考研数学基础试题及答案

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2009年信号与系统硕士生入学试题答案

一、画出下列信号波形：（15分）

tudtdtfcos

解：tudtdtfcos的波形如图所示。

t-2.5-1.501.50.5-0.52.51tcos-2.5-2.5-1.5-1.5-0.5-0.5000.50.51.51.52.52.5(1)(1)(1)(1)(1)(1)1tttucostf

二、已知信号的波形如图所示，分别画出tf与dttdf的波形。（15分）

-2420tf24t

题2图

解：tftftftftftftf2212222222224横坐标扩展一倍反转左移 2 -420tf2t-240tf2t-480tft-408(1)1/4-1/4tf(a)(d)(c)(b)t221112

三、计算（每题10分，共30分）

1、dtttt2sin4

2、dttt422sin2

3、dtt42

解：

1、81822sin82sin4dttdttttdtttt

2、222cos222sin12sin242ttdttt

3、dtt42

因为对于形如tf的冲激信号，若0tf有m个互不相等的实根，有

niiitttftf11

又 4242tt

所以

21241224142dtttdtt

3 四、已知tf的傅里叶变换是jF，求下列函数的傅里叶变换（每题10分，共30分）

解：

1、

221222122212jFjttfjFddtjtfjFtf

2003南开大学年数学分析

一、设),,(xyxyxfw其中),,(zyxf有二阶连续偏导数，求xyw

解：令u=x+y,v=x-y,z=x则zvuxfffw；

)1()1()1(zvzuvvvuuvuuxyffffffw

二、设数列}{

na非负单增且aannlim，证明aaaann

nnn

n1

21][lim

解：因为an非负单增，故有nn

nnn

nnn

nnaaaaa11

21)(][

由aa

nnlim；据两边夹定理有极限成立。

三、设

0,00),1ln()(2

xxxxxf试确定的取值范围，使f(x)分别满足：

（1）极限)(lim

0xf

x存在

（2）f(x)在x=0连续

（3）f(x)在x=0可导

解：（1）因为

)(lim

0xf

x=)1ln(lim2

0xxx=)]()1(

2[lim22142

0nnn

xxo

nxxxx极限存在则

2+0知2

(2)因为)(lim

0xf

x=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2

（3）0)0(f所以要使f(x)在0可导则1

四、设f(x)在R连续，证明积分ydyxdxyxf

l)(22与积分路径无关

解；令U=22yx则ydyxdxyxfl)(22=

21duufl)(又f(x)在R上连续故存在F（u）

使dF(u)=f(u)du=ydyxdxyxf)(22

所以积分与路径无关。（此题应感谢小毒物提供思路）

五、设f(x)在[a,b]上可导，

0)

2(baf且Mxf)(,证明

2)(

4)(abMdxxfb

a

证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在

)

2)(()

2()(),(ba

xfba

fxfba使即有

dxba

xfdxxfb

ab

a)

2)(()(

2

22)(

4])

2()

2([)

2)((abM

dxba

xdxxba

Mdxba

xfb

baba

ab

a

六、设}{

na单减而且收敛于0。nansin发散

a)证明收敛nansin

b)证明1lim

nn

nvu

其中)sinsin(kakkau

kn；

)sinsin(kakkakvn

复旦大学2001 年招收硕士学位研究生考试试题

数学分析

x−1

2

x −e

1 求极限lim （12 分）

2

x→1 ln (2x −1)

f (x )

2. 已知 证明 分别在 与 都是严格单调增加函数。

< (0)f 0,>''(−∞f)

x

（12 分）

+∞ +∞

f x (dx) f x (g )x (dx)

3.设∫ 收敛，lim g (x) 1 ，问积分∫

1、若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)-g(x)=ex,则有( ).[A]f(2)

f(2)

[Q]函数的弹性是函数对自变量的（ ）[A] 导数 [B] 变化率

[C] 相对变化率[D] 微分[K]C

[Q]下列论断正确的是（ ） [A] 可导极值点必为驻点 [B]

极值点必为驻点 [C] 驻点必为可导极值点D、 驻点必为极值点[K] A

[Q]设A为4×5矩阵，则齐次线性方程组AX=0（ ）。[A] 无解 [B] 只有零解 [C] 有唯一非零解 [D] 有无穷多组解[K] D

[Q]函数 在x＝0处连续，则k＝( )． [A]-2 [B]-1 [C]1

[D]2 [K] C

[Q]函数f(x)= 在点x＝1处的切线方程是()．[A]2y一x＝1

[B]2y-x＝2 [C]y-2x＝1 [D]y-2x＝2 [K] A

[Q]下列函数在区间(-∞，+∞)上单调减少的是()．[A]cosx [B]2x

[C]x2 [D]3-x [K] D

[Q]设矩阵Am×n，Bs×m，Cn×p，则下列运算可以进行的是()． [A]BA [B]BC [C]AB [D]CB [K] A

[Q]设线性方程组AX＝b的增广矩阵通过初等行变换化为 ，则此线性方程组解的情况是( )．[A]有唯一解 [B]有无穷多解[C]无解 [D]解的情况不定[K] A

[Q]下列结论正确的是（ ）．[A]对角矩阵是数量矩阵[B]数量矩阵是对称矩阵 [C]可逆矩阵是单位矩阵 [D]对称矩阵是可逆矩阵[K] B

[Q]在使用IRR时，应遵循的准则是( )。 [A]接受IRR大于公司要求的回报率的项目，拒绝IRR小于公司要求的回报率的项目

[B]接受IRR小于公司要求的回报率的项目，拒绝IRR大于公司要求的回报率的项目 [C]接受IRR等于公司要求的回报率的项目，拒绝IRR不等于公司要求的回报率的项目 [D]接受IRR不等于公司要求的回报率的项目，拒绝IRR等于公司要求的回报率的项目[K]A