菱形的性质与判定辅导讲义

关于顶点角
菱形的顶点角是锐角或钝角， 但不可能是直角。
判定条件
1 条件一：四条边相等
菱形的四条边都必须相等长度。
2 条件二：对角线相互垂直
菱形的对角线必须相互垂直。
3 条件三：对角线平分对方
菱形的对角线必须平分对方，即每条对角线的中点都是菱形的顶点之一：检查边长
菱形对角线
你可以看到，菱形的对角线相互垂 直且平分对方。
实例分析
例子一：蓝色菱形
这个蓝色的图形是一个菱形， 因为它的边长相等，并且它的 对角线相互垂直且平分对方。
例子二：红色非菱形
这个红色的图形不是菱形，因 为它的边长不相等，对角线也 不相互垂直。
例子三：绿色非菱形
这个绿色的图形不是菱形，因 为虽然它的边长相等，但对角 线不相互垂直。
《菱形的性质与判定》课 件
欢迎来到《菱形的性质与判定》课件！在本节课中，我们将探索菱形的定义、 性质以及判定条件。让我们一起开始这个充满惊喜的学习之旅吧！
性质与定义
什么是菱形？
菱形是四边形的一种特殊形式， 它的四条边都相等。
菱形的性质
菱形的对角线相互垂直且平分 对方，而且每条对角线的中点 都是菱形的顶点之一。
总结与应用
菱形是一种特殊的四边形，它具有四条相等的边，对角线相互垂直且平分对 方。通过检查边长、对角线和对角线的中点，我们可以判断一个四边形是否 为菱形。掌握菱形的性质和判定条件有助于我们在几何学和实际生活中应用 这些知识。
确保四边形的四条边长度相等。
2
步骤二：检查对角线
验证四边形的对角线是否相互垂直。
3
步骤三：检查对角线的中点
确认四边形的对角线是否平分对方，并检查对角线的中点是否与顶点重合。

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2．如图，菱形ABCD的边长为4 cm，对角线AC，BD 交于O，∠BAD＝60°.求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4 cm ∴BO＝2 cm，∴AO＝2 3 cm，∴AC＝4 3 cm
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
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知识点3：对角线平分对角
【例3】如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，
连接OB，OD，求证：OB＝OD.
【例3】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO AD＝AB
在△ADO和△ABO中， ∠DAO＝∠BAO ， AO＝AO
∴△ADO≌△ABO(SAS)，∴OB＝OD.
第1课时 菱形的性质
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（一）基础呈现 菱形的定义：有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做 菱形． 菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质； （2）菱形不同于一般平行四边形的性质： ①四条边都 相等 ； ②两条对角线 垂直平分 ，并且每条对角线平分对角． ③菱形是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（2）平行四边形的对角
相等
.
（3）平行四边形的对角线 互相平分 .
第1课时 菱形的性质
知识回顾
几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴（边）__如__A__B_＝__C_D_________________________； （角）____∠__A__＝__∠__C_________________________； （对角线）__O_A__＝__O_C_，__O__B_＝__O_D__等______________.
第1课时 菱形的性质

习题解析
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为 ，∴菱形的面积为 .
课程总结
小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
=2 × △ABD的面积
思考：你还有其他的方法计算菱形的面积吗？
（2）菱形ABCD的面积.
课程讲授
新课推进
菱形的面积等于对角线乘积的一半.
课程讲授
新课推进
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
A
B
C
D
分析：画辅助线构建三角形，通过证明三角形全等得出相等的线段.
课程讲授
菱形
定义
性质
判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
菱形的四条边都相等
对角线互相垂直且平分每一组对角
轴对称图形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
课程导入
思考：王大爷家有一块菱形的菜地，怎样求出这块菜地的面积呢？
想一想：菱形的面积怎么求？
例1
如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：（1）对角线AC的长度；
解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）.
∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直）,
解：菱形ABCD的面积=△ABD的面积＋△CBD的面积
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.

起病时间应以患者最后一次被发现没有症状为准， 所以对睡眠中起病的患者，起病时间应算作没有症 状开始休息时；
如果患者有一个较轻的症状随后逐渐加重，起病时 间应从症状首发开始算；
如果患者有一次TIA发作但完全缓解，随后又有第二
次发作则起病时间应从新症状出来时开始算。
首 先 要 明、病因、注意颅压增 高症、脑干受压症、脑疝 形成症。
评估是否需要紧急溶栓治疗； 进行一些诊断学研究以明确是否存在急性的
内科或神经科方面的卒中并发症； 对病史和其他一些资料进行分析以推断本次
卒中的血管分布区和可能的病因和病理生理。
二：诊断
遇到病人，首先询问病史、 查体、再进行必要的辅助检查。
病史：向周围人群了解发病 先兆、原因、急缓、发病的过程 中的意识变化（如头外伤后昏迷 后的再次昏迷可能是硬膜外血 肿）、伴随的症状。
既往史、服药史环境与现场的情况。
查体：生命征T、P、R、BP、气味、 皮肤粘膜、瞳孔、胸、腹、四肢、 神经系统、脑膜刺激征（颈强直、 克氏、布氏征）。
辅助检查：常规检查、CT、MRI、 脑脊液检查。
搬运：拍病人看神志、平放取出口 腔异物、解领扣领带、头侧向一侧、 三人平运。
病史和体检
突发的或逐渐进展的局灶神经科症状； 大部分患者意识是清醒的（大面积半球
C1
有简单的监护设备进行溶栓C1
如果病人到医院后不能溶栓，应该有书 面通知病人或病人家属，转到有条件的 医院进行溶栓C1，在时间窗之内通知病 人转院。
3：急性缺血性卒中的急诊评价
1、神经科记录
所有的怀疑脑血管病人都要有一份完整病 史和体格检查记录。C1
2、最初的影像检查 所有的怀疑脑血管病人都要有CT、MRI。
与脑出血的鉴别

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

∴ BD∥ CE. ∴∠ABO= ∠E=50°.
又∵四边形ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD. ∴∠ AOB=90°.
∴∠ BAO=180 °－∠ AOB－∠ ABO=40°．
感悟新知
知2－练
2-1. 如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD=
80 °，AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点F，E 为垂足，连接DF，
∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
又∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知1－练
(2)若AB=AC， 判断四边形ACDE 的形状，并说明理由.
解：四边形ACDE是菱形．理由如下：
学习目标
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲授 菱形的定义
菱形的性质
菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
两个条件缺一不可.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
B.1
D. 3
D )
感悟新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知3－讲
知识点 3 菱形的判定
感悟新知
元
素
文字语言
边 定 有一组邻边相
义 等的平行四边
法 形叫做菱形
定 四边相等的四
理 边形是菱形
对 定 对角线互相垂

平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
C
B
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求OE的长．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形；
A E
F
B
D
C
随堂练习
3．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结 论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正 确的结论的序号是___①__②__③____．
D
lA
C
B
随堂练习
4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E. 求证：四边形ADCE是菱形.
菱形的性质与判定
学习目标
1.理解并掌握菱形的两个判定方法. 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
新课导入
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2、菱形的性质： ①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分.
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行 计算和推理.
证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) .
A
21FEC来自DB∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
例3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD

面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。

第2课时 菱形的判定
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变式训练 1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD 交CE于点F，FG∥AC交CD于点G. 求证：四边形ACGF是菱形． 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3， ∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形．
，
∠EOD＝∠FOB
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
第2课时 菱形的判定
新知导航
3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE
（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接
第2课时 菱形的判定
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 点F在DE的延长线上，且AF＝CE. 求证：四边形ACEF是菱形． 证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC， ∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE 又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形 ∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE 又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60° ∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF. ∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
第2课时 菱形的判定
轻松件是（ B ）
A. AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2课时 菱形的判定
轻松过招
2．（202X·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对
角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不

菱形的性质及判断中考要求知识点 A 要求B要求Ｃ要求菱形会辨别菱形掌握菱形的观点、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决有关判断解决简单问题问题知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特别的平行四边形，它拥有平行四边形的全部性质，?还拥有自己独到的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线相互垂直均分且每条对角线均分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．评论：其实只需四边形的对角线相互垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判断判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判断② ：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．判断③ ：四边相等的四边形是菱形．重、难点要点是菱形的性质和判断定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它是特别的平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，因此就增添了一些特别的性质和不一样于平行四的基础。

难点是菱形性质的灵巧应用。

因为菱形是特别的平行四边形，因此它不只拥有平行四边形的性质，同时还拥有自己独到的性质。

假如获得一个平行四边形是菱形，就能够获得很多对于边、角、对角线的条件，在实质解题中，应当应用哪些条件，如何应用这些条件，经常让很多学生惊慌失措，教师在教课过程中应赐予足够重视。

例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分红全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和本来的菱形重合，那么旋转的角度起码是【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC16cm ，则1度．A B C1图2⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD的边长是 ______．AE FB DC【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P，证明： AB 与 EF 相互均分．DEHA CPBF【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．AHB DOC图1【稳固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线AC8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点E，则DE的长为【例 5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【稳固】如图 2，在菱形ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8A DBC图 2【稳固】如图 3，在菱形ABCD中， A 110， E、 F 分别是边 AB和 BC的中点， EP CD 于点 P，则FPC （）A．35B．45C．50D．55DAE PCB F图3【例 6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，而后剪下一个角，为了获得一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30 B ．30或 45 C ．45或60D．30或60【稳固】菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么EAF 等于．【稳固】如图，将一个长为10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再翻开，获得的菱形的面积为（）A． 10cm 2 B ． 20cm 2C． 40cm2D． 80cm 2DA CB图1【例 7】☆已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例 8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，ABC 60，?沿着菱形的对角线修筑了两条小道AC和BD ，求两条小道的长和花坛的面积．AOB DC图2【例 9】已知，菱形ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，若AE AF EF AB ，求 C 的度数．AB DE FC板块二、菱形的判断【例 10】如图，假如要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是．A DB C【例 11】☆如图，在ABC 中， BD 均分ABC ， BD 的中垂线交AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，求证：四边形 BEDF 是菱形AE DB FC 【稳固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 的垂直均分线与边AD 、 BC 分别订交于 E、 F .求证：四边形 AFCE 是菱形.A EDOBF C【例 12】如图，在梯形纸片ABCD中，AD / / BC，AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连接 C E .求证：四边形 CDC E 是菱形．A C'DB EC 【例 13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P ，证明： AB 与 EF 相互均分A E D A E DP PF B C F B C【稳固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点E 与点 C 重合，得GFC ．若 B 60 ，当 AB 与 BC 知足什么数目关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．A G DB E FC【例 14】如图，在ABC中，AB AC，M是BC的中点．分别作MD AB于D，ME AC于 E ，DF AC 于 F ， EG AB 于 G ． DF 、EG 订交于点 P ．求证：四边形DMEP 是菱形．AG P FD EB MC 【例 15】如图，ABC中，ACB 90，AD是BAC 的均分线，交 BC 于D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB于 E ，求证：四边形CDEF 是菱形．CDFAH E B【稳固】☆如图， M 是矩形 ABCD 内的随意一点，将MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M ' 的地点⑴画出平移后的三角形；⑵连接 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形MDM 'C 的对角线相互垂直，且长度分别等于AB，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么地点时，在上述变换下，四边形MDM 'C 是菱形？为何？A DMM'B C三、与菱形有关的几何综合题【例 16】已知等腰△ABC中，AB AC ， AD 均分 BAC 交 BC 于 D 点，在线段 AD 上任取一点 P （ A 点除外），过 P 点作 EF∥ AB，分别交 AC 、 BC于 E 、 F 点，作 PM ∥ AC，交 AB于 M 点，连结ME.⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当 P 点在哪处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？CDE PFABM课后练习1.菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形 ABCD 中，AB4a ，E 在BC上， BE 2a， BAD120 ，P 点在BD上，则PE PC的最小值为A DPB E C3.已知菱形的一个内角为60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形 ABCD中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，且 BEAF60， BAE 18 ．求：A DFBE C5.如图，在ABC 中， AB AC ，D 是 BC 的中点，连接 AD ，在 AD 的延伸线上取一点 E ，连接 BE ，CE ．当 AE 与 AD 知足什么数目关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明原因．BADE C6.如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知AB AC ．⑴按序连接 A 、 D 、 F 、 E 四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的种类和相应的条件．⑵当BAC 为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDAB C7.如图，已知BE、CF分别为ABC 中B、 C 的均分线， AM BE于M，AN CF于N，求证： MN ∥ BC．AFENMB C。

于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO2 BO2 32 62 3 5 cm.
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5(cm)．
第一章 特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（第1课时） 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情境引入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四 边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 OB2 AB2 , ∴ OA AB2 OB2 62 32 3 3 . ∴ AC=2OA= 6 3（菱形的对角线互相平分）.
图1-2
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交 于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求 BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+BO2=AB2, ∴ BO AB2 AO2 52 42 3 . ∵ BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴ BD=6 cm.
练习 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
2. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， 求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，

《菱形的性质与判定》（一）说课稿清镇市第三中学教育集团马玲各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《菱形的性质与判定》，下面，我的说课将从以下几个环节展开：一、教材分析：1、教学内容《菱形的性质与判定》是北师版九年级数学上册第一章第一节的内容，《菱形的性质与判定》共2个课时，本节课学习的是第一课时的内容。

教学内容是菱形的概念及菱形的性质。

2、教学内容的地位及作用“菱形的性质与判定”是在平行四边形之后所研究的第一种特殊的平行四边形。

它既是对平行四边形的延续和深入，同时也是为后面学习正方形做好铺垫，有一个承上启下的作用。

另外，也为后面探索矩形的性质与判定、正方形的性质与判定提供很好的模式和方法。

3、教学目标根据新课标的要求，结合学生实际，本节课的教学目标为：知识与技能：了解菱形的概念及其与平行四边形的关系，体会菱形的轴对称性，掌握菱形的性质。

过程与方法：经历利用折纸等活动探索菱形的性质的过程，发展合情推理的能力。

情感与态度鼓励学生积极思考，大胆探索，学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。

4、教学重点掌握菱形的性质5、教学难点运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。

二、学情分析：学生经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。

再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、说教法根据新课程理念，为了充分体现学生是课堂的主体，在教学中采用了启发式教学法、发现教学法、学导式教学法等。

四、说学法根据新课改的理念及学生的身心特点，为了把课堂还给学生，在学习中指导学生采用了动手实践、观察比较、交流讨论等方法。

五、教学过程设计第一环节课前准备1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。

知识点 4 菱形的性质与判定的综合运用
本小节知识点常结合上学期《平行四边形》《三角形的 证明》《图形的平移与旋转》相关内容进行考查。 若不熟悉请及时复习准备课课件
若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较
2 短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱
形分成四个全等的含30°角的直角三角形.
3
在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来 做题，能够迎刃而解.
知识点 2 菱形的判定
两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
知识点 1 菱形及其性质
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱 形
性质
边
菱形的对边平行 菱形的四条边相等
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角
角
菱形的对角相等 菱形的邻角互补
对称性
菱形既是中心对称图形， 又是轴对称图形，对称轴是两条 对角线所在的直线
常用解题技巧
1
菱形中已知边长线垂直平分，再结合勾股定理解题.
一组邻边相等 对角线互相垂直
对角线互相垂直平分 四边相等
知识点 3 菱形的面积
菱形的面积计算公式： (1)S = a·h. (2)S = AC·DB.
D
C
h
O
A
a
B
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
解题技巧
菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半. 所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.

菱形要点：要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、 .菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），中心 .菱形的面积：（ 1）一种是平行四边形的面积公式：底×高（ 2）另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例 1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A.对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的【答案】 A∴可得边长为 4 ，则菱形周长为16 ．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．例 3、菱形的两条对角线长分别是14cm 和 20cm ，则它的面积为__ ．【答案】140cm 2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积1 2 S= ×14 ×20=140(cm ).2例 4、如图所示，在菱形ABCD 中， AC ＝ 8， BD ＝ 10 ．求： (1)AB 面积．解： (1) ∵四边形ABCD是菱形．∴1AC ，OB ＝1AC⊥BD，AO ＝BD ．2 2又∵AC ＝8， BD ＝10．1 1∴ AO ＝×8＝ 4， OB ＝×10＝ 5．2 22 2 2 在 Rt △ ABO 中，AB OA OBS菱形 ABCD 1 1(2) 由菱形的性质可知：AC BD 8 102 2例 5、菱形的两条对角线长为 6 和 8，则菱形的边长为________ ．解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O， AC ＝ 8， BD ＝ 6 ，由菱形性质知：AC 与 BD 互相垂直平分，例 6、菱形ABCD中，∠ A∶∠B＝1∶5，若周长为8 ，则此菱形的高等长度，则根据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角故四边形ABCD 是菱形．（ 2）根据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积= 试题解析：（ 1 ）证明：∵在 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点O∴ AO= AC=3 ， BO= BD=4 ，2 2 2∵ AB=5 ，且 3 +4=5，22 2∴AO +BO =AB ，∴△ AOB 是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图所示：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC=AB=5 ，∵ S△ABC =AC?BO=BC?AH ，∴×6×4=×5×AH，解得： AH=．例 8、在四边形 ABCD 中， AB//CD ，∠ B= ∠ D. （ 1）求证：四边形ABCD为平行四边形；∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠ DAB= ∠ DCB ，∵PE⊥AB 于 E，PF⊥ AD 于 F，且 PE=PF ，∴∠ DAC= ∠ BAC= ∠ DCA= ∠ BCA ，∴ AB=BC ，∴四边形 ABCD 是菱形．课后习题：1．在下列说法中，菱形对角线不具有的性质是()A.对角线互相垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C.对角线相等；D.对角线互相平分．【解析】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角形的一条对称轴，故选 C.2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC 、 BD 相交于点O ， E 为 AB 菱形ABCD的周长为（）A.12B.16C.8D.4【解析】试题解析：∵四边形ABCD为菱形，∴ AC ⊥ BD ， AB=BC=CD=DA，∴△ AOB为直角三角形．∵ OE=2 ，且点 E 为线段AB 的中点，∴AB=2OE=4．C菱形ABCD=4AB=3．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线之比 3 ： 4 ，则菱形面积为（则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为 4 ，则菱形周长为16 ．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．5．如图，在菱形ABCD中，点P 是对角线AC 上的一点，PE ⊥ AB P 到 AD 的距离为________________．【解析】∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠ DAB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：P到 AD 的距离＝P 故答案是:5.6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O 在原点，点B 的纵坐标是- 1，则顶点 A 坐标是A ．（ 2， 1）B．（ 1， - 2）C．（ 1， 2）【答案】 D ．试题解析：连接AB 交 OC 于 D ，如图所示：点 C 的坐标是（4， 0），点 A 的纵坐标是1，∴OC=4 ， OA=1 ，∵四边形OACB是菱形，∴OC ⊥AB ， OD=1，OC=2 ， OB=OA=12∴菱形的边长为32÷4=8cm∵∠ ABC ∶∠ BAD =1 ∶ 2，∠ ABC+ ∠ BAD =180 °（菱形的邻角互补），∴∠ ABC=60 °，∠ BCD =120 °，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AC =AB=8cm ，∵菱形 ABCD 对角线AC 、 BD 相交于点O ，∴ AO=CO ， BO=DO 且 AC⊥BD，∴ BO=4 3 cm ，∴ BD=8 3 cm；（ 2）菱形的面积：1 1 2 AC?BD= ×8×8 3 =32 3 （cm）2 28、已知菱形ABCD 中， E、 F 分别是 CB 、 CD 上的点，且 BE=DF ．求证：（ 1 ）△ ABE ≌△ ADF ；（ 2）∠ AEF= ∠ AFE ．9、如图，在□ ABCD 中，∠ BAD 的平分线交BC 于点 E，∠ ABC 的平与 BF 相交于点O ，连接 EF（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若 AE＝ 6， BF ＝ 8， CE ＝，求□ABCD 的面积．【答案】（ 1）证明见解析（2） 36【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质得到四边形四边形，然后再根据一组领边相等的平行四边形是菱形，证得结论（ 2）过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H ．根据菱形的对角线求出边长，然后同理AB ＝ AF ．∴ AF ＝ BE ．∴四边形 ABEF 是平行四边形．∵AB ＝∴四边形ABEF 是菱形．（ 2）解法一：过点 A 作 AH ⊥ BC 于点H ．∵四边形ABEF 是菱形，AE ＝ 6， BF ＝ 8，∴AE ⊥BF， OE＝3，OB＝ 4．∴ BE＝ 5．∵ S 菱形ABEF＝AE BF ＝BE AH，∴AH＝× ×÷＝．6 8 5∴S□ABCD＝ BC AH ＝ (5＋ ) ×＝ 36．解法二：∵四边形ABEF 是菱形， AE ＝ 6， BF ＝ 8 ，∴AE ⊥BF， OE＝3，OB＝ 4．∴ BE＝ 5．∵ S 菱形ABEF＝AE BF ＝×6×8＝24，∵CE ＝， BE＝ 5，∴S□ABCDS 菱形ABEF ＝×24＝36．＝【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判定方法有五多种，之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。

.菱形的性质及判定【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．【例题精讲】板块一、菱形的性质【例1】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．【例2】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．【例3】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？【例4】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．三、解答题1.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求直线C D的函数解析式．2.（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC 的长． （2）求∠AOB 的度数．（3）以OB 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．板块二、菱形的判定【例1】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例5】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA例1 已知：如图1，在菱形ABCD 中，AE⊥CD，且AE=OD ，求∠ADC 的度数。