弹性力学与有限元完整版

一、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？

二、在什么条件下平面应力问题与平面应变问题的应力分量xyyx,,是相同的?

三、体力为零的单连体应力边界问题，设下列应力分量已满足边界条件。试考察它们是否为正确解答，并说明原因。

0,2,2)2(xyyxyx

四、有限单元法中，位移模式应满足什么条件? 下列位移函数

2321xayaxau 2321ybybxbv

能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。

五、设体力为零，试用应力函数22yx，求出图示物体的应力分量和边界上的面力，并把面力分布绘在图上，圆弧边界AB上的面力用法线分量和切向分量表示。

题五图

六、图示矩形截面柱，承受偏心荷载作用，且不计体力。试用应力函数 32BxAx， 求

柱体的应力分量及应变分量。（设hl）

)(,,)1(aybxqbyqaxqxyyxy4

题六图

七、某结构的有限元计算网格如题七图（a）所示。网格中两种类型单元按如题七图（b）所示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为

75.025.05.025.025.0025.075.0025.025.05.05.005.000025.025.0025.025.0025.025.0025.025.0005.00005.0k

（a） （b）

题七图

一、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？

二、在什么条件下平面应力问题与平面应变问题的应力分量xyyx,,是相同的?

三、体力为零的单连体应力边界问题，设下列应力分量已满足边界条件。试考察它们是否为正确解答，并说明原因。

0,2,2)2(xyyxyx

四、有限单元法中，位移模式应满足什么条件? 下列位移函数

2321xayaxau 2321ybybxbv

能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。

五、设体力为零，试用应力函数22yx，求出图示物体的应力分量和边界上的面力，并把面力分布绘在图上，圆弧边界AB上的面力用法线分量和切向分量表示。

题五图

六、图示矩形截面柱，承受偏心荷载作用，且不计体力。试用应力函数 32BxAx， 求

柱体的应力分量及应变分量。（设hl）

)(,,)1(aybxqbyqaxqxyyxy4

题六图

七、某结构的有限元计算网格如题七图（a）所示。网格中两种类型单元按如题七图（b）所示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为

75.025.05.025.025.0025.075.0025.025.05.05.005.000025.025.0025.025.0025.025.0025.025.0005.00005.0k

（a） （b）

题七图

1、已知平面应力问题（单连通域）的应变场为：)(22yxCx，DxCxy2，Cxyxy2（C、D为常数） 当无体力时，试判断它们是否为可能的应变场。（10分）

解：将)(22yxCx，DxCxy2，Cxyxy2代入到应变表示的相容方程 yxxyxyyx22222

因为 Cyx222 , Cxy222 , Cyxxy22

即： 02222-22222CCCCyxxyxyyx

因为不满足相容方程，所以它们不是可能的应变场。

2、试推导弹性力学平面问题的平衡微分方程（须画出受力分析图）。（10分）

解：取微元体PABC（P点附近），xPAd，dyPB，Z方向取单位长度。

设PA面受到的应力为yxy,；PB面上受到的应力为xyx,；微单元体的体力为X,Y。 因正应力分量是位置坐标的函数，所以：

xzyxf),,(

dxxdxxfzyxfKdxxfdxxfzyxfzydxxfxx),,()(!21),,(),,(222

同理可求得AC面的切应力为：

dxxdxxdxxxyxyxyxyxy222)(!21

同理可得BC面上的正应力和切应力为：

dyydyyyxyxyy

由微元体PABC平衡，可得：

000yyDFFM

由0DM可得：

02121)(2121)(dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy整理得：dyydxxyxyxxyxy2121

当0,0dydx时，有yxxy

由0xF可得： 0111)(11)(dyXdxdxdxdyydydydxxyxyxyxxxx两边同除以dx、dy，并整理得：0Xyxyxx

《有限元》讲义

1 2.6 四结点四边形单元

(The four-node quadrilateral element)

前面介绍了四结点的矩形单元

其位移函数:

xyyxU4321

xyyxV8765

为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。

对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

正方形四个结点i,j,m,p按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p。

正方形的 1 和 1 二条边界，分别对应四边形的i，j边界和p,m边界；ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i，p边界和j，m边界。

如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b）。 当然, 局部坐标上的A点与整体坐标的A点对应。

《有限元》讲义

2 一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换

由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为：

2321U

8765V

引入边界条件，即可得位移函数：

ijmpiiUNU

iijmpiVNV

写成矩阵形式：

eepipiedNdNNNNVUf0000