第六章 动荷载 交变应力

第六章动荷载交变应力知识要点1 动荷载问题构件处在加速度运动状态，或荷载以一定的速度作用到构件上，或构件本身突然改变运动状态，均属动荷载问题。

2 两类动荷载问题（1）构件处在加速运动状态或突然改变运动速度。

（2）构件本身不运动，受到的荷载具有一定的速度，即冲击问题。

3 解决动荷载问题的两种方法（1）动静法将构件视为一个质点系，应用达朗伯尔原理，在作加速度运动的构件上施加以惯性力，则作用在构件上的原力系与惯性力系组成平衡力系，把一个动力学问题在形式上作为静力学问题处理，因此在计算构件的应力和应变时要考虑惯性力的影响。

（2）用能量法解冲击问题①冲击问题计算的假设a.冲击物体为刚体，即不考虑冲击物体的变形，冲击物体与被冲击物体的接触是无弹性的（忽略弹性回跳的影响）。

B.冲击应力瞬时传遍被冲击物体。

c.被冲击物体的弹性模量E与静载时相同。

d.冲击过程只有动能与势能的转化，忽略其他能量损耗。

②冲击问题的计算——利用机械能守恒原理，系统（包括冲击物体和被冲击物体）在冲击前瞬时的总机械能（包括动能和势能）等于系统在冲击后瞬时的总机械能。

4 作等加速度运动的构件内的应力 （1）等线加速问题 动应力 st d d K σσ=式中，st σ为静应力，d K 为动荷因数。

ga K d +=1 （2）等角加速度问题圆轴内最大扭转切应力pW I ετ0max =式中，0I 和ε分别为圆轴上飞轮对轴的转动惯量和旋转角加速度。

5 等角速度旋转构件的动应力 （1）薄圆环作等角速度旋转圆环横截面上的拉应力2224v D d ρρωσ==式中，ρ和v 分布是杆的密度和杆端的线速度。

（2） 等直杆绕定轴做等角速度旋转 杆横截面上的最大拉应力 222max 212v L ρρωσ==式中，ρ和v 分布是杆的密度和杆端的线速度。

L 是杆长。

6 构件受冲击荷载时的动应力 （1）水平冲击冲击荷载引起的动应力st d d K σσ= 式中，st σ为静应力，d K 为动荷因数。

st2d g v K ∆=式中，v 是冲击物体的速度，st ∆为静荷载作用时的变形。

（2）自由落体冲击冲击荷载引起的动应力 st d d K σσ=式中，st σ为静应力，d K 为动荷因数。

std h211K ∆++=式中，h 是自由落体至被冲击物体表面的高度。

7 交变应力及疲劳破坏的概念 （1）交变应力构件内某定点的应力随时间作周期性的变化。

（2）应力循环构件内某定点的应力经历一次完整的变化过程，回复到原来的应力值，称为应力循环一次。

（3）应力循环中的特征值 ①循环应力极值 min max ,σσ②循环特征（应力比） m a xm i nr σσ=③应力幅 m i nm a x σσσ∆-=当m in m ax σσ-=时，1r -=，称为对称循环；当0min =σ时，0r =，称为脉冲循环；在一般情况下，0min max ≠≠σσ称为非对称循环；在静应力下，min max σσ=，1r +=。

若在工作过程中，应力循环最大和最小应力值保持不变，称为稳定的交变应力，否则称为不稳定的交变应力。

（4）疲劳破坏金属在交变应力下发生的不同于静应力所造成的破坏称为疲劳破坏。

疲劳破坏的特征如下：①构件的最大应力在远小于静应力的强度极限时，就可能发生破坏。

②即使是塑性材料，在没有明显的塑性变形下就可能突然的断裂破坏。

③断口明显地呈现两个区域：光滑区和粗糙区。

8 持久极限及影响因素 （1）持久极限经无限次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力值。

持久极限与材料性质、变形形式及循环特征有关。

（2）材料的持久极限材料在某种变形形式和循环特征下的持久极限称为材料持久极限，用r σ（或r τ）表示。

材料的持久极限由疲劳试验测定。

对称循环的持久极限记为1-σ。

（3）影响构件持久极限的主要因素①构件外行的影响——构件外形尺寸的突然变化引起的应力集中，使构件持久极限降低，有效应力集中因数极限有应力集中试件的持久光滑试件的持久极限=σk有效应力集中因数由试验测定。

②尺寸大小的影响——构件尺寸增大，材料包含缺陷的可能性增多，从而使构件的持久极限降低，尺寸因数光滑小试件的持久极限光滑大试件的持久极限=σε③表面质量的影响——构件表面加工质量将影响构件的持久极限，表面质量因数限表面磨光试件的持久极久极限不同表面质量构件的持=β9 钢结构及其连接的疲劳计算 （1）常幅疲劳在应力循环中的应力幅若保持为常数，这种情况下的疲劳称为常幅疲劳，而当应力幅有起伏时，则称为变幅疲劳。

①疲劳强度条件[]σ∆σ∆≤②许用应力幅[]βσ∆1N C ⎪⎭⎫⎝⎛=式中，参数C 和β可以从文献1表6－1查得。

（2）变幅疲劳①疲劳强度条件[]σ∆σ∆≤e②等效应力幅()[]ββσ∆σ∆1i i i e n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∑∑式中，∑i n 为以应力循环次数表示的结构预期使用寿命，i n 为预期使用寿命内应力幅水平为i σ∆的实际应力循环次数。

习 题 详 解6-1 用钢锁起吊kN 60P =的重物，并在第一秒钟内以等加速度上升m 5.2，如题6-1图(a)所示。

试求钢索横截面上的轴力Nd F （不计钢索的质量）。

解 因重物以等加速度a 提升，故钢索除受重力P 外，还受动荷载（惯性力）作用。

根据动静法，将惯性力g Pa F 1=加在重物上，如题6-1图（b ）所示，由重物的平衡方程0=--a gPP F Nd 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=g a P F Nd 1根据运动学等加速度直线运动公式 221at s = 计算出加速度()2222/5/15.222s m s m t s a =⨯== 钢索横截面上的轴力()kN N g a P F Nd 6.9081.951106013=+⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6-2 题6-2图(a)所示以起重机，重kN 5P 1=，装在两根跨度m 4l =的a 20号工字钢上，用钢索起吊kN 5P 2=的重物。

该重物在前s 3秒内按等加速上升m 10。

已知[]MPa 170=σ，试校核该梁的强度（不计梁和钢索的自重）。

解 根据运动学，重物等加速度上升的加速度 ()2222/920/31022s m s m s a =⨯== 根据动静法，将惯性力a g P F 21=加在重物上，如题6-2图（b ）所示，工字钢梁中点的集中荷载为kNkN ag P P P F d 36.6692081.950505221=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++=++= 梁内的最大弯矩 m kN l F M d d ⋅⨯==4436.664max 查文献1附录ш型钢表，可得a 20号工字钢横截面的弯曲截面系数 3310237mm W ⨯= 梁内的最大正应力[]MPa MPa Pa W M d d 170140101023721036.662933max max=<=⨯⨯⨯⨯==-σσ 工作应力小于许用应力，梁安全。

6-3 用绳索起吊钢筋混凝土管如图6-3图(a)所示。

如管子的重量kN10P =，绳索的直径mm 40d =，许用应力[]MPa 10=σ，试校核突然起吊瞬间时绳索的强度。

解 绳索的受力图如题6-3图（b ）所示。

利用静力学平衡条件很容易确定静载时绳索内力()kN kN F F Ns 07.721045cos 20===设突然起吊瞬间的加速度为，则绳索内力为()kN g a g a P F Nd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=107.745cos 210当突然起吊瞬时，加速度0a =时，则有 kN F Nd 07.7= 绳索内的应力()MPa Pa d F A F Nd Nd d 63.504.041007.74232=⨯⨯===ππσ 当g a =时，绳索内的应力()[]σππσ>=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==MPa Pa d g a A F Nd d 26.1104.041007.74107.7232 所以，当突然起吊加速度超过重力加速度时，绳索强度不够。

6-4 一杆以角速度ω绕铅锤轴在水平面内转动。

已知杆长为l ，杆的横截面面积A 为，重量为1P 。

设有另一重为P 的重物连接在杆的端点，如题6-4图(a)所示。

试求杆的伸长。

解 重物P 以角速度ω绕铅锤轴在水平面内转动，其惯性离心力为 211ωl gP F =重物P 的惯性离心力引起杆的伸长量为()gEAPl EA ll g P l 2221ωω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆在题6-4图（b ）中，杆的微段1dx 产生的惯性离心力为 121112lgdx x P dF ω= 则截面x 上的轴力为()()2221121112lg2lg x l P dx x P dF x F lx lx N -===⎰⎰ωω若在距杆根为x 处取出长为dx 的微段，根据胡克定律，其伸长为()()()dx x l EAP EA dx x F l d N 22212lg 2-==∆ω 故杆以角速度ω绕铅锤轴转动时，在惯性离心力作用下的伸长量为()()gEAl P dx x l EA P l d l ll3lg 222100222122ωω⎰⎰=-=∆=∆ 杆的总伸长()1222212221333P P gEAl gEA l P gEA Pl l l l +=+=∆+∆=∆ωωω 6-5 如图6-5图(a)所示钢轴AB 和钢质圆杆CD 的直径均为mm 10，在D 处有一N 10P =的重物。

已知钢的密度33m /kg 1095.7⨯=ρ。

若轴AB 的转速min /r 300n =，试求杆AB 内的最大正应力。

解 钢轴AB 的角速度 s rad s rad n /10/603002602πππω=⨯⨯== 重物的惯性离心力 ()N N l g P F 6.100101.081.9102211=⨯⨯==πω 圆杆CD 的惯性离心力()NN Al Adx x F l08.3201.041095.710223220212=⨯⨯⨯⨯===⎰ππρωρω杆AB 在点C 的总惯性离心力()N N F F F d 7.10308.36.1001211=+=+=将题6-5图(a)简化为题6-5图（b ）所示的力学模型，应用静力学平衡条件可确定A,B 处的支承反力，并标示在图中。

最大弯矩发生在截面C 处。

m N m N F M d ⋅=⋅⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⨯=913.61.07.103321.032max杆AB 内的最大正应力为 MPa Pa W M 4.7001.0913.6323max max =⨯⨯==πσ 以上计算，并未考虑钢杆AB 的自重。

6-6 如题6-6图所示机车车轮一等转速min /r 300n =旋转，两轮之间的连杆AB 的横截面为矩形，;28,56mm b mm h ==又mm r m l 250,2==。