高中数学不等式知识点总结

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- 1 - 不等式

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：abba (2)传递性：cacbba,

(3)加法法则：cbcaba； dbcadcba,

(4)乘法法则：bcaccba0,； bcaccba0,

bdacdcba0,0

(5)倒数法则：baabba110,

(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且

(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且

二、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当baabba

2、使用均值不等式的条件：

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

2221122abababab（当a = b时取等）

例题1、（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且1ab+=xy，求x+y的最小值。

（2）已知00yx，，且302xyyx，求xy的最大值．

三、一元二次不等式02cbxax和)0(02acbxax及其解法

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象 ))((212xxxxacbxaxy ))((212xxxxacbxaxy

cbxaxy2

- 2 - 一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax R

的解集)0(02acbxax  

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式

例题2、解关于x的不等式：12)1(xxa

例题3：不等式03)4)(23(22xxxx的解为（）（数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿）

A．－1

C．x=4或－3

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2、则不等式：如果,0a

axaxax或|| axaxax或||

axaax|| axaax||

3．当0c时， ||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

4、解含有绝对值不等式的主要方法：

①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

②去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法：|| (0)xaaaxa，|| (0)xaaxa或xa．

（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

例题4：求解不等式：|21||2|4xx． - 3 - 例题5：设p：x2－x－20>0,q：212xx<0,则p是q的 ( )

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

五、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx

②无理不等式：转化为有理不等式求解

()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域

0)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或

2)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf

③指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab

④对数不等式：转化为代数不等式

()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx六、三角不等式： |b||a||ba||b|-|a|

七、不等式证明的几种常用方法

比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、恒成立、存在、恰好型问题：mhxfmg

例题6、设函数)0(,12)0(|,|lg)(xxxxfx，若0)(0xf则x0取值范围是（）

A．（-，-1）∪（1，+） B．（-，-1）∪（0，+）

C．（-1，0）∪（0，1） D．（-1，0）∪（0，+）

例题7、已知奇函数f(x)在(,0)为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为：

。

例题8、对满足40P的实数P，做342PxPxx恒成立的x的取值范围是：

A.]3,1[ B.),3( C.),3()1,( D.)1,(

例题9、不等式axx21在[-1，1]上恒成立，则a的取值范围是 - 4 -

八、线性规划

1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.

2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.

例1.不等式组502xyyax≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

例2.设x,y满足约束条件1255334xyxyx,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。

例3.已知0520402yxyxyx，

（1）求yxz2的最大和最小值。

（2）求xyz的取值范围。

（3）求22yxz的最大和最小值。

例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

高一数学知识点不等式

不等式是数学中的一个重要概念，它在高一数学学习中占据着重要的地位。本文将讨论高一数学中的不等式知识点，包括不等式的基本概念、解不等式的方法等内容。

1.不等式的基本概念

不等式是指包含不等号（>、<、≥、≤）的数学表达式。它描述了两个数之间的相对大小关系。在不等式中，我们称表达式的两边为左边和右边，其中，不等号左侧的表达式通常称为不等式的“左端”，不等号右侧的表达式通常称为不等式的“右端”。

2.不等式的表示形式

不等式可以有多种表示形式，下面是一些常见的表示形式：

- 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b为已知实系数，x为未知实数。

- 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b和c为已知实系数，x为未知实数。

- 绝对值不等式：形如|ax+b|

3.不等式的解集表示

解不等式是指找出满足不等式条件的数的集合。解集可以使用不等式符号表示，也可以使用区间表示。下面是一些常见的解集表示形式：

- 不等式符号表示：例如，解集{x | x>2}表示满足不等式x>2的所有实数x的集合。

- 区间表示：例如，解集(-∞, 2)表示所有小于2的实数的集合。

4.不等式的性质和运算规则

不等式有一些特殊的性质和运算规则，包括以下几点：

- 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式方向不变。

- 不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变。

- 不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式方向改变。

- 对于绝对值不等式，需要考虑绝对值的正负情况来确定解集。

5.不等式的解法方法解不等式的方法主要包括代入法、图像法和数轴法等。在解题过程中，我们可以运用不等式的性质和运算规则，根据具体题目的要求采取不同的解题方法。

6.不等式的应用

不等式在高一数学中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几个方面：

- 解决实际问题中的数量关系，如寻找最大值、最小值等。

- 解决图形在坐标轴上的位置关系问题，如判定点在曲线的上方或下方。

高中数学不等式知识点归纳

什么是不等式

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

高中数学基本不等式知识点

数学知识点1．不等式性质比较大小方法：

（1）作差比较法（2）作商比较法

不等式的基本性质

①对称性：a > bb > a

②传递性: a > b, b > ca > c

③可加性: a > b a + c > b + c

④可积性: a > b, c > 0ac > bc

⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

⑧开方法则：a > b > 0

数学知识点2．算术平均数与几何平均数定理：

（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）

（2）如果a、b∈R＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：

如果为实数，则重要结论

(1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；

（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。

数学知识点3．证明不等式的常用方法：

比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，

则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

高中数学知识点总结线性方程与不等式

高中数学知识点总结：线性方程与不等式

一、线性方程

线性方程是指最高次项的次数为1的方程，形如ax + b = 0。

1. 解一元一次线性方程的基本步骤：

a. 对方程进行化简，将所有常数项移到等号的右边，变量项移到等号的左边；

b. 合并同类项，使方程化为形如cx = d的标准形式；

c. 根据等式两边相等的性质，得出变量的解。

2. 方程的解的类型：

a. 如果方程有唯一解，说明图像是一条斜率为正数或负数的直线；

b. 如果方程有无穷多解，说明图像是一条斜率为0的水平线；

c. 如果方程没有解，说明图像是一条平行于x轴的直线，与x轴平行但不相交。

3. 线性方程组：

a. 如果有两个或多个线性方程同时成立，称为线性方程组；

b. 线性方程组可用消元法或代入法等方法求解；

c. 解的个数与方程组中的方程个数及方程组的性质有关。二、一元一次不等式

一元一次不等式是指最高次项的次数为1的不等式，形如ax + b > 0。

1. 解一元一次不等式的基本步骤：

a. 对不等式进行化简，将所有常数项移到不等号的右边，变量项移到不等号的左边；

b. 合并同类项，使不等式化为形如cx > d的标准形式；

c. 根据不等式的性质进行判断，得出变量的解区间。

2. 不等式的解的类型：

a. 开区间解表示不等号两边不包括临界值；

b. 闭区间解表示不等号两边包括临界值；

c. 无解表示不等式在实数范围内不存在解。

3. 不等式的图解法：

a. 将不等式表示为一条直线或曲线；

b. 根据不等式的性质，画出图像，并标出解的范围；

c. 判断是否包括临界值，来确定解的类型。

三、二元一次方程与不等式

二元一次方程是指两个变量的最高次项的次数为1的方程，形如ax

+ by + c = 0。 1. 解二元一次方程的基本步骤：