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2.2 平面向量的线性运算2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．课堂训练 一．选择题1．下列命题正确的是（ ） Ａ．若∥a b ，则a 与b 同向Ｂ．若∥a b ，则a 与b 同向或反向 Ｃ．若a =0，则a 与0共线Ｄ．若a 不为0，则a 与0不共线且3AC CB =-，设2．如图1所示，向量 ，，OAOBOC 的终点A B C ，，在一条直线上，=OA p ，= OB q ，= OC r ，则以下等式中成立的是（ ）Ａ．1322r p q =-+Ｂ．2r p q =-+baCBAa b C C -=A -AB =BＣ．3122r p q =- Ｄ．2r q p =-+3．如图2所示，在菱形ABCD 中，120DAB ∠= ，则以下说法错误的是（ ） Ａ．与AB 相等的向量只有一个（不含AB本身） Ｂ．与AB 的模相等的向量只有4个（不含AB本身） Ｃ．BD 的长度恰为DAＤ．CB 与DA不共线4．将1[2(28)4(42)]12+--a b a b 化简成最简式为（ ） Ａ．2a b - Ｂ．b a - Ｃ．a b - Ｄ．2b a -5．已知G 是ABC △的重心，如图1所示，则GA GB GC +-=（ ） Ａ．0 Ｂ．4GEＣ．4GDＤ．4GF6．若9AB = ，6AC = ，则BC的取值范围为（ ）Ａ．[315]，Ｂ．[39]， Ｃ．(315)，Ｄ．[69]，二．填空题7．已知非零向量1e 和2e 不共线，欲使t 12+e e 和1+e t 2e 共线， 则实数t 的值为 ．8．平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点．设AB = a ，AD = b ，则=MN （用a ，b 表示）．9．已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==，a ，AC = c ，BC =b ，则a bc ++= ．10．已知OA = a ，OB = b ，若12OA = ，5OB =，且90AOB ∠= ，则-=a b ． 11．在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，1AB = ，则BC DC +=．12．在静水中划船速度是10米／分钟，水流速度10米／分钟，如果船从岸边径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是 ．实际行进方向与水流方向的夹角为 ． 三．解答题13．两个非零向量12，e e 不共线．（1）若= AB 12e e +，BC = 1228e e +，CD =123()-e e ，求证：，，A B D 三点共线； （2）求实数k ，使k 12e e +与12+e k 2e 共线．14．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后又改变航向向东偏北60 航行了400海里到达C 岛，最后又改变航行，向西航行了200海里到达D 岛．（1）试作出向量AB BC CD，，；（2）求AD ．15．如图4，在ABC △中，在AC 上取点N ，使得13AN AC =，在AB 上取点M ，使得13AM AB =，在BN 的延长线上取点P ，使得12NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使得12MQ CM =，用向量的方法证明P A Q ，，三点共线．16．一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行400 km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成．17．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，用向量a ，b 分别表示向量OC ，OD，DC ，BC ．18．飞机从甲地以北偏西15˚的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75˚的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？第19题．如图，13AM AB = ，13AN AC =．求证：13MN BC = ．同步提升一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c-- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+= 4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( )A 、B 、C 、D 、A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( )①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|,那么△ABC 一定是( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( )A .a b +B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+= ()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA = ______,MB = ______,MC = ______,MD =______.12.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______13.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB = ______.14.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.三.解答题15.化简下列各式:(1)=++++______;(2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.（3）=-++-)()(______.16.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量AB ,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA17.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与、共线的向量; (2)与相等的向量.CDABNM18.在直角坐标系中,画出下列向量: (1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y 轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y 轴正方向的夹角为 120;(3)a=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.19.在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得=++,试判断P 点的位置.20.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 31=,求证:M 、N 、C 三点共线.2.2 平面向量的线性运算 课堂训练参考答案一．选择题 1~5 CADDD 6 A 二．填空题7．1± 8．1()2-a b 9．2 10．13 11．45三．解答题 第13题．（1）证明：=++= AD AB BC CD 1266+=e e 6AB， A B D ∴，，三点共线；（2）解： k 12+e e 与12e +k 2e 共线， ∴k 12+=e e λ（12e ＋k 2e ），(2)λ∴-k 1e ＋(1)k λ-2e =0，201k k k λλ-=⎧∴⇒=⎨-⎩，，第14题．解：（1）向量ABBC CD ，，如右图所示．（2）根据题意，易知AB 和CD 方向相反，故AB 与CD共线．又AB CD = ，∴在四边形ABCD 中，AB CD∥，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴= ，400AD BC ∴==海里．第15题．证明：111()()222AP NP NA BN CN BN NC BC =-=-=+=，111()()222QA MA MQ BM CM BM MC BC =-=-=+= ，AP QA ∴= ，P A Q ∴，，三点共线．第16题．飞机飞行的路程是700 km ；两次位移的合成是向北偏西约53˚方向飞行500 km ．第17题．OC a =- ，OD b =- ，DC b a =- ，BC a b =--．第18题．丙地在甲地的北偏东45˚方向，距甲地1400km ．第19题．证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC = ，13AM AB = ，所以1133MN AC AB =- ()1133AC AB BC =-= ．同步提升参考答案 一.选择题(每题5分)1.C2. B3.C4.B5. B6.D7.C8.A9.B 10.D 二.填空题(每题5分)11.111(a b ),(a b ),(a b )222-+-+ ,1(b a )2-12.1 13.a b + ,a b- 14.等腰梯形三.解答题(每题10分)15.(1)0(2)AC （3）016.【解答】(1)如图,(2)∵-=,故四边形ABCD 为平行四边形, )m (15==DA BC17.【解答】与EF 共线的向量有AB 、; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,; 与EA 相等的向量是18.【解答】19.【解答】 PA PB PC AB ++=()PA PA AB PC AB ∴+++=,故-=2A ∴、P 、C 三点共线,且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个20.【解答】提示:可以证明MC 3MN =CDABNM。
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
2024年中考重点之平面向量的线性运算一、平面向量的定义与表示平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，一般表示为箭头形式。
通常用有序数对表示平面向量，如AB表示起点为A、终点为B的平面向量。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规律：1. 交换律：AB+CD=CD+AB2. 结合律：(AB+CD)+EF=AB+(CD+EF)3. 平移性质：向量的平移不影响其大小和方向，即若P、Q为平面上两点，则PQ=QR，其中R为PQ的平移向量。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
设k为实数，AB为平面向量，则kAB为平面向量，其大小为|k|·|AB|，方向与AB相同（k>0）或相反（k<0）。
四、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘。
根据向量运算规律，我们可以得出以下结论：1. 乘法分配律：k(AB+CD)=kAB+kCD，(k+m)AB=kAB+mAB，其中k、m为实数。
2. 结合律：k(mAB)=(km)AB，其中k、m为实数。
3. 零向量：0AB=O，其中O为原点。
4. 相反向量：(-1)AB=-AB。
五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是解决平面几何问题和力学问题时。
其中一些常见的应用包括：1. 平面向量的模运算：通过向量的数乘和加法，我们可以求解平面向量的模和方向角。
2. 平面向量的共线与垂直判定：设有两个非零向量AB和CD，若存在实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线；若CD·AB=0，则称向量CD与向量AB垂直。
3. 平面向量的平行判定：设有两个非零向量AB和CD，若存在实数k，使得CD=kAB或CD=k(-AB)，则称向量CD与向量AB平行。
4. 向量的投影：向量的投影是指将一个向量沿另一个向量的方向分解的过程，用于求解向量的分解与合成问题。
5. 平面向量的线性方程组：由平面向量的线性运算性质，我们可以建立平面向量的线性方程组，用于求解几何和物理问题。
平面向量的线性表示和线性方程组在数学中，平面向量是描述平面上有方向和大小的量。
平面向量可以用线性表示和线性方程组来进行操作和求解。
本文将介绍平面向量的线性表示和线性方程组的相关概念和方法。
一、平面向量的线性表示平面向量的线性表示是指将一个平面向量表示成其他向量的线性组合的形式。
设有平面向量a、b和c，可以通过线性组合的方式表示向量c：c = λ1a + λ2b其中，λ1和λ2为实数，称为向量c相对于向量a和向量b的系数。
通过调整系数的值，可以得到不同的向量c。
当λ1和λ2的值等于0时，向量c为零向量。
二、线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。
对于平面向量的线性表示，我们可以通过线性方程组求解系数的值。
假设有n个平面向量a1、a2、...、an和n个实数b1、b2、...、bn，可得到线性方程组：b1 = x1a1 + x2a2 + ... + xnanb2 = y1a1 + y2a2 + ... + ynan...bn = z1a1 + z2a2 + ... + zn*an其中，x1、x2、...、xn、y1、y2、...、yn、...、z1、z2、...、zn为实数。
通过求解线性方程组，可以确定向量b相对于向量a1、a2、...、an 的系数。
三、矩阵表示为了简化平面向量的线性表示和线性方程组的求解过程，可以使用矩阵表示。
设有n个平面向量a1、a2、...、an和n个实数b1、b2、...、bn，可将向量a1、a2、...、an构成一个矩阵A，向量b构成一个列向量B，系数x1、x2、...、xn构成一个列向量X，系数y1、y2、...、yn构成一个列向量Y，...，系数z1、z2、...、zn构成一个列向量Z，则线性方程组可以用矩阵乘法的形式表示：AX = B其中，A为n阶矩阵，X为n维列向量，B为n维列向量。
通过对矩阵A求逆或解线性方程组，可以求解出向量X、Y、Z的系数。
四、示例分析为了更好地理解平面向量的线性表示和线性方程组的应用，我们通过以下示例进行分析：已知平面向量a = (1, 2)和b = (3, 4)，求向量c = (x, y)使得c = 2a +3b。
平面向量的线性运算1、相关概念：向量: 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模). （1）零向量：长度为 的向量；其方向是任意的，记作0性质：A 、零向量的相反向量是零向量；B 、零向量与任意向量都平行. （2）单位向量：规定长度为1的向量,非零向量a 的单位向量为a a（3）相等向量：长度 且方向 的向量,两向量只有相等或不等,不能比大小.（4）相反向量：方向相反,长度相等,0的相反向量为0 （5）共起点向量： （6）共终点向量：（7）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量,如果a （a ≠0）与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa 。
2、向量的加法：如图3，已知非零向量A.b ，在平面内任取一点A ，作=a ，=b ，则向量叫做a 与b 的和，记作a+b ，即a+b=+=。
3、向量加法的三角形法则：首尾相接：第二个向量要以第一个向量的终点为起点，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如上图3。
（向量减法的三角形法则类似）4、向量加法的平行四边形法则：如图4，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
（向量减法的平行四边形法则类似）BCOC5、向量的减法：6、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。
实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.7、向量的模：向量的长度8、向量的分解：（用到的知识点包括平行四边形法则和三角形法则，实数与向量的积，共线向量，模）例1.已知向量，和，求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。
专题一 平面向量的线性运算1．向量的线性运算首尾相接 指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量2．多边形法则一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．3．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．4．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD →＝m m ＋n AC →＋n m ＋n AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式1与形式2中AC →与AB →的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 考点一 向量的线性运算C 形式1C形式2【方法总结】利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法向量AD →＝f (AB →，AC →)的确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量AD →用AB →，AC →的表示．(2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到AD →＝f (AB →，AC →)与AD →＝g (AB →，AC →)的方程组，再进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2015·全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC →答案 A 解析 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A ．(2) (2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC →D ．12BC →答案 A 解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A ．(3) (2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →答案 A 解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →．(4)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )A ．29AB →＋89AC → B ．29AB →－89AC → C ．29AB →＋79AC →D ．29AB →－79AC →答案 B 解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13(AB →＋13BC →)－AC →＝13⎣⎡⎦⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC →＝29AB →－89AC →． (5)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝32a －b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b ．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案 C 解析 ①根据向量的加法法则，得PQ →＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT→＝32a －32b ，故②错误；③PS →＝PQ →＋QS →＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR →＝PQ →＋QR →＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C ． (6)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于M ，设OA →＝a ，OB →＝b ．则用a和b 表示向量OM →＝___________．答案 OM ＝17a ＋37b 解析 设OM ＝m a ＋n b ，则AM ＝OM －OA ＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ．AD ＝OD －OA ＝12OB －OA ＝－a ＋12b ．又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴存在实数t ，使得AM ＝t AD ，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ．∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b ．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1．①．又∵CM ＝OM －OC ＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ，CB ＝OB －OC ＝b －14a ＝－14a ＋b ．又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线．∴存在实数t 1，使得CM ＝t 1CB ，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1，②．由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM ＝17a ＋37b ． 另解 因为A ，M ，D 三点共线，所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①，因为C ，M ，B三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋(1－λ24)a ，②，由①②可得⎩⎨⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎨⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b ．(7)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b答案 B 解析 如图，根据题意，得AB →＝12AC →＋12DB →＝12(a －b )，AD →＝12AC →＋12BD →＝12(a ＋b )．令AF →＝tAE →，则AF →＝t (AB →＋BE →)＝t ⎝⎛⎭⎫AB →＋34 BE → ＝t 2a ＋t 4b ．由AF →＝AD →＋DF →，令DF →＝sDC →，又AD →＝12(a ＋b )，DF →＝s2a －s 2b ，所以AF →＝s ＋12a ＋1－s2b ，所以⎩⎨⎧t 2＝s ＋12，t 4＝1－s2，解方程组得⎩⎨⎧s ＝13，t ＝43，把s 代入即可得到AF →＝23a ＋13b ，故选B ．另解 如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，故DF →＝13AB →，则AF →＝12a ＋12b ＋13 (12a －12b )＝23a ＋13b ．(8)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，D E 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b答案 B 解析 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF →＝12EC →＝14BC →，∴GF →＝14AD →，易知△AHD ∽△FHG ，从而HF →＝14AH →，∴AH →＝45AF →，AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ，∴AH →＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ，故选B ．(9)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C 解析 BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋CE →)＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋13CB →)＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →．(10)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D 解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a ．【对点训练】1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →1．答案 A 解析 由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，故OC →＝2OA →－OB →． 2．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD →等于( )A ．23AB →－13AC → B ．13AB →＋23AC → C ．23AB →＋13AC →D ．13AB →－23AC →2．答案 C 解析 由平面向量的三角形法则，得AD →＝AB →＋BD →．又因为点D 是BC 边上靠近B 的三等分 点，所以AD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于( ) A ．23b ＋13c B ．35c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c3．答案 A 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b ．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( )A ．23AB →＋13AC → B ．23AB →－13AC → C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →4．答案 C 解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →．故选C ．5．设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A ．12AD → B ．32AD → C ．12AC → D ．32AC →5．答案 D 解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →．6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( ) A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB → D ．16AC →＋32AB →6．答案 C 解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →．7．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ．若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．答案 A 解析 PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A ．8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0．其中正确命题的序号为________．8．答案 ②③④ 解析 BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0．所以正确命题的序号为②③④．9．(多选)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A ．EF →＝12CA →－12BC → B ．BE →＝－12BA →＋12BC → C ．AD →＋BE →＝FC → D ．GA →＋GB →＋GC →＝09．答案 CD 解析 如图，因为点D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，所以EF →＝12CB →＝－12BC →，故A 不正确；BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CA →＝BC →＋12(CB →＋BA →)＝BC →－12BC →－12AB →＝－12AB →＋12BC →，故B 不正确；FC →＝AC →－AF →＝AD →＋DC →＋F A →＝AD →＋12BC →＋F A →＝AD →＋FE →＋F A →＝AD →＋FB →＋BE →＋F A →＝AD →＋BE →，故C正确；由题意知，点G 为△ABC 的重心，所以AG →＋BG →＋CG →＝23AD →＋23BE →＋23CF →＝23×12(AB →＋AC →)＋23×12(BA→＋BC →)＋23×12(CB →＋CA →)＝0，即GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选CD ．10．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则用a ，b 表示向量AO →为____________．10．答案 AO →＝13(a ＋b ) 解析 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①，又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②，所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a BCA EF G＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0．又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b ．所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 另解 因为B ，O ，F 三点共线，所以AO →＝λ1AB →＋(1－λ1)AF →＝λ1a ＋12(1－λ1)b ，①，因为D ，O ，C 三点共线，所以AO →＝λ2AC →＋(1－λ2)AD →＝λ2b ＋12(1－λ2)a ，②，由①②可得⎩⎨⎧12(1－λ1)＝λ2，λ1＝1－λ22，解得⎩⎨⎧λ1＝13，λ2＝13.故AO →＝13(a ＋b )．11．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于( )A ．12AB －13AD B ．14AB ＋12ADC ．13AB ＋12DAD ．12AB －23AD11．答案 D 解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →．因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →．因为点F为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →．所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．12b －aB ．12a －bC ．－12a ＋bD ．12b ＋a12．答案 C 解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝____________．(用a ，b 表示)13．答案 －14a ＋14b 解析 由AN →＝3NC →得，AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ． 14．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝_________．(用e 1，e 2表示)14．答案 －23e 1＋512e 2 解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2．15．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b15．答案 B 解析 设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →．而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝ μ⎝⎛⎭⎫a －12b ．因此，μ⎝⎛⎭⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ．由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25．故AH →＝λAF →＝λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ．16．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →＝( )A ．－23AB →＋AD → B ．－23AB →＋43AD →C ．－13AB →＋23AD → D ．－23AB →－AD →16．答案 A 解析 因为在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，所以BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋13AB →＝－23AB →＋AD →，故选A ．考点二 根据向量线性运算求参数 【方法总结】利用平面向量的线性运算求参数的一般方法向量方程AD →＝xAB →＋yAC →中x ，y 的确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量的表示，进而确定x ，y ． (2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x ，y 的方程组，再进行求解．(3)若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD →＝xAB →＋yAC →，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于于x ，y 的方程组，再进行求解．(4)对于求x ＋y 的值的有关问题可考虑平面向量的等和线定理法，见《平面向量特训之满分必杀篇》第一讲平面向量的等和线．【例题选讲】[例1](1)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A 解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13． (2)(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12 解析 由题意，得DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．(3)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3C ．1m ＋1n 是定值，定值为2D ．2m ＋1n是定值，定值为3答案 D 解析 法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ．由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3．故选D ．法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →．又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →．又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →．比较系数知λm ＝23，(1－λ)n＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D ． (4)如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．43答案 A 解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →．因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89．(5)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．233B ．33C ．3D ．23答案 A 解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m ≠0)．AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ，所以λμ＝233．(6)如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋nb ，则m ＋n ＝________．答案 67 解析 根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ．∵RQ →＋QP →＝RP →，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩⎨⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎨⎧m ＝27，n ＝47，故m ＋n ＝67．(7)如图所示，点P 在矩形ABCD 内，且满足∠DAP ＝30°，若|AD →|＝1，|AB →|＝3，AP →＝mAD →＋nAB →(m ，n ∈R )，则mn等于( )A ．13B ．3C ．33D ．3答案 B 解析 如图，过点P 作P E ⊥AB 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，则结合图形及题设得AP →＝AF →＋AE →＝mAD →＋nAB →，所以可得|AF →|＝m ，|PF →|＝|AE →|＝3n ．又∠DAP ＝30°，在Rt △APF 中，t a n ∠F AP ＝t a n 30°＝|PF →||AF →|＝33，则33＝3n m ，化简得m n ＝3．故选B ．优解：如图所示，假设点P 在矩形的对角线BD 上，由题意易知|DB →|＝2，∠ADB ＝60°，又∠DAP ＝30°，所以∠DP A ＝90°．由|AD →|＝1，可得|DP →|＝12＝14|DB →|，从而可得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14DB →＝AD →＋14(AB →－AD →)＝34AD →＋14AB →．又AP →＝mAD →＋n AB →，所以m ＝34，n ＝14，则m n＝3．故选B ．(8)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43．(9)如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →．因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3，故选C ．优解：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E(4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0．由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms 2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23.∴2r ＋3s ＝3．(10) (2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝__________．答案 3 解析 以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75．又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝45，则x B＝|OB →|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45，由OC →＝mOA →＋nOB →，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3．【对点训练】1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．1．答案 23 解析 由图知CD →＝CA →＋AD →，①．CD →＝CB →＋BD →，②．且AD →＋2BD →＝0．①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23．2．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________．2．答案 －2 解析 由于BD ＝2DC ，则BC →＝－3CD →，其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →，那么BC →＝－ 3CD →可转化为AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)，可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2． 3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23 B ．43C ．－3D ．03．答案 D 解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →．又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D ． 4．在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________．4．答案 3 解析 由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y＝14．故xy＝3．5．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →．若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝______． 5．答案 12 －16 解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，∴x＝12，y ＝－16．6．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ， 若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．6．答案 2 解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n2AN →．∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1．则m ＋n ＝2．7．已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( )A ．12B ．13C ．2D ．37．答案 B 解析 由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG →＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λxAB →＋(1－λ)yAC →．∵ 点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13·(AB →＋AC →)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13． 8．如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为 ( )A ．－12B ．12C ．－14D ．148．答案 A 解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝⎛⎭⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →，则λ＝ 14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12． 9．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．9．答案311 解析 设BP →＝kBN →，k ∈R ．因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →) ＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311．10．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．410．答案 B 解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n (25AC →－AB →)＝(1－n )AB →＋n 5AC →．又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1. 11．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．111．答案 A 解析 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 12．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12C ．13D ．2312．答案 D 解析 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →．故λ＋μ＝12＋16＝23．13．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →．延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________．13．答案 －15 解析 设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →，∴AE →＝x 3AB →＋x 2AC →．由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65．根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x 2．因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15． 14．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－114．答案 A 解析 由题意得AE →＝AD →＋12AB →＝BC →＋AB →－12AB →＝AC →－12AB →，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A ．15．如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A ．43B ．53C ．158D ．215．答案 B 解析 因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ (AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ) AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B ．16．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A ．58B ．14C ．1D ．51616．答案 A 解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A ．17．如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为______．17．答案 29 解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ(52AE →＋2AF →)＝52λAE →＋2λAF →，∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29． 18．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．1218．答案 B 解析 ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．19．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1C ．32D ．－319．答案 A 解析 AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →．因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12．20．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G ．若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．20．答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →．因为 CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12．21．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8321．答案 B 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85．22．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．5422．答案 C 解析 法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．23．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．2B ．52C ．3D ．423．答案 C 解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角 坐标系(图略)，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m＝3n ，即mn＝3，故选C ．考点三 根据向量线性运算求参数的取值范围(最值) 【方法总结】向量线性运算求参数的取值范围(最值)问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将参数表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →．若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．答案3＋223 解析 连接AD ．因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →．因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD →＝xAM →＋(1－x )AN →，则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →，所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ，所以23λ＋13μ＝1，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫2λ＋1μ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为3＋223．(2)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．答案 [1，3] 解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B (1,0)，A ⎝⎛⎭⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3．则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝⎛⎭⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎨⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3．令g (θ)＝3cos θ－33sin θ，易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【对点训练】1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫0，13C ．⎝⎛⎭⎫－12，0D ．⎝⎛⎭⎫－13，0 1．答案 D 解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →．∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0． 2．在△ABC 中，点D 满足BD →＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________．2．答案 12 解析 因为BD →＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →．又AE →＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE →∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝⎛⎭⎫0≤λ≤12．所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12．当λ＝12时，t 的最小值是12．3．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ， 若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为__________．3．答案 解析 因为点O 是BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)．又因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝m 2AM →＋n 2AN →．又因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m 2＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，故mn 的最大值为14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．4．答案 19 解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1．由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|．∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19．5．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则 5λ＋3μ的最大值为______． 5．答案102解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵ AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．6．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若 AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________．6．答案 2 解析 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋2y )2－34 (3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2．7．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →， 则μ的取值范围是________．7．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝ λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 8．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案 (－1，0) 解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．9．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上 运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．29．答案 B 解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝ x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2． 10．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________．．10．答案 2 解析 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]， 所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．。
2.2 平面向量的线性运算教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．教学难点：理解向量加减法的定义．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题探究，合作交流1提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？232. 思考|a +b |，|a |，|b |存在着怎样的关系？3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a ，b ∈R ，有a +b =b +a ，（a +b ）+c =a +（b +c ）．任意向量a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2. 当a ，b 不共线时，|a +b |<|a |+|b |（即三角形两边之和大于第三边）; 当a ，b 共线且方向相同时，|a +b |=|a |+|b |;当a ，b 共线且方向相反时，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |）．其中当向量a 的长度大于向量b 的长度时，|a +b |=|a |-|b |;当向量a 的长度小于向量b 的长度时，|a +b |=|b |-|a |．一般地，我们有|a +b |≤|a |+|b |．3. 如下左图，作AB =a ，AD =b ，以AB 、A D 为邻边作ABC D ，则BC =b ，DC =a ．因为AC =AB +AD =a +b ，AC =AD +DC =b +a ，所以a +b =b +a ．如上右图，因为AD =AC +CD =（AB +BC ）+CD =（a +b ）+c ，AD =AB +BD =AB +（BC +CD ）=a +（b +c ），所以（a +b ）+c =a +（b +c ）． 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和-a 互为相反向量．于是-（-a ）=a ．我们规定，零向量的相反向量仍是零向量． 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a +（-a ）=（-a ）+a =0．所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =-b ，b =-a ，a +b =0．A.平行四边形法则如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．讨论结果：①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．三、拓展创新，应用提高例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，OB=b．以OA、OB 为邻边作OACB，连接OC，则OC=a+b．例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d．45例4 如图，ABC D 中， AB =a ，AD =b ，你能用a 、b 表示向量AC 、DB 吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC =a +b ， 同样，由向量的减法，知DB =AB -AD =a -b ．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．课堂作业1．下列等式中，正确的个数是（ ）①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-（-a ）=a ⑤a +（-a ）=0 A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -DB 等于（ ）A ．FDB ．FC C ．FED ．BE 3．下列式子中不能化简为AD 的是（ ）A ．（AB +CD ）+BC B ．（AD +MB ）+（BC +CM ） C ．BM AD MB -+ D ．OC -OA +CD4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心 参考答案：1．C 2．D 3．C 4．A .第2课时教学目标一、知识与技能1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．二、过程与方法充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地0·a=0），它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．三、情感、态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．教学重点、难点教学重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教学关键：两个向量共线的等价条件的探究过程的引导.教学突破方法：从向量共线的定义出发，引导学生分组讨论，得出结果．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导．学习方法：合作探讨，在向量加减法的基础上进行推广．教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课前一节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．二、主题探究，合作交流提出问题：①探究：已知非零向量a，试一试作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）．②你能说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a=0，而不是0·a=0．这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a，λ-a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：（λ+μ）a=λa+μa和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．67对问题①，学生通过作图可发现，OC =OA +AB +BC =a +a +a ．类似数的乘法，可把a +a +a 记作3a ，即OC =3a ．显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a |=3|a |．同样，由下图可知，PN =MN QM PQ ++=（-a ）+（-a ）+（-a ）， 即（-a ）+（-a ）+（-a ）=3（-a ）．显然3（-a ）的方向与a 的方向相反，3（-a ）的长度是a 的长度的3倍，这样，3（-a ）=-3a ．对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1） |λa |=|λ||a |； （2） 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反．由（1）可知，λ=0时，λa =0． 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律． 实数与向量的积的运算律： 设λ、μ为实数，那么 （1）λ（μa ）=（λμ）a ； （2）（λ+μ）a =λa +μa ； （3）λ（a +b ）=λa +λb ．特别地，我们有（-λ）a =-（λa ）=λ（-a ），λ（a -b ）=λa -λb ．对问题③，向量共线的等价条件是：如果a （a ≠0）与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b =λa ．推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b =μa ；当a 与b 反方向时，有b =-μa ．关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定． ②它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．三、拓展创新，应用提高 例1 计算： （1）（-3）×4a ；（2）3（a+b）-2（a-b）-a；（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．解：（1）原式=（-3×4）a=-12a；（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．例2如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b．你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．解：分别作向量OA、OB、OC过点A、C作直线AC（如上图）．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．事实上，因为AB=OB-OA=a+2b-（a+b）=b，而AC=OC-OA=a+3b-（a+b）=2b，于是AC=2AB．所以A、B、C三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3 如图，ABC D的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示MA MB MC、、和MD吗？89活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABC D 中，∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b ， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA =21-AC =21-（a +b ）=21-a -21b ， MB =21DB =21（a -b ）=21a -21b ，MC =21AC =21a +21b ，MD =MB -=-21DB =-21a +21b ．点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．四、小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件． 2．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化． 课堂作业1．31[21（2a +8b ）-（4a -2b ）]等于（ ） A ．2a -b B ．2b -a C ．b -a D ．a -b2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0 3．若向量方2x -3（x -2a ）=0，则向量x 等于（ ）A ．56a B ．-6a C ．6a D ．56-a 4．在△ABC 中，AE =51AB ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB =a ，AC =b ，则BF 用a 、b 表示的形式是BF =_________．5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA +OC OB +=31e 1-21e 2，则OP ON OM ++=________．106．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA =a ，OB =b ，OC =c ， 求证：OG =31（a +b +c ）．参考答案：1.B2. C3. C 4．-a +51b 5．31e 1-21e 2． 6．连接A G 并延长，设A G 交BC 于M ． ∵AB =b -a ，AC =c -a ，BC =c -b ，∴AM =AB +21BC =（b -a ）+21（c -b ）=21（c +b -2a ）． ∴AG =32AM =31（c +b -2a ）．∴OG =OA +AG =a +31（c +b -2a ）=31（a +b +c ）．。
平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.结论：(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.二、例题精讲 + 随堂练习考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析：(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC→|， AB→∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE→＝PF →D.EP→＝PF → (2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB→与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD→与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD→＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP→＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB→＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →， 又知D 是BC 的中点， ∴AD→＝12(AB →＋AC →)， 因此EB→＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →. 答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12解析 (1)∵E 为线段AO 的中点，∴BE→＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在锐角△ABC 中，CM→＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y ＝________.解析：(2)由题设可得AM→＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC→＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故x y ＝3. 答案 (1)B (2)3【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12b B.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD→＝12AB →＝12a ，所以AD→＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析：(2)DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23， 因此λ1＋λ2＝12. 答案 (1)D (2)12考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1 C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎨⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB→＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.法二 ∵BC→＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC→＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线， ∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC→＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 答案 (1)D (2)C三、课后练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM→D.4OM→ 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB→－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b ＝0，所以⎩⎨⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12. 答案 －127.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.8.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD →B.32AD →C.12AC →D.32AC →解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →. 答案 D9.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.10.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.11.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB→＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________.解析 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎪⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33c .△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案 π6 934。
平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。
本文将详细介绍平面向量的线性运算。
一、平面向量的定义平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
二、平面向量的加法设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。
向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。
加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。
三、平面向量的减法设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。
向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。
减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。
四、平面向量的数乘对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。
数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。
五、平面向量的内积两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。
内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。
内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。
六、平面向量的外积两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量。
它可以表示为一个箭头，并且可以用坐标表示。
平面向量的线性运算是指对平面向量进行加法和数乘的操作。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
如果有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的加法可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)例如，如果有向量A(2, 3)和向量B(1, -2)，则它们的加法运算为：A +B = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)二、平面向量的数乘平面向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的操作。
如果有一个向量A和一个实数k，则它们的数乘可以表示为：kA = (kAx, kAy)例如，如果有向量A(2, 3)和实数k = 2，则它们的数乘运算为：2A = (2 × 2, 2 × 3) = (4, 6)三、平面向量的线性运算平面向量的线性运算是指对向量加法和数乘进行组合运算。
如果有两个向量A和B，以及两个实数k和m，则它们的线性运算可以表示为：kA + mB = (kAx + mBx, kAy + mBy)例如，如果有向量A(2, 3)、向量B(1, -2)和实数k = 2，m = 3，则它们的线性运算为：2A + 3B = (2 × 2 + 3 × 1, 2 × 3 + 3 × (-2)) = (7, 0)四、平面向量的性质平面向量的线性运算具有以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 分配律：k(A + B) = kA + kB4. 结合分配律：(k + m)A = kA + mA这些性质使得平面向量的线性运算更加方便和灵活，可以简化运算过程并推导出更多的结论。
总结：平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
