高考数学一轮总复习 第六篇 第3讲 等比数列及其前n项
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1 第3讲 等比数列及其前n项和
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝ ( )．
A.116 B.18 C.14 D.12
解析 在等比数列{an}中a24＝a3a5，又a4＝a3a5，
所以a4＝1，故q＝12，所以a7＝18.
答案 B
2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝ ( )．
A．4·32n B．4·23n
C．4·32n－1 D．4·23n－1
解析 (a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝32，
∴an＝4·32n－1.
答案 C
3．(2013·泰安模拟)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝ ( )．
A．2 B.12 C．2或12 D．3
解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，
化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.
答案 A
4．(2013·江西盟校二模)在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝ ( )．
A．8 B．15(2＋1)
C．15(2－1) D．15(1－2) 2 解析 ∵a2a6＝a24＝8，∴a21q6＝8，∴q＝2，∴S8＝1－q81－q＝15(2＋1)．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·广州综合测试)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．
解析 因为an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.
答案 7
6．(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析 根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或12，由a25＝a10＝a1q9＞0⇒a1＞0，又数列{an}递增，所以q＝2.a25＝a10＞0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案 2n
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2013·九龙坡区调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，
∴an＋1＋1an＋1＝2，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.
(2)解 ∵4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，
∴4b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2，
∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，
即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝12n2＋n.
8．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； 3 (2)求数列{bn}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴an＋1－1an－1＝12.
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝12，∴c1＝－12，公比q＝12.
∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．
(2)解 由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，
∴an＝cn＋1＝1－12n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1
＝12n－1－12n＝12n.
又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.
4 B级 能力突破
(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·全国)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝ ( )．
A．2n－1 B.32n－1
C.23n－1 D.12n－1
解析 当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
解得3an＝2an＋1，∴an＋1an＝32.
又∵S1＝2a2，∴a2＝12，∴a2a1＝12，
∴{an}从第二项起是以32为公比的等比数列，
∴an＝ 1，n＝1，1232n－2，n≥2.
∴Sn＝32n－1.
答案 B
2．(2013·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为 ( )．
A.12 B.32 C．1 D．－32
解析 因为a3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝3π3.
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a74＝7log33π3＝7π3，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝32.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x 5 ＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．
解析 由已知可得a1＝f(1)＝12，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝122，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝123，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝12n，
∴Sn＝12＋122＋123＋…＋12n
＝121－12n1－12＝1－12n，
∵n∈N*，∴12≤Sn<1.
答案 12，1
4．(2012·苏州二模)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列12an为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－nn－12d；④若d>0，则Sn一定有最大值．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析 对于①，注意到12an＋112an＝12an＋1－an＝12d是一个非零常数，因此数列12an是等比数列，①正确．对于②，S13＝13a1＋a132＝13a2＋a122＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋nn－12d＝n[an－(n－1)d]＋nn－12d＝nan－nn－12d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋nn－12d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.
答案 ①②③
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2011·江西)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2， 6 由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，
代入(*)得a＝13.
6．(13分)(2012·合肥模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝4n－13＋1＋nn2.
