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第五章 相似矩阵及二次型

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大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2

大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2
把 P 用 其 列 向 量 表 示 为P p1, p2 ,, pn .
由P 1 AP , 得AP P,
1
即 A p1, p2,, pn p1, p2,, pn
2
n
1 p1, 2 p2 ,, n pn .
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
于是有
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2
4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
这与至少有一个ai0 j0 0(i0 j0)矛盾, 故A不可 对 角 化.
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E) (n )( )n1, A的特征值为
1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵P1,使得
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
将3 2代 入A E x 0, 得 方 程 组 的
基 础 解 系 3 1,1,1T .
由 于1 ,2 ,3 线 性 无 关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by

第五章 相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型

第五章：相似矩阵及二次型本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。

3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。

4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。

5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。

§1 向量的内积、长度及正交性内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2≤；n维向量x 与y 的夹角[]yx y x ,arccos=θ；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。

重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。

§2 方阵的特征值与特征向量内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式()λλλλ---=nn n n n n a a a a a a a a a f212222111211；若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

§3 相 似 矩 阵内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21，则有 1）,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λknkkk λλλ()()()().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λϕλϕλϕϕ2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。

线性代数第五章相似矩阵及二次型

线性代数第五章相似矩阵及二次型

1.2正交向量组与施密特正交化方法
b1 ,b2 , ,br1 ,br 是正交向量组．由
b1
,br
b1
,ar
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1
,ar ,b2
b2
由归纳假设知b1 分别与 b2 ,b3 , ,br 1 正交，故
a1 b1,
a2
b2
b1, a2 b1, b1
b1
,
1.2正交向量组与施密特正交化方法
ar
br
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
,ar ,b2
b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1 .
于是得 a1 ,a2 , ,ar b1 ,b2 , ,br 与等价．
若再将 b1 ,b2 , ,br 单位化，并记为
a,b a1b1 a2b2 anbn aTb
1.1向量的内积
例2 设向量 1
a
0
,
2
3
3
b
2
1
,
求a,
b
1
解 a,b 13 0 2 2(1) 31 4
3
1
练习设向量
a
1 0
,
b
1 2
,
求
a,
b
2
3
解 a,b 3111 0 (2) 2 (3) 2
1 2 3
6 3
1 1 1
1 0 1
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b3
a3
b1, a3 b1, b1
b1
b2 , b2 ,
a3 b2

相似矩阵与二次型

相似矩阵与二次型

1T 1 1 1 A T ,则3 应满足齐次线性方程组 Ax 2 1 2 1
0 ,即
x1 1 x1 x3 所以同解方程组为 x c 2 1 0 x 0 2 ,通解为 1 x 3 x x 3 3
1 ,取 3 0 即可 1
5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 1 , 2 ,, m 为一线性无关向量组 （1）正交化 取
1 1
3 , 1 3 , 2 2 , 1 1 2 2 2 1 3 3 1, 1 2 , 2 1, 1
b1 b2 bn
令
, a1b1 a2b2 anbn

的内积
称为向量 与
向量的内积具有下列性质
, , k , k , , k , , , , 0 0
依次类推,一般的,有
j , 1 j , 2 j , j 1 j j 1 2 j 1 , 1 , 1 2 , 2 j 1 j 1
( j 1, 2,, m)
可以证明, 1 , 2 ,, m 两两正交,且与1 , 2 ,, m 等价 （2）单位化 令
ej
j j
( j 1, 2,, m)
则 e1, e2 ,, em 为单位正交向量组,且 1 , 2 ,, m 等价
例 已知
解 2 , 3 应该满足 1 , x 0, 即 其同解方程组为
k1e1 k2e2 kmem

工程数学线性代数课后答案详解

工程数学线性代数课后答案详解
13 设 A、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相
似
证明 取 PA 则 即 AB 与 BA 相似
P1ABPA1ABABA
14
设矩阵 A432
0 1 0
15x 可相似对角化
求 x
解由
2 0 1 | AE| 3 1 x ( 1)2( 6)
022
x1 x2 x3


0

得特征向量(1 2 2)T
单位化得
p1

(1, 3
2, 3
2)T 3
对于21, 解方程(AE)x0 即

1 2 0
2 0
2
201
x1 x2 x3


0

得特征向量(2 1 2)T
特征值341 的线性无关特征值向量
6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公 共的特征向量
b1


011

b3

a3

[[bb11,,ab13]]b1

[[bb22,,ab23]]b2

1 3

211

(2) (a1,
a2,
a3)


1 0 1 1
1 1 0
1
11 01

解 根据施密特正交化方法
1
b1

a1

第五章 相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型

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向量间的夹角 当x0 y0时
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
arccos
[ x, y] || x |||| y ||
称为n维向量x与y的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]

线性代数 第五章 相似矩阵及二次型

线性代数 第五章 相似矩阵及二次型

1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]

线性代数第五章答案

线性代数第五章答案
k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0 记 k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr) 则k1 k2 knr不全为0 否则l1 l2 lnt不全为0 而
l1b1l2b2 lnrbnr0 与b1 b2 bnt线性无关相矛盾
因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量 所以A与B有公共的特征值 有 公共的特征向量
8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或2
9 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的特征值 证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1 （需要说明） 因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1 是A的特征值
10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值 证明 设x是AB的对应于0的特征向量 则有
(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征值 且Bx是BA的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故
A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值 故 |A*3A2E||6A13A2E||(A)|
6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为

线性代数第五章答案

线性代数第五章答案

线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法,==11111a b ,-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)---=011101110111) , ,(321a a a .解根据施密特正交化方法,-==110111a b ,-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A ,B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.< p="">证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.< p="">若a1,a2,,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令?(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.证明取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵=50413102x A 可相似对角化, 求x .解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p . 对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x ,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1,1, 0)T , 求A .解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1.因为---=???? ??=--11011101101111111011P ,所以---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 =++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① =-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x ,314=x , 325=x . 因此-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有=???? ??1116111A , 即?=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出--???? ??---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, , a n )T , a 1≠0, A =aa T . (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a Ta , λ2= ? ? ? =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, , 0)T ,p 3=(-a 3, 0, a 1, , 0)T , ? ? ?,p n =(-a n , 0, 0, , a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为--=112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设-=340430241A , 求A 100. 解由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),--=???? ??-=--1202105055112021012111P ,所以--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式??=??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,因此--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?n n y x .解由??=??++n n n n y x A y x 11可知??=??00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r ,解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-??-??? ????? ??-=p q r p q A n n-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵?-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1-??? ??-??? ??-=1111210004111121-=??? ??----=111122222.(2)设=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.解求得正交矩阵为---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0,0)P -1---???? ?---=222033*********223123161----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f .26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ?=1312)(T f ;解二次型的矩阵为=1222A .(2)x x x=987654321)(T f .解二次型的矩阵为=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解二次型的矩阵为=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解二次型矩阵为----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p . 当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解二次型的矩阵为----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p . 对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换--=???? ??w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ??+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 +==+=32322311x x y x y x x y , 即+-==-+=3 23223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.</n.<></n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.<>。

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −

工程数学线性代数目录

工程数学线性代数目录

逆矩阵的性质
定理1 如果矩阵 A可逆，那么 A的逆矩阵是唯
一的．
伴随矩阵 设有 n 阶矩阵 A, 是 A 中元素 aij 的代
数余子式，
A11 A 21
A12 A 22
A1n A 2n
An1 An2
Ann
即用 A 的行列式中每个元素的代数余子式构成
的矩阵，称为矩阵 A 的伴随矩阵，简称为伴随阵，
（3）分块矩阵的乘法运算． 设 A [aij ]mn，B [bij ]n p，如果矩阵 A 与矩阵 B 的 分块方法是“恰当”的，亦即的A 列的分法与的B 行的 分法完全相同
A11
A
A 21
A12
A 22
A1s A2s
Ar1 Ar2 Ars
B11
B
B 21
B12
B 22
逆矩阵的定义
设 A 是 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵B ，使
AB BA E
则称 A 为可逆矩阵，矩阵 B称为矩阵 A 的逆矩
阵，简称逆阵．
．
注 （1）由矩阵定义可知，可逆矩阵及其逆 矩阵是同阶的方阵．矩阵若不是方阵则没有逆 矩阵．
（2）A与 B 的地位是平等的，故也可
以称 A是 B的逆矩
阵．
2,
3)
2
－ 12－4＋15＝－1
故
A (PQ) 5PQPQPQ
100
100
PQ
P[QP] Q (1) PQ PQ
99
99
3
12 6 9
由
,得
PQ
2
4
2
3
8
4
6
5
20 10 15
12 6 9

同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型

同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型

p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3

《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节

《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节

正交变换在相似矩阵中应用
正交变换在相似矩阵中的应用主要体 现在通过正交变换将一个矩阵对角化， 从而简化矩阵的运算和分析。
具体应用包括：利用正交变换化二次 型为标准型、利用正交变换求矩阵的 特征值和特征向量等。
典型例题分析与解答
例题1
设A是n阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵P，使得 P^(-1)AP为对角矩阵。
二次型标准形求解步骤
配方法
通过配方将二次型化为标准形，即平方和的形 式。
正交变换法
通过正交变换将二次型化为标准形，其中变换 矩阵是正交矩阵。
特征值法
通过求解对称矩阵的特征值和特征向量，将二次型化为标准形。
二次型与对称矩阵关系
二次型与对称矩阵一一对应
每个二次型都唯一对应一个对称矩阵，反之亦然。
二次型的性质与对称矩阵的性质密切相关
《线性代数》第五章相似矩阵与二 次型第6节
目录
• 相似矩阵基本概念与性质 • 二次型及其标准形 • 惯性定理与规范形 • 正交变换与正交矩阵 • 相似矩阵对角化与实对称矩阵对角化 • 课程总结与拓展延伸
01 相似矩阵基本概念与性质
相似矩阵定义及表示方法
定义
设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似 矩阵，或说A和B相似。
正定性。
解答
通过配方或正交变换法，可以求得该二次 型的标准形为 $y_1^2 + y_2^2 + 5y_3^2$。
解答
通过求解对应的对称矩阵的特征值，可以 判断该二次型不是正定的，因为存在负特 征值。
03 惯性定理与规范形
惯性定理内容及其证明
惯性定理内容
设A,B为n阶实对称矩阵，若A与B合同， 则A与B的正惯性指数相等，负惯性指 数也相等。

大学线性代数最全知识点

大学线性代数最全知识点

D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
线性代数
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:

线性代数第5章 相似矩阵及二次型

线性代数第5章 相似矩阵及二次型

aij
,
nn
是数，
a11 E A a21
a12
a22
a1n a2n
an1
an2
ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵A
的特征多项式。
暨南大学电气信息学院
求特征值、特征向量步骤：
(1) E A 0 求出 即为特征值;
（2）对每个特征值 , 求齐次线性方程 组 E A X 0 的非零解，即
Rn 中线性无关 的向量组，令：
1 1,
2

a2


T 2

1

T 1

1
1
3

a3


T 3

1

T 1

1
1


T 3

2

T 2

2
2
s

as


T s

1

T 1

1
1


T s

2

T 2

2
2



T s

s-1
T s-1 s-1
s-1
暨南大学电气信息学院
3

2


T 3

2

T 2

2
2

1 1, 2, 1T
2
即为所求
暨南大学电气信息学院
3. 正交矩阵
定义6： A是一个n阶实矩阵，
若 AT A E, 则称A为正交矩阵。
定理1：A是正交矩阵当且仅当

线性代数之相似矩阵及二次型

线性代数之相似矩阵及二次型

λ − a22 ⋯
⋯ λ − ann
= λn − c1λn − 1 + c 2 λn − 2 + ⋯ + ( −1) n − 1 c n − 1λ + ( −1) n c n
特征多项式， 特征方程。 称为 A 的特征多项式，而 f (λ ) = λE − A = 0 称为 A 的特征方程。
-18-
性质
对特征值 i , 解(λi E − A) X = 0, 得基础解系 1 ,⋯,αr λ α
λi所对应的特征向量为 k1α1 +⋯+ krαr , k1 ,⋯, kr不全为零
-20-
−1 1 0 例： 求矩阵 A = −4 3 0 的特征值和全部特征向量 的特征值和全部特征向量. 1 0 2
1 b3 1 1 = ξ3 = b3 6 − 2 0
-13-
六、正交矩阵 定义 若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E , 则称 A 为正交矩阵 正交矩阵. 例4 验证(1)旋转矩阵是正交矩阵 验证 旋转矩阵是正交矩阵
cos ϕ A= sin ϕ − sin ϕ cos ϕ
T 0 ⇒ α1 α1
= α1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = ⋯ = λr = 0. 故α1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关 .
-8-
例1
(P115 例3)
1 1 α1 = 1 , α 2 = − 2 1 1
(2)镜像矩阵是正交矩阵 (P40 例8) 镜像矩阵是正交矩阵
H = E − 2αα (α ∈ R , α α = 1)
T n T

线性代数习题册(第五章 相似矩阵及二次型参考答案)

线性代数习题册(第五章 相似矩阵及二次型参考答案)

二、计算题
7. 用施密特（Schimidt）正交化过程将向量= 组α1
1 = 1 ,α2 1
1 = 2 ,α3 3
1

4

规范正交化.
9
解：根据施密特正交化方法,
1
b=1
a=1

1

,
1
−1
b2
= a2 − [[bb11,,ab12
−1
=
1 2

0 1

,

b3
=
= b3 | b3 |
1
1 6

−2 1

。
三、证明题
8. 设α 是一个 n 维非零列向量，试证 A=
E
−
α
2 Tα
αα
T
是一个正交矩阵.
解：
AT
A
= E − α2Tα αα
T
T

E
−
2 αTα
αα
T

( A) λ −1 A n
(B) λ −1 A
(C ) λ A
( D) λ −1 A n−1
分析：设 Aξ = λξ ，又 A 可逆，所以 A−1ξ = 1 ξ ， | A | A−1ξ =| A | 1 ξ
λ
λ
⇒ A*ξ = | A | ξ ， λ
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, 3, 5 ，则 A 的行列式 A 等于（ D ）.
第五章 相似矩阵及二次型
单元 12 向量的内积与正交性
一、选择题
1. 设 x, y ∈ Rn , [ x, y] 表示向量 x 与 y 的内积，则下列不正确的是（ D ）.
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第五章 相似矩阵及二次型§1 向量的内积、长度及正交性 １、向量的内积引例：几何中，两个向量,x y的数量积定义为：,x y是,x y的长度，θ 是,x y 的夹角。

如果在直角坐标系下，向量,x y表示为则的长度为：，向量,x y的夹角为：维向量称[]1122,T n n x y x y x y x y x =++= y为向量,x y 的内积.例5.1.1 . []1224,,12243643648αβαβ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⇒=×+×+×+×=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠860（2）向量内积的性质①[][],,x y y x =；②[][],,x y x λλ=y ；③[][][],,,x y z x y x z +=+；④[]0,xx x =⇒=0[，]0,x x x ≠⇒>0.⑤不等式 Schwarz [][][],,,x y x y y y ≤例5.1.212002400,36004800αγ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠[⇒][](),,100122436486000αγγα==×+×+×+×=2、向量的长度 夹角（1）定义5.1.2 维向量的长度(范数) 单位向量n称为向量 x 的长度，特别，当x 时，称x 为单位向量。

例5.1.3α====（2）向量长度的性质①0x ≥,仅当时0x =0x =；②x xλλ=;③x y x y+≤+例5.1.4 36912αβαβ⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=⇒+===⎜⎟⎜⎟⎝⎠αβ+=+=（3）向量的夹角①定义5.1.3 [],0,0arccos x y x y x yθ≠≠=时例5.1.5 [],arccos0αβθαβ===②向量正交[],0,x y x =⇒y 正交注：零向量与任何向量正交.2、 正交向量组（1） 正交向量组：一组两两正交的非零向量.（2） 定理5.1.1 两两正交线性无关. 12,,,r a a a 12,,,r a a a ⇒ （3）定义5.1.4 规范正交基①正交基设 V 是向量空间， 是V 的一组基，且 是正交向量组，则称12,,,r a a a12,,,r a a a 是的一个正交基。

②规范正交基如果 既是V 的一组正交基，又是单位向量，则称 是V 的一个规范正交基或单位正交基。

12,,,r e e e 12,,,r e e e （4）把基规范正交化12,,,r a a a ①Schimidt 正交化过程11b a =;[][]12221b 12,,b a b a b b =−; ;[][][][][][]12112112211,,,,,,r r r r r rr r r b a b a b a b a b b b b b b b b b −−−−=−−−− 1.注：可以用三维向量来演示几何意义.②单位化121212,,,r r rb b e e e b b === b b ⎟⎟ 例5.1.6试用施密特正交化过程把向量组规范正交化. 123111(, , )124139a a a ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠解 根据施密特正交化方法,, 11111b a ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠12221111[,]0[,]1b a b a b b b −⎛⎞⎜⎟=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1323331211221[,][,]12[,][,]31b a b a b a b b b b b b ⎛⎞⎜⎟=−−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠.单位化1211231211111,0,22111b b b e e e b b b −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎟======−=−⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠11⎟. 123,,e e e 即合所求.3、 正交矩阵（1） 定义5.1.5 正交矩阵 T n n A A E =（2） n A 为正交矩阵⇔n A 的列向量组为单位正交向量组.例5.1.7 已知()()1219,89,4,89,19,4TTa a =−−=−−求列向量使3a (123,,A a a a =)是正交矩阵.解 设，由[()3123,,T a x x x =][]1323,0,,0a a a a ==⇒1231231840,9998140,999x x x x x x ⎧−−=⎪⎪⇒⎨⎪−+−=⎪⎩13244,773x x x x =−=−，又222231233719a x x x x =++=⇒=±⇒33447447,,,,999999TTa ora ⎛⎞⎛′=−−=−⇒⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠ ()()123123,,,,A a a a andA a a a ′′均是正交矩阵.（3） 正交矩阵的性质①为正交矩阵⇒为正交矩阵，且n A -1=T n n A A 1A =±； ②为正交矩阵⇒,n A B n AB 为正交矩阵.例5.1.8 均是阶正交矩阵，且,A B n A B =−，求.A B + 解 22,1,TTA A EB B E A B ==⇒==1⇒()10A B TTT TT T A B A A BB AA BBA B A B A B =−+=+=+−+=+⇒+=.例5.1.9 设为正交矩阵，证明()ijm nA a ×=ij ij A a =±.证明 A 为正交矩阵⇒211TA A E A A =⇒=⇒=±又()1**1**1.TT ij ij A A A A A A A A A A−−==±⇒==±⇒=⇒=±a4、 正交变换（1） 定义5.1.6 正交变换 P 为正交矩阵⇒y Px =为正交变换.（2） y Px =为正交变换⇒y ====x =例5．1.9 1,1x P ⎛⎞⎛⎞==⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝，则110y Px x ⎛⎞⎛⎞====⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎠⎝,x y ==即该正交变换作用只是把向量x 沿逆时针方向旋转了4π.§2 方阵的特征值与特征向量1、定义5.2.1 特征值 特征向量设 A 是n 阶方阵，若有数λ和非零向量x ，使得n A x x λ=称数λ是 的特征值，非零向量A x 是 对应于特征值A λ 的特征向量.例如 对，有1221A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3λ=及向量，使得 ，这说明11x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠121132111⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠3λ=是 的特征值， 是 对应于A 11⎛⎞⎟⎝⎠x =⎜A 3λ= 的特征向量.例 5.2.1 设方阵的每一行元素之和均为a ,则必有一个特征值是________A A 解 设ξ为分量全为1的列向量,0A a a ξξξ⇒=≠⇒为的一个特征值A 2、特征值和特征向量的求法（1）计算特征值Ax x λ=()0=A E x A E λλ⇔−=⇒−有非零解0⇒1112121222120n nn n nn a a a a a a a a a λλλ−−=−特征方程()f λ=111212122212n nn n nn a a a a a a a a a λλ−−−由此可以解出特征方程或特征多项式的各根n 12,,,n λλ λ，这就是相应的特征值. （3） 计算特征向量根据某个特征值i λ，由线性方程组()0i A E x λ−=解出非零解i x p =，这就是对应于特征值A i λ 的特征向量.例5.2.2 求 的特征值与特征向量．122212221A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟ 解 ()2122212(5)(1)221f λλλλλ−=−=−−λ+()0f λ=⇒1235,1λλλ===−求15λ=的特征向量：4225242224A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠101011000r−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼, 取 则 1111p ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 就是对应于111(0k p k ≠)51=λ的全部特征向量.求231λλ==−的特征向量：,取 222(1)222222A E ⎛⎞⎜⎟−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠111000000r⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼2110p −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则3101p −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟ （不同时为0）就是对应于2233k p k p +23,k k 231λλ==−的全部特征向量例5.2.3 求 的特征值与特征向量．110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟ 解 2110()430(2)(1)12f λλλλλ−−=−−=−−−λ()0f λ=⇒1232,1λλλ===求12λ=的特征向量：, 取 则310241100A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠010*******r⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼1001p ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠就是对应于111(0k p k ≠)12λ=的全部特征向量.求231λλ==的特征向量：, 取210101142001101000rA E −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝∼2⎞⎟⎟⎟⎠2121p −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠就是对应于222(0k p k ≠)231λλ==的全部特征向量.注：提醒学生观察这两题的异同.例5.2.4 求矩阵的特征值与特征向量.212533102−⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟解 由3212||533(12A E λλλλ−−−=−−=−+−−−1)λ,故A 的特征值为1231λλλ===−.对于特征值λ=−1, 由,得方程的基础解系, 向量312101523011101000~A E −⎛⎞⎛⎜⎟⎜+=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝()1,1T=−⎞⎟⎟⎟⎠()0A E x +=1,p ()0kp k ≠就是对应于特征值λ=−1的特征值全部特征向量.（2）的特征值为n A 12,,,n λλ λ⇒(i)11n ni i i i aλ===i∑∑;(ii)1nini A λ==∏.例5.2.5 设,A B 都是n 阶矩阵，证明AB 与BA 有相同的特征值.证 设λ为AB 的任一特征值，ξ为AB 与λ对应的特征向量()AB BA B B BAB ξλξξξλξ⇒===⇒，若0B ξλ≠⇒为BA 的特征值，B ξ为为与之对应得特征向量；若0B ξ=AB ，又,00AB ξλξξλ=≠⇒=⇒有特征值0⇒0000AB BA AB BA E =⇒==⇒−=⇒BA 也有特征值0.综上所述，与AB BA 有相同的特征值. （3）λ是的特征值⇒n A ①k λ为kn A 的特征值,为整数k ②()01++mm a a a ϕλλ=+ λ为()01++mn m n A a E a A a A ϕ=+ 的特征值；③nA λ为的特征多项式(A ∗0n A ≠).例5.2.6已知3阶矩阵的特征值为1, 2, −3, 求A *32A A E ++. 解 因为|A |=1×2×(−3)=−6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A −1=−6A −1,A *+3A +2E =−6A −1+3A +2E .令ϕ(λ)=−6λ−1+3λ2+2, 则ϕ(1)=−1, ϕ(2)=5, ϕ(−3)=−5是ϕ(A )的特征值, 故|A *+3A +2E |=|−6A −1+3A +2E |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(−3)=−1×5×(−5)=25.4、定理5.2.1设12,,,m λλλ 为的特征值，m A 12,,,m p p p 依次是与之对应的特征向量，若12,,,m λλ λ各不相等⇒12,,,m p p p 线性无关.例 5.2.5 设矩阵有三个线性无关的特征向量，则应满足的条件为( D )0011100A a b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟,a b ()1,()1,()0,()0.A a b B a b C a b D a b ====−−≠+=解()001011111110010A a b A E a b λλλλλλλ−⎛⎞−⎜⎟=⇒−=−=−=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠0⇒1231, 1.λλλ===−又有三个线性无关的特征向量⇒对应于A 121λλ==有两个线性无关的特征向量的解空间维数为2()0A E x ⇒−=()1E =R A ⇒−.又1011011010000101000000A E a b a b a b a b −−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=+⇒+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠∼∼0.§3 相似矩阵1、定义5.3.1 相似矩阵设 为阶方阵，若有阶可逆方阵，使得,A B n n P 1P AP B −=称 B 是的相似矩阵，或者说与 相似，称 为对进行相似变换. A A 1P AP −A 注：相似是一种矩阵的等价关系，满足反身性、对称性、传递性.2、（1）定理5.3.1 与n A n B 相似与⇒n A n B 特征多项式相同，特征值相同.（2）若与对角阵n A 12n λλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 相似⇒12,,,n λλλ 为的n 个特征值. nA （3）()f λ为的特征多项式n A ()n f A O =.3、方阵的相似对角化（1）定理5.3.2 与（即能对角化）相似 n A n Λn A ⇔n A 有n 个线性无关的特征向量.推论 的n 个特征值互不相等与n A ⇒n A n Λ相似.（提醒学生注意这只是充分条件）例 5.3.1 设矩阵问当为何值时，存在可逆矩阵，使为对角矩阵？并求出和相应的对角阵. 3221,423A kk −⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟−⎝⎠P ⎟⎟k P 1P AP −解()32212212101101423123123A E kk k kλλλλλλλ2λλλ−−−−−=−−−=−−=−−−−−−−−−−()λ−()()21231221011101, 1.001k λλλλλλλλ−=−−−=−+=⇒==−=−−又A Λ⇔∼A 有3个线性无关的特征向量对应于特征值⇒121λλ==−有两线性无关的特征向量，对于()1R A E ⇒+=121λλ==−有42242200422000A E kk kk k −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=−−⇒=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠∼0时，()1R A E +=.⇒对应于 121λλ==−1,2,=−的两个线性无关的特征向量可取为()(120,1,0,2T Tξξ=)对应于特征值31,λ=在时有0k =2222221112020010424424000A E kk −−⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−=−−−⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎠⎝∼∼−⎞⎟⎟⎟⎠对应于31λ=的特征向量可取为()31,0,1Tξ=.因此，当时，令0k =()11231111,,20010211P P AP ξξξ−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⇒=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟.−⎝⎠⎝⎠注：当有重根时，它不一定有个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化.n A n 例5.3.2 问矩阵能否对角化？212533102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟解 A 的特征多项式()3123212533112A E λλλλλλλ−−−=−−=−+⇒===−−−−1λ，又 ()()232(1)(2)31231215230002101101r r r A E A E R A E +−+−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−=+=−⇒+=⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠∼()0A E x +=的解空间维数为1⇒只有一个线性无关的特征向量⇒不能对角化.A A 4、对称矩阵的对角化（1）定理5.3.3 对称矩阵的特征值为实数. （2）定理5.3.4设 12,λλ是对称阵A 的两个特征值，1,2p p 是对应的特征向量，若12λλ≠⇒,12p p 正交.（3）定理5.3.5n A 为对称阵存在正交阵，使⇒P 1T P AP P AP −==Λ， 其中是以的个特征值为对角元的对角阵.Λn A n 例3.3.3试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:220212020−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠解 将所给矩阵记为. 由A 2221202A E λλ0λλ−−−=−−−−−=(1−λ)(λ−4)(λ+2), 得矩阵A 的特征值为λ1=−2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=−2, 解方程(A +2E )x =0, 即1234202320022x x x −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎞⎟=⎟⎟⎠, 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得1122(, , )333T =p .对于λ2=1, 解方程(A −E )x =0, 即123120202021x x x −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝0⎞⎟=⎟⎟⎠, 得特征向量(2, 1, −2)T , 单位化得2212(, , )333T p =−.对于λ3=4, 解方程(A −4E )x =0, 即123220232024x x x −−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−=⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝0⎞⎟⎟⎟⎠, 得特征向量(2, −2, 1)T , 单位化得3221(, , )333T p =−.于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P −1AP =diag(−2, 1, 4).推论 为对称阵，n A λ为的特征方程的k 重根n A ()n R A E n k λ⇒−=−，对应于特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.例 3.3.4设3阶实对称矩阵A 的特征值是1231,1λλλ=−==,对应于11λ=−的特征向量，求矩阵(10,1,1Tξ=)A .解 A 为 实对称矩阵对应于⇒231λλ==有2个线性无关的特征向量23,ξξ与1λ对应的特征向量1ξ正交，故1213T T ξξξξ0==，求解线性方程组()112230,1,100T x x x x x x ξ⎛⎞⎜⎟==⇒+⎜⎟⎜⎟⎝⎠3=⇒基础解系22100,101ξξ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠取 ()1112311,,1111P P AP A P ξξξ−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⇒=Λ=⇒=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠P10101010010101212101110110111001011101101101212−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟−⎠) 100001010⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. （4） 把对称阵对角化的步骤①1122(),(),,(n A k k k s s λλλ→ 重重重，12s k k k n ++= ，1,,s λλ 互不相等； ②的基础解系个线性无关的特征向量()()0i i n i k A E x λλ→−=重i k i k →⎯⎯⎯⎯⎯→正交化、单位化个两两正交的单位特征向量12k k s k n +++=⎯⎯⎯⎯⎯→ n 个两两正交的单位特征向量；③ 个两两正交的单位特征向量→正交阵. n P 1TP AP P AP −→==Λ注意：中对角元的排列次序应予正交阵中列向量的排列次序相对应.ΛP§5 二次型及其标准型1、二次型（1）定义5.5.1 二次型称含有个变量n 12,,,n x x x n n n n的二次齐次函数22212111222121213131,1(,,,)222n nn n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x −−=+++++++ 为二次型例如：常见的二次曲面. 注：实二次型 复二次型（3）二次型与对称阵222111222121213131,1222nn n n n n n f a x a x a x a x x a x x a x x −−=+++++++令ijji a a =⇒2ij i j ij i j ji i j a x x a x x a x x =+⇒22111121211212122222n n n n f a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++21122,1.nn n n n nn n ij iji j a x x a x x a x a x x =+++++=∑()()1111122122112222n n n n x a x a x a x x a x a x a x =++++++()1122n n n nn n x a x a x a x +++++()()111122111121121122222122221212112212,,,,,,n n n n n n n nn n nn n n n nn a x a x a x a a a x a x a x a x a a a x x x x x x x a x a x a x a a a x +++⎛⎞⎛⎜⎟⎜+++⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎜⎟⎜+++⎝⎠⎝ T n ⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠x Ax =⇒A f ↔ ：二次型A f 的矩阵；f ：对称阵的二次型；A ()R A :二次型的秩.例 5.5.1 写出下列二次型的矩阵(1)()2221234123121323,,,3223f x x x x x x x x x x x x x =+−++−;(2)()123135,,246785T .f x x x X X ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠解 (1)112233441221133114411,3,1,0,1,1,0a a a a a a a a a a ===−=======2332244234433,0,02a a a a a a ==−====⇒f 的矩阵为111013320132101000⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠（2）()222123123121323135,,246.4551214785T f x x x X X x x x x x x x x x ⎛⎞⎜⎟==++++⎜⎟⎜⎟⎝⎠+f ⇒的矩阵为152********⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠例 5.5.2 已知二次型22212312132552663f x x cx x x x x x =+++−+−x 的秩为2，则常数等于__________________. c 解二次型f =的矩阵为51315333A c −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟−⎝⎠−⎟,由()511533−−−320302472R A A c c=⇒=⇒−=⇒−20 3.c =⇒= 2、二次型的标准形 二次型的规范形（1）二次型的标准形称只含有平方项的二次型为二次型的标准形（或法式）.它的一般形式可记为：221122n nf k y k y k y =+++ 例如：空间中的抛物面方程2232f x y =+就是一二次型的标准形.（2）二次型的规范形若二次型的标准形的系数只在1,1,0−中取值，如2222112p p 2r f y y y y y +=+++−−− ，则称其为二次型的规范形.3、化二次型为标准形（1）化二次型为标准型()()x cyTTf x AxCy A Cy ===可逆()=T C AC TTT yCAC yy y Λ==Λ（2）定义5.5.2 矩阵合同设,A B 使n 阶方阵，若存在可逆方阵C 满足T B C AC =则称与A B 合同，称为对做合同变换.TC AC A （3）定理5.5.1 对于任意 (),1nij ijijji i j f a x x aa ===⇒∑存在正交变换x Py =，使f 化为标准形 2222n n 112f y y λλ=+y λ++ 12,,,n ，λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的特征值.例 5.5.3 已知二次型通过正交变换化为标准形()(22212312323,,23320f x x x x x x ax x a =+++>22212325,)f y y y =++__________.a 则=解 f 的矩阵正交相似为的特征值为2000303A a ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠3 5.a ⎟⎟125A ⎛⎞⎜⎟Λ=⇒⎜⎟⎜⎟⎝⎠122,1,λλλ===1将1λ=代入A 的特征方程21001024202a a a a a >−==−=±⇒0=⇒ 2.a =A E推论 (TT)f x Ax A A ==⇒存在可逆变换x Cz =，使()f Cz 为规范形.例 5.5.4 二次型121323f x x x x x x =++的规范形为_____________________________. 解 由于f 没有平方项，故令()()()()11221212121231233,,,x y y 3x y y f y y y y y y y y y y x y =−⎧⎪=+⇒=−++−++⎨⎪=⎩ ()2221223y y y y =+−−令221122233123,,z y y z y z y f z z z =+==⇒=−−2.所用的变换为112233110110101111110110010111001001001001y z 123.z x y z y z −−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠z Cz z =§7 正定二次型1、惯性定理（1）定理5.7.1设二次型T f x Ax =的秩为，有两个可逆变换r x Cy = 和 x Pz =使()22211220r r i f k y k y k y k =+++≠ 及()22211220r r i f z z z λλλλ=+++≠⇒12,,,r k k k 与12,,,r λλ λ3中正数个数相等.（2）正惯性指数 负惯性指数二次型标准形中正系数个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.例 5.5.5 二次型2221231213244448f x x x x x x x x =++−+−x 的规范形为_____________________________.解 判断一个二次型的规范形只需确定此二次型的秩和正、负惯性指数即可。