2011届高三数学导数的概念2

湘阴六中2011届高三数学第一轮复习计划高三理科数学备课组（钟岳林老师）一. 背景分析新学期的到来也是新一届高三的开始，也是新一轮复习的启始。

这一届高三是我省实行《新课程标准》命题的第二年，也是我们师生适应新高考模式关键的一年。

高考怎么考我们已清楚，我们的任务应是：指导学生在有限的时间内有效的学习、复习，为高考、更为他们以后的发展服务近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

2011年是湖南省自主命题的第八年，数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前七年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二. 学情分析本届高三理科班的学生普遍基础差，其中只有几个同学数学成绩稍微好一点（如邹勇、黄应得、黎坤、黄雄、钟耿等），他们大多不爱好学习，没有良好的学习习惯，对数学的认知能力太差，这给我们的教学带来了一定的难度，但是面对现实我们不得不在特殊的环境下采取特殊的方法，尽一切可能提高他们的成绩，为明年高考取得伟大的胜利而努力奋斗。

三. 教学指导原则1．高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

4 综上所述，当0＜x＜1或x＞ 时，+ log x 3 > 2 log x 2； 1 3 4 当1＜x＜ 时，+ log x 3 < 2 log x 2； 1 3 4 当x = 时，，+ log x 3 = 2 log x 2. 1 3
1．logax的符号规律要记准，这是本题分类讨论 的根源． 2．对变量讨论时最好转化为不等式组的形式， 否则容易忘掉与大前提求交集． 3．对变量讨论与对参数讨论在结果的表述上有 区别．
① ② ③
1 1 1 又因为0 < x < 1，所以 > 1.同理 > 1， > 1. x z y 1 1 1 将①②③三式相乘得( -1)( -1)( -1) > 8. x y z
【例2】已知实数a≠0，函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)． R 32 (1)若函数f(x)有极大值 ，求实数a的值； 27 (2)若对∀x∈[-2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求实数a 的取值范围． 极值问题可利用导数解决，恒成立问题可 转化为最值问题或参变分离．
9 N 在线段AC上，故z的最小值是 | MN | = . 2 1 y − (− ) 2 表示可行域内任一点( x，y )与定点Q(−1， ( 3) z = 2 ⋅ x − (−1) 1 7 3 − )连线的斜率的两倍，因为kQA = ，kQB = ，故z的取 2 4 8 3 7 值范围为[ ， ]． 4 2
x − y + 2 ≥ 0 【例3】已知 x + y − 4 ≥ 0 ，求： 2 x − y − 5 ≤ 0
(1) z = x + 2 y − 4的最大值； ( 2 ) z = x 2 + y 2 − 10 y + 25的最小值；

第四章 导数第1讲 导数的概念及其运算随堂演练巩固1.设y =－2e xsin x ,则y ′等于A.－2e x cos xB.－2e x sin xC.2e x sin xD.－2e x (sin x +cos x ) 答案：D2.(2011届山东临沂高三测试)已知m <0，f (x )=mx 3+mx27,且f ′(1)≥－18,则实数m 等于A .－9 B.－3 C.3 D.9 答案：B解析：由于f ′(x )=3mx 2+m 27,故f ′(1)≥－18⇔3m +m27≥－18,由m <0得3m +m27≥－18⇔3m 2+18m +27≤0⇔3(m +3)2≤0,故m =－3.3.设曲线y =11-+x x 在点(3，2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a 等于A .2 B.21C.－21D.－2答案：D解析：因为y ′=2)1(2--x ，所以切线斜率k =y ′|x=3=－21，而此切线与直线ax +y +1=0垂直，有k ·(－a )=－1，因此a =k1=－2. 4.若曲线f (x )=ax 2+ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是____________.答案：(－∞,0)解析：f ′(x )=2ax +x1,x ∈(0,+∞).∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )=0有解，即2ax +x1=0在(0，+∞)上有解,∴a =－221x.∴a ∈(－∞,0).5.已知P (－1，1)，Q (2，4)是曲线y =x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程是____________.答案：4x －4y －1=0解析：y =x 2的导数为y ′=2x .设切点为M (x 0,y 0)，则y ′|0x x ==2x 0.∵PQ 的斜率k =1214+-=1,又切线平行于PQ ， ∴k =y ′|0x x ==2x 0=1.∴x 0=21.∴切点M (21，41).∴切线方程为y －41=x －21,即4x －4y －1=0.课后作业夯基1.下列求导运算正确的是A.(x +x 1)′=1+21xB.(log 2x )′=2ln 1xC.(3x )′=3x·log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x 答案：B解析：(x +x 1)′=1－21x;(3x )′=3x ln3;(x 2cos x )′=2x cos x －x 2sin x .2.若曲线C ：y =x 3－2ax 2+2ax 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于A.－2B.0C.1D.－1 答案：C解析：y ′=3x 2－4ax +2a >0,由Δ<0⇒0<a <23,a ∈Z ,∴a =1.3.若点P 是曲线y =x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y =x －2的最小距离为A.1B.2C.22D.3答案：B解析：过点P 作y =x －2的平行线，且与曲线y =x 2－ln x 相切，设P (x 0,x 02－ln x 0),则k =y ′|0x x ==2x 0－1x ,∴2x 0－1x =1.∴x 0=1或x 0=－21(舍去).∴P (1,1).∴d =11|211|+--=2. 4.f ′(x )的图象大致形状是答案：解析：设二次函数为y =ax 2+b (a <0,b >0),则y ′=2ax , 又∵a <0，故选B .5.曲线y =31x 3+21x 2在点T (1，65)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.1849B.3649C.7249D.14449 答案：D解析：易知点T 为切点，由f ′(1)=2,知切线方程为y =2x －67,其在两坐标轴的截距分别为127，－67，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S =21×127×|－67|=14449. 6.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s =31t 3－23t 2+2t ,那么速度为零的时刻是A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末 答案：D解析：∵s =31t 3－23t 2+2t ,∴v =s ′(t )=t 2－3t +2,令v =0得t 2－3t +2=0,解得t 1=1,t 2=2.7.已知曲线C ：y =ln x －4x 与直线x =1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是____________.答案：3x +y +1=0解析：由题可解得P (1，－4)，则由y ′=x1－4可得曲线C 在P 处的切线斜率为k =y ′|x =1=－3,故切线方程为y －(－4)=－3(x －1)，即3x +y +1=0.8.已知直线y =kx 与曲线y =ln x 有公共点，则k 的最大值为____________.答案：e1解析：从函数图象知在直线y =kx 与曲线y =ln x 相切时，k 取最大值，y ′=(ln x )′=x 1=k ,x =k 1(k ≠0),切线方程为y －ln k 1=k (x －k1)，又切线过原点(0，0)，代入方程解得ln k =－1,k =e1.9.下列图象中，有一个是函数f (x )=31x 3+ax 2+(a 2－1)x +1(a ∈R ,a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)=____________.答案：－31解析：∵f ′(x )=x 2+2ax +(a 2－1), ∴导函数y =f ′(x )的图象开口向上. 又∵a ≠0，其图象必为第三张图.由图象特征知f ′(0)=0,且－a >0, ∴a =－1.故f (－1)=－31－1+1=－31.10.求下列函数的导数.(1)y =x cos x －sin x ;(2)y =x 2e x ;(3)y =(x +1)(x1－1). 解：(1)∵y =x cos x －sin x ,∴y ′=cos x －x sin x －cos x =－x sin x . (2)∵y =x 2e x ,∴y ′=2x e x +x 2e x =(2x +x 2)e x .(3)∵y =x x -1=x1－x =x 21-－x 21,∴y ′=－21x 23-－21x 21-.11.已知函数f (x )=x 3－3x 及y =f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y =f (x )相切且以P 为切点的直线方程 (2)求使直线l 和y =f (x )相切且切点异于P 的直线方程.解：(1)由f (x )=x 3－3x ,得f ′(x )=3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)=0,∴所求直线方程为y =－2;(2)设过P (1，－2)的直线l 与y =f (x )切于另一点(x 0,y 0),则f ′(x 0)=3x 02－3.又直线过(x 0,y 0),P (1,－2),故其斜率可表示为1)2(00---x y =1230030-+-x x x ,又1230030-+-x x x =3x 02－3,即x 03－3x 0+2=3(x 02－1)(x 0－1),解得x 0=1(舍)或x 0=－21,故所求直线的斜率为k =3×(41－1)=－49,∴y －(－2)=－49(x －1),即9x +4y －1=0.。

验进 行 归 纳和 总 结 ，看 看 得 到哪 些感 悟 与 启 发 。 同时教 是 否 定一 切 ，它是 指 在科 学 理 论 的指 导 下 ，面对 新 的 问 师 还可 以进一 步 引 导学 生 探索 该 问题 更 深 刻 的发 生 、发 题 敢 于提 出新 的观 点 与新 的方法 ，它 是对 一 切 落后 的 、 展 变化 ，如适 当改变 问题 的 背景 ，将 条 件 与 结论 倒 置 ，
学计 划落 实 的情 况及 下 一 周教 学 工作 的要 点 ，做到 “ 五 课 ，精 选 习题 外 ，关 键 是要 提 高课 堂 效率 ，在 课堂 上做 统 一 ” “五 细 ” “ 加 强 ” ， 即 ： 统 一 思 想 ，统 一 认 到三 到位 。 五
识 ，统一 进 度 ，统 一方 案 ，统 一 行动 ；考 纲 、 教材 要钻 研 得 细 ，复 习计 划 要制 订得 细 ，复 习 内容 要 研 究得 细 ，
２ ｔ 年２ ０ １ 月上 第 ４ （ 期 总第 ２ ６ ） ２期
墓
一
６一
／ 教学研究 ／
仿 阶段 必 须 依赖 学 生 自己 的感 悟 、摸 索 、探 究 、反 思 和 将 起 到事 半功 倍 的作用 。一 些做 法 ：１ ）不在 乎 多讲一 套 ） 总结 。 这 样 就 要 求 教 师 在 精 选 习题 时 一 定 要 选 针 对 性 题 或 少讲 一套 题 ，应根 据实 际情 况 ，做到 快慢 有致 ；２ 强 、思维 力 度适 当、有 一 定挑 战性 和 一 定钻 研价 值 的 问 在 学 生 中 组建 一 个数 学 问题讲 解 组 ，教 师可 以指定 部 分 题 。教 师 在 导时 ，既要 按 常 规方 式 讲清 怎样 审题 、常 规 问题 由讲解 组 来讲 解 ；３ ）遇 到较好 的题 材 ，教师 要 引导 思路 、方 法 和技 巧 、 关键 步 骤及 常 见 的主 要 错误 等 ，同 学 生 多 反 思 ，努 力扩 大 解题 成 果 ，总 结 解题 经 验 ，逐渐

聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．

§57导数的概念及导数的几何意义⑴【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。

【基础知识】1．一般地，函数f(x)在区间[x,x]12上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2．不妨设P(x, f(x)),Q(x, f(x))1100，则割线PQ的斜率为，设x－x=△x△，则x △=x＋x，∴1010kPQ，当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即△当△x无限趋近于0时，k PQ f(x x)f(x)00x无限趋近点Q处切线。

3．曲线上任一点(x，f(x))切线斜率的求法：00kf(x x)f(x)00x，当△x无限趋近于0时，k值即为(x，f(x ))处切线的，记为．004．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：s(t t)s(t)00t，称为；当t无限趋近于0时，s(t t)s(t)00t无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t时的；速度的平均变化率：v(t t)v(t)00t，当t无限趋近于0时，v(t t)v(t) 00t【基础练习】无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t时的．1．已知函数f(x)ax2在区间[1,2]上的平均变化率为3,则f(x)在区间[-2,-1]上的平均变化率为．2．A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t,t]上,A,B两船间距离变化的平均速度为_______1 2【典型例题讲练】例1．已知函数f(x)=2x+1,-77-⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数 f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数 y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点；练习：已知函数 f(x)=x +2x ，分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率;⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3]【课堂检测】1．求函数yf ( x )1 x在区间[1,1+△x ]△ 内的平均变化率2．试比较正弦函数 y=sinx 在区间0, 和, 上的平均变化率，并比较大小。

( *)
此时f ( x) = x 3 − ax + a − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1 − a )经过点A (1, 0 )，
+ ( 2 )因为存在x0 ∈ (0， ∞)，使f ( x0 ) > x0 ⋅ e x
3 即x0 − ax0 + a > x0 ⋅ e x0 + a，
① λ + 2 = 2m 由a = 2b，得 2 λ - cos 2 α = m + 2sin α ② λ 2 由①知，λ = 2m - 2，所以 = 2 - . m m 下面求自变量m的取值范围． 由②得(2m - 2) 2 - m = cos 2 α + 2sin α = -(sin α -1) 2 + 2. 2 因为 sin α ∈ [ -1,1]，所以 - 2 ≤ 4m - 9m + 4 ≤ 2. 2 因为4m - 9m + 4 ≥ -2恒成立， 1 λ 2 由4m - 9m + 4 ≤ 2，得 ≤ m ≤ 2，所以 ∈ [ -6,1]． 4 m
π
π
m 【例2】向量a = (λ + 2，λ - cos α )，b = (m， + sin α )， 2
2 2
其中λ，m ∈ R.若a = 2b，求
λ
m
的取值范围．
利用向量关系得到λ、m、α的两个关系式， λ 所求 即可用m表示，充分应用关系式隐含的字母 m 范围(此处主要考虑sinα、cosα的值域)，求出m的取 值范围即可．
1．消元是构造函数的常用方法； 2．注意挖掘等式中隐含的取值范围．
【变式训练】(2010 北京卷)已知函数 (1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切 线方程； (2)求f(x)的单调区间．

孝感一中2012届高三数学复习备考计划高三数学组执笔人：梅建军一、指导思想按照新课程标准的要求，根据湖北数学高考试题“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点和本校学生的实际，在高三数学复习中我们以潜心钻研新课标、仔细研究新考纲、有效落实双基、科学组织备考为指导思想，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益，以加强双基教学为主线，以提高学生数学能力为目标，加强学生对知识的有效理解、联系应用，同时，结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力，力争我校2012年高考数学成绩上一个新台阶。

二、复习依据根据湖北新课程指导实施意见，以人教社新教材、2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）及湖北省的补充说明为复习依据，仔细阅读研究新课程标准，同时参考近几年高考试题及新课程标准和教材。

三、复习计划1、一轮基础复习（2011．7．5-----2012．3．1）【以《高考365》为蓝本】一阶段复习，基础知识复习阶段，要体现基础性、全面性、熟练性，有效性。

（1）基础性：根据数学新课程标准，强调复习内容应是数学课程标准要求的数学基础知识，它包括数学基础知识、基本技能和基本方法。

（2）全面性：根据考纲的要求，对高中数学中的每个知识点进行全面的复习，对常用数学方法进行全面的总结。

（3）熟练性：即指通过复习，学生对数学基础知识和基本数学方法要熟练地掌握和运用，要加强运算求解、数据处理的能力，为以后进一步复习打下扎实的基础。

（4）有效性：即指通过复习，学生能够科学有效的解答试题，得到试卷的有效分数。

要到达目的：（1）深化对“双基”的掌握和运用；（2）形成有效的知识模块（3）归纳总结常用的数学思想方法；（4）帮助学生积累解题经验，提高解题水平；（5）训练学生的数学运算求解、数据处理能力，特别是有条理的书面表达能力。

具体做法：按照资料章节讲练，安排见附表。

2、二轮专题复习（2011．3．1-----2011．5．5）【编写专题和试题】第二阶段复习注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。

第二讲 导数及其在函数性态上的应用一、导数及其求法1．导数的定义 00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆ 00000()()()()limlim h x x f x h f x f x f x h x x →→+−−==− 2．导数的求法 （1）利用定义 （2）利用基本公式 （3）复合函数求导 （4）隐函数求导 （5）参数方程求导 （6）对数求导法 （7）高阶导数二、导数在函数性态上的应用 单调性、极值、凹凸性 三、不等式的证明方法 1．利用单调性 2．利用中值定理 3．利用泰勒展开 四、方程根的讨论 1．利用罗尔定理2．利用零点定理和单调性说明根的唯一性3．利用零点定理、极值、单调性讨论根的个数 五、例题利用导数的定义的有关问题例 1 设()f x 连续，1()()d g x f xt t =⎰，且0()lim ,x f x A A x→=为常数，求()g x '，并讨论()g x '在0x =处的连续性。

(2009首届，15分，97考研)例2设函数()f x 连续，且0)0(')0(==f f ，记000d ()d , 0,()ln[1()]d ,0,x u xu f t t x F x f x t t x −⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩⎰⎰⎰求)('x F 及)0(''F .练习：设函数 ()cos ,0(),0x xx f x x a x ϕ−⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中，()x ϕ具有连续的二阶导数，且(0)1ϕ=， （1）确定a 的值，使()f x 在0x =处可导，并求()f x ' （2）讨论()f x '在0x =处的连续性。

例3 设函数()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且0()lim 0x f x x →=，证明级数11|()|0n f n ∞==∑收敛。

导数与导函数的观点【基础知识点】1．函数从到的均匀变化率为① ____________，若△x x2x1，△ y f ( x2 ) f ( x1 ) ，则均匀变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（ a ，b）上的函数 f ( x) ，x o( a， b) ，当x 无穷趋近于0 时，y f (x o x) f (x o )A ，则称f ( x)在x x o处可导，并x x无穷趋近于一个固定的常数称 A 为f ( x)在x x o处的导数，记作 f ' ( x o ) 或f ' ( x ) |x xo3．几何意义： f ( x) 在x x0处的导数就是 f ( x) 在x x0处的切线斜率。

4．导函数的观点： f ( x)的对于区间（a , b）上随意点处都可导，则 f ( x) 在各点的导数也随 x 的变化而变化，因此也是自变量x的函数，该函数被称为 f ( x) 的导函数，记作f ' ( x ) 。

【典例分析】【典例 1】函数f ( x)知足f ' (1)2，则当 x 无穷趋近于 0 时，（ 1）f (1x) f (1)2x（ 2）f (12x) f (1)x变式 :设f(x)在x=x0处可导，（3）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =___________ x（4）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =__________ x（ 5）当△ x 无穷趋近于0，f ( x02x) f (x02 x)所对应的常数与 f ( x0 ) 的x关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴(kx b)k (k,b为常数 ) ⑵(C ) 0 (C 为常数 )⑶ ( x)1⑷( x 2 ) 2 x⑸( x 3) 3x2⑹ (1)1xx 2⑺(x )1由⑶ ~⑹你能发现什么规律 ?2 x⑻ ( x ) x1（ 为常数）⑼ (a x )a x ln a (a0，a 1)⑽(log a x)1log a e1 ( a 0，且 a 1)xxlna⑾(e x )e x⑿(lnx ) 1x⒀(sinx ) cosx⒁(cosx)－ sinx2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线 y ＝ f （x ）在点 P （ x 0， f （ x 0））处的切线方程是 y － f （ x 0）＝ f ' ( x o ) （ x － x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依照已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法例：（ 1） （ 2）（ 3）f ( x)g ( x) ' f '( x)g '( x)cf ( x) ' cf (x)'f (x)g ( x) ' f '(x) g(x)f ( x)g '(x)f ( x) '（ 4）f '( x)g (x) f (x) g '( x)( g (x) 0)g( x)g( x)2【典例分析】【典例 1】求以下函数的导数（ 1）y3x 5（ 2）y1（ 3）y log 4 x（ 4）x 4y sin(x)2（ 5）y cos(3（ 6）yx x x x)2题型一：点在曲线上【典例 2】已知曲线y1x3上一点 P(2,8),则过 P 点的切线方程为.33分析：过点 P 的切线的斜率为k f ' 2 4 ，那么切线方程为y84x 2 ，即312 x 3y 160 ．变式：（南通市2013 届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f ( x)f(1)x12在e f (0) x xe2点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ________.题型二：点不在曲线上【典例 3】过点(1,0) 作抛物线y x2x1的切线，则此中一条切线为解析：设切点为 x0 , y0，切线的斜率为 f ' x02x0 1 ，则切线方程为：y y0 f 'x0x x0，由于点 ( 1,0) 在切线上，故y0 f ' x0 1x0，解得x00，或 x02，切点为 0,1或2,3，故切线方程为 x y20或3x y30变式： 1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点1,0. 与函数 f x e x( e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（ 2011 年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P是函数 f ( x)e x (x0)的图象上的动点 , 该图象在P 处的切线l交y轴于点, 过点P作l的垂线交y轴于点,设M N线段 MN的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例 4】求垂直于直线 2 x6y 1 0且与曲线y x33x2 5 相切的直线方程。

x→0
, 切线方程为⑥ 切线方程为⑥ y-y0=k(x-x0) .
⑤
f ( x0 + x) f ( x0 ) x→0 x
lim
x
16
3.瞬时速度 瞬时速度 物体作直线运动时， 物体作直线运动时，设物体的运动方 位移公式)为 如果物体在时刻t 程(位移公式 为：s=s(t).如果物体在时刻 0 位移公式 如果物体在时刻 时位移增量s=s(t0+t)-s(t0)，那么， 至 t0+t时位移增量 时位移增量 ，那么， 位移增量s与时间增量 的比，就是这段 位移增量 与时间增量t的比 与时间增量 的比， 时间内物体的平均速度 ,即 v ⑦v 即 =⑦ t→0时，的极限就是物体时刻 0的瞬时速 时 的极限就是物体时刻t lim s t→0 . 度，即：lim =⑧ ⑧ v t t→0
1 0 1 0
14
2.曲线的切线 曲线的切线 设函数y=f(x)的图象 上一点 0,y0) 的图象C上一点 设函数 的图象 上一点P(x 及邻近一点Q(x0+x,y0+y),过点 、 Q作 及邻近一点 过点P、 作 过点 C的割线 的割线PQ,那么割线 的斜率为 那么割线PQ的斜率为 的割线 那么割线 点 Q(x0+x,y0+y) 沿 着 曲 线 逐 渐 向 点 P(x0,y0)接近时 ， 割线 将绕着点 逐渐 接近时， 将绕着点P逐渐 接近时 割线PQ将绕着点 转动，当点Q沿曲线无限地接近点 沿曲线无限地接近点P， 转动，当点 沿曲线无限地接近点 ，即 x→0时， 时
新课标高中一轮 总复习
理数
1
第三单元 导数及其应用
2
知识体系
3
考纲解读
1.导数的概念及其几何意义 导数的概念及其几何意义. 导数的概念及其几何意义 (1)了解导数的概念和实际背景 了解导数的概念和实际背景. 了解导数的概念和实际背景 (2)理解导数的几何意义 理解导数的几何意义. 理解导数的几何意义 2.导数的运算 导数的运算. 导数的运算 (1)能根据导数的定义，求函数 能根据导数的定义，求函数y=C(C 能根据导数的定义 为常数),y=x,y=x2,y=x3,y= 1 ,y=x的导数 的导数. 为常数 的导数

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函 数七．求函数解析式的常用方法：1．待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。

如已知()f x 为二次函数，且)2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式。

（答：21()212f x x x =++）2．代换（配凑）法——已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已知,sin)cos 1(2x x f =-求()2xf 的解析式（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；（2）若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：(1x -）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

3．方程的思想——已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

如 （1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33f x x =--）；（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g =11-x ,则()f x = _ （答：21x x -）。

八．反函数：1．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。

利用数形结合，－3,2 是方程 ax2＋(b－8)x
－a－ab＝0 的两根，求出 a，b 的值，得 f(x)的解析式， 进而确定 f(x)在[0,1]内的值域，然后利用函数 g(x)＝ax2 ＋bx＋c 的性质，确定 c.
＝－3 解 由题意得 x＝－ 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠0，则 ＝－ ＝ 的零点且 ≠ ，
4．函数单调性的判定方法 ． (1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答． 定义法：取值，作差，变形，定号 ，作答． 定义法 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． (2)导数法． 导数法． 导数法 (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 复合函数的单调性遵循“同增异减 ”的原则． 复合函数的单调性遵循 5．函数奇偶性的判定方法 ． (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 (2)对于定义域内的任意一个 ， 对于定义域内的任意一个x， 对于定义域内的任意一个 若都有f(－ ＝ 为偶函数． 若都有 － x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． ， 为偶函数 若都有f(－ ＝－ ＝－f(x)， 为奇函数． 若都有 － x)＝－ ，则 f(x)为奇函数． 为奇函数 若都有f(－ － 为偶函数． 若都有 － x)－f(x)＝0，则 f(x)为偶函数． ＝ ， 为偶函数 若都有f(－ ＋ 为奇函数． 若都有 － x)＋f(x)＝0，则 f(x)为奇函数． ＝ ， 为奇函数
变式训练1 ，＋∞ 变式训练 设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x) ＝ ＋ ， ∈ － ，＋ 时 恒成立， 的取值范围． ≥ a恒成立，求 a的取值范围． 恒成立 的取值范围

1 3
极大值
2 3
于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为 在 于是 上的最大值为 h(e
3 )= 2
e ，即b的最大值为 的最大值为
3 e 2
.
21
(2)证明：设F(x)=f(x)-g(x) 证明： 证明
1 2 = 2 x +2ax-3a2lnx-b(x>0), ( x a )( x + 3a ) 3a 2 = (x>0). x x
12
(2)用导数方法证明不等式 用导数方法证明不等式. 用导数方法证明不等式 其步骤一般是： 构造可导函数——研 其步骤一般是 ： 构造可导函数 研 究单调性或最值——得出不等关系 得出不等关系——整 究单调性或最值 得出不等关系 整 理得出结论. 理得出结论 (3)与几何图形相关的最值问题 根据几 与几何图形相关的最值问题.根据几 与几何图形相关的最值问题 何知识建立函数关系， 何知识建立函数关系 ， 然后用导数方法求 最值. 最值
则F′(x)=x+2a-
上为减函数,在 上为增函数, 故F(x)在(0,a)上为减函数 在(a,+∞)上为增函数 在 上为减函数 上为增函数 舍去).列表如下 由F′(x)=0，得x=a或=-3a(舍去 列表如下： ， 或 舍去 列表如下：
x F′(x) F(x) (0,a) a (0,+∞) +
0
1 有极大值点x=- ，极小值点 极小值点x=3. 故f(x)有极大值点 有极大值点 3 1
此时， 在 上是减函数， 此时，f(x)在[- ,3]上是减函数，在[3,+∞)上 上是减函数 上 3 是增函数. 是增函数
所以f(x)在 x∈[1,a]上的最小值是 在 ∈ 上的最小值是f(3)=-18,最 所以 上的最小值是 最 大值是f(1)=-6（这里 大值是 （这里f(a)=f(4)=-12<f(1)=-6).

11
3.函数的最值与其导数的关系 函数的最值与其导数的关系 (1)函数的最值 ： 如果在函数y=f(x)的定义 函数的最值： 如果在函数 的定义 函数的最值 域 I 内 存 在 x0 ， 使 得 对 任 意 的 x∈I ， 都 有 ∈ 则称f(x 为函数的最大值 为函数的最大值,记作 ⑤ f(x)≤f(x0) ,则称 0)为函数的最大值 记作 则称 ymax=f(x0);反之 若有⑥ f(x)≥f(x0) ,则称 0)为 反之,若有 则称f(x 为 反之 若有⑥ 则称 函数的最小值， 记作y 函数的最小值 ， 记作 min=f(x0).最大值和最小 最大值和最小 值统称为最值； 值统称为最值； (2)如果函数 如果函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图 在闭区间［ ］ 如果函数 在闭区间 象是⑦ 的曲线,则该函数在闭 象是⑦ 一条连续不间断 的曲线 则该函数在闭 区间［ ］上一定能够取得最大值与最小值. 区间［a,b］上一定能够取得最大值与最小值
18
求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的单调 的单调 变式 求函数 增区间. 增区间 因为 f′(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2) =3x2-12x+11.
3 由f′(x)≥0，得x≤2- 或x≥2+ . 3 ， 3 3 点评 本题易错误地作答为递增区间是 故函数f(x)的单调递增区间是 故函数 的单调递增区间是 3 3 (-∞,2]∪ [2+ 3 ,+∞).误将正值区间 误将正值区间(1,2) ∪ 误将正值区间 3 与[2+ 3,+∞). (-∞,2- 3 ]与 作为增区间. 或(3,+∞)作为增区间 作为增区间 3 3
4
1.已知函数 已知函数f(x)在点 0处连续，下列命题中 在点x 已知函数 在点 处连续，下列命题中, 正确的是( 正确的是 C ) A.导数为零的点一定是极值点 导数为零的点一定是极值点 B. 如 果在点 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f 右侧 ′(x)<0,那么 0)是极小值 那么f(x 是极小值 那么 C.如果在点 0 附近的左侧 ′(x)>0,右侧 如果在点x 右侧f 如果在点 附近的左侧f 右侧 ′(x)<0，那么 0)是极大值 ，那么f(x 是极大值 由极值的定义知C正确 右侧f 正确. 由极值的定义知 正确 右侧 D.如果在点 附近的左侧 ′(x)<0， 如果在点x0附近的左侧 如果在点 附近的左侧f ， ′(x)>0,那么 0)是极大值 那么f(x 是极大值 那么

2011版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第四节 指数函数【高考目标定位】一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

二、热点、难点提示1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题。

【考纲知识梳理】1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①(0)(0)an aa a n a a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪-<⎩⎩为奇数为偶数；②()n a a =注意。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正整数指数幂:()nn a a aa n N *=∈个;②零指数幂:01(0)a a =≠; ③负整数指数幂:1(0,);pp aa p N a-*=≠∈ ④正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且;⑤负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

(2)若f(x)=lg(ax2+bx+c)型的函数的定义域为
若 a = 0, 则 2+bx+c>0恒成立⇔ R，则有ax 若 a ≠ 0, 则
b = 0, c > 0
a > 0 ∆ < 0
1 (3)若 f ( x ) = 2 ax + bx + c
型的函数的定义域为R， R
若 a = 0, 则 b = 0, c ≠ 0 . 若 a ≠ 0, 则 ∆ < 0
2 a+c b 2b b a b c b a +c b a b
.
所以2 f (b) > 2 f (b) = 2 f (b)． 所以f (a) + f (c) > 2 f (b)．
方法2： )因为对任意x、y ∈ R，有f ( xy ) = [ f ( x)] ， (1
y
所以f ( x) = f ( x × 1) = [ f (1)] ，
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
( 2 ) 设函 数y =f( x) 在 某个 区 间内 可 导， 如果 f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减 函数． (3)如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共 定义域内，和函数f(x)+g(x)是减函数；如果函数f(x) 和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，和函数 f(x)+g(x)也是增函数． (4)复合函数y=f[g(x)]的单调性：同增异减．
曲线y = x 2 - | x | + a关于y轴对称．当x ≥ 0时，y = x 2 1 2 1 x + a = ( x - ) + a - ，结合图 2 4 象知，要使直线y = 1与曲线 y = x - | x | + a有四个交点，需