九年级数学二次函数的图象和性质4

初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质（4课时）一元复始，万象更新。

查字典数学网初中频道小编预备了九年级下册数学教学打算：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)的相关内容，期望能够对大伙儿有关心。

教学目标【知识与技能】使学生明白得并把握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探究过程,明白得并把握函数y=a(x -h)2+k的性质,培养学生观看、分析、推测、归纳并解决问题的能力.【情感、态度与价值观】渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习适应.重点难点【重点】确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,明白得函数y=a(x-h) 2+k的性质.【难点】正确明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.教学过程一、问题引入1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?(函数y=x2+1的图象能够看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?(函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+ 1)2-1有哪些性质?(函数y=-(x+1)2-1的图象能够看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)二、新课教授问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?师生活动:教师引导学生作图,巡视,指导.学生在直角坐标系中画出图形.教师对学生的作图情形作出评判,指正其错误,出示正确图形.解:(1)列表:xy=-x2y=-(x+1)2y=-(x+1)2-1-3--2-3-2-2---1-0-100--1--2-32-2--3--8-9(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.问题2:观看图象,回答下列问题.函数开口方向对称轴顶点坐标y=-x2向下x=0(0,0)y=-(x+1)2向下x=-1(-1,0)y=-(x+1)2-1向下x=-1(-1,-1)问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x 2的图象之间的关系吗?师生活动:教师引导学生认真观看上述图象.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.函数y=-(x+1)2-1的图象能够看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗?师生活动:教师引导学生积极摸索,并适当提示.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.问题4:你能发觉函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗?师生活动:教师组织学生讨论,互相交流.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.当x-1时,函数值y随x的增大而增大;当x-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.三、典型例题【例】要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长?师生活动:教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.学生积极摸索、解答.指名板演,教师讲评.解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).由这段抛物线通过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,解得a=-,因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),当x=0时,y=2.25,也确实是说,水管的长应为2.25 m.四、巩固练习1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.【答案】函数y=2(x-1)2的图象能够看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y =2(x-1)2-2的图象.2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出那个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).五、课堂小结本节知识点如下:一样地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y= ax2向上(或下)向左(或右)平移,能够得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要依照h、k的值来确定.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;(2)对称轴是x=h;(3)顶点坐标是(h,k).教学反思本节内容要紧研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清晰地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有紧密的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就能够得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y =a(x-h)2+k有两种平移方法:方法一:y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k方法二:y=ax2y=ax2+k单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

第二十二章 二次函数第5讲 二次函数的图象和性质【板块一】二次函数的图象和性质题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y ＝－12(x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的 上 方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12(x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。

【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。

题型二 抛物线的开口大小【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( )A .14≤a ≤1B ．12≤a ≤2C .12≤a ≤1D .14≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2，14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ．【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－12x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① .【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。

故抛物线I 的解析式为y ＝－12x ²，抛物线Ⅱ的解析式为y ＝﹣2x ²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y ＝x ².故填②③① 题型三 抛物线的对称性 【例4】抛物线y ＝ax ²＋bx ＋5经过A (2,5).B (﹣1,2)两点。

九年级数学二次函数的图象与性质湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的图象与性质教学要求：（一）知识与技能要求1. 知道二次函数的图象是抛物线，并且知道抛物线的顶点2. 通过“列表、描点、连线”三步作二次函数y＝ax2，y＝a（x＋d）2，y＝a（x＋d）2＋k，y＝ax2＋bx＋c的图象3. 能说出上述抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向4. 能根据二次函数的图象说明函数值随自变量取值的变化而升或降的性质5. 知道抛物线的顶点坐标与抛物线的最大值（最小值）之间的关系，并能依据抛物线的开口方向确定抛物线的最值（二）过程与方法要求1. 经历探索二次函数y＝ax2，y＝a（x＋d）2，y＝a（x＋d）2＋k，y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程2. 体会数形结合的思想（三）情感态度与价值观要求1. 积极投入到探索活动中，勇于发表个人意见。

2. 数学活动中充满着探索性，通过认识、观察、归纳、类比可以获得数学猜想二. 重点、难点重点：1. 二次函数y＝ax2（a≠0）的性质2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移规律3. 求二次函数的最大值或最小值难点：二次函数的性质的应用三. 主要内容：（一）y＝ax2（a≠0）的图象及性质1. 二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线当a>0时，抛物线开口向上，且向上无限伸展a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限伸展2. 二次函数y＝ax2的性质对称轴是y轴，顶点在原点处a>0，开口向上；a<0，开口向下（二）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象1. 二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2向上（下）平移得到当k>0时，抛物线y＝ax2向上平移|k|个单位，得y＝ax2＋kk<0时，抛物线y ＝ax 2向下平移|k|个单位，得y ＝ax 2＋k2. 二次函数y ＝a （x ＋d ）2的图象由抛物线y ＝ax 2向左（右）平移 当d>0，抛物线y ＝ax 2向左平移|d|个单位，得y ＝a （x ＋d ）2d<0，抛物线y ＝ax 2向右平移|d|个单位，得y ＝a （x ＋d ）23. 一般地，抛物线y ＝a （x ＋d ）2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，只是位置不同。

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．2(0)y ax bx c a =++≠=−+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++−+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a −⎛⎫=++⎪⎝⎭2()y a x h k =−+2b h a =−244ac b k a−=2y ax bx c =++2b x a =−24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质向上 向下直线 直线 2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠2b x a=−b x =−2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当值的情况．20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=−244ac b y a−=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值【考点剖析】题型一、二次函数的图象与性质例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】 解法1（配方法）：．∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法2（公式法）：∵ ，，，∴ 11122()2b x a=−=−=⨯−，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法3（代入法）：∵ ，，， ∴ ． 将代入解析式中得，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =−+−2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =−+−=−−−=−−+−−211(1)422x =−−+−217(1)22x =−−−71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯−⨯−− ⎪−⎝⎭==−⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−111222bx a=−=−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭1x =21711422y =−⨯+−=−71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【变式1】把一般式化为顶点式． （1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.例2．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限．2286y x x =−+−故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可 以判断a 、b 的取值范围．【变式1】 抛物线与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【答案与解析】(1)由抛物线与y 轴交于(0，3)可得m ＝3． ∴ 抛物线解析式为，如图所示．(2)由得，． ∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁． (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，2(1)y x m x m =−+−+2(1)y x m x m =−+−+223y x x =−++2230x x −++=11x =−23x =2223(1)4y x x x =−++=−−+【变式2】某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．题型二、二次函数的最值例3．求二次函数的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵，∴ 当x ＝-3时，． 解法2(公式法)：∵ ，b ＝3， ∴ 当时，．解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++−+21(3)42x =+−4y =−最小102a =>12c =331222b x a =−=−=−⨯22114341922414242ac b y a ⨯⨯−−−====−⨯最小211322y x x =++26(12)0x x y ++−=∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度 灵活去选择．【变式1】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？ 【答案】（0<L <30）．（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．【变式2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3． 【答案与解析】∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值． (2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x ≤3)的图象是 抛物线的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，；当x ＝2时，．2690x x ++=(30)S L L =−2(30)L L =−−2(15)225L =−−+15L ∴=223y x x =−−2223(1)4y x x x =−−=−−4y =−最小值223y x x =−−223y x x =−−232330y =−⨯−=最大值222233y =−⨯−=−最小值【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取 值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x ≤3为图中实线 部分，易看出x ＝3时，；x ＝2时，．题型三、二次函数性质的综合应用例4．已知二次函数的图象过点P(2，1)． （1）求证：； （2）求bc 的最大值． 【答案与解析】（1）∵ 的图象过点P(2，1)， ∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）． ∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可． （2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解． 【变式1】如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）223y x x =−−0y =最大值3y =−最小值2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =−−21y x bx c =+++22(24)2(2(1)2bc b b b b b =−−=−+=−++1b =−A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．【变式2】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【答案】D．【解析】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，，∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a ＞；故④正确 ⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确； 故选：D ．【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【变式3】一条抛物线经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线的距离； (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则 解得∴ 所求抛物线的解析式为． 列表：描点、连线，如图所示：2y ax bx c =++x 2y =4x =420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,42,3.a b c ⎧=−⎪⎪=⎨⎪=−⎪⎩21234y x x =−+−（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10， 观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．【过关检测】一、单选题1．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将抛物线22()1y x =−+向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ） A ．2(1)3y x =−+ B ．2=(3)1y x −− C ．2(1)1y x =−− D ．2(1)1y x =+−【答案】C【分析】根据抛物线平移的法则：左加右减，上加下减即可得到答案．【详解】解：将抛物线22()1y x =−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为22211211()()y x x =−++−=−−，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减进行平移，是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知二次函数()2y a x m =+与一次函数y ax m =+，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】解：A 、由抛物线可知0a >，0m >，由直线知0a >，0m >，∴A 正确； B 、由抛物线可知0a >，0m <，由直线知0a >，0m >，∴B 错误； C 、由抛物线可知a<0，0m >，由直线知a<0，0m <，∴C 错误； D 、由抛物线可知a<0，0m <，由直线知a<0，0m >，∴D 错误； 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．【答案】A【分析】根据抛物线开口向上，与y 轴交与y 轴负半轴，得到00a c ><，，根据抛物线对称轴为直线1x =，得到20b a =−<，由此即可判断A ；根据当1x =时，0y <，即可判断B ；根据当=1x −时，0y =，即可判断C 、D ．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交与y 轴负半轴， ∴00a c ><，，∵抛物线对称轴为直线1x =，∴12b a −=， ∴20b a =−<，∴0abc >，故A 结论正确，符合题意； ∵当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故B 结论错误，不符合题意； ∵当=1x −时，0y =， ∴0a b c −+=，∴02bb c −−+=，b a c =+∴32b c =，故C 、D 结论错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．【答案】D【分析】根据已知条件可得出20ax kx a −−=，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．【详解】解：抛物线()20y ax a a =−≠与直线y kx =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2kx ax a =−∴， 20ax kx a −−=∴．12kx x a ∴+=，<0k a ∴．当>0a ，0<k 时，直线y ax k =+经过第一、三、四象限，当0<a ，>0k 时，直线y ax k =+经过第一、二、四象限， 综上所述，y ax k =+一定经过一、四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过点(1,0)−，其对称轴为直线1x =．有下列结论：①0abc <；②80a c +<；③若抛物线经过点(2,)t −，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c t a ++−=≠的两根分别为2−，4，其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据已知条件得出a<0，2b a =−0>，根据抛物线经过点(1,0)−，得出230c b a a a a =−=−−=−>，即可判断①，根据3c a =−代入②即可判断；根据对称性可得抛物线也经过点()4,t ，即可判断③【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过点(1,0)−，其对称轴为直线1x =． ∴a<0，12b x a =−=，0a b c −+=则2b a =−0>，∴230c b a a a a =−=−−=−> ∴<0abc ，故①正确；∵88350a c a a a +=−=<，故②正确， ∵抛物线经过点(2,)t −，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()4,t ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y t =的交点坐标为(2,)t −和()4,t ， ∴一元二次方程20(0)ax bx c t a ++−=≠的两根分别为2−，4，故③正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．6．（2023·湖南·统考中考真题）已知()()111222,,,P x y P x y 是抛物线243y ax ax =++（a 是常数，)0a ≠上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线2x =−；②点()0,3在抛物线上；③若122x x >>−，则12y y >；④若12y y =，则122x x +=−其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据对称轴公式4222b ax a a =−=−=−可判断①；当0x =时，3y =，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到1222+=−x x ，可以判断④．【详解】解：∵抛物线243y ax ax =++（a 是常数，)0a ≠， ∴4222b ax a a =−=−=−，故①正确； 当0x =时，3y =， ∴点()0,3在抛物线上，故②正确； 当0a >时，12y y >， 当0a <时，12y y <，故③错误；根据对称点的坐标得到1222+=−x x ，124x x +=−，故④错误． 故选B ．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m −、，且12m <<，，可以得到0a >，1022b a <−<，从而可以得到b 的正负情况，从而可以判断①；继而可得出b a −<，则0a b +>，即可判断②；由图象可知，当1x =−时，0y =，即0a b c −+=，所以有a c b +=，从而可得出0a c <<−，即可判断③；利用12512332⎛⎫−−=− ⎪⎝⎭，再根据1022b a <−<，所以252332b b a a ⎛⎫⎛⎫−−−<−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得12y y <，即可判断④． 【详解】解 ：∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上， ∴0a >，∵抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m −、，且12m <<， ∴1022b a <−<，∴0b <，故①正确； ∵1022b a <−<，0a >，∴b a −<∴0a b +>，故②正确；由图象可知，当1x =−时，0y =，即0a b c −+<， ∴a c b += ∵0a >，0b <， ∴0a c <<−，故③正确；∵12512332⎛⎫−−=− ⎪⎝⎭，又∵1022b a <−<，∴252332b b a a ⎛⎫⎛⎫−−−<−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上，∴12y y <，故④错误． ∴正确的有①②③共3个， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．A ．1个B ．2个【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点，即可判断a b c 、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过()10−，，得到45b a c a =−=−，，代入进行求解即可判断②④，根据当2x =时二次函数取得最大值，即可判断③．【详解】解：抛物线的开口向下，<0a ∴，抛物线的对称轴为直线22b x a =−=，>0b ∴，抛物线交y 轴正半轴，0c ∴>，<0abc ∴，故①错误，抛物线的对称轴为直线22b x a =−=，4b a ∴=−，图像过点()10−，，0a b c ∴−+=，5c a ∴=−，()42452470a cb a a a a ∴+−=−−⨯−=<，42a c b ∴+<，故②错误，当2x =时，函数由最大值42a b c ++， 242a b c am bm c ∴++≥++，∴()42a b m am b +≥+（m 为常数），故③错误，()()323425121020b c a a a a a −=⨯−−⨯−=−+=−>，320b c ∴−>，故④正确，综上所述，正确的个数为1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．9．（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线2y ax bx c =++和直线2y x c =+分别交于A 点和B 点，则抛物线()22y b x ax =−−的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求出求出交点A 、B 的坐标，根据已知图象确定，a 与A 点的横坐标的正负，进而推断新抛物线2(2)y b x ax =−−的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．【详解】解：由22ax bx c x c ++=+，得(2)0x ax b +−=，解得，0x =或2b x a −=，抛物线2y ax bx c =++和直线2y x c =+分别交于A 点和B 点，(0,)B c ∴，A 的横坐标为：2ba −，抛物线2y ax bx c =++的开口向上，交点A 在第三象限内，0a ∴>，20ba −<，抛物线2(2)y b x ax =−−中，0a −<，对称轴202bx a −=<，∴此抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左边，符合此条件的图象是C ， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定a 和A 点横坐标的取值．A ． ． ． ．【答案】A【分析】根据函数图像的开口大小与y 轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++，由图像知，10a >，10b <，10c <，20a <，20b >，20c >，21c c >，∴120c c +>，∵函数1y 的图像开口大于函数2y 的图像开口，∴12a a <，∴120a a +<， ∵121222b ba a −>−>， ∴221101b a b a >>>−，∴21b b <−，∴120b b +<，∴()121202b b a a +−>+，∵()()()212121212y y y a a x b b x c c =+=+++++，∴函数12y y y =+的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， A ．图像开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，故此选项符合题意； B ．图像开口向上，故此选项不符合题意；C ．图像对称轴在y 轴的左侧，故此选项不符合题意；D ．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数()20y ax bx c a =++≠的a越大，图像开口越小．二、填空题11．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =−++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________． 【答案】2【分析】将点(,3)P m 代入函数解析式求解即可．【详解】解：点(,3)P m 在223y ax ax =−++上，∴2323am am =−++，(2)0am m −−=，解得：2,0m m ==(舍去) 故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．12．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数()=−−2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向_______平移_______个单位，再沿y 轴向_______平移_______个单位得到． 【答案】 右 3 下 1【分析】根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：函数()=−−2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位得到，故答案为：右，3，下，1．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．13．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点()111,P y ，()223,P y 和()334,Py 在抛物线26y x x c =−++的图象上，那1y ，2y ，3y 之间的大小关系是______ ． 【答案】231y y y >>/132y y y <<【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线26y x x c =−++的开口向下，对称轴是直线632x =−=−，∴当3x >时，y 随x 的增大而减小，()111,P y 关于称轴是直线3x =的对称点是()15,y ， 345<<，231y y y ∴>>．故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．【答案】②③④【分析】由图，0a >，0c <，02ba −>，得0b <，推知0a bc −<；由2OB OC =知(2,0)B c −，代入2y ax bx c =++，得20(2)(2)a c b c c =-+-+，化简得241b ac −=；将()2,0A −代入2y ax bx c =++得，420a b c −+=，由对称轴得22b ac a =+，解得14a =；将14a =代入241b ac −=得21c b =−． 【详解】解：由图，0a >，0c <，02b a −>，∴0b <∴0a b −>，0a bc −<，故①错误；(0,)C c ，由2OB OC =知(2,0)B c −，代入2y ax bx c =++，得20(2)(2)a c b c c =-+-+，2420ac bc c −+=，化简得，241b ac −=，故②正确； 将()2,0A −代入2y ax bx c =++得，420a b c −+=， 对称轴1(22)22b x c a =-=--，得22b ac a =+，代入上式得，42(22)0a c ac a +-+=，解得14a =，故③正确；将14a =代入241b ac −=得21c b =−，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④. 故答案为：②③④.【点睛】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．【答案】210 【分析】先求出()02C ，，()24D ，，如图所示，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接EP DE 、，则()02E −，，然后证明当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得到答案．【详解】解：在21222y x x =−++中，当0x =时，2y =，∴()02C ，；∵抛物线解析式为()2211222422y x x x =−++=−−+，∴()24D ，；如图所示，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接EP DE 、，则()02E −，，∴PE CP =，∴CP DP PE DP +=+，∴当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE ，∴CP DP +的最小值==故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE 是解题的关键．16．（2021春·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）关于二次函数223y x ax =−−在22x −≤≤的取值范围内，函数y 的最小值（用含a 的式子表示），下列结论：①当2a <−时，函数y 的最小值14a +；②当2a >时，函数y 的最小值是14a −；③22a −≤≤时，函数y 的最小值是23a −−；④当22a −≤≤，函数y 的最小值23a −+．其中正确的有___（填序号即可）． 【答案】①②③【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据22x −≤≤，即可得到相应的最值，从而可以解答本题．【详解】解：二次函数223y x ax =−−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线221ax a −=−=⨯，①当2a <−时，2x =−时，函数有最小值，函数y 的最小值是44314y a a =+−=+，故①正确； ②当2a >时，2x =时，函数有最小值，函数y 的最小值是44314y a a =−−=−，故②正确；③当22a −≤≤时，x a =时，函数有最小值，函数y 的最小值是222233y a a a =−−=−−；故③正确；④当22a −≤≤时，x a =时，函数有最小值，函数y 的最小值是222233y a a a =−−=−−；故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．【答案】()2212y x =+−或()2212y x =−+−【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出1h =−，2k =−，2a =±，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：()2y a x h k=−+，∵这条抛物线与抛物线()21122y x =−+−的顶点坐标相同，∴1h =−，2k =−，又∵这条抛物线与抛物线223y x =+形状相同，∴2=a ，即2a =±，∴这条抛物线的解析式为：()2212y x =+−或()2212y x =−+−，故答案为：()2212y x =+−或()2212y x =−+−．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．【答案】178(,)55和33(,)55− 【分析】先根据题意画出图形，先求出D 点坐标，当E 点在线段BC 上时:DEB ∠是△DCE 的外角，2DEB DCB ∠=∠，而DEB DCE CDE ∠=∠+∠，所以此时DCE CDE ∠=∠，有CE DE =，可求出BC 所在直线的解析式5y x =−+，设E 点(,5)−+a a 坐标，再根据两点距离公式，CE DE =，得到关于a 的方程，求解a 的值，即可求出E 点坐标；当E 点在线段CB 的延长线上时，根据题中条件，可以证明222BC BD DC +=，得到DBC ∠为直角三角形，延长EB 至E '，取BE BE '=，此时，2DE E DEE DCB ''∠=∠=∠，从而证明E '是要找的点，应为OC OB =，OCB 为等腰直角三角形， 点E 和E '关于B 点对称，可以根据E 点坐标求出E '点坐标．【详解】解：在265y x x =−+中，当0x =时，5y =，则有()05C ，，令0y =，则有2650x x −+=，解得：121,6x x ==， ∴()()1050A B ，，，，根据D 点坐标，有226253m =−⨯+=−所以D 点坐标()23−，设BC 所在直线解析式为y kx b =+，其过点()0,5C 、()5,0B有550b k b =⎧⎨+=⎩， 解得15k b =−⎧⎨=⎩∴BC 所在直线的解析式为：5y x =−+ 当E 点在线段BC 上时，设(,5)E a a −+ DEB DCE CDE ∠=∠+∠而2DEB DCB ∠=∠ ∴DCE CDE ∠=∠∴CE DE =因为：(,5)E a a −+，(0,5)C ，(2,3)D −=解得：175a =，855a −+=所以E 点的坐标为:178(,)55 当E 在CB 的延长线上时，在BDC 中，222(52)318BD =−+=，2225550BC =+=,222(53)268DC =++= ∴222BD BC DC +=∴BD BC ⊥如图延长EB 至E '，取BE BE '=，则有DEE '为等腰三角形，DE DE ='， ∴DEE DE E ''∠=∠ 又∵2DEB DCB ∠=∠ ∴2DE E DCB '∠=∠ 则E '为符合题意的点， ∵5OC OB == ∴45OBC ∠=E '的横坐标：17335(5)55+−=，纵坐标为85−；综上E 点的坐标为：178(,)55或338(,)55−，故答案为：17855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或33855⎛⎫− ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到E 点的位置，是求解此题的关键．三、解答题19．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()10401M N P −−，、，、，12三点，求这个二次函数的解析式．【答案】2268y x x =−−【分析】根据题意设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+−，然后将()1P −，12代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点()()1040M N −，、，，∴设二次函数解析式为：(1)(4)y a x x =+−， 把()1P −，12代入，可得()1223a −=⨯⨯−，解得：2a =．∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =−−． 【点睛】掌握待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数23y x bx =−++的图象经过点()14A ，． (1)求b 的值；(2)求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式． 【答案】(1)2b =(2)2=23y x x −−【分析】（1）把()14A ，代入二次函数解析式即可求出b 的值；（2）根据轴对称的性质可得抛物线223y x x =−++关于x 轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点()14A ，，∴把点()14A ，代入得2413b =−++，解得：2b =；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为223y x x =−++，∵抛物线223y x x =−++关于x 轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴所得抛物线解析式为223y x x −=−++，即2=23y x x −−．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．(1)若1a =−，画出该抛物线图象，并结合图象写出(2)(),Pm t 为抛物线上的一点，若P 【答案】(1)画图见解析，1x ≤− (2)2m =±【分析】（1）利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； （2）首先求出(),P m t '−−，然后将(),P m t 和(),P m t '−−代入()2240y ax ax a a =+−≠求解即可．【详解】（1）将1a =−代入()2240y ax ax a a =+−≠得，224y x x =−−+， ∴列表如下：∴如图所示，将以上5点在坐标系中描出，然后用平滑的曲线连接．∴由图象可得，当y 随x 的增大而增大时，1x ≤−； （2）∵(),P m t ，点P 关于原点的对称点为P '，∴(),P m t '−−，∵(),P m t 和(),P m t '−−都在抛物线上，∴222424am am a t am am a t ⎧+−=⎨−−=−⎩①②，∴+①②得，2280am a −=，∴解得2m =±．【点睛】本题主要考查了五点作图法，二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)在直线1x =上找一点P ，使PA PC +的和最小，并求出点P 的坐标；(3)将线段AC 沿x 轴向右平移a 个单位长度，若线段AC 与抛物线有唯一交点，请直接写出a 的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式为2142y x x =−++，抛物线的顶点坐标为91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)()1,3(3)26a ≤≤【分析】（1）根据对称轴得出1b =，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标；（2）连接BC ，交直线1x =于点P ，点P 即为所求，连接AP ，利用两点之间线段最短得出PA PC +的和最小，由待定系数法确定直线BC 的表达式为4y x =−+，即可确定点P 的坐标；（3）根据题意得：点C 的运动轨迹为射线CD ，点A 的运动轨迹为射线AB ，若线段AC 与抛物线有唯一交点，则线段AC 在线段,m n 间平移（含线段,m n ），由抛物线的对称性得212CD =⨯=，()2216AB =⨯+=，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴1122b⎛−⎫ ⎝⨯⎪⎭=−，解得1b =． ∴212y x x c=−++． 把点()2,0A −代入，得()212202c −⨯−−+=，解得4c =．∴抛物线的表达式为2142y x x =−++．把1x =代入2142y x x =−++，得191422y =−++=， ∴抛物线的顶点坐标为91,2⎛⎫⎪⎝⎭．（2）如图1，连接BC ，交直线1x =于点P ，点P 即为所求．。

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。

22.1 二次函数的图象和性质教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．D CA BD CABDC A BⅢ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。

希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。

知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。

x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。

12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。

【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。