第3讲：群论在杂化轨道中的应用

群论中的群作用与轨道分解群论是代数学中的一个重要分支，研究的是具有特定运算性质的集合，其中的运算满足结合律、单位元存在、逆元存在等条件。

而群作用与轨道分解是群论中的两个重要概念，它们在代数、组合和几何等领域都具有广泛的应用。

一、群作用的定义与性质在群论中，群作用指的是一个群对一个集合进行的运算，称为群作用。

设G是一个群，X是一个集合，若存在一个映射φ：G × X → X，记作 (g, x) ↦ φ(g, x)，对于任意的元素 g ∈ G 和 x ∈ X，满足以下三个性质：1. φ(e, x) = x，其中 e 是 G 的单位元。

2. φ(g₁, φ(g₂, x)) = φ(g₁ * g₂, x)，对于任意的 g₁, g₂∈ G 和 x ∈ X，其中 * 表示 G 中的运算。

3. φ(g, x₁ * x₂) = φ(g, x₁) * φ(g, x₂)，对于任意的 g ∈ G 和 x₁, x₂∈ X。

根据群作用的性质，我们可以得到一些重要的结论。

首先，对于任意的 g ∈ G，有φ(g, φ(g⁻¹, x)) = φ(e, x) = x，这说明群元素 g 对于集合X 上的任意元素都有逆元作用，即每个群元素在 X 上都有唯一的逆元作用。

其次，单位元 e 对于集合 X 上的任意元素 x 都有恒等作用，即φ(e, x) = x。

这一点意味着单位元在群作用中起到保持元素不变的作用。

最后，对于任意的 g₁, g₂∈ G 和 x ∈ X，有φ(g₁ * g₂, x) = φ(g₁, φ(g₂, x))。

这意味着群作用是满足结合律的，群元素的作用顺序不影响最终的结果。

二、轨道分解的定义与性质在群作用的基础上，我们可以引入轨道的概念。

给定一个群 G 和一个集合 X，对于 X 中的任意一个元素 x，所有经过群元素 g 作用后得到的元素φ(g, x) 组成的集合称为 x 的轨道，记作 O(x)。

即O(x) = {φ(g, x) | g ∈ G}。

群论中的群作用与轨道群论是数学中的一个分支，研究代数结构中的群以及群的性质和应用。

群作用是群论中重要的概念之一，它描述了群元素对其他集合中元素的作用影响。

在群作用的基础上，可以定义群的轨道，它是指群作用下的一个元素集合。

一、群作用的概念及性质群作用是指群的元素对某个集合的元素进行变换的一种方式。

设G是一个群，X是一个集合，如果对于任意的元素g∈G和x∈X，存在一个元素gx∈X，满足以下条件：1. 对于任意的元素x∈X，有e·x=x，其中e是群G的单位元素。

2. 对于任意的元素g1,g2∈G和x∈X，有(g1g2)·x=g1·(g2·x)。

则称G对X的作用为群作用，记作G•X。

在群作用的定义中，满足第一个性质的元素e·x=x，表示群的单位元素不对集合X中的元素产生影响，保持原有状态。

满足第二个性质的条件表明群元素的作用是满足结合律的，不管作用的先后顺序如何，得到的结果是一样的。

二、群作用的例子1. 用置换群作用于有限集合：设Sn是由n个元素的对称群（置换群），X是一个有限的n元素集合。

对于任意的置换π∈Sn和x∈X，定义π(x)为将x在π下的映射，即置换π作用于x所得的结果。

这样的群作用称为置换群的左作用。

2. 矩阵群作用于向量空间：设G是一个n阶矩阵群，X是一个n维向量空间。

对于任意的矩阵A∈G和向量v∈X，定义Av为矩阵A作用于向量v所得的结果。

这样的群作用称为矩阵群的右作用。

以上只是群作用的两个例子，实际上群作用可以应用于各种各样的数学概念和问题中，例如在图论、代数几何等领域中都有广泛的应用。

三、群的轨道在群作用的基础上，可以定义群的轨道。

群的轨道是指群作用下一个元素在集合X中的所有可能位置的集合。

设G是一个群，X是一个集合，G对X具有群作用。

对于集合X中的一个元素x∈X，其轨道定义为：O(x) = { gx | g∈G }即由所有对应于x的群元素作用结果所组成的集合。

4.5.4 群论在化学中的应用实例增加如下内容：4. 构成对称性匹配的分子轨道我们知道，原子轨道构成分子轨道的前提是对称性匹配。

在简单情况下，这很容易看出来，但在复杂情况下，要使原子轨道构成对称性匹配的分子轨道（亦称对称性匹配的线性组合，SALC），就需要借助于系统的群论方法。

下面以环丙烯基C3H3为例来说明：假设该分子为D3h群，垂直于分子平面的碳原子p轨道φ1、φ2、φ3如何构成对称性匹配的π型分子轨道。

（1）首先以φ1、φ2、φ3为基，记录它们在D3h群各种对称操作下的特征标，得到可约表示：E2C33C2σh2S33σvD3hφ1 1 0 -1 -1 0 1φ2 1 0 0 -1 0 0φ3 1 0 0 -1 0 0Γ 3 0 -1 -3 0 1 需要注意的是，3C2这个类的可约表示特征标是（-1）而不是（-3），这是因为，我们可以从这个类的3个对称操作C2中任选1个作为代表，对基集合φ1、φ2、φ3进行操作，结果是只有1个φ被改变符号而其余两个φ被改变位置，从而得到可约表示特征标为（-1）。

但是，不能用该类中3个不同的C2分别作用来得到（-3）。

根据同样的理由，3σv这个类的可约表示特征标是1而不是3。

（2）利用D 3h 的特征标表将可约表示约化为如下不可约表示：（3）构成这些具有确定对称性的分子轨道，必须采用投影算符。

投影算符有不同的形式，最便于使用的形式是只利用特征标的投影算符：其中l j 是第j 个不可约表示的维数， 代表对称操作， 是第j 个不可约表示的特征标。

注意：投影算符中的求和必须对所有对称操作进行，而不能像约化公式中那样改为乘以类的阶后对于类求和，这是因为：尽管同一类中各个对称操作的特征标相同，但各个对称操作的操作效果却不同。

接下来的做法是：从3个p 轨道φ1、φ2、φ3的集合中任意取1个，例如φ1，将第j 个不可约表示的投影算符作用于它，就会得出属于这个不可约表示的对称性匹配分子轨道（SALC ）的基本形式，然后加以归一化即可。

杂化轨道理论介绍课件
演讲人
01.
02.
03.
04.
目录
杂化轨道理论基础
杂化轨道理论的应用
杂化轨道理论的局限性
杂化轨道理论的发展
杂化轨道理论基础
杂化轨道的概念
01
杂化轨道是原子中电子所处的能量和空间分布状态
02
杂化轨道的形成是由于原子中电子的相互作用和能量最低原理
03
杂化轨道可以描述原子中电子的成键行为和化学性质
指导合成路线设计
预测反应产物：根据杂化轨道理论，预测化学反应的产物和反应机理
优化反应条件：通过杂化轨道理论，优化反应条件，提高反应效率和产率
设计新型催化剂：利用杂化轨道理论，设计新型催化剂，提高催化性能
指导药物设计：根据杂化轨道理论，设计新型药物分子，提高药物疗效和降低副作用
杂化轨道理论的局限性
杂化轨道理论可以解释分子的化学性质
杂化轨道理论可以解释分子的物理性质
杂化轨道理论可以解释分子的几何构型
02
03
04
01
预测化学反应
3
2
4
1
杂化轨道理论可以预测化学反应的产物和反应速率
杂化轨道理论在药物设计和合成中有广泛的应用
利用杂化轨道理论可以预测化学反应的机理和途径
杂化轨道理论可以帮助我们理解化学反应的立体化学性质
sp3d2杂化：由一个s轨道和三个p轨道和两个d轨道组合而成，形成六个能量相同的杂化轨道
杂化轨道的稳定性
杂化轨道的形成：原子轨道的线性组合
杂化轨道的稳定性：能量较低，稳定性较高
杂化轨道的种类：sp、sp2、sp3等
杂化轨道的应用：解释分子结构和化学键的形成
杂化轨道理论的应用

数。
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杂化轨道与分子构型的关系
杂化轨道理论是解释分子构型的重要理论之一，通过杂化轨道可以预测和解释分子 的空间构型。
杂化轨道的形成是由于原子轨道的线性组合，形成能量相等的杂化轨道，以满足分 子成键的需要。
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不同的杂化轨道类型对应不同的分子构型，如sp3杂化对应四面体构型，sp2杂化对 应平面三角形构型等。
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02
03
原子轨道由三个量子数确定 ：主量子数n、角量子数l和磁
量子数m。
不同能级的原子轨道具有不 同的形状和大小，如s、p、d
、f等轨道。
7
杂化轨道的形成与类型
杂化轨道是由不同能 级的原子轨道混合而 成的新的原子轨道。
常见的杂化类型有sp 、sp2、sp3等，分 别对应不同的分子构 型和化学键类型。
能等性质。
01
02
03
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05
03
分子构型与杂化轨道
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分子构型的概念
分子构型是指分子中原子在空间 的排列方式，包括原子的相对位
置和键角等。
分子构型决定了分子的物理和化 学性质，如极性、键能、反应活
性等。
分子构型的描述通常包括分子的 形状、键长、键角和二面角等参
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24
对杂化轨道理论的展望
拓展杂化轨道理论的应用 范围
通过引入更精确的量子化学计 算方法，将杂化轨道理论应用 于更广泛的化学体系，包括复 杂有机分子、金属有机化合物 等。
深入研究杂化轨道的本质
进一步探讨杂化轨道的物理意 义和本质，如电子云的分布、 原子间的相互作用等，以更深 入地理解分子的结构和性质。

(n-1)CФ→（n-1）/2
论上存在的非晶点群在碳纳米管中找到了对应物。
三、碳纳米管的几何结构
Ch=na1+ma2 (n,m)称为碳纳米管的指数 为了避免重复，只考虑螺旋角在0-30°范围内的 指数（n,m），因此有m≤n。
根据卷曲的角度不同，碳纳米管可以分为三类： • 椅型：碳纳米管的指数（n,n），即螺旋角Ф=0° • 齿型：（n,0），Ф=30° • 螺旋型：处于齿型和椅型之间的，Ф介于 0 °-30 °
讨论有限分子的对称性，考虑ⅰ旋转、ⅱ反映、 从理论上定性推断组成杂化轨道的原子轨道；
归纳：齿型碳纳米管（n,0）的中垂截面为一个正n边形，其拥有一个n次对称轴，再加上σh和nC2，其对称性所属的群为Dnh点群。 Ch=na1+ma2
ⅲ反演、ⅳ旋转-反映、ⅴ恒等操作共5种类型 20个对称元正好构成了D5h点群。
群论是数学的一个分支，然而，把它的基本理论和方法跟物质结构的对称性结合起来，就能成为研究化学的一种有利工具
所对应的一系列新奇的点群仍然是有意义的。 碳纳米管的发现已经有一二十年的时间，其许多方面的性质已经得到很好的研究，但是对碳纳米管中的对称性的提炼和分析还不够清
晰和彻底，也没有将其对称性中的最精髓之处加以强调，所以讨论碳纳米管中的群论以及由碳纳米管对称性所对应的一系列新奇的点 群仍然是有意义的。
群论在化学中的应用张燕燕
群论是数学的一个分支，然而，把它的基本理论和 方法跟物质结构的对称性结合起来，就能成为研究 化学的一种有利工具
群论在化学中应用是多方面的：
1. 从对称性的角度，能简便系统的描述分子 的立体构型及分子轨道，并对它们进行分 类；
2. 从理论上定性推断组成杂化轨道的原子轨 道；
3. 预示电子能态在不同晶体场中的分裂情况， 它们之间的可能发用群论的方法处理任何具有一定对称性的分子， 便可判断它们的简正振动在红外或Raman光谱 中的活性，预言可能出现的谱带数目，从而通

s
s H H C=C H 平面三角形 H H H C—C C 轨道夹角1200 C H H s C–C 键 sp2–sp2
链接6-3 链接6-4 SP2和PZ的垂直关系 SP2和PZ的垂直关系 链接6-5 乙烯模型-1 链接6-6 乙烯模型-2
五、乙炔的结构
CH CH H-C C-H 。 实验数据：直线型分子 H-C-H键角180
问题1：有机结构理论主要讲述哪些内容？ (1) 问题 4有机物结构基础 ：有机物立体结构主要学习哪些内容？
(2)有机物的立体结构 (1)有机物的立体结构包括：构型和构象。构型异 问题 2：结构基础讲述哪些理论？说明什么问题？ 构包括：顺反异构和对映异构。 结构基础主要讲述：杂化轨道理论、分子轨道 (2)顺反异构和对映异构：主要掌握造成异构的原因、正 理论、共振论等。可用以解释说明有机物的价键是 确的书写表达、系统命名规则； 怎样形成的。如：甲烷为什么是正四面体结构？烯 构象：主要掌握各种构象式稳定性的差异和表达方式。 烃为什么比烷烃活泼？根据苯的分子组成，怎样解 释其稳定性？……
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CH2 CH2
九、乙醛的结构
H C CH3
.. O
乙醛分子的结构
练习：根据模型写出对应有机物的构造式
1、 H 2、 C O
3、
O
4、
O
5、
Cl
6、
7、
H 8、 C
9、
H C Cl
小结
杂化轨道理论，是对电子配对法的补充和 完善，是有机价键结构的基础。据此可以很好 地解释说明有机分子的形成（分子结构）。 (1)杂化轨道的形状不同于原轨道 (2)杂化轨道的数量和原轨道总数相等 (3)几个相同杂化轨道具有相同的能量状态 (4)杂化轨道的空间形状，是由于电子云之 间的相互斥力达到平衡时，而形成的最稳 定状态。

1-2 群论在化学中的应用举例
应用举例 一. 分子的对称性与偶极矩 二. 分子的对称性与旋光性
三. ABn型分子s杂化轨道的组成
四 . AHn型分子的定性分子轨道能级图 n=2~6 五. 群论在振动光谱中的应用
1
第一 章 分子的对称性
一、分子的对称性和偶极矩
偶极矩的概念: q—正、负电荷重心电量；
(3) cannot have a permanent dipole perpendicular to any axis of symmetry.
➢ 判据：若分子中有对称中心或有两个对称元素相交于一点, 则分 子不存在偶极矩。只有属于Cn和Cnv点群的分子才有偶极矩。
3
Exercises: Which of the following molecules are polar?
4
第一章 分子的对称性
二、分子的对称性和旋光性 旋光性的判据: 凡是具有 ， 和 对称元素（第二类对称 元素）的分子，无旋光性。
具有旋光性对称类型的点群：
5
2. Molecular chirality (分子手性)
A chiral molecule (手性分子) is a molecule that is distinguished from its mirror image in the same way that left and right hands are distinguishable
一个体系的物理量在该体系所属的点群的对称操作作用 下发生变换，如果变换的性质可以用一套数字来表示，这种 表示就称作为特征标表示，其中的每个数字称作特征标。
如果这套数字还可以进一步约化（分解），就称为可约 表示；否则就称为不可约表示。

[思考]气态BeCl2分子是直线形，Cl原子位于Be原子的两侧， BeCl2分子 中键角为180o 。杂化轨道理论如何解释？
基态 ↑↓
2p 2s
激发
σ
σ
氯原子的3p轨道
激发态 ↑
2s
↑
2p
杂化
sp杂化轨道 ↑ ↑
未杂化轨道
（3） sp杂化轨道——BeCl2分子的形成
z
z
180°
z
z
y
y
y
y
x
x
x
杂化改变了原子轨道的 形状、方向。杂化使原
子的成键能力增加。
重叠程度 增大
2、杂化轨道的形成及其特点
价 层 激发 电 子
杂
空
轨道重新组合 化
轨
轨
道
能量相 近、类
道
成对电子 中的一个
与激发电 子邻近
型不同 的原子
轨道
轨道总数不变，角度和 形状发生变化，成键时释放 能量较多，轨道重叠程度增 大，生成的分子更稳定。
2、根据价层电子对互斥模型及原子杂化轨道理论判断NF3分子
的空间结构和中心原子的杂化方式为( D )
A.直线形 sp杂化 B.平面三角形 sp2杂化 C.三角锥形 sp2杂化 D.三角锥形 sp3杂化
3、在乙烯(CH2＝CH2)分子中有5个σ键、一个π键，它们分别是（ A ）
A．sp2杂化轨道形成σ键、未杂化的2p轨道形成π键 B．sp2杂化轨道形成π键、未杂化的2p轨道形成σ键 C．C—H之间是sp2形成的σ键，C—C之间是未参加杂化的2p轨道形成的 π键 D．C—C之间是sp2形成的σ键，C—H之间是未参加杂化的2p轨道形成的 π键
中心原子 的杂化轨

一、分子的对称性和偶极矩
偶极矩的概念:
q
r
q—正、负电荷重心电量；
r—正、负电荷重心的间距。
单位：C m , D(德拜) 1D=3.336×10-30C·m
当正、负电荷中心重合时， =0，为非极性分子。
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第二页，编辑于星期二：十点 二十七分。
Symmetry consideration: a molecule
(3) 3dyz (S)的对称性与2py (S)相同。
具有不同对称性质的物理量， 对应不同的特征标表示
具有相同对称性质的物理量，
对应一套相同的特征标表示
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第十九页，编辑于星期二：十点 二十七分。
3-3由对称性匹配轨道构成分子轨道
➢ 分子轨道是由相同类型的原子轨道对称
c. 一维不可约表示A或B 对垂直于主轴的 C2 (或v) 是 对称的——下标：1 对垂直于主轴的 C2 (或v) 是反对称 的——下标：2
A1: 全对称表示或恒等表示
对 i 是 对称的—— 下标：g (gerade)
对 i 是 反对称 的—— 下标：u (ungerade)
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பைடு நூலகம்
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第十二页，编辑于星期二：十点 二十七分。
B. 表示的基(变换的基)
波函数 作为不可约表示的基时:
一维不可约表示A或B：对应单重态
k 维不可约表示：对应 k 重简并态 例：C3v点群中
（x,y）意味着： px 和py 是一对简并轨道
px，py 构成 E 表示的一个基 或： px，py 像 E 那样变换 或： px，py 按照 E 变换

杂化轨道理论完整课件一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版初中化学九年级上册第四章第二节“杂化轨道理论”。

该章节主要介绍了杂化轨道的概念、杂化轨道的类型以及杂化轨道的应用。

具体内容包括：1. 杂化轨道的定义：原子内部的电子云在空间中的重新分布，形成了一组新的等价的轨道。

2. 杂化轨道的类型：sp、sp²、sp³、sp³d、sp³d²等。

3. 杂化轨道的应用：解释分子的几何构型、键角、键长等性质。

二、教学目标1. 学生能够理解杂化轨道的概念，掌握不同类型的杂化轨道及其应用。

2. 学生能够运用杂化轨道理论解释实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够通过本节课的学习，培养自己的抽象思维和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：杂化轨道的类型及其应用。

2. 教学重点：杂化轨道的概念，杂化轨道与分子几何构型的关系。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、笔记本、彩色笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些分子的结构模型，让学生观察并猜测分子的几何构型。

2. 概念讲解：介绍杂化轨道的定义，解释不同类型的杂化轨道及其形成原因。

3. 例题讲解：以甲烷、氨气、水分子为例，讲解杂化轨道的应用。

4. 随堂练习：让学生根据杂化轨道理论，分析二氧化碳、一氧化碳、硫化氢等分子的几何构型。

6. 板书设计：列出杂化轨道的类型及其应用。

7. 作业设计答案1：甲烷为正四面体，氨气为三角锥，水为V形，二氧化碳为直线形，一氧化碳为线性，硫化氢为V形。

题目2：根据杂化轨道理论，解释为什么甲烷的键角为109°28'。

答案2：甲烷分子中，碳原子的四个sp³杂化轨道分别与四个氢原子的1s轨道形成σ键，由于四个sp³杂化轨道的电子云相互排斥，使得键角趋于109°28'。

六、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入，让学生直观地了解了杂化轨道的概念和应用。

Г振动＝2A1 +
B2
3.简正振动的红外光谱和Ranman光谱活性 • （1）红外光谱
• 只有哪些使分子偶极矩发生变化的振动，才能产生 红外吸收，从而产生跃迁。即具有红外活性。 • 分子偶极矩是矢量，可以用（x，y，z）表示。
用群论判断振动红外活性的判据：
若分子简正振动模式中有与x、y、z中任何一个或 几个为基函数的不可约表示，则为红外活性。 或：只有不可约表示中含有x、y、z基函数的振动 在红外光谱中才能出现吸收带。
（2）.分子振动的Ranman光谱
• Ranman光谱：只有哪些使分子极化率发生变
化的振动，才能产生Ranman吸收，从而产生跃 迁。即具有Ranman活性。分子极化率与xy、yz、 xz、x2、y2、x2－y2等二次函数有关。
用群论判断振动Ranman活性的判据：
若分子简正振动模式中有与xy、yz、xz、x2、y2、 x2－y2等二次函数中任何一个或几个为基函数的不可约 表示，则为Ranman活性。 或：只有不可约表示中含有xy等二次基函数的振动 在Ranman光谱中才能出现吸收带。
约化结果
即：Г＝A1′
+
E′
对应基函数为与轨道：
A1′：x2+y2，z2； E′: (x，y)， (x2-y2，xy)
s轨道 px，py d轨道
（4）轨道组合类型
• 由于分子类具有三个化学键，故每次取三个轨道 组合。
sp2杂化 pd2杂化 sd2杂化 spd杂化 p2d杂化
（5）合理组合
由于中心B原子的价层没有d轨道，故组合 中合理的杂化类型为： sp2杂化
（c）.利用约化公式将可约表示约化为不可约 表示。
（d）.在获得的不可表示中减去平动和转动对 应的不可以表示，即获得振动对应的不可约表 示。 （e）.根据振动不可约表示的基函数形式判断 分子振动的IR与Raman性质。

3
3 －1
1
1
9 －1
1
3
SO2属于C2v点群
利用约化公式可约为：
Г所有运动＝3A1 + A2 + 2B1 + 3B2
分子振动不可约表示确定
• 对应特征标表
不可约表示
A1 A2 B1 B2
基函数 z，x2，y2，z2
Rx，xy x，Ry，xz y，Rz，yz
Г振动＝Г所有－Г平动－Г转动
Г平动对应于基函数为（x，y，z）的不可约表示； Г转动对应于基函数为（Rx，Ry，Rz）的不可约表示；
则为红外活性。 或：只有不可约表示中含有x、y、z基函数的振动在红外光谱中才能出现吸收
带。
（2）.分子振动的Ranman光谱
Ranman光谱：只有哪些 使分子极化率发生变化的 振动，才能产生Ranman 吸收，从而产生跃迁。即 具有Ranman活性。分子 极化率与xy、yz、xz、 x2、y2、x2－y2等二次
2.实例：利用群论判断SF4分子结构。
一．SF4可能结构与所属点群为：
D4h
Td
C3v
C2v
（2）.分析可能结构的IR及Raman活性 • 方法与分子振动分析相同。
Td点群结构：Г振动＝A1 + E + 2T2 C3V点群结构：Г振动＝3A1 + 3 E C2V点群结构：Г振动＝4A1 + A2 + 2B1 + 2B2
提供快速、简单、可重复、且更重要的是无损伤的定性定量分析，它无需样品准备， 样品可直接通过光纤探头或者通过玻璃、石英、和光纤测量。 水的拉曼散射很微弱，拉曼光谱是研究水溶液中的生物样品和化学化合物的理想工具。 拉曼一次可以同时覆盖50-4000波数的区间，可对有机物及无机物进行分析。若用红 外光谱覆盖相同的区间则必须改变光栅、光束分离器、滤波器和检测器。 拉曼光谱谱峰清晰尖锐，更适合定量研究、数据库搜索、以及运用差异分析进行定性 研究。在化学结构分析中，独立的拉曼区间的强度可以和功能集团的数量相关。 激光束的直径在它的聚焦部位通常很小，只需要少量的样品就可以得到。 共振拉曼效应可以用来有选择性地增强大生物分子特个发色基团的振动，这些发色基 团的拉曼光强能被选择性地增强1000到10000倍。

群论中的群作用与轨道群论作为数学中的一个重要分支，研究的是群的性质和结构。

群作用与轨道是群论中的基本概念，它们在群论的研究中起着重要的作用。

一、群作用的定义与性质群作用是指一个群G对一个集合X的元素进行的一种操作。

具体而言，对于群G的一个元素g和集合X的一个元素x，群作用可表示为gx。

该操作满足以下几个性质：1. 对于群G的任意元素g1和g2，以及集合X的任意元素x，(g1g2)x = g1(g2x)，即群元素和操作的顺序可以交换；2. 对于群G的单位元素e和集合X的任意元素x，ex = x，即单位元素不改变集合中的元素；3. 对于群G的任意元素g和集合X的任意元素x，g(x) = x'，其中x'仍然属于集合X，即群作用后的结果仍然属于原集合。

二、轨道的定义与性质在群作用中，将集合X的元素x通过群作用得到的所有结果所组成的集合称为轨道，记作Gx。

轨道是X中元素在群作用下的所有可能位置的集合。

对于群G的一个元素g和集合X的一个元素x，其轨道可以表示为Gx = {gx | g ∈ G}。

轨道具有以下几个性质：1. 对于集合X的任意两个元素x1和x2，它们在群作用下无法互相转化，则它们的轨道不相交。

即若Gx1 ∩ Gx2 ≠ ∅，则x1 = x2；2. 轨道的元素个数等于群G的元素数除以轨道的平均长度；3. 对于轨道Gx中的任意两个元素gx1和gx2，在群作用下它们可互相转化。

即存在群G的元素g，使得g(gx1) = gx2。

三、群作用与轨道的应用群作用与轨道的概念在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。

1. 在代数几何中，群作用与轨道的概念有助于研究多项式方程组的解集合；2. 在数论中，群作用与轨道的研究为解决数论问题提供了有力的工具；3. 在物理学中，群作用与轨道的应用可以帮助理解粒子在对称性下的运动规律。

总之，群作用与轨道是群论中的重要概念，通过群作用，可以将集合中的元素转化为其他位置上的元素，而轨道则是所有可能位置的集合。

180°
z
zz
z
z
y
y
y
yxx源自xxsp杂化
Be原子：1s22s2 2s
没有单个电子，
2p
2p
激发 2s
sp sp杂化
Cl
Be
Cl
180°
sp
px
px
Cl
Cl
中心原子杂化轨道数的确定方法（1）
中心原子孤电子对数＋中心原子结合的原子数 =中心原子的价层电子对数 代表物 杂化轨道数 杂化轨道类型 VSEPR模型名称 分子的立体构型
;
(3)CCl4分子中的C为
杂化,分子的结构式为
,
空间结构为
;
(4)H2S分子中的S为
杂化,分子的结构式为
,
空间结构为
。
氮原子的3个sp3杂化轨道与3个氢原子的1s原子轨道重叠 形成3个N-Hσ键，1个sp3杂化轨道中占有孤电子对。 氧原子的2个sp3杂化轨道与2个氢原子的1s原子轨道重叠 形成2个N-Hσ键，2个sp3杂化轨道中占有孤电子对。
sp2杂化
一个s轨道与两个p轨道杂化，得三个sp2杂化轨道，三个杂化 轨道在空间分布是在同一平面上，呈平面三角形。 sp2杂化后，未参与杂化的一个np轨道可以用于形成π键，如 乙烯分子碳碳双键的形成。
B.氮原子与碳原子分别为 杂化与 杂化
C.
分子中所含 键为 10mol
D.编号为 a 的氮原子和与其成键的另外三个原子在同一面内
学以致用
3.指出下列原子的杂化轨道类型、分子的结构式及空间结构。
(1)CS2分子中的C为
杂化,分子的结构式为
,
空间结构为
;
(2)CH2O中的C为

群论是一门数学分支，研究集合上的代数结构，其中最重要的概念之一就是群作用。

群作用是指群在集合上的一种运算，通过这种运算可以定义群在集合上的一种对称性。

而轨道则是群作用下的一个基本概念，它描述了集合元素在群作用下的运动路径。

首先，我们来定义什么是群作用。

设G是一个群，X是一个集合。

称G在X上的一个群作用是一个映射f: G × X → X，使得对于任意的元素x∈X和g,h∈G，有：1.f(e,x) = x，其中e是G的单位元。

2.f(g,f(h,x)) = f(gh,x)，即群元素按照G的乘法运算进行组合。

简单来说，群作用就是群在集合上的一种运算，通过这种运算可以定义群在集合上的一种对称性。

在群作用下，集合中的每个元素都会发生某种变化，而这种变化是由群元素对集合元素进行作用而引起的。

而轨道则是群作用下的一个基本概念。

给定一个群G和一个集合X，G在X上的群作用可以将X中的一个元素x通过群元素g映射到一个新的元素f(g,x)，其中f是群作用的映射。

然后可以通过作用不同的群元素，得到原始元素x可能经过的所有变化，这些变化形成了一个轨道。

轨道的定义可以进一步扩展到群作用的不同子集。

如果A是X的一个子集，那么A在群作用下可能也会发生变化，变化后的集合称为子集A的轨道。

群作用与轨道在数学中有广泛的应用。

它们可以用来研究对称性、代数结构以及各种领域中的问题。

例如，在几何学中，群的变换可以用来描述对称性操作，而轨道可以用来描述几何图形在对称操作下的所有可能位置。

另外，群作用与轨道也在计算机科学中有很多应用。

例如，在图论中，可以将图的自同构变换看作是群在图上的一个作用，而每个图的自同构类则对应着一个轨道。

这样一来，可以用群论的方法来研究图的结构和性质。

总之，群作用与轨道是群论中的重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

通过群的作用，可以定义集合的对称性，并研究集合元素在群作用下的变化。

而通过轨道的定义，可以描述集合元素可能经过的所有变化。

用群论方法讨论轨道杂化理论
史根生;贾忠明
【期刊名称】《长治学院学报》
【年(卷),期】2004(021)002
【摘要】用群论方法讨论了轨道杂化理论,以确定哪些原子轨道的线性组合可得出对称性正确的杂化轨道,每个原子轨道对每个杂化轨道有多少贡献.
【总页数】3页(P18-20)
【作者】史根生;贾忠明
【作者单位】晋东南师专生化系,山西长治 046011;晋东南师专生化系,山西长治046011
【正文语种】中文
【中图分类】O641.1
【相关文献】
1.试论价层轨道的杂化——兼论杂化轨道理论与价层电子对互斥理论的统一 [J], 邓玉良
2.σ杂化轨道与群论初步 [J], 游东宏;
3.利用价电子对互斥理论和群论方法讨论Q轨道的杂化 [J], 蔡铁军
4.杂化轨道组成的群论方法求出 [J], 吴刚
5.原子轨道杂化的群论处理 [J], 李玉玲;钟黎;刘雪;骆定法
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