山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)
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第 1 页 共 19 页一、单选题
1．复数的虚部为（
） i(2i)
A．-2 B．2 C．-2i D．2i
【答案】B
【分析】由复数的运算得出虚部.
【详解】，即该复数的虚部为. i(2i)12i
2
故选：B
2．命题“∀x∈[1，2]，x2
－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
【答案】C
【分析】先要找出命题为真命题的充要条件， 从集合的角度充分不必要条件应为 {|4}aa
的真子集，由选择项不难得出答案 {|4}aa
【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2
－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立 2
ax
即只需， 2
max()4ax
即命题“∀x∈[1，2]，x2
－a≤0”为真命题的的充要条件为， 4a
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题 {|4}aa
意.
故选：C
3．曲线在点处的切线方程为（
） sin2cosyxx
,2
A． B． C． D． 20xy
20xy
220xy
220xy
【答案】A
【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.
【详解】曲线 sin2cosyxx
则 'cos2sinyxx
当时, x
cos2sin1k
所以在点处的切线方程,由点斜式可得
,2
21yx
化简可得 20xy
故选:A
【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.
4．已知向量．若与垂直，则实数（
）
(1,3),(1,0),(3,)abck
2ab
c
k第 2 页 共 19 页A． B． C．1 D．3
33
【答案】B
【分析】求出，根据向量垂直可得数量积为0即可求出.
2ab
【详解】因为， (1,3),(1,0),(3,)abck
所以
，
21,32,03,3ab
因为与垂直，所以，解得
.
2ab
c
23330abck
3k
故选：B.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a
1＝－11，a
4＋a
6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于
( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a
1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：解：设该数列的公差为d，则a
4+a
6=2a
1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以S
n=-11n+
×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S
n取最小值．
nn1
2
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能
力．
6．下列四个图形中，正方体棱上的四个中点共面的图形是（
）．
A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．丁与甲
【答案】A
【分析】如图所示:利用空间点线面位置关系可以证明图中中点E、
F、
G、
H、
M、
N六点共面,进
而判断甲乙图中对应的四点为分别为:H、
F、
G、
N和E、
F、
G、
M均在平面EFGNMH内，所以
可得甲乙图形符合要求;然后可判断丙和丁图中对应的四点不共面. 第 3 页 共 19 页
【详解】
如图所示, E、
F、
G、
H、
M、
N、P、Q均为正方体AC
1棱上的中点,所以有:EFAC,MNA
1C
1,AC
A
1C
1,得EFMN,所以得EF、MN可确定一个平面α,同理EH、NG可确定一个平面β,又因为E、
F、M三点不共线只能确定一个平面,所以α、β重合,即E、
F、
G、
H、
M、
N六点共面为平面EN,
所以有:
甲图中对应的四点为H、
F、
G、
N在平面EN内即共面;
乙图中对应的四点为E、
F、
G、
M在平面EN内即共面;
丙图中对应的四点为E、
F、
P、
M其中P点不在平面EN内即得四点不共面;
丁图中对应的四点为E、H、G、Q其中Q点不在平面EN内即得四点不共面;
综上可得甲乙图满足要求.
故选:A
【点睛】本题考查了多点共面的问题,综合利用点线面的位置关系来证明,解决此类问题要求学生有
丰富的空间想象能力,属于中档题.
7．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆EF22
:2430CxyxyCECF
PEFEF
上运动时，直线上存在两点，使得
恒成立，则线段长度的最小C:30lxy,AB
2APB
AB
值是（
）
A
． B． C． D
．
321
42+243+1432
【答案】B
【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆
PAB
”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解22
(1)(2)1xy
1,2C
l
P
出的最小值. AB第 4 页 共 19 页【详解】由题可知：，圆心，半径
， 22
:(1)(2)2Cxy
1,2C
2r
又，是的中点，所以， CECF
PEF1
1
2CPEF
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
P22
(1)(2)1xy
1,2C
1R
若直线上存在两点，使得恒成立， :30lxy,AB
2APB
则以为直径的圆要包括圆， AB22
(1)(2)1xy
点到直线的距离为，
1,2C
l
22123
22
1(1)d
所以长度的最小值为， AB
21422d
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点
P
以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨
P
2APB
AB
P
迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. AB
8．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，2
1
e,0
4
3,0x
x
fx
xx
x
()yfxa
1x
2x
，，，则的取值范围为（
）
3x
4x
1234xxxx
A． B． C． D．
5,3e
4,4e[4,)(,4]
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为
fx()yfxa
的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得()yfxya
1ea
，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范
12344lnxxxxaa()4lngaaa
1ea
围.
【详解】解：时，，， 0x2
(1)
()ex
fx
2
(1)
()e2(1)x
fxx
在上单调递减，在上单调递增，， ()fx(,1)(1,0)(1)1,(0)eff
时，， 0x>4
()3fxx
x
在上单调递减，在上单调递增，， ()fx
(0,2)(2,)(2)1f
画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点， ()fx()yfxa()yfxya第 5 页 共 19
页
由图可得，是方程，即的两根， 1ea
12,xx2
(1)
ex
a
2
21xxln0a
是方程，即的两根，
34,x
x4
3xa
x2
(3)xax40
，，
121lnxxa
343xxa
则，
12341ln34ln(1e)xxxxaaaaa
设，，则，在上单调递增， ()4lngaaa
1ea
1
()10
ga
a()ga(1,e)
当时，，即.
1ea(1)()(e)ggag5()3ega
故选：A.
二、多选题
9．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则（ ）
na
67,
nSSS
78SS
A．在数列中， 最大
na
1a
B．在数列中， 或 最大
na
3a
4a
C．
310SS
D．当 时， 8n0
na
【答案】AD
【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD正确，B错
67SS
78SS
70a
8780aaa，
0d
误，结合等差数列的性质可判断，判断C.
103770SSa
【详解】为等差数列，∵，且，
na
67SS
78SS
∴ ，
7678787800SSaSSaaa，，
