高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3

1 高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课堂探究 新人教B版必修3

1．辗转相除法与更相减损之术的异同

剖析：相同点：①都是求最大公约数的方法．②更相减损之术的理论依据为：由m－n＝r，得m＝n＋r，可以看出，m，n与n，r有相同的公约数；辗转相除法的理论依据是：由m＝nq＋r可以看出，m，n和n，r有相同的公约数，即二者的“算理”相似．

不同点：①更相减损之术进行的是减法运算，辗转相除法进行的是除法运算，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少．②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损之术则以减数与差相等而得到．

2.秦九韶算法是多项式求值最先进的方法

剖析：(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0的值转化为求递推公式

 v0＝an，vk＝vk－1x＋an－k，(k＝1,2, „，n)中vn的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上来实现．

(2)运算次数减少，只需至多n次乘法和n次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为nn＋12，加法的次数为n次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．

所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．

3．教材中的“探索与研究”

古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法)：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．以求288和123的最大公约数为例，操作如下：

(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)．

想一想这种算法的道理．试着编写程序在计算机上实现．

1.3.2 算法案例—秦九韶算法

学科:高二数学 授课时间：第 周 主备人：高敬伟、郑纯

课题 1.3.2 算法案例—秦九韶算法 课型 新授课

学习目标 三维目标 知识与

技能 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

过程与

方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.

情感态度与价值观 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

教学重点 秦九韶算法的特点。

教学难点 秦九韶算法的先进性理解。

课前准备 自学导学案，检测题，多媒体课件，vb程序

教学方法 先学后教法

教学课时 1课时

第（ 一 ）课时

教学过程 导入 怎样求函数5432()1fxxxxxx，当5x时的函数值？

设计意图：通过已学内容，激发学生兴趣，引出本节所学内容。

示标 1．学会用秦九韶算法求多项式的值。

2．理解秦九韶算法的流程图和程序。

示导 自学内容 教材P37页至P39页

自学时间 约10分钟

自学方法 个体研读教材与小组交流研讨相结合，在自学过程中，成员若遇到疑难点，提供给本组成员研讨，小组长负责主持互助搞懂疑难问题。

自学标准 通过自学完成下面自学指导中的问题。

检测要求 在师生互动交流检查自学效果时，小组成员回答问题，其他组可以补充。

自学指导

1．教材P37页中，计算多项式的值时，提到先计算2x的值，在计算后面的3x、4x、5x时采用了什么办法？那样做的有什么好处？

2．通过研读教材，你知道计算机做一次乘法运算和加法运算，进行那种运算花费的

时间长？这对你往后编写程序有什么启示？

3．直到今天，有一种算法仍是多项式求值比较先进的方法，它是我们中国人值得骄傲的一幅篇章，它就是？

4．你对秦九韶有多少了解？说一说，让大家共同感受他的伟大。

5．教材例2的讲解中，对多项式5432423.52.61.70.8xxxxx进行了变形，实质对多项式中含有x的项进行那种变形？小组讨论研究，能归纳总结出秦九韶算法的具体步骤吗？

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算法案例（讲义）

➢ 知识点睛

典型算法举例：

1. 辗转相除法

①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数．

②原理：在a=bq+r中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数．

2. 秦九韶算法

把一个n次多项式改写成如下形式：

1110121102312101210()()(())((()))nnnnnnnnnnnnnnnfxaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaxa………………

记0nva，11nnvaxa，…，10nnvvxa．

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1，然后由内向外逐层计算．

3. 进位制

①k进制：若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式．

110()nnkaaaa…

11011000nnnnaaaaNakaaak≤（，，…，，，，，…，，）

②进位制数相互转化：

k进制转十进制，计算k进制数a的右数第i位数字ia与1ik的乘积1iiak，再将其累加，重复操作求和．

十进制数转k进制数（除k取余法）：

如右图，十进制数化为二进制数，

89=1011001（2）．

➢ 精讲精练

1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数：

（1）459和357的最大公约数是____________；

余数10011012222222012511224489

2

（2）三个数324243135，，的最大公约数是____________．

2. 用秦九韶算法求多项式的值：

（1）计算多项式xxxxxxxf876543)(23456在

1 高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例自我小测 新人教B版必修3

1．下列方法中能求两个正整数的最大公约数的是( )．

A．割圆术 B．更相减损之术

C．秦九韶算法 D．以上均可

2．284和1 024的最小公倍数是( )．

A．1 024 B．142 C．72 704 D．568

3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝6x5＋x4＋4x3＋5x2＋3x＋2在x＝－3时的值的过程中，所做的加法次数为a，乘法次数为b，则a，b的值为( )．

A．a＝4，b＝4 B．a＝5，b＝5

C．a＝5，b＝4 D．a＝6，b＝5

4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3时，令v0＝a6；v1＝v0x＋a5；„；v6＝v5x＋a0时，v3的值为( )．

A．－9.820 5 B．14.25

C．－22.445 D．30.978 5

5．下面程序的目的是( )．

a＝input(“a＝”)；

b＝input(“b＝”)；

while a＜＞b

if a＞＝b

a＝a－b；

else

b＝b－a；

end

end

a

A．求a/b的余数

B．求a，b的最小公倍数

C．求a被b整除的商

D．求a，b的最大公约数

6．用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为________．

7．已知一个5次多项式f(x)＝x5＋0.5x4－4x2＋5x－9，用秦九韶算法求当x＝x0时多项式的值，可把多项式写成：________. 2 8．已知n次多项式Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋„＋an－1x＋an.如果在一种算法中，计算x0k(k＝2,3,4，„，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(x0)的值共需要________次运算．