2019-2020学年高中数学 3.3.2 两点间的距离导学案导学案 新人教A版必修2.doc

摘要：两点间的距离同步学案，主要有学习目标、重难点，学法指导，新知预习，学习探究，要点导学，活学巧用，巩固练习，整体感知关键词：新课标人教A 版、必修二、两点间的距离 学案新课标人教A 版高一必修二3、3、2两点间的距离同步学案【学习目标】1、理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；2、通过由特殊到一般的归纳，培养探索问题的能力【重点与难点】重点：两点间的距离公式和它的简单应用难点：用坐标法解决平面几何问题【学法指导】本节是利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。

在推导过程中，要注意数形结合的数学思想的运用。

【新知预习】1.设111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP = 。

特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP = ；当所在直线与x 轴平行时，12PP = ；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，12PP = ；当12,P P 在直线y kx b =+上时，12PP = .2. 设111222(,),(,)P x y P x y ,则线段12P P 的中点坐标__________3. 用坐标法解（证）题的步骤：（1） 。

（2）（3）（4）【学习探究】1、已知数轴上两点 A, B ，怎么求 A, B 的距离？2、用坐标法解（证）题的步骤？221M M =解得1x =，所以(1,0)p ,则PA =22)20()11(22=-++。

归纳总结:两点间的距离公式：所以设111222(,),(,)P x y P x y ，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212PP y y =-；当12,P P 不与坐标轴平行时，121212()()PP x x y y =-+-。

变式探究：1、 在直线40x y -+=上求一点p ，使p 点到点(2,4),(4,6)M N --的距离相等。

ABCD为
学习建议：建立独立思考后，谈谈你的解题思路，想一下，为什么会出现多余的解？ 探究点二 利用坐标法解决几何问题（难点） 【例 2】已知△ ABC是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的直角坐标系，证明：
1 AM= BC 。
2
思考 1：如何建立直角坐标系使得各点的坐标表示比较简单？ 思考 2：线段 AM、 BC的长度各是多 少？
A. （1， 5）
B.
（－ 1，－ 1）
C. （ 1 ， 2）
D.
（ 1， 2）
2
3. 已知点 A（ m ， 0）， B（ 1， 2 m ），则∣ AB∣ =
我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂
。 解决。
探究案
Ⅰ. 学始于疑——我思考，我收获 1. 几种特殊位置的两点距离公式符合一般的距离公式吗？ 2. 怎样建立平面直角标系证明平面几何问题？ 学习建议： 用 3 分钟时间认真思考这个问题， 并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究
1. 数轴上两点间的距离公式是怎样的？ 2. 已知两点坐标，如何求直线的斜率？ 3. 两条直线平行的条件是什么？ 4. 两条直线垂直的条件是什么？ Ⅱ. 教材助读 1. 阅读课本 3.3.2 ～例 3 的内容，思考并完成下列问题：
（ 1）设 P1（ x1, y1 ），P2（ x2, y2 ），观察课本上的图 3.3-2 知，在 Rt △ P1 QP2 中，∣ P1 Q
线上，又 P 点在 x 轴上”。
若按上面的思路，例 3 该怎样解答？
2. 阅读课本例 4∽思考的内容，并回答下列问题：
（ 1）在课本上的例 4 中是怎样建立直角坐标系的？
（ 2）建系后，为什么设出 B， D两点的坐标后不再设 C 点的坐标？

§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。

1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1～3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离一、两直线的交点问题活动与探究1求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．迁移与应用1．直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)2．求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．3．求经过点P (1,0)和两直线l 1：x ＋2y －2＝0，l 2：3x －2y ＋2＝0交点的直线方程．4．无论实数a 取何值，方程(a －1)x －y ＋2a －1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点．(1)两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．(2)经过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)的交点的直线方程可设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0．反之，若直线方程可写为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，则该直线过直线l 1与l 2的交点．二、两点间的距离公式及其应用活动与探究2在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程．迁移与应用1．已知△ABC 的三个顶点为A (3，－1)，B (2,2)，C (－3,3)，则AC 边上的中线长为__________．2．已知点A (4,12)，点P 在x 轴上，且点A 与点P 间的距离为13，则点P 的坐标为__________．3．已知三个点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状是__________．三、对称问题活动与探究3求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．迁移与应用1．两条直线x －2y ＋3＝0和2x －y ＋3＝0关于直线x －ay ＝0对称，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．－2D ．22．一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．当堂检测1．已知点P (x,2)，Q (－2，－3)，M (1,1)，且|PQ |＝|PM |，则x 的值为( )A ．－1B ．1 C．－92 D ．92 2．直线x －ay ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点在y 轴上，则a 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．±13．点P (－4,2)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点P ′的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，85 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－85 4．直线2ax ＋y －2＝0过定点__________．5．过直线2x －y ＋1＝0与x －y ＋5＝0的交点，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程是__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．相交 交点的坐标 无公共点 平行预习交流1 0 平行 1 相交 无数 重合提示：不对．还有可能重合．2．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2预习交流2 提示：当直线P 1P 2垂直于坐标轴时，公式仍适用．当直线P 1P 2垂直于x 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|；当直线P 1P 2垂直于y 轴时，|P 1P 2|＝|x 1－x 2|．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方程，或用直线系方程求解．解法一：由方程组233=02=0,x y x y --⎧⎨⎩，++得3=,57=.5x y ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，∴直线l 的斜率k ＝－3．∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．解法二：设直线l 的方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0．∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝112．∴直线l 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋2×112－3＝0． 化简得15x ＋5y ＋16＝0．迁移与应用 1．C2．解法一：解方程组24=02=0,x y x y -⎧⎨-⎩+，+得交点P 坐标为(0,2)，又l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率为－43．由点斜式得y －2＝－43(x －0)，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0．即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．∵l ⊥l 3，∴3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为(1＋11)x ＋(11－2)y ＋4－2×11＝0．化简得4x ＋3y －6＝0．3．解：设所求直线方程为x ＋2y －2＋λ(3x －2y ＋2)＝0．∵点P (1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0．∴λ＝15．∴所求方程为x ＋2y －2＋15(3x －2y ＋2)＝0，即x ＋y －1＝0．4．解：由(a －1)x －y ＋2a －1＝0，得－x －y －1＋a (x ＋2)＝0．所以，已知直线恒过直线－x －y －1＝0与直线x ＋2＝0的交点．解方程组1=02=0,x y x ---⎧⎨⎩，+得=2=1x y -⎧⎨⎩，． 所以方程(a －1)x －y ＋2a －1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)．活动与探究2 思路分析：设出点P 的坐标，根据条件求出点P 的坐标，再求直线PM 的方程．解：∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点的距离公式得|PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325，∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645．∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，即4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0． 迁移与应用 1． 52．(－1,0)或(9,0)3．等腰直角三角形活动与探究3 思路分析：求出l 1与l 的交点，再在直线l 1上取一点并求出该点关于直线l 的对称点，最后用两点式写出直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1，l 的交点M (3，－2)．在直线l 1上取点A (2,0)，设点A 关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)．由AA ′⊥l 及线段AA ′的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－1，3×x 0＋22＋4×y 02－1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0－3y 0－8＝0，3x 0＋4y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝45，y 0＝－85， 即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85． 所以，所求直线l 2的方程为y ＋2－85＋2＝x －345－3， 即2x ＋11y ＋16＝0．迁移与应用 1．B2．解：如图所示，设原点关于直线l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线AO 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，∴两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y ＝3．【当堂检测】1．C 2．B 3．A 4．(0,2) 5．2x ＋y －17＝0。