习题课10--二重积分部分

1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫

dxdy e
D2 y2 D2
max{ x 2 , y 2 }
dxdy
x
e
D1
x 0
D1
x2
dxdy e dxdy
dy dy e dx xe dx ye dy e 1.
y2 1 y
dx e
0
x2
0
0
0
1
x2
0
1
y2
测 验 题
一,选择题: 1,0 dx 0
1 1 x 1 1 x
相关的知识点 1,强调积分是一个数值,只和被积函数和积 分区域有关,与积分变量的记法无关.
2,对于二重积分:
(1)根据被积函数和积分区域选择合适的坐 标系(直角坐标,极坐标).先作出图形,若 积分区域为扇形或圆,圆环,最好用极坐标; 若被积函数用直角坐标积分积不出,例如 ( e dx),试选择极坐标.(注意积分次序.)
D
a 2 x 2 y 2 dxdy .
1 ;
3
(A) (C)
(B) (D)
3
3 ; 4
3
3 2 1 2
; .
3,当 D 是( A )围成的区域时,二重积分 dxdy =1.
D
x 轴,y 轴及 2 x y 2 0 ;(B) x 1 , y 1 ; (A) 2 3 (C) x 轴,y 轴及 x 4, y 3 ;(D) x y 1, x y 1.
2 x 2y 1 1 x 2 y 2 dv 1dx 0 x 2 y 2 dy 0 dz 2 x 2y dx 2 dy 2 1 0 x y
[ln( 2 x 2 ) ln x 2 ]dx
2 1
ln 2.
例4 计算
其中 ( x z )dv, 由 z

高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。

y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)

所以
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x

1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2

0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x

y
dy
1
1 x
0
x 1

0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e

e 2 x1 )dx

e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2

y2

重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2

y2

x2

y2,
求得曲线
z

2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D

1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使

( x, y) 1 2. J . ( u, v ) ( u, v ) ( x, y)
二、例题分析
2 2 2 2 ( x y ) d 例1 计算 D : 2x x y 4 x D
解
积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 要使 2 x x 2 , 4 x 2 都有意义 必须限制 x [0,2]
v

D
1 f ( x y )dxdy f ( u)dudv 2 D
0 A u A A u
u
1 1 f ( u)du dv f ( u)du dv 2 A 20 A u u A
1 f ( u)( A u)du f ( u)( A u)du 2 A 0
2 2 xyf ( x y )d 0 D
0
D D
D2
xd xd xdx dy D D
1
x
3
D1
1
x
3
2 5
2 I 5
例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续
求
dx f ( x ) f ( y )dy 0 x
1
1
f ( x )dx A 0
③若D关于原点对称
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
D3
④若 D 关于直线
y=x
对称
f ( x , y )dxdy f ( y , x )dxdy D D
——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质
①、②、③简单地说就是
奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关 于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两 倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的 性质

lim
0 k 1
(k , k ) k
(k ,k )
x
k
16
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割, 近似, 求(近似)和,(取)极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim 0 k 1
f (k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
(k , k ) k
k 1
y) 在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}.
7
设三元方程 xy z ln y exz 1, 根据隐函数存在定理，
存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程, ( (D) )
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)． (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)． (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)． (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)．
f y(P0 ) y (P0 )
5
多元函数极限同样具有极限的保号性.
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
A lim
x0
f (x, y) xy (x2 y2)2
1,
则(
).
y0
(A)点(0,0)不是f (x,y)的极值点；
(03考研 ) x2 y2
(B)点(0,0)是f (x,y)的极小值点；
偏连，非空显然满足 F xy z ln y exz 1,
(05数一)
Fx ( 0,1,1 ) (x zexz ) (0,1,1) ≠0

D
几何意义
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶
为高和以M为高的 为高和以 柱体的体积介于以D为底 柱体的体积介于以 为底,以m为高和以 为高的 为底 两个平顶柱体体积之间. 两个平顶柱体体积之间
6
在闭区 性质6(二重积分中值定理) 性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区 6(二重积分中值定理 的面积, 上连续, 域D上连续 σ为D的面积 则在 上至少存在一点 上连续 为 的面积 则在D上至少存在一点 (ξ ,η ), 使得
ψ1( y)
f ( x, y)dx
c
O
x
先对x 后对y的二次积分 的二次积分. 先对 后对 的二次积分
11
三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域 上连续 设 在平面有界平面闭区域D上连续 在平面有界平面闭区域 上连续.
D = {( x, y)α ≤ θ ≤ β ,ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ )}
β
ϕ(θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr;
r = ϕ (θ )
D β θα
O
A
13
(3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域 上连续 设 在平面有界平面闭区域D上连续 在平面有界平面闭区域 上连续.
D = {( x, y) 0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ r ≤ ϕ(θ )}
其中函数 ϕ(θ )在区间[α, β ]上连续.
则
∫∫ f ( x, y)dxdy = 0, D
f (x, y)对x为偶函数 即 为偶函数, 对 为偶函数
f ( − x , y ) = f ( x , y ), ∀( x , y ) ∈ D ,

▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
28
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
习题课 二重Leabharlann 分的计算11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。

2a,x
D2
将积分 D分 区成 D 域 1,D2
D1
D3
及D3三部 , 分
D1
: y2 2a
xa
a2 y2,
y2
0 ya;
D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a a2y2 x2a,
0ya;
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8
D1
y2 :
2a

xa
0 ya;
a2 y2,
D 2:2 ya 2x2a,ay2a;
(2) f(x,y)f(x,y)时 ,
I2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.
D 1
D 2
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15
4.D 关y于 x对.称
f(x ,y)d x d yf(y,x )d x d y
D
D
5 .D 1,D 2 关 y 于 x 对 . 称
f(x,y)d x d yf(y,x)d x d y
D1 D2
o 1x
作辅助线 yx将D 分成 D1, D2 两部分
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2(

21)
3
2
说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.
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19
练习题
P182 题1（2）
A
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20
练习题
P182 题6
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其它情形依此类推.
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27
P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 { x ,y , ( x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 ,z 0 }
2 { ( x ,y , x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0 ,y 0 , z 0 }

2
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二 设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一 利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别 都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3

，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】 设
f(x,y)dxdydx f(x,y)d ，y则改变其 00
D
积分次序后为
。
1x
1
(a) dy f(x,y)dx
0
0
1 1x
(b) dy f(x,y)dx 00
11
(c) dy f(x,y)dx 00
1 1y
(d) dy f(x,y)dx 00
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变 量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者 后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因 是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二 极坐标系中积分限的确定
积，又因 f(,)0.
故 f(x,y)d0 (P0,)
与假设矛盾，即知在D内有f(x,y) 0. 2. 累次积分型的命题的证明 证题思路：累次积 化 分 为 重积 分 化 为 另一次序的累次 证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的 无关性。
再 以 过 x z y 向 ( (x (y X 过 , z y [O [面 a ) , ， b Y (]投 D 作 )x x y ]D )zy 作 影 z/作 )作 r Y /Z X /轴 / 轴 轴 Y /Z X 用 轴 轴 射 轴 极 的 的 的 D 的 的 线 的 坐 r的 得 直 直 直 标 D D 直 直 x y 穿 直 y x , y z ,变 z 得 入 得 得 线 r 得 线 得 线 1(线 线 越 线 )[和 化 入 点 入 入 y 穿 ,入 z x 穿 y 入 穿 1 z 1 1 x 1 (1 (1 (x (z ]穿 (z y 穿 x 穿 x ))y ,和 出 ,和 ,z r 范 点 y 点 2 点 z)越 点 越 点 )越 (和 ) 和 和 )越 越 越 出 点 出 y 围 x z2 2 出 ((出 y 出 z x zzy x 2 )2 )2 ()((x 点 点 xy ,,z ,y 点 z )点 点 )) 再(r过 ,) (D r)作 /Z /轴的直 得 线 入 z1(穿 r,点 )和 越出 z2(r,点 )

二重积分练习题一、选择题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是圆x^2+y^2=1的内部区域。

A. πB. 2πC. 4πD. 8π2. 以下哪个选项是计算二重积分∬D(x^2-y^2)dA的正确方法？A. ∫∫(x^2-y^2)dxdyB. ∫∫(x^2-y^2)dAC. ∫∫(x^2+y^2)dxdyD. ∫∫(x^2+y^2)dA3. 如果D是正方形区域，其顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)，计算∬D(x-y)dA的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是单位圆盘，结果为________。

2. 计算二重积分∬D(x+y)dA，其中D是区域x^2+y^2≤4，结果为________。

3. 如果D是区域0≤x≤1，0≤y≤x^2，计算∬D(2x+y)dA的结果为________。

三、解答题1. 计算二重积分∬D(3x^2-2y^2)dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=x围成的区域。

2. 计算二重积分∬D(1/(x^2+y^2))dA，其中D是单位圆盘x^2+y^2≤1。

3. 计算二重积分∬D(xy)dA，其中D是区域由直线y=x，y=2x和x轴围成。

四、证明题1. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内部区域，其结果为πab。

2. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(1/√(x^2+y^2))dA，其中D是圆x^2+y^2≤a^2和x^2+y^2≤b^2的交集区域，其结果为1/2π*ln(b/a)。

五、应用题1. 一块矩形金属板的厚度为t，其面积为A，密度为ρ。

如果金属板的重心位于板的几何中心，求金属板的质量。

2. 一个圆环的内半径为a，外半径为b，圆环的密度为ρ。

如果圆环的重心位于圆环的几何中心，求圆环的质量。

1. k f ( x, y)d k f ( x, y)d ( k 为常数)
D D
3. f ( x, y)d D f ( x, y)d D f ( x, y)d
D
1 2
, 对区域具有可加性)
为D 的面积, 则
1 d d
D D
y
3)“近似和”
( i , i ) i
i 1
n
4)“取极限”
O
( i ,i )
令 max ( i )
1i n
n
i
x
M lim
0
( , )
i 1 i i
i
也表示第 i 小块的面积
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两个问题的共性：
D
( x2 y2 )
d 的值，
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域： 2 2 1 (0 b a ) . a b
解: 区域D的面积 ab ,
在 D上
0 x y a ,
2 2 2
1 e e
0
x2 y2
e ,
d e ,
a2
a2
a2
由性质 6 知 e
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一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 由于柱体的顶是曲面， 所以称它为曲顶柱体. 求曲顶柱体的体积.
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D
若为平顶柱体: 特点：平顶 平顶柱体体积= 底面积×高 若为曲顶柱体:
f ( , )

二重积分练习题1. 计算积分：求下列二重积分的值。

\[\iint\limits_D (x^2 + y^2) \, dA\]其中，\( D \) 是由 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 定义的圆盘。

2. 变换积分：将下列二重积分从直角坐标系转换为极坐标系，并计算其值。

\[\iint\limits_D xy \, dx \, dy\]其中，\( D \) 是由 \( 0 \leq x \leq 2 \) 和 \( 0 \leq y \leq x \) 定义的区域。

3. 对称性应用：利用对称性简化下列二重积分的计算。

\[\iint\limits_D (x - y) \, dA\]其中，\( D \) 是由 \( x^2 + y^2 \leq 1 \) 定义的圆盘。

4. 变换求积分：将下列二重积分从直角坐标系转换为极坐标系，并利用极坐标系的性质简化计算。

\[\iint\limits_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy\]其中，\( D \) 是由 \( 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4 \) 定义的圆环。

5. 积分区域限定：求下列二重积分的值，其中积分区域 \( D \) 由\( x \) 轴和 \( y \) 轴以及直线 \( y = x \) 和 \( y = 2x \) 限定。

\[\iint\limits_D e^{xy} \, dA\]6. 积分与路径：求下列二重积分的值，其中积分区域 \( D \) 是由\( y = 0 \)，\( x = 0 \) 和 \( y = x^2 \) 限定的区域。

\[\iint\limits_D \sin(x^2 + y^2) \, dA\]7. 积分与变量替换：求下列二重积分的值，并对积分变量进行替换以简化计算。

\[\iint\limits_D \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dA\]其中，\( D \) 是由 \( x^2 + y^2 \geq 1 \) 定义的区域。

重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：d 01(,)lim(,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中：D ：平面有界闭区域，λ：D 中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），i σ∆：D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当(,)0f x y ≥时，d (,)Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积。

所以d 1Dσ⎰⎰表示区域D 的面积。

3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1） 若D 为X 型积分区域：12,()()a x b y x y y x ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（2）若D 为Y 型积分区域：12,()()c y d x y x x y ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx yf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰（X －型或者Y －型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)D D D f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。

（5）对称性的应用1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y y D x f x y y ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y x D y f x y x ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数 （6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。