高考数学新题型ppt课件

新高考数学新题型一轮复习课件第六章§6.2　等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为_______________________ .(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝ .2同一个常数d a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)2.等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ .(2)前n 项和公式：S n ＝ 或S n ＝ .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则.(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为的等差数列.a 1＋(n －1)d (n －m )d a k ＋a l ＝a m ＋a n md(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)等差数列{a n}的前n项和为S n，为等差数列.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d ＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(4)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列.( )√√×√教材改编题1.已知等差数列{a n}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{a n}的公差为√设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又∵a2＝3，∴d＝－1.90 2.在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝_____.3.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝126______.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1　(1)(多选)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则下列选项正确的是A.a 2＋a 3＝0B.a n ＝2n －5C.S n ＝n (n －4)D.d ＝－2√题型一等差数列基本量的运算√√∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②∴a n＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；(2)(2022·内蒙古模拟)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于√A.13B.14C.15D.16教师备选1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝5，S4＝24，则a9等于√A.－5B.－7C.－9D.－11∵a3＝5，S4＝24，∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴a n＝11－2n，∴a9＝11－2×9＝－7.∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，a n，S n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1　(1)(多选)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是√√A.a1＝－2B.a1＝2C.d＝4D.d＝－4(2)(2020·全国Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，25则S10＝______.设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.题型二等差数列的判定与证明例2　(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，①②⇒③.②③⇒①.所以a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{a n}是等差数列.教师备选(2022·烟台模拟)已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，记b n＝log2(a n＋1).(1)判断{b n}是否为等差数列，并说明理由；{b n}是等差数列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，当n≥2时，b n－b n－1＝log2(a n＋1)－log2(a n－1＋1)∴{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)求数列{a n }的通项公式.2nb 由(1)知，b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＋1＝＝2n ，∴a n ＝2n －1.判断数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数.(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足a n＝pn＋q(p，q为常数).(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足S n＝An2＋Bn(A，B为常数).跟踪训练2　已知数列{a n}满足a1＝1，且na n＋1－(n＋1)a n＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；由题意可得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.命题点1　等差数列项的性质例3　(1)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 3＋a 4等于A.6B.7C.8D.9√题型三等差数列的性质因为2a n＝a n－1＋a n＋1，所以{a n}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＋a4＝3＋4＝7.(2)(2022·宁波模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于√A.225B.250C.270D.300等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，命题点2　等差数列前n项和的性质例4　(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于√A.110B.150C.210D.280因为等差数列{a n}的前n项和为S n，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列.故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.1.若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于A.2B.3C.4D.5√教师备选∵S 15＝30，∴ (a 1＋a 15)＝30，∴a 1＋a 15＝4，∴2a 8＝4，∴a 8＝2.∴2a 5－a 6－a 10＋a 14＝a 4＋a 6－a 6－a 10＋a 14＝a 4－a 10＋a 14＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝ 2.√∴S2 023＝2 023×2＝4 046.(1)项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1).②S2n－1＝(2n－1)a n.③依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.√跟踪训练3　(1)(2021·北京){a n }和{b n }是两个等差数列，其中 (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3等于A.64B.128C.256D.512√设等差数列{a n}的公差为d，K E S H I J I N G L I A N 课时精练1.(2022·芜湖模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＝30，a 4＝11，则{a n }的公差为A.－2B.2C.－3D.3基础保分练√设公差为d ，因为a 3＋a 9＝2a 6＝30，2.(2022·莆田模拟)已知等差数列{a n}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为√A.－3B.3C.－12D.12由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.3.(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是√由题设知在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.4.(2022·山东省实验中学模拟)已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为√A.28B.29C.30D.31设等差数列{a n}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为a n＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝a n＋1，所以a n＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.5.(多选)等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有√√A.a7B.a8C.S15D.S16由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，。

新高考数学新题型一轮复习课件第三章§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x0处的导数记作 或 .0'|x x y f ′(x 0)(2)函数y ＝f (x )的导函数2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的，相应的切线方程为 .y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)斜率3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝______f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝_______0αx α－1cos x －sin x a x ln ae xf(x)＝e x f′(x)＝____ f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x)[cf (x )]′＝ .cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x ).( )××××教材改编题∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.1.函数f (x )＝e x ＋ 在x ＝1处的切线方程为______________.y ＝(e －1)x ＋22.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝______. f′(x)＝1＋ln x＋2ax，3.若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝____________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一导数的运算例1　(1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是√√(x2e x)′＝(x2＋2x)e x，故B错误；教师备选1.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于√y′＝2cos 2x＋2sin 2x2.(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，则f(2 021)－f(0)等于√A.e2 021cos 2 021B.e2 021sin 2 021C. D.e因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f(x)＝e x sin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1　(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于√A.1B.2C.3D.4当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.e2 (2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋ax e－x，若f′(2)＝1，则a＝___.∴f′(2)＝2＋a e－2－2a e－2＝2－a e－2＝1，则a＝e2.命题点1　求切线方程题型二导数的几何意义例2　(1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝ 在点(－1，－3)处的切线方程为_____________.5x －y ＋2＝0所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，x－y－1＝0则直线l的方程为_____________.∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于√A.4B.3C.2D.1∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝a e x(a>0)的切线，恰有2条，(1，＋∞)则实数a的取值范围是__________.由y ′＝a e x ，若切点为(x0，　)，则切线方程的斜率k ＝ ＝ >0，∴切线方程为y ＝ (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴　(2－x 0)＝e ，0'|x x y 0e x a 0e x 0e x a 0e x a 0e x a 令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝e，又x→－∞时，φ(x)→0；x→＋∞时，φ(x)→－∞，解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).1.已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为A.(1,3)B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3)D.(1，－3)√教师备选设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).2.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[4，＋∞)√C.(－∞，2]D.(－∞，4]故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.跟踪训练2　(1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝e x－2n相切，则√设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 切于点(x0， )，因为y ′＝e x －2n ，所以　 ＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，02e x n -02e x n -(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，[2，＋∞)则实数a的取值范围是__________.直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).例4　(1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于A.0B.－1C.3D.－1或3√题型三两曲线的公切线由f(x)＝x ln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y ＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则a的取值范围为__________.由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，与曲线C 2切于点(x 2，　)，2e x 222121e e ,x x ax x x -=-则2ax 1＝可得2x 2＝x 1＋2，1121e 2x x +∴a ＝ ，12e 2x x+记f (x )＝ ，122e (2)4x x x +-则f ′(x )＝ ，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.延伸探究　在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为___________.由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝ 有两个不同的解.1121e 2x x +12e 2x x +∵函数f (x )＝ 在(0,2)上单调递减，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，1.若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于A.1B.2C.3D.3或－1教师备选√解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.。

新高考数学新题型一轮复习课件第五章§5.1　平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：长度为的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于长度的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向的向量.方向长度(或模)01个单位相反相同相反向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝_______；结合律：(a＋b)＋c＝_________2.向量的线性运算b＋aa＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝_______，当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a 的方向；当λ＝0时，λa＝___λ(μa)＝_______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________ |λ||a|相同相反(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.向量共线定理b＝λa 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________.5.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关.( )(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( )(3)若向量 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( )√√××1.(多选)下列命题中，正确的是A.若a 与b 都是单位向量，则a ＝bB.直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C.若用有向线段表示的向量 不相等，则点M 与N 不重合D.海拔、温度、角度都不是向量√√A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.2.下列各式化简结果正确的是√3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝______.由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1　(1)(多选)给出下列命题，不正确的有A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且 ，则四边形ABCD 为平行 四边形C.a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD.已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线√√√题型一向量的基本概念A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b 不一定共线.(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是√(多选)下列命题为真命题的是A.若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B.若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC.两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件教师备选√√√平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.跟踪训练1　(1)(多选)下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0C.若a ，b 都为非零向量，则使 ＝0成立的条件是a 与b 反向共线D.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c √√√A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确.(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的√A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件.例2　(2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________.题型二平面向量的线性运算命题点1　向量加、减法的几何意义2 023 0当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.例3　(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且，F是AE的中点，则下列关系式正确的是命题点2　向量的线性运算√√√所以选项A正确；所以选项B正确；所以选项C不正确；所以选项D 正确.命题点3　根据向量线性运算求参数例4　(2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足√如图所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，教师备选√∵D为BC的中点，√平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.跟踪训练2　(1)点G 为△ABC 的重心，设如图所示，由题意可知√√如图所示，由题意知，共线定理及其应用题型三例5　设两向量a与b不共线.又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线.∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.1.已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足 若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为A.2B.3C.4D.8教师备选√2.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，t b， (a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________.又a，b为两个不共线的非零向量，利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3　(1)若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a ＋k b，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于√。

新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.7　正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R a2＝；b2＝；c2＝_________________1.正弦定理与余弦定理b2＋c2－2bc cos Ac2＋a2－2ca cos Ba2＋b2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A，b＝，c＝；(2)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝_____________；cos B＝____________；cos C＝____________ 2R sin B2R sin C2.三角形中常用的面积公式在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形.( )××√×1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于√因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得因为∠BAC为△ABC的内角，45°又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.3.在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝，△ABC的面积＝ .T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1　(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝a sin C.(1)证明：BD＝b;[切入点：角转化为边](2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. [关键点：∠BDA和∠BDC互补]高考改编在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋a sin A＝b sin B＋c sin C.(1)求A；根据正弦定理，由b sin C＋a sin A＝b sin B＋c sin C，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2，所以∠ADB＋∠ADC＝π，则cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，整理得a2＝2b2－44，又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4－2b，所以b2＋4－2b＝2b2－44，解得b＝6或b＝－8(舍)，因此a2＝2b2－44＝28，解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.跟踪训练1　(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2b cos B，C＝(1)求B的大小；∵c＝2b cos B，则由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.若选择①：由正弦定理结合(1)可得设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为例2　在△ABC 中， (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形√题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1　三角形形状判断即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.又sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以cos B sin C＝sin B cos C＋cos B sin C，即sin B cos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又角C为三角形的内角，又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以△ABC是等边三角形.判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.命题点2　三角形的面积例3　(2022·沧州模拟)在①sin A，sin C，sin B成等差数列；②a∶b∶c＝4∶3∶2；③b cos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＋b sin B＝c sin C，c＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.因为a(sin A－sin B)＋b sin B＝c sin C，由正弦定理得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，又C∈(0，π)，选择①：因为sin A，sin C，sin B成等差数列，所以sin A＋sin B＝2sin C，即a＋b＝2c＝2，由a2＋b2－c2＝a2＋b2－1＝ab，得(a＋b)2－3ab＝1，所以ab＝1，故存在满足题意的△ABC，选择②：因为a∶b∶c＝4∶3∶2，这与A＋B＋C＝π矛盾，所以△ABC不存在.选择③：因为b cos A＝1，得b2＝1＋a2＝c2＋a2，三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.命题点3　与平面几何有关的问题例4　如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝AB＝6.在AB边上(1)求sin∠BCE的值；在△BEC中，由正弦定理，(2)求CD的长.∴△AED为直角三角形，又AE＝5，在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED∴CD＝7.1.在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形教师备选√∵a2＋b2－c2＝ab，又C∈(0，π)，由2cos A sin B＝sin C，故三角形为等边三角形.2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C－(1)求tan C；又∵sin B≠0，。

专题二不等式
【考情探究】
课标解读
考情分析备考指导主题内容
一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系,
会从实际问题中抽象出一
元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元
二次不等式与相应的二次
函数、一元二次方程的联
系.
1.考查内容:从近几年高考的情况
看,本专题内容考查的重点是不等
式的性质与解法,基本不等式及不
等式的综合应用.常与导数、函数
零点等知识结合,常用到数形结
合、分类讨论、化归与转化等数学
思想方法.
2.不等式是常考的内容,在选择
题、填空题中,常考查不等式的性
质、解法及应用基本不等式求最
值;在解答题中,常与导数结合研究
与函数相关的大小关系.
1.不等式的性质及不等式的解法难度较小,对于含有参
数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论(特别是二
次项系数、判别式符号均不确定的问题).
2.对于利用基本不等式求最值的问题,要学会配凑方法,
将之表示成“和定”或“积定”的形式,对于多次使用
基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时
取到.
3.对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法
(比如分离参数法等)上,而是将较难的、生疏的问题经
过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题,积累具
体分析、转化的经验.
二、基本不等式与不等式的综合应用了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【真题探秘】
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新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.8　解三角形及其应用举例考试要求1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°测量中的几个有关术语方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i ＝ ＝tan θ判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同.( )(2)若△ABC 为锐角三角形且 ( )(3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 ( )×√××1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为√由三角形内角和定理，可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，2.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为__________ m.如图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴4＝b 2＋c 2－bc ，∴bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤4(当且仅当b ＝c 时取“＝”)，3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，A ＝60°，则△ABC 的面积最大值为_____.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1　(1)(2022·天津模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于题型一解三角形的应用举例命题点1　距离问题√从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m，所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，＝160sin 15°＝1 600×20＝32 000，命题点2　高度问题例2　(1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，则旗杆的高度为√依题意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，√BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC cos∠BDC，例3　(1)(2022·合肥检测)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°√命题点3　角度问题由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确.(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ等于√由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，教师备选1.(2022·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是√如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，2.圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15 －15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为√所以∠ACM＝30°，在Rt△DCM中，解三角形的应用问题的要点(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解.跟踪训练1　(1)如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测到A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两岛屿的距离为________海里.∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，所以△BCD为等腰直角三角形，(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m.由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，在Rt△BCD中，题型二解三角形中的最值和范围问题例4　(2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin C＋c cos B＝a.(1)若a＝2，b＝，求△ABC的面积；＝sin B cos C＋cos B sin C，又易知cos C≠0，∵0<C<π，(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围.由余弦定理得4＝a2＋b2－ab，即(a＋b)2≤16，∴0<a＋b≤4，当且仅当a＝b时等号成立，又a＋b>c＝2，∴2<a＋b≤4，∴4<a＋b＋c≤6，故△ABC周长的取值范围是(4,6].延伸探究　把本例(2)改为△ABC为锐角三角形，若c＝2，求△ABC周长的取值范围.(1)同例题.∵△ABC为锐角三角形，教师备选在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos A cos B ＝2 sin A cos B.(1)求cos B的值；因为sin A≠0，(2)若a＋c＝2，求b的取值范围.。

新高考数学新题型一轮复习课件第七章§7.6　空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和 的量相等向量方向且模 的向量相反向量方向且模 的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相或 的向量共面向量平行于的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在 的有序实数对(x ，y )，使p ＝ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝ ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.a ＝λb 唯一x a ＋y b x a ＋y b ＋z c3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝ .(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a |______________夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c ).( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )√×××1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是A.{a，a＋b，a－b}B.{b，a＋b，a－b}√C.{c，a＋b，a－b}D.{a＋b，a－b，a＋2b}∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面.∴A，B，D不正确.√由题意，根据向量运算的几何运算法则，3.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝____.∵l1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.10T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一空间向量的线性运算D1的中点，∵P是C∵N是BC的中点，∵M是AA1的中点，教师备选√用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.√√题型二空间向量基本定理及其应用(2)判断点M是否在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.教师备选跟踪训练2　(1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.属于∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.例3　如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：题型三空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.教师备选√设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，∵MN为球O的直径，又P在正方体表面上移动，由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练3　如图所示，在四棱柱ABCDAB1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(2)求证：AC1⊥BD；＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.。