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定积分概念与可积性浅析-第六章定积分及其应用

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第六章定积分及其应用 Z.Wang

§1 定积分概念与可积性浅析

引例 (曲边梯形的面积)：设函数在闭区间上连续，且。则由曲)(xf],[ba0)(xf

线，直线)(xfyax

，以及bxx

轴所围成的平面图形，称为曲边梯形。

敬畏耶和华是知识的开端 在区间(,

内任取)ab

1n

个分点，依次为

T

：bxxxxxa

nn

1210

它们将区间分割成个小区间，

。记为],[ba

nn

ii],[

1iixx

i,,2,1

1ixxx



x，i

，

同时记n,,2,1

}

n,,,

21xmax{)(Tx

，再用直线

ixx

，1,,2,1n

i把曲边

梯形分割成个小曲边梯形。在每个小区间，n

]

ixi,[

ix

1n,,2,1

上任取一点

i，

ni,,2,1

，作以)(

if

为高，

ix

为底的小矩形，其面积为)(

if

i

x，当分点

不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化)(xf],[

1ii

xx

不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该曲

边梯形面积的近似值为。从而 

n

fS

1(

ix

i

i

)

()0

1lim()n

ii

T

iSf



x

1 定积分的定义

定义1 (分割)：设开区间内有个点，依次为 (,)ab1n

T

：bxxxxxa

nn

1210

将闭区间分成个小区间，记为],[ban

1iiixxx



，ni,,2,1

，同

时称

}

n,{

1xxT,,

2x

为区间的一个分割，并记],[ba}{max)

1i

nix(T

称为分割

T的模。

定义2：设是定义在[

上的一个函数，对于的一个分割)(xf],ba(,)ab第六章定积分及其应用 Z.Wang

敬畏耶和华是知识的开端 },,,{

21nxxxT

，任取点

iix

，ni,,2,1

，并作和式

)

,

Tf

iixf)(n

i

:(

n1

称此和式为在关于分割)(xf],[ba

T

的一个积分和，也称Riemann和。

若存在一个确定的实数，有，即对任给的J



ix

J

n

if

10)lim

i

T(0

，总存在

0

，使得对的任意分割],[ba

T

，以及

1[,

ii]

ixx



，n,,2,i1

，只要

)(T

，就有



iixf

1)(

n

iJ

则称函数在上可积或Riemann可积。数称为函数在上的定)(xf],[ba

J)(xf],

[ba

积分或

Riemann积分，记作：

b

afJdxx)(

其中称为被积函数，)(xfx

称为积分变量，称为积分区间，称为被],[badxx

f)(

积式，，分别称为积分的下限和上限。

ab关于定积分的定义，有以下几点说明：

(1) 积分是一种特殊的和式(Riemann和)的极限，其结果是一个数值；

i

(2) 积分和既与分割T

有关，也与点的取法有关；

(3) 和式极限存在(即函数

n

iii

Txf

10)(lim



xf

可积)，是指不论对区间

怎样

b

a,

分法，也不论点

i

（ni,,2,1

）怎样取法，极限都存在且是唯一的；

(4) 定积分只与被积函数

xf

和积分区间

b

a,有关，而与积分变量所用的符号无

关，即. 



xxfb

ad

ttdf

b

ab

a

uufd

的微元，是一无穷小量，可看成是某一xxf

d)(x

(5) 在定积分的表达式中， 为xd第六章定积分及其应用 Z.Wang

函数与相乘。用此观点来解释定积分的意义很有用。例如：如果是某

xf

xd

tf

一运动质点在时刻的速度，那么，便可看作是速度乘以时间，为质点在这t

ttfd

td

一时间段内走过的距离，而积分便看作是所有这些小的距离的“和”，这ttfb

ad)(

一和给出的是从时间at

到t

之间质点位置的最终改变量，并且积分的单位应b

为的单位与

xfx

的单位的乘积，若

tf

的单位为米/秒，t的单位为秒，则

ttd)(fb

a

的单位为秒。

(6) 表示分割T

越来越细的极限过程，这时分点个数也必愈来愈多，即()Tl0n

n

；但反过来当时，并不保证，故不能把随便改n

()0T()Tl0l

为 (除非T

限于等分分割这种特殊情形)。 n

两个重要公式：

当a

时， b

x0dxa

af

当a

时， b

x

x

xdfa

bxdb

a

f

2 定积分的几何意义

敬畏耶和华是知识的开端

若用表示曲线A

xf

xfax

及x

轴所围成的面积，当y0

，bx与直线



x0f

时，；当

Axdxfb

a

时，定积分为负值，。定积分

dxAxfb

a



xxd

afb

a

在几何上表示由曲线与

直线

xfy

x

，及bxx

轴所围成的的各部分

面积的代数和，即

xxfdAb

a32AA

1

。

对称区间上连续函数的定积分性质：

若在对称区间

xf

aa,

上连续且为奇函

数，有 

dx0

a

a



xxf



若在对称区间faa,

上连续且为偶函数，有



xxdfa

2

xxfd

a

a0第六章定积分及其应用 Z.Wang

EX1：用定义求积分求 b

axdx

EX2：已知函数在区间 上可积。用定义求积分 )(xf

2

x] 1 , 0 [1

02dxx

EX3：已知函数)(xf

2

11

x

在区间 上可积，用定义求积分] 1 , 0 [

1

02

1xdx 解：

1

02

1xdx



n

lim







n

in

ni

121

11



nlim

n

iinn

122（极限求不出来）

3 可积的条件

必要条件

定理1：若函数

xf

在区间

上可积， 则函数

ba,

xf

在区间

ba,上必有界。即

函数在区间

上无界，则函数在区间

xf

ba,

xf

ba,

上不可积。

注在区间

上有界仅是

xf

ba,

xf

在区间

ba,上可积的必要条件，而不是充分

条件，即有界未必可积。如Dirichlet函数



上的无理数。是当上的有理数，是当

1,0,01,0,1

xx

D



x，

在

上是有界的，但在

1,0

1,0

上不可积。

充要条件

定义3（Darboux和）：设函数

xf

在区间上有界，并设和] , [bam

M分别是函

数在区间 上的下确界和上确界， 分割)(xf] , [ba

T

将区间

ba,

分成个小区n

间，

1x

0,x

k,,

nx

nkxxxx,,

111x,,,

2

，设与分别是函数在

km

kM

xf

kkxx,

1

上的下确界与上确界，令，S

，称

n

k

kkxm

1Ts

T

n

k

kx

kM

1

Ts

是分割T

的Darboux小和，是分割

TS

T

的Darboux大和。

注(1) Darboux小和与Darboux大和只与分割T

有关；

(2)对的同一分割

敬畏耶和华是知识的开端 

ba,

T

的小和与大和，总有

Ts

TS

；

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定积分的概念及性质

定积分的概念及性质

一、定积分的概念及性质

定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算

定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。例如用换元法来计算定积分

202cossinxdxx，

如果计算过程中出现了新的变元：xusin，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即

202cossinxdxx xusin 3131103102uduu。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即

202cossinxdxx31sin31sinsin203202xxxd。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。 三、结合被积函数在积分区间上的特性，利用换元法还可以推导出许多常用的恒等式，利用这些恒等式能起到简化计算的作用。例如：

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用10

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用10

试卷第1页，总51页【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用10

未命名

一、单选题

1．定义,

min,

,aab

ab

bab，则由函数21

()min,fxx

x的图象与x

轴、直线2x

所围成的封闭图形的面积为

A．7

12B．5

12C．1

ln2

6D．1

ln2

3

【答案】D

【解析】

由题意2

(01)

()

1

,1xx

fx

x

x，做出函数图象如下：

交点(1,1)A

，作垂线交x

轴于点(1,0)D

图中阴影部分为所求，可分别用积分求出两部

分面积的和

1

12

2

23

1

0

01111

lnln2

33Sxdxdxxx

x，选D.

2．设f(x)＝则f(x)dx等于()

A．B．C．D．不存在

【答案】C

【解析】

当1

2231

0

011

01,(),|.

33xfxxxdxx

当2

22

1

111

12,()2,(2)(2)|,

22xfxxxdxxx

试卷第2页，总51页故1

0115

().

326fxdx

故选C

．

3．在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物

线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落

在区域内的概率为，则k的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：易知抛物线开口向下，对称轴为

.令，得

或1.所以抛物线与x轴所围成的平面区域即抛物线在x

轴上方的部分,其面积为

.联立

得抛物线与直线y＝(k＞0)的交点为（0,0）和

.因为该

抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点

落在区域内的概率为

.所以交点应该在区域内，即，所以

.区域面积为

.由点落在区域内的概率为得，，

.

考点：定积分的应用、几何概型

4．设函数m

fxxax

的导函数'21fxx

，则2

1fxdx的值等于()

A．5

6B．1

2C．2

3D．1

6

【答案】A

【解析】

由于m

fxxax

的导函数2

'21,fxxfxxx

，于是

22

2322

1

11115

|

326fxdxxxdxxx

，故选A.

5．如图，由曲线2

1yx

，直线0,2xx

和x

轴围成的封闭图形的面积是（）

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念说课稿

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念说课稿

1 1.5定积分的概念

一、教材分析

课程定位：定积分是一节重要的基础理论课。通过本节课的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。

地位作用：本节课选自人教A版选秀2-2第一章第5节，定积分的概念是高中数学的重点，也是高等数学中最主要的经典理论。这节课上承导数、不定积分，下接定积分在几何、物理等其他学科中的应用。

教学内容：本节内容为定积分概念，主要包括三方面内容：两个引例――曲边梯形的面积和变速直线运动的路程；定积分的定义及几何意义；定积分的性质。

教学目标：知识目标――通过探求曲边梯形的面积，使学生了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法；能力目标――通过类比“割圆术”，引导学生萌发“以直代曲”的想法，逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力；情感目标――从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。

二、教学方法

学情分析：学生具备一定初等数学基础知识，但学生的基础不扎实。

教学方法：数学课程对于高中学生来说，往往难度很大，教学时力求从学生已有知识和实际学习情况出发引入新课，启发、诱导学生参与教学活动，提出问题、分析问题、解决问题，适当采用自学辅导法（阅读教材）、通过以上方法的运用，让学生掌握重点知识，突破难点，提高应用知识的能力。教师特别要做到：（1）在介绍数学概念的时候，力争以实例引入，使概念尽可能不以严格“定义”的形式出现。（2）在介绍基本定理的时候，尽可能地在通俗易懂的叙述中渐入主题，让学生有一种“水到渠成”之感。（3）在讲解运算规则和规律时，用一些精简易记的文字语言解读数学公式，加强学生对数学公式涵义的理解。

三、设计理念

以问题为教学主线，本节课的教学终始以问题的解决为线索。这节课属于概念教学，遵循概念教学的五流程：体验概念、提炼概念、形成概念、巩固概念和应用概念。分四个阶段来实施：感知阶段、理性认识阶段、概况阶段和应用阶段。

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念(第1课时)自我小测新人教A版选修2-2资料

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念(第1课时)自我小测新人教A版选修2-2资料

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念（第1课时）自我小测 新人教A版选修2-2

1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )

A．y＝x2 B．y＝|x|

C．y＝x D．y＝1x

2．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为( )

A．1n B．2n

C．2n－1 D．2n＋1

3．把区间[a，b](a＜b)n等分之后，第i个小区间是( )

A．i－1n，in

B．i－1n(b－a)，in(b－a)

C．a＋i－1n，a＋in

D．a＋i－1n(b－a)，a＋in(b－a)

4．在求由曲线y＝1x与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于( )

A．2n＋2i B．2n＋2i－2

C．2n(n＋2i) D．1n＋2i

5．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )

A．limn→∞ i＝1n

11＋in2·2n

B．limn→∞ i＝1n

11＋2in2·2n 2 C．limn→∞ i＝1n 11＋i2·1n

D．limn→∞ i＝1n

11＋in2·n

6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间分成10等份，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为________．

7．在求由y＝0，x＝a，x＝b(0＜a＜b)与曲线y＝f(x)＝x2围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S′，下列说法：