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历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编组合与构造部分2019A 四、（本题满分 50 分）设V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记 E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若 E 至少有n 个元素，则 E 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．★解析：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”．先证明一个引理：设(),G V E =是一个简单图，且G 是连通的，则G 含有2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角（这里[]a 表示实数a 的整数部分）．引理的证明：对的元素个数E 归纳证明．当0,1,2,3E =时，结论显然成立．下面假设，并且结论在较小时均成立．只需证明，在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角，在G 中删去,a b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含2E -条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．考虑G 中的最长路12:k P v v v ，其中12k v v v 是互不相同的顶点．因为G 连通，故3k ≥.情形1：()1deg 2v ≥,由于P 是最长路，1v 的邻点均在2k v v 中，设1i v v E ∈，其中3i k ≤≤．则{}121,i v v v v 是一个角，在E 中删去这两条边．若1v 处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若1v 处仅有被删去的两条边，则1v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．情形 2：()1deg 1v =， ()2deg 2v =．则{}1223,v v vv 是一个角，在G 中删去这两条边后，12,v v 都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形 3：()1deg 1v =，()2deg 3v ≥，且2v 与4k v v 中某个点相邻．则{}1223,v v v v 是一个角，在G 中删去这两条边后，1v 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有 2E -条边．情形 4：()1deg 1v =，()2deg 3v ≥，且2v 与某个{}13,,k u v v v ∉相邻．由于P 是最长路，故u 的邻点均在2k v v 之中．因{}122,v v v u 是一个角，在G 中删去这两条边，则1v 是孤立点．若u 处仅有边2uv ，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他边i uv ，3i k ≤≤，则删去所述边后，除1v 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通分支含有2E -.引理获证．………………20 分回到原题，题中的V 和E 可看作一个图(),G V E ． 首先证明2795n ≥． 设{}122019,,V v v v =．在1261,,,v v v 中，首先两两连边，再删去其中15条边（例如{}1213116,v v v v v v ），共连了261151815C -=条边，则这61个点构成的图是连通图．再将剩余的2019611958-=个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了181********+=条线段．由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边，因此至多有18159072⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角．故满足要求的n 不小于2795．……30 分另一方面，若2795E ≥，可任意删去若干条边，只考虑2795E =的情形． 设G 有k 个连通分支，分别有12,,,k m m m 个点，及12,,,k e e e 条边．下面证明12,,,ke e e 中至多有979个奇数． 反证法，假设12,,,k e e e 中有至少980个奇数，由于122795k e e e +++=是奇数， 故12,,,k e e e 中至少有 981 个奇数，故981k ≥．不妨设12981,,,e e e 都是奇数，显然129812m m m +++≥．令122k m m m m =+++≥，则有2i m i C e ≥（1980i ≤≤），2981980m k C e e e ≥+++，故98022112795i kimm i i eC C ===≤+∑∑，利用组合数的凸性，即对3x y ≥≥，有222211x y x y C C C C +-+≤+。
1981年--2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编1、集合部分2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是◆答案：31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。
★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m n nm mn m n 由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--nnn个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n 2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21 ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡∙-∙=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m-=2017B 四、（本题满分50分）。
1981年~2018年全国高中数学联赛一试一试题分类汇编1、会合部分2018A1、设会合A 1,2,3, ,99，会合B 2x|xA ，会合C x|2x A ，则会合BC 的元素个数为 ◆答案：24★分析：由条件知， B C 2,4,6, ,48，故B C 的元素个数为 24。
2018B1、设会合A 2,0,1,8，会合B2a|aA ，则会合AB 的所有元素之和是◆答案：31★分析:易知B 4,0,2,16 ，所以AB 0,1,2,4,8,16 ，元素之和为 31.2018B 三、（此题满分 50分）设会合A 1,2, ,n ，X,Y 均为A 的非空子集（同意XY ）．X中的最大元与Y 中的最小元分别记为 maxX,minY ．求知足maxX minY 的有序会合对(X,Y) 的数量。
★分析:先计算知足maxX minY 的有序会合对(X,Y)的数量.对给定的m maxX ，会合X 是会合1,2, ,m 1的随意一个子集与m 的并，故共有2m1种取法.又mminY ，故Y 是m,m1,m2, ,n 的随意一个非空子集，共有2n1m1种取法.所以，知足maxXminY 的有序会合对(X,Y)的数量是：nnn2m12n1m12n2m1n12n1m1m1m1(X,Y)有2n12n1 2n2个，于是知足maxX minY 的有序会合对因为有序会合对1(X,Y)的数量是2n2n2n2n14n2n n1 12017B二、（此题满分40分）给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N分拆为k个互不订交的子集A1,A2, ,A k，每个子集A i中均不存在4个数a,b,c,d（能够相同），满足abcdm．★证明：取k m1，令A i{xx i(modm1),x N}，i1,2,,m1设a,b,c,d A i，则ab cd iii i0(modm1)，故m1ab cd，而m1m，所以在A i中不存在4个数a,b,c,d，知足ab cdm2017B四、（此题满分50分）。
2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题01 集合第一讲1．【2021年江西预赛】集合M是集合A={1，2，…，100}的子集，且M中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M的个数是.2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算A⊗B={x∣x=ab+a+b,a∈A,b∈B}.设A= {0,2,4,⋯,18},B={98,99,100},则A⊗B中的所有元素之和为.3．【2021年广西预赛】集合M={1,2,3,4,5,6}的所有子集的元素的和等于.4．【2021年新疆预赛】若实数集合{3,6,9,x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.5．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a2∣a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为.6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A 的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.7．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数x的最大整数,集合A={x∣x2−x−6<0},B={x∣2x2−3[x]−5=0}.则A∩B=.8．【2020年甘肃预赛】设集合:A={(x,y)∣log a x+log a y>0},B=|(x,y)|x+y<a}.若A∩B=∅,则a 的取值范围是.9．【2020年广西预赛】已知集合M={1,2,⋯,2020},对M的任意非空子集A,λA为集合A中最大数与最小数的和.则所有这样的λA的算术平均数为.10．【2020年广西预赛】设集合M={1,2,⋯,2020},A⊆M,且对集合A中的任意元素x,4x∉A.则集合A的元索个数的最大值为.11．【2020年吉林预赛】已知集合A={x∣log a(ax−1)>1}.若2∈A,则a的取值范围是.12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成20a+8b+27c(a ,b ,c∈N)形式,就称其为“好数".则集合{1,2,⋯,200}中好数的个数为.13．【2020年新疆预赛】已知集合A={1,2,3,⋯,2020},对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为.14．【2019年全国】若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.15．【2019年江苏预赛】已知集合A={x|x2−3x+2≥0}，B={x|√x−a≥1}，且A∩B={x|x≥3}，则实数a的值是.16．【2019年江西预赛】将集合{1,2,⋯,19}中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为.17．【2019年新疆预赛】已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,2,3,4,5}，B={4,5,6,7,8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B B的子集的集合个数为.18．【2019年浙江预赛】已知集合A={k+1,k+2,⋯,k+n},k,n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=.19．【2019年重庆预赛】设A为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合B={x+y|x,y∈A, x≠y}，若B={log26, log210, log215}，则集合A=________.20．【2019年北京预赛】已知集合A={x|x2+x−6>0},B={x|x2−2ax+3≤0},若a>0,且A∩B中恰有两个整数,则a的取值范围是.21．【2019年福建预赛】已知f(x)=x2-2x，集合A={x|f(f(x))=0}，则集合A中所有元素的和为.22．【2019年福建预赛】已知集合U={1，2，3，4，5}，I={X|X⊆U}，从集合I中任取两个不同的元素A、B，则A∩B中恰有3个元素的概率为.23．【2019年贵州预赛】已知集合A={1,2,3,……,2019},对于集合A的每一个非空子集的所有元素,计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为.24．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.25．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为.|a∈A，b∈A，且a≠b}，则集合B中元素26．【2018年福建预赛】已知集合A={1，3，5，7，9}，集合{ab的个数为________.27．【2018年江苏预赛】在1，2，3，4，…，1000中，能写成a2−b2+1(a∈N)的形式，且不能被3整除的数有________个。
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题40排列组合与图论第三缉1．【2020年吉林预赛】若(1+x+x2)1010的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020，则a0+a3+a6+⋯+a2019=()A.3670B.3669C.31009D.31100【答案】C【解析】令x=1,得a0+a1+a2+⋯+a2020=31010;①令x=ω(ω=−12+√32i).则ω3=1且ω2+ω+1=0,a0+a1ω+a2ω2+a3ω3+⋯+a2020ω2020=0;②令x=ω2,得a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+⋯+a2020ω4040=0.③①+②+③得3(a0+a3+a6+⋯+a2019)=31010⇒a0+a3+a6+⋯+a2019=31009.2．【2019年贵州预赛】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=15,BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB,BC)长度为整数的线段的条数是()A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】因为顶点B到斜边AC的距离12,所以顶点B与斜边各点的连线中长度为13、14、15的线段各有两条,长度为12、16、17、18、19、20的线段各有一条,故满足条件的线段共有12条.3．【2019年吉林预赛】将1,2,3,…,9这9个数全部填入下图的3x3方格内,每个格内填一个数,则使得每行中的数从左至右递增,每列中的数从上至下递减的不同填法共有()种(A)12(B)24(C)42(D)48【答案】C【解析】1只能填在左下角格内,9只能填在右上角格内.中心格内的数字可能为4,5,6,现分3种情 形讨论：(1)若中心格内填4,则2和3只能填在与1相邻的两个位置,易知此时共有A 22C 42=12种填法:(2)若中心格内填6,与上述情形类似,共有12种填法(3)若中心格内填5,则与1相邻的两个位置可能填写2和3或者2和4，若填写2和3,则4有两个位置可以选择,此时共有A 22C 21C 31=12种填法；若填写2和4,则3只能填在与2相邻的位置,此时共有A 22C 31=6种填法.综合上述情形,表格共有12+12+12+6=42种填法.4．【2017年四川预赛】在(x +y +z )8的展开式中,所有形如x 2y a z b (a,b ∈N )的项的系数之和是( )(A)112 (B)448 (C)1792 (D)14336【答案】C【解析】提示：因为(x +y +z )8=∑C 8k 8k=0x 8−k (y +z )k ,故所有形如x 2y a z b (a,b ∈N )的项的系数之和为C 86×26=1792.5．【2017年黑龙江预赛】形如45132这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1、2,3、4、5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为()(A)20(B)18(C)16(D)11【答案】C【解析】提示:分两类,第一类:千位和十位是5和4,则有A 22A 33, 第二类千位和十位是5和3,则有A 22A 22.所以总共有12+4=16种.6．【2017年贵州预赛】将1,2,⋯,9这九个数字填在如图所示的九个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当5固定在图中中央位置时,则填写空格的方法种数为()(A)12(B)15(C)16(D)18【答案】D【解析】提示：由题意知,左上角空格只能填1,右下角空格只能填9,第一行(列)可填1,2,3;1,2,4;1,3,4.其中每一种情况对应第三行(列)可填6,7,9;6,8,9;7,8,9. 故所有填法种数为6×3=18. 故选C.7．【2016年辽宁预赛】将2、3、4、6、8、9、12、15共八个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约数均大于1.则所有可能的排法共有()种A ．720B ．1014C ．576D ．1296 【答案】D 【解析】先将八个数分成三组:I(2,4,8),Ⅱ(3,9,15),Ⅲ(6,12)由I 组中与Ⅱ组中的数无公因子,知满足条件的排列必为:(1)取出6、12两数以后,剩余数分成三部分排列(依次)I 、Ⅱ、I 或Ⅱ、I 、Ⅱ,此时,这六个数的排列有2×3!×3!×2=144种.而6、12放在不同部分相交的地方有两种不同的放法,共有2×144=288种(2)取出6、12两数以后,剩余数分成两部分排列I 、Ⅱ或Ⅱ、I,此时,这六个数有2×3!×3!种排列方式,而6、12若全部在I 组与Ⅱ组的交界处,有两种排法,否则,只有一个在交界处,另一个位置有六种选法,共有2×3!×3!×(2+2×6)=1008. 故所求的排法数为1008+288=1296.8．【2016年湖南预赛】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：设一共有n 个选手，故总场次C n−32+6−x =(n−3)(n−4)2+6−x =50，其中x 为上述3名选手之间比赛的场数，则x=(n−3)(n−4)2−44，经验证，当n=13时，x=1.考点：排列组合.9．【2015年四川预赛】已知n为正整数，二项式(x2+1x3)n的展开式中含有x7的项，则n的最小值为（）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】注意到，所求二项式展开式的通项公式为T r+1=C n r(x2)n−r(1x3)r=C n r x2n−5r由2n−5r=7(r∈N)，知当r=1时，n有最小值6.10．【2021年广西预赛】某校n名同学通过选拔进入学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论A、B和C三个问题.已知寿位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题.每两位同学只讨论一个问题.若至少有3名同学互相之间讨论的是同一个问题，求n的最小值，并给出证明.【答案】n的最小值为17.证明见解析【解析】n的最小值为17.设所求的最小值为m.(1)先考虑n=17的情形.将17名同学表示为a1,a2,…,a17.因为163>5,根据抽屈原理知a1与其他16名同学中至少有6人讨论的是同一个问题,不妨设a1与a2,…,a7讨论的是问题A.若这6人中有2个人(不妨是a2和a3)讨论的是问题A,则a1,a2和a3这3名同学互相之间讨论的是问题A.否则，问题转化为这6名同学之间只讨论问题B或C的情形.下面证明至少有3名同学互相讨论的是同一个问题.因为52>2,根据抽屉原理知a2与其他5名同学中至少有3人(不妨是a3,a4和a5)讨论的是同一个问题，不妨设所讨论的是问题B.若这3人中有2人(不妨是a3和a4)讨论的是问题B,则a2、a3和a4这3名同学互相之间讨论的是问题B.否则a3,a4和a5讨论的是问题C.因此，m≤17.(2)当n=16时，考虑二进制下的集合G={0000,0001,⋯,1111}，集合中每一个数表示一名同学。
⎣
⎦
图1 图2 图3
∆内不难看出，这里的10个正六边形的直径为1，它们可以被看做10只“抽屉”，对于三角形ABC 部和边界上任取11个点，根据抽屉原理，至少有一个正六边形包含两个点。
而在这个正六边形中，任意两点间的距离不超过1，这样便证明了我们所要的结论。
图5
11个点中存在两个点，他们间的距离严格小于1
()(n n d
P P n >02.n P P P ≤≤,8均成立13
k +即可半径画圆，这个圆覆盖上述d n
P P >0102.n P P P P P P ≤≤为半径画k 上任意一点
P P>‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50 n
该排列为“好排列”
的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法
图1 图2
第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。
如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。
★解析：在表1中，取0,4,14,24,34====---i i i i i i i i x x x x (25,,2,1 =i )，其余各数均取24
1
，25
任意白色。
