二：用代数式表示对数例3：已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645．解：法一：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a ．法二：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2） ＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a． 法三：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a ． 规律方法：用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．二、课堂总结1．对数运算法则log a （MN ）＝log a M ＋log a N ，log a M α＝αlog a M ，log a M N ＝log a M －log a N ．（其中，a >0且a ≠1，M >0，N >0，α∈R ）2．换底公式log a b ＝log c b log c a ．（其中a >0且a ≠1，b >0，c >0且c ≠1） 三、课堂检测1．log 513＋log 53等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．log 5103答案：A2．（2019·广西南京市期中）在对数式b ＝log a －2（5－a ）中，实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |a >5或a <2}B ．{a |2<a <5}C ．{a |2<a <3或3<a <5}D ．{a |3<a <4} 解析：选C ．由题意得⎩⎨⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5．3．log 29×log 34等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：D4．log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋（－9.8）0＝________．解析：原式＝12log 333＋lg （25×4）＋2＋1＝32＋2＋3＝132． 答案：132。

对数与对数运算教学设计1、合同主体11 甲方（委托方）：＿___________________________12 乙方（受托方）：＿___________________________2、合同标的21 本合同的标的为“对数与对数运算”教学设计服务。

22 乙方应根据甲方的教学需求和课程目标，设计一套完整、系统、科学且具有创新性的“对数与对数运算”教学设计方案。

23 教学设计方案应包括但不限于教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程、教学资源、教学评价等方面的内容。

3、双方权利和义务31 甲方的权利和义务311 有权对乙方的教学设计方案提出修改意见和建议。

312 按照合同约定向乙方支付相应的费用。

313 为乙方提供必要的教学相关资料和信息，协助乙方完成教学设计工作。

32 乙方的权利和义务321 有权按照自己的专业知识和经验，制定教学设计方案。

322 按照合同约定的时间和要求，向甲方交付高质量的教学设计方案。

323 保守甲方提供的教学相关资料和信息的秘密，不得泄露给第三方。

4、违约责任41 若甲方未按照合同约定支付费用，每逾期一天，应按照未支付金额的X%向乙方支付违约金。

逾期超过X天的，乙方有权解除合同，并要求甲方支付已完成工作的费用及违约金。

42 若乙方未按照合同约定的时间交付教学设计方案，每逾期一天，应按照合同总金额的X%向甲方支付违约金。

逾期超过X天的，甲方有权解除合同，并要求乙方返还已支付的费用及支付违约金。

43 若乙方交付的教学设计方案不符合合同约定的要求，乙方应在甲方指定的时间内进行修改和完善。

若经多次修改仍不符合要求，甲方有权解除合同，并要求乙方返还已支付的费用及支付违约金。

44 若双方违反本合同中关于保密义务的约定，应向对方支付合同总金额的X%作为违约金，并赔偿对方因此遭受的损失。

5、争议解决方式51 本合同的履行过程中如发生争议，双方应首先友好协商解决；协商不成的，任何一方均有权向合同签订地的人民法院提起诉讼。

对数的运算性质教学设计一、教学目标：1.掌握对数的定义和性质；2.倍数关系的转换；3.能够灵活运用对数运算性质解决实际问题。

二、教学重点：1.对数的定义和性质；2.对数运算的性质及其应用。

三、教学难点：学生对对数运算的理解和运用。

四、教学过程：1.引入：请学生回顾一下指数的基本知识，通过提问的方式引导学生回忆指数的定义和基本性质。

提问：什么是指数？它有什么性质？请学生回答。

2.对数的引入：-对数的定义：引导学生了解对数的定义，并通过实例让学生体会对数的计算方法。

提问：什么是对数？它有什么意义？请学生回答。

介绍对数的定义：若a^b = c，其中a和b是正数且a≠1（此处a称为“底数”，b称为“指数”，c称为“真数”），则称b是以a为底，以c为真数的对数，记作logₐ⁡c = b。

-对数运算性质的引入：介绍对数运算性质的定义和特点，并以实例让学生感受对数运算性质的应用。

提问：对数运算有哪些性质？分别如何表示？请学生回答。

介绍对数运算性质：(1)对数的定义：logₐ⁡c = b，当且仅当a^b = c；(2)对数的唯一性：对于任意实数c和正数a（a≠1），当且仅当a^b = c时，有logₐ⁡c = b；(3)对数运算换底公式：logₐ⁡b = logₐ⁡c * logₐ⁡b；(4)对数运算的乘方和开方：a. logₐ⁡(b^c) = c * logₐ⁡b；b. logₐ⁡(b/c) = logₐ⁡b - logₐ⁡c；c. logₐ⁡(1/b) = -logₐ⁡b；d. logₐ⁡(b^(-c)) = -c * logₐ⁡b；e. logₐ⁡√b = 1/2 * logₐ⁡b。

3.对数运算性质的练习：- 设a=2, b=3，求log₂⁡3提示：根据对数的定义和对数运算性质，可知logₐ⁡c = log₂⁡3 = log₃⁡3 / log₃⁡2 = 1 / log₃⁡2- 设a=10，b=1000，求log₂⁡1000提示：根据对数的定义和对数运算性质，可知logₐ⁡c = log₂⁡1000 = log₁₀⁡1000 / log₁₀⁡2 = 3 / log₁₀⁡2- 设a=5，b=25，求log₂⁡25提示：根据对数的定义和对数运算性质，可知logₐ⁡c = log₂⁡25 = 2 * log₂⁡5 = 2 * log₅⁡5 / log₅⁡2 = 2 / log₅⁡2- 设a=2, b=32，求log₂⁡32提示：log₂⁡32 = log₃₂⁡32 / log₃₂⁡2 = 5.4.对数在实际问题中的应用- 问题一：Bob每天花1倍的力量做同样的事情，7天后他的力量增加了多少倍？提示：从一天到第七天分别是1,1*1,1*(1*1),...,1(1的7次方)，可以直接通过对数运算得出答案。

人教版四年级下册数学《对数运算定律》
教案
教学目标
1. 了解对数运算的概念和基本性质。

2. 能够灵活应用对数运算定律解决实际问题。

教学准备
1. 教材：人教版四年级下册数学教材。

2. 教具：黑板、粉笔、课件、练习册。

教学步骤
导入新知
1. 利用课件或黑板上展示一些简单的对数运算问题，引起学生的兴趣。

探究对数运算定律
1. 通过实例引导学生发现对数运算定律的规律性。

2. 解释对数运算定律的含义和作用。

3. 引导学生进行练习，巩固对数运算定律的运用。

拓展应用
1. 给学生提供一些实际问题，要求他们运用对数运算定律解决。

2. 分组讨论解题思路，并展示解题过程。

归纳总结
1. 教师引导学生共同总结对数运算定律的要点和规律。

2. 提醒学生重要的解题技巧和注意事项。

课堂练习
1. 学生进行课堂练习，巩固对数运算定律的运用能力。

2. 教师巡回指导，解答学生疑惑。

课后作业
1. 布置一些相关的练习题，要求学生独立完成。

2. 鼓励学生思考如何将对数运算定律应用到实际生活中。

教学反思
1. 回顾本节课的教学过程，总结教学成功的因素和不足之处。

2. 根据学生的反馈和理解情况，调整教学策略和方法。

对数与对数运算（一）教学设计（李恒福）一、教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。

对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。

而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。

通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。

同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。

通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。

因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。

调动学生学习的积极性，主动性。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。

在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。

让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。

2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。

3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。

通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。

4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。

对数教学设计优秀10篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第2课时 对数的运算及换底公式明目标、知重点 1.加深对数的概念.2.理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算性质、换底公式.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．[情境导学]我们已经知道，实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算，集合有交、并、补运算，指数也有三种运算，那么，对数有怎样的运算？ 探究点一 对数运算性质 思考1 指数的运算法则有哪些？ 答 a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n ＝a mn；ma n＝nma .思考2 指数式与对数式的互化公式是怎样的？ 答 指数式与对数式的互化公式为：a b ＝N ⇔log a N ＝b .思考3 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？ (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a m ＋n ；(2)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，试利用m 、n 表示log a (MN )． 解 (1)由log a 2＝m ，得a m ＝2，由log a 3＝n ，得a n ＝3， 所以a m ＋n ＝a m ·a n ＝2×3＝6.(2)由log a M ＝m ，得a m ＝M ，由log a N ＝n ，得a n ＝N .所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M ×N ，把指数式化为对数式得： log a (M ·N )＝m ＋n .小结 在思考3中的第(2)题中，我们得到log a (M ·N )＝m ＋n ，又由log a M ＝m ，log a N ＝n ，进行m ，n 的代换后就得到对数的一条运算性质，即log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . 思考4 同样地，由a m ÷a n ＝a m－n和(a m )n ＝a mn ，也得到对数运算的其他性质：log a MN＝log a M－log a N ；log a M n ＝n log a M (a >0，且a ≠1，M >0，N >0，n ∈R )．你能不能推导出呢？答 令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N＝a m ÷a n ＝a m －n ，∴m －n ＝log a MN .又由M ＝a m ，N ＝a n ，∴m ＝log a M ，n ＝log a N ，即：log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN；当n ≠0时，令log a M ＝p ，由对数定义可以得M ＝a p ， ∴M n ＝(a p )n ＝a np ，∴log a M n ＝np ，将log a M ＝p 代入， 即证得log a M n ＝n log a M .当n ＝0时，显然成立．∴log a M n ＝n log a M .小结 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”．有时逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 例1 求下列各式的值： (1)log 2(23×45)；(2)log 5125. 解 (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245 ＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13. (2)log 5125＝log 553＝3log 55＝3.反思与感悟 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 跟踪训练1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.解 (1)log a xyz ＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .探究点二 换底公式思考1 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可得到什么结论？答 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论．思考2 怎样用常用对数表示log 35?答 设t ＝log 35，则3t ＝5.两边取常用对数，得lg 3t ＝lg 5，即t lg 3＝lg 5，所以t ＝lg 5lg 3，故log 35＝lg 5lg 3.小结 一般地，log a N ＝log c Nlog c a ，其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.这个公式称为对数换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示． 例2 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.解 ∵log 23＝a ，则1a ＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．跟踪训练2 求log 89×log 332的值．解 log 89×log 332＝lg 9lg 8×lg 32lg 3＝2lg 33lg 2×5lg 2lg 3＝103.例3 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．解 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x ＝89 442×4，即1.078x ＝4，故x ＝log 1.0784＝lg 4lg 1.078≈18.5.答 约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标． 反思与感悟 利用换底公式可推导出下面的结论：(1)log a m b n ＝nm log a b ；(2)log a b ＝1log b a(或log a b ·log b a ＝1)．跟踪训练3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②(log a x )n ＝n log a x ； ③log a x n ＝log a n x ；④log a x log a y ＝log a x －log a y . 答案 ③解析 因为log a x n ＝1nlog a x ＝log a x1n＝log a nx ，故③成立．2．已知x ，y 为正实数，则下列各式成立的是________． ①2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y ；②2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg y ；③2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y ；④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y . 答案 ④解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故④成立．3．log 327＋lg 25＋lg 4＋＋(－9.8)0＝________.答案 132解析 原式＝12log 333＋lg (25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.4．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析 原式＝(log 23log 24＋log 23log 28)(1log 23＋1log 232)＝56log 23·32log 23＝54. 5．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy 的值．解∴x －2y ＝0，∴xy ＝2.[呈重点、现规律]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．运用对数的运算性质应注意(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).一、基础过关7log 271．计算：log 916·log 881的值为________．答案 83解析 log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.答案 125解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.3．若lg x －lg y ＝a ，则lg (x 2)3－lg (y2)3＝________.答案 3a解析 lg(x 2)3－lg(y 2)3＝3(lg x 2－lg y2)＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)] ＝3(lg x －lg y )＝3a .4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A ＝________.答案15解析 ∵3a ＝5b ＝A >0，∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.5．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.6．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍． 答案 1010解析 由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4.设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则3911.432123811.422101010E E ⨯+⨯+===即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍． 7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一 原式()315222214(lg 2lg 7)lg 2lg 7523+⨯＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 二、能力提升8.已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3用a ，b 可表示为________． 答案 3ab ＋解析 ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝2lg 33lg 2＝a ，∴23log 2 3＝a ，∴log 23＝32a . lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3ab ＋.9．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案 4解析 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝x －2y2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0， 所以x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0且x －2y >0， 所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4.10．设a 表示13－5的小数部分，则log 2a (2a ＋1)的值是________．答案 －1解析 13－5＝3＋54，可得a ＝3＋54－1＝5－14.则log 2a (2a ＋1)＝log 5－125＋12＝log 5－1225－1＝－1.11.若a ，b ，c ∈N *，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －cb )的值；(2)若log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．解 (1)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －cb )＝log 2[(1＋b ＋c a )(1＋a －cb )]＝log 2a ＋b ＋ca ＋b －cab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab ＝log 22ab ab ＝1.(2)∵log 4(1＋b ＋ca)＝1，∴a ＋b ＋c a＝4，即3a －b －c ＝0，①∵log 8(a ＋b －c )＝23，∴a ＋b －c ＝4② ∵a 2＋b 2＝c 2③ 且a ，b ，c ∈N *，∴由①②③解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.12.若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )·b2＋a 2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·a ＋lgb 2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12. 三、探究与拓展13.已知f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)＝－2，方程f (x )＝2x 至多有一个实根，求实数a ，b 的值．解 由f (－1)＝－2得，1－(lg a ＋2)＋lg b ＝－2，∴lg b a ＝－1＝lg 110，∴b a ＝110，即a ＝10b . 又∵方程f (x )＝2x 至多有一个实根，即方程x 2＋(lg a )x ＋lg b ＝0至多有一个实根， ∴(lg a )2－4lg b ≤0，即(lg 10b )2－4lg b ≤0， ∴(1－lg b )2≤0，∴lg b ＝1，b ＝10，从而a ＝100， 故实数a ，b 的值分别为100,10.。

高中数学对数的教案教学目标：1. 理解对数的概念和特点。

2. 掌握对数运算的基本规律。

3. 能够解决实际问题中的对数计算题目。

教学重点和难点：重点：对数的定义、性质和运算规律。

难点：运用对数解决实际问题。

教学准备：1. 教师备课内容：对数的定义、性质、运算规律和应用。

2. 学生学习资料：教科书、练习册、笔记本等。

教学过程：1. 导入：通过引入一个真实生活中的问题，引发学生对对数的兴趣和好奇心，如：某个物种的数量翻倍的规律。

2. 讲解对数的定义和性质：介绍对数的定义、性质，引导学生理解对数的含义和作用，如：logaM=N 等价于 a^N=M。

3. 讲解对数运算规律：介绍对数的运算规律，包括对数的加减乘除运算规律，引导学生学会对数的基本计算方法。

4. 案例分析：结合实际问题，进行对数的应用案例分析，让学生感受对数在解决实际问题中的重要性和实用性。

5. 练习：布置一些对数计算练习题，让学生独立完成并相互交流讨论，巩固对数的运算能力。

6. 总结：总结本节课的重点内容，强化学生对对数的理解和应用能力。

教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实际问题解决，提高对数的应用能力。

2. 引导学生进行对数的拓展学习，如对数的图像性质、对数方程的求解等。

教学反思：1. 检查学生对对数的理解情况，及时纠正学生的错误认识。

2. 调整教学方法，根据学生的学习情况进行灵活的教学安排。

教学评价：通过学生的课堂表现、作业成绩和考试成绩等多方面进行综合评价，及时反馈学生的学习情况，以便调整教学策略和方法。

4.2.2 对数运算法则教学课时：第2课时教学目标：1.体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，掌握对数的运算法则，并会简单应用；2.理解用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，掌握对数的综合运算；3.了解对数的发现历史以及对简化运算的作用，经历数学运算法则的发现、论证、提炼过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．教学难点：对数的运算法则和换底公式的熟练运用．教学过程：一、情境与问题回顾：根据所学的指数函数的知识完成下表：（上节课的表格）学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算法则，并引导学生类比、推导其他运算法则.由同底数的幂的指数和对数的互相转化关系可猜想：（设,a M a N αβ==,0,1a a >≠）组织学生论证猜想，具体要求：（1）请各组同学选一个猜想的命题，判断它的正确性，并给出证明 （2）各组派一名代表的同学汇报【设计意图】体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，是学生经历数学运算法则的发现、论证、提炼的过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养． 二、对数的运算法则探究一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+ 证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =qN a =所以，M N ⋅=p q a a ⋅p qa +=()log a M N p q ⇒⋅=+即证得 ()log log log a a a M N M N ⋅=+性质一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+文字语言：积的对数等于对数的和，即同底的对数相加，底不变，真数相乘. 错误认识：“某同学认为：()log log log a a a M N M N ⋅=⋅”，请问错在哪里？证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =q N a =文字语言：商的对数等于对数的差同底的对数相减，底不变，真数相除.探究三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =证明：设log ,a M p =由对数的定义可以得： ,pM a =所以，n np M a =log na M np ⇒=即证得 log log na a M n M =性质三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =文字语言：一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.错误认识：“某同学认为：log log n na a M M =（）”，请问错在哪里？总之，对数的运算法则：()0,100a a M N >≠>>，，)2loglog k a a N N N +++log log a a M N - 【设计意图】通过小组讨论、论证猜想、小组汇报等环节，使学生个科学的态度研究数学问题和数学法则，引导学生用自然语言叙述上面的三个运算法则，通过展示错误的运算，提醒学生正确掌握对数的运算性质． 三、课堂练习题型一 对数运算性质的应用练习：求下列各式的值（3）22(lg 5)2lg 2(lg 2)+-说明：（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”……；（2）有时可逆向运用公式； （3）真数的取值必须是(0,＋∞)；（4）注意正确理解对数的运算法则.【设计意图】在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算法则，在练习中反馈学生对对数运算法则掌握的情况，巩固所学知识．思考2：（1）对数运算性质的实质是什么？（2）运用对数运算性质时应注意什么？对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．运算性质只有当M ＞0，N ＞0，a ＞0且a ≠1时才有意义． 思考3：已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg5≈0.699， 试计算：lg5lg 2=+lg5lg 2=- lg5lg 2=⨯ lg5lg 2=÷2log 5=问题：对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？【设计意图】深入研究对数的运算法则，针对同底的对数运算与不同底的对数运算进行分类讨论，启发学生将不同底对数转化为同底的对数运算的想法，引出换底公式.四、换底公式证明：设log ,a N p =由对数的定义可以得： ,pN a =注意：（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行计算、化简或证明；（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数.重要公式：换底公式常见的两种变形：（1）log log 1a b b a ⋅=，表示真数与底数互换，所得对数值与原对数值互为倒数； （2）log log n m N N mM M n=，表示对数的底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数的m n倍. 【设计意图】学生根据对数的定义推导对数的换底公式，了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系． 五、强化练习题型二 换底公式的应用求值：()()3948log 2+log 2log 3+log 3⋅ 练习：求下列各式的值（2）248525125log 125log 25log 5)(log 2log 4log 8)++++（ 拓展：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ； （2）log a ．题型三 对数的综合应用求值：（1）2102,103,100;aba b-==已知求【设计意图】利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数． 六、课堂小结1. 对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：（1）“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数； （2）“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理．选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2．log a 1＝0，log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)在计算对数值时经常用到． 七、布置作业课本第23页练习A 第1.2.3题；B 第1—6题.。

对数与对数运算教学设计《对数与对数运算》教学设计课题2.2.1对数与对数运算：第一课时三维目标：知识与技能1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2．学会对数式与指数式的的互化，培养学生类比，分析，归纳的能力。

（二）过程与方法1．解自然对数和常用对数的概念，以及对数恒等式；2．通过实例推导对数运算性质，准确运用对数的运算性质进行计算，求值，化简。

并掌握化简，求值的技能。

（三）情感、态度和价值观1.培养学生分析，综合解决问题的能力；2．通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；3．在学习过程中培养学生探究的意识。

教学内容分析：教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质加以灵活运用教学难点对数运算性质推导过程，以及分析过程课型：新授课新课讲解（一）创设情境，课题引入（学生活动）P72~P73页提出以下问题：对对数的发明有杰出贡献的科学家是谁发明对数的目的是什么？为什么说对数发明是17世纪重大数学成就？苏格兰数学家napier（纳皮尔）在研究天文学过程中，为了简化其中的计算发明了对数。

恩格斯曾经把对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是并称为17世纪数学史上的3大成就。

伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”；（老师引导：那么，什么是对数？对数式怎样简化运算的？对数真的有用吗？）教师：为了研究对数，我们先来研究下面这个问题？（学生活动）P72页思考：根据上一节的例1我们能从中算出任意一个某（经过的年份）的人口总数，可不可能哪一年人口数低于13亿？那么哪一年的人口达到18亿？可不可能哪一年人口达到1000亿？你会算吗（教师活动）由指数函数性质知，有，所以人口数达到18时候，，所以有在个式子中，等于多少？学生可能会说，解出即可。

实际不然，实际问题实际考虑，地球上供养不起这么多人，所以现在同学们们要珍惜现在资源，爱护地球。

对数概念（教师活动）（板书）一般地，若，那么数叫做以为底的对数，记作，叫做对数的底数，叫做真数。

《对数运算法则》教学设计教学设计一、情境引入，问题导学16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数方法.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log (01,0)b a a N b N a a N =⇔=>≠>且.现在已知23a =，38b =，如何求ab问题1：我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则，得出相应的对数运算法则吗问题2：在对数运算法则中，为什么要规定0a >且1a ≠，0M >，0N >呢 问题3：如何用自己的语言分别表述出对数运算法则设计意图：激发学生的学习兴趣，为学习新课做好知识探究的准备.继续以具体对数运算提出问题，进行探究：请同学们判断以下几组数是否相等：（1）1lg 10010⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，1lg100lg 10+； （2）21log 2，221log 4log 8+. 提出问题：由（1）（2）的结果出发，同学们能看出它们具有怎样的共同点吗设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般的学习方法，寻求规律. 请同学们交流讨论，得出结论：log ()log log (01,a a a MN M N a a =+>≠且 0,0)M N >>.那么这个结论是否正确呢接下来我们具体地来证明这一结论.设计意图：让学生体会“归纳—猜想—证明”是数学中发现结论、证明结论的完整思维方法.二、新知研讨，固化知识1.对数运算法则.如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，证明：log ()log log a a a MN M N =+. 证明：设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得p M a =，q N a =，p q p q MN a a a +∴=⋅=.log ()a MN p q ∴=+，即证得log ()log log a a a MN M N =+.结论总结：积的对数的运算法则 如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么log ()log log a a a MN M N =+.事实上，除了上面的这个运算法则之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了另外两个运算法则：商的对数的运算法则 log log log a a a M M N N=-. 幂的对数的运算法则 log log ()a a M M ααα=∈R .（其中，0a >且1a ≠，0M >，0N >）师：那么，请同学们结合前面积的对数的运算法则的证明以及以前所学的知识，对商、幂的对数的运算法则进行证明.3分钟后同桌交换，看相互之间的证明.交流心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法.设计意图：让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深地理解对数的概念；寻求多种证明方法，发散学生思维.商的对数的运算法则的证明：方法一：（仿照积的对数的运算法则的证明，同理可证）方法二：由积的对数的运算法则出发来证明：log log log log a a a a M M N N M N N ⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭ log log log a a aM M N N⇒-=. 方法三：log log log log log log a a a a a a M M N N M N N N =+-=-. 幂的对数的运算法则的证明：设log a M p =，由对数的定义可得p M a =，p M a αα∴=，log a M p αα∴=.即证得log log a a M M αα=.通过上述探讨、研究得到了对数的运算法则：（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-. （3）log log a a M M αα=.（其中，0a >且1a ≠，0M >，0N >，α∈R ）说明：（1）可简单地用语言表达：“积的对数=对数的和”“商的对数=对数的差”“一个数α次方的对数=这个数对数的α倍”.（2）注意有时会用到逆向运算：如101010log 5log 2log 101+==.（3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数.例如：2323log 3log 4log 12log 12+≠≠；222log [(3)(5)]log (3)log (5)-⨯-=-+-是不成立的；21010log (10)2log (10)-=-是不成立的.（4）注意以下结论是错误的：log ()log log a a a MN M N =⋅，log ()log log a a a M N M N ±=±.（5）积的对数的运算法则可以进行推广：即()123123log log log log log a n a a a a n M M M M M M M M =++++（其中0a >且1a ≠，1M ，2M ，3M ，…，n M 均大于0）.设计意图：加深学生对知识的理解，注意一些细节问题，避免出现公式的错误应用.2.换底公式.提问：（1）观察积、商、幂的对数的运算法则，我们发现对数都是同底的计算时才能用相应公式，那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办提示：设法换为同底.（2）log log c c b a与哪个对数相等如何证明你的结论 提示：log log log c a c b b a =.假设log log c c b x a=，则log log c c b x a =，即log log c x c b a =，所以x b a =，则log a x b =，所以log log log c a c b b a =. 换底公式：log log (01,0,01)log c a c b b a a b c c a=>≠>>≠且且. 特别地：log log 1(01,01)a b b a a a b b ⋅=>≠>≠且且.三、典型探究，知识升华例1 计算：（1）()253log 93⨯； （2）15lg100. 答案 （1）9 （2）25设计意图：让学生熟悉对数的运算法则.例2 计算：7lg1421g lg 7lg183-+-.解 方法一：()27lg142lg lg 7lg18lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg 323-+-=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=.方法二 277lg142lg lg 7lg18lg14lg lg 7lg1833⎛⎫-+-=-+- ⎪⎝⎭ 2147lg lg107183⨯===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.设计意图：本例体现了对数运算法则的灵活运用.例3 已知23a =，38b =，求ab 的值.解 23a =，36b =，2log 3a ∴=，3log 6b =，2322ln 3ln 6ln 6log 3log 6log 61log 3ln 2ln 3ln 2ab ∴=⨯=⨯===+. 例4 求证：log log t s a a s b b t=， 其中0a >且1a ≠，0b >，s ∈R ，t ∈R 且0t ≠.证明 ln ln ln log log ln ln ln t s sa t ab s b s b s b b a t a t a t ===⋅=. 方法总结：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10或e 为底数进行换底.四、课堂练习，巩固加深教材第23页练习A 第1，2题.五、课堂小结，形成网络1.对数的运算法则（积、商、幂的对数）及其成立的前提条件；换底公式.2.对数运算法则的逆用，应引起足够的重视.3.对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧.六、布置作业教材第23～24页练习A 第3～5题，练习B 第1～6题.教学研讨注意避免几个容易出错的问题：（1）积、商、幂的对数的运算法则公式的形式要把握准确.（2）换底公式的正用与逆用.（3）整体性质的应用，注意把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题.。