集合与命题复习

第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】❖ 知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:❖ 例题讲解 例1(1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD.AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合. 例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，AB =∅.❖ 回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。

高中数学第一轮复习01集合与命题·知识梳理·模块01：集合的概念和性质1、集合概念能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

集合常用大写字母、、、C B A …来表示，集合中的元素用、、、c b a …表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。

全体自然数组成的集合，即自然数集，记作：N ；不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作：∅。

2、集合的表示法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法。

模块02：集合之间的关系与运算1、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以B A ⊆不要忘记Φ=A 。

word第一章集合与命题一．集合：1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集，有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。

2． ∈⊆，的比较：元素与集合间关系用,∈∉；集合与集合间关系用⊆⊇，类； 3． 交集，并集，补集的比较4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C 5． 集合的运算性质： ① A B =B A ，A B =B A② ()AB C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A B =U U C A C B , ()U U U C A B C A C B =④AA A =A A A =A ∅=∅A A ∅=6．有限集的元素个数有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式：（1）设有限集合A, card(A)=n,则(ⅰ)A 的子集个数为n2；(ⅱ)A 的真子集个数为12-n；(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n.（2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ，m<n,则(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为mn -2；word(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m n ；⑶容斥原理：card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．二．四种命题形式及关系1． 概念：2.命题，真（假）命题 逆命题，否命题，逆否命题 等价命题2.一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：３．常用词语的否定：三．充要条件1．若α⇒β，则称α是β的充分条件，也即β是α的必要条件； 若α⇔β，则称α是β的充要条件；原命题 若p 则q 否命题若p 则q逆命题 若q 则p逆否命题若q 则p互逆 为 ? ? 互 否 逆 ? 互 逆 为 互 否互 逆 否互 否在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一： ①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件； ②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件； ③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条； ★要点：看清题目问的是:谁是谁的什么条件2．子集与推出关系 ： 设A,B 是非空集合，A={}|x x α具有性质,B={}|y y β具有性质,则A ⊆B 与α⇒β等价。

高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。

通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。

本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。

一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。

在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。

下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。

2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。

3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。

4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。

5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。

在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。

幂集的元素个数为2^n。

2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。

除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。

2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。

通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。

二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。

在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。

1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。

2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。

1.1 集合与命题一、解答题。

1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。

2015届高三数学题型与方法专题一：集合与命题班级： 姓名：一、集合的概念与运算1．设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B=则满足S A ⊆且φ≠B S 的集合S 的个数是（ B ）（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）82．对于复数a,b,c,d ，若集合S=｛a,b,c,d ｝具有性质“对任意x,y ∈S ，有xy ∈S ”，则当时，b+c+d 等于 （ B ）A. 1B. -1C. 0D. i3．设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是31a -<<-；4、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个.二、命题5．命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是若,02log ≥a _则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数；6．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题中的真命题是___②③④__；①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．三、充要条件7．“1a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的 （ B ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设0＜x ＜2π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （ B ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （ C ）（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件11．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 （ B ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要四、综合训练12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4。

集合和命题是数学中的基础概念之一，它们在逻辑推理和问题求解中起着重要的作用。

本文将介绍集合和命题的基本概念，并以“step by step”的思维方式进行解释。

集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号或其他事物。

我们可以用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。

例如，集合A可以表示为 A = {1, 2, 3, 4}，其中1、2、3和4是A的元素。

集合可以通过包含和不包含元素的方式进行描述。

如果一个元素属于某个集合，我们可以说它是该集合的成员。

如果一个元素不属于某个集合，我们可以说它不是该集合的成员。

例如，如果 B = {2, 4, 6, 8}，我们可以说2是B的成员，但5不是B的成员。

集合可以有无限多个元素，也可以只有一个元素或者没有元素。

一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号 {} 或者∅ 表示。

集合之间可以进行一些基本的操作，包括并集、交集和补集。

并集表示两个或多个集合中所有元素的总和，交集表示两个或多个集合中共有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。

命题命题是陈述语句，可以被判断为真或假。

例如，“1 + 1 = 2” 是一个命题，因为它可以被判断为真。

命题可以用字母或其他符号来表示，例如 p、q 或者 P、Q。

命题之间可以进行一些逻辑操作，包括否定、合取、析取和条件。

否定操作表示一个命题的相反，合取操作表示多个命题同时为真，析取操作表示多个命题中至少有一个为真，条件操作表示一个命题的条件是另一个命题。

命题之间的逻辑操作可以通过真值表来进行表示和计算。

真值表列出了命题和逻辑操作的所有可能组合，以及它们的结果。

通过真值表，我们可以确定逻辑操作的结果是真还是假。

step by step 思维“step by step”思维方式是一种逐步推理和解决问题的方法。

它可以帮助我们将复杂的问题分解为更小的部分，逐步解决。

这种思维方式在数学推理中尤为重要，因为它可以帮助我们清晰地组织思路，避免错误和混淆。

暑期复习第一课：集合、命题及简易逻辑复习复习要求：1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质。

5、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义知识点：定义：一组对象的全体形成一个集合. 特征：确定性、互异性、无序性.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图 分类：有限集、无限集.数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *、空集φ. 关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝. 运算：交运算A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}；并运算A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B};补运算A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集 性质：A ⊆A ； φ⊆A ； 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ； A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A ；C U (A ⋃B)＝(C U A)∩(C U B). 方法：韦恩示意图, 数轴分析.注意：① 区别∈与、与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ.③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n。

④区分集合中元素的形式：如}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xyz x x y z G =++==。

第一讲 集合与命题【例1】（1）若非空集合{}135X x a x a =+≤≤-，{}116Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{}07a a ≤≤B ．{}37a a ≤≤C ．{}7a a ≤ D ．空集 （2）设集合(){},loglog 0aa A x y x y =+>，(){},B x y y x a =+<．若A B =∅ ，则a的取值范围是（ ）A ．∅B ．0,1a a >≠C ．02,1a a <≤≠D ．12a <≤（3）设X 是含()2n n >个元素的集合，A 、B 是X 中的两个互不相交的子集，分别含有m 、(),1,k m k m k n ≥+≤个元素，则X 中既不包含A 也不包含B 的子集的个数是（ ）A ．222n m n k n m k ----+-B ．2n m k --C ．2222n n m n k n m k ------+D ．12222n n m n k n m k +------+（4）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合：①,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭，②R {}\0，③1,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，④整数集Z 中，以0为聚点的集合有（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．①②④ （5）条件甲：1sin a θ+=，条件乙：sincos22a θθ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分必要条件B ．甲是乙的必要条件C ．甲是乙的充分条件D ．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 （6）对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（ ） A ．逆命题为“周期函数不是单调函数” B ．否命题为“单调函数是周期函数” C ．逆否命题为“周期函数是单调函数” D ．以上三者都不正确（7）棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是（ ） A ．棱柱有一条侧棱与底面垂直B ．棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C ．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直D ．棱柱有一个侧面是矩形且它与底面垂直 （8）若{}{}{}2,11,2,1,2,3,a a a ⊂⊂，则a 的值是_______________．札 记合*111log 2,23n n n N ⎧⎫-<<-∈⎨⎬⎩⎭的真子集的个数为___________．（10）从集合{},,,U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件： ①∅、U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇． 那么，共有________种不同的选法． （11）11220a b a b ≠是二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有解的__________条件． （12）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α、β是两个相交平面，空间两条直线1l 、2l 在α上的射影是直线1s 、2s ，1l 、2l 在β上的射影是直线1t 、2t ．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件________________________________________． 【例2】设集合(){}M x f x x ==，()(){}N x f f x x ==．（1）求证：M N ⊆；（2）若()f x 是一个在R 上单调递增的函数，是否有M N =？若有，请证明．札 记在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点()3,0T ，那么3OA OB ⋅=”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【例4】已知2113x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，3arctan ,1,03B y y b t t b ⎧⎫⎪⎪==-≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，A B =∅ ，求b 的取值范围．札 记已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()f x 单调递增，()10f -=．设()2s i n c o s2x x m x m ϕ=+-，集合()0,,02M m x x πϕ⎧⎫⎡⎤=∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的，()()0,,02N m xf x πϕ⎧⎫⎡⎤=∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的，求M N ．【跟踪训练】1、设集合{}1,2A =，则从A 到A 的映射f 中满足()()()ff x f x =的映射的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点．我们用I 表示平面上所有直线的集合，M 表示恰好通过一个整点的直线的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合，给出表达式①M N P I = ，②N ≠∅，③M ≠∅，④P ≠∅，其中正确表达式的序号是_______________． 3、设(){}22,,,S x y xy x y R =-∈为奇数，()()(){22,sin 2sin 2T x y x y =π-π=()()}22cos 2cos 2,,xy x y R π-π∈，则S 与T 的关系为_______________．4、已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：①C A B ⊂ ，且C 中含有3个元素；②C A ≠∅ ． 札 记。