1.1行列式定义性质与计算

第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。

在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。

因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。

全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。

这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。

即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。

行列式与矩阵的初等变换行列式和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。

本文将介绍行列式和矩阵的概念，以及它们之间的关系，并探讨初等变换在行列式和矩阵运算中的作用。

一、行列式的定义与性质1.1 行列式的定义行列式是一个数学对象，用于表示方阵中各个元素的线性关系。

对于n阶方阵A = (aij)，其行列式记作det(A)或|A|。

1.2 行列式的性质- 行列互换：将方阵A的两行交换位置，行列式的值变号。

- 行列式倍乘：将方阵A的某一行乘以k，行列式的值乘以k。

- 行列相等：若两个方阵A和B除了某两行互换外其他行完全相等，则它们的行列式相等。

二、矩阵的初等变换2.1 矩阵的行初等变换- 互换：交换矩阵A中的两行。

- 消元：将矩阵A中的某行乘以k后加到另一行上。

- 缩放：将矩阵A中的某一行乘以k，k为非零常数。

2.2 矩阵的列初等变换列初等变换与行初等变换类似，只是变换的对象是列而非行。

三、行列式与矩阵的关系3.1 行列式的计算计算行列式的常用方法有展开法、方阵分解法和初等变换法。

其中，初等变换法是一种简便有效的计算方法。

通过对行列式进行初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，进而方便进行计算。

3.2 行列式与矩阵的关系行列式可以通过矩阵来计算，也可以通过矩阵的初等变换来求解。

对于n阶方阵A，其行列式等于A经过一系列行(列)初等变换后得到的方阵的行列式。

四、初等变换的应用4.1 线性方程组的求解通过初等变换可以将线性方程组转化为简化的梯形方程组，从而方便求解。

利用初等变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法。

4.2 矩阵的求逆矩阵的逆矩阵是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。

通过初等变换，可以将矩阵转化为简化的阶梯矩阵，从而求得矩阵的逆。

4.3 线性方程组的克拉默法则利用行列式的性质，可以通过克拉默法则求解线性方程组。

克拉默法则使用了行列式的概念，通过计算方程组中各个方程的行列式来求解未知数。

高等数学行列式教材第一章：行列式的引入与基本概念行列式是高等数学中重要的概念之一，它在线性代数和微积分等领域都有广泛的应用。

本章将引入行列式的基本概念，并讨论其性质和计算方法。

1.1 行列式的定义行列式是一个方阵所对应的特征量，用来描述线性方程组的解的性质。

一个n阶的方阵可以表示为一个n维的向量空间中的变换操作。

行列式的值可以用来衡量这个线性变换对空间的扩大或压缩的程度。

1.2 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，包括线性性、反对称性和对角线性等等。

这些性质是行列式理论的基础，对于后续的内容理解和应用都非常重要。

1.3 行列式的计算方法求解行列式的值可以通过展开定理、数学归纳法和辅助行列式等方法。

本节将介绍这些计算方法，并通过例题详细说明具体的步骤和技巧。

第二章：行列式的性质和性质二阶和三阶行列式是最简单的行列式，它们的性质和计算相对较为简单。

本章将深入研究二阶和三阶行列式的性质，并介绍它们的一些重要特点和应用。

2.1 二阶行列式二阶行列式由两个元素构成，它有一些独特的性质和计算方法。

本节将详细介绍二阶行列式的定义、展开和计算过程，并通过例题演示应用。

2.2 三阶行列式三阶行列式是三个元素构成的行列式，它相比二阶行列式更加复杂。

本节将介绍三阶行列式的性质、计算方法以及一些特殊情况下的计算技巧。

通过练习题的讲解，帮助学生理解三阶行列式的概念和应用。

第三章：行列式的性质和应用行列式在线性代数和微积分等领域有广泛的应用，本章将进一步研究行列式的性质，并介绍一些应用场景。

3.1 行列式的性质行列式具有很多重要的性质，包括行列互换、倍基行、行列式的性质扩展等。

本节将介绍这些性质，并通过例题演示应用。

3.2 行列式的应用行列式在解线性方程组、求逆矩阵、计算曲线和曲面的面积和体积等方面有广泛的应用。

本节将结合具体的问题，把行列式的概念和计算方法应用到实际场景中，帮助学生学以致用。

第四章：高阶行列式与特殊行列式的计算高阶行列式和特殊行列式具有一些特殊的性质和计算方法，本章将详细讨论这些内容，并且通过例题加深学生对行列式的理解和应用能力。

，这是一个非常有趣的数学主题，涉及到行列式和幂运算的结合。

在本文中，我将从深度和广度的角度对这个主题进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章。

一、行列式的n次方1.1 行列式的定义和性质让我们回顾一下行列式的定义和性质。

行列式是一个非常重要的数学概念，上线性代数和线性方程组的解法中都有广泛的应用。

行列式的n次方指的是将一个n阶方阵的行列式进行幂运算，这个概念需要我们从多个角度来理解。

1.2 行列式的展开和计算接下来，我们将深入探讨行列式的展开和计算方法。

行列式的展开可以通过代数余子式和拉普拉斯定理来实现，不同的展开方法会影响到最终行列式的计算结果。

在此过程中，我们需要关注行列式的性质和特点，从而正确地进行幂运算。

1.3 行列式的n次方的实际应用我们将探讨行列式的n次方在实际问题中的应用。

行列式的n次方可以用来描述多个变量之间的线性关系，例如在经济学和物理学中都有相应的案例。

这些应用案例将帮助我们更好地理解行列式的n次方在数学领域中的意义和作用。

二、a的n次方的行列式2.1 a的n次方的行列式的定义和性质接下来，让我们来考虑a的n次方的行列式。

这是一个由行列式和幂运算结合而成的新概念，需要我们从更抽象的角度来理解。

我们将从a 的n次方的定义和性质入手，逐步展开对这个主题的探讨。

2.2 a的n次方的行列式的计算和推导随后，我们将深入探讨a的n次方的行列式的计算和推导方法。

这将涉及到代数运算和数学推导，需要我们灵活运用行列式的性质和幂函数的特点。

通过具体的例子和步骤，我们将更好地理解这个主题的深度和复杂性。

2.3 a的n次方的行列式的应用和意义让我们来探讨a的n次方的行列式在实际问题中的应用和意义。

同样，这个概念也可以在各种学科和领域中找到相应的案例，帮助我们更好地理解其实际价值和意义。

总结回顾行列式的n次方和a的n次方的行列式是一个非常有意思的数学主题。

通过深入和广泛的学习，我们可以更好地理解其在数学领域和实际问题中的应用。

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。

这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。

1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。

事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。

性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1 行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

例如）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2 当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。

主对角线为0的行列式-回复题目：主对角线为0的行列式：概念、性质与计算方法引言：行列式是线性代数中一个重要的概念，既有理论上的研究价值，也有实际应用中的重要性。

主对角线为0的行列式在一些特殊情况下被广泛研究，本文将会一步一步回答关于该主题的概念、性质与计算方法。

一、行列式的定义与基本性质1.1 行列式的定义：行列式是一个方阵（n×n矩阵）所为的一个标量，用det(A)或A 表示。

行列式的定义有多种方式，其中一种常见的定义为：如果A是一个2×2矩阵，A=[a, b; c, d]，则A =ad-bc。

对于更高阶的矩阵，行列式的定义可以通过展开、代数余子式或矩阵的特征根等方式获得。

1.2 主对角线为0的行列式：如果方阵A的主对角线上的元素都为0，则称该行列式为主对角线为0的行列式。

即A=[0, a, b; c, 0, d; e, f, 0]。

1.3 行列式的性质：- 互换两行（列）行列式变号；- 两行（列）互换行列式不变；- 一行（列）的公因子可以提到行列式外；- 行列式中某一行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，行列式不变（行列式具有线性性质）；- 单位矩阵的行列式为1。

二、主对角线为0的行列式的性质与计算方法2.1 定理1：对于主对角线为0的行列式，删除其中一行（列），得到的子行列式的绝对值和原行列式的绝对值之比为(-1)^(i+j)。

2.2 推论1：对于3×3主对角线为0的行列式A=[0, a, b; c, 0, d; e, f, 0]，其中a, b, c, d, e, f为具体的数字，则有A =-(ad^2+eb^2+cf^2)。

2.3 定理2：如果一个n阶行列式的某一行（列）全为0，则该行列式的值为0。

2.4 计算主对角线为0的3×3行列式：考虑一个3×3主对角线为0的行列式A=[0, a, b; c, 0, d; e, f, 0]，根据推论1，我们可以将其计算转化为计算一个2×2的子行列式。

定义法求行列式的值的方法一、定义法求行列式值的基本概念1.1行列式是什么呢？简单来说，行列式就像是一个有着特殊规则的数阵的“特征值”。

它是一个由数字组成的方形阵列，方阵的行数和列数是相等的。

比如说一个2×2的行列式，就像一个小小的数字方阵，规规矩矩地站在那里，等着我们去探索它的奥秘。

1.2那定义法求行列式的值又是怎么一回事呢？这就好比是按照老祖宗传下来的最原汁原味的方法去计算。

对于二阶行列式，我们有一个简单的公式。

就像打开一扇通往宝藏的小门将其计算出来。

例如对于行列式公式，它的值就是ad bc。

这就像是一个小口诀，简单好记。

二、三阶行列式的定义法求值2.1三阶行列式就稍微复杂一点了。

它的计算规则有点像搭积木，按照特定的顺序来。

我们可以按照第一行展开，这就像是从最上面那一层开始拆积木。

对于行列式公式，它的值等于公式乘以它的代数余子式减去公式乘以它的代数余子式再加上公式乘以它的代数余子式。

这听起来有点绕，但是只要一步一步来，就像走楼梯一样，稳稳当当的就能算出来。

2.2代数余子式又是什么呢？这就好比是行列式这个大集体中的一个个小分支。

对于元素公式，它的代数余子式就是把第公式行和第公式列去掉后剩下的行列式乘以公式。

这就像是给每个小分支都贴上了一个独特的标签，方便我们在计算中准确地找到它的位置。

2.3我们来举个例子，比如计算公式的值。

按照第一行展开，就是公式。

然后再按照二阶行列式的计算方法算出结果。

这就像一场小小的数学冒险，每一步都充满了探索的乐趣。

三、更高阶行列式的定义法求值3.1当行列式的阶数更高的时候，计算会变得更加复杂。

但是万变不离其宗，还是按照定义法，从某一行或者某一列展开。

就像处理一个超级大的拼图，虽然块数很多，但是只要找到规律，一块一块地拼，总能完成。

3.2比如说一个四阶行列式，我们还是可以选择某一行或者某一列，然后按照每个元素乘以它的代数余子式这样的方式逐步展开计算。

这就像是一场持久战，要有耐心，不能急于求成。