高等数学 第五版 上册

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2. 逆映射与复合映射 g : Rf → X
g f的逆映射, f 映射 称为 的逆映射,记作 ,
定义域: 定义域: Df = Rf
1
1
值域: 值域: Rf = X
1
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g : X → Y1, f : Y2 → Z ,
Y 其中 1 Y2.
f g: X →Z
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三 函数
1. 函数的概念
例
圆内接正多边形的周长
, 例如 2x 1, x > 0 f ( x) = 2 x 1, x ≤ 0
y = x2 1
y = 2x 1
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例 符号函数
1, x > 0 y = sgn( x) = 0, x = 0 1, x < 0
定义域(∞,+∞).
值域{1,0,1}. , ,
y
1
°
x
o
° –1
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例 取整函数(阶梯曲线) y = [x] 为不超过 x 的最大 整数部分. 如图:
{x a < x < b} 称为开区间 记作(a, b) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作[a, b] o a
b
x
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{x a ≤ x < b} {x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间
记作[a, b)
称为半开区间, 称为半开区间 记作(a, b] 以上都是有限区间,以下是无限区间: 以上都是有限区间,以下是无限区间:
反之, 反之, 如果
即 亦即
因此 所以
x A 或 xB x A∩ B
x ∈( A∩ B)C
AC ∪ BC ( A∩ B)C
8
于是得到 ( A∩ B)C = AC ∪ BC
注意 ∈ 且 ∈ A与B的直积 A×B {(x,y)x∈A且y∈B} ×
. 例 设 A = {正, 反} B = {1,2,3}, 则集合 , A× B = {(正,1), (正,2), (正,3), (反,1), (反,2), (反,3)}.
3l 2
在(无穷 多个正周期中若存在一个最小数,此最小数称为最小正周期. 无穷)多个正周期中若存在一个最小数,此最小数称为最小正周期. 无穷 多个正周期中若存在一个最小数 最小正周期
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注意
一个周期函数有无穷多个周期, 一个周期函数有无穷多个周期, 均为周期. 如 y=sin x,±2π,±4π…均为周期. , ± 均为周期 一般函数的周期均指最小正周期, 一般函数的周期均指最小正周期,但并非所有周期函数 都存在最小正周期. 都存在最小正周期 如: f(x) = c 事实上, 对任何 y∈(-∞, +∞)都有 f(x+y)=f(x). +∞ 事实上, ∈ +∞ 例 设 c ≠ 0 , x∈(-∞, +∞), f(x+c) = -f(x), ∈ ( ) ( ), 证明f( )为周期函数. 证明 (x)为周期函数. 证明: 证明: ∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x) 为周期为2c的函数 ∴f(x)为周期为 的函数. 为周期为 的函数.
1. 映射概念
定义: 定义:设 X,Y 是两个非空集合,如果存在一个法则 f, , 是两个非空集合, , 使得对X 中每个元素x,按法则f, 使得对 中每个元素 ,按法则 ,在Y 中有唯一确 定的元素y与之对应,则称f为从 到Y的映射,记作 为从X到 的映射, 定的元素 与之对应,则称 为从 与之对应
(2) 函数的单调性 函数的单调性:
D 设函数 f ( x)的定义域为 , 区间I ∈ D, 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当x1 < x2时,
恒有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ( f ( x1 ) > f ( x2 ) ),
( ) 则称函数f ( x)在区间I上是单调增加减少的;
y
y = f (x)
f (x)
-x o 偶函数 x
f (x)
x
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设D关于原点对称, 对于x ∈ D, 有
f ( x) = f ( x), 称 f ( x)为奇函数 .
y
y = f (x)
f (x)
-x o
f (x)
x
x
奇函数
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(4) 函数的周期性 函数的周期性:
f D 设函数 ( x)的定义域为 , 如果存在一个不为零的
x2 1 y= x 1
y
y = x +1
1 x -1 0 x
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? 例4. y = x 与 y = x2 是不是相同的函数关系
定义域相同而对应规则不同的两个不同的函数 y
y=x
y
y = x2
0
x
0
x
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在自变量的不同变化范围中, 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 式子来表示的函数 称为分段函数 称为分段函数
C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则 A= C. =
不含任何元素的集合称为空集 不含任何元素的集合称为空集. (记作) 空集 例如, 例如 { x x ∈ R, x + 1 = 0} =
2
空集为任何集合的子集. 规定 空集为任何集合的子集
5
2. 集合的运算 .
设 A, 是两集合,则 B
点a叫做这邻域的中心, δ 叫做这邻域的半径 .
记作
U(a,δ ) = {x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
a a δ a+δ 0 点a的去心的 邻域, 记作U(a,δ ). δ
x
U(a,δ ) = { x | 0 < x a < δ }
注意:邻域总是开集 注意:邻域总是开集.
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0
二 映射
y
° ° 实际上是取左端点.
–2 –1 o ° 2 1 ° –1
° ° °
x
注: 分段函数虽有几个式子, 但它们合起来表示一个 函数, 而不是几个函数.
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2. 函数的特性 (1) 函数的有界性 函数的有界性:
设D是f ( x)的定义域, 若M > 0, x ∈ D, 有 f ( x) ≤ M ,
记作 A B.
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数集分类: 数集分类
N----自然数集 自然数集 Q----有理数集 有理数集
Z----整数集 整数集 R----实数集 实数集
数集间的关系: 数集间的关系 N Z, Z Q, Q R.
= A . 若A B,且B A, 就称集合 与B相等 ( A= B)
例如 A = {1,2},
例如, 例如,x2 + y2 = a2.
函数的表示法:公式法,图形法,表格法. 函数的表示法:公式法,图形法,表格法.
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例1
求 y =arcsin
的定义域和值域. 2 x 的定义域和值域.
解: 0 ≤ 2 x ≤ 1 函数的定义域为: 函数的定义域为: π 1 ≤ x ≤ 2, 函数的值域为 0 ≤ y ≤ . : 2
高 等 数 学
第五版 上册 同济大学应用数学系 主编
dx = rx dt
本学期学习内容
第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用
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第一章 函数与极限
§1.1 映射与函数 §1.2 数列的极限 §1.3 函数的极限 §1.4 无穷小与无穷大 §1.5 极限运算法则 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 §1.7 无穷小的比较 ……………. .
x 例2 求 y = cotπ x + arccos 2 的定义域 .
解: πx ≠ kπ
x ≠ k, k = 0,±1,±2, x x≤0 2 ≤ 1
得定义域为 x < 0 且 x ≠ 1,2,
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x2 1 ? 例3. y = 与 y = x + 1是不是相同的函数关系 x 1
定义域不同的两个不同的函数 y 2 1 -1 0 1
3
y = f ( x)
§1.1 映射与函数 一 集合
1. 集合概念
所谓集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 元素. 元素
a∈ M, ∈ a M, A = {a1 , a2 ,, an }
M = { x x所具有的特征}
有限集
x A . 若x ∈ A,则必 ∈ B, 就说 是B的子集
例如, y = 1 x2 例如,
y= 1 1 x
2
D :[1,1], f (D) :[0,1].
D : (1,1), f ( D) :[1,+∞).
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如果自变量在定义域内任取一个数值时, 如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应 的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函 的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函 否则叫多值函数 多值函数. 数,否则叫多值函数.
∈ 且 ∈ 例. R ×R= {(x,y)x∈R且y∈R} 表示 xoy 面上全体点的集合 R ×R常记为 R2 常记为
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区间, 3. 区间,邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个实数叫做区间的端点 这两个实数叫做区间的端点. 端点
a, b ∈ R,且a < b.
f . . 则称函数 ( x)在D上有界否则称无界
y M y=f(x) o -M 有界 x D
x0