运动学4(刚体平面运动)
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图形上速度为零的点称为该瞬时的瞬时速度中心
平面图形的运动可以看成为绕速度瞬心的瞬时转动
v A = vC + v AC = v AC
vB = vC + vBC = vBC
*由于平面图形转动的角速度与基点选择无关,也就 是平面图形绕任意点转动的角速度都相等,所以绕速度瞬 心转动的角速度等于图形绕任意基点转动的角速度。
解
(vB
) AB
=
(v
A
) AB
vA = 6× 0.3 = 1.8m / s
v BA
vB = vA cos 30 = 1.56m / s
ω BC
=
vB BC
=
2.25rad
/s
( ) ( ) ( ) vBA ⊥AB = vB ⊥AB + vA ⊥AB
vBA = vA sin 30 = 0.9m / s
*平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬心 转动的速度。
2
瞬时速度中心的几种求法
（1）当平面图形沿一固定平面做无滑动的滚动时
v
c
（2）已知图形内任两点A和B的速度的方向 速度瞬心的位置在两速度垂线的交点上
（3）已知图形上两点A和B的速度相互平行，且速 度的方向垂直于AB两点的连线。
(4) 某一瞬时，图形上A、B两点的速度相等 速度瞬心在无穷远处
aAn
4455
ωω00
B
AAa
n A
vA
OO
图示机构中，AB=CD=L,OA=O1B=r,滚子作纯滚动半径为R.求图示 瞬时连杆AB中点C的速度、加速度及滚子的角速度、角加速度。
由A、B两点速度矢量图得：AB杆作瞬时平动vC = vA = rω 由C、D两点速度矢量图得：CD杆作瞬时平动vD = vC = rω
解：速度分析：
AB杆为瞬时平动：
vA = vB = OAωOA = 0.4m / s
vA
D为BC杆瞬心、
vB
板DCE绕D作定轴转动：
vB = vE = 0.4m / s
速度投影定理：
vF cos30 = vE vF = 0.462m / s
ωEF
=
vF sin 30 0.1 3
= 1.333
vC
vE
理论力学
运动学
主讲教师：邹翠荣
2008年11月24日星期一
第九章 刚体的平面运动
§9-1 平面运动的分解及其运动方程 §9-2 平面运动中各点的速度分析 §9-3 平面运动中的加速度分析 §9-4 运动学的综合应用
1、平面运动:
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面
始终保持相等的距离.也就是说，刚体上任一点都在 与该固定平面平行的某一平面内运动，具有这种特
点的运动称为刚体的平面运动.
2.模型的简化
刚体的平面运动可以简化为平面图形在 其自身平面内的运动。
试分析以下各图的运动形式:
3.平面运动的分解
y′ B A x′
B′ y′ A′ x′
在图形上任取一点A(基点) 作平动坐标系Ax/y/，
图形的平面运动分解为:随 基点的平动（牵连运动） 与绕基点的转动(相对转运)
a
n
Aα
aτA
ω
O
O aCY
aCτ A
B vaτB B
aBn
aτBA1
Ca
n A
ϕ
aτA
a
n A
a DvD
aC
aτDC
D
α1
=
aD R
=
rα R
5
滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB 带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm，轮子
半径r =200mm。当AB与铅垂线成角θ =30°时，求此时点
1
平面运动可取任意基点而分解为平动和转动.
y′
x′
y′
B
B′ B
x′
A
A A′
平面运动相对于平移参考系，其转动运动都是一样的。 平面运动可取任意基点而分解为平动和转动，其中平
动的速度和加速度与基点的选择有关,而平面图形绕基点
转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。无论基点
选择哪一点，其转动的角速度和角加速度都是一样的。 (这里的角速度和角加速度都是相对于随基点平移的参考 系而言的)。无需标明绕哪一点转动。
=
l
,
AB
=
3 2
l
,
AD
=
DB
AC ∗ = 3 2 l , DC ∗ = 3 5 l
2
4
vA = OA ⋅ω0 = 2lω0
vA A
ω0
45o
O
ω AB C∗
ω AB
=
vA AC ∗
=
2lω 0 32
=
2 3
ω
0
l
2
vD
vB
B
vB
=
BC ∗ω AB
=
vA AC ∗
=
3 2
l
×
2 3
ω
0
= lω 0
B
a
n A
aBnA
=
3 6
rω02
−
1 36
ω02
×
3
3r
=
3 12
rω02
vaBB
aB
=
1 3
rω02
vA
aAAn O 60
半径为R的圆轮作纯滚动,已知轮心v0、a0.求(1)图示瞬时 轮子的角速度和轮缘上A、B两点的速度.(2)轮子的角加
速度及此时A、B、C三点的加速度.
轮子作平面运动,C点为瞬时速度中心
B点加速度矢量图沿垂直方向投影
aBn
=
aτBA
−
a
n A
⇒ aτBA
= 2rω 2 ⇒ α BA
=
2rω 2 l
ω1
=
vD R
=
rω R
aCτ A
=
1 2
lα
AB
=
rω 2
aC = aCX = aτA = rα
D点加速度矢量
aτDC = 0
aD = aC = rα
aCY = 0
vA aτA
A avCXC
vF 30 ωEF
已知：行星轮系固定轮半径R,行星轮半径 r(只滚不滑),曲 柄角速度ω.求:行星轮上M点速度。
解：行星轮作平面运动
vc = 0 C点为瞬心。 vA = (R + r)ω
vM
vA
c
ωA
=
vA r
=
R+rω r
vM = CM ⋅ω A = 2(R + r)ω
已知：四连杆机构中OA以ω0绕O轴转动 O1B 求：1. B和D点的速度； 2. AB杆的角速度。
C为速度瞬心，轮子转动的角速度和角加速度：
ω= v R−r
⇒
α = dω = a dt R − r
vO
= ωR
=
Rv R−r
⇒
aO
=
dvO dt
= Ra R−r
选C点为基点 aO = aCn + aOτ C + aOnC
水平方向投影：
aO = aOτ C = α ⋅ r
α
ω
a CnvO
aOτ C aOn C
vB
vA
1.用瞬心法求角速度和A、B两点的速度
a = αR ω = vO R vA =2Rω=2vO
2.求轮子的角加速度
vB = 2Rω = 2vO O
ω = vO R
α = dω dt
α = d ⎜⎛ vO ⎟⎞ = aO dt ⎝ R ⎠ R
aτBO
∵ a0 ≠ 0 ∴v0随时间是变化的，ω也是随时间是变化的
BC=3 3 r,求图示瞬时滑块C的速度及加速度。
vA cos 30 = vB cos 60 vB = 3rω0 vB cos 30 = vC
vBA = vA sin 30 + vB sin 60 = 2rω0
ω AB
=
v AB AB
=
1 3
ω0
vC
=
3 2
rω0
vCB = vB sin 30
=
3 2
D 90o
vD
=
DC ∗ω AB
=
35 2
l×
2 3
ω
0
=
5 2
lω
0
90o O1
§9-4 用基点法求平面图形内各点加速度
求平面图形内各点加速度的唯一方法——基点法
aB
=
aA
+
a
τ BA
+
a
n 43; arτ + arn
aBA
α
a
a
n BA
B
aτBA = AB ⋅α
rω0
ωBC
=
vBC BC
=
1 6
ω0
aB
=
a
n A
+
a
τ BA
+
a
n BA
aB cos 60
=
a
n A
cos
60
− aBnA
aB
=
2( 1 2
rω02
−
1 9
ω02
⋅ 6r )
=
−
1 3
rω02
aCτ B C
aC aB
avCnCB
aτBA
aC
=
aB
+
a
n CB
+
平面图形的运动可以看成为绕速度瞬心的瞬时转动
v A = vC + v AC = v AC
vB = vC + vBC = vBC
*由于平面图形转动的角速度与基点选择无关,也就 是平面图形绕任意点转动的角速度都相等,所以绕速度瞬 心转动的角速度等于图形绕任意基点转动的角速度。
解
(vB
) AB
=
(v
A
) AB
vA = 6× 0.3 = 1.8m / s
v BA
vB = vA cos 30 = 1.56m / s
ω BC
=
vB BC
=
2.25rad
/s
( ) ( ) ( ) vBA ⊥AB = vB ⊥AB + vA ⊥AB
vBA = vA sin 30 = 0.9m / s
*平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬心 转动的速度。
2
瞬时速度中心的几种求法
（1）当平面图形沿一固定平面做无滑动的滚动时
v
c
（2）已知图形内任两点A和B的速度的方向 速度瞬心的位置在两速度垂线的交点上
（3）已知图形上两点A和B的速度相互平行，且速 度的方向垂直于AB两点的连线。
(4) 某一瞬时，图形上A、B两点的速度相等 速度瞬心在无穷远处
aAn
4455
ωω00
B
AAa
n A
vA
OO
图示机构中，AB=CD=L,OA=O1B=r,滚子作纯滚动半径为R.求图示 瞬时连杆AB中点C的速度、加速度及滚子的角速度、角加速度。
由A、B两点速度矢量图得：AB杆作瞬时平动vC = vA = rω 由C、D两点速度矢量图得：CD杆作瞬时平动vD = vC = rω
解：速度分析：
AB杆为瞬时平动：
vA = vB = OAωOA = 0.4m / s
vA
D为BC杆瞬心、
vB
板DCE绕D作定轴转动：
vB = vE = 0.4m / s
速度投影定理：
vF cos30 = vE vF = 0.462m / s
ωEF
=
vF sin 30 0.1 3
= 1.333
vC
vE
理论力学
运动学
主讲教师：邹翠荣
2008年11月24日星期一
第九章 刚体的平面运动
§9-1 平面运动的分解及其运动方程 §9-2 平面运动中各点的速度分析 §9-3 平面运动中的加速度分析 §9-4 运动学的综合应用
1、平面运动:
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面
始终保持相等的距离.也就是说，刚体上任一点都在 与该固定平面平行的某一平面内运动，具有这种特
点的运动称为刚体的平面运动.
2.模型的简化
刚体的平面运动可以简化为平面图形在 其自身平面内的运动。
试分析以下各图的运动形式:
3.平面运动的分解
y′ B A x′
B′ y′ A′ x′
在图形上任取一点A(基点) 作平动坐标系Ax/y/，
图形的平面运动分解为:随 基点的平动（牵连运动） 与绕基点的转动(相对转运)
a
n
Aα
aτA
ω
O
O aCY
aCτ A
B vaτB B
aBn
aτBA1
Ca
n A
ϕ
aτA
a
n A
a DvD
aC
aτDC
D
α1
=
aD R
=
rα R
5
滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB 带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm，轮子
半径r =200mm。当AB与铅垂线成角θ =30°时，求此时点
1
平面运动可取任意基点而分解为平动和转动.
y′
x′
y′
B
B′ B
x′
A
A A′
平面运动相对于平移参考系，其转动运动都是一样的。 平面运动可取任意基点而分解为平动和转动，其中平
动的速度和加速度与基点的选择有关,而平面图形绕基点
转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。无论基点
选择哪一点，其转动的角速度和角加速度都是一样的。 (这里的角速度和角加速度都是相对于随基点平移的参考 系而言的)。无需标明绕哪一点转动。
=
l
,
AB
=
3 2
l
,
AD
=
DB
AC ∗ = 3 2 l , DC ∗ = 3 5 l
2
4
vA = OA ⋅ω0 = 2lω0
vA A
ω0
45o
O
ω AB C∗
ω AB
=
vA AC ∗
=
2lω 0 32
=
2 3
ω
0
l
2
vD
vB
B
vB
=
BC ∗ω AB
=
vA AC ∗
=
3 2
l
×
2 3
ω
0
= lω 0
B
a
n A
aBnA
=
3 6
rω02
−
1 36
ω02
×
3
3r
=
3 12
rω02
vaBB
aB
=
1 3
rω02
vA
aAAn O 60
半径为R的圆轮作纯滚动,已知轮心v0、a0.求(1)图示瞬时 轮子的角速度和轮缘上A、B两点的速度.(2)轮子的角加
速度及此时A、B、C三点的加速度.
轮子作平面运动,C点为瞬时速度中心
B点加速度矢量图沿垂直方向投影
aBn
=
aτBA
−
a
n A
⇒ aτBA
= 2rω 2 ⇒ α BA
=
2rω 2 l
ω1
=
vD R
=
rω R
aCτ A
=
1 2
lα
AB
=
rω 2
aC = aCX = aτA = rα
D点加速度矢量
aτDC = 0
aD = aC = rα
aCY = 0
vA aτA
A avCXC
vF 30 ωEF
已知：行星轮系固定轮半径R,行星轮半径 r(只滚不滑),曲 柄角速度ω.求:行星轮上M点速度。
解：行星轮作平面运动
vc = 0 C点为瞬心。 vA = (R + r)ω
vM
vA
c
ωA
=
vA r
=
R+rω r
vM = CM ⋅ω A = 2(R + r)ω
已知：四连杆机构中OA以ω0绕O轴转动 O1B 求：1. B和D点的速度； 2. AB杆的角速度。
C为速度瞬心，轮子转动的角速度和角加速度：
ω= v R−r
⇒
α = dω = a dt R − r
vO
= ωR
=
Rv R−r
⇒
aO
=
dvO dt
= Ra R−r
选C点为基点 aO = aCn + aOτ C + aOnC
水平方向投影：
aO = aOτ C = α ⋅ r
α
ω
a CnvO
aOτ C aOn C
vB
vA
1.用瞬心法求角速度和A、B两点的速度
a = αR ω = vO R vA =2Rω=2vO
2.求轮子的角加速度
vB = 2Rω = 2vO O
ω = vO R
α = dω dt
α = d ⎜⎛ vO ⎟⎞ = aO dt ⎝ R ⎠ R
aτBO
∵ a0 ≠ 0 ∴v0随时间是变化的，ω也是随时间是变化的
BC=3 3 r,求图示瞬时滑块C的速度及加速度。
vA cos 30 = vB cos 60 vB = 3rω0 vB cos 30 = vC
vBA = vA sin 30 + vB sin 60 = 2rω0
ω AB
=
v AB AB
=
1 3
ω0
vC
=
3 2
rω0
vCB = vB sin 30
=
3 2
D 90o
vD
=
DC ∗ω AB
=
35 2
l×
2 3
ω
0
=
5 2
lω
0
90o O1
§9-4 用基点法求平面图形内各点加速度
求平面图形内各点加速度的唯一方法——基点法
aB
=
aA
+
a
τ BA
+
a
n 43; arτ + arn
aBA
α
a
a
n BA
B
aτBA = AB ⋅α
rω0
ωBC
=
vBC BC
=
1 6
ω0
aB
=
a
n A
+
a
τ BA
+
a
n BA
aB cos 60
=
a
n A
cos
60
− aBnA
aB
=
2( 1 2
rω02
−
1 9
ω02
⋅ 6r )
=
−
1 3
rω02
aCτ B C
aC aB
avCnCB
aτBA
aC
=
aB
+
a
n CB
+
