菱形的性质与判定辅导讲义

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

菱形的性质及判断中考要求知识点 A 要求B要求Ｃ要求菱形会辨别菱形掌握菱形的观点、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决有关判断解决简单问题问题知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特别的平行四边形，它拥有平行四边形的全部性质，?还拥有自己独到的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线相互垂直均分且每条对角线均分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．评论：其实只需四边形的对角线相互垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判断判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判断② ：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．判断③ ：四边相等的四边形是菱形．重、难点要点是菱形的性质和判断定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它是特别的平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，因此就增添了一些特别的性质和不一样于平行四的基础。

难点是菱形性质的灵巧应用。

因为菱形是特别的平行四边形，因此它不只拥有平行四边形的性质，同时还拥有自己独到的性质。

假如获得一个平行四边形是菱形，就能够获得很多对于边、角、对角线的条件，在实质解题中，应当应用哪些条件，如何应用这些条件，经常让很多学生惊慌失措，教师在教课过程中应赐予足够重视。

例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分红全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和本来的菱形重合，那么旋转的角度起码是【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC16cm ，则1度．A B C1图2⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD的边长是 ______．AE FB DC【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P，证明： AB 与 EF 相互均分．DEHA CPBF【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．AHB DOC图1【稳固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线AC8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点E，则DE的长为【例 5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【稳固】如图 2，在菱形ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8A DBC图 2【稳固】如图 3，在菱形ABCD中， A 110， E、 F 分别是边 AB和 BC的中点， EP CD 于点 P，则FPC （）A．35B．45C．50D．55DAE PCB F图3【例 6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，而后剪下一个角，为了获得一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30 B ．30或 45 C ．45或60D．30或60【稳固】菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么EAF 等于．【稳固】如图，将一个长为10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再翻开，获得的菱形的面积为（）A． 10cm 2 B ． 20cm 2C． 40cm2D． 80cm 2DA CB图1【例 7】☆已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例 8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，ABC 60，?沿着菱形的对角线修筑了两条小道AC和BD ，求两条小道的长和花坛的面积．AOB DC图2【例 9】已知，菱形ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，若AE AF EF AB ，求 C 的度数．AB DE FC板块二、菱形的判断【例 10】如图，假如要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是．A DB C【例 11】☆如图，在ABC 中， BD 均分ABC ， BD 的中垂线交AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，求证：四边形 BEDF 是菱形AE DB FC 【稳固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 的垂直均分线与边AD 、 BC 分别订交于 E、 F .求证：四边形 AFCE 是菱形.A EDOBF C【例 12】如图，在梯形纸片ABCD中，AD / / BC，AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连接 C E .求证：四边形 CDC E 是菱形．A C'DB EC 【例 13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P ，证明： AB 与 EF 相互均分A E D A E DP PF B C F B C【稳固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点E 与点 C 重合，得GFC ．若 B 60 ，当 AB 与 BC 知足什么数目关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．A G DB E FC【例 14】如图，在ABC中，AB AC，M是BC的中点．分别作MD AB于D，ME AC于 E ，DF AC 于 F ， EG AB 于 G ． DF 、EG 订交于点 P ．求证：四边形DMEP 是菱形．AG P FD EB MC 【例 15】如图，ABC中，ACB 90，AD是BAC 的均分线，交 BC 于D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB于 E ，求证：四边形CDEF 是菱形．CDFAH E B【稳固】☆如图， M 是矩形 ABCD 内的随意一点，将MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M ' 的地点⑴画出平移后的三角形；⑵连接 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形MDM 'C 的对角线相互垂直，且长度分别等于AB，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么地点时，在上述变换下，四边形MDM 'C 是菱形？为何？A DMM'B C三、与菱形有关的几何综合题【例 16】已知等腰△ABC中，AB AC ， AD 均分 BAC 交 BC 于 D 点，在线段 AD 上任取一点 P （ A 点除外），过 P 点作 EF∥ AB，分别交 AC 、 BC于 E 、 F 点，作 PM ∥ AC，交 AB于 M 点，连结ME.⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当 P 点在哪处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？CDE PFABM课后练习1.菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形 ABCD 中，AB4a ，E 在BC上， BE 2a， BAD120 ，P 点在BD上，则PE PC的最小值为A DPB E C3.已知菱形的一个内角为60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形 ABCD中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，且 BEAF60， BAE 18 ．求：A DFBE C5.如图，在ABC 中， AB AC ，D 是 BC 的中点，连接 AD ，在 AD 的延伸线上取一点 E ，连接 BE ，CE ．当 AE 与 AD 知足什么数目关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明原因．BADE C6.如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知AB AC ．⑴按序连接 A 、 D 、 F 、 E 四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的种类和相应的条件．⑵当BAC 为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDAB C7.如图，已知BE、CF分别为ABC 中B、 C 的均分线， AM BE于M，AN CF于N，求证： MN ∥ BC．AFENMB C。