2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书：第11章 第4节 概率与统计、统计案例的综合问题

一、知识梳理１．统计图表（１）频率分布直方图的画法步骤１求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；２决定组距与组数；３将数据分组；４列频率分布表；５画频率分布直方图．（２）频率分布折线图１频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．（３）茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．２．样本的数字特征（１）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（２）中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．（３）平均数：把错误!称为a１，a２，…，a n这n个数的平均数．（４）标准差与方差：设一组数据x１，x２，x３，…，x n的平均数为错误!，则这组数据的标准差和方差分别是s＝错误!s２＝错误![（x１—错误!）２＋（x２—错误!）２＋…＋（x n—错误!）２]常用结论１．频率分布直方图的特点（１）频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示错误!，频率＝组距×错误!.（２）在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于１，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．（３）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．２．平均数、方差的公式推广（１）若数据x１，x２，…，x n的平均数为错误!，那么mx１＋a，mx２＋a，mx３＋a，…，mx n＋a 的平均数是m错误!＋a.（２）数据x１，x２，…，x n的方差为s２.１数据x１＋a，x２＋a，…，x n＋a的方差也为s２；２数据ax１，ax２，…，ax n的方差为a２s２.二、教材衍化１．一个容量为３２的样本，已知某组样本的频率为0．２５，则该组样本的频数为（）Ａ．４Ｂ．8Ｃ．１２Ｄ．１6解析：选Ｂ．设频数为n，则错误!＝0．２５，所以n＝３２×错误!＝8．２．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）Ａ．9１．５和9１．５Ｂ．9１．５和9２Ｃ．9１和9１．５Ｄ．9２和9２解析：选Ａ．因为这组数据由小到大排列为87，89，90，9１，9２，9３，9４，96，所以中位数是错误!＝9１．５，平均数错误!＝错误!＝9１．５．３．如图是１00位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[２，２．５）范围内的居民数有________人．解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为[２，２．５）范围内的居民所占频率为0．５×0．５＝0．２５，所以月均用水量为[２，２．５）范围内的居民数为１00×0．２５＝２５．答案：２５４．甲、乙两台机床同时生产一种零件，１0天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲0 １0 ２２0 ３１２４乙２３１１0 ２１１0 １则机床性能较好的为________．解析：因为错误!甲＝１．５，错误!乙＝１．２，s错误!＝１．6５，s错误!＝0．76，所以s错误!<s 错误!，所以乙机床性能较好．答案：乙一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．（）（２）在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．（）（３）茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．（）（４）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．（）（５）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．（）答案：（１）√（２）√（３）×（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）平均数与方差的性质理解出错；（２）中位数、众数、平均数的求法不清导致出错．１．若数据x１，x２，x３，…，x n的平均数错误!＝５，方差s２＝２，则数据３x１＋１，３x２＋１，３x３＋１，…，３x n＋１的平均数和方差分别为（）Ａ．５，２Ｂ．１6，２Ｃ．１6，１8 Ｄ．１6，9解析：选Ｃ．因为x１，x２，x３，…，x n的平均数为５，所以错误!＝５，所以错误!＋１＝３×５＋１＝１6，因为x１，x２，x３，…，x n的方差为２，所以３x１＋１，３x２＋１，３x３＋１，…，３x n＋１的方差是３２×２＝１8．故选Ｃ．２．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取３0名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为错误!，则m，n，错误!的大小关系为________．（用“<”连接）解析：由题图可知，３0名学生得分的中位数为第１５个数和第１6个数（分别为５，6）的平均数，即m＝５．５；又５出现次数最多，故n＝５；错误!＝错误!（２×３＋３×４＋１0×５＋6×6＋３×7＋２×8＋２×9＋２×１0）≈５．97．故n<m<错误!.答案：n<m<错误!茎叶图（自主练透）１．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各５名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）Ａ．３，５Ｂ．５，５Ｃ．３，7 Ｄ．５，7解析：选Ａ．根据两组数据的中位数相等可得6５＝60＋y，解得y＝５，又它们的平均值相等，所以错误!＝错误!，解得x＝３．故选Ａ．２．（２0２0·陕西渭南模拟）已知甲，乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习１0组，每组罚球４0个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（）Ａ．甲投中个数的极差是２9Ｂ．乙投中个数的众数是２１Ｃ．甲的投中率比乙高Ｄ．甲投中个数的中位数是２５解析：选Ｄ．由茎叶图可知甲投中个数的极差为３7—8＝２9，故A正确；易知乙投中个数的众数是２１，故B正确；甲的投中率为错误!＝0．５３５，乙的投中率为错误!＝0．４２２５，所以甲的投中率比乙高，C正确；甲投中个数的中位数为错误!＝２３，D不正确，故选Ｄ．３．某学生在一门功课的２２次考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）Ａ．１１7 Ｂ．１１8Ｃ．１１8．５Ｄ．１１9．５解析：选Ｂ．２２次考试中，所得分数最高的为98，最低的为５6，所以极差为98—５6＝４２，将分数从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为４２＋76＝１１8．错误!茎叶图中的三个关注点（１）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．（２）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．（３）给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．频率分布直方图（多维探究）角度一求样本的频率、频数（２0２0·湖南五市十校联考）在某次赛车中，５0名参赛选手的成绩（单位：min）全部介于１３到１8之间（包括１３和１8），将比赛成绩分为五组：第一组[１３，１４），第二组[１４，１５），…，第五组[１7，１8]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[１３，１５）内的选手可获奖，则这５0名选手中获奖的人数为（）Ａ．３9 Ｂ．３５Ｃ．１５Ｄ．１１【解析】由频率分布直方图知成绩在[１５，１8]内的频率为（0．３8＋0．３２＋0．08）×１＝0．78．所以成绩在[１３，１５）内的频率为１—0．78＝0．２２．则成绩在[１３，１５）内的选手有５0×0．２２＝１１（人），即这５0名选手中获奖的人数为１１，故选Ｄ．【答案】D角度二求样本的数字特征（２0１9·高考全国卷Ⅲ改编）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将２00只小鼠随机分成A，B两组，每组１00只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于５．５”，根据直方图得到P（C）的估计值为0．70．（１）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（２）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解】（１）由已知得0．70＝a＋0．２0＋0．１５，故a＝0．３５．b＝１—0．0５—0．１５—0．70＝0．１0．（２）甲离子残留百分比的平均值的估计值为２×0．１５＋３×0．２0＋４×0．３0＋５×0．２0＋6×0．１0＋7×0．0５＝４．0５．乙离子残留百分比的平均值的估计值为３×0．0５＋４×0．１0＋５×0．１５＋6×0．３５＋7×0．２0＋8×0．１５＝6．00．角度三与概率结合的问题（２0２0·安徽芜湖一模）某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了１00位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间（单位：时），活动时间按照[0，0．５），[0．５，１），…，[４，４．５]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（１）求图中a的值；（２）估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；（３）在[１，１．５），[１．５，２）这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取２人，求抽取的２人恰好在同一个组的概率．【解】（１）由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0，0．５）内的频率为0．08×0．５＝0．0４．同理，平均户外活动时间在[0．５，１），[１．５，２），[２，２．５），[３，３．５），[３．５，４），[４，４．５）内的频率分别为0．08，0．２0，0．２５，0．07，0．0４，0．0２，由１—（0．0４＋0．08＋0．２0＋0．２５＋0．07＋0．0４＋0．0２）＝0．５a＋0．５a，解得a＝0．３0．（２）设中位数为m时．因为前５组的频率之和为0．0４＋0．08＋0．１５＋0．２0＋0．２５＝0．7２>0．５，而前４组的频率之和为0．0４＋0．08＋0．１５＋0．２0＝0．４7<0．５，所以２≤m<２．５．所以0．５0×（m—２）＝0．５—0．４7，解得m＝２．06．故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为２．06时．（３）由题意得平均户外活动时间在[１，１．５），[１．５，２）内的人数分别为１５，２0．按分层抽样的方法在[１，１．５），[１．５，２）内分别抽取３人，４人，从7人中随机抽取２人，共有C错误!＝２１种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有C错误!＋C错误!＝9种方法，故抽取的２人恰好在同一个组的概率P＝错误!＝错误!.错误!频率、频数、样本容量的计算方法错误!＝频率，错误!＝样本容量，样本容量×频率＝频数．[提醒] 制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为１来检验该表是否正确．１．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为５组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是４0，则成绩在80～１00分的学生人数是（）Ａ．１５Ｂ．１8Ｃ．２0 Ｄ．２５解析：选Ａ．根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0．0４×１0＝0．４，因为频数是４0，所以样本容量是错误!＝１00，又成绩在80～１00分的频率是（0．0１＋0．00５）×１0＝0．１５，所以成绩在80～１00分的学生人数是１00×0．１５＝１５．故选Ａ．２．（２0２0·安徽淮南二模）某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程．在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物．该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k产品等级k≥90优秀80≤k<90良好7５≤k<80合格k<7５不合格品种的各１0 000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图（图甲和图乙）．（１）若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取３件，记“抽出乙品种产品中至少有１件优等品（质量指标值k≥80为优等品）”为事件A，求事件A发生的概率P（A）；（结果保留小数点后３位）（２）若甲、乙两个品种的销售利润率y与质量指标值k满足下表：质量指标值k k≥9080≤k<907５≤k<80k<7５销售利润率y３t５t２t２—t其中错误!<t<解：（１）设“从乙品种产品中抽取１件为优等品”的概率为P，则根据频率分布直方图可得P＝（0．0３＋0．08＋0．0４＋0．0２）×５＝0．8５，则P（A）＝１—C错误!（１—P）３＝１—0．１５３≈0．997．（２）由频率分布直方图可得，甲品种产品的利润率的分布列为y３t５t２t２P0．２0．70.１Ey甲＝0．２×３t＋0．7×５t２＋２２；乙品种产品的利润率的分布列为y３t５t２t２—tP0．３0．５５0．１0．0５Ey乙＝0．３×３t＋0．５５×５t２＋0．１×t２＋0．0５×（—t）＝２．8５t２＋0．8５t.Ey甲—E（y）乙＝３．6t２＋0．6t—（２．8５t２＋0．8５t）＝0．7５t２—0．２５t＝0．２５t（３t—１），由于错误!<t<错误!，所以Ey甲—Ey乙<0，即Ey甲<Ey乙．故种植乙品种的平均利润率较大．样本数字特征的求解与应用（师生共研）抽样统计甲、乙两位射击运动员的５次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第１次第２次第３次第４次第５次甲879１90899３乙89909１889２（２）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：１分别求出两人得分的平均数与方差；２根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．【解】（１）错误!甲＝错误!（87＋9１＋90＋89＋9３）＝90，错误!乙＝错误!（89＋90＋9１＋88＋9２）＝90，s错误!＝错误![（87—90）２＋（9１—90）２＋（90—90）２＋（89—90）２＋（9３—90）２]＝４，s错误!＝错误![（89—90）２＋（90—90）２＋（9１—90）２＋（88—90）２＋（9２—90）２]＝２．故填２．（２）１由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：１0分，１３分，１２分，１４分，１6分；乙：１３分，１４分，１２分，１２分，１４分．错误!甲＝错误!＝１３；错误!乙＝错误!＝１３，s错误!＝错误![（１0—１３）２＋（１３—１３）２＋（）２＋（１４—１３）２＋（１6—１３）２]＝４；s错误!＝错误![（１３—１３）２＋（１４—１３）２＋（）２＋（）２＋（１４—１３）２]＝0．8．２由s错误!>s错误!，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．错误!（１）众数、中位数、平均数及方差的意义１平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述；２平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．（２）在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论．１．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶５次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）Ａ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数Ｂ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数Ｃ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差Ｄ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选Ｃ．错误!甲＝错误!（４＋５＋6＋7＋8）＝6，错误!乙＝错误!（５×３＋6＋9）＝6，甲的成绩的方差为错误!（２２×２＋１２×２）＝２，乙的成绩的方差为错误!（１２×３＋３２×１）＝２．４．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为５，甲的成绩的极差为４，乙的成绩的极差为４，故选Ｃ．２．（２0２0·贵阳市监测考试）在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图（如图）．若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由．解：学生甲的平均成绩错误!甲＝错误!＝8２，学生乙的平均成绩错误!乙＝错误!＝8２，又s错误!＝错误!×[（68—8２）２＋（76—8２）２＋（79—8２）２＋（86—8２）２＋（88—8２）２＋（9５—8２）２]＝77，s错误!＝错误!×[（7１—8２）２＋（7５—8２）２＋（8２—8２）２＋（8４—8２）２＋（86—8２）２＋（9４—8２）２]＝错误!，则错误!甲＝错误!乙，s错误!>s错误!，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉１个最高分、１个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）Ａ．中位数Ｂ．平均数Ｃ．方差Ｄ．极差解析：选Ａ．记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i（按从小到大的顺序排列），易知e 为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选Ａ．２．（２0２0·陕西商洛质检）在一次５３．５千米的自行车个人赛中，２５名参赛选手成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为１～２５号，再用系统抽样的方法从中选取５人，已知选手甲的成绩性为8５分钟，若甲被选取，则被选取的其余４名选手的成绩的平均数为（）Ａ．9５Ｂ．96Ｃ．97 Ｄ．98解析：选Ｃ．由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他４人的成绩分别是88，9４，99，１07，故平均数为错误!＝97，故选Ｃ．３．（２0２0·广东珠海摸底）某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖２0元，二等奖１0元，三等奖５元，参与奖２元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是（）Ａ．获得参与奖的人数最多Ｂ．各个奖项中三等奖的总费用最高Ｃ．购买奖品的平均费用为9．２５元Ｄ．购买奖品的费用的中位数为２元解析：选Ｃ．设全班人数为a.由扇形统计图可知．一等奖占５%，二等奖占１0%，三等奖占３0%，参与奖占５５%，获得参与奖的人数最多，故A正确；一等奖的总费用为５%a×２0＝a.二等奖的总费用为１0%a×１0＝a，三等奖的总费用为３0%a×５＝错误!a，参与奖的总费用为５５%a×２＝错误!a，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B正确；购买奖品的平均费用为５%×２0＋１0%×１0＋３0%×５＋５５%×２＝４．6（元），故C错误；参与奖占５５%，所以购买奖品的费用的中位数为２元，故D 正确．故选Ｃ．４．（２0２0·安徽六安毛坦厂中学月考）某位教师的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知的就医费用比增加了４7５0元，则该教师的家庭总收入为（）A．１00 000元Ｂ．9５000元Ｃ．90 000元Ｄ．8５000元解析：选Ｄ．由已知得，２0１7年的就医费用为80 000×１0%＝8 000（元）．故的就医费用为8 000＋４7５0＝１２7５0（元），所以该教师的家庭总收入为错误!＝8５000（元）．故选Ｄ．５．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为错误!甲，错误!乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）Ａ．错误!甲<错误!乙，σ甲<σ乙Ｂ．错误!甲<错误!乙，σ甲>σ乙Ｃ．错误!甲>错误!乙，σ甲<σ乙Ｄ．错误!甲>错误!乙，σ甲>σ乙解析：选Ｃ．由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知错误!甲>错误!乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．6．某中学奥数培训班共有１４人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n—m的值是________．解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得错误!＝88，解得m＝３．由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n—m＝6．答案：67．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取２%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．解析：由题图甲可知学生总人数是１0 000，样本容量为１0 000×２%＝２00，抽取的高中生人数是２000×２%＝４0，由题图乙可知高中生的近视率为５0%，所以抽取的高中生的近视人数为４0×５0%＝２0．答案：２00 ２08．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前３个小组的频率之比为１∶３∶５，第２个小组的频数为１５，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后２个小组的频率之和为（0．0３7 ５＋0．0１２５）×５＝0．２５，所以前３个小组的频率之和为0．7５．又前３个小组的频率之比为１∶３∶５，第２个小组的频数为１５，所以前３个小组的频数分别为５，１５，２５，所以n＝错误!＝60．答案：609．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了１00位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．５），[0．５，１），…，[４，４．５]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（１）求频率分布直方图中a的值；（２）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于３吨的人数，并说明理由；（３）若该市政府希望使8５%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．解：（１）由频率分布直方图，可得（0．08＋0．１6＋a＋0．４0＋0．５２＋a＋0．１２＋0．08＋0．0４）×0．５＝１，解得a＝0．３0．（２）由频率分布直方图知，１00位居民每人月均用水量不低于３吨的频率为（0．１２＋0．08＋0．0４）×0．５＝0．１２．由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于３吨的人数为800 000×0．１２＝96 000．（３）因为前6组的频率之和为（0．08＋0．１6＋0．３0＋0．４0＋0．５２＋0．３0）×0．５＝0．88＞0．8５，前５组的频率之和为（0．08＋0．１6＋0．３0＋0．４0＋0．５２）×0．５＝0．7３＜0．8５，所以２．５≤x＜３．由0．３×（x—２．５）＝0．8５—0．7３，解得x＝２．9．因此，估计月用水量标准为２．9吨时，8５%的居民每月的用水量不超过标准．１0．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：（１）A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？（２）现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；（３）若从参加培训的５位工人中选２人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．解：（１）A的中位数是错误!＝8４，B的中位数是错误!＝8３．（２）派B参加比较合适．理由如下：错误!B＝错误!（78＋79＋8１＋8２＋8４＋88＋9３＋9５）＝8５，错误!A＝错误!（7５＋80＋80＋8３＋8５＋90＋9２＋9５）＝8５，s错误!＝错误![（78—8５）２＋（79—8５）２＋（8１—8５）２＋（8２—8５）２＋（8４—8５）２＋（88—8５）２＋（9３—8５）２＋（9５—8５）２]＝３５．５，s错误!＝错误![（7５—8５）２＋（80—8５）２＋（80—8５）２＋（8３—8５）２＋（8５—8５）２＋（90—8５）２＋（9２—8５）２＋（9５—8５）２]＝４１，因为错误!A＝错误!B，但s错误!<s错误!，说明B稳定，派B参加比较合适．（３）５位工人中选２人有１0种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）；A，B都不参加的有３种：（C，D），（C，E），（D，E），A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝１—错误!＝错误!.[综合题组练]１．PM２．５是指大气中直径小于或等于２．５微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM２．５监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是（）Ａ．A县Ｂ．B县Ｃ．A县、B县两个地区相等Ｄ．无法确定解析：选Ａ．根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0．0５和0．08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小．２．某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，１0，１１，9．已知这组数据的平均数为１0，方差为２，则|x—y|的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｄ．由题意知这组数据的平均数为１0，方差为２，可得：x＋y＝２0，（x—１0）２＋（y—１0）２＝8，设x＝１0＋t，y＝１0—t，由（x—１0）２＋（y—１0）２＝8，得t２＝４，所以|x—y|＝２|t|＝４．３．设样本数据x１，x２，…，x２0１7的方差是４，若y i＝２x i—１（i＝１，２，…，２0１7），则y，y２，…，y２0１7的方差为________．１解析：设样本数据的平均数为错误!，则y i＝２x i—１的平均数为２错误!—１，则y１，y２，…，y２0的方差为错误![（２x１—１—２错误!＋１）２＋（２x２—１—２错误!＋１）２＋…＋（２x２0１7—１１7—２错误!＋１）２]＝４×错误![（x１—错误!）２＋（x２—错误!）２＋…＋（x２0１7—错误!）２]＝４×４＝１6．答案：１6４．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分１４0分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是8１，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是8１，可知8１为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第４个数，故x＝１．由乙班学生成绩的平均数为86，可得（—１0）＋（—6）＋（—４）＋（y—6）＋５＋7＋１0＝0，解得y＝４．由x，G，y成等比数列，可得G２＝xy＝４，由正实数a，b满足a，G，b 成等差数列，可得G＝２，a＋b＝２G＝４，所以错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）×（错误!＋错误!）＝错误!（１＋错误!＋错误!＋４）≥错误!×（５＋４）＝错误!（当且仅当b＝２a时取等号）．故错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!５．（２0２0·东北三省三校二模）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从某省鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前１0天，微店百合花的售价为每支２元，某省空运来的百合花每支进价１．6元，本地供应商处的百合花每支进价１．8元，微店这１0天的订单中百合花的日需求量（单位：支）依次为：２５１，２５５，２３１，２４３，２6３，２４１，２6５，２５５，２４４，２５２．（１）求今年四月前１0天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（２）预计四月的后２0天，订单中百合花日需求量的频率分布与四月前１0天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（１）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从某省固定空运２５0支，还是２５５支百合花，四月后２0天百合花销售总利润会更大？解：（１）四月前１0天订单中百合需求量众数为２５５，平均数错误!＝错误!×（２３１＋２４１＋２４３＋２４４＋２５１＋２５２＋２５５＋２５５＋２6３＋２6５）＝２５0．频率分布直方图如图：（２）设订单中百合花的日需求量为a（支），由（１）中频率分布直方图知，a可能取值为２３５，２４５，２５５，２6５，相应频率分别为0．１，0．３，0．４，0．２．所以２0天中a＝２３５，２４５，２５５，２6５相应的天数为２天，6天，8天，４天．１若空运２５0支，a＝２３５，当日利润为２３５×２—２５0×１．6＝70（元），a＝２４５，当日利润为２４５×２—２５0×１．6＝90（元），a＝２５５，当日利润为２５５×２—２５0×１．6—５×１．8＝１0１（元），a＝２6５，当日利润为２6５×２—２５0×１．6—１５×１．8＝１0３（元），２0天总利润为70×２＋90×6＋１0１×8＋１0３×４＝１900（元）．２若空运２５５支，a＝２３５，当日利润为２３５×２—２５５×１．6＝6２（元），a＝２４５，当日利润为２４５×２—２５５×１．6＝8２（元），a＝２５５，当日利润为２５５×２—２５５×１．6＝１0２（元），a＝２6５，当日利润为２6５×２—２５５×１．6—１0×１．8＝１0４（元），２0天总利润为6２×２＋8２×6＋１0２×8＋１0４×４＝１8４8（元）．因为１900>１8４8，所以每天空运２５0支百合花，四月后２0天总利润更大．6．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（１）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（２）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过１５分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的２次周练中，甲、乙两名同学失分均超过１５分的次数X的分布列和均值．解：（１）错误!甲＝错误!（7＋9＋１１＋１３＋１３＋１6＋２３＋２8）＝１５，错误!乙＝错误!（7＋8＋１0＋１５＋１7＋１9＋２１＋２３）＝１５，s错误!＝错误![（—8）２＋（—6）２＋（—４）２＋（—２）２＋（—２）２＋１２＋8２＋１３２]＝４４．7５，s错误!＝错误![（—8）２＋（—7）２＋（—５）２＋0２＋２２＋４２＋6２＋8２]＝３２．２５．甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（２）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过１５分的概率分别为P１＝错误!，P２＝错误!，两人失分均超过１５分的概率为P１P２＝错误!，X的所有可能取值为0，１，２．依题意，X～B错误!，P（X＝k）＝C错误!错误!错误!错误!错误!，k＝0，１，２，则X的分布列为X0１２P错误!错误!错误!X的均值EX＝２×错误!。

§11.2互斥事件有一个发生的概率【知识概要】1．互斥事件：若事件A 与B 不可能同时发生，则事件A 与B 为互斥事件。

AB φ=2．对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。

事件A 的对立事件记作A ，A A φ=，A A U =（U 为全集）；3．互斥事件与对立事件的区别与联系，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件； 4．互斥事件的加法公式：()()()P A B P A P B +=+；()()1P A P A +=；()1()P A P A =-； 【基础训练】1．从装有2个红球和2个白球的的口袋内任了两个球，那么下列事件中互斥的个数是（C ） ①至少有1个红球，都是白球；②至少有一个白球，至少有一个红球； ③恰有1个白球，恰有两个白球；④至少有一个白球；都是红球； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，则甲胜的概率为（A ） A ．0.3 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.43．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是574．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将锁打开的概率为1745【典型例题】例1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出一个黑球；解（1）22315353448837C C C C P C C =+=（2）45481114C P C =-= 例2．袋中有9个编号分别为1，2，…，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有一个球的编号为奇数的概率。

解：记“从9个球中任取2个，其中恰有一个编号是奇数”为事件A ，“恰有两个球的编号是奇数”为事件B ，则1154295()9C C P A C ==，25295()18C P B C ==则555()()()9186P A B P A P B +=+=+=例3．有4位同学，每人买一X 彩票，求至少有两位同学彩票的末位数字相同的概率。

第四讲二项分布及其应用、正态分布1.[2020浙江温州九校第一次联考]抽奖箱中有15个除颜色外完全一样的球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,抽到黄球为二等奖,抽到白球不中奖.有90人依次进行有放回的抽奖,则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是()A.6,0.4B.18,14.4C.30,10D.30,202.[2015 新课标全国Ⅰ]投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3123.[2018全国卷Ⅲ]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.34.[2019吉林长春三模]若8件产品中包含6件一等品,从这8件产品中任取2件,则在已知取出的2件产品中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率为()A.37B.45C.67D.12135.[新情境题]北京冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举行.甲、乙两人都想去现场观看比赛,若他们到车站买动车票,甲买票用微信支付的概率为0.4,乙买票用微信支付的概率为0.3,两人是否用微信支付互不影响,则两人中恰有一人用微信支付的概率为()A.0.46B.0.58C.0.7D.0.886.[多选题]江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交路上经常拥堵,所需时间Z(单位:分)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Z(单位:分)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度看,下列说法合理的是()参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 3.A.若8:00出门,则乘坐公交上班不会迟到B.若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门,则乘坐公交上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到7.[2020江西五校联考]非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会,会后某记者在场地外随机进行采访,假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7,连续两次采访到的人都是代表团团长的概率为0.6,则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下,第二次采访到的也是代表团团长的概率为.8.[2017全国卷Ⅱ]一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.9.[2020百校联考]若随机变量ξ服从正态分布N(9,16),则P( - 3<ξ≤13)=.参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ - σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ - 2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ - 3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.考法1 条件概率的计算1 [2020西安模拟]从1,2,3,4,5,6,7中取出两个不同的数,记事件A为“两个数之和为偶数”,事件B为“两个数均为偶数”,则P(B|A)=A.13B.17C.37D.12先用列举法求出事件A,事件B所包含的基本事件的个数,求得P(A),P(AB),再根据条件概率公式,即可得到结果.解法一从这七个数中取出两个不同的数,不同的结果共有C 72种.事件A为“两个数之和为偶数”,其包含的基本事件有{1,3},{1,5},{1,7},{3,5},{3,7},{5,7},{2,4},{2,6},{4,6},共9个,所以P(A)=9C72=37.(求出事件A发生的概率)由题意知,事件AB为“两个数均为偶数”,所以P(AB)=P(B).事件B为“两个数均为偶数”,其包含的基本事件有{2,4},{2,6},{4,6},共3个,所以P(AB)=P(B)=3C72=17.(求出事件A和事件B同时发生的概率)所以P(B|A)=P(AB)P(A)=13.解法二因为事件A为“两个数之和为偶数”,所以选取的两个数应都为偶数或都为奇数,事件A包含的基本事件有{1,3},{1,5},{1,7},{3,5},{3,7},{5,7},{2,4},{2,6},{4,6},共9个.事件B|A表示在事件A发生的前提下事件B发生,即“在两数之和为偶数的前提下,选取的两个数都为偶数”,事件B|A包含的基本事件有{2,4},{2,6},{4,6},共3个.(写出对应事件包含的基本事件)故P(B|A)=39=13.A1.已知100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为.考法2 相互独立事件的概率的求法2[2019全国卷Ⅰ]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.解法一因为甲队以4∶1获胜,所以第五场甲胜,而前四场甲需要胜三场输一场,则甲队的胜负情况可分为“胜胜胜负胜”“胜胜负胜胜”“胜负胜胜胜”“负胜胜胜胜”这4种.设事件A为“甲队以4∶1获胜”,A i表示第i场甲队获胜.又前五场的主客场安排为“主主客客主”,所以P(A1)=P(A2)=P(A5)=0.6,P(A3)=P(A4)=0.5,则P(A)=P(A1A2A3。