高等数学第三章(中值定理与导数的应用)试题(A卷)

第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。

6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。

第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。

C： lim sin x x→∞ x
B： lim ln(x +1)
x→0
x
D： lim 1 2 x→+∞ x
3.下列结论不正确的是（A ）
4.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 sin b − sin a = (b − a) cosξ 成立.
（ √）
A：函数的最大值一定大于最小值
( ) ( ) 5.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 b3 − a3 eξ = 3 eb − ea ξ 2 成立.
2.
函数
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x2
sin
1 x
,
x
≠
0
在区间
[−1,1]
上满足拉格朗日中值定理的所有条
⎪⎩0,
x=0
件.
（ √）
3.若 lim f ′(x) 不存在，则 lim f (x) 也不存在.
x→∞ g′(x)
x→∞ g(x)
（ ×）
2. 能直接使用洛必达法则求极限的是（ B）
A： lim tan n . n n→+∞
= lim (1− cos x)′ = lim
sin x
= 0 = 0 ....2 分
x→0 (sin x + x cos x)′ x→0 cos x + cos x − x sin x 1+1− 0
解法二： lim( 1 − 1 ) = lim x − sin x ， x→0 sin x x x→0 x sin x
x→0 sin x x x→0 x sin x x→0 (x sin x)′ x→0 sin x + x cos x
lim

第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ．4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

第三章 中值定理与导数应用 测验题试卷名称： 高等数学第三章（理工类) 课程所在院系： 理学院考试班级 学号 姓名 成绩一、（每题5分，共25分）计算下列各题：1． 求0x →.2． 设()f x 在0x =的某邻域内具有连续的导数，且(0)1f =，(0)2f '=，求极限1(1())01lim(sin )x f x x x x -→.3． 确定,a b 的值，使220(1)lim 0x x e ax bx x →-++=.4． 确定,a b 的值，使点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点.5． 求数列32(1)(1)n n ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最小项的项数及该项的数值.二、（每题6分，共36分）证明下列各题：1． 证明：当1x <时，有11x e x≤-.2． 证明：当0x >时，有1arctan 2x x π+>.3． 若函数()f x 有三阶连续导数，(0)(0)0,f f '''==且满足0()lim 2,||x f x x →'''= 试证明： (0,(0))f 为()f x 的拐点，且0x =不是极值点.4． 若函数()f x 在(,)-∞+∞内具有连续二阶导数，且(0)0,()0f f x ''=≠. 试证明：对(,),x ∀∈-∞+∞且0x ≠，使()f x 满足：()()f x f x ξ'=⋅（ξ介于0与x 之间）的ξ是唯一的.5． 证明函数2()(1)x f x e ax bx =-++至多只有三个零点.6． 若函数()f x 在[0,1]内连续，在(0,1)可导，且1(0)(1)0,()1,2f f f === 证明：(0,1),ξ∃∈使()1f ξ'=.三、（9分）设20()lim 2,x f x x →=- (0)0,f =问()f x 在0x =处是否可导？是否取得极值？四、（10分）过正弦曲线sin y x =上点(,1)2M π处，作一抛物线2y ax bx c =++，使抛物线与正弦曲线在点M 处有相同的曲率和凹向，并写出点M 两曲线的公共曲率圆方程.五、（10分）给定曲线21y x =，求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.六、（10分）求函数22arcsin1x y x =+的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，渐近线，并作函数的图形.。

>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

第三章 中值定理与导数应用§1 中值定理一、是非判定题一、假设0)('),,(,),(,],[)(=∈ξξf b a b a b a x f 使且必存在可导在有定义在 （×）二、假设0)('),,(),()(,],[)(=∈=ξξf b a b f a f b a x f 使则必存在在连续在 （×）3、假设0)('),,(),(lim )(lim ,],[)(00=∈=-→+→ξξf b a x f x f b a x f b x a x 使则存在且内可导在 （√）4、假设))((')()(),,(,],[)(a b f a f b f b a b a x f -=-∈ξξ使则必存在内可导在 （√）五、假设使内至少存在一点则在可导在上连续在与,),(,),(,],[)()(ξb a b a b a x g x f )(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- （×）（提示：柯西中值定理，少条件0)('≠ξg ）六、假设对任意,0)('),,(=∈x f b a x 都有那么在(a,b)内f(x)恒为常数 （√）二．单项选择题 一、设1.0,(),()()'()()ab f x a x b f b f a f b a xξξ<=<<-=-则在内,使成立的有 C 。

（A ）只有一点（B ）有两个点（C ）不存在（D ）是不是存在与a,b 取值有关二、设],[)(b a x f 在上持续，(,),()(()()a b I f a f b =内可导则与 Ⅱ)0)(',),((≡x f b a 内在之间关系是 B 。

(A) (I)是（Ⅱ）的充分但非必要条件； （B ）（I ）是（Ⅱ）的必要但非充分条件；（C ）（I ）是（Ⅱ）的充分必要条件； （D ）（I ）不是（Ⅱ）的充分条件，也不是必要条件。

《⾼等数学》第三章微分中值定理与导数的应⽤的习题库（201511）第三章微分中值定理与导数的应⽤⼀、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。

（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以⾄少存在⼀点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。

（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。

（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。

（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。

（） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。

（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。

第三章 中值定理与导数的应用 3.1中值定理02.12)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则 （ B ）（A ）当l i m ()0x f x →+∞=时，必有lim ()0x f x →+∞'= （B ）当l i m ()x f x →+∞'存在时，必有lim ()0x f x →+∞'=（C ）当0l i m ()0x f x +→=时，必有0lim ()0x f x +→'= （D ）当0l i m ()x f x +→'存在时，必有0lim ()0x f x +→'= 提示：sin ()xf x x=和()sin f x x =反例排除 02.34)设函数f (x )在闭区间[a ，b ]上有定义，在区间（a ，b ）上可导，则 （ B ） （A ）当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. （B ）对任何(,)a b ξ∈，有[]lim ()()0x f x f ξξ→-=（C ）当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'= （D ）存在(,)a b ξ∈，使()()f a f b -=()()f b a ξ'-01.1)设y =f (x )在(-1,1)内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，求证：（1）对于(-1,1)内的任意0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使得()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立；（拉格朗日+一导单调所以唯一）（2）01lim ()2x x θ→=. 证明：（2）对于非零(1,1),x ∈-由拉格朗日中值定理得()(0)[()]f x f xf x x θ'=+(01)θ<<于是2[()](0)()(0)(0)f x x f f x f f xx x θ'''---=两边取0x →的极限即得。

高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系 专业 班 姓名 学号§3.1 微分中值定理一．选择题1． 在区间[]1,1-上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ](A)()2321f x x =+ （B ）()211f x x=- （C ）()f x = （D ）()2132f x x x =-+ 2． 若)(x f 在),(b a 内可导,1x 、2x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使得 [ C ] （A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （b a <<ξ）； （B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ （b x <<ξ1）； （C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）； （D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ （2x a <<ξ）3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] （A ）212)(xxx f +=,[1,1]- （B ）x x f =)(,[1,2]- （C ）254)(23-+-=x x x x f , [0,1] （D ）)1ln()(2x x f +=,[0,3]4．设)(x f ，)(x g 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有 [ A ] （A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 二．填空题1． 对函数r qx px x f ++=2)(在区间],[b a 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的ξ 2． 若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则()0f x '=有 3 个根,它们分别位于区间 （0,1）; (1,2); (2,3) 内. 三．证明题1． 当0a b <<，试证：ln b a b b ab a a--<< 证：令=)(x f x ln ， 可知 )(x f 在],[b a 连续，在),(b a 上可导由拉格朗日定理可知，存在 ),(b a ∈ξ 使得 a ba b a b a b f ln ln ln )(1))(('=-=-=-ξξ 又b a <<<ξ0， 所以ab 111<<ξ， 且 0)(>-a b ， 即ln b a b b ab a a--<<。

第三章 中值定理与导数的应用一、 基本内容（一） 中值定理1.罗尔定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.拉格朗日中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ 其微分形式为x f x f x x f ∆⋅'=-∆+)()()(ξ这里10,<<∆⋅+=θθξx x .推论 如果函数)(x f 在开区间),(b a 内的导数恒为零，那么)(x f 在),(b a 内是一个常数.3.柯西中值定理如果函数)(x f 及)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)(x g '在),(b a 内的每一点均不为零，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数.（二） 洛必达法则1.法则1如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：(1)0)(lim =→x f a x , 0)(lim =→x g ax ； (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ；(3))()(l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 )()(lim )()(lim x g x f x g x f a x ax ''=→→ 2.法则2如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：(1)0)(lim =∞→x f x , 0)(lim =∞→x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) )()(limx g x f x ''∞→存在（或为无穷大）； 那么)()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞→ 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞∞型未定式，也有相应的两个法则. 对∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞∞型来求. （三） 泰勒公式1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有+-''+-'+=200000)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项.（四） 函数的单调性函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.(1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；(2) 如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.（五） 函数的极值与最值1.函数在一点取得极值的必要条件设函数)(x f y =在0x 点取得极值，如果)(x f 在0x 点可导，那么0)(0='x f .使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点.驻点不一定是极值点.驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.2.极值点的两个判别定理判别之一 设函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 的某去心领域),(0δx U内可导，有(1) 如果在),(00x x δ-内0)(<'x f ，在),(00δ+x x 内0)(>'x f ，那么)(x f 在0x 取得极小值；(2) 如果在),(00x x δ-内0)(>'x f ，在),(00δ+x x 内0)(<'x f ，那么)(x f 在0x 取得极大值；(3) 如果)(x f '在),(0δx U 内符号保持不变，那么)(x f 在0x 没有极值.判别之二 设函数)(x f y =在0x 点处有二阶导数，且0)(0='x f ，则有(1) 如果0)(0>''x f ，那么在0x 取得极小值；(2) 如果0)(0<''x f ，那么在0x 取得极大值.3.函数的最大值与最小值的求法(1) 求出)(x f '在),(b a 内的零点和不存在的点n x x x ,,,21 ，计算出)(x f 在这些点处的函数值)(,),(),(21n x f x f x f ；(2) 计算出)(x f 在],[b a 的两个端点上的值)(),(b f a f(3) )}(),()(,),(),(m ax {21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最大值)}(),()(,),(),(m in{21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最小值. （六）曲线的凹凸与函数的作图1.凹凸的定义设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，如果对于],[b a 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+那么称曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的；如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 那么称曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的.2.凹凸的判定设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内具有二阶导数，那么(1) 如果在),(b a 内0)(>''x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的；(2) 如果在),(b a 内0)(<''x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.3.拐点及其求法连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.求出所有0)(=''x f 或)(x f ''不存在的点n x x x ,,,21 ，拐点从),,2,1())(,(n i x f x i i =中找.4.函数作图(1) 确定函数的定义域；(2) 求出函数的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间和拐点；(3) 求函数图形的水平渐近线和铅直渐近线；(4) 求出函数在特殊点（包括间断点及一阶导数、二阶导数为零或不存在的点）处的函数值，定出图形上相应的点，结合前面的结果，连结这些点画出函数图形的大概形状.（七）曲率1. 定义 称dSd S K S αα=∆∆=→∆0lim 为曲线)(x f y =在M 点处的曲率.其中S ∆是 M M '的长度，α∆是曲线在M 与M '处切线的夹角，M 与M '是曲线上两点.2. 计算公式若)(x f y =，则232)1()(y y x K '+''=.3. 曲率与曲率半径ρ的关系K1=ρ二、练习题3.1 设)(x f 可导，求证：)(x f 的两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点. 证明 设0)()(==b f a f ，a<b ，令)()(x f e x F x =，则0)()(==b F a F ， 根据罗尔定理，存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF ，即0)]()([='+ξξξf f e .于是0)()(='+ξξf f .3.2 设函数)(x f 在]1,0[上三次可导，且0)1()0(==f f ，设)()(3x f x x F =.证明；存在)1,0(∈ξ，使0)(='''ξF .证明 由条件可知 0)1()0(==F F ，F(x)在]1,0[上可导，根据罗尔定理，存在)1,0(1∈ξ使得0)(1='ξF又由)()(3)(32x f x x f x x F '+='知道0)0(='F这样0)()0(1='='ξF F ，0)(='x F 在],0[1ξ可导. 根据罗尔定理，存在)1,0(),0(12⊂∈ξξ使得0)(2=''ξF又由)()(6)(6)(32x f x x f x x xf x F ''+'+=''知道0)0(=''F根据罗尔定理，存在)1,0(),0(2⊂∈ξξ使得0)(='''ξF3.3 设)(x f 在闭区间[a ，b ]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，0>a .证明：在 （a ，b ）内存在321,,x x x ，使233222213)()(2)()()(x x f b ab a x x f b a x f '++='+='证明 由拉格朗日中值定理 .存在),(1b a x ∈，使得)()()(1x f ab a f b f '=-- 根据柯西中值定理，存在),(),,(32b a x b a x ∈∈使得))((3)()()())((2)()()(32333322222x x F x x f a b a f b f x x F x x f a b a f b f ='=--='=-- 由上面三个等式可知原结论成立 .3.4 设)(x f 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且)1()0(f f =.求证：在（0，1）内存在的两个不同的21,c c ，使0)()(21='+'c f c f .证明 将[0，1]分成两部分]1,21[],21,0[分别在其上应用拉格朗日中值定理，得 )1,21()(211)21()1()21,0()(021)0()21(2211∈'=--∈'=--c c f f f c c f f f 又由条件)1()0(f f =，可知0)()(21='+'c f c f3.5 已知 0)3sin (lim 230=++→b xa x x x ，求b a ,的值 . 解 因 0)3sin (lim 230=++→b x a x x x ，由洛必达法则 )00(333cos 3lim )00(3sin lim 220330x bx a x x bx ax x x x ++=++→→由033cos 3lim 20=++→bx a x x 可知3-=a 再继续用洛必达法则0663cos 27lim )00(663sin 9lim )00(3333cos 3lim 00220=+-=+-=+-→→→b x x bx x xbx x x x x 于是 063cos 27lim 0=+-→b x x ，知 29=b3.6用洛必达法则求下列极限：（1）21)1ln(lim x e x x +++∞→；（2）x x x ln 1)arctan 2(lim -∞→π； （3）210)ln ln (lim x x x x bx b a x a --→； （4）)0,,()3(lim 10>++→c b a c b a x xx x x解 （1）21)1ln(lim x e x x +++∞→ =21)1(lim x x e e x xx +++∞→ =1111lim2+⋅+-+∞→xe x x =1 （2）x x x ln 1)arctan 2(lim -∞→π =x x x e ln )arctan 2ln(lim -∞→π=xx x x e arctan 21lim2-+-∞→π =x x x x x e arctan 211lim 22-⋅+-∞→π =x xx e arctan 21lim --∞→π=22111lim x x x e +---∞→ =1-e（3） 令y b x b a x a x x x x =--→210)ln ln (lim )00()ln ln()ln ln(lim ln 20x b x b a x a y x x x ---=→ = xb x b b b b a x a a a a x x x x x 2ln ln ln ln ln ln lim 0-----→ xa x a aa a x x x 2ln ln ln lim 0--→ )1ln (2ln )1(lim 0→--=→a x a xa a x x x =2ln 2ln lim 220a a a x x =→ 同理 2ln 2ln ln ln lim 20b x b x b bb b x x x =--→ 故 2ln ln ln 22b a y -= 原式=2ln ln 22b a e-（4） 令y c b a x xx x x =++→10)3(lim3ln 3ln ln ln 3ln ln ln 3lim )00(3ln lim ln 00abc c b a c c b b a a c b a x c b a y x x x x x x x xx x x =++=++⋅++=++=→→ 故 原式33ln abc e abc ==3.7 设)(x f 与)(x g 在),0[+∞存在二阶导数，且满足条件：)0()0(g f =，)0()0(g f '='，)0)(()(>''>''x x f x g .试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰勒公式证明：0>x 时，)()(x f x g >.证明 （法一）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F于是)(x F '在),0(+∞单调递减又由)0(F ''存在，故)(x F '在0=x 连续，即有)(x F '在[]+∞,0 单调递减 .所以，当0>x 时，0)0()(='<'F x F ，于是)(x F 在[]+∞,0单调递减，所以，当0>x 时，0)0()(=<F x F 即0)()(<-x g x f ，)()(x f x g >. （法二）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F由拉格朗日中值定理，得()0)),0(()()]0()([),0()()0()(<∈⋅⋅''=⋅'-'=∈'=-ξηξηξξξx F x F F x xF F x F 故 0)(<x F ，)()(x f x g >.（法三）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F根据泰勒公式 2)(21)0()0()(x F x F F x F ξ''+'+= 其中),0(,0x x ∈>ξ 故 0)(<x F ，)()(x f x g >.3.8 利用泰勒公式计算极限：)cot 1(1lim0x x x x -→. 解 原式=xx x x x tan tan lim 20-→ =)~(tan tan lim 30x x x x x x -→ =)1~(cos cos sin lim 30x xx x x x -→ =322330)](21[)(6lim xx o x x x o x x x +--+-→ =3330)(31lim xx o x x +→ =313.9 设函数)(x f 在[0，1]上具有连续的三阶导数，且2)1(,1)0(==f f ，0)21(='f . 证明 在（0，1）内至少存在一点ξ，使24|)(|≥'''ξf . 证明 将)(x f 在210=x 点展开，并分别令0=x 和1=x ，得)2()21(6)()21(2)21()21)(21()21()1()1()21(6)()21(2)21()21)(21()21()0(322312ξξf f f f f f f f f f '''+''+'+=-'''+-''+-'+= （2）—（1）得： )]()([481112ξξf f '''-'''= 48|)()(||)(||)(|1221='''-'''≥'''+'''ξξξξf f f f取ξ为1ξ和2ξ中三阶导数的绝对值较大的点，因)1,21(),21,0(21∈∈ξξ故)1,0(∈ξ，且有 24|)(|≥'''ξf3.10 数列 ,,,3,2,13n n 中哪一项最大解 令 xx x f 1)(=，则)ln 1()ln 1()(211x x x x x x f x x -='='- 当),0(e x ∈时，0)(>'x f ，f(x)在],0(e 单增；当),(+∞∈e x 时，0)(<'x f ，f(x)在),[+∞e 单减因为 32<<e ，故值最大的项只能为2或33，而由2332<可知，2<33,所以33最大.3.11 证明：当0>x 时，有)1l n()1(1x x e x ++>-.证明 令),1ln()1(1)(x x e x f x ++--=则0)0(=f0)0(,)1ln(1)(='+--='f x e x f xxe xf x +-=''11)( 当0>x 时，0)(=''x f ，)(x f '在),0[+∞单增，而0)0(='f ，故0)(>'x f ，)(x f 在),0[+∞单增，而0)0(=f 故0)(>x f ，即当0>x 时,有)1ln()1(1x x e x ++>-3.12 在椭圆12222=+by a x 位于第一象限的部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标所围图形的面积为最小)0,0(>>b a .解 要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所围三角形面积最小即可 .设),(00y x P .则由02222=⋅+dxdy b y a x yx a b b y a x dx dy ⋅-=-=222222 可知P 点处椭圆切线方程为 )(000220x x y x a b y y -⋅-=- 分别令y=0和x=0，可得两截距为 022020022020y a b y x Y x b a x y X +⋅=+⋅=故此三角形面积为))((2102202002200y ab y x x b a x y +⋅+⋅ 因),(00y x 在椭圆上，可令0000sin ,cos θθb y a x ==.代入上式，可得此面积为02sin θab ，因此当12sin 0=θ即40πθ=时，此面积最小，此时b y a x 22,2200== . 综上，当P 点坐标为)22,22(b a 师，题中所述面积最小.测验题（三）1. 设)(x f 和)(x g 在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且0)()(==b f a f ，证明：0)()()()(='+'x g x f x g x f 在（a ，b ）内有解证明 令)()()(x g x f x F =，则F(x)在[a ，b ]满足罗尔定理的条件，存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF ，即0)()()()()(='+'='x g x f x g x f x F 在（a ，b ）内有解.2. 设)(x f 在],0[π上连续，在()π,0内可导，且0)0(=f ，证明：存在),0(πξ∈使)(2tan )(2ξξξf f ='.证明 欲证)(2tan )(2ξξξf f ='，只要 02sin )(212cos )(=-'ξξξξf f 令2cos )()(x x f x F =，有0)0(=f 得0)()0(==πF F . )(x F 在[0，π]满足罗尔定理的条件，故存在),0(πξ∈使得0)(='ξF ，即02si n )(212cos )(=-'ξξξξf f .3. 用洛必达法则求下列极限（1）()1sin lim 20--→x x e x x x ； （2）])11[(lim e xx x x -+∞→. 解()()()61642cos lim 412sin lim 12cos 1lim 1sin lim )1(20202020=+++=++-=+--=--→→→→x x x x x xx x x xx x x x e x xe e e x e x xe e x e x e x x e x xx221)1ln(1lim )1ln()1(lim )11,)1(()1()]1ln()1([)1(lim 1]111)1ln(1[)1(lim )1(lim )1(])11[(lim )2(02012101010e tt e t t t t e t e t t t t t t t t t t t t te t x t e xx t t t t t t t t t x x -=-+-=+⋅+-=→+→+++⋅+-+=+⋅++⋅-+=-+==-+→→→→→∞→注意令4. 已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 和b ，并求出)(x f 的所有极值和曲线)(x f y =的拐点.解 b ax x x f ++='23)(2因)(x f 在1=x 处有极值2-，故⎩⎨⎧-=++==++='21)1(023)1(b a f b a f 解得⎩⎨⎧-==30b a ，因此有x x x f 3)(3-=. 解33)(2-='x x f ，得1±=x .当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在1-=x 点处取得极大值2)1(=-f ,在1=x 处取得极小值2)1(=f .解06)(==''x x f ，得0=x .当0<x 时，0)(<''x f ，当0>x 时，0)(>''x f ，故（0，0）点是曲线)(x f y =的拐点.5. 证明：当e x x >>12时，有122121ln ln x x x x x x << 证明 考虑函数x x y ln = ),(,0ln 12+∞∈<-='e x xx y 所以函数在),(+∞e 单调递减，即当e x x >>12时有2211ln ln x x x x >即2121ln ln x x x x < 再考虑函数x x y ln =，),(,0ln 1+∞∈>+='e x x y所以函数在),(+∞e 单调递增，即当e x x >>12时有2211ln ln x x x x <即1221ln ln x x x x <6. 若)(x f '在),0[+∞严格单调递增，且0)0(=f ，证明：x x f )(在),0(+∞严格单调递增.证明 对任意的0>x ，)(x f 在],0[x 连续，在（0，x ）可导，故存在),0(x ∈ξ使得 )()()0()(ξf xx f x f x f '==- xf x f x x x f x f x x f x f x x x f )()()()()()()(2ξ'-'=-'=-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 因)(x f '在),0[+∞严格单调递增，故)()(ξf x f '>'，所以0)(>'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f 则x x f )(在),0(+∞严格单调递增.7. 设在],1[+∞上处处有0)(<''x f ，且3)1(,2)1(-='=f f ，证明：在),1(+∞内方程0)(=x f 仅有一个实根.证明 由0)(<''x f 知)(x f '在),1[+∞严格递减.由零阶泰勒公式，有)2,1(),12)(()1()2(∈-'+=ξξf f f 由于3)1()(-='<'f f ξ，2)1(=f ，故01)2(<-<f由连续函数的介值定理，存在)2,1(0∈x 使得0)(0=x f又由于)(x f '在),1[+∞严格递减.，0)1(<'f 可知对任意的),1[+∞∈x 有0)1()(<'≤'f x f ，故)(x f 在),1[+∞严格递减.所以0)(=x f 在),1(+∞内有唯一实根.。

第三章 微分中值定理与导数的应用一、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（ ）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（ ）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。

（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。

（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。

（ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。

（ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。

（ ） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。

（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（ ） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（ ）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。

第三章 综合测试题A 卷一、填空题(每小题4分,共20分）1、函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ= 。

2、函数321()393f x x x x =-+在闭区间[0,4]上的最大值点为x = . 3、函数4y x x=+的单调减少区间是 .4、若函数()f x 在x a =二阶可导，则0()()()lim h f a h f a f a h h→+-'-= .5、曲线32x y x =+的铅直渐近线为 .二、选择题（每小题4分，共20分)1、下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 [ ]（A) xy e = （B ） ln y x = （C) 21y x =- （D ） 211y x=- 2、曲线3(1)y x =-的拐点是 ［ ] （A ）(1,8)- （B)(1,0) (C ） (0,1)- (D ） (2,1)3、已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----,则()0f x '=的实根个数为 [ ］ (A ） 一个 （B ) 两个 (C) 三个 (D ） 四个4、设函数()f x 在(,)a b 内可导,则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的［ ]（A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 （C) 充要条件 （D ） 无关条件5、如果00()0,()0f x f x '''=>，则 [ ](A ）0()f x 是函数()f x 的极大值 （B ） 0()f x 是函数()f x 的极小值 （C) 0()f x 不是函数()f x 的极值 （D) 不能判定0()f x 是否为函数()f x 的极值三、解答题1、（7分)计算011lim()1xx x e →--.2、（7分)计算0lim x x +→。

3、(7分）计算10sin lim()x x x x →。

第三章 中值定理与导数的应用1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( )A ．18+=x yB ．142+=x yC ．21x y =D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,03．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( )A ．没有实根,B ．有且仅有一个实根,C ．有两个相异的实根,D ．有五个实根.4．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点. 5．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( )A ．17B ．11C ．10D ．96．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( )A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θB ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ.7．求极限x xx x sin 1sin lim 20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为x x 1lim 0→不存在，所以上述极限不存在C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x xxD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在8．设函数212x xy +=，在 ( )A ．()+∞∞-,单调增加B ．()+∞∞-,单调减少C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加9．曲线xe y x+=1 ( ) A ．有一个拐点 B ．有二个拐点 C ．有三个拐点 D ． 无拐点10．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( )A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线11．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 () A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值12．求()201ln lim x x x x +-→13．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 014．求x xx 3cos sin 21lim 6-→π15．求()xx x 1201lim +→16．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题 （每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。

2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。

3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。

4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。

5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0_______。