2012高一下学期数学期中复习题

2011-2012学年第二学期高一数学期中试题（时间：100分钟，满分：100分）班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.直线经过原点和点(-1，-1)，则它的倾斜角是( )A.45°B.135°C.45°或135°D.0° 2、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) (A)1 (B)4 (C)1或3 (D)1或43.两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( )A.A 1A 2+B 1B 2=0B.A 1A 2－B 1B 2=0C.2121B B A A =－1 D.2121A A B B =－1 4.直线ax +3y +1=0与直线2x +(a +1)y +1=0平行,则a 的值是( )A.－3B.2C.－3或2D.3或－2 5、.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） （A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）276. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3， 则必有( ) A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 17.若直线()011＝+++y x a 与圆2220x y x +-=相切，则a 的值 为( )()11A -或 ()22B -或 1)(C 1)(-D8.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交,则点P (a ,b )的位置是( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.都有可能9. 两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的位置关系是（）(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离10、空间两点P1(3,-2,5),P2(6,0,-1)间的距离是（）(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1、以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的中点M的坐标是2、以（1，-2）为圆心，3为半径的圆的标准方程是 . 3．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 4．直线2x-3y-6=0与两坐标轴围成的三角形面积是 .三、解答题：（本大题共5小题，共计54分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1、（12分）求适合下列条件的直线方程：3（1）（5分）过点（3 ，-2），斜率为3（2）（7分）过点A(2,3)且平行于直线2x+5y-3=02 、（8分）已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5),求证：A、B、C 三点共线。

振阳公学2012—2013学年第二学期期中考试高一数学试题（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.D.2 2.不等式x 2-2x +3<0的解集是（ ）A.{x |－1＜x ＜3}B.{x |－3＜x ＜1}C.{x |x ＜－3或x ＞1}D.∅ 3．数列{}n a 的通项公式32-=n a n 则=+31a a （ ）A ．0B ．2C ．5D ．－14．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ）A ．1B ．－21C ．1或－21D ．－1或215．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则7a 为( )．A ．6B ．7C ．8D ．96．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为（ ） A ．０ B ．6 C ．9 D ．157．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°8．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定 9．设0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．b a 11>B ．ab a 11>- C ．b a -> D ．b a ->- 10．若称na 1＋a 2＋…＋a n为n 个正数a 1＋a 2＋…＋a n 的“均倒数”已知数列{a n }的各项均为正，且其前n 项的“均倒数”为12n －1则数列{a n }的通项公式为( )．A ．2n －1B ．4n －3C ．4n －1D ．4n －5第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。

平面与点的相关位置探讨 摘 要 该课题主要完善了离差的概念，并对点与两个平面的相关位置进行了推导，证明得出结论。

离差是探讨平面与点相关位置的最基本概念，但经分析发现教材所给定义又并不完整,只给出了平面不过原点时，但当平面π通过原点时，却并未说明 该课题经总结归纳证明得出不在平面上的点与两平面位置关系 1．两平面平行 2．两平面相交 关键词: 离差，平面与点，平行平面，相交平面。

目 录 引 言1 1.离差概念的完善1 2.点于两个平面的位置关系2 2.1两平面和平行3 2.2 两平面与相交4 结 论6 参考文献7 致 谢8 引 言 离差是探讨平面与点相关位置关系的基本概念，但是经分析，教材所给定义并不完整，并且教材只讨论了空间一个平面与一个点的相关位置，对空间点与多个平面的相关位置均未涉及。

平面与点的相关位置探讨，多年来各级各类科研和教育机构的学者已经对此课题进行了大量研究，并得出了很多研究成果，如张启贤在《点与两平面的位置关系的判别条件》只主要讨论了不在平面和上的点M与两平面和 的位置关系的判别条件：若平面与平行，点M是否在和之间；若和相交但不垂直，点M是由平面与所构成的锐角二面角内还是在钝角二面角内。

杨尚在《点与平面的相关位置的拓广》中主要讨论了利用离差具判别点与平面的位置关系的特性，用以判别多个平面的位置关系。

赵峰，冯春明，孟广武《平面与点相关位置教学中若干问题的探讨》中讨论了平面划分空间问题，并给出两平行平面相关位置及距离公式。

陈德华在《点与平面相关位置的进一步探讨》中利用平面到点的离差对点与平面的相关位置作了进一步的探讨，得出一系列判定结果。

1.离差概念的完善 定义1 如果自点M到平面引垂线，其垂足为Q，那么矢量在平面的单位法向量上的射影叫做点M与平面间的离差，记作δ=由教材中关于平面法式方程的规定易知，当平面不过原点时，的正方向取做由原点O指向平面的法矢量的方向；当平面通过原点时，的正方向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个。

2012-2013学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（每小题5分）1．（5分）函数的定义域是（0，3）．，可得2．（5分）数列的一个通项公式为a n=．，故其一个通项故答案为3．（5分）已知直线方程为，则直线的倾斜角为150°．，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾解：∵直线方程为﹣，则直线的斜率为﹣角的正切值等于﹣4．（5分）（2008•安徽）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为．解：如图，不等式组故答案为5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3+a11=50，又S5=45，则a2等于5．，即，6．（5分）若等比数列{a n}满足，则公比为4．中，由得：②7．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC=．．面积bcsinA=4，即bc×=4=28．（5分）一家饮料厂生产甲乙两种果汁饮料，甲种饮料每3份苹果汁加1份橙汁，乙种饮料每2份苹果汁加2份橙汁，该厂每天能获得的原料是苹果汁200升，橙汁100升，又厂方的利润是每生产1升甲种饮料得3元，生产1升乙种饮料得4元，则该厂能获得的最大利润是250元．，9．（5分）已知方程（x2﹣mx﹣8）（x2﹣nx﹣8）=0的四个根组成一个首项为1的等比数列，则mn=﹣14．10．（5分）隔河可以看到两个目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°．A、B、C、D在同一个平面内，则两目标A、B间的距离为km．ACCD=．最后在AC=CD=．（）××，即两目标之间的距离为故答案为：11．（5分）（2010•辽宁）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．，所以，设，由此能导出）有最小值．借此能得到=，）在上是单调递增，在，的最小值为12．（5分）已知三个不等式①x2﹣4x+3＜0②x2﹣6x+8＜0③2x2﹣9x+m＜0要使同时满足①和②的所有x的值都满足③，则实数m的取值范围是m≤9．，即，13．（5分）（2008•长宁区二模）三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x2，再作分析”．丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．看成整体，转化成关于的二次函数，的范围，只需研究二次函数在闭区间上的最大值即可．，14．（5分）已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），且，则数列{a n}的通项公式a n=．b=（+）﹣=1+﹣∴故答案为：二．解答题15．（13分）求经过直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，（1）且平行于直线l3：3x﹣5y+6=0的直线l的方程；（2）且垂直于直线l3：3x﹣5y+6=0的直线l的方程．）由求得，故直线16．（15分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，并且满足a1+a2=5，a5+a6=29，以及b7=a22（1）求a22的值；（2）设b8=64m（m≠0），求数列{b n}的子数列b7，b8，b9，b10，b11，…的前n项和S n．（3）在（2）的条件下，若m=2，求数列的前n项和T n．=m…[（17．（15分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值．cosA=，而A= a=化简为，将分子、分母展开化简，然后将分子分母约去公因式，即可得到cosA=（A=．=cosC sinC sinC=﹣=18．（15分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B 在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；（3）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．，由题意得出，＜（）∵）19．（16分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列a n的前n项和为f（n）﹣c，数列b n（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{前n项和为T n，问：T n＞的最小正整数n是多少？}=，所以（﹣﹣﹣===q=，所以（））+﹣+，，所以﹣{==（﹣+==＞，∴的最小正整数20．（16分）已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）若存在x∈[﹣1，1]，使得成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（2x）+（a﹣1）f（x）＞a；（3）若f（x1）+f（x2）=f（x1）f（x2），f（x1）+f（x2）+f（x3）=f（x1）f（x2）f（x3），求x3的最大值．，可得）令，令，即）令。

6 97 3 88 1 3 4 9 8 010 0洛阳市2012-2013学年第二学期期中考试高 一 数 学 试 卷第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 2．已知某高一学生期末考试9科成绩的茎叶图如图，则该生的平均成绩为A ．81B ．82C ．83D ．843．用秦九韶算法计算多项式5432()54321f x x x x x x =+++++当5x =的值时，乘法运算和加法运算的的次数分别为A ．4，5B ．5，5C ．5，6D ．6，6 4．下列说法：①为了使样本具有好的代表性，在进行简单随机抽样时，最重要的是要将总体“搅拌均 匀”，即使每个个体有同样的机会被抽中；②由于频率分布折线图是随着样本容量和分组情况的变化而变化的，所以不能由样本的 频率分布折线图得到准确的总体密度曲线；③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和；④线性回归方程ˆybx a =+表示的直线必经过定点()x y ． 其中错误的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知四个数：①(3)10121，②(5)412，③(10)119，④(8)146，这四个数中最小数的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④（第9题）（第7题）（第6题）6．读下面的程序，若程序运行的结果是4，则输入的实数x 值的所有可能是 A ．0 B ．0，2或2- C ．0，4或4- D ．2或47．某程序框图如图所示，若输出的p 的值是29，则①处可以填的条件是A ．6n =B ．21p >=C ．5n >D ．33p =8．已知在正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 恰在该正方体内切球内的概率为A ．78 B ．12 C ．3π D ．6π 9．已知上面的程序，若输入的,m n 分别为297,75，则此程序的功能和输出的结果是 A ．求297被75除的商，3 B ．求297被75除的余数，3 C ．求297与75的最小公倍数，7425 D ．求297与75的最大公约数，310．从3名男同学和2名女同学中任选3名参加某项活动，与事件“至少选2名男同学”互 斥的事件为A ．至少选1名女同学B ．选1名男同学2名女同学C ．至多选2名男同学D ．选3名男同学11．已知a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则使得关于x 的。

，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，

2011—2012学年度下学期高一数学期中考试本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列角中终边与330°相同的角是A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2．要完成下列3项抽样调查：①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查.②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈.③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是A ．①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样B ．①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C ．①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样D ．①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样3．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个热饮销售杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为 2.35155.47y x =-+．如果某天气温为4C 时，那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是A ．140B ．146C ．151D ．1644．若圆的半径是6cm ，则圆心角为6π的扇形面积为 A ．2cm π B ．22cm π C ．23cm π D ．26cm π5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是A ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C ．x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙；乙比甲成绩稳定6．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是Ａ．至少1个白球，都是白球 Ｂ．至少1个白球，至少1个红球 Ｃ．至少1个白球，都是红球 Ｄ．恰好1个白球，恰好2个白球7．若点m P （）是角θ终边上一点,且sin 3θ=则m 的值为 AB． CD．8．已知函数()1sin(2)2f x x π=++，则()f x 是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数9．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切，则该动圆圆心的轨迹方程是A ．22(5)(7)25x y -++=B ．22(5)(7)9x y -++=C ．22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++=D ．22(5)(7)3x y -++=或22(5)(7)15x y -++=10．已知sin ,cos αα是方程2320x x a -+=的两根，则实数a 的值为A ．65-B ．56-C ．34D ．4311．已知集合22{(,)|20,A x y x y =+≤且1}y x ≥-.先后掷两枚骰子，设掷第一枚骰子得点数记作a ，掷第二枚骰子得点数记作b ，则(,)a b A ∈的概率为 A ．112 B ．518 C ．13 D ．133612．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A 的坐标是1()22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A ．[0,2]B ．[2,8]C ．[8,12]D ．[0,2]和[8,12]二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．若sin cos 22sin cos αααα+=-，则tan α14．过点(0,3)M 被圆4)1(22=+-y x 长为32的直线方程为 * * * ．15．,M N 的值分别为 * * * ．16．若在区间[0,2]π上随机取一个数x 的值介于0之间的概率为 * * * ． 17．设(,)M a b ，且满足221a b +=，已知圆22:()()1C x a y b -+-=，直线:l y kx =，下列四个命题：①对满足条件的任意点M 和任意实数k ，直线l 和圆C 有公共点；②对满足条件的任意点M 和任意实数k ，直线l 和圆C 相切； ③对任意实数k ，必存在满足条件的点M ，使得直线l 和圆C 相切； ④对满足条件的任意点M ，必存在实数k ，使得直线l 和圆C 相切. 其中正确的命题是 * * * ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）已知tan(2)sin()cos(6)()31sin()cos()22f παπαπααπαπα-+-=++（Ⅰ）化简)(αf ；（Ⅱ）若sin 3α=-，]2,[ππα--∈，求)(αf 的值.19．（本小题满分10分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ) 根据上面的频率分布表，估计该居民区PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的概率； （Ⅱ）计算样本众数、中位数和平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．20．（本小题满分12分）已知函数()3sin()3,26x f x x R π=++∈. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）若4[,]33x ππ∈，求)(x f 的最大值和最小值.88321．(本小题满分12分)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a b c d e f 、、、、、，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x y 、，并按如右所示的程 序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电 脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．22．(本小题满分12分)一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m ,拱圈内水面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示. 近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m ， 2.45≈)23．（本小题满分12分）如图，已知圆M ：()2244x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 是直线l 上一动点，过点P 作圆 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（Ⅰ）当P 的横坐标为165时，求∠APB 的大小； （Ⅱ）求证：经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点，并求出所有定点的坐标．（Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．参考答案一、选择题：1－12：BABCDD ACCBBD 二、填空题：13．1 14．0=x 或4390x y +-= 15.13，21 16. 1317. ①③ 三、解答题： 18．解: （Ⅰ）tan (sin )cos ()tan cos (sin )f ααααααα-⋅-⋅==-⋅-；（Ⅱ）因为sin 3α=-，]2,[ππα--∈，所以1cos 3α=-所以sin ()tan cos f αααα===19．解:（Ⅰ）由已知共监测了20天，用频率估计相应的概率为0.25.（Ⅱ）样本众数约为37.5，中位数约为37.5，平均值约12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）∴去年该居民区PM2.5年平均浓度为：40（微克/立方米）．因为4035>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．20． 解：（Ⅰ）由22,2262x k k k Z πππππ-+≤+≤+∈得 222,323x k k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以4244,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间为42[4,4],33k k k Z ππππ-++∈ （Ⅱ）因为433x ππ≤≤所以2623x ππ≤≤，所以53266x πππ≤+≤，所以当5266x ππ+=即43x π=时，min 9[()]2f x =当262x ππ+=即23x π=时，max [()]6f x = 21．解：22．解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A,B,D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C 在y 轴上，故可设C(0, b).因为|CD|=|CB|，所以8b -=，解得12b =-．所以圆拱所在圆的方程为:2222(12)(812)20x y ++=+=当x=4时．求得y≈7.6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7.60m,。

2011-2011学年度第二学期期中测验 高一数学(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题：（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题后的括号内．）1．现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则所抽到的个体编号可能是（ ）A ．5，10，15，20，25，30B ．2，14，26，28，42，56C ．5，8，31，36，48，54D ．3，13，23，33，43，532．一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A ．0.99 B ．0.98 C ．0.97 D ．0.964.设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ）A ．y 平均增加1.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位5. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ）A ．62B ．63C ．64D ．656．若θ＝－3，则角θ的终边在（ ）A. 第I 象限B. 第II 象限C. 第III 象限D. 第IV 象限7．在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形8．函数12sin()26y x π=-的周期是（ ） A ．12π B ．π C ．2π D. 4π 9．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图形的一条对称轴的方程为( ) A. x =12π B.x = 2π C.x = 12π- D.x = 2π- 10.若sin θcos θ＞0，则θ在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限第二部分（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 要求只填最后结果）11．sin （－317π）= . 12. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，估算该商场4月份的总营业额大约是 万元．13. 一家快递公司的投递员承诺在上午9：00—10：00之间将一份文件送到某单位，如果这家单位的接收人员将在上午9：30—1０：30之间离开单位，那么他在离开单位前能拿到文件的概率为 ．14.函数)26sin(2x y -=π的单调递减区间是 .三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（本题满分12分）（1）化简)2cos()cos()2sin()sin(απαπαπαπ++--（2）若tan 2α=，求ααααcos sin cos sin -+之值。

目录一、2012年人教版高一下学期期中测试卷数学试卷………………………………………………P2——P5 二、2012年人教版高一下学期期中测试卷答题卡数学（A卷）………………………………………………P6——P9 三、2012年人教版高一下学期期中测试卷数学试卷答案及评分标准……………………………………………P10——P122012年人教版高一下学期期中测试卷数学试卷测试范围：必修一、必修二、必修四第一章时间：120分钟 分值150分本试卷分第Ⅰ、Ⅱ卷，其中第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

请将所有答案填写在答题卡上，考试结束后，监考老师只收答题卡，试卷学生自己保存。

第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（请将你认为正确的答案，填涂在答题卡相应的位置，每题只有一个正确答案。

每题5分，共60分）1、sin735°+cos （-225°）+sin1065°的值是 （ ）A B 、- C 、12 D 、12-2、当0< a <1时，在同一坐标系中，函数xy a-=与log a y x =的图像是（ ）3、与圆224470xy x y ++-+=和圆22410130x y x y +--+=都相切的直线共有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条 4 、函数()log (0,1)a f x x x a =>?对任意的正实数,x y 都有 （ ）A 、()()()f x y f x f y =B 、()()()f x y f x f y =+C 、()()()f x y f x f y += D 、()()()f x y f x f y +=+5、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图，此直观图恰好为一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积是 （ ）A 、B 、C 、D 、6、已知四边形ABCD ，顶点为)、B (-2,2)、)、D (4,2)，则该四边形ABCD 的面积是（ ）A 、12B 、C 、D 、7、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法正确的是（ ）A 、EF 与BB 1垂直 B 、EF 与A 1C 1异面C 、EF 与BD 垂直 D 、EF 与CD 异面 8、关于函数3()2sin(3)4f x x p =-，有以下说法：○1其最小正周期是23p，○2其图像由2sin 3y x =向左平移4p个单位长度得到，○3其表达式可写为 3()2cos(3)4f x x p =+，○4当3,1212x p p 轾犏Î犏臌时单调递增。

说明：1.本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间为120分钟，共150分。

2.请将第Ⅰ卷答案用2B 铅笔填涂在答题卡上、第Ⅱ卷答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡指定位置。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、sin 210︒等于（ ）A B 、12 C 、 D 、12- 2. 0000cos75cos15sin 75sin15+的值为（ ）A. 0B.12D.1 3. 下列说法只不正确．．．的是 ( ) A. 正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；B. 余弦函数当且仅当x=2k π( k ∈Z) 时，取得最大值1；C. 余弦函数在[2k π+2π,2k π+32π]( k ∈Z)上都是减函数； D.余弦函数在 [2k π-π,2k π]( k ∈Z )上都是增函数 4. 若20,AB BC AB ⋅+<则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5. 为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A.向左平移512π个长度单位 B.向右平移512π个长度单位 C.向左平移56π个长度单位D.向右平移56π个长度单位6.)10tan 31(50sin ︒+︒的值为( ).C.2D.1 7. 已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为 （ ）A.23B.-43 C. D.±238. 函数y =2tan （3x －4π）的一个对称中心是( ) A ．（3π，0） B ．（6π，0） C ．（－4π，0） D ．（－2π，0） 9. 函数()()y x x x x sin cos sin cos =+-是（ ）A ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增10. 函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. -1223πrad 化为角度应为 .12. 如果一扇形的圆心角是︒72,半径是20,则扇形的面积为 .13. 函数sin 3y x π=在区间[]0,t 上恰好取得2个最大值，则实数t 的取值范围是__________14.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________.15. 在下列四个命题中：①函数tan()4y x π=+的定义域是{,}4x x k k π≠+π∈Z ；②已知1sin 2α=，且[0,2]α∈π，则α的取值集合是{}6π；③函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8x π=-对称，则a 的值等于1-； ④函数2cos sin y x x =+的最小值为1-.把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________________.三、解答题（本大题共6题，共75分）16. （12分）已知2||= , 3||=, 22||=+,(1)求:⋅;(2) 若)()(k +⊥+,求k 的值.17. （12分）已知)2,3(),2,1(-==b a ,当k 为何值时,平行？与b a b a k3-+平行时它们是同向还是反向？18. （12分）已知点))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R C B A ∈-θθθ，O 为坐标原点. （1）若C A =2B B -,求sin 2θ的值；（2）若实数,m n 满足mOA nOB OC +=,求22(3)m n -+的最大值.19.（12分）已知23πθπ<<，且1tan 23tan 52=-θθ，求)4sin(21cos 22πθθ+-的值.20.（13分） 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π, (Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.21.（14分）已知0a >,函数2()cos sin f x x a x b =-+的定义域为[0,2]π,值域为[4,0]-.试求,a b 的值.1-5.DBCBA 6-10.DCCAC11.-345°12.80π 13.)227,215[ 14.16115.①③④16. (1)22||=+得8222=⋅++,又2||=3||=, 故⋅ =23(2))()(b k a b a +⊥+得9703231201022-=⇔=+++⇔=+⋅++⇔=+⋅+k k )k (b k b a )k (a )b k a ()b a (18. （1）22)1sin 2()1cos 2(-+-==θθ4)cos (sin 22++-=θθ 24)cos (sin 22=++-∴θθ即 22cos sin =+θθ 两边平方得：212sin 1=+θ 212sin -=∴θ （2）由已知得：)sin 2,cos 2(),(),(θθ=-+n n m m⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴θθsin 2cos 2n m n m 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)sin (cos 22)sin (cos 22θθθθn m 10)cos (sin 2396)3(2222++-=+-+=+-∴θθm n m n m10)4sin(6++-=πθ ∴当1)4sin(-=+πθ时，22)3(n m +-取得最大值16 .19.由1tan 23tan 52=-θθ，且π<θ<23π,得21tan =θ，∴)4sin(212cos 22θθ+-=321tan 1cos sin cos )4sin cos 4cos(sin 2cos =+=+=+θθθθπθπθθ21.（14分）222()(1sin )sin (sin )124a a f x x a xb x b =--+=-++++.令sin t x =,由[0,2]x ∈π得[1,1]t ∈-,则22()()124a a y f x tb ==-++++,由0a >得其对称轴02at =-<, ② 当12a -≤-,即2a ≥时,有22[1(1)](1)0[11]14a b a b ⎧---⨯-+=⎪⎨--⨯+=-⎪⎩,得2,2a b ==-; ②当102a -<-<,即02a <<时,有22104[11]14a b a b ⎧++=⎪⎨⎪--⨯+=-⎩,得2a =或6a =-(舍去). ∴2,2a b ==-.。

武汉二中2012—2013学年下学期高一年级期中考试数学理科试卷编辑人：丁济亮考试时间：上午：9:00～11:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. sin 62013π的值为 （ ）A. 21B. －21C. 1D. －12. 若A ＝[－2, 1], B ={z |z =x 2, －1≤x ≤m }, 且A ∩B ＝[0, 1], 则m 的取值范围为 （ ）A. [0, 1]B. [－1, 0]C. [)∞+ 0,D. [－1, 1]3. 函数f (x )=21-x ·lg (4x －2x －2)+4ln 3ln 2--x x 的定义域为 （ ）A. ),[4+∞eB. (1, 2)∪],2(4eC. ),[4+∞e ∪⎥⎦⎤ ⎝⎛e 1,0D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,1e ∪],2(4e4. 在四边形ABCD 内找一点O , 使OD OC OB OA +++＝0, 则点O 为 （ ）A. 四边形对角线的交点B. 一组对边中垂线的交点C. 一组对边中点连线的中点D. 一组对角角平分线的交点5. 设f (x )=25cos 2x －21sin 2x +33sinx cosx , 则f (x )的最小正周期为 （ ）A. 2πB. 4πC. πD.2π6. 若f (x )= | x 2－2x －3|, 则方程f 3(x )－4 f 2(x )－ f (x )+4=0的根的个数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 9 7. 下列命题中:①在△ABC 中, A ＞B ⇔sinA ＞sinB ⇔cosA ＜cosB ②若0＜x ＜2π, 则sinx ＜x ＜tanx③函数f (x )=4x +4－x +2x +2－x , x ∈[0, 1]的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡427,4④数列{a n }前n 项和为S n , 且S n =3n +1, 则{a n }为等比数列 正确的命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 如图, 函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0, |φ|＜2π)的图象过点(3π, 0)和(0,21), 可将y =f (x )的图象向右平移（ ）单位后, 得到一个奇函数.A. 12πB.15πC.6πD. 154π9. 数列{a n }中, a n =)2)(1(1++n n n , S n 为{a n }前n 项和, 则S 1+S 2+……+S 10的值为（ ）A.2455B.241 C.255 D.2465 10. 已知f (x )=x －1, g (x )=－x 2+(3m +1)x －2m (m +1), 满足下面两个条件: ①对任意实数x , 有f (x )＜0或g (x )＜0;②存在x ∈(－∞, －2), 满足f (x )·g (x )＜0. 则实数m 的取值范围为 （ ） A. (－∞, －1) B. (1, +∞) C. (－1, 1) D. (－2, 0)二、填空题：本大题共5小题, 每题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 11. 已知2π＜θ＜π, 且sin θ=31, 则tan 2θ= . 12. 已知向量a =(2m +1, 3), b =(－1, 5), 若a 与b 的夹角为锐角, 则m 的取值范围为 .13. 数列{a n }中, a 1=2, 且a n +1+2a n =3, 则a n = . 14. 关于x 的不等式1-x ax >1的解集为(a-11, 1), 则a 的取值范围为 . 15. 高斯函数[x ]表示不超过x 的最大整数, 如[－2]＝－2, [2]=1, 已知数列{x n }中, x 1=1,x n =1-n x +1+3{[51-n ]－[52-n ]}(n ≥2), 则x 2013＝ . 三、解答题：本大题共6题, 共75分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (12分)已知0＜α＜2π, π＜β＜23π, cos (βα+2)=－31, sin (α+2β)=53, 求sin 2βα-.17. (12分)将函数f (x )=3sin (－2x +4π)+1的图象向左平移4π单位, 再向下平移31单位, 得到函数y =g (x )的图象.(1) 写出y =g (x )的解析式; (2) 写出y =g (x )单调区间;(3) 写出y =g (x )的对称轴方程和对称中心的坐标.18. (12分)在△ABC 中, AB =2, AC 边的中线BD ＝2, cosB =41. (1) 求AC ; (2) 求sinA .19. (12分)函数f (x )是由向量集A 到A 的映射f 确定, 且f (x )=x －2( x ·a ) a , 若存在非零常向量a 使f [ f (x ) ]= f (x )恒成立. (1) 求|a |;(2) 设＝a , A (1, －2), 若点P 分的比为－31, 求点P 所在曲线的方程.20. (13分)函数y =f (x )满足f (3+x )=f (1－x ), 且x 1, x 2∈(2, +∞)时,2121)()(x x x f x f --＞0成立,若f (cos 2θ+2m 2+2)＜f (sin θ+m 2－3m －2)对θ∈R 恒成立. (1) 判断y =f (x )的单调性和对称性; (2) 求m 的取值范围.21. (14分)已知a = (2, －1), b = (22, 2). f (x )=x 2+a 2x +a ·b , 数列{a n }满足a 1=1, 3a n =f (a n －1)+1 (n ∈N , n ≥2), 数列{b n }前n 项和为S n , 且b n =31n a . (1) 写出y = f (x )的表达式; (2) 判断数列{a n }的增减性;(3) 是否存在n 1, n 2(n 1, n 2∈N*), 使1n S ≥1或2n S ＜41, 如果存在, 求出n 1或n 2的值, 如果不存在, 请说明理由.武汉二中2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学（理）试卷参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D CACCCCBAA二、填空题 11. 3+22 12. m ＜7且m ≠－54 13. a n =1+(－2)1-n14. a ＜0 15. 3219三、解答题 16. 解: ∵0＜2α＜4π,2π＜2β＜43π∴π＜2α+β＜47π 2π＜α+2β＜45π……………………………………2分∴sin ()2βα+=－322, cos (α+2β)=－54…………………………………6分∴sin 2βα-=sin [(α+2β)－(2α+β)]=sin (α+2β)cos (2α+β)－cos (α+2β)sin (2α+β)=53·(－31)－(－54)·(－322)=－51－1528=－15283+……………………12分17. 解: (1) g (x )=－3sin (2x +4π)+32……………………………4分(2) x ∈[k π－83π, k π+8π](k ∈z ), g (x )↓x ∈[k π+8π, k π+85π](k ∈z ), g (x )↑……………………………………8分(3) 对称轴方程: x =82ππ+k (k ∈z )对称中心: (32,82ππ-k ), (k ∈z )……………………………12分注：以上四处 “k ∈z ”漏掉一个或一个以上，统一扣2分18. 解：(1) 设BC 的中点为E , 则DE =1, 设BE =x . 在△BDE 中, BD 2=BE 2+DE 2－2BE ·DE ·cos ∟BED∴4=x 2+1－2x ·(－41)⇒2x 2+x －6=0∴x =23, 故BC ＝3………………………………………4分 在△ABC 中, AC 2＝AB 2+BC 2－2AB ·BC ·cosB∴AC 2=4+9－2×2×3×41=10 ∴AC =10………………………8分(2) 在△ABC 中, cosA=ACAB BC AC AB ⋅-+2222∴cosA =10229104⋅⋅-+=1045=810……………………………………10分 故sinA =863cos 12=-A ……………………………………12分 19. 解: (1) f [ f (x )]=f (x )－2[ f (x )·a ]·a=x －2(x ·a )·a －2{[x －2(x ·a )·a ]·a }·a =x －2(x ·a )a －2[x ·a －2(x ·a )a 2]a =x －2(x ·a )a ∴[x ·a －2(x ·a )a 2]a =0, ∵a ≠0∴x ·a －2(x ·a )a 2=0⇒x ·a (1－2a 2)=0恒成立 ∴1－2a 2＝0⇒a 2=21∴|a |=22 (6)分(2) 设B (x ′, y ′), ∴AB =(x ′－1, y ′+2) ∴(x ′－1)2+(y ′+2)2=21设P (x , y ) 由AP ＝－31PB ⇒(x －1, y +2)＝－31(x ′－x , y ′－y ) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'-=+-'-=-)(312)(311y y y x x x ⇒⎩⎨⎧--='+-='6232y y x x , ∴(－2x +3－1)2+(－2y －6+2)2=21 ∴(x －1)2+(y +2)2=81, 即为P 点所在曲线的方程…………12分 20. 解: (1) 由f (3+x )=f (1－x )⇒f (2+x )=f (2－x ) ∴y =f (x )的对称轴为x =2……………2分 当2＜x 1＜x 2时, f (x 1)＜f (x 2); 当2＜x 2＜x 1时, f (x 2)＜f (x 1) ∴y =f (x )在(2, +∝)上为增函数, 在(－∞, 2)上为减函数…………4分(2) 由f (cos 2θ+2m 2+2)＜f (sin θ+m 2－3m －2)⇒|cos 2θ+2m 2|＜|sin θ+m 2－3m －4| 即m 2－3m －4+sin θ＞cos 2θ+2m 2(i ) 或m 2－3m －4+sin θ＜－cos 2θ－2m 2(ii )恒成立 ……………………………………………………………………………………7分由(i )得m 2+3m +4＜－cos 2θ+sin θ=(sin θ+21)2－45恒成立, ∴m 2+3m +4＜－45 ⇒4m 2+12m +21＜0恒成立, 无解………………………………10分 由(ii ) 得3m 2－3m －4＜－cos 2θ－sin θ=(sin θ－21)2－45恒成立⇒3m 2－3m －4＜－45⇒12m 2－12m －11＜0⇒6423-＜m ＜6423+……………………13分 21. (1) f (x )=x 2+3x －1……………………………………………………………………………2分(2) ∵3a n =a 21-n +3a n －1⇒3(a n －a n －1)=a 21-n ≥0∵a 1=1≠0, ∴a n ＞a n －1 ∴数列{a n }单调递增………………………………………5分(3) 由3a n =a n －1(a n －1+3)nn n a a a 33111--=+⇒∴b n =111213333331++++-===+n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a =111+-n n a a ……………………………………………………………………………8分∴S n =)11(...)11()11(13221+-++-+-n n a a a a a a =1－11+n a ………………………………………………………………………………9分由（2）知a n 单调递增, 且a 1=1, ∴a 2=34, 1+n a ≥a 2=34∴0＜11+n a ≤43, ∴－43≤－11+n a ＜0∴41≤S n ＜1………………………………………………………………………………13分故不存在n 1使1n S ≥1, 也不存在n 2, 使2n S ＜41……………………………………14分。

湖北省孝感高中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 试卷满分150分 编辑人：丁济亮本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

祝考试顺利！一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1． 已知数列 ,5,2,3,2,1则33是它的（ ） A ．第25项 B ．第26项 C ．第27项D ．第28项2． 在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）3． 等比数列}{n a 中，如果66=a ，99=a ，则3a 等于（ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．34． 正方体AC 1中，E 、F 分别是DD 1、BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．25． 已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cosx <0的解集是（ ）A ．)3,2()1,0(B ．)3,2()1,0(πC ．)3,1()1,0(D ．)3,2()2,1(ππ6． 已知数列}{n a ，若225n a n =-+，记S n 为}{n a 的前n 项和，则使S n 达到最大的n 值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．107． 如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．错误！未找到引用源。

C ．13D ．错误！未找到引用源。

8． 已知函数219log )3(2+=x x f ，则f (73)的值是（ ）A ．21B ．1C ．5log 2D ．29． 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,有以下5个命题：①CN 与AF 垂直；②BM 与ED 平行； ③CN 与BE 是异面直线； ④CN 与BM 成角；⑤DM BN 与是异面直线。

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

1.广东省2012年高考数学考前十五天每天一练（4） 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（D ） A ． 43-B ．54C ．34-D ．452.陕西省西工大附中2011届高三第八次适应性训练数学（文） 观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++= ； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++= ； ③tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时3.陕西省咸阳市2012届高三上学期高考模拟考试（文科数学） sin 330 的值是（ ）A ．12 B. 12- C. D. 【答案】B4.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理cos300= （ ）(A)-12 (C)12【答案】C5.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理 已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （ ）（A ） （B ）19-6..山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（二）（2012烟台二模）22sin(250)cos 70cos 155sin 25-︒︒︒-︒的值为A ．B ．一12C ．12D 【答案】C7.山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（三）已知倾斜角为α的直线的值为则平行与直线α2tan 022，y x l =+- A.54 B.34 C.43 D.32 【答案】A4．（福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试）已知a ∈（3,2ππ），且cos 5α=-，则tan α DA ．43B ．一43C ．-2D ．22．（2011年江苏海安高级中学高考数学热身试卷）已知tan 2α=，则s i n ()c o s ()s i n ()c o s ()παπααα++--+-＝ ． 【答案】1贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题)10.如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C(贵州省五校联盟2012届高三第四次联考试卷) 5.已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为 （ ） A．4- B.47 C.47± D.43- A(贵州省2012届高三年级五校第四次联考理) 13.函数sin y x x =-的最大值是 . 2(贵州省2012届高三年级五校第四次联考文) 4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-A洋浦中学2012届高三第一次月考数学理科试题13．已知函数22()1xf x x =+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= .25冀州市中学2012年高三密卷（一）6. 已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈ 则 =αtan ( )A. 3-B. 3C. 33D. 33±B冀州中学高三文科数学联排试题 10．已知sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，则tan θ的值为 A ． 43- B ．34- C ．43或43- D ．43-或34-A河北省南宫中学2012届高三8月月考数学（文） 6.已知2tan =α，则ααcos sian 的值为（ ）A.21B.32C.52D.1C冀州中学第三次模拟考试文科数学试题13. 已知2()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为 -32012年普通高考理科数学仿真试题(三) 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗a b b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45B.1C.—1D.45-【答案】A2012年普通高考理科数学仿真试题(四) 17.（本小题满分12分）已知函数()().1cos 2267sin 2R x x x x f ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛-=π （I ）求函数()x f 的周期及单调递增区间；＞b.（II ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A 经过函数()x f 的图象，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值. 【答案】9（广东省韶关市2012届第二次调研考试）．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则sin α=35_____________; tan(2)πα-=___247____________. 5（广东省深圳市2012高三二模文）. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 【答案】B16(上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷理）对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是( ) AA ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-B ．()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-C ．cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅ D ．cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅17.（上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷文）已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为( ) A A ．47- B ．47 C ．47± D ．43-3．广东省中山市2012届高三期末试题数学文 已知233sin 2sin ,(,),52cos πθθθπθ=-∈且则的值等于 A ．23 B ．43 C ．—23 D ．—43AB7. 广东实验中学2011届高三考前 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则s i n c o s αα+=A ．15-B ．51 C ．75- D ．5716. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题 已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+z k k x k x ,232ππππ 15. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)0(21)0(6sin )(x x x x x f π，则=)]1([f f 21- 。

泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题2023.5一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()1i 1i z -=+，则z = A.22B.1C.D.22.若,m n 表示两条不重合的直线,,,αβγ表示三个不重合的平面,下列命题正确的是A ．若m αγ⋂=,n βγ= ,且//m n ,则//αβB ．若,m n 相交且都在,αβ外,//m α,//n α,//m β,//n β,则//αβC ．若//m n ,n α⊂,则//m αD ．若//m α,//n α,则//m n4.已知2a =，3b =．若a b a b +=-，则23a b +=425.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ），从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为A. B.16mC. D.12m6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n =>，则m n +的值为A ．2B ．3C ．92D ．57.已知4sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=A.210 B.3210C.22D.72108.函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移()0θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为A.3πB.6πC.12π D.724π二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是A ．22i 1=B ．复数32i z =-的共轭复数的虚部为2C ．若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-D ．若复数z 满足i 1z -=，则z 的最大值为210.下列说法正确的是A ．已知向量()1,3a = ，()cos ,sin b θθ= ，若a b ⊥ ，则3tan 3θ=-B ．已知向量()2,3a = ，(),2b x = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“3x >-”的充要条件C ．若向量()()4,31,3a b =- = ，，则a 在b 方向上的投影向量坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2(4)(2)i m m +-+ (R)m ∈是纯虚数，则m =___________.14.需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为__________米.15.公元前6世纪，毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值，这一数值近似可以表示为2sin18m =︒,若24m n +=，则cos 27m =︒______.四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知,,a b c是同一平面内的三个向量，()1,2a = .(1)若c = ，且//c a ，求c的坐标；(2)若52b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ.．19.（12分）已知ABC 中，D 是AC 边的中点．3BA =，7BC =，7BD =(1)求AC 的长；(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．20.（12分）已知函数()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围．泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题解析2023.5一､单项选择题：1.B2.B3.D4.A5.C6.A7.A8.C二､多项选择题：9.BD 10.ACD 11.ACD 12.ACD11.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin C B B C A a A +==，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1a =，若2B C A +=，且πB C A ++=，所以π3A =，由余弦定理得22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===，由0,0b c >>，可得2212b c bc bc +=+³，即1bc ≤，则ABC面积11sin 22bc A ≤=ABC，故A 正确；对于B ，若π4A =，且1a =，由正弦定理得1πsin sin 4b B=，所以πsin sin4B b b =，当sin 1B =1=，所以b =时有一解，故B 错误；对于C ，若C =2A ，所以π2π3B A A A =--=-，且ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以2cos 2A ⎛∈ ⎝⎭，由正弦定理sin sin a cA C =得1sin sin 22cos sin sin C A c A A A⨯===∈，故C 正确；对于D ，做OD BC ⊥交BC 于点D 点，则D 点为BC 的中点，且1BC =，设OBD αÐ=，所以cos BDBOα=，所以211cos 22BD BC BO BC BO BC BO BC BD BC BOα⋅=⋅=⋅⨯=⋅==，故D 正确.12.【详解】由题意，PC 的中点O 即为-P ABC 的外接球的球心，设外接球的半径为R ，则34108π33R π=，得3R =，在Rt PAB 中，222PA AB PB +=,故222PB BC PC +=,即222224PA AB BC PC R ++==，而2AB =，所以2232PA BC +=，鳖臑-P ABC 的体积()()22111116232663P ABC V AB BC PA BC PA BC PA -=⨯⋅⋅=⋅⋅≤⋅+=，当且仅当4BC PA ==时，取得等号，故max 16()3P ABC V -=，故A 项正确，B 项错误;而1823C ABO O ABC V V V --===，故C 项正确;设-P ABC 的内切球半径为r ，由题意知三棱锥-P ABC 的四个侧面皆为直角三角形，由等体积法1111116322223P ABC V AB BC PA AC PA PB BC r -⎛⎫=⨯⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭，而2AC ==6PC =,得(1632r +⋅=，所以r =，故D 项正确,三､填空题：13.214.15.16.216【详解】以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC21sin BCr r A=⇒=，设11(1,0),(,(,),(cos ,sin )2222A B C P αα---，则1(1cos ,sin ),(cos sin )2PA PB αααα=--=---，1(cos ,sin )2PC αα=--，所以(12cos ,2sin )PC PB αα+=---，所以()1cos PA PB PC α⋅+=-，因为1cos 1α-≤≤，所以01cosα2£-£，所以()PA PB PC ⋅+的最大值为2．四､解答题：17.【详解】（1）设向量(),c x y = ，因为()1,2a = ，c =r ，c a ∥，所以2x y==⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩,所以()2,4c =r 或()2,4c =-- ；（2）因为2a b + 与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-= 而52b =，a == ，所以5253204a b ⨯+⋅-⨯= ，得52a b ⋅=- ，a 与b的夹角为θ，所以52cos 12a b a bθ-⋅===-⋅，因为[]0,θπ∈，所以θπ=.18.【详解】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h.由题意，得：2r π=，∴r =，∴3h =∴圆锥的侧面积16S rl ππ===,底面积223S r ππ==,∴表面积129S S S π=+=.（2）由（1）可得：圆锥的体积为211133333V r h πππ==⨯⨯=.又圆柱的底面半径为2r =322h =，∴圆柱的体积为2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.∴剩下几何体的体积为12915388V VV πππ=-=-=.19.【详解】（1）设AD DC x ==，由余弦定理可得22cosADB CDB∠=∠==又cos cos ADB CDB ∠∠=- 2=1x ∴=，即2AC =.（2）由（1）知223271cos 2322A +-==⨯⨯，因为0A π<<，所以3A π=，由ABE ACE ABC S S S += 可得，1113sin 302sin 3032sin 60222AE AE ︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯，即5AE =，解得5AE =.20.【详解】(1)()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 2sin 2+226x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，所以,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数()y f x k =-在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，即曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线y k =在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点.设26t x π=+，则sin ,y t =且,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又因为1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由图象可知，若要使sin y t =与y k =区间,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，则()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭.21.【详解】（1）选择①，在ABC 中，由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+，整理得222a b c ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =.选择②，可得sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，在ABC中，由正弦定理得，2sin cos sin sin cos cos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，则sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，因为πA B C ++=，因此sin cos C C =，即tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=.选择③，在ABC22(2cos1)2cos 2CC C =--=-，cos 2C C +=，即πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，所以ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ62C +=，从而π3C =.（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π03θ<<，在ABI △中，由正弦定理得，4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ====∠-，所以)4sin π3(BI θ=-，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为3234sin(4si π)n θθ-+3123cos sin )4sin 22θθθ=-+π23232sin 4sin()233θθθ=++=++由π03θ<<，得ππ2π333θ<+<，所以当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值423+22.【详解】（1）记F 为AB 的中点，连接,DF MF ，如图1，因为,F M 分别为,AB AE 的中点，故//MF EB ，因为MF ⊄平面,EBC EB ⊂平面,EBC 所以//MF 平面EBC ，又因为ADB 为正三角形，所以60DBA ∠=︒，DF AB ⊥，又BCD △为等腰三角形，120BCD ∠=︒，所以30DBC ∠=︒,所以90ABC ∠=︒，即BC AB ⊥，所以//DF BC ，又DF ⊄平面,EBC BC ⊂平面,EBC 所以//DF 平面EBC ，又DF MF F ⋂=，,DF MF ⊂平面DMF ，故平面//DMF 平面EBC ，又因为DM ⊂平面DMF ，故//DM 平面BEC .（2）延长,CD AB 相交于点P ，连接PM 交BE 于点N ，连接CN ，过点N 作//NQ AE 交AB 于点Q ，如图2，因为//DM 平面ECB ，DM ⊂平面PDM ，平面PDM 平面ECB CN =，所以//DM CN ，此时,,,D M N C 四点共面，由（1）可知，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥，得30,4CPB PC ∠=︒=，故4263PN CP PM DP ===，又因为//NQ AE ，所以23NQ PN AM PM ==，则有3112223NQ NQ AE AM ==⨯=，故13BN NQ BE AE ==.N。

湖北省部分重点中学2012-2013学年度下学期高一期中考试数学参考答案（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩； 12； 13．32729； 14． ； 15．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16/（本小题满分12分）解：（1）∵2M ∉，∴225220a ⋅+⋅-≤，∴2a ≤- ………5分（2）∵{}122M x x =<<，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， 且0a <，∴由韦达定理得15221222a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩∴2a =- ………8分∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+> 其解集为{}132x x -<<． ………12分 17（本小题满分12分）解：在ABD ∆中，设BD x =，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得：096102=--x x ,解之：161=x ，62-=x （舍去），………………6分由正弦定理，得：………12分 18/（本小题满分12分）解：（1）由2*+12N n n nb b n b +=∈（）可得{}n b 为等比数列．设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，由题意得3313204643d q d q ⎧++=-⎪⎨+-=⎪⎩，解之得：23d q =⎧⎨=-⎩，从而121,(3)n n n a n b -=-=-．………5分（2）01211(3)3(3)5(3)(21)(3)n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅- ①①×(3)-得：12331(3)3(3)5(3)(21)(3)n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅- ②①-②得：012141(3)2(3)2(3)2(3)(21)(3)n n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-01212(3)2(3)2(3)2(3)(21)(3)1n n n -=⋅-+⋅-+⋅-++⋅---⋅--1(3)(41)(3)12(21)(3)11(3)2nn n n n ---⋅-+=⋅--⋅--=--- ………11分 (41)(3)18n n n T -⋅-+∴=-………12分19（本小题满分12分）解：（1）由(2)cos cosb A C =代入正弦定理得：2sin cos coscos B A C AA C =，即：()2sin cos B A AC B =+=，又sin 0B ≠，cos A ∴=．又0180,30A A ︒<<︒∴=︒． ………6分 （2）方案1：选①②．由正弦定理sin sin abA B =得：sin sin abB A =⋅=．又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，1sin 12S ab C ∴==． ………12分 方案2：选①③．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：)22222cos30b b =+-︒∴2b =，从而c =111sin 2222S bc A ∴==⋅⋅= ………12分 （选②③，这样的三角形不存在）20/（本小题满分13分）解：（1）设铁栅长x 米，侧墙宽y 米，则由题意得：40245203200x y xy ⋅+⋅+⋅≤，………………… 3分即492320x y xy ++≤ ① （以上两处的“≤”号写成“=”号不扣分）由于49x y +≥= ②，由①②可得1600xy +≤，10100xy ≤⇒≤，所以S 的最大允许值为100平分米．………………… 8分（2）由（1）得当面积S 达到最大而实际投入又不超过预算时， 有：49x y =且100xy =，从而15x =．即正面铁栅应设计为15米长．………………… 12分21（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 因为21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+，所以111(221)a t =-+，2212+2(2221)a a t =⋅-+，解得 1a t =，22a t =． ………………………… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，由21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+， ① 得22111231+222[(1)221]n n n n a a a a n t ----+++=-⋅-+， ②将①，②两式相减，得1112(221)[(1)221]n n n n n n a n t n t ---=⋅-+--⋅-+,化简，得n a nt =，其中2n ≥． …………………5分因为1a t =，所以n a nt =，其中*n ∈N ． …………………… 6分因为 11222(2)2n n n n a a a t a n ---==≥为常数， 所以数列{2}n a为等比数列． …………………… 8分 （Ⅲ） 由（Ⅱ）得22n n a t =， ……………………… 9分所以 248211(1)111111111122(1)1242212n n n n a a a a t t t t t -++++=+++=⨯=--， 又因为1a t =，所以原不等式可化简为11(1)02n m t t +->，………10分 （1） 当0t >时，不等式11(1)02n m t t +->112n m ⇔>-， 由题意知，不等式112n m >-的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ， 因为函数1()12x y =-在R 上单调递减， 所以只要求 3112m >-且2112m ≤-即可， 解得7384m -<≤-； …………………… 12分 （2）当0t <时，不等式11(1)02n m t t +->112n m ⇔<-， 由题意，要求不等式112n m <-的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ， 因为32111122-<-， 所以如果3n =时不等式成立，那么2n =时不等式也成立， 这与题意不符，舍去．综上所述：0t >，7384m -<≤-． ………………………… 14分。

【答案】
【解析】
【分析】由已知得 在 中利用正弦定理求得 在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】在 中已知
在 中
由正弦定理得
在 中
利用余弦定理知 .
故答案为：
16.如图四棱锥 的底面四边形ABCD为正方形四条侧棱 点E和F分别为棱BC和PD的中点.若过A､E､F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为 则该四棱锥的外接球的体积为___________.
【小问1详解】
如图：
在 上取一点N使得 连接CNEN则 则
又∵ ∴四边形 是平行四边形
∴ 且 ．
同理四边形DNEA是平行四边形∴ 且
又 且 ∴ 且
∴四边形CNEB是平行四边形
∴ 且
∴ 且
∴四边形 平行四边形从而BE F四点共面；
【小问2详解】
由(1)知 平面 平面
∴ 平面 ①
取BG中点为I连接 则G是 H是 ∴ ∥HG
【详解】解：由 得
即 正确；
令 满足 但不满足 错误；
令
则
又 正确；
正确．
故选：ACD．
10.下列说法正确的是（）
A.对于任意两个向量 若 且 与 同向则
B.已知 为单位向量若 则 在 上的投影向量为
C.设 为非零向量则“ ”是“存在负数 使得 ”的必要不充分条件
D. 则 与 的夹角是锐角
【答案】BC
的最小值为
所以 的长度范围是
故选：B
二､多选题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.
9.已知 且 ．下列说法正确的是（）
A.若 则 B.若 则
C. D.