2011走向高考,贾凤山,高中总复习,物理,2-2

2011走向高考-贾凤山-高中总复习-第8篇1-2DA．26 B．24C．19 D．20[答案] D4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2010)的值为() A．2 B．0C．1 D．－1[答案] B[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2010)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2010)＝0.5．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与相同，故选A.6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B7．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价(m ＋n 2)%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%，已知m >n >0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ[答案] C[解析] 设商品原价为a ，方案(Ⅰ)：a (1＋m %)(1＋n %)＝a [1＋(m ＋n )%＋m %n %]方案(Ⅱ)：a (1＋n %)(1＋m %)＝a (1＋(m ＋n )%＋m %n %)方案(Ⅲ)：a (1＋m ＋n 2%)2＝a (1＋(m ＋n )%＋(m＋n2%)2)方案(Ⅳ)：a[1＋(m＋n)%]＝a(1＋(m＋n)%)又∵(m＋n2%)2≥(mn%)2＝m%n%故选C.8．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内[答案] D[解析]由三点A、B、C可以不在平面α的同一侧，知A错；由三点A、B、C可以在平面α的同一侧，知B错；可以找到平面ABC垂直于平面α，知C错．[点评]如何证明选项D，请读者给出自己的理由．9．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R ＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.10．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是() A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上[答案] B[解析]如右图，由“等腰四棱锥”的定义知，PA＝PB＝PC＝PD.设P点在底面ABCD内的射影为O，则OA＝OB＝OC＝OD，从而∠PAO＝∠PBO＝∠PCO＝∠PDO，且四边形存在以O为圆心的外接圆，故A，C都对；在△PAO所在平面内作线段PA的中垂线交PO于M.则MP＝MA，从而MP＝MA＝MB＝MC＝MD.故四棱锥的顶点都在以M为球心的球面上．故D正确；显然当四棱锥为正四棱锥时，各侧面与底面成的角相等．当底面上四点任意排布在⊙O的圆周上时，B错．考查命题的判断与信息捕捉分析能力．二、填空题11．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1的图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．[答案]c n>c n＋1[解析]∵a n＝n2＋1，b n＝n，c n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，随n的增大而减小，∴c n＋1<c n.12．(文)设f(x)定义如表，数列{x n}满足x1＝5，x n＋1＝f(x n)，则x2011x 12345 6f(x)45126 3[答案] 4[解析]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{x n}是周期为6的周期数列，∴x2011＝x1＝4.据此可知，{x n}周期为4，∴x2011＝x3＝1.(理)(09·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．[答案] 5[解析] 根据规则可知报数为1,1,2,3,5,8,13,21，…，被3除的余数规律为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，而是3的倍数的数出现在4的倍数位置．又甲在第1,6,11,16，…等次数上，则同时满足的有16,36,56,76,96共5个数．13．(文)(09·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________． [答案] 18(理)E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ABC被线段EF 分成两部分的面积之比，S △AEF S △ABC ＝AE ·AF AB ·AC ，类比此结论，则对于三棱锥P －ABC ，若E 、F 、G 分别为三条棱PA 、PB 、PC 上的点，则有________．[答案] V P －EFG V P －ABC ＝PE ·PF ·PG PA ·PB ·PC 14．(文)若a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n ＋b n 与c n (其中n ∈N *且n >2)的大小关系是________．[答案] a n ＋b n <c n[解析] ∵△ABC 为Rt △，且c 为斜边，∴c 2＝a 2＋b 2，∴c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<b c <1，当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝1， 即a n ＋b n <c n .(理)设x>0，y>0，a＝x＋y，b＝x cos2θ·y sin2θ(θ∈R)，则a与b的大小关系为________．[答案]a>b[解析]∵x>0，y>0，∴x＋y>x，x＋y>y，∴(x＋y)cos2θ>x cos2θ，(x＋y)sin2θ>y sin2θ，∴b＝x cos2θ·y sin2θ<(x＋y)cos2θ·(x＋y)sin2θ＝(x＋y)sin2θ＋cos2θ＝x＋y＝a.三、解答题15．(文)先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i∈R，|x i|<1(i＝1,2，…，n)时，有________．(理)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边上的高为h，则1h2＝1AC2＋1BC2，先证明此性质，再类比此性质，给出在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，写出得到的正确结论并证明之．[解析] (1)1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2 (2)Rt △ABC 中，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴1AC 2＋1BC 2＝1AD ·AB ＋1BD ·AB ＝1AB ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1AD ＋1BD ＝1AB ·AD ＋BD AD ·BD ＝1AD ·BD ＝1h 2. 四面体P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PD 、PE 、PF 分别垂直于BC 、AB 、AC ，PO ⊥平面ABC ，即PO ＝h .∴△APD 为直角三角形．∴1PA 2＋1PD 2＝1h2. 同理，1PB 2＋1PF 2＝1h2， 1PC 2＋1PE 2＝1h2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1PD 2＋1PE 2＋1PF 2＝3h 2(*) 又△APB 为直角三角形，∴1PA 2＋1PB 2＝1PE2.同理，1PB 2＋1PC 2＝1PD 2，1PA 2＋1PC 2＝1PF 2. ∴(*)式变为1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＋21PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝3h 2.∴1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝1h 2. 16．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－30°＝6°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin(30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. 17．(文)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC 边上有2011个不同的点P 1、P 2、…、P 2011，记M i ＝AP 2i ＋BP i ·CP i (i ＝1、2、…、2011)，求M 1＋M 2＋…＋M 2011的值．[解析] 可取特殊点试验M i 的值，例如，取BC 的中点P ，则∵AB ＝AC ，∴AP ⊥BC ，∴M ＝AP 2＋BP ·PC ＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，再猜想所有M i 的值可能均为4.验证：取BC 中点P ，又P i 为BC 上任一点，∴M i＝AP 2i ＋BP i ·P i C ＝AP 2i ＋(BP －PP i )(CP ＋PP i )＝AP 2i ＋(BP －PP i )(BP ＋PP i )＝AP 2i ＋BP 2－P i P 2＝(AP 2i －P i P 2)＋BP 2＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，从而猜想正确，∴M 1＋M 2＋…＋M 2011＝4×2011＝8044.(理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38. ∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －14.猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列。

第五篇第2章第二讲一、选择题1．(09·广东)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④[答案] D[解析]①显然错误，因为这两条直线相交才满足条件；②成立；③错误，这两条直线可能平行，相交，也可能异面；④成立，用反证法容易证明．故选D.2．平面α∥平面β的一个充分条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α[答案] D[解析]如图(1)三棱柱中侧棱a，与交于侧棱l的两个侧面α、β都平行，故A错．如图(2)a⊂α，α∩β＝l，a∥l，故B错．如图(3)α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，故C错．3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l () A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线[答案] C[解析]宜用排除法解法1：当直线l与平面α相交时，则A不可能；当直线l与平面α平行时，则B不可能，当直线l⊂α时，则D不可能；解法2：如果l⊥α，则在α内必有直线与l垂直；如果l与α不垂直，设l在α内射影为l′，则在α内必有直线a⊥l′，从而a⊥l，∴选C.4．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是() A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n[答案] C[解析] 在下图(1)中满足A 的条件，但n ∩α＝A ；在图(2)中满足B 的条件，但m ∩n ＝A ；在图(3)中，∵n ∥α，∴n 与α无公共点，又m ⊂α，∴n 与m 无公共点，又n ，m 共面，∴m ∥n ；在图(4)中，满足D 的条件，但m ∩n ＝A .故选C.5．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C [解析] ①由线面关系知α、β可能相交，故错，②由线面关系知l ，m 还可能异面，③三个平面两两相交，由线面平行关系知，m ∥n 正确．综上所述正确命题只有1个，故选C.6．已知平面α、β满足α∥β，AB 和CD 是夹在α与β之间的线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2，如果直线AB 与α所成的角为30°，那么线段CD 的长的取值范围是 ( )A ．(233，433] B ．[1，＋∞) C ．[1，233] D ．[233，＋∞) [答案] D[解析] 若AB 确定，则CD 在与AB 垂直且与两平面α，β都相交的平面γ内，故CD 的长可无限增大．当CD 在AB 及其射影确定的平面内时，CD ＝AB ·tan30°＝233， 故CD 的取值范围为[233，＋∞)． 7．下列关于直线和平面的四个命题中不正确．．．的是 ( ) A ．平行于同一平面的两个平面一定平行B ．平行于同一直线的两条直线一定平行C ．垂直于同一直线的两条直线一定平行D ．垂直于同一平面的两条直线一定平行[答案] C[解析] 垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还可能相交或异面，故选C.8．在空间中，有如下命题，正确的是 ( )A ．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线B ．若平面α∥平面β，若平面α内任意一条直线m ∥平面βC ．若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面βD ．若平面α内的三点A ，B ，C 到平面β的距离相等，则α∥β[答案] B[解析] 两平行线在同一平面内的射影还可能是一条直线或两个点，故A 错．α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，固定平面α将β绕m 旋转到任意位置都满足上述条件，故C 错．三点位于平面异侧也满足距离相等，故D 错，选B.9．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；则真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 如图正方体中，设面AA 1B 1B 为α，面A 1B 1C 1D 1为β，A 1D 1为l ，A 1C 1为m ，而A 1D 1与A 1C 1相交，故②错．⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，故③对．10．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是 ( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③[答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n ⊂α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．二、填空题11．(文)过两平行平面α、β外的一点P 作两条直线，分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD ＝________.[答案] 12(理)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________．[答案] 64cm 2[解析] 如图，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，易求S △ACE ＝64cm 2.12．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.[答案] M ∈线段FH [解析] 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，又平面NHF ∩平面EFGH ＝FH .故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面B 1BDD 1，故填M ∈线段FH .13．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③ [解析] 如图①，∵MN ∥AD ，NP ∥AC ，∴平面MNP ∥平面ADBC ，∴AB ∥平面MNP . 如图②，假设AB ∥平面MNP ，设BD ∩MP ＝Q ，则NQ 为平面ABD 与平面MNP 的交线，∴AB ∥NQ ，∵N 为AD 的中点，∴Q 为BD 的中点，但由M 、P 分别为棱的中点知，Q为BD 的14分点，矛盾，∴AB ∥\ 平面MNP . 如图③，∵BD 綊AC ，∴四边形ABDC 为平行四边形，∴AB ∥CD ，又∵MP 为棱的中点，∴MP ∥CD ，∴AB ∥MP ，从而可得AB ∥平面MNP . 如图④，假设AB ∥平面MNP ，并设直线AC ∩平面MNP ＝D ，则有AB ∥MD ，∵M 为BC 中点，∴D 为AC 中点，这样平面MND ∥平面AB ，显然与题设条件不符，∴AB ∥\ 平面MNP .14．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．[答案] 平行 [解析] 取PD 的中点F ，连接EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB .∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵BE ⊄面P AD ，AF ⊂面P AD ，∴BE ∥面P AD .三、解答题15．(文)已知正方形ABCD 的边长是13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点且PM MA ＝BN ND ＝，如图(1)求证：直线MN ∥平面PBC ；(2)求线段MN 的长． [解析] (1)连结AN 并延长和BC 交于E 点，则EN NA ＝BN ND ，∴NE NA ＝PM MA. ∴MN ∥PE ，而MN ⊄平面PBC ，PE ⊂面PBC ，∴MN ∥平面PBC .(2)由余弦定理求得PE 2＝PB 2＋BE 2－2PB ·EB cos60°代入数值计算得PE ＝918，∴MN ＝813PE ＝7.(理)如图，正四棱锥S －ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P 、Q 分别在BD 和SC 上，并且BP PD ＝，PQ ∥平面SAD ，求线段PQ 的长．[解析] 延长CP 交DA 延长线于点R ，连结SR .∵PQ ⊂平面SRC ，平面SRC ∩平面SAD ＝SR ，PQ ∥平面SAD ，∴PQ ∥SR .由△PBC ∽△PDR 及已知求得DR ＝2a .在等腰△SAD 中，求出cos ∠SDA ＝14.又在△SDR 中，由余弦定理得SR ＝6a .∵PQ ∥SR ，∴PQ SR ＝CP CR ＝BP BD ＝13，∴PQ ＝63a . 16．(文)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．(1)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(2)求证：AB 1∥平面BEC 1.[解析] (1)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ，则BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又∵BE ⊂平面BEC 1，∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1.(2)连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D .∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴四边形BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点． ∵E 是AC 的中点，∴AB 1∥DE .又DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1，∴AB 1∥平面BEC 1.(理)如图所示，AF 是⊙O 的直径，AD 与圆所在的平面垂直，AD ＝8，BC 也是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，且OE ＝AD .(1)求证：EF ∥平面BCD ；(2)求证：BC ⊥EF ；(3)求多面体ABFED 的体积V . [解析] (1)证明：∵OE ∥AD ，且OE ＝AD ，∴DE 綊AO .又AO ＝OF ，∴DE 綊FO .∴四边形ODEF 为平行四边形，∴EF ∥OD ，∵OD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ⇒EF ∥平面BCD .(2)证明：∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AO .∵AD ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD .∵AO ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面AFED .∵EF ⊂平面AFED ，∴BC ⊥EF .(3)解：∵OE ＝AD ＝8，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AF ＝62，BO ＝AO ＝DE ＝3 2.∴S ADEF ＝36 2.又BO ⊥平面ADEF ，V ＝V B －ADEF ＝13S ADEF ·BO ＝13·362·32＝72. 17．(文)(09·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .[解析] (1)因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以EF ∥平面ABC . (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .(理)如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，CD ＝2AB ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝AD ＝1，Q 是PC 的中点．(1)求证：BQ ∥平面P AD ；(2)如果点E 是线段CD 中点，求三棱锥Q －BEC 的体积．[解析] (1)证明：设PD 中点为F ，∵Q 为PC 中点，∴FQ 綊12CD ，又∵AB 綊12CD ，∴FQ 綊AB ，∴四边形ABQF 为平行四边形， ∴BQ ∥AF ，∵AF ⊂平面P AD ，BQ ⊄平面P AD ，∴BQ ∥平面P AD .(2)设Q 到平面ABCD 的距离为h ，∵Q 为PC 中点，P A ⊥平面ABCD ，∴h ＝12P A ＝12. 由条件知，BE ⊥CE ，且BE ＝CE ＝1，∴V Q －BEC ＝13S △BEC ·h ＝13·⎝⎛⎭⎫12BE ·CE ·h ＝112.。

第2章第1讲一、选择题1．关于摩擦力，下列说法正确的是() A．两个接触的物体间可能只存在相互作用的摩擦力B．两个物体间有弹力一定有摩擦力C．汽车在水平公路上行驶，驱动轮受到的摩擦力向前D．杂技演员用手握着竖直的杆向上攀，手握杆的力越大，手受到杆的摩擦力越大[答案] C[解析]有摩擦力一定有弹力，A错；有弹力不一定有摩擦力，B错；驱动轮与地面间的力是动摩擦力，此时方向向前，C正确，演员爬杆时，是静摩擦力，与压力无关，D错．2．一氢气球下系一小重物G，重物只在重力和绳的拉力F作用下做匀速直线运动，不计空气阻力和风力的影响，而重物匀速运动的方向如图中箭头所示的虚线方向，图中气球和重物G在运动中所处的位置正确的是()[答案] A[解析]重物只在重力和绳子的拉力F作用下做匀速直线运动，那么这两个力的合力为0，即绳子的拉力方向是竖直向上，A正确．3．如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为30°的斜面上，杆的另一端固定一个重量是2N的小球，小球处于静止状态时，弹性杆对小球的弹力()A．大小为2N，方向平行于斜面向上B．大小为1N，方向平行于斜面向上C．大小为2N，方向垂直于斜面向上D．大小为2N，方向竖直向上[答案] D[解析]由于小球处于静止状态，故小球受力平衡，弹性杆对小球的弹力F N＝G＝2N，方向竖直向上．4．(2009·江苏高考模拟)如图所示，放在粗糙水平面上的物体A上叠放着物体B.A和B 之间有一根处于压缩状态的弹簧．A、B均处于静止状态，下列说法中正确的是()A．B受到向左的摩擦力B．B对A的摩擦力向右C．地面对A的摩擦力向右D．地面对A没有摩擦力[答案] D[解析]弹簧对B有向左的弹力，B保持静止，因此A对B有向右的摩擦力，B对A的摩擦力向左，A、B错误；A、B整体在水平方向不受其他外力作用，因此没有向左或向右的运动趋势，地面对A没有摩擦力．C错误、D正确．5．(2009·安徽蒙城六中教学质检)如图所示，加装“保护器”的飞机一旦在空中发生事故失去动力时，上方的降落伞就会自动弹出．如果一根伞绳就能承重2940N，降落伞展开后伞绳与竖直方向的夹角均为30°，飞机的质量约为30t，忽略其他因素，仅考虑当飞机处于平衡时，降落伞的伞绳至少所需的根数最接近()A．120根B．12根C．60根D．100根[答案] A[解析]每根伞绳能承受的拉力为F＝2940N，设共需n根，则有nF cos30°＝300000N，解得n＝118，A正确．6．(2009·安徽蚌埠质检)如图所示，放在水平桌面上的木块A处于静止状态，所挂的砝码和托盘的总质量为0.6kg，弹簧测力计读数为2N，滑轮摩擦不计，若轻轻取走盘中的部分砝码，使总质量减小到0.3kg，将会出现的情况是(g＝10m/s2) ()A．弹簧测力计的读数将变小B．A仍静止不动C．A对桌面的摩擦力不变D．A所受的合力将要变大[答案] B[解析]初态时，对A：得到F f＝F1－F2＝4N，说明最大静摩擦力F max≥4N，当将总质量减小到0.3kg时，物体仍静止，F f′＝1N.7．(2009·安徽含山县林头中学高三月考)如图所示，斜面体M的底面粗糙，斜面光滑，放在粗糙水平面上．弹簧的一端固定在墙面上，另一端与放在斜面上的物块m相连，弹簧的轴线与斜面平行．若物块在斜面上做简谐运动，斜面体保持静止，则地面对斜面体的摩擦力f与时间t的关系图象是()[答案] C[解析]由于斜面光滑，尽管物块在斜面上做简谐运动，但由于物块对斜面的摩擦力为零，对斜面的正压力始终等于重力沿垂直斜面方向的分力，因此地面对斜面体的摩擦力始终是一个恒力，C正确．8．如图所示，AOB为水平架光滑杆，其夹角∠AOB＝60°，在杆上套两个质量均为m 的小球，两小球由可伸缩的弹性绳连接，在绳的中点C，施以沿∠AOB角平分线方向向右的水平拉力F，两小球平衡时绳对小球弹力大小为F T，则F T与F大小的关系是()A．F T＝F B．F T>FC．F T<F D．无法确定[答案] A[解析] 球和C 点受力如图所示，球平衡时F N ＝F T ，C 点受三个力互成120°角而平衡F ＝F T ，正确选项是A.二、非选择题9．如下图所示，三个质量均不计的完全相同的测力计，各小球质量相同，一切摩擦不计，平衡时各弹簧秤示数分别为F 1、F 2、F 3，其大小关系是________．[答案] F 1＝F 2＝F 3[解析] A 图：受下面一个球对它的拉力和上面一个球对它的拉力，如果没有上面一个球对它的拉力，弹簧就不能悬在空中．B 图：分别受到墙和小球对它的拉力，如果没有墙对它的拉力，弹簧将运动起来．C 图：分别受到两个小球对它的拉力．由此可见，三种情况都是受到两个拉力且平衡，故结果一样，F 1＝F 2＝F 3.10．(2008·潍坊)如图所示，长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使细绳与竖直方向夹角为30°，且使小球A 处于静止状态，则对小球施加的最小的力等于________．[答案] 12mg [解析] 对小球受力分析如图，将mg 沿绳和垂直绳方向分解，绳子拉力可以和G x 平衡，外力F 直接与G y 平衡时，外力F 最小F min ＝G y ＝mg sin30° ∴F min ＝12mg . 11．如图所示，水平面上有一重为40N 的物体，受到F 1＝13N 和F 2＝6N 的水平力的作用而保持静止．已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：(1)物体所受的摩擦力的大小与方向．(2)当只将F 1撤去，物体受到的摩擦力的大小和方向．(3)若撤去的力不是F 1而是F 2，则物体受到的摩擦力大小方向又如何？[答案] (1)7N ，水平向右 (2)6N ，水平向左 (3)8N ，水平向右[解析] 最大静摩擦力F m ＝μF N ＝μG ＝0.2×40N ＝8N(1)因为F 1－F 2＝13N －6N ＝7N<F m ，所以摩擦力为静摩擦力，且Ff 1＝7N ，方向与物体相对运动趋势方向相反，即水平向右．(2)因为F 2＝6N<F m ，所以摩擦力为静摩擦力，且Ff 2＝6N ，方向与F 2方向相反，即水平向左．(3)因为F 1＝13N>F m ，所以摩擦力为滑动摩擦力，Ff 3＝μF N ＝8N ，方向与F 1方向相反，即水平向右．12．如图所示，倾角α＝60°的斜面上，放一质量为1kg 的物体，用k ＝100N/m 的轻质弹簧平行于斜面拉着，物体放在PQ 之间任何位置都能处于静止状态，而超过这一范围，物体就会沿斜面滑动．若AP ＝22cm ，AQ ＝8cm ，试求物体与斜面间的最大静摩擦力的大小．(取g ＝10m/s 2)[答案] 7N[解析] P 、Q 两点应是静摩擦力最大的两个临界位置，在P 点弹簧处于伸长状态，受力分析如图(1)所示．f m ＝F 1－mg sin α①在Q 点弹簧处于压缩状态，受力分析如图(2)所示．f m ＝F 2＋mg sin α②设弹簧原长x ，则有F 1＝k (0.22－x )③F 2＝k (x －0.08)④由①②得⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝F 1－mg sin αf m ＝F 2＋mg sin α 所以2f m ＝F 1＋F 2＝k (0.22－0.08)f m ＝12×100×0.14N ＝7N. 13．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板．系统处于静止状态．现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 受到的合外力和从开始到此时物块A 的位移d .(重力加速度为g )[答案] F －(m A ＋m B )g sin θ (m A ＋m B )g sin θk[解析] B 刚要离开C 时，弹簧弹力大小，F 弹＝m B g sin θ.以A 为对象受力如图故合力F 合＝F －F 弹－m A g sin θ＝F －(m A ＋m B )g sin θ，开始时弹簧压缩量Δx 1＝m A g sin θk ， B 刚要离开时，弹簧伸长量Δx 2＝m B g sin θk， 所以A 的位移d ＝Δx 1＋Δx 2＝(m A ＋m B )g sin θk .。