高中数学不等式知识点
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高中数学不等式知识点
不等式
知识点概括 :
一、不等式的观点与性质 1、实数的大小次序与运算性质之间的关系： 2、不等式的性质：
（ 1） a b b a ， a b b a （反对称性）
（ 2） a b, b c a c ， a b, b c a c （传达性）
（ 3） a b a c b c ，故 a b c a c b （移项法例）
推论： a b, c d a c b d （同向不等式相加）
（ 4） a b, c 0 ac bc ， a b, c 0 ac bc
推论 1： a b 0, c d 0 ac bd
推论 2： a b 0 a n bn
推论 3： a b 0 n a n b
不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，要点是正确理解和娴熟运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和增强。 3、常用的基本不等式和重要的不等式
（ 1） a R, a2 0, a 0 当且仅当 a 0,取“ ”
（ 2） a, b R,则 a2 b 2 2ab
（ 3） a, b R ，则 a b 2 ab
（ 4） a 2 b2 ( a b) 2
2 2
4、最值定理 : 设 x, y 0,由x y 2 xy
（ 1）如积 xy P(定值），则积 x y有最小值 2 P
（ 2）如积 x y S(定值），则积 xy有最大值（ S）2
2
即 : 积定和最小，和定积最大。 运用最值定理求最值的三因素：一正二定三相等 5、均值不等式 : a b 两个正数的均值不等式：ab
2 高中数学不等式知识点
三个正数的均 不等是： a b c 3 abc
3
n 个正数的均 不等式： a1 a2 an n a1 a2 an
n
6、四种均 的关系：两个正数 a、b 的 和均匀数、几何均匀数、算 均匀数、均方根之 的关系是
小 : 在不等式的性 中，要特 注意下边 4 点： 1 、不等式的 性：若 a>b,b>c,a>c, 是放 法的依照，在运用 性 ，要
注意不等式的方向，否 易 生 的 ： 明 a>c, 中 量 b, 在 出 a>b,c>b,
后，就 能获得 a>c。
2 、同向不等式可相加但不可以相减，即由 a>b,c>d ，能够得出 a+c>b+d, 但不可以得 a—c>b—d。 3 、不等式两 同 乘以一个数或式 ，只有 数或式保 正，才能获得同向的不等式，否 不可以保 所乘之数或式 正， 不等式两 同 乘以 数或式后不可以确立不等 式的方向；不等式两 同偶次乘方 ，也要特 注意不等式的两 必 是正。
不等式的 用范 十分宽泛，在数学中， 如会合 ，方程 ( ) 的解的 ，函数 性的研究，函数定
域确实定，三角、数列、复数、立体几何、分析几何中的最大 、最小 ，无一不与不等式有着亲密的 系， 多 ，最 都可 不等式的求解 或 明。 二、不等式的 明方法 （1）比 法：作差比 ： A B 0 A B 作差比 的步 ：
①作差： 要比 大小的两个数（或式）作差。
② 形： 差 行因式分解或配方成几个数（或式）的完整平方和。
③判断差的符号： 合 形的 果及 条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比 有困 ，能够通 它 的平方差来比 大小。
（ 2） 合法： 由因 果 由已知的不等式出 , 不停地用必需条件取代前方的不等式 , 直到
推 出前方的不等式。常用的基本不等式有 ?均 不等式； ?若 a, b, m 0 ， a b ，
a a m ； ? 若 a,b R ，| a | | b | | a b | | a | | b | ； ④ 柯西不等式
b b m
n n n
( aibi ) 2 ( ai2 )( bi2 )
i 1 i 1 i 1
（ 3）剖析法： 果索因 基本步 ：要 ⋯⋯只要 ⋯⋯，只要 ⋯⋯ ①“剖析法” 的理 依照： 找 建立的充足条件或许是充要条件。②“剖析法” 是一个特别好的方法，可是 写不是太方便，所以我 能够利用剖析 法 找 的门路，而后用“ 合法” 行表达。 （ 4）反 法： 正 反 直接 明 ，就用反 。
（ 5）放 法： 将不等式一 适合的放大或 小以达 目的放 法的方法有：
①增添或舍去一些 ，如： a 2 1 a ； n(n 1) n ；
②将分子或分母放大（或 小） 高中数学不等式知识点
③利用基本不等式，
如： log 3 lg 5 ( lg 3 lg 5) 2 lg 15 lg 16 lg 4 ；
2
④利用常用结论：
Ⅰ、 k 1 k
k 1
k 2 1 ；
1 k
Ⅱ、 1 1 1 1 ； 1 1 11 （程度大）
k 2 k (k 1) k 1 k k 2 k (k 1) k k 1
Ⅲ、 1 1
1 1 1 ( 1 1 ) ； （程度小）
k 2 k 2 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1
（ 6）换元法： 换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 如：
已知 x2 y 2 a 2 ，可设 x a cos , y a sin ；
已知 x2 y 2 1 ，可设 x r cos , y r sin ( 0 r 1 ) ；
已知 x 2 y 2 1 ，可设 x a cos , y bsin ；
a 2 b 2
已知 x 2 y 2 1 ，可设 x a sec , y b tan ；
a 2 b 2
（7）结构法： 经过结构函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵巧多样，但 比较法、综合法、剖析法和数学概括法 还是证明不等式的最基本方法。要依照题设、题断的结构特色、内在联系，选择适合的证明方法，要熟习各样证法中的推理思想，并掌握相应的步骤，技巧和语言特色。
数学概括法法证明不等式将在数学概括法中特意研究。
例 1 已知 a，b∈ R，且 a+b=1。
求证： a 2 2 b 2 2 25 。
2
证法一：（比较法）
即 a 2 2 b 2 2 25 （当且仅当 a b 1 时，取等号）。
2 2
证法二：（剖析法） 由于明显建立，所以原不等式建立。 评论：剖析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充足条件。
证法三：（综合法）由上剖析法逆推获证（略） 。
证法四：（反证法）假定 (a 2) 2 (b 2) 2 25 ，
2
则a 2 b 2 4(a b) 8 25 。 2 高中数学不等式知识点
由 a+b=1，得 b 1 a ，于是有 a 2 (1 a) 2 12 25
2
所以 (a 1) 2 0 ，
2
2
这与 a 1 0 矛盾。
2
所以 a 2 2 b 2 2 25 。
证法五：（放缩法）∵ a 2
b 1
a 2 b 2 2
∴左侧＝ a 2 2 2
b 2 2 2
1 a b 4 2 25 ＝右侧。
2 2
点 评 ：根 据欲 证 不等 式左 边 是 平 方 和及 a+b=1 这 个 特 点 ， 选 用 基本 不等 式
a 2 b 2 2 a b 2 。
2
证法六：（均值换元法）∵ a b 1，
所以可设 a 1 t ， b 1 t ，
2 2
1
( 1
∴左侧＝ a 2 2 b 2 2 ( t 2) 2 t 2) 2
2 2
2 2 25 ＝右侧 t 5 t 5 2t 2 25
2 2 2 2
当且仅当 t=0 时，等号建立。
评论：形如 a+b=1 结构式的条件，一般能够采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的鉴别式法）
设 y=(a+2) 2+(b+2) 2，
由 a+b=1，有 y (a 2) 2 (3 a) 2 2a2 2a 13 ，
所以 2a 2 2a 13 y 0 ，
由于 a R ，所以 4 4 2 (13 y) 0 ，即 y 25 。
2
故 a 2 2
2 2 25
b 2 。
例 2 a, b, c 0 ，求证： bc ac ab a b c 。
a b c
证： bc ac 2c ，相同地，利用均值不等式，我们能够获得
a b 高中数学不等式知识点
2( bc ac ab) 2(a b c) ，即 bc ac ab a b c 。
a b c a b c
例 3 已知 x, y 0, x y 1 , 求证 (1 1)(1 1 ) 9 。
x y
证： (1 1 )(1 1 ) (1 x y )(1 x y) 4 2 y 2x 1 9
x y x y x y
例 4 已知 a,b, c 0,a b c 1 ，求 3a 1 3b 1 3c 1 的最大值。
解：由题可得 3a 1 2 3a 1 2 当且仅当 3a 1 2 即 a 1 时等式建立。
2
3(a b c) 9 3
同理，可得 2 ( 3a 1 3b 1 3c 1) 6 ；
2
故而可知其最大值为 6.
例 5 已知 x y z 1，求证 x2 y2 z2 1
1 1 3
1
证：令 0 ，且 x , y , z ，于是
3 3 3
x2 y2 z2 1 2 ( ) ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 。
3 3 3 3
例 6 已知 n 是正整数，求证： 1 1 1 1 3
13 23
33
n3
证：当 n 2 时，有
于是 小结：
1 、掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不只用到不等式的性质，不等式证明的技术、技巧，还要注意到横向联合内容的方方面面。如与数列的联合，与“二次曲线”的联合，与“三角函数”的联合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的相互联系、相互浸透和相互限制，这些也是最近几年命题的要点。
