第四节 概率与统计的综合问题

第四节概率与统计的综合问题考点一概率与统计图表的综合问题[典例] 学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．[解题技法]破解概率与统计图表综合问题的3步骤[对点训练]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．考点二概率与随机抽样的综合问题[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：数学人数优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值．(3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54[解题技法]破解概率与随机抽样综合问题的3步骤[对点训练]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：价格分组(单位：[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]百元)频数(单位：部)510201525(1)[20,25)内的有几部(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．考点三概率与数字特征的综合问题[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．[解题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．[对点训练](2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．考点四概率与统计案例的综合问题[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：全程观看部分观看没有观看男生18x2女生106y(1)①求出表中x，y②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的概率；(2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.男生女生总计全程观看非全程观看总计附：K2＝n ad－a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)k0[解题技法]解决概率与统计案例综合问题的4步骤[对点训练]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x /℃1011131286就诊人数y /个222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，112＋132＋122＋82＝498.。

统计与概率的综合问题1.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11．5 13．1 14．5 11.7 14.3乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]11,15（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．2. 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中 抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样 本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直 方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．3.为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥ 时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出取上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．4.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，……，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（2）设,m n 表示某两个地区的零售价格，且已知,[13,14)[17,18]m n ∈U ，求事件“1m n ->”的概率.6.在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D的考生恰有4人．（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数；（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．7.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．成绩分组频数频率（160，165] 5 0.05（165，170] ①0.35（170，175] 30 ②（175，180] 20 0.20（180，185] 10 0.10合计100 1（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？8.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．9.春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．试卷答案1.（1）茎叶图见解析，乙较稳定；（2）“至少有一个”问题可从反面入手，没有一个比12.8秒差，利用相互独立事件同时发生的概率可求得；（3）甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，按题意1115,1115x y ≤≤≤≤，而要求的是0.8x y -<，作出图形，由几何概型概率公式计算可得．（3）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则0.8,0.80.8x y x y x -<-+<<+，如图阴影部分面积即为44 3.2 3.2 5.76⨯-⨯=……………………………………………………10分所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为 5.760.3616p ==…………12分 考点：茎叶图，相互独立事件同时发生的概率，几何概型．2.（Ⅰ）50，0.004，0.030；（Ⅱ）10P 21=.考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【易错点睛】本题主要考查了频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率. (1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．3.（1）35；（2）14；（3）7 10．试题解析：（1）乙厂该天生产的产品总数为1453598÷=．22（3）设从乙厂抽出的5件产品分别为,B,C,D,E A 从中随机抽取2件，则有：()()()()()()()()()(),,,,,,,E ,,,,,,,,,,,,A B A C A D A B C B D B E C D C E D E 共10个基本事件， 其中2件产品中优等品数至少有1件的基本事件有7个，则所求概率710P =． 考点：1、随机抽样；2、列举法计算基本事件数及事件发生的概率．4.(1) 15.7x ≈；(2)47（2）由直方图知，价格在[13,14)的地区数为500.063⨯=，记为,,x y z ；价格在[17,18)的地区数为500.084⨯=，记为,,,A B C D ，若,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；若,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况；若,m n 分别在[13,14)和[17,18)内时，共有12种情况. A B C D x xA xB xCxD yyA yB yC yD z zA zB zC zD所以基本事件总数为21种，事件“1m n ->”所包含的基本事件个数有12种.124(1)217P m n ->== 考点：古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．【易错点睛】古典概型求解三注意解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．(3)利用事件间的关系在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A )求得．5.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由频率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率．【解答】解：（1）由频率=，得到，∴，故a=18，而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，∴b=12．…（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．（a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组，其中a＞b+2的共8 组，故所求概率为：．…6.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意，求出考生人数，计算考生“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数即可．（2）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．（1）“考生中“科目一”科目中D等级学生所占的频率为1﹣0.2﹣0.375﹣0.25﹣0.075=0.1，【解答】解：因为“科目一”科目中成绩为D的考生有4人，所以该考场共有4÷0.1=40（人）．所以该考场学生中“科目一”科目成绩等级为A的人数为40×0.075=3人，所以该考场学生中“科目二”科目成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40（2）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，则P（M）=．7.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）由频率=可求其数据，频率分布直方图时注意纵轴；（2）用分层抽样的方法获取样本中的比例；（3）用古典概型求概率．【解答】解：（1）①位置上的数据为=35，②位置上的数据为=0.3；频率分布直方图如右图：（2）6×≈2.47，6×≈2.11，6×≈1.41．故第3、4、5组每组各抽取3，2，1名学生进入第二轮面试．（3）其概率模型为古典概型，设第3、4、5组抽取的学生分别为：a，b，c，1，2，m．则其所有的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，m），（b，c），（b，1），（b，2），（b，m），（c，1），（c，2），（c，m），（1，2），（1，m），（2，m）．共有15个，符合条件的有9个；故概率为=0.6．8.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，基本事件总数n==12，所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，∴所求概率为p=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．9.【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出不小于3的频率是多少即可；（2）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，记为1、2、3、4、甲、乙；现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；∴对应的概率为P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．10.（Ⅰ）从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. （ 1分）A校样本的平均成绩为465156217128393660Ax⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），（ 2分）A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦L （ 3分） 从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），（4分） B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦L （ 5分） 因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同；又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好. （ 6分）(Ⅱ) 依题意，A 校成绩为7分的学生应抽取的人数为：61241233⨯=++人，设为,,,a b c d ； 成绩为8分的学生应抽取的人数为：6311233⨯=++人，设为e ； 成绩为9分的学生应抽取的人数为：6311233⨯=++人，设为f ； （ 7分） 所以，所有基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 共15个， （ 9分） 其中，满足条件的基本事件有：,,,,,,,,ae af be bf ce cf de df ef 共9个， （ 11分） 所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15的概率为93155P ==。

初中数学复习如何解决概率和统计的综合问题概率和统计作为初中数学的重要内容，经常出现在各类数学考试中。

对于学生来说，如何解决概率和统计的综合问题是一个需要认真思考和准备的话题。

本文将介绍一些方法和技巧，帮助学生更好地进行初中数学复习，并解决概率和统计的综合问题。

1. 理解概率和统计的基本概念在解决概率和统计的综合问题之前，首先要确保自己对概率和统计的基本概念有清晰的理解。

概率是指事件发生的可能性大小，统计是指根据收集到的数据进行分析和总结的方法。

熟悉并理解这些概念对于解决综合问题至关重要。

2. 掌握基本的计算方法和技巧解决概率和统计的综合问题需要掌握一些基本的计算方法和技巧。

例如，计算概率时可以使用加法原理和乘法原理，计算统计时可以使用平均数、中位数和众数等统计指标。

熟练掌握这些方法和技巧可以帮助学生更快更准确地解答问题。

3. 制定合理的解题策略在解决概率和统计的综合问题时，制定合理的解题策略非常重要。

可以根据问题的要求和给定的条件，确定解题的步骤和思路。

有些问题需要先进行概率计算，有些问题需要先进行统计分析，学生应根据不同情况灵活运用各种解题策略。

4. 多做习题和实践题掌握概率和统计的综合问题解题技巧需要多做习题和实践题。

通过做题可以巩固知识，提高解题能力。

可以选择一些经典的习题和实践题进行练习，理解题目的难点和解题思路，并学会运用不同的解题方法。

5. 注重思维的培养和拓展解决概率和统计的综合问题需要运用灵活的思维和创造性的方法。

学生可以通过做一些拓展思考题来培养思维能力。

例如，可以尝试对已有的条件进行变化和推理，找出不同的解题路径。

通过思维的培养和拓展，学生可以更好地解决复杂的问题。

6. 寻求帮助和参考优秀学习资源如果遇到难以解答的概率和统计的综合问题，可以寻求老师或同学的帮助。

老师可以给予适当的指导和解答，同学之间也可以相互讨论和学习。

此外，也可以参考一些优秀的学习资源，如数学参考书、学习网站和视频教程等，这些资源可以为学生提供更多的知识和解题技巧。

概率与统计的综合练习概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

通过对随机事件和数据的研究，可以对人们日常生活中的现象和问题进行分析和解决。

本文将为大家提供一些概率与统计的综合练习，帮助读者理解并应用这些知识。

一、随机事件概率计算1.某公交车站点等车的人数在每天的早上7点到8点钟之间服从均匀分布，且平均每分钟有2人进站等车。

求在7:05~7:30之间进站等车的人数期望值和方差。

解析：题目给出了每分钟进站等车的平均人数，而我们需要计算在指定的时间段内实际进站等车的人数的期望值和方差。

可以利用均匀分布的性质进行计算。

在7:05~7:30这段时间内，总共经过的分钟数为(30-5)=25分钟。

因此，在这段时间内进站等车的人数的期望值为25 × 2 = 50人。

根据均匀分布的方差公式 Var(X) = ((b-a)^2) / 12，其中a、b分别为该随机变量的最小值和最大值，我们可以计算出进站等车的人数的方差为 ((25-5)^2) / 12 = 20.83。

2.一家超市每周二下午4点至5点发生顾客盗窃事件的概率为0.05。

某周四下午参观者发现该超市发生了盗窃，求该盗窃事件为周二发生的概率。

解析：根据题目给出的信息，我们需要求解在发生盗窃事件的条件下，该事件为周二发生的概率。

可以利用贝叶斯定理进行计算。

设事件A为该盗窃事件为周二发生，事件B为发生盗窃事件。

根据贝叶斯定理，我们有 P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)。

已知 P(B|A) = 0.05，P(A) = 1/7（因为一周中有7天，每天发生盗窃事件的概率相等），需要计算 P(B)。

由全概率公式可知，P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|A') × P(A')，其中 A'表示事件A的对立事件，即该盗窃事件不是周二发生。

根据题目的条件可知，P(B|A') = (1-0.05) = 0.95，P(A') = 6/7。

概率与统计的综合运用方法总结（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为称1122()n n E X x p x p x p =+++ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称()21()()ni i i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值()E X 的偏离程度，其算术平方根X 的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)i p i n = ；②121n p p p +++= ．（2）均值与方差的性质若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且2()();()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=（3）分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布；②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题【核心考点】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望．【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，甲队比赛3场获胜的概率为P =0.50.50.50.125⨯⨯=；（2）X 所以可能取得值为0,200,400,600,800；()3500.50.12P X ===，()31213200C 0.50.500..540.5600.07.5P X ==⨯=⨯⨯=⨯，()()11233332400C 0.50.60.50.40.55C 0.50.40.5 2.1050.50.262.P X ==⨯+⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯，()()31323333 6000.5C 0.50.60.5C 0.50.60.50.40.5 3.40.50.425P X ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=，()2333800C 0.50.605.50.900.112.5P X ===⨯⨯=⨯．即X 0200400600800P0．1250．0750．26250．4250．1125所以()00.1252000.0754000.26256000.4258000.1125465E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．（1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P ；（2）设甲教师参加测试的次数为m ，乙教师参加测试的次数为n ，求m n ξ=+的分布列．【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为14．（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=，11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：ξ23456P1635144581441396596例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球2个白球；B ：3个白球；C ：恰有1个黄球；D ：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．（1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解析】（1）由题意可得：()()23331010C 3111,C 12040C 120P A P B =====，()1264310C C 363=C 12010P C ==，2()1()()()3P D P A P B P C =---=所以中一等奖的概率为1120，二等奖的概率为140，三等奖的概率为310（2）记事件E 为顾客摸出的第一个球是白球，事件F 为顾客获得二等奖，则()111229C C 1C 18P FE ==∣．（3）由（1）知一名顾客中奖的概率为113112040103P =++=．由题意可得，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以()()5512C 1,2,3,4,533i ii P X i i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则分布列为X012345P32243802438024340243102431243()15533E X =⨯=核心考点二：超几何分布与二项分布【规律方法】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．一般地，在含有M 件产品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为()P X k ==1(0,1,2,,)k n M N MnNC C k m C --= ，其中min{,}m M n =，且*,,,,n N M N n M N N ∈ ，称为超几何分布列．一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为P ，则(P X =)(1),0,1,2,,k kn k n k C p p k n -=-= ．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率．此时有,(1)EX np DX np p ==-．【典型例题】例4．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[]50,60(]60,70(]70,80(]80,90(]90,100频率0．10．10．30．30．2（1）如果规定竞赛得分在(]80,90为“良好”，竞赛得分在(]90,100为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？（2）在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；（3）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．【解析】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为101505=，所以成绩为“良好”的抽取11000.365⨯⨯=人，成绩为“优秀”的抽取11000.245⨯⨯=人．（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率33424646610C C +C C 19C 42P ==．（3）由题意知，X 的可能取值0，1，2，3．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为12011005P ==，竞赛得分不是“优秀”的概率为21141155P P =-=-=．若以频率估计概率，则X 服从二项分布13,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03314640C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()121314481C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()212314122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3331413C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故X 的分布列为X123P6412548125121251125数学期望()13355E X =⨯=．例5．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入m 号球槽得到的奖金为X （元），其中16040X m =-．（ⅰ）求一次抽奖的奖金X （元）的分布列及数学期望()E X ；（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为Y （元），求()E Y ．【解析】（1）记事件A ：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．所以()1516113C 2232P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）（i ）记随机变量M ：小球掉入m 号球槽，则M 的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7．由题意可得()()661117C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()()6161626C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()()62611535C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()6361204C 264P M ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；所以M 的分布列为：M 1234567P164664156420641564664164因为16040404X m m =-=-，所以X 的可能取值为：0，40，80，120．其中()()200464P X P M ====，()()()30403564P X P M P M ===+==，()()()12802664P X P M P M ===+==，()()()21201764P X P M P M ===+==．所以一次抽奖的奖金X （元）的分布列为：X 04080120P206430641264264所以数学期望为()20301227504080120646464642E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii ）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为2Y X =．因为()752E X =，所以()()7522752E Y E X ==⨯=．例6．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应．为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户．若抽取的5户中购买量在[3,6]（单位：kg ）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6]（单位：kg ）的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值．【解析】（1）随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．则()3335C 10C 10P ξ===，()213235C C 31C 5P ξ===，()123235C C 32C 10P ξ===，ξ012()P ξ11035310所以()336125105E ξ=⨯+⨯=．（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.50.102.50.303.50.254.50.205.50.15 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（kg ）则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[]4,6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为0.200.150.35p =+=．若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则()~10,0.35X B ，若k 户的可能性最大，则()()1010C 1kkk p P X k p -=-=，0,1,,10k =⋅⋅⋅()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩，得()()()()()()()()1011111010101911010C 0.350.65C 0.350.65C 0.350.65C 0.350.65k kk kk k k k k k k k -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即()()()71113131710k k k k ⎧-≥⎪⎨+≥-⎪⎩，解得2.85 3.85k ≤≤，由于k *∈N ，故3k =．核心考点三：概率与其它知识的交汇问题【规律方法】在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．【典型例题】例7．（2022春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；（1）设投掷2次骰子，最终得分为X ，求随机变量X 的分布与期望；（2）设最终得分为n 的概率为n P ，证明：{}1n n P P --为等比数列，并求数列{}n P 的通项公式；【解析】（1）X 的可能取值为2，3，4，()2242339P x ==⨯=，()12432339P x ==⨯⨯=，()1114339P x ==⨯=，∴X 的分布列为X234P494919数学期望()44182349993E X =⨯+⨯+⨯=．（2）由题意知()1221333n n n P P P n --=+≥，()11213n n n n P P P P ---∴-=--，212273339P =+⨯=，123P =，2119P P ∴-=，{}1n n P P -∴-是以19为首项，13-为公比的等比数列，()2111293n n n P P n --⎛⎫∴-=⨯-≥ ⎪⎝⎭，∴当2n ≥时，()()()121321n n n P P P P P P P P -=+-+-++- 2221111139333n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11121313913n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+⨯+121113123n -⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13114123n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1n =时，上式也成立，综上：13114123n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．例8．（2022春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；（III ）求n p ．【解析】（1）121110,3333p p ==⨯⨯=．（2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=；当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -；②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11221111144943n n n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21n n n k p n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．例9．（2022春·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．（1）设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．【解析】（1）剂型1α合格的概率为：343455⨯=；剂型2α合格的概率为：322535⨯=．由题意知X 的所有可能取值为0，1，2．则()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，则X 的分布列为X012P 6251325625数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=．（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为()21p p -，检测4人确定“感染高危户”的概率为()31p p -，则()()()()()2321112f p p p p p p p p =-+-=--．令1x p =-，因为01p <<，所以01x <<，原函数可化为()()()22101g x x x x =-<<．因为()()2222211144x x x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦-≤=，当且仅当221x x =-，即2x =时，等号成立．此时212p =-，所以012p =-．。

概率与统计的综合应用题概率与统计是数学中的重要学科，它们在日常生活中有广泛的应用。

本文将探讨概率与统计的综合应用，并通过一系列实例来说明其实际应用。

第一部分：概率的应用概率是用来描述事件发生可能性的数学工具。

在实际生活中，我们经常需要根据一些已知条件来计算某个事件发生的概率。

例1：某城市每天的交通事故数量服从泊松分布，平均每天发生2起。

现在我们想要计算在一周内发生至少一起交通事故的概率。

解：根据泊松分布的特性，我们可以使用概率质量函数来计算该事件的概率。

设X为一周内交通事故数量，由题意可知X服从参数为λ=2的泊松分布。

那么至少发生一起交通事故的概率可以表示为P(X ≥ 1)。

我们可以通过计算P(X = 0)来得到概率P(X ≥ 1)的补集，即1 - P(X= 0)。

根据泊松分布的概率质量函数公式，可得P(X = 0) = (e^(-λ) * λ^0) / 0! = e^(-2)因此，P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^(-2) ≈ 0.8647所以一周内发生至少一起交通事故的概率约为0.8647，即86.47%。

第二部分：统计的应用统计是用来收集、整理和分析数据的科学方法。

在实际生活中，我们可以利用统计学来揭示数据背后的规律，并作出相应的决策。

例2：某电商平台想要评估其销售额与用户年龄之间的关系。

它采集了一组数据，其中包括每位用户的年龄和他们在平台上的消费金额。

解：首先，我们需要绘制一张散点图来观察销售额与用户年龄之间的关系。

横坐标表示用户年龄，纵坐标表示销售额。

根据散点图的趋势，我们可以初步判断两者之间是否存在相关性。

接下来，我们可以计算这组数据的相关系数，以进一步评估销售额与用户年龄之间的关系。

常用的相关系数是皮尔逊相关系数，它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。

经过计算，我们得到的相关系数为0.62，这说明销售额与用户年龄之间存在一定的正相关性。

几何概率与统计的综合练习题1. 设某班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生。

如果从班级中随机抽取3名学生，问其中至少有1名男生的概率是多少？2. 一枚公正的骰子被投掷4次，每次记录骰子的点数。

求投掷的结果中至少有两次出现偶数点数的概率。

3. 一筐苹果中有10个红苹果和20个绿苹果，从筐中随机抽取3个苹果。

求至少有2个红苹果的概率。

4. 一箱中有12只白球和8只黑球。

从箱中连续不放回地抽取3只球，求所抽取的球中恰有2只白球的概率。

5. 设一批产品有30个，其中6个有瑕疵，24个无瑕疵。

从中任意抽取5个产品进行检查，求被抽到的产品中有2个瑕疵的概率。

解答：1. 首先计算没有男生的概率，即全是女生的概率：选择3名女生的概率为C(20, 3) / C(40, 3) = 1140 / 9880 ≈ 0.1153故至少有1名男生的概率为 1 - 0.1153 = 0.88472. 计算至少有两次出现偶数点数的概率：全是奇数点数的概率为(C(3, 0) × 3^4) / 6^4 = 27 / 1296 ≈ 0.0208只有一次出现偶数点数的概率为 (C(3, 1) × 3^4) / 6^4 = 243 / 1296 ≈ 0.1875故至少有两次出现偶数点数的概率为 1 - 0.0208 - 0.1875 = 0.79173. 首先计算没有红苹果的概率，即全是绿苹果的概率：选择3个绿苹果的概率为C(20, 3) / C(30, 3) ≈ 0.4531故至少有2个红苹果的概率为 1 - 0.4531 = 0.54694. 计算恰有2只白球的概率：选择2只白球和1只黑球的概率为(C(12,2) × C(8,1)) / C(20,3) ≈ 0.4348故所抽取的球中恰有2只白球的概率为 0.43485. 计算被抽到的产品中有2个瑕疵的概率：选择2个瑕疵产品和3个无瑕疵产品的概率为 (C(6,2) × C(24,3)) / C(30,5) ≈ 0.3346故被抽到的产品中有2个瑕疵的概率为 0.3346以上是几何概率与统计的综合练习题的解答。

第四节概率与统计的综合问题考点一概率与统计图表的综合问题[典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．[解](1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130,140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140,150]的有2人，分别记作m，n.从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.故选出的两人在同一组的概率P＝715.[对点训练]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.考点二 概率与随机抽样的综合问题[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值．(3)若a ≥10，b ≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 [解] (1)依题意，最先抽取到的3个人的编号依次为785,567,199. (2)由题意可得7＋9＋a100＝0.3，解得a ＝14.因为7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，所以b ＝17. (3)由题意知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，则满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14组．其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6组．故所求概率P ＝614＝37.[对点训练]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：(1)用分层抽样的方法从价格在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机中共抽取6部，其中价格在区间[20,25)内的有几部？(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．解：(1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15＝1∶2∶3，所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×36＝3(部)．(2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a ，在区间[10,15)内的有2部，分别记为b 1，b 2，在区间[20,25)内的有3部，分别记为c 1，c 2，c 3，从中任取2部，可能的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种；设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A ，则事件A 包含的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9种．故P (A )＝915＝35.考点三 概率与数字特征的综合问题[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．[解] (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x ＝0.02.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t 分，则有(t －70)×0.03＝0.1，得t ＝2203，即所求的中位数为2203分．(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在[70,80)的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[80,90)的2名学生分别为d ，e ，成绩在[90,100]的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种．其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a ，b ，c )，只有1种， 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P ＝1－120＝1920.[解题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．[对点训练](2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．解：(1)甲在比赛中得分的均值x ＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. (2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7,8,10,15,17,19. 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(7,17)，(7,19)，(8,10)，(8,15)，(8,17)，(8,19)，(10,15)，(10,17)，(10,19)，(15,17)，(15,19)，(17,19)，共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)，共6种， 所以所求概率P ＝615＝25.考点四 概率与统计案例的综合问题[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：(1)①求出表中②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的 概率；(2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)①由分层抽样知抽取的男生人数为500900×45＝25，抽取的女生人数为45－25＝20，因而x＝25－20＝5，y＝20－16＝4.②从表中数据可以得出，没有观看的同学共6人，2名男生分别记为A1，A2,4名女生分别记为B1，B2，B3，B4，则从中随机选取2人，有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共15种情况，记“男生、女生各1人”为事件M，其包含的情况有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，共8种，所求概率P(M)＝815. (2)由题意得列联表如下：K2＝45×(180－7028×20×17×25≈2.288＜2.706，因而没有90%的把握认为全程观看与性别有关．[对点训练]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092， 112＋132＋122＋82＝498.解：(1)设选到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，且每种情况都是等可能的，其中，选到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13. (2)由表中2月份至5月份的数据可得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4 x y∑i ＝14x 2i －4 x2＝187， 则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＜2； 当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＜2.所以该小组所得线性回归方程是理想的．[课时跟踪检测]1．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X＞182的概率；(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为110(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则当a＝35时，X＝140，当a＞35时，X＝35×4＋(a－35)×7，令X＝35×4＋(a－35)×7＞182，得a＞41，则a的取值为44,42，所以X＞182的概率P＝410＝2 5.(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝ 4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136,147,154,189,203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为110×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．2．(2018·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K 2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)∵K 2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n .则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．则P (A )＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.3．(2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×300300＋200＝60(名)，“25周岁以下组”应抽取工人100×200300＋200＝40(名)．(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋10×0.5－0.05－0.350.35＝70207≈73(件)．综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件． (2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3(名)，设其分别为m 1，m 2，m 3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2(名)，设其分别为n1，n2，则从中抽取2人的所有基本事件为(m1，m2)，(m1，m3)，(m1，n1)，(m1，n2)，(m2，m3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m3，n1)，(m3，n2)，(n1，n2)，共10个．记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A，事件A包含的基本事件共7个．故P(A)＝710.(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15(名)，则2×2列联表如下：K2＝60×40×30×70≈1.786＜2.706.综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．4．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数)：(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)在该商品进货量x (吨)不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3吨的概率．参考公式和数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^ x .∑i ＝18x 2i ＝356，∑i ＝18x i y i ＝241.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，得x ＝18(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，y ＝18(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，b ^＝∑i ＝18 (x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x)2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝241－8×6×4356－8×62＝4968，∴a ^＝4－4968×6＝－1134，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4968x －1134.(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的有2,3,4,5,6共有5个，任取2个有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共10种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率P ＝610＝35.。