第五章-相似矩阵PPT课件
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相似矩阵
n
n
0.8 0.3 A 0.2 0.7 的特征值为 1 0.5, 2 1 1 1 0.5 的特征向量 p1 1 1.5 2 1 的特征向量 p2 1
x1 0.8 0.3 0.9 n x 0.2 0.7 0.1 2
n
n
0.9 1 1.5 因 0.3 0.4 0.1 1 1
x1n 0.8 0.3 1 0.8 0.3 1.5 所以 n 0.3 x 0.2 0.7 1 0.4 0.2 0.7 1 2
3 A E 3 3 6 6 6 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
故 1, 2, …, n 就是 L 的 n 个特征值．
推论：矩阵与对角阵相似，则对角阵的特征值就是矩阵的特征值
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk . 设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
n
0.8 0.3 A 0.2 0.7 的特征值为 1 0.5, 2 1 1 1 0.5 的特征向量 p1 1 1.5 2 1 的特征向量 p2 1
x1 0.8 0.3 0.9 n x 0.2 0.7 0.1 2
n
n
0.9 1 1.5 因 0.3 0.4 0.1 1 1
x1n 0.8 0.3 1 0.8 0.3 1.5 所以 n 0.3 x 0.2 0.7 1 0.4 0.2 0.7 1 2
3 A E 3 3 6 6 6 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
故 1, 2, …, n 就是 L 的 n 个特征值．
推论：矩阵与对角阵相似，则对角阵的特征值就是矩阵的特征值
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk . 设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
线性代数第五章相似矩阵
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
相似矩阵课件
1 0
0 211
A11
1 3
1 1
14
1 0
0 1 211 1
41
2731 683
2763824。
2020/2/11
例
设
1
A
x 1
x 1 y
1 0
y 1
,
(2) 数量矩阵aI 只与其自身相似。
(3) 相似关系满足等价律. 即相似关系是等价关系。 也是一种等价关系，满足：反身性 ，对称性，传递性。
2020/2/11
(4) 相似矩阵的行列式相等.
即 A~B A ~ B
(5) 相似矩阵具有相同的可逆性(都可逆 或都不可逆).且其逆也相似。
即 A ~ B A1 ~ B1
(6) 相似矩阵的迹相等。
A 的迹 主对角线元素之和 tr(A) ;
2020/2/11
(7) 若 P 1 A1P B1，P 1 A2 P B2，则
(a). A1 A2 ~ B1 B2;
(b).
A1 ~ B1;
(c). A1A2 ~ B1B2;
2020/2/11
(8) 相似矩阵的幂仍相似。
2020/2/11
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1 1 1
n 0 0
A
1
1
1,
B
1
0
0.
1 1 1
1 0 0
2020/2/11
思考题解答
解 因 det( A E ) (n )( )n1 , A的特征值为 1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆
第五章 相似矩阵及二次型
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向量间的夹角 当x0 y0时
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
arccos
[ x, y] || x |||| y ||
称为n维向量x与y的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
线性代数 第五章 相似矩阵及二次型
1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
相似矩阵 PPT课件
3 3 6
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根， 则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根， 则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .
线性代数第五章 相似矩阵
l1 (k 1 1 ) X 1 l2 (k 1 2 ) X 2 L lk (k 1 k ) X k 0 l1 (k 1 1 ) l2 (k 1 2 ) L lk (k 1 k ) 0 1 ,L , k 1是互不相等的k+1个特征值，则
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵， X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量，它们线性无关。所以， A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1，2， ，n L (2) 对每一个i，求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时，X1 0， 结论成立；
假设s k时结论成立； 当s k 1时， k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵， X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量，它们线性无关。所以， A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1，2， ，n L (2) 对每一个i，求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时，X1 0， 结论成立；
假设s k时结论成立； 当s k 1时， k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
k个
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
第 5 章 第 6 讲 矩阵的相似
f 是映射
a b c
d
u
v w
f 的像集合
记做 Im f
f 的定义域
f 的陪域
a b c
d
满射
u
a
b c
u
v w
v w
d
不是满射
单射
双射
a
b c
u
a
b
u
v w
x
v w
c
双射都有逆映射
• 集合 S 到自身的映射称为 S 上的变换 .
• 集合 S 上保持每个元素不动的变换称为恒
同变换, 记为 1S .
高等代数（I） Advanced Linear Algebra
主讲教师: 高 峡
理科楼1478S
gao_m_xia@
助教: 邓剑 王威杨
• 大课
周三 3,4 节 周五 1,2 节
理教 105 理教 105
• 习题课
周三 9,10 节 文史 201 三教 101
课件下载:
• 矩阵之间的相抵关系满足以下性质
1) 反身性: 对任意 A, 有 A A ;
2) 对称性: 若 A B , 则 B A ;
3) 传递性: 若 A B , B C , 则 A C .
• 相抵关系是全体 m n 矩阵之间的一种
等价关系.
全体 m n 阶矩阵在相抵 分类下划分成一个个等价类
• 代数学研究的对象
各种结构, 从简单到复杂 • 代数的方法
做变换, 构造不变量
• 代数的思想 分等价类 , 找标准型
矩阵的相抵
定义 : 如果经过一系列初等行、列变换矩阵 A 能变成 B , 则称 A 与 B 相抵 , 记作 AB. A 与 B 相抵 存在可逆矩阵 P, Q , 使得 B = PAQ
线性代数 5-3 第5章3讲-相似矩阵(1)
注 (1) 反身性; (2) 对称性; (3) 传递性. 性质5.5 (1) 若A ~ B，则AT ~ BT；
(2) 若A ~ B，设f (x)am xm am1xm1 a1 x a0，则f ( A) ~ f (B；) (3) 若A ~ B，且A可逆，则B也可逆，且A1 ~ B1.
3
一、相似矩阵的定义及性质
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第三讲 相似矩阵(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
一、相似矩阵的定义及性质
定义5.3 设A 与B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵.
5
一、相似矩阵的定义及性质
例2 若A与B相似，则
(A) E A E B
(C) A* B*
(B) E A E B
(D) A1 B1
解 选项(B)：由A与B相似得 P1AP B，
B
则P1( A)P B，这说明 A与 B相似.
根据定理5.2得 E ( A) E (B) ， 即 E A E B .
2 0 0 例4 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1 使P1AP 为对角阵.
2 0 0
解 AE 1
1
3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A~
1
对1 1，A E 1
1
0 2 0
0 1 1 0 0 0
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
6
一、相似矩阵的定义及性质
(2) 若A ~ B，设f (x)am xm am1xm1 a1 x a0，则f ( A) ~ f (B；) (3) 若A ~ B，且A可逆，则B也可逆，且A1 ~ B1.
3
一、相似矩阵的定义及性质
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第三讲 相似矩阵(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
一、相似矩阵的定义及性质
定义5.3 设A 与B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵.
5
一、相似矩阵的定义及性质
例2 若A与B相似，则
(A) E A E B
(C) A* B*
(B) E A E B
(D) A1 B1
解 选项(B)：由A与B相似得 P1AP B，
B
则P1( A)P B，这说明 A与 B相似.
根据定理5.2得 E ( A) E (B) ， 即 E A E B .
2 0 0 例4 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1 使P1AP 为对角阵.
2 0 0
解 AE 1
1
3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A~
1
对1 1，A E 1
1
0 2 0
0 1 1 0 0 0
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
6
一、相似矩阵的定义及性质
第五章 相似矩阵(2)
i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征 向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍 是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1
,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。 证明：采用数学归纳法进行证明 （1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设 存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
第五章相似矩阵
k
k 1
a1 x a0 .
则定义矩阵多项式
g( A) ak A ak 1 A
k
k 1
a1 A a0 I .
用例5的方法，读者可自证： 若g（A）是矩阵多项式， 0 为A的特征值，则g(0 )为
g（ 0） a k k a k 1 k 1 a1 0 a 0 0 0 的特征值。
例4 设n 阶方阵A 满足等式 A2 A， 证明A 的特征值为1或0。
证 设 由此
为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
2 2
A X A( AX ) A(X ) X . 又 A2 A， 故有 2 X X ,
即 ( ) X 0.
T
X k [0, 1, 1] , k 0 .
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
注意：上面给出的特征值和特征向量的计算步骤主要 是针对具体的数值矩阵的. 求具有某些性质的非数值矩 阵的特征值，往往需要用定义讨论.
T
k 0 给出A关于
X k [1, 1, 2] .
4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 2] .
T
例3 求
3 1 1 7 5 1 A 6 6 2
的特征值和特征向量。 1 3 1 解 | I A | 7 5 1 ( 2 ) 2 ( 4) . 6 6 2
2
因此 X 0, 所以 2 0,即 1或0.
k 1
a1 x a0 .
则定义矩阵多项式
g( A) ak A ak 1 A
k
k 1
a1 A a0 I .
用例5的方法，读者可自证： 若g（A）是矩阵多项式， 0 为A的特征值，则g(0 )为
g（ 0） a k k a k 1 k 1 a1 0 a 0 0 0 的特征值。
例4 设n 阶方阵A 满足等式 A2 A， 证明A 的特征值为1或0。
证 设 由此
为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
2 2
A X A( AX ) A(X ) X . 又 A2 A， 故有 2 X X ,
即 ( ) X 0.
T
X k [0, 1, 1] , k 0 .
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
注意：上面给出的特征值和特征向量的计算步骤主要 是针对具体的数值矩阵的. 求具有某些性质的非数值矩 阵的特征值，往往需要用定义讨论.
T
k 0 给出A关于
X k [1, 1, 2] .
4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 2] .
T
例3 求
3 1 1 7 5 1 A 6 6 2
的特征值和特征向量。 1 3 1 解 | I A | 7 5 1 ( 2 ) 2 ( 4) . 6 6 2
2
因此 X 0, 所以 2 0,即 1或0.
相似矩阵简.ppt
A ~ B E A E B 4）相似矩阵 有相同的特征值.
5）相似矩阵或者都可逆 或都不可逆，当它们都可逆 时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个 线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1
p21
2
p22
... n
p2n
pn1
相应的特征值为
pn
2
1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k
(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)
P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP
0
2
0
0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1
P1可逆,
2 0 0
P11 AP1
0
5）相似矩阵或者都可逆 或都不可逆，当它们都可逆 时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个 线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1
p21
2
p22
... n
p2n
pn1
相应的特征值为
pn
2
1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k
(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)
P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP
0
2
0
0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1
P1可逆,
2 0 0
P11 AP1
0
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命题得证.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
说明 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例3 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
还可求得
det( B E ) (n )( )n1 ,
即B与A有相同的特征值.
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E ) (n )( )n1 , A的特征值为 1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆
矩阵 P1,使得 P11 A P1 diag(n,0,,0),
1
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P1, 则
证明 假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
2
n
1 p1 ,2 p2 ,,n pn .
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1,p2 ,,pn
P(B) P1.
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
则 Ak P k P1, ( A) P () P1.
对于对角矩阵,有
k 1
k
k 2
,
k n
利用上 述结论可以
(1)
()
(1)
,
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 ( A).
(1)
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
B 1相似; (3) A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
(4)若A与B相似,而f ( x)是一多项式,则f ( A)进行的一种运算，它把A 变成 P1 AP，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例4
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反 之,由 于A恰 好 有n个 特 征 值, 并 可 对 应 地 求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P , 使AP P.
又由于P可逆,所以p1, p2 ,, pn线性无关.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det( B);
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1
an1 PB P1 an PE P1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
说明 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例3 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
还可求得
det( B E ) (n )( )n1 ,
即B与A有相同的特征值.
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E ) (n )( )n1 , A的特征值为 1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆
矩阵 P1,使得 P11 A P1 diag(n,0,,0),
1
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P1, 则
证明 假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
2
n
1 p1 ,2 p2 ,,n pn .
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1,p2 ,,pn
P(B) P1.
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
则 Ak P k P1, ( A) P () P1.
对于对角矩阵,有
k 1
k
k 2
,
k n
利用上 述结论可以
(1)
()
(1)
,
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 ( A).
(1)
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
B 1相似; (3) A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
(4)若A与B相似,而f ( x)是一多项式,则f ( A)进行的一种运算，它把A 变成 P1 AP，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例4
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反 之,由 于A恰 好 有n个 特 征 值, 并 可 对 应 地 求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P , 使AP P.
又由于P可逆,所以p1, p2 ,, pn线性无关.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det( B);
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1
an1 PB P1 an PE P1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1