求数列通项公式方法归纳(十种方法)

1 求数列通项公式方法归纳

一、公式法

【例1】 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

二、累加法

【例2】 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

【例3】在数列{na}中，31a,)1(11nnaann，求通项公式na.

解：原递推式可化为：1111nnaann

则,211112aa 312123aa

413134aa，……，nnaann1111 2 逐项相加得：naan111. 故 nan14.

【例4】 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则

所以31.nnan

【例5】已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，

则111213333nnnnnaa，故

112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan

因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，

则21133.322nnnan

【例6】在数列na中，01a且121naann，求通项na.

21232113231nnnnan

【小练】：已知}{na满足11a，)1(11nnaann求}{na的通项公式。

已知}{na的首项11a，naann21（*Nn）求通项公式。

已知}{na中，31a，nnnaa21，求na。 3

三 、累乘法类型 nnanfa)(1型

【例7】 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn

所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan

【例8】已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。

解：因为123123(1)(2)nnaaaanan ①

所以1123123(1)nnnaaaanana ②

用②式－①式得1.nnnaana

则1(1)(2)nnanan

故11(2)nnanna

所以13222122![(1)43].2nnnnnaaanaannaaaaa ③

由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入③得!13452nnan。 4 所以，{}na的通项公式为!.2nna

【例9】在数列na中，11a，11nnaann，求通项na.

解：由条件等式11nnaann得，nnnnnaaaaaannnn12112112211，得nan1.

练习：1、已知：311a，11212nnanna（2n）求数列}{na的通项。

2、已知}{na中，nnanna21且21a求数列通项公式。

四、待定系数法 )1,0(1ccdcaann型

【例10】 已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。

解：设1152(5)nnnnaxax ④

将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得135525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1152(5)nnnnaa ⑤

由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5}nna是以1151a为首项，以2为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。

【例11】 已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：设1123(2)nnnnaxyaxy ⑥

将13524nnnaa代入⑥式，得 5 1352423(2)nnnnnaxyaxy

整理得(52)24323nnxyxy。

令52343xxyy，则52xy，代入⑥式得

115223(522)nnnnaa ⑦

由11522112130a及⑦式，

得5220nna，则115223522nnnnaa，

故数列{522}nna是以1152211213a为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133nnna，则1133522nnna。

【例12】 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。

解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz ⑧

将212345nnaann代入⑧式，得

2222345(1)(1)2()nnannxnynzaxnynz，则

222(3)(24)(5)2222nnaxnxynxyzaxnynz

等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222xnxynxyzxnynz，

解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入⑧式，得

2213(1)10(1)182(31018)nnannann ⑨ 6 由213110118131320a及⑨式，得2310180nann

则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。

【例13】数列na满足21211aaann，，求na.

解：设axaxnn12()，即,21xaann对照原递推式，便有x1.

故由,121nnaa得)1(211nnaa，即2111nnaa，得新数列1na是以11211a为首项，以2为公比的等比数列。

（n=1,2,3…），121nna，即通项121nna

【练习】：1、已知}{na满足31a，121nnaa求通项公式。

2、已知}{na中，11a，231nnaa（2n）求na。

分析：构造辅助数列， )1(311nnaa，则13nna

【同类变式】

1、已知数列}{na满足)12(21naann，且21a，求通项na

分析：（待定系数），构造数列}{bknan使其为等比数列，

即)(2)1(1bknabnkann，解得1,2bk

求得12251nann

2、已知：11a，2n时，12211naann，求}{na的通项公式。

解：设])1([211BnAaBAnann 7 BAAnaann212121211

∴ 12121221BAA 解得：64BA ∴ 3641a

∴ }64{nan是以3为首项，21为公比的等比数列

∴ 1)21(364nnna ∴ 64231nann

∴ }64{nan是以3为首项，21为公比的等比数列

∴ 1)21(364nnna ∴ 64231nann

【例14】 已知数列na的前n项和nS满足naSnn22

（1） 写出数列的前3项321,,aaa；

（2） 求数列na的通项公式.

解：（1）由22111aSa，得21a.

由422221aSaa,得62a,

由321aaa6233aS,得143a

(2)当2n时,有2211nnnnnaaSSa,即221nnaa ①

令12nnaa,则12nnaa,与①比较得,2

2na是以421a为首项,以2为公比的等比数列.

1122)4(2nnna,故221nna

【引申题目】

1、已知}{na中，11a，nnnaa221（2n）求na